Clase 7

Potencia Promedio y valores RMS Potencia Instantánea

p =v ⋅ i = i 2 R =

V2 R

p =v ⋅ i = i ⋅ L ⋅

p =v ⋅ i = C ⋅ v ⋅

di 1 = ⋅ v ⋅ ∫ v ⋅ dt dt L

dv 1 = ⋅ i ⋅ i ⋅ dt dt C ∫

• Ecuaciones -sólo en términos de tensión o corrientedemasiado complicadas conforme se consideran redes más generales. • La mayor parte de los problemas que emplean cálculos de potencia se tratan con circuitos excitados sinusoidalmente. 1

Potencia Promedio y valores RMS Potencia Instantánea

i(t) = I m ⋅ cos (ω ⋅ t + φ ) Im =

Vm R + ω ⋅L 2

2

2

⎛ ω⋅L ⎞ ⎟ ⎝ R ⎠

φ = − tg −1 ⎜

p = v ⋅ i = Vm ⋅ I m ⋅ cos(ω ⋅ t + φ ) ⋅ cos(ω ⋅ t) Vm ⋅ I m ⋅ [cos(2 ⋅ ω ⋅ t + φ ) + cos(φ )] 2 V ⋅I V ⋅I p = m m ⋅ cos (φ ) + m m ⋅ cos (2ωt + φ ) 2 2 p=

• Características que son válidas en general para circuitos en estado sinusoidal estacionario: término constante, más término de doble frecuencia. 2

1

Potencia Promedio y valores RMS Potencia Promedio

• En general, el valor promedio de la potencia se puede representar como : t +T

t

1 1 1 2 ⋅ ∫ p(t)⋅ dt o P = ⋅ ∫ p(t)⋅ dt P= T t1 t2 − t1 t1 • En el caso sinuosidal vimos que la potencia promedio era igual a:

P=

Vm ⋅ I m ⋅ cos (φ ) 2 3

Potencia • Inicialmente el interés está dirigido a la “tasa” con que se genera o absorbe la energía, es decir la potencia. [nW] [mW] [W] [kW] [MW]

=> => => => =>

señales de telemetría circuitos electrónicos audio de parlantes hervidor, plancha, etc. central generadora

• Finalmente se estudiara el factor de potencia y potencia compleja, conceptos que tienen que ver con los aspectos prácticos y económicos asociados a los sistemas de distribución de energía eléctrica. 4

2

Demanda : kW Consumo : kWh 10 de 100 W = 1000 W durante una hora: 10 x 100 W x 1 h = 1000 Wh = 1 kWh 1 ampolleta de 100 W durante 10 horas

10 ampolletas de 100 W durante una hora

1 de 100 W = 100 W durante diez horas: 1 x 100 W x 10 h = 1000 Wh = 1 kWh

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¿porqué es tan importante la potencia?

BAJADA ACOMETIDA

(EMPALME)

TIERRA DE PROTECCION

E [kWh] = P [kW] * t [h]

⎡ $ ⎤ ⎢⎣ kWh ⎥⎦

[$] 6

3

Potencia Im

.

Potencia Compleja S [VA] Potencia Aparente S [VA] Potencia Activa

P [W]

Potencia Reactiva

Q [VAR]

.

S

Q [VAR]

ϕ Re

P [W]

S = P + j⋅ Q •

7

Potencia

.

S [VA] Q [VAr] Potencia Reactiva ⇔ Espuma

Potencia Aparente ⇔ Capacidad Potencia Activa ⇔ Líquido

P [W]

S [VA]

S = P + j⋅ Q •

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4

Potencia • El uso de valores efectivos simplifica la expresión de la potencia promedio entregada por tensiones o corrientes sinusoidales. 2

PR =

Im ⋅ R 2 = I eff ⋅ R ⇒ Resistencia 2

P = Veff ⋅ I eff ⋅ cos(φ ) ⇒ Impedancia

•La potencia promedio entregada a cualquier elemento reactivo debe ser cero. Esto se hace evidente si se examina el desfase de 90º entre tensión y corriente, ya que Cos (90º) = 0. 9

Potencia • La razón entre la potencia promedio -o real- y la potencia aparente recibe el nombre de “factor de potencia” (FP).

FP =

Potencia Activa P P = = Potencia Aparente V ⋅ I S

• En el caso sinusoidal, el FP es simplemente cos (θ - φ ) • En una carga resistiva pura, el FP es igual a 1, es decir, P y S son iguales. • En cargas reactivas puras, el FP es igual a 0 pues P = 0.

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5

Potencia

S = P + j⋅ Q

• En la forma rectangular :

•

Potencia promedio, activa, real.

.

S

Potencia reactiva

S = P2 + Q2 Q [VAR]

FP = cos ϕ =

ϕ P [W] “triángulo de potencia”

P S 11

Potencia • La ambigüedad acerca de la naturaleza exacta de la carga se elimina indicando si FP está adelantado o atrasado, donde el adelanto o atraso se refiere al desfase de la corriente respecto de la tensión. • De este modo carga inductiva tendrá un FP atrasado carga capacitiva tendrá un FP adelantado • Otra convención es hablar de FP inductivo o capacitivo, según corresponda. 12

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Potencia • La potencia compleja se define a partir de la siguiente tensión y corriente en lo terminales de un elemento:

V = Veff / θ •

I = I eff / ϕ

⇒ P = Veff ⋅ I eff cos(θ - ϕ )

•

• Luego, definiendo S como potencia compleja se tiene :

S = Veff ⋅ I*eff •

•

•

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Potencia 2 − j ⋅1 Ω • Ejemplo: Determinar la potencia entregada a cada una de las cargas, S + suministrada por la fuente y el FP de 1+ j⋅ 5 Ω 60 /0 ° V la carga equivalente. 60 /0° I= •

2 − j ⋅1 + 1 + j ⋅ 5

= 12 / - 53.1 ° A

P = 60 ⋅12 ⋅ cos(0º −(−53.1º )) = 432 W

PC = 12 2 ⋅ 2 = 288 W

PL = 12 2 ⋅1 = 144 W

SF = 60 ⋅12 = 720 VA

FP =

432 = 0,6 inductivo o capacitivo ??? 60 ⋅ 12

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Potencia • Ejemplo: Supongamos que un consumidor industrial está usando un motor de inducción de 50 kW (67,1 HP) con un FP atrasado iguala 0,8. La tensión utilizada es de 230 V rms. Para reducir su factura de electricidad, el cliente desea elevar el FP a 0,95 atrasado. Especificar que arreglo o mejora se debe realizar.

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