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Taller de Geometría Ubicándose en el mapa TG31GUI004TGE-A18V1

Taller de Geometría

Tiempo estimado

Sección 1

40 minutos

Experimentando

1

Actividad

Andrés, un piloto de una determinada aerolínea, debe viajar desde Santiago hasta París. Como preparativo de su viaje, comienza a observar los mapas de estas dos ciudades. Las ciudades europeas como París, al formarse espontáneamente, no presentan un patrón regular en su construcción. Sin embargo, en América, los conquistadores fundaron ciudades siguiendo un modelo de cuadrícula, como Santiago. París

En matemática, para describir la posición de un punto en el plano, se utiliza el plano cartesiano. Santiago

El plano cartesiano es un sistema de ejes perpendiculares, intersectados en un punto llamado origen. En esta herramienta es posible describir la posición de puntos a partir de sus coordenadas o pares ordenados. 1.

2

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¿Qué disposición consideras que es más práctica? ¿Por qué?

Ubicándose en el mapa

2.

En la figura, la ruta que debe seguir Andrés está representada por un camino punteado.

París

Santiago



• El camino o ruta que toma Andrés ¿influye en la distancia entre estas ciudades? ¿Por qué?



• El triángulo ACB de la figura simula la distancia entre dos ciudades cualesquiera, A y B, con sus respectivas coordenadas expresadas de manera general. y y2

B

d

y1

A x2 – x1 x1



y2 – y1

C x2

x

• ¿Cómo puedes obtener la fórmula para encontrar la distancia d entre las ciudades A y B? Realiza el procedimiento necesario para obtenerla.

La distancia entre dos puntos se calcula mediante: d = �(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

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3 3

Taller de Geometría

3.

Andrés, para ejemplificar las escalas, cuadricula el mapamundi según las coordenadas de un plano cartesiano, como muestra la figura.

(– 13, – 7) ●



• El próximo destino de Andrés es volar desde Santiago de Chile (– 13, – 7) hasta Ulaanbaatar, cuyas coordenadas son (17, 9). Encuentra en el plano la ciudad de Ulaanbaatar y calcula la distancia entre ambas ciudades.





• A la semana siguiente, Andrés se encontrará en la ciudad de Munich de coordenadas (2, 9), y debe volar hasta la ciudad de Mogadishu, Somalía, ubicada en el punto (8, 1). Encuentra en el plano las ciudades de Munich y Mogadishu y calcula la distancia entre ambas ciudades.

4

Cpech

Ubicándose en el mapa

4.



Según los términos de la aviación, en un plan de vuelo, un punto importante es conocido como “el punto sin retorno”. Este se encuentra justo a la mitad del vuelo o desplazamiento (en condiciones normales de vuelo). Una vez llegando a este punto, si existiese una emergencia la mejor alternativa es continuar hasta el lugar de destino en lugar de regresar al punto de partida.

0

0

• La siguiente figura simplifica el mapamundi y describe únicamente la posición de dos ciudades dentro del plano. y

B

6

A

2

x 2

12

• ¿Cómo se puede determinar el punto sin retorno (punto medio) del vuelo entre las ciudades A y B?



• Si tuvieras que describir la ubicación del punto sin retorno para este par de ciudades y para cualquier otro par, ¿cómo lo describirías?







• En este caso, calcula las coordenadas del punto sin retorno (punto medio) entre las ciudades A y B. El punto medio se puede calcular como el promedio de las abscisas y el promedio de las ordenadas. Sea A(x1, y1), B(x2, y2) y M punto medio: x + x2 y1 + y2 M= 1 , 2 2

(

)

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5 5

Taller de Geometría

“Pendiente del cerro” El plano cartesiano permite simplificar y sistematizar el cálculo de distancias y otros elementos, reemplazando lugares por sus coordenadas. Un uso típico es el que se da en la topografía, técnica utilizada para representar superficies o relieves de un terreno. Es decir, se puede usar para planos horizontales (suelo) o verticales (alturas). Por ejemplo, habrás escuchado expresiones como “ese cerro es muy empinado” o “tiene mucha pendiente”. ¿Cómo describirías el concepto de pendiente?

El cerro San Cristóbal es un centro turístico de Santiago que, entre sus atractivos, cuenta con un funicular, que permite subir el cerro cómodamente mientras se aprecia el paisaje. El siguiente diagrama muestra esquemáticamente el recorrido que se puede realizar en funicular, marcando los puntos de partida (A), estación intermedia (B) y final (C). El punto D indica la base del cerro. Se aprecian también distancias aproximadas del cerro y el funicular.

C

B

A D

6

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200 m

80 m 1000 m

• ¿Qué tienen en común los puntos A, B, C y D?

Ubicándose en el mapa

•

Si recorres desde el punto D hasta el punto C y te preguntan cuánto avanzaste, ¿qué responderías? ¿Por qué?

•

La topografía usa la pendiente para determinar la inclinación de un terreno. En el caso del cerro San Cristóbal, ¿cuál sería su inclinación?

Inclinación de la recta pendiente =

y2 - y1 x2 - x1

Cpech

7 7

Taller de Geometría

Tiempo estimado

Sección 2

30 minutos

practicando

I.

Analiza la siguiente situación y responde: • Ernesto es un granjero y decide implementar un método de siembra mediante un aeroplano. Para ello, despega desde el origen (0, 0) en línea recta hasta alcanzar el punto P de coordenadas (12, 5), en metros, desde el cual comenzará a soltar las semillas.

P

(0, 0)

1.

¿Cuántos metros viajó Ernesto en el aeroplano cuando comienza a lanzar las semillas?

2.

En un segundo vuelo, Ernesto comienza a lanzar las semillas 31 metros sobre P. Calcula la pendiente de la recta que une la nueva posición del avión con el origen del sistema de referencia.



3.

8

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Al dejar caer las semillas desde P, estas caerán verticalmente sobre el punto S(x, 0) hasta el punto R de coordenadas (b, 0). Si S es punto medio entre el origen y R, calcular el valor de b.

Ubicándose en el mapa

II.

Responde las siguientes preguntas, ocupando los pasos o el razonamiento que se detalla en cada una de ellas.

MEDIA

A) B) C) D) E)

1. En el cuadrado ABCD de la figura, el vértice A está en la ubicación (2, – 1) y el vértice D está en (1, 2), ¿cuáles son las coordenadas del vértice C? y

(4, 4) (5, 3) (4, 3) (3, 4) (4, 5)

C D

B

x

Reflexiona

A

Si “encerramos” el cuadrado en otro cuadrado mayor de lados paralelos con los ejes, ¿cómo queda la figura? ¿Qué se puede observar de los triángulos que se forman entre los cuadrados? ¿Cuál es la distancia entre el punto C y los ejes? ¿Existe alguna otra forma de resolver el problema?

2. Sean los puntos A (1,7) y B (-3, 11) y C (m, 0) en el plano cartesiano. ¿Para qué valor de m el triángulo ABC Difícil es isósceles en C? A) B) C) D) E)

– 10 –8 –6 –7 –9

Reflexiona ¿Qué caracteriza a un triángulo isósceles? ¿Cómo se puede determinar la longitud de los lados en el plano cartesiano?, ¿Es necesario verificar cada alternativa?

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9 9

Taller de Geometría

3. Si M(2, 7) es el punto medio entre A(– 1, 4) y B, ¿cuáles son las coordenadas del punto B?

FÁCIL A) B) C) D) E)

(4, 11) (2, 14) (5, 10) (3, 3) (7, 14)

Reflexiona ¿Qué relación existe entre las coordenadas de A, B y M? ¿Es conveniente plantear ecuaciones o resolver gráficamente?

MEDIA

4. El siguiente diagrama representa un canopy, actividad que consiste en desplazarse mediante un cable suspendido entre dos lugares a diferentes alturas. Si el recorrido del canopy va del punto A al punto B de la figura adjunta, ¿cuál es la pendiente del cable del canopy? -3 A) 8 -1 B) 4 C) -4 -8 D) 3 -1 E) 3

A

30 m

B 10 m

Reflexiona

80 m

10

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¿Cómo se determina la pendiente? ¿Cuál es la distancia horizontal del canopy? ¿Qué diferencia de alturas (distancia vertical) tiene el canopy?

Ubicándose en el mapa

Sección 3

sintetizando

Tiempo estimado 10 minutos

Plano cartesiano

y

Es la manera de ordenar el plano, así cada elemento está ubicado dentro de este.

A •

x

Distancia entre 2 puntos d = �(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

Independiente del recorrido que se haga entre dos puntos cualquiera, la distancia entre ellos será siempre la misma.

Punto medio Corresponde al punto que divide la distancia entre dos puntos exactamente en la mitad.

Si A(x1, y1) y B(x2, y2), entonces: M=

(

x1 + y1 x2 + y2 , 2 2

)

Pendiente Corresponde a la razón entre la diferencia de las ordenadas (y) y la diferencia de las abscisas (x).

m=

y2 – y1 x2 – x1

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_____________________________________________________ Han colaborado en esta edición: Directora de Desarrollo Académico e Innovación Institucional Katherine González Terceros Coordinadora PSU Francisca Carrasco Fuenzalida Equipo Editorial Rodrigo Cortés Ramírez Pablo Echeverría Silva Marcelo Gajardo Vargas Andrés Grandón Guzmán Equipo Gráfico y Diagramación Cynthia Ahumada Pérez Daniel Henríquez Fuentes Vania Muñoz Díaz Tania Muñoz Romero Elizabeth Rojas Alarcón Equipo de Corrección Idiomática Paula Santander Aguirre Imágenes Banco Archivo Cpech El grupo Editorial Cpech ha puesto su esfuerzo en obtener los permisos correspondientes para utilizar las distintas obras con copyright que aparecen en esta publicación. En caso de presentarse alguna omisión o error, será enmendado en las siguientes ediciones a través de las inclusiones o correcciones necesarias.

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