Clase 2 - Control En Matlab

1

CONTROL POR REALIMENTACION DE ESTADOS

1

d=[0]

Problema 1. Caso SISO Considere el siguiente sistema:

 x&1  1 0  x1  1  x&  = 0 2  x  + 1u  2     2  x  y = [1 1] 1   x2  Diseñe un control por realimentación de estados tal que los polos queden ubicados en:

s1 = −2

1

s2 = −3

d= 0 co=ctrb(a,b); rank(co) ans = 2 El sistema es completamente controlable, entonces puedo asignar polos arbitrariamente. pd=[-2,-3] pd = -2

-3

Solución:

k=place(a,b,pd)

Se observa que el sistema es inestable con polos en

place: ndigits= 15 k= -12.0000 20.0000

Regulador

Las constantes de ganancia son:

Lo primero que debe hacerse es verificar si el sistema es completamente controlable.

k1 = −12 k 2 = 20

a=[1,0;0,2]

Se procede a realizar la simulación:

s1 = 1

a= 1 0

s2 = 2

0 2

Step

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

K

y

State-Space

Matrix Gain1

To Workspace

Matrix Gain

b=[1;1]

K

t Clock

To Workspace1

b= 1 11 c=[1,1] c= Area de Automática Ing. Mecatrónica. Jimmy Tombé Andrade

2

A continuación se muestran las variables de estado del sistema controlado y el esfuerzo de control en la grafica siguiente.

0.3 0.2 0.1 0

0.15 -0.1

0.1 0.05

-0.2

Variables de estado 0

-0.3

-0.05 -0.4

-0.1 -0.5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-0.15 -0.2

Con este tipo de simulación debe tenerse en cuenta que la matriz c que se encuentra dentro de State – Space cambia a la matriz identica para que la salida sean las variables de estado, esta salida luego se multiplica por la matriz c real. (Identica del tamaño de a ).

-0.25 -0.3 -0.35

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

7

8

9

10

1

0.8

En la grafica se puede apreciar que el sistema se estabiliza pero presenta un gran error de estado estacionario, por eso se hace necesario diseñar un control para seguimiento de referencia constante.

Esfuerzo de control

0.6

0.4

0.2

0

Pero antes demostremos las ventajas de este control como regulador.

-0.2

-0.4

0

1

2

3

4

5

6

NOTAS ADICIONALES: A continuación se grafican las variables de estado del sistema con y sin control, asi como el esfuerzo de control. 8

2.5

x 10

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

K

y

State-Space

Matrix Gain1

To Workspace

Matrix Gain

2

K

t Clock

To Workspace1

1.5

1

0.5

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Aquí se observan las variables de estado del sistema sin controlar.

Area de Automática Ing. Mecatrónica. Jimmy Tombé Andrade

3

2

kpi=place(aa,ba,pda)

1.5

place: ndigits= 15 kpi = -212.0000 240.0000 40.0000

1

0.5

0

kp=[-212,240]

-0.5

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Aquí se observa claramente que el sistema vuelve al punto de equilibrio. NOTA: Como el sistema carece de entrada es necesario colocar condiciones inciales en el sistema.

kp = -212 240 ki=[40] ki = 40

Seguidor

Las dos primeras columnas corresponden a

Cuando se calcula un seguidor se debe tener en cuenta que dichos calculos deben realizarse con las matrices aumentadas pero las simulaciones se hacen con el sistema normal.

k p = [− 212 240]

 x&   a  z&  = − c   

kp

[0]  x 

0 b u + + 1 r 0   z  0  

ki .

la ultima columna es

ki = [40] t

Clock

1 s Integrator

Step

T o Workspace1

K

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

K

y

Matrix Gain2

State-Space

Matrix Gain1

To Workspace

Matrix Gain K

aa=[a,zeros(2,1);-c,0] aa = 1 0 -1

0 2 -1

0 0 0

1.2 1 0.8 0.6

ba=[b;0] ba = 1 1 0 pda=[-2,-3,-20] pda = -2 -3 -20

0.4 0.2 0 -0.2 -0.4

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Se observa en la grafica que el control estabilza el sistema y que este no presenta error de estado estacionario. Area de Automática Ing. Mecatrónica. Jimmy Tombé Andrade

4

Problema 2. Caso MIMO

co=ctrb(a2,b2); rank(co) ans = 3

 x&1  0 1 0  x1  0 1  x&  = 0 0 1  x  + 0 0  u1   u2   2    2   x&3  6 11 6  x3  1 1  x1  2 2 0    y=   x2  0 4 1 −    x3  Regulador a2=[0,1,0;0,0,1;6,11,6] a2 = 0 1 0 0 6 11

El sistema es completamente controlable, entonces se pueden asignar polos arbitrariamente. Polos deseados:

s1 = −0.78 + 0.4304i s2 = −0.78 − 0.4304i s3 = −7.56 Osea que lo deseado es que el sistema se estabilice. pd2=[-.78+.4304i,-.78-.4304i,-7.56]

0 1 6

eig(a2)

pd2 = -0.7800 + 0.4304i -0.7800 - 0.4304i 7.5600 k2=place(a2,b2,pd2)

ans = -0.7800 + 0.4304i -0.7800 - 0.4304i 7.5600

place: ndigits= 15 k2 = -1.5600 10.7936 7.5600 7.5600 1.0000 0.0000

b2=[0,1;0,0;1,1] t Clock

b2 = 0 0 1

1 0 1

To Workspace1

x' = Ax+Bu y = Cx+Du Step

State-Space

K

y

Matrix Gain1

To Workspace

Matrix Gain K x

c2=[-2,-2,10;0,-4,-8]

To Workspace2

c2 = -2 -2 10 0 -4 -8 El sistema es inestable. Area de Automática Ing. Mecatrónica. Jimmy Tombé Andrade

5

8

ba2=[b2;zeros(2,2)]

6 4 Salida del sistema

ba2 = 0 0 1 0 0

2 0 -2 -4 -6 -8

1 0 1 0 00

-10 -12

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

pda2=[-.78+.4304i,-.78-.4304i,-7.56,-20,20]

3

pda2 = Columns 1 through 4 -0.7800 + 0.4304i -0.7800 - 0.4304i 7.5600 -20.0000 Column 5 -20.0000

2.5 Variables de estado

2

1.5

1

0.5

kpi2=place(aa2,ba2,pda2)

0

-0.5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

5

0

-5 Esfuerzo de control -10

place: ndigits= 15 kpi2 = -15.5433 -22.9398 33.0822 -15.4331 2.3987 21.0626 -10.9090 0.9752 10.6264 17.7870

-15

t Clock

To Workspace1

-20 1 s Integrator

Step

-25

K

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

K

y

Matrix Gain2

State-Space

Matrix Gain1

To Workspace

Matrix Gain

-30

K

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Seguidor

9

10

2

Salida del sistema

1.5

aa2=[a2,zeros(3,2);-c2,zeros(2,2)] aa2 = 0 0 6 2 0

1

0.5

1 0 0 0 0 1 0 0 11 6 0 0 2 -10 0 0 4 8 0 0

0

-0.5

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Area de Automática Ing. Mecatrónica. Jimmy Tombé Andrade

6

0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 Variables de estado -0.6 -0.7 -0.8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

8

9

10

7 6 5 4 3 Esfuerzo de control

2 1 0 -1 -2

0

1

2

3

4

5

6

7

Area de Automática Ing. Mecatrónica. Jimmy Tombé Andrade