Clase 2 Est

ESTADIGRAFOS DE TENDENCIA CENTRAL O DE POSICION

Permiten determinar un valor característico de una distribución de frecuencias ubicado hacia el centro de la distribución.

1. MEDIA ARITMÉTICA n

∑x

1. Datos no agrupados

i

x = i =1 n

2. Datos agrupados en tablas de frecuencias. k

2.1 Discretos

x=

∑x ⋅ f i =1

i

i

n k

2.2 Continuos

x

 y f i 1

i

n

i

PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA 1. Producto de la media por una constante.

M (C ⋅ X i ) = C ⋅ M ( X i ) 2. Suma o diferencia de la media con una constante.

M ( X i + C) = M ( X i ) + C

1. Si X e Y representan 2 variables con igual número de datos, entonces la media de la suma de estas variables es

M ( X i + Yi ) = M ( X i ) + M (Yi ) 4. La suma de las desviaciones del i-ésimo dato con respecto de la media es cero

n

( x − x ) = 0 ∑ i i =1

DESVIACIÓN

2. MEDIANA.

Corresponde al valor de la variable bajo el cual está a lo más el 50% de los datos y sobre el cual está, a lo más, el otro 50%.

1. Datos sin agrupar Conjunto de datos de tamaño n ORDENADOS.

n par

Me =

n impar

x( i ) + x( i +1)

n +1 Posición( Me) = 2

2

x(i ) ; x( i +1)

Datos centrales

2. Datos agrupados en tablas de frecuencias. 2.1 Discretos Se identifica el valor de la frecuencia acumulada

Fi

que

es mayor o igual al 50% de los datos, entonces la Mediana corresponde al valor de la variable:

Me  xi

2.2 Continuos

n  C ⋅  − Fi −1  2   ' Me = L i −1 + fi INTERVALO MEDIANO. Corresponde al intervalo cuya frecuencia acumulada Fi supera inmediatamente a Posición (Me)

L'i 1 : Límite inferior del intervalo mediano. n : tamaño de muestra. Fi-1 : frecuencia acumulada del intervalo anterior al mediano. f i : frecuencia absoluta del intervalo mediano. C : amplitud del intervalo.

CUANTILES. PARTICIONAN LA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DIVIDIÉNDOLA EN 4, 10 ó 100 PARTES IGUALES.

Q2= Mediana = 50%

a) CUARTILES (Q)

Histograma 9 8 7 6 Frecuencia

Dividen a la distribución de frecuencias en cuatro partes iguales.

5 4 3 2 1

Q1:25% Q2:50% Q3:75%

0

Q1

Q2

Q3

n  C ⋅  − Fi −1  4   ' Q1 = L i −1 + fi

b) DECILES (D)

Dividen la distribución de frecuencias en 10 partes iguales

D1=10%, D2=20%,….,D9=90% D5= mediana =50%

 7n  C ⋅  − Fi −1  10  D7 = L'i −1 +  fi

Histograma 9 8 7 Frecuencia

6 5 4 3 2 1 0

D1

D5

D9

C) PERCENTILES (P) DIVIDEN LA DISTRIBUCIÓN EN 100 PARTES IGUALES. ¿Cómo encontrar el intervalo cuantílico?

 n*r  C ⋅ − Fi −1  100   ' Pr = L i −1 + fi n : total de datos.

ES AQUEL CUYA FRECUENCIA ACUMULADA ES INMEDIATAMENTE MAYOR A

n*r 100

L' : límite inferior del intervalo cuantílico. i -1 F : frecuencia acumulada del intervalo anterior al cuantílico. i-1 f : frecuencia absoluta del intervalo cuantílico. i C : amplitud del intervalo. r : orden del percentil.

2. RECORRIDO INTERCUARTÍLICO (Q) ES LA MÁXIMA AMPLITUD ENTRE LOS CUARTILES

Q = Q3 − Q1 3. RANGO DE VARIACIÓN (R) ES LA DIFERENCIA QUE EXISTE ENTRE EL MÁXIMO Y MÍNIMO VALOR DE LA VARIABLE PRESENTE EN UN CONJUNTO DE DATOS.

R = X máx − X mín

GRAFICO DE CAJA EL GRAFICO DE CAJA ES UTILIZADO PARA OBSERVAR LA POSICIÓN RELATIVA DE LOS CUARTILES Y LA PRESENCIA DE VALORES EXTREMOS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS.

GRAFICO DE CAJA (BOX-PLOT) 197,35

PUNTOS ATIPICOS 162,42

127,50 Q3 75%

92,57

57,65

MEDIANA

Q1 25%

3. MODA

El valor de la variable que más se repite en el conjunto de datos Datos agrupados Valor de la variable de mayor frecuencia absoluta. 1.- Discreto

Mo = xi

2.- Continuos

C ⋅ f i +1 Mo = L i −1 + f i −1 + f i +1 '

INTERVALO MODAl. Corresponde al intervalo de mayor frecuencia absoluta fi

L'i −1 : Límite inferior del intervalo modal. f i-1 : frecuencia absoluta anterior al intervalo modal. f i +1 : frecuencia absoluta del intervalo siguiente al modal. C : amplitud del intervalo.

EJEMPLO 1. Obtención e interpretación de las medidas de tendencia central. Para las siguientes tablas de frecuencias obtener media, mediana y moda. Interprete. CASO 1. Tabla de frecuencias para datos de variables discretas

Clase (i) 1

xi

fi

x=

3

2

Me =

2

7

3

3

9

10

4

12

5

Mo =

CASO 2. Tabla de frecuencias para datos de variables continuas

Intervalos

fi

10-20

2

20-30

5

30-40

9

40-50

3

50-60

1

x

=

Me = Mo =