Clase 5

Concepto de Fasor

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Introducción La Función de Excitación Compleja El Fasor Relaciones Fasoriales para R, L y C Impedancia (admitancia)

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Concepto de Fasor Introducción

• Métodos que se aplican a circuitos resistivos ahora serán aplicables a inductancias y condensadores. • Al especificar amplitud y ángulo de fase de una sinusoidal, ésta queda determinada de forma tan completa como si fuera descrita por una función analítica en el tiempo. • Trabajaremos con fasores, en vez de hacerlo con derivadas e integrales de sinusoidales, para todos los circuitos RLC.

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Concepto de Fasor Introducción

• Transformación matemática para simplificar un problema está presente en muchos problemas de ingeniería: Logaritmos, Laplace, ecuación de circunferencia, etc. • Muy pocas de las transformaciones que se conocen dan la simplificación que se obtiene con el concepto fasor.

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Concepto de Fasor La Función de excitación compleja

• Pensemos en una función de excitación compleja ==> respuesta compleja con parte real e imaginaria.

Vm ⋅ cos( ω ⋅ t + θ)

Circuito cualquiera, pasivo, es decir, sólo RLC

+

N

I m ⋅ cos( ω ⋅ t + φ)

-

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Concepto de Fasor La Función de excitación compleja

• Cambiando la referencia para el tiempo, desplazando la fase de la función de excitación en 90º, se tiene que :

Vm ⋅ cos( ω ⋅ t + θ - 90º ) = Vm ⋅ sen( ω ⋅ t + θ) I m ⋅ cos( ω ⋅ t + φ - 90º ) = I m ⋅ sen( ω ⋅ t + φ)

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Concepto de Fasor La Función de excitación compleja

• Ahora apliquemos una excitación imaginaria a la misma red anterior :

+

N

j ⋅ Vm ⋅ sen( ω ⋅ t + θ)

j ⋅ I m ⋅ sen( ω ⋅ t + φ)

-

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Concepto de Fasor La Función de excitación compleja

• Aplicando superposición para encontrar la respuesta a una excitación compleja de parte real e imaginaria, se tiene que :

Excitación :

Vm ⋅ cos (ω ⋅ t + θ) + j ⋅ Vm ⋅ sen(ω ⋅ t + θ) =

Vm ⋅ e

j(ω⋅t + θ)

j( ω⋅t + φ) Respuesta :

I m ⋅ cos( ω ⋅ t + φ) + j ⋅ I m ⋅ sen( ω ⋅ t + φ) = I m ⋅ e

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Concepto de Fasor La Función de excitación compleja

• Apliquemos una fuente real a un circuito RL y busquemos la R respuesta real i (t) : Vm ⋅ cos( ω ⋅ t )

i (t)

+

L

• Primero se construye la excitación compleja que mediante identidad de Euler lleva a la excitación real dada :

[

cos (ω ⋅ t) = Re e j⋅ ω⋅t

]

La fuente compleja necesaria es :

La respuesta compleja resultante expresada en términos de su amplitud y ángulo de fase será :

Vm ⋅ e j⋅ ω⋅t I m ⋅ e j⋅ ( ω⋅t + φ) 8

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Concepto de Fasor La Función de excitación compleja

• Escribiendo la ecuación diferencial del circuito e insertando las expresiones complejas se tiene que :

R ⋅ I m ⋅ e j⋅ ( ω⋅t + φ) + L ⋅

d (I m ⋅ e j⋅ ( ω⋅t + φ) ) = Vm ⋅ e j⋅ ( ω⋅t ) dt

• Derivando y luego dividiendo por e jωt se obtiene : R ⋅ Im ⋅ e

j⋅ φ

+ j ⋅ ω ⋅ L ⋅ Im ⋅ e

Im ⋅ e

j⋅ φ

j⋅φ

= Vm

Im ⋅ e

j⋅( - tg Vm ⋅e R 2 + ω 2 ⋅L2

=

j⋅ φ

=

Vm R + j⋅ω⋅L

−1 ( ω⋅L )) R 9

Concepto de Fasor La Función de excitación compleja

• Entonces se obtiene i (t) reinsertando e jωt en ambos lados : I m ⋅ cos ( ω ⋅ t + φ) =

Vm −1 ω⋅L ⋅ cos ( ω ⋅ t - tg ( )) R R 2 + ω 2 ⋅L2

Expresión que coincide con la obtenida cuando estudiamos la respuesta a excitación sinusoidal de un circuito RL.

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Concepto de Fasor El Fasor

• Corriente o tensión sinusoidal -a una frecuencia dada- se caracteriza únicamente por 2 parámetros : amplitud y ángulo de fase.

I m ⋅ cos( ω ⋅ t + φ)

I m ⋅ e j⋅ ( ω⋅t + φ)

• Una vez especificado Im y ϕ la corriente está determinada con exactitud. • La representación compleja de toda tensión o corriente contendrá el factor e jωt , superfluo, pues no contiene información útil. 11

Concepto de Fasor El Fasor

• Por lo tanto para el ejemplo anterior :

Vm ⋅ cos( ω ⋅ t) ⇒

Vm j 0º V ⋅ e ⇒ m ⋅ / 0º 2 2

I m ⋅ cos( ω ⋅ t + ϕ ) ⇒

I Im j ϕ ⋅e ⇒ m ⋅ / ϕº 2 2

• Pasos mediante los cuales una tensión o corriente -realsinusoidal se transforma en un fasor: ⎡I ⎤ i(t) = I m ⋅ cos( ω ⋅ t + φ) = Re ⎢ m ⋅ e j⋅(ω⋅t +ϕ ) ⎥ ⎣ 2 ⎦

• Luego, eliminando “Re” y suprimiendo e jωt se obtiene :

I= •

Im j ϕ Im ⋅e = ⋅/ϕ 2 2

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Concepto de Fasor El Fasor

• El fasor no es una función instantánea del tiempo, sólo contiene información de amplitud y fase (dominio de la frecuencia). • Ejemplos :

[

v(t) = 100 ⋅ 2 ⋅ cos (400 ⋅ t - 30º ) = Re 100 ⋅ e j⋅( 400⋅t -30º )

]

suprimiendo Re y e jωt = e j 400 t ==> V = 100 / - 30º •

i(t) = 5 ⋅ 2 ⋅ sen (377 ⋅ t + 150º ) = 5 /60º

luego de escribirla

como coseno, es decir, restando 90º. 13

Concepto de Fasor El Fasor

• Cómo efectuar la transformación inversa para regresar del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo ??? V = 115 / - 45º ⇒ v(t) = 115 ⋅ 2 ⋅ cos (ω ⋅ t - 45º ) •

V = 115 ⋅ 2 ⋅ sen (ω ⋅ t + 45º ) •

• Aplicación al circuito RL en serie :

R ⋅ Im ⋅ e

jϕ

+ j ⋅ ω ⋅ L ⋅ Im ⋅ e

jϕ

= Vm ⇒ R ⋅ I + j ⋅ ω ⋅ L ⋅ I = V •

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ecuación apenas un poco más complicada que la ley de Ohm para una resistencia. 14

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