Clase De Repaso

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR CLASE DE REPASO

MIERCOLES 3-06-2009

Miguel Guzmán [email protected] 1.1.- Hallar la ecuación del plano π que pasa por el punto 232,3, 516 y es perpendicular a la recta 854 <=1 >=3 ; ; 8 4 52

2.2.- Considere el triangulo con vértices 231,2,36; B33,1,46; C 351,1,06. Sea L la recta que DDDD y sea P el punto de L tal que el segmento CE DDDD es perpendicular a L. contiene el segmento 2B Halle el vector W cuyo extremo inicial esta en C y su extremo final está en el punto P. 3.3.- Sea EI el espacio vectorial dado por los polinomios de grado menor o igual a tres, con coeficientes reales. Considere el subconjunto W dado por: M ; NO8 I = P8 Q = R8 = S T EI / O 5 R ; 0V a.- Demuestre que W es un subespacio vectorial de EI 4.4.- Halle la distancia entre el punto232,1, 526 y la recta, r , representada por: W

8 ; 3> 5 2X < ; 2> 5 1

5.5.- Dado el espacio vectorial Z[ ; N38\ , 8Q , 8I , 8[ 6 / 8] T Z V Sean ^\ ; 32,1,0,36; ^Q ; 351,1,1,16, W;_`a N^\ , ^Q V a.- Diga si el vector b ; 31,1,2,56 pertenece a W. b.- Halle todos los vectores, c T M, tales que el producto escalar c. 31,0,1,06 ; 4 6.6.- Sea r la recta representa por

851 <52 ; ;>=1 2 3

a.- Halle la ecuación del plano π que pasa por el origen y es perpendicular a r. b.- Si A es el punto intersección de la recta r con el plano π, halle la ecuación del plano que pasa por el origen, pasa por A y es paralelo al vector c ; 31,2, 516

7.7.- Sea eQQ el espacio vectorial formado por el conjunto de todas las matrices reales 2x2, con las operaciones usuales de suma y multiplicación por escalares reales. Considere el conjunto. 1 0 f ; W2 T eQgQ : 2 h i ; h ij O 0

a.-¿Es H un subespacio de eQgQ ? b.- Pruebe que M ; mn

5O 0

1 0 o;n 0 5O

0 op es un subconjunto de H. 1

8.8.- Considere el espacio vectorial EQ ; Nq386 ; Or = O\ 8 = OQ 8 Q : Or , O\ , OQ T ZV, con las operaciones usuales de suma y multiplicación por escalares reales. ¿Para qué valores de a,b,c se tiene que O = P8 = R8 Q T _`a31 = 28 = 8 Q , 2 = 8 Q 6 9.9.- Considere el espacio vectorial EI ; Nq386 ; Or = O\ 8 = OQ 8 Q = OI 8 I : Or , O\ , OQ , OI T ZV, con las operaciones usuales de suma y multiplicación por escalares reales. Sea: f ; Nq386 T EI : q336 ; 0 < q s 336 ; 0V a.- ¿Es H un subespacio de EI ? b.- Pruebe que t ; N38 5 36Q , 38 5 36I V es subconjunto de H. 10.10.- Sea r la recta que pasa por los puntos E31,0,16< u 30,2,36 y sea π el plano de ecuación 8 = < = > ; 11. Si A es el punto intersección de la recta r con el plano π, halle una representación paramétricas de la recta que pasa por A y es perpendicular a π. 11.11.- Sea π el plano determinado por los puntos E31,0, 526; u 351,2, 536 < Z30,1,06 a.- Halle la ecuación del plano b.- Halle las ecuaciones paramétricas y la ecuación vectorial de la recta L ortogonal a π que pasa por el punto P. c.- Calcule la distancia del punto v31, 51,16 a la recta L 12.12.- Sea f w Z I un conjunto definido por: f ; N38, <, >6 T ZI : O8 = P< = R> ; 0 Rxa O, P, R T ZV a.- Demuestre que H es un subespacio vectorial de ZI b.- Suponiendo que R y 0, halle un conjunto generador de H.

13.13.- Tenemos dos rectas {\ < {Q dadas por las siguientes ecuaciones simétricas: {\ : 8 5 2 ;

<52 ; 5 3> = 1 6 3

{Q : 5 38 5 26 ;

<52 >=1 ; 3 4

a.- Halle la intersección de ambas rectas b.- Calcule el coseno del ángulo que forman entre si sus vectores directores. c.- De una ecuación para el plano que contiene a ambas rectas. 14.14.- Encuentre todos los valores de | T Z que hacen que los vectores c ; 30, 51,16; ^ ; 31,1,06 < b ; 34, 52,2|6 no sean coplanares. 15.15.- Sean }\ ; N38\ , 8Q , 8I 6 T ZI : 8\ = 8Q 5 8I ; 0V }Q ; N38\ , 8Q , 8I 6 T ZI : 8\ = 8Q = 8I ; 0V a.- Demuestre que }\ = }Q ; Nc = b ~ c T }\ < b T }Q V es un subespacio vectorial de ZI b.- Halle un conjunto generador de }\ = }Q . 0 2 0 2 o;n o 2p demuestre que es un subespacio vectorial 16.16.- Sea M ; m2 T eQgQ : 2 n 2 0 2 0 y además halle un conjunto generador.

17.7.- Sea 232,4,66; B36,2,86; C 352,2,06 sea { ; 2B; halle CE  {

18.18.- Sea el conjunto Z Q con las siguientes operaciones es un espacio vectorial 38, < 6 = 3>, b 6 ; 31 = 8 = >, 2 = < = b 6 €38, <6 ; 3€ = €8 5 1, 2€ = €< 5 26 Diga si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de dicho espacio. a.-  ; N38, <6 ~ 8 ;
19.19.- Sea π el plano que pasa por los puntos E32,3, 516; u31,0, 516; Z30, 52,16 y sea ‚\ : 28 5 2< = 4> ; 6 a.- Demuestre que ambos planos son no paralelos. b.- Halle las ecuaciones paramétricas de la recta que resultan ‚ ƒ ‚\ c.- ¿El Punto „35,2, 516 pertenece a la recta hallada en el apartado anterior? 20.20.- Halle todos los vectores perpendiculares a u y unitarios. c …† ; 33,4,126