Clase # 4 Serie Simplificada De Fourier Y Espectros

MEX-33 ITM. MATEMÁTICAS ESPECIALES. CLASE # 11

Docente: Martha Guzmán. Página # 1 de 8.

COMPETENCIAS: Manejar los conceptos de ESPECTROS DE AMPLITUD Y FASE. Calcular la potencia Asociada con un armónico. Tema: CONSTRUCCIÓN E INTERPRETACIÓN DE ESPECTROS DE AMPLITUD, FASE Y POTENCIA..

FORMA SIMPLIFICADA DE LA SERIE DE FOURIER La serie de fourier para una función periódica f ( t ), puede escribirse de varias formas aparentemente distintas, pero en realidad equivalentes. Una de las cuales es la siguiente, que llamaremos FORMA SIMPLIFICADA, en donde se cumple para todos los valores de n (enteros positivos) que:

{ an Cos (wn t )

bn Sen (wn t ) }

+

cn

=

Cos ( wn t +

өn )

Entonces la serie de fourier puede re-escribirse como: +∞

cn

f ( t ) = a0 + ∑

Cos ( wn t +

n=1

a0

es el mismo de la serie generalizada.

cn

Donde la fórmula para calcular los términos

= ( an 2 + bn2 ) ½ ;

es:

Observe que se requiere conocer los an y los bn. [ Y tiene las mismas unidades de los an y los bn ].

өn son:

Y las fórmulas para calcular los términos

өn

= - tg -1 ( bn ), [ rad ] an

; Se usa siempre que:

өn =

sen -1 ( bn ), [ rad ] cn

;

өn =

cos -1 ( an ), cn

; Se usa

EJEMPLO.

; y se llama serie de fourier simplificada.

______________

Donde el valor del término

cn

өn )

[ rad ]

Se usa sólo cuando:

sólo cuando:

an ≠ 0. an = 0. an = 0.

Dada una señal periódica V ( t ):

V = V(t), Voltios. 10 voltios

t 1

T = 4 seg.

4

5

8

w0 = (л/2) (rad/seg).

seg.

9

Amplitud = 10 voltios.

Y conocida su serie generalizada de fourier: V ( t ) = 2.5 + 3.18 Cos (1.57 t ) + 0 Cos ( 3.14 t ) - 1.06 Cos ( 4.71 t ) + …….. + 3.18 Sen (1.57 t ) + 3.18 Sen ( 3.14 t ) + 1.06 Sen ( 4.71 t ) + ………. Es posible calcular la correspondiente serie simplificada de fourier para la V ( t ), hasta n = 3, 3

V ( t ) = a0 +

∑ n=1

cn

Cos ( wn t +

өn )

______________

así:

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PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LA SERIE SIMPLIFICADA DE FOURIER : 1) Expandir la fórmula para la serie simplificada de FOURIER, hasta el n seleccionado, así: V ( t ) = a0 +

c

1

Cos ( w1 t + ө1 ) +

c

2

Cos ( w2 t +

ө

2

) +

c

3

Cos ( w3 t +

ө

3

) + …

2) Identificar en la serie generalizada, el valor de las frecuencias angulares wn que son necesarias, aquí: w1 , w2 , w3 . w1 = 1.57 ( rad/seg ) w2 = 3.14 ( rad/seg ) w3 = 4.71 ( rad/seg ) 3) Identificar en la serie generalizada, el valor del a0 para utilizar el mismo valor en la serie simplificada:

a0 = 2.5 voltios 4) Identificar en la serie generalizada, los valores de los términos an y bn necesarios para calcular

c

todas las n

así:

a1 = 3.18 voltios. a2 = 0 voltios. a3 = -1.06 voltios.

b1 = 3.18 voltios. b2 = 3.18 voltios. b3 = 1.06 voltios.

5) Calcular los cn utilizando la fórmula:

c c c c c c

cn

= ( an 2 + bn2 ) ½ .

1

= ( a1 2 + b12 ) ½ = ( (3.18) 2 + (3.18)2 ) ½ = ( 10.11 + 10.11 ) ½ = 4.4972 voltios.

1

= 4.4972 voltios.

2

= ( a2 2 + b22 ) ½ = (

2

= 3.18 voltios.

3

= ( a3 2 + b32 ) ½ = ( (-1.06) 2 + (1.06)2 ) ½ = ( 1.12 + 1.12 ) ½ = 1.4991 voltios.

3

= 1.4991 voltios. 6) Calcular los

(0) 2 +

(3.18)2 ) ½ = ( 0 + 10.11 ) ½ = 3.18 voltios.

өn

utilizando la fórmula calculadora en el MODE: RAD.

ө1

= - tg -1 ( b1 ); a1

ө1

= - tg -1 ( 3.18 ) = 3.18

ө1

= - 0.7854 rad.

correspondiente para cada caso, y utilizando la

Se usa por que: a1 = 3.18 ≠ 0. - tg -1 ( 1 ) =

- 0.7854 rad.

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ө2 =

sen -1 ( b2 ) ; c2

ө2 =

sen -1 ( 3.18 ) = sen -1 ( 1 ) = 1.5708 rad. 3.18

ө2 =

1.5708 rad.

a2 = 0.

Se usa por que en este caso:

ө3

= - tg - 1 ( b3 ) ; a3

ө3

= - tg - 1 ( 1.06 ) = - tg - 1.06

ө3

= 0.7854 rad.

Se usa por que: -1

(-1)

=

a3 = - 1.06 ≠ 0. - ( - 0.785 )

= 0.7854 rad.

7) Conocidos todos los valores necesarios, se reemplazan en la EXPANSIÓN de la serie hasta n = 3 escrita en el numeral 1) de este procedimiento:

V ( t ) = a0 +

c

V(t) =

+ +

2.5

1

Cos ( w1 t + ө1 ) +

c

2

Cos ( w2 t +

4.4972 Cos ( 1.57 t - 0.7854) 1.4991 Cos ( 4.71 t + 0.7854 )

ө

2

) +

c

3

Cos ( w3 t +

ө

3

) + …

+ 3.18 Cos ( 3.14 t + 1.5708 ) + …

Podemos decir que esta es la SERIE DE FOURIER SIMPLIFICADA para la función periódica inicial: V ( t ).

Esta es una pobre representación por que se utilizaron pocos armónicos.

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CONSTRUCCIÓN DE ESPECTROS En la clase de hoy trabajamos la definición de SERIE DE FOURIER SIMPLIFICADA, para una señal periódica f ( t ). +∞

f ( t ) = a0 +

cn

∑

Cos ( wn t +

n=1

өn

) .

______________

A continuación aplicaremos esta última serie, a la construcción de gráficas de barras en el dominio de wn, que llamaremos ESPECTROS. Aprenderemos a construir e interpretar espectros llamados de AMPLITUD, de FASE y de POTENCIA. Comencemos por sus definiciones:

ESPECTRO DE AMPLITUD:

cn

Es una gráfica de barras, cuyo dominio es

wn,

y cuyo rango son los términos

de una función periódica f ( t ) que ha sido representada con una serie simplificada de fourier. Mejor dicho, un espectro de

cn ( wn ). O sea: cn función de wn.

amplitud es una gráfica de la función:

c2

cn

( Las mismas unidades de la f ( t ) )

Su dominio se construye solo para valores positivos.

c3 c1

wn ( rad/seg ) w1 w2 w3

ө

Es una gráfica de barras, cuyo dominio es wn, y cuyo rango son los términos n de una función periódica f ( t ) que ha sido representada con una serie simplificada de fourier. Mejor dicho, un espectro de fase es

ESPECTRO DE FASE:

ө

una gráfica de la función:

ө3

ө

n

n

( wn ).

O sea:

өn

función de wn.

( Radianes )

Su dominio se construye solo para valores positivos.

ө1 ө2 w1 w2 w3

wn

( rad / seg )

ESPECTRO DE POTENCIA: Es una gráfica de barras, cuyo dominio es wn, y cuyo rango son los términos ( Pn / 2 ) = ( Cn2 / 2 ), de una función periódica f ( t ) que ha sido representada con una serie simplificada de fourier. Mejor dicho, un espectro de potencia es una gráfica de la función:

Pn ( wn ). 2

Donde ( Donde:

Pn / 2 ):

Es la mitad de la POTENCIA ASOCIADA al armónico número n.

Pn = Cn2 = Potencia total asociada al armónico n de una serie.

Aclaremos algunas definiciones: POTENCIA

=

Pn: Pn

Es la rapidez de cambio de la energía asociada con el armónico n, dada en [ watts ].

= v*i = v*(v) R

=

v 2 [ voltios2 ] R

ohmios

=

v 2 [ Wattios ] R

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Consideremos una señal f ( t ) = V ( t ) que tiene unidades de voltaje, entonces su representación en series de fourier implicará que sus Cn ( amplitudes de los armónicos ), tendrán unidades de voltios. Y consideremos que para todos los análisis la resistencia de comparación será:

R = 1 ohmio.

Podemos re-escribir la fórmula para calcular la potencia así:

= v 2 [ voltios2 ]

Pn

R

=

Cn2 [ voltios2 ]

ohmios

1

= Cn2

[ Wattios ]

ohmios

Pn = Cn2 [ Wattios ] = Potencia asociada con el armónico número n, y se calcula utilizando solamente la amplitud del armónico simplificado número n, Cn. Entonces la mitad de la potencia del armónico n será: ( Pn / 2 ) = ( Cn2/ 2 )

( Pn / 2 ) = ( Cn2 / 2 )

( Wattios )

P1 /2 P3 /2 P2 /2

- w3

- w2

-

wn

w1

w1

w2

( rad / seg )

Su dominio se construye tanto para valores positivos como negativos.

w3

EJEMPLO DE CONSTRUCCIÓN DE ESPECTRO DE AMPLITUD Considere la siguiente señal periódica V ( t ) y Construya su correspondiente espectro de AMPLITUD: V = V (t),

Voltios.

10 voltios

t 1

4

T = 4 seg.

5

w0 = (л/2) (rad/seg).

8

seg.

9

Amplitud = 10 voltios.

Su correspondiente serie de fourier generalizada: V(t) = 2.5 + 3.18 Cos (1.57 t ) + 0 Cos ( 3.14 t ) - 1.06 Cos ( 4.71 t ) + ….. + 3.18 Sen (1.57 t ) + 3.18 Sen ( 3.14 t ) + 1.06 Sen ( 4.71 t ) + ….

Su correspondiente serie de fourier simplificada:

V(t) =

2.5

+ +

4.4972 Cos ( 1.57 t - 0.7854) 1.4991 Cos ( 4.71 t + 0.7854 )

+ 3.18 Cos ( 3.14 t + 1.5708 ) + …

Para construír los ESPECTROS, la serie que resulta útil es ésta última serie simplificada.

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El procedimiento para calcular el espectro de amplitud, es identificar los términos n,

wn

c

y

n

wn

Cn

1 2 3

1.57 3.14 4.71

4.4972 3.18 1.4991

Utilizando estos valores se construye el correspondiene ESPECTRO DE AMPLITUD para

C

n

, así:

n

V ( t ):

[ voltios] Observe que cada “barra” corresponde a la AMPLITUD de uno de los armónicos de la serie simplificada de FOURIER.

4.49 3.18 1.49

wn ( rad/seg ) 1.57 3.14 4.71

Si se presentara el caso contrario al del ejemplo, o sea, que fuera conocido desde el comienzo el ESPECTRO DE AMPLITUD, y se necesitara información sobre la función periódica, es fácil ver que del espectro es posible leer los

Cn y los wn.

Observando el espectro y recordando que: por ejemplo:

¿ Cuanto vale w2 ? ¿ Cuanto vale C2 ?

wn = n w0

podemos leer información directamente de la gráfica,

3.14 ( rad/seg ) 3.18 ( voltios )

EJEMPLO DE CONSTRUCCIÓN DE ESPECTRO DE FASE Para la misma señal del ejemplo anterior, construya el respectivo ESPECTRO DE FASE: El procedimiento para calcular el espectro de FASE, es identificar los términos n,

wn

y

ө

n

, así:

n

wn

ө

1 2 3

1.57 3.14 4.71

- 0.7854 1.5708 0.7854

Utilizando estos valores se construye el correspondiene ESPECTRO DE FASE para

n

V ( t ):

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ө

n

1.5708

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( Radianes )

Observe que cada “barra” representa el ángulo de DESFASE o FASE de uno de los armónicos de la serie simplificada de FOURIER.

0.7854

wn 1.57 3.14 4.71

( rad /

seg )

- 0.7854

Si se presentara el caso contrario al del ejemplo, o sea, que fuera conocido desde el comienzo el ESPECTRO DE FASE, y se necesitara información sobre la función periódica, es fácil ver que del espectro es posible leer los

өn

y los

wn.

Observando el espectro y recordando que: por ejemplo:

¿ Cuanto vale w1 ? ¿ Cuanto vale ө1 ?

wn = n w0

podemos leer información directamente de la gráfica,

1.57 ( rad/seg ) - 0.7854 ( radianes )

EJEMPLO DE CONSTRUCCIÓN DE ESPECTRO DE POTENCIA Para la misma señal del ejemplo anterior, construya el respectivo ESPECTRO DE POTENCIA: El procedimiento para calcular el espectro de POTENCIA,

es identificar los términos n,

wn ,

Cn ,

para

calcular los términos Pn , así: n 1 2 3

wn

Cn

Pn = Cn2

( Pn / 2 )

1.57 3.14 4.71

4.4972 3.18 1.4991

20.2248 10.1124 2.2473

10.1124 5.0562 1.1236

( Pn / 2 ) = ( Cn2/ 2 )

( Wattios )

10.1124 5.0562 1.1236

- 4.71 - 3.14

-

1.57

1.57 3.14

4.71

wn

( rad / seg )

Observe que cada “barra” corresponde a la mitad de la potencia de un armónico de la serie simplificada de FOURIER.

Si se presentara el caso contrario al del ejemplo, o sea, que fuera conocido desde el comienzo el ESPECTRO DE POTENCIA, y se necesitara información sobre la función periódica, es fácil ver que del espectro es posible leer los

Pn / 2 ,

los

wn. y calcular los Pn .

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Observando el espectro y recordando que: por ejemplo:

¿ Cuanto vale w3 ? ¿ Cuanto vale P3 / 2 ? ¿ Cuanto vale P3 ?

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wn = n w0

podemos leer información directamente de la gráfica,

4.71 ( rad/seg ) 1.1236 ( watios ) 1.1236 * 2 ( watios ) =

2.2473 ( watios )

Es posible calcular amplitudes de los armónicos de la serie simplificada, Espectro de Potencia, así: ¿ Cuanto vale C3 ?

Como P3 = C32

viendo solamente el

entonces: ( P3 ) ½ = ( C3 2 ) ½ ( 2.2473 ) ½ = C3 1.4990 = C3

ORIENTACIÓN PARA SU T.I. DE 6 HORAS CORRESPONDIENTE A ÉSTA SEMANA: 1.

Consulte en un libro de cálculo sobre el tema de “Desplazamiento de señales sobre el dominio del tiempo” y enfatice sobre desfases en atraso y adelanto para las funciones trigonométricas seno( t ) y coseno( t ).

2.

Consulte en un libro de ANÁLISIS DE REDES, o de SISTEMAS DE COMUNICACIONES, definiciones de ESPECTROS DE AMPLITUD, FASE Y POTENCIA.

3.

Repase los procedimientos y métodos de integración: por SUSTITUCION, y por PARTES, en cualquier libro de Cálculo. Y busque ayuda con los docentes ASESORES que el ITM ha programado para USTED, en horarios que aparecen publicados en la Decanatura de Ciencias Básicas.

4.

Estudie el DOCUMENTO DE APOYO A LA CLASE # 11 .

5.

Realice el Taller de PROBLEMAS RESUELTOS TPR CLASE # 11, interpretación de ESPECTROS DE AMPLITUD, FASE Y POTENCIA.

6.

Realice el Taller sobre PROBLEMAS PROPUESTOS. TPP CLASE # 11. Puede utilizar las salas: G-305, H-401, H-402, Laboratorio de Física del H primer piso, en los respectivos horarios de Atención a Estudiantes. Este trabajo debe entregarlo la próxima clase.

las

sobre construcción e

BIBLIOGRAFÍA: • •

NOTAS DE CLASE. Documento de apoyo a la clase # 4.

•

Cualquier libro de ANÁLISIS DE REDES para estudiar ejemplos de análisis de Fourier, por ejemplo el de VAN VALKENBURG. ANÁLISIS DE FOURIER. Hsu Hwei.

• • •

Cualquier libro de Cálculo para repasar el tema del DESPLAZAMIENTO DE LA SEÑAL sobre el dominio. Cualquier libro de Cálculo para repasar el tema del ÁNGULO DEL DESFASE en señales seno y coseno.