Clase 8 Cont

EJEMPLOS 1.- La variable aleatoria presión arterial sistólica en las mujeres diabéticas entre 30 y 34 años, se distribuye normal, con media desconocida pero con desviación estándar de 11.8 mm Hg. Con el fin de estimar la media de la población, se toma una muestra aleatoria de 10 mujeres, la cual dio una presión sistólica muestral de 130 mm Hg. Calcule un intervalo de 99% de confianza para estimar la verdadera presión arterial sistólica media de la población. X ± Z 1    0.99    0.01 

n

   0.005  1   0.995 2 2



El intervalo es:

α

(1− ) 2

σ

 130  2.57  

Z 0.995  2.57

11.8   10 

  120.41, 139.58  Este intervalo contiene, con 99% de confianza al verdadero valor promedio de la presión arterial sistólica en la población dada de mujeres

2.- Para la población de niños sometidos a cirugía fetal por anomalías congénitas, la distribución de los períodos de gestación al momento de nacer es aproximadamente normal, con media y varianza desconocidas. Una muestra aleatoria de 14 de estos niños, tiene un período medio de gestación de 29.6 semanas y una desviación estándar de 3.6 semanas. Construya un intervalo de 95% de confianza para estimar la verdadera media de la población. s X ±t

1    0.95    0.05 

α

(1− ) 2

n

   0.025  1   0.975 2 2

Luego el intervalo pedido es: 

 29.6  2.16 

 27.53,

31.67 



t0.975(13)  2.16 3.6   14 

 29.6  2.07 

Este intervalo contiene al verdadero período medio de gestación, con un nivel de 95% de confianza

3.- Estimar en la población del ejemplo anterior, la varianza de los

períodos de gestación, a partir de la misma muestra de tamaño 14 que dio una desviación estándar de 3.6 semanas. Utilizar un nivel de 95% de confianza.

 ( n −1) s 2 ( n −1) s 2 ;  χ2 2 χ α α  1− 2 2 

1

    

 2 2  0.975   0.975  24.74 y  0.025(13)  5.01 (13) 2

Luego el intervalo es:

 13  3.6 2 13  3.6 2  ;   24, 74 5.01  

 6.81;

33.63

4.- Para estimar el porcentaje de niños desnutridos en una población, se tomó una muestra de 150 niños al azar de esa población, de los cuales 10 presentaban síntomas de desnutrición. Estimar el verdadero porcentaje de desnutridos en la población, con un 99% de confianza.

pˆ ± Z

α 2

1−

 1   0.995  z0.995  2.57 2 Luego el intervalo es:  

 0.067  2.57 

pˆ (1 − pˆ ) n pˆ 

10  0.067  qˆ  0.933 150

0.067  0.933    150 

 0.067  0.052 

Tamaño de muestra En el intervalo de confianza para estimar la media de una población, X ±Z

α

(1− ) 2

σ

n

el error de estimación o error de muestreo está dado por z

1





n

2

La pregunta que debemos hacer es: ¿Qué tamaño de muestra hay que tomar para que con un nivel de 1-α, al estimar la media poblacional, el error de estimación no supere las “e” unidades?  z e  Es decir, de aquí se despeja el valor de n 1 n 2

n

Obteniendo: infinitas o muy grandes

z12   2

e2

2

Para poblaciones

Ejemplo Se desea estimar la edad media de la población de mujeres estudiantes universitarias en Chile. Hay dos elementos en la fórmula del tamaño de muestra que no conocemos, ellos son: 2 La varianza  y el error máximo permitido e Es necesario hacer un análisis exploratorio mediante una muestra piloto aleatoria. El tamaño de ella no es necesario justificarlo, sólo se utiliza para estimar la varianza y para poder fijar el error máximo de muestreo. Supongamos que se tomó una muestra al azar de 50 estudiantes del país la que dio una edad media de 22 años con una desviación estándar de 4 años. El valor de la media muestral permite fijar el error máximo de estimación, que podría, depende del investigador, ser de 1 año como máximo. Reemplazando estos valores en la fórmula, y utilizando un nivel de 95% de confianza, el tamaño de la muestra se calcula: 1.962 16 n  61.46  62 1 Este tamaño de muestra nos asegura, con 95% de confianza , que al estimar la edad media de la población, el error no superará un año.

En el intervalo de confianza para estimar el porcentaje de éxitos en una población, el error de muestreo es de la forma Z

1

 2

pˆ (1  pˆ ) n

En forma similar, si el error máximo permitido es “e %”, es decir, pˆ (1  pˆ ) Z  e 1 n 2 Se puede despejar n, obteniendo la siguiente fórmula para el tamaño de muestra: ˆˆ z 2 pq

n

1 2

e2

Como se desconoce el % de éxitos de la población, para fijar el error máximo permitido hay que utilizar una muestra piloto. Ella nos permite definir el error máximo y también permite estimar la varianza pq de la población Bernoulli. Ejemplo: Se quiere estimar el porcentaje de la población chilena que es hipertensa. El primer problema es determinar el tamaño de muestra. Es posible que por estudios anteriores, se tenga una estimación de este %, si no es así hay que tomar una muestra piloto. Se tomó una muestra al azar de 100 personas, de las cuales 30 resultaron hipertensas, en este caso el porcentaje es de 30% o 0.3; con este valor podríamos fijar un error máximo de un 5%, por ejemplo. De la fórmula: 1.962  0.3  0.7 n  322.69  323 2 0.05

Este tamaño, nos asegura, con 95% de confianza que el error de estimación al estimar el porcentaje de éxitos en la población, tendrá un error máximo de 5%.