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Guía: Función inversa

SEM32GUI025EGR-A18V1

TABLA DE CORRECCIÓN FUNCIÓN INVERSA N° Clave

Habilidad

Dificultad estimada

1

B

Comprensión

Media

2

A

Comprensión

Media

3

E

Comprensión

Media

4

E

Comprensión

Media

5

D

Aplicación

Fácil

6

D

Aplicación

Media

7

C

ASE

Difícil

8

B

ASE

Fácil

9

E

ASE

Media

10

D

ASE

Media

11

E

ASE

Difícil

12

C

ASE

Difícil

13

B

ASE

Media

14

B

Comprensión

Media

15

C

Comprensión

Fácil

16

E

Comprensión

Media

17

C

Aplicación

Media

18

A

Aplicación

Fácil

19

C

Aplicación

Difícil

20

C

Aplicación

Fácil

21

A

Aplicación

Fácil

22

D

ASE

Media

23

A

ASE

Media

24

E

ASE

Media

25

C

ASE

Media

1. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Teoría de funciones Comprensión

La función g(x) = p – px, con p > 1 y 1 ≤ x ≤ 2 es una función de comportamiento lineal decreciente, como indica la figura (la función corresponde solo a la línea continua)

y

p 2 1

x

–p

Luego, las opciones A) 0, 1 y E) 0, p corresponden a intervalos distintos del recorrido de g, la opción C) – 1 , 0 corresponde a un intervalo menor que el recorrido de g (con lo cual no todos los elementos del conjunto de partida tendrían imagen y g no sería función) y la opción D) – p , p corresponde a un intervalo mayor que el recorrido de g (con lo cual no todos los elementos del conjunto de llegada tendrían preimagen y g no sería sobreyectiva). Solo la opción B) – p , 0 representa exactamente el recorrido de g, por lo tanto, debe corresponder al conjunto de llegada para que sea sobreyectiva.

2. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Teoría de funciones Comprensión

Una función se denomina sobreyectiva si su recorrido es igual a su conjunto de llegada, por lo tanto se busca una función cuyo recorrido sea [0, ∞ [: I. II. III.

m = 0 y n ≠ 0, corresponde a una función constante cuyo recorrido es {n}. m > 0 y n = 0, corresponde a una función lineal cuyo recorrido es [0, ∞[. m > 0 y n ≠ 0, corresponde a una función afín cuyo recorrido es [n, ∞[.

Luego solo II cumple con la condición.

3. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad

Teoría de funciones Comprensión

Si f es una función biyectiva, entonces es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Por lo tanto el dominio y el recorrido de la función son, ambos, el conjunto de los números reales. Luego: I)

Verdadera, ya que si f es inyectiva, eso significa que a cada elemento del dominio de f le corresponde un único elemento del recorrido, lo que es equivalente a que todas la rectas paralelas al eje Y se intersectan en un solo punto con la gráfica de f.

II) Verdadero, ya que como f es sobreyectiva, eso significa que el recorrido de f coincide con el conjunto de los números reales, y por lo tanto todas las rectas paralelas al eje de las abscisas intersectan a la gráfica de f en un solo punto. III) Verdadero, ya que si f es biyectiva, entonces tiene inversa. Por lo tanto, I, II y III son afirmaciones verdaderas.

4. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad

Teoría de funciones Comprensión

Una función es biyectiva si y solamente si es inyectiva y sobreyectiva a la vez, es decir que, por un lado, si f (a)  f (b)  a  b , y además debe ocurrir que Re c f : IR . Luego: A) Falsa, ya que f ( x)  x  x 3 no es inyectiva, puesto que f (0)  0  03  0 y f (1)  1  13  0 , y sin embargo 0  1 . B) Falso, ya que f ( x)  log x 2 no está definida para x  0 , por lo tanto su dominio no son todos los números reales. C) Falso, ya que f ( x) 

1 no está definida para x  0 . x

D) Falso, ya que f ( x)  x 2  1 tiene como recorrido solo a los números reales positivos, por lo tant0 no es sobreyectiva.

E) Verdadera, ya que f ( x)  x 3  x es inyectiva, puesto que si

f (a)  f (b)  a 3  a  b3  b  a 3  b3  a  b  0  (a  b)(a 2  ab  b 2  1)  0 , por lo tanto si (a  b)(a 2  ab  b 2  1)  0 , entonces a  b . Y además f ( x)  x 3  x es sobreyectiva, puesto que su recorrido son todos los números reales. Resultando así una función biyectiva.

5. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad I)

Teoría de funciones Aplicación

Es biyectiva, ya que al evaluar todos los elementos del conjunto de partida (IR+) se obtienen todos los elementos del conjunto de llegada (IR+), lo que implica que es sobreyectiva. Además, es creciente en los reales positivos, lo que implica que es inyectiva. Luego, como es sobreyectiva e inyectiva, la función es biyectiva.

II) Es biyectiva, ya que al evaluar todos los elementos del conjunto de partida (IR+) se obtienen todos los elementos del conjunto de llegada (IR+), lo que implica que es sobreyectiva. Además, es creciente en los reales positivos, lo que implica que es inyectiva. Luego, como es sobreyectiva e inyectiva, la función es biyectiva. III) Es biyectiva, ya que al evaluar todos los elementos del conjunto de partida (IR+) se obtienen todos los elementos del conjunto de llegada (IR+), lo que implica que es sobreyectiva. Además, es decreciente en los reales positivos, lo que implica que es inyectiva. Luego, como es sobreyectiva e inyectiva, la función es biyectiva. Por lo tanto, las tres funciones son biyectivas en los reales positivos.

6. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Teoría de funciones Aplicación

Una función se denomina inyectiva si cada elemento del recorrido tiene una sola preimagen, es decir, una función f en los reales es inyectiva si para a ≠ b, entonces f(a) ≠ f(b). En este caso la función f corresponde a una parábola cóncava hacia arriba, de vértice (– 1, – 4) e interceptos con el eje de la abscisas los puntos (– 3, 0) y (1, 0). Luego la parábola es inyectiva por tramos: ] ∞, – 1] y ]– 1, +∞], de los cuales solo el intervalo [1, +∞[ cumple con la condición.

7. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad I)

Teoría de funciones ASE

Verdadera, ya que en el intervalo [– 10, 0], g está representada por una función afín, por lo que en ese tramo cada valor del conjunto de llegada tiene solo una preimagen.

II) Verdadera, pues en el intervalo [0, 4], g está representada por una rama de la parábola asociada a la 2 función cuadrática x  9 x  20 , por lo que cada elemento del conjunto de llegada [0, 20] tiene una preimagen. III) Falsa, ya que en el intervalo [-10, 4] hay valores del conjunto de llegada que tienen dos preimágenes, como por ejemplo g (-7) = g (2) = 6, por ende g no es inyectiva en todo su dominio, por lo que tampoco es biyectiva en todo su dominio. Por lo tanto, son verdaderas solo las afirmaciones I y II.

8. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Teoría de funciones ASE

I)

Falsa, porque el dominio de la función f es [a, b]. Sin embargo, no tenemos información respecto al recorrido ni del conjunto de llegada.

II)

Verdadera, pues dado que f es biyectiva en [a, b], entonces es inyectiva en dicho tramo, por lo que también es inyectiva en cualquier subconjunto de [a, b], en particular es inyectiva ]a, b[.

III)

Falsa, pues no tenemos información si la función es creciente o decreciente, por lo que no podemos afirmar que f(b) > f(a).

Por lo tanto, es verdadera solo la afirmación II.

9. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad

Teoría de funciones ASE

Evaluando los valores de las opciones, se obtiene: f(– 2) = (– 2)³ – 3∙(– 2)² + 2∙(– 2) = – 8 – 3∙4 – 4 = – 8 – 12 – 4 = – 24 f(– 1) = (– 1)³ – 3∙(– 1)² + 2∙(– 1) = – 1 – 3∙1 – 2 = – 1 – 3 – 2 = – 6 f(0) = (0)³ – 3∙(0)² + 2∙(0) = 0 – 0 + 0 = 0 f(1) = (1)³ – 3∙(1)² + 2∙(1) = 1 – 3 + 2 = 0 f(2) = (2)³ – 3∙(2)² + 2∙(2) = 8 – 12 + 4 = 0 Luego, si el conjunto de partida es: A) {– 2, – 1}  f no es función, ya que f(– 2) no está en el conjunto de llegada. B) {– 2, 2}  f no es función, ya que f(– 2) no está en el conjunto de llegada. C) {0, 1}  f es función, pero no es inyectiva, ya que 0 ≠ 1, pero f(0) = f(1). D) {1, 2}  f es función, pero no es inyectiva, ya que 1 ≠ 2, pero f(1) = f(2). E) {– 1, 0}  f es función inyectiva, ya que – 1 ≠ 0 y f(– 1) ≠ f(0).

10. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Teoría de funciones ASE

Al graficar la función en los reales, resulta la figura adjunta. Sin embargo, el conjunto de partida y el conjunto de llegada de g es solo 0, +. Luego, solo se toma en cuenta la porción que se encuentra a la derecha del eje Y.

De la gráfica se puede concluir que la función es inyectiva, ya que a cada elemento del recorrido le corresponde solo una preimagen. Por otro lado, el recorrido de g corresponde al intervalo 1, +, ya que los elementos menores que 1 no tienen preimagen en el conjunto de partida. Es decir, la función no es sobreyectiva, porque el conjunto de llegada no es igual al recorrido. Por lo tanto, es correcto afirmar que g es una función inyectiva, pero no sobreyectiva.

11. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad I)

Teoría de funciones ASE

Verdadera, ya que la parábola alcanza su mínimo en x = – 3, o sea el intervalo  – , – 3 es estrictamente decreciente, que es una condición suficiente para concluir que es inyectiva.

II) Verdadera, ya que f(– 8) = f(2) = 0, y el mínimo valor que toma la función está dentro del intervalo – 8, 2 y es – 25. Luego, el recorrido de f sería – 25, 0 (igual al conjunto de llegada) lo que implica que es sobreyectiva. III) Verdadera, ya que la parábola alcanza su mínimo en x = – 3, o sea el intervalo – 3, +  (y, en consecuencia, en el intervalo 2, +  es estrictamente creciente, que es una condición suficiente para concluir que es inyectiva). Además, f(2) = 0 y cuando x crece hasta el infinito el valor de la función también se acerca al infinito, lo que significa que el recorrido de f sería 0, +  (igual al conjunto de llegada) lo que implica que es sobreyectiva. Luego, f es biyectiva. Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.

12. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Teoría de funciones ASE

En general f : A  B es una función inyectiva si y solo si: f (a)  f (b)  a  b , y es una función sobreyectiva si y solo si: Re c f  B . Luego: I) Falsa, ya que f (0)  03  0  0 y por otro lado f (1)  13  1  0 , y 0  1 II) Falsa, ya que si g : S  S es una función inyectiva no siempre g es sobreyectiva. Por ejemplo la función g : IR  IR , g ( x)  2 x , es una función inyectiva, sin embargo el recorrido de g son solo los reales positivos y por lo tanto Re c g  B . III) Verdadera, ya que si g (a)  g (b) , entonces f ( g (a))  f ( g (b)) , pero como ( f  g ) es una función inyectiva, luego a  b y por lo tanto g es una función inyectiva. Por lo tanto, solo III es una afirmación verdadera.

13. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Teoría de funciones ASE

(1) a es positivo. Con esta información, no se puede afirmar que g es inyectiva en los reales, ya que la inyectividad de las funciones potencia depende de su exponente y no del factor por el cual se multiplica la función. (2) n es impar. Con esta información, se puede afirmar que g es inyectiva en los reales, ya que si el exponente es impar (como en el caso de las funciones cúbicas), la función siempre es inyectiva, independiente del factor que tenga la función. Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.

14. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad

Teoría de funciones Comprensión

Podemos reescribir decir que y = f(x), entonces y = log (x + p) – q y + q = log (x + p)

10 y q  x  p 

(Sumando q) (Aplicando la definición de logaritmo) (Restando p)

10 y q  p  x

(Reemplazando variables)

10 xq  p  y Por ende, f 1 ( x)  10 xq  p

15. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad I)

Teoría de funciones Comprensión

Falsa, ya que el hecho de que dos funciones sean inversas no implica que sean inversos multiplicativos.

II) Falsa, ya que si g es la inversa de f, entonces f(g(x)) = x. III) Verdadera, ya que todo el dominio de f tiene una y solo una imagen (por ser función), y todo su recorrido tiene una y solo una preimagen (por ser biyectiva). Como g es la inversa de f, entonces el dominio de f corresponde al recorrido de g y viceversa, lo que significa que todo el dominio de g también tiene una y solo una preimagen. Luego, g es biyectiva en los reales. Por lo tanto, solo la afirmación III es verdadera.

16. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad

Teoría de funciones Comprensión

Las representaciones gráficas de una función y su inversa siempre son simétricas con respecto a la función identidad, es decir, a la recta y = x (que es una recta que pasa por el origen y es creciente formando un ángulo de 45° con los ejes coordenados) Por lo tanto, la mejor representación gráfica de la inversa de f se encuentra en la opción E, como muestra la figura adjunta.

17. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad 3x x2 3x y x2 y( x  2)  3x

Teoría de funciones Aplicación

h( x ) 

(Multiplicando por (x – 2) ) (Desarrollando el producto)

yx  2 y  3x

(Sumando 2y, restando 3x)

yx  3x  2 y

(Factorizando por x)

x( y  3)  2 y

2y y 3 2x y x3

x

(Dividiendo por (y – 3) ) (Reemplazando variables)

y

x

Luego, h 1 ( x) 

24 8 2x , entonces h 1 (4)   8 43 1 x 3

Por lo tanto, como h(4) 

3  4 12   6 , entonces h 1 (4)  h(4)  8  6  14 42 2

18. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Teoría de funciones Aplicación

La función inversa se determina despejando la variable en términos de la función: 1 x h(x) = 2x h(x)∙2x = 1 – x h(x)∙2x + x = 1 x∙(2∙h(x) + 1) = 1 1 x= 2  h( x )  1 Por lo tanto, la función inversa de h corresponde a la función f ( x) 

1 . 2x  1

19. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Teoría de funciones Aplicación

La función inversa se determina despejando la variable en términos de la función: f(x) = 3x  f (x) x x . Luego, la inversa de f es g(x) = y h(x) = 3x + x 3 3 3 Entonces, si h(m) = 2, se puede plantear 3m +

Por lo tanto, g(m) = g(0,6) =

0,6 = 0,2 3

m 6 10m =2  =2  m= = 0,6 3 10 3

20. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Teoría de funciones Aplicación

Para determinar la inversa de una función biyectiva, se debe despejar x en función de y. Luego, si x3 f(x) = = y, entonces: 2x  1 x – 3 = y∙(2x + 1)  x – 3 = 2xy + y  x – 2xy = y + 3  x∙(1 – 2y) = y + 3 Por lo tanto, al despejar x en función de y resulta x =

y3 x3  f 1 ( x)  . 1  2x 1 2y

21. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Teoría de funciones Aplicación

La función inversa de f se obtiene despejando x en f ( x)  5x  2 y luego intercambiando las variables. f ( x)  7 x  2



7 x  f ( x)  2

(Sumando 2)

f ( x)  2 7 x2  f 1 ( x)  7 

x

Luego, la función inversa de f es f 1 ( x) 

(Dividiendo por 5) (Intercambiando variables) x2 . 7

22. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad

Teoría de funciones ASE

Al despejar x de la función resulta g(x) = ax + b  ax = g(x) – b  x =

1 b  g ( x)  a a

1 b  x  (a es distinto de cero, ya que si fuera cero la función g sería a a constante, lo que implicaría que no sería sobreyectiva en los reales, en consecuencia no sería biyectiva y no tendría inversa).

Luego, la función inversa de g es

Para que g sea igual a su inversa para cualquier valor de x en los reales debe cumplirse que sus 1 1 b b parámetros deben ser iguales, o sea ax + b =  x   a= yb= a a a a La primera condición se cumple solo cuando a es 1 o – 1, y la segunda condición se cumple solo cuando a = – 1 y/o b = 0. Por lo tanto, la restricción que asegura el cumplimiento de ambas condiciones es a = – 1.

23. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad

Teoría de funciones ASE

Para analizar las afirmaciones, se debe determinar la expresión que representa a la función inversa de f.

f ( x)  x 3  27 

x 3  f ( x)  27 

3

x 3  3 f ( x)  27  x  3 f ( x)  27  g ( x)  3 x  27

Luego: I)

Verdadera, ya que g (35)  3 35  27  3 8  2 .

II) Falsa, ya que cuando el índice radical es un número impar positivo, no existen condiciones para la cantidad subradical, por lo que el dominio de g corresponde a todos los reales. III) Falsa, ya que al no tener restricciones para la cantidad subradical, el resultado de una raíz cúbica puede tener valores negativos, por lo que el recorrido de g también corresponde a todos los reales. Por lo tanto, solo I es verdadera.

24. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad

Teoría de funciones ASE

Para determinar la función inversa de f es necesario despejar la variable independiente de la expresión, para luego intercambiar las variables. f ( x) 

3  f ( x)  (5 x  2)  3 5x  2  5 x  f ( x )  2  f ( x)  3

(Multiplicando por (5x – 2)) (Distribuyendo)

 5x  f ( x)  3  2  f ( x)

(Sumando 2·f (x))

3  2  f ( x) 5  f ( x) 3  2x  f 1 ( x)  5x  x

(Dividiendo por 5· f (x)) (Intercambiando variables)

25. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad

Teoría de funciones ASE

Se sabe que f 1 existe si y solamente si f es biyectiva, y a su vez una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Luego: (1) Para todo a, b  A , si f (a)  f (b) , entonces a  b . Con esta información, no se puede determinar que f 1 existe, ya que solo se puede afirmar que la función es inyectiva para todo su dominio, pero no se puede saber si la función es sobreyectiva. (2) Re c f : B . Con esta información, no se puede determinar que f

1

existe, ya que solo se puede

afirmar que la función es sobreyectiva, pero no se puede determinar que sea inyectiva para todo su dominio. Con ambas juntas si se puede determinar que f la vez, por tanto es biyectiva y tiene inversa.

1

existe, ya se sabe que f es inyectiva y sobreyectiva a

Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas, (1) y (2).