Clase # 5 Transform Ada Y Anti Transform Ada De Fourier

MEX-33 ITM. MATEMÁTICAS ESPECIALES. CLASE # 12

Docente: Martha Guzmán. Página # 1 de 10.

COMPETENCIA: Manejar los conceptos de TRANSFORMADA Y ANTI-TRANSFORMADA DE FOURIER.. Tema: DEFINICIÓN .DE LAS TRANSFORMADAS Y ANTI-TRANSFORMADAS DE FOURIER.

ANÁLISIS DE FOURIER PARA FUNCIONES A-PERIÓDICAS En clases pasadas trabajamos el concepto de SERIES DE FOURIER, como una representación de funciones periódicas f ( t ), que inicialmente se encuentran en el dominio del tiempo y terminan con una equivalencia c n ( wn ) y ө n( wn ), en el dominio de la frecuencia angular wn. Este concepto se constituye en un poderoso instrumento en el tratamiento de diversos problemas que involucran funciones periódicas en el dominio del tiempo. Sin embargo, muchos problemas prácticos no implican funciones periódicas, si no funciones NO-PERIÓDICAS. Resulta entonces deseable conocer un método de análisis, que también incluya las funciones que no tienen un período en el tiempo, por lo que hoy nos ocuparemos del concepto de TRANSFORMADA DE FOURIER o INTEGRAL DE FOURIER.

TRANSFORMADA DE FOURIER F La función F ( w ) se conoce como la integral de fourier o TRANSFORMADA DE FOURIER para la función f ( t ) que no es necesariamente periódica, y está definida como sigue: +∞

F(w) =

∫

F [ f(t) ] =

f ( t ) ℮ - j w t dt

-∞

Esta integral se utiliza para calcular F ( w ) cuando se conoce la f ( t ) . En general da como resultado un número complejo, que tiene una parte Real R(w) más una parte Imaginaria X ( w ) y puede escribirse como:

F(w) =

R(w) +

F(w) =

/

j

F(w)/ * ℮

X(w) j

ө(w )

; ;

en forma cartesiana. o en forma polar.

Donde: / F(w)/ ө(w )

se conoce como el ESPECTRO DE MAGNITUD de la f ( t ), se conoce como el ESPECTRO DE FASE de la f ( t ).

y

TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER F -1 Análogamente se define una integral que se conoce como la ANTI-TRANSFORMADA DE FOURIER o TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER para la función F ( w ), y está definida como sigue: +∞

f(t) =

F

-1

[ F(w) ]

= ( 1 )

∫

2л

F ( w ) ℮ + j w t dw -∞

Esta integral se utiliza para calcular f ( t ), cuando se conoce la F ( w ).

Este par de integrales para calcular TRANSFORMADAS DE FOURIER.

F ( w )

y

La condición para que exista F ( w ) ,

es que la integral del valor absoluto de

+∞

∫ -∞

/

f(t)

/

dt

<

∞

la

f ( t )

se conocen a menudo

como

f ( t ) debe ser finita:

PAR DE

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INTERPRETACIÓN DE LAS TRANSFORMADAS DE FOURIER Los resultados obtenidos con el PAR DE TRANSFORMADAS DE FOURIER, habla de que cualquier función f dada, tiene dos formas equivalentes de representación: Una en el dominio del tiempo como f ( t ) y otra en el dominio de la frecuencia angular como F ( w ).

•

La integral de la transformada de fourier: F, transforma la función f ( t ) que está en el dominio del tiempo, en su equivalente F ( w ) en el dominio de la frecuencia angular.

•

La integral de la anti -transformada de fourier: F -1, transforma la función F ( w) que está en el dominio de la frecuencia angular, en su equivalente f ( t ) en el dominio del tiempo.

EJEMPLO # 1 DE CÁLCULO DE TRANSFORMADAS DE FOURIER: Encontrar la transformada de fourier para la f ( t ) definida por: f(t) =

f ( t ) = 1 ℮ - at 1

{1

℮0

at

, ,

t > 0 t < 0

}

También podría escribirse :

f ( t ) = 1 ℮ - at * μ ( t )

t

Donde a es una constante: a > 0 SOLUCIÓN: Encontrar la transformada de fourier para una f ( t ), equivalente, en el dominio de la frecuencia angular:

significa encontrar su función F ( w )

+∞

F(w) =

F [ f(t) ] =

∫

f ( t ) ℮ - j w t dt

-∞ 0

=

∫

+∞

0 ℮

-jwt

dt

+

-∞

0

+∞

=

∫

℮

- at

℮ -jwt

dt

0 +∞

=

∫

℮

(-at - jwt )

dt

0 +∞

=

∫ 0

∫

℮-(a

+ jw) t

dt

℮

- at

℮ - j w t dt

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Docente: Martha Guzmán. Página # 3 de 10. +∞

F(w) =

F [ f(t) ] =

=

℮-(a

1 - (a+jw) 1 - (a+jw)

/ 0

{℮

f ( t ) = 1 ℮ - at ,

De la gráfica de la función:

+ jw) t

- ( a + j w ) ( + ∞)

t > 0 ;

℮-(a ℮-(a

- ℮-(a

+ jw) (0)

}

podemos concluír que:

+ j w ) ( + ∞) + jw) (0)

= 0 = 1

Entonces: F(w) =

F [ f(t) ] =

1 - (a+jw)

=

1 . (a+jw)

{

0 - 1

}

=

1 . (a+jw)

En conclusión, para la función en el tiempo f ( t ) representada en la gráfica, su equivalente en el dominio de la frecuencia angular F ( w ) es: F(w)

=

1 . (a+jw)

; Donde a es una constante a > 0.

EJEMPLO # 2 DE CÁLCULO DE TRANSFORMADAS DE FOURIER: Encontrar la transformada de fourier para la f ( t ) definida en el dominio del tiempo por: f(t) V0 =1

f(t) = t

-a/2

a/2

SOLUCIÓN: Encontrar la transformada de fourier para una f ( t ), equivalente, en el dominio de la frecuencia angular:

0,

-∞ < t < (-a/2)

1, (-a/2)< t < (a/2) 0, ( a / 2 ) < t < + ∞

significa encontrar su función F ( w )

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+∞

∫

F [ f(t) ] =

F(w) =

f ( t ) ℮ - j w t dt

-∞ (-a/2)

∫

F(w) =

(+a /2)

0 ℮ - j w t dt

+

-∞

∫

+∞

℮ - j w t dt

1

+

(-a/2)

∫

0 ℮ - j w t dt

(+a/2)

(+a /2)

F(w)

=

∫

℮ -jwt

dt

(-a/2)

(+a /2)

F(w)

=

/

℮ -jwt -jw

=

1 .

(-a/2)

℮ -jw(a/2) - ℮ -jw(-a/2)

}

-jw

F(w)

=

1 . jw

{

℮ -jw(-a/2)

F(w)

=

1 . jw

{

℮

F(w)

=

2 . w

{

Sen ( w a ) 2

F(w)

=

a

{

{

j w (a / 2 )

Sen ( w a ) 2 ( wa) 2

-

-

}

℮ -jw(a/2)

℮ -jw(a/2)

}

}

} .

La siguiente es la gráfica de la función f en el dominio de la frecuencia angular w, obtenida con el procedimiento de la transformada de fourier: F(w) V0 * a

-a/2

a/2

w

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CÁLCULO DE F

y F -1 UTILIZANDO TABLAS

Es posible obtener para una función f ( t ) que está en el dominio del tiempo, su función F ( w ) equivalente en el dominio de la frecuencia angular, y viceversa, sin tener que realizar las integrales de las definiciones. Para lograrlo, se utilizan las llamadas TABLAS DE PARES DE TRANSFORMADAS DE FOURIER , que se consiguen en los libros de Sistemas de Comunicaciones, Ecuaciones Diferenciales y Análisis de Redes. Observe el siguiente ejemplo de tabla de PARES DE TRANSFORMADAS y el uso que se le dá en los siguientes ejemplos:

F -1 [ F ( w ) ] FUNCIÓN

FUNCIÓN f ( t ) = 1 ℮ - at * μ ( t ) 1 Constante cualquiera 1 ℮ - at

a

EJEMPLOS DE CÁLCULO DE F

F(w ) = F 1 . (a+jw) 2л δ(w) a 2л δ(w) 2a . 2 2 a + w

[ f(t) ]

y F -1 UTILIZANDO TABLAS

EJEMPLO # 1: Encuentre la transformada de fourier para la función g ( t ) = 7 SOLUCIÓN: Por definición la transformada de fourier para una función g ( t ) en el dominio del tiempo es: +∞

G(w) =

F [ g(t) ] =

∫

g ( t ) ℮ - j w t dt

-∞

Pero en este caso, no realizaremos la integral, si no que “ leeremos ” el resultado de una tabla entrando por la columna del dominio del tiempo f ( t ): ¿ Cuál es la transformada de fourier de una constante g ( t ) = a cualquiera ? G(w) = F [ g(t) ] Como nuestra: Significa que:

=

a

2л

Según la tabla:

δ(w)

g(t) = 7 a= 7

Entonces en el lugar de las a reemplazamos su valor 7, así: G(w) = F [ g(t) ] G(w) =

7

2л

=

δ(w)

7 =

2л 14 л

δ(w) ; δ(w) =

Y este es el resultado. 43.98 δ ( w )

Que corresponde a una señal impulso en el dominio de la w, con amplitud de 43.98 unidades. EJEMPLO # 2:

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Encuentre la anti-transformada de fourier para la función M ( w ) =

1 . (12 + j w )

SOLUCIÓN Por definición la anti-transformada de fourier para una función M ( w ) en el dominio de la frecuencia angular w es: +∞

m(t) = F

-1

[ M(w) ]

= ( 1 )

∫

2л

-∞

M ( w ) ℮ + j w t dw

Pero en este caso, no realizaremos la integral, si no que “ leeremos ” el resultado de una tabla entrando por la columna del dominio de la frecuencia angular F ( w ): ¿ Cuál es la anti-transformada de fourier de una función de la forma: F ( w ) =

1 ? ( a+jw)

Según la tabla la pareja que corresponde a una F ( w ) de esta forma es: f ( t ) = 1 ℮ - a t * μ ( t ) ; Observe la gráfica de esta función en el ejemplo de la página # 2. Como nuestra:

M(w)

=

1 . ( 12 + j w )

Significa que: a = 12 Entonces en el lugar de las a reemplazamos su valor 12, así: m ( t ) = F -1 [ M ( w ) ]

=

1 ℮ - at

* μ(t)

m ( t ) = 1 ℮ - 12 t * μ ( t ) ; Y este es el resultado. Que corresponde a una señal exponencial en el dominio de la t, con amplitud de 1 unidad, multiplicada por la función escalón unitario en el dominio del tiempo. Observe la gráfica que le corresponde:

m ( t ) = { 1 ℮ - 12 t ,

m ( t ) = 1 ℮ - 12 t

0

,

t > 0 t < 0

1 También podría escribirse :

t

m ( t ) = 1 ℮ - 12 t * μ ( t )

MATLAB PARA CALCULAR F

y F -1

}

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Docente: Martha Guzmán. Página # 7 de 10.

Los siguientes son los comandos que permiten utilizar el software MATLAB para calcular las transformadas y las anti-transformadas de fourier:

EJEMPLO # 1: Encuentre la transformada de fourier para la función g ( t ) = 7 SOLUCIÓN: Para calcular esta transformada observe los comandos: >>syms t w >>G=fourier(sym(‘7’)) G= 14*pi*Dirac(w)

>>pretty(G)

14 pi Dirac ( w ) Considere que para MATLAB:

•

La función Dirac(w) representa la función impulso unitario en el dominio de la frecuencia angular, o sea: δ ( w )

•

El vocablo pi representa la constante:

л = 3.1416……

Entonces la manera correcta de responder o escribir la respuesta es: G(w) = F [ g(t) ]

=

14 л

G(w) = F [ g(t) ]

=

43.98 δ ( w )

δ(w)

Que corresponde a una señal impulso en el dominio de la w, con amplitud de 43.98 unidades.

EJEMPLO # 2: Encuentre la anti-transformada de fourier para la función M ( w ) =

1 . (12 + j w )

SOLUCIÓN Para calcular esta transformada observe los comandos: >>syms t w >>m=ifourier(1/(12+j*w), t) m= exp(-12*t)*Heaviside(t) >>pretty(m) exp (-12 t ) Heaviside ( t ) Considere que para MATLAB:

• •

La función exp(-12*t) representa la exponencial ℮ -12 t en el dominio del tiempo con amplitud igual a 1 unidad. La función Heaviside(t) representa la función escalón μ ( t ) unidad.

Entonces la manera correcta de responder o escribir la respuesta es:

en el dominio del tiempo con amplitud igual a 1

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m ( t ) = F -1 [ M ( w ) ]

Docente: Martha Guzmán. Página # 8 de 10.

1 ℮ - 12 t * μ ( t )

=

Que corresponde a una función exponencial decreciente multiplicada por una función escalón unitario. Observe la gráfica en la página # 6.

ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMADAS F y F -1 PROPIEDAD # 1 : Válida también para la F -1 Si: F [ f(t) ] = F(w) ; y a es una constante cualquiera, entonces:

F [ a * f(t) ] = a *

F(w)

EJEMPLO: g ( t ) = cos ( 6 t ) F [ 38 * g ( t ) ] = ? Como : F [ cos ( 6 t ) ] = л δ ( w - 6 ) + л δ ( w + 6 ) La propiedad # 1 puede aplicarse así: F [ 38 g ( t ) ] = F [ 38 cos ( 6 t ) ] = 38 * [

л δ(w- 6) + л δ(w+ 6)

]

F [ 38 cos ( 6 t ) ] = 38 л δ ( w - 6 ) + 38 л δ ( w + 6 ) F [ 38 cos ( 6 t ) ] = 119.38 δ ( w - 6 )

+

119.38 δ ( w + 6 )

Este es el resultado, y corresponde a la suma de dos señales impulso desplazadas en su dominio w.

• •

La primera señal impulso tiene amplitud 119.38 y un desfase en atraso de 6 unidades en el dominio de la frecuencia angular w. La segunda señal impulso tiene una amplitud de 119.38 y desfase en adelanto de 6 unidades en el dominio de la frecuencia angular w.

PROPIEDAD # 2: Válida también para la F -1 Sean: f ( t ) y g ( t ) dos funciones en el tiempo. Sean: F ( w ) y G ( w ) sus respectivas transformadas de fourier. Y sean a y b dos constantes cualquiera, entonces se cumple que: F [ a * f(t) + b* g(t) ]

=

a * F(w)

+

b * G(w)

EJEMPLO: F [ 13 * μ( t ) + 7 * ℮ j 5 t ] F [ 13 * μ( t ) + 7 * ℮ j 5 t ]

= ? = 13 * F [ μ( t ) ] + 7 * F [ ℮ j 5 t ] = 13 { л δ ( w ) - ( j / w ) } + 7 { 2л δ ( w - 5 ) } = 13 л δ ( w ) - 13 ( j / w ) + 7 * 2л δ ( w - 5 ) = 40.84 δ ( w ) - ( 13 j / w ) + 43.98 δ ( w - 5 )

Este es el resultado y equivale a la suma de tres señales en el dominio de la w.

PROPIEDAD # 3: Propiedad del desplazamiento en el tiempo. Sea:

f ( t ) una función en el tiempo.

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Docente: Martha Guzmán. Página # 9 de 10. F ( w ) su respectiva transformada de fourier. F(w)= F [ f (t) ]

Sea: Y sean: F [

t0 , w0

dos constantes cualquiera, entonces se cumple que:

f ( t - t0 ) ]

=

F(w) *

℮ jw

t

o

EJEMPLO: f (t )

e –3t

=

F(w)=

2* 3 . 32 + w2

=

6 . 9 + w2

Si nos interesa : F [

f ( t - 12 ) ]

=

?

Siguiendo la propiedad entonces: jw F [ f ( t - 12 ) ] = F(w) * ℮ F [ f ( t - 12 ) ] = { 6 . 9 + w2 F [

f ( t - 12 ) ]

6 ℮ j w 12 9 + w2

=

12

} *

.

℮ jw

12

=

6 ℮ j w 12 9 + w2

.

Este es el resultado .

;

PROPIEDAD # 4: Propiedad del desplazamiento en la frecuencia angular. Sea: f ( t ) una función en el tiempo. Sea: F ( w ) su respectiva transformada de fourier. F(w) = F [ f (t) ] Y sean: t0 , w0 dos constantes cualquiera, entonces se cumple que: F [

f ( t ) *

℮

jw

o

t

]

F

=

( w -

wo )

EJEMPLO: f (t )

e –3t

=

F(w)=

2* 3 . 32 + w2

=

6 . 2 9 + w

Si nos interesa: F [

e –3t

*

℮

j 14 t

F [

e –3t

*

℮

j 14 t

F [

e –3t

*

℮

j 14 t

Este es el resultado.

]

=

F

( w -

14 )

]

=

F

( w -

14 ) =

]

=

6 . 2 9 + ( w – 14 )

6 . 9 + ( w – 14 )2

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Docente: Martha Guzmán. Página # 10 de 10.

ORIENTACIÓN PARA SU T.I. ÉSTA SEMANA:

DE 6 HORAS CORRESPONDIENTE A

1. Estudie las notas de clase y el DOCUMENTO DE APOYO de la CLASE # 12 2.

Consulte la definición de FUNCIÓN INVERSA en cualquier libro de CÁLCULO.

3. Repase la definición de número complejo y los procedimientos de suma, resta, multiplicación y división de los números complejos, en cualquier libro de ÁLGEBRA ELEMENTAL.

4. Consulte sobre la definición de valor absoluto de una función. 5.

Repase la definición de la función EXPONENCIAL y sus propiedades, en cualquier libro de CÁLCULO.

6. Fotocopie TABLAS DE PARES DE TRANSFORMADAS DE FOURIER, de cualquier libro de SISTEMAS DE COMUNICACIONES, ECUACIONES DIFERENCIALES o ANÁLISIS DE REDES.

7. Realice el Taller de PROBLEMAS RESUELTOS TPR CLASE # 12,

sobre cálculo de

TRANSFORMADAS Y TRANSFORMADAS INVERSAS de fourier.

8. Realice el Taller sobre PROBLEMAS PROPUESTOS. TPP CLASE #12. Este trabajo debe entregarlo la próxima clase.

BIBLIOGRAFÍA: •

ANÁLISIS DE FOURIER. Hsu Hwei.

•

Cualquier libro de Cálculo para repasar FUNCIÓN INVERSA. Cualquier libro de Cálculo para repasar FUNCIÓN EXPONENCIAL y sus propiedades. Notas de clase y DOCUMENTO DE APOYO a la clase # 5. Help de MATLAB sobre el comando fourier. Help de MATLAB sobre el comando ifourier. Help de MATLAB sobre el comando syms.

• • • • •