Clase 10 Cont

HIPOTESIS PARA COMPARAR DOS POBLACIONES Caso 1. Comparar Medias entre dos poblaciones Supuestos: - Poblaciones Normales - Varianzas conocidas - Muestras independientes

Tipos de hipótesis H 0 : µ1 = µ2  µ1 − µ2  ⇔ H 1 : µ1 ≠ µ2  µ1 − µ2 H 0 : µ1 ≤ µ2  µ1 − µ2  ⇔ H 1 : µ1 > µ2  µ1 − µ2 H 0 : µ1 ≥ µ2  µ1 − µ2  ⇔ H 1 : µ1 < µ2  µ1 − µ2

Estadística para la prueba =0 ≠0 ≤0 >0 ≥0 <0

ZC 

X 1  X 2   1  2    12  22      n1 n2 

: N (0,1)

EJEMPLO Se estudió un grupo de 29 alcohólicos que sufren de hipertensión secundaria para probar la eficacia de un agente antihipertensivo. Se tomó la presión sanguínea a cada uno durante 30 días y a la misma hora, obteniendo los siguientes datos:

Tratados con placebo n1  16

Tratados con el agente

x1  127,1

n2  13 x2  99

 12  579,8

 22  77, 7

Suponiendo normalidad de las poblaciones, que las varianzas en cada grupo se conocen y que las muestras son independientes: ¿Se puede concluir, estadísticamente, que la presión media en los que recibieron placebo es mayor a la de los tratados con el agente?  X 1  X 2   (1  2 )  4.32 H 0 : 1  2   1  2  0 Estadística Z  C 



H1 : 1  2 

Prueba Unilateral



 1  2  0

Valor p = P( Z > 4.32)  0.0000

 12  22  n1 n2

Se acepta la alternativa

Caso 2. Comparar Medias entre dos poblaciones Supuestos:

- Poblaciones Normales - Varianzas desconocidas, pero iguales

SUPUESTO IMPORTANTE

- Muestras independientes

Tipos de hipótesis H 0 : µ1 = µ2  µ1 − µ2  ⇔ H 1 : µ1 ≠ µ2  µ1 − µ2 H 0 : µ1 ≤ µ2  µ1 − µ2  ⇔ H 1 : µ1 > µ2  µ1 − µ2 H 0 : µ1 ≥ µ2  µ1 − µ2  ⇔ H 1 : µ1 < µ2  µ1 − µ2

Estadística para la prueba =0 ≠0

tC 

SP

≤0 >0 ≥0 <0

X 1  X 2   1   2 

SP 

 1 1     n1 n2 

: T( n1  n2  2)

(n1  1) S12  (n2  1) S22 n1  n2  2

EJEMPLO Un grupo de investigadores obtuvo datos acerca de las concentraciones de amilasa en el suero de muestras de individuos sanos y de individuos hospitalizados. Desean saber si es posible concluir que las medias de las poblaciones son distintas. Los datos son mediciones de amilasa en suero de n2  15 individuos sanos, y de n1  22 individuos hospitalizados.

Hospitalizados n1 = 22 Sanos n2 = 15

x1 = 120 unid / ml

s1 = 40 unid / ml

x2 = 96 unid / ml

s2 = 35 unid / ml

SUPUESTOS: Muestras independientes, poblaciones normales y varianzas desconocidas pero iguales. (Se probarán más tarde)

H 0 : 1   2 

Hipótesis bilateral

H1 : 1   2 

Estadística SP 

 1  2  0  1  2  0

 

21(40)  14(35)  1450 21  14 2

2

tC 

120  96   0  1   1    22 15 

1450 

Valor p =  1.88

 2 p (t(35)  1.88)  0.0684

Caso 3. Comparar Medias entre dos poblaciones Supuestos:

- Poblaciones Normales - Varianzas desconocidas - Muestras PAREADAS (dependientes)

Las Poblaciones son X e Y, pero en este caso, se define la población D = X – Y, y se trabaja como si fuera una sola población. Las muestras dan valores xi y yi para cada individuo, pero se transforma en una sola muestra d i = xi − yi de tamaño n

Tipos de hipótesis H 0 : µ1 = µ 2   µ1 − µ 2 = 0   µ D = 0 ⇔ ⇔  H1 : µ1 ≠ µ 2   µ1 − µ 2 ≠ 0  µ D ≠ 0 H 0 : µ1 ≤ µ 2   µ D ≤ 0  ⇔  H 1 : µ1 > µ 2   µ D > 0  H 0 : µ1 ≥ µ 2   µ D ≥ 0  ⇔  H 1 : µ1 < µ 2   µ D < 0 

Estadística para la prueba

tC

d     D

sd

n

: t( n 1)

EJEMPLO Doce individuos participaron en un experimento para estudiar la efectividad de cierta dieta, combinada con un programa de ejercicios, para la reducción de los niveles de colesterol en suero. En la siguiente tabla se encuentran los niveles de colesterol antes y después del programa. ¿Proporcionan los datos suficiente evidencia para concluir que el programa de ejercicios y dieta es efectivo? Individuos

6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Colesterol antes

X1

201

231

221

260

228

237

326

235

240

267

284

201

Colesterol después

X2

200

236

216

233

224

216

296

195

207

247

210

209

Diferencia: antes - después

di

1

-5

5

27

4

21

30

40

33

20

74

-8

Hipótesis

H 0 : 1   2  H1 : 1   2 

La estadística

 1   2  0   D  0      1   2  0   D  0

 

tC 

(20.17  0) 12 535.06

d  20.17

y sd  535.06

 3.02

valor p  P (t11  3.02)  0.0058

Se rechaza Ho y se acepta la disminución del colesterol.

Caso 3. Comparar Proporciones entre dos poblaciones Supuestos: - Poblaciones Bernoulli - Muestras independientes de tamaños mayores o iguales a 30

Tipos de hipótesis

Estadística para la prueba

H 0 : p1  p2 

pˆ1  pˆ 2  ( p1  p2 ) ZC  : N (0,1) 1 1 p q( n1  n2 )

 p1  p2  0     p  p  0 H1 : p1  p2   1 2  H 0 : p1  p2   p1  p2  0     p  p  0 H1 : p1  p2   1 2  H 0 : p1  p2   p1  p2  0     H1 : p1  p2   p1  p2  0 

n1 pˆ1  n2 pˆ 2 donde p  n1  n2

EJEMPLO En un estudio para comparar un nuevo tratamiento para la migraña con el tratamiento habitual, 78 de los 100 individuos que recibieron el tratamiento habitual, respondieron favorablemente. De los 100 individuos que recibieron el nuevo tratamiento, 90 respondieron favorablemente.¿Proporcionan los datos evidencia suficiente para afirmar que el nuevo tratamiento es más efectivo?

pˆ1 

78  0.78 100

Hipótesis

Estadística

Valor p Decisión

pˆ 2 

90 100 0,78  100 0,90  0.90  pˆ   0,84 100 100  100

H 0 : p1  p2 

 p1  p2  0   H1 : p1  p2   p1  p2  0

ZC 

0, 78  0,90  2,32 1 1 0,84 0,16( 100  100 )

p ( Z  2,32)  0, 01 Rechazar Ho y aceptar que el nuevo tratamiento es más efectivo

Caso 4. Comparar Varianzas entre dos poblaciones Supuestos: Poblaciones Normales Tipos de Hipótesis   12  2  2

H 0 :  12   22  H1 : 

2 1





2 2





   

  12 

H 0 :  12   22  H1 : 

2 1



2  2

 

2 2

2  1



H 0 :  12   22  H1 :  12

2 1 2 2

  22 

  12

2  2  2 2    2   1   22

Estadística para la prueba   1    1    1    1    1    1 

S22  12 FC  2  2 : F( n2 1, n1 1) S1  2  22 Si H 0 : 2  1 , la estadística será 1

S12  22 FC  2  2 : F( n1 1, n2 1) S2  1

EJEMPLO Se comparó la eficacia de dos analgésicos con base en el tiempo transcurrido desde su administración hasta el momento del cese del dolor. Treinta pacientes recibieron el medicamento 1, y otros 13 el medicamento 2. Las 2 2 varianzas de las muestras son s1  64 y s2  16. Probar la hipótesis que las varianzas de los tiempos de las dos poblaciones son iguales. HIPOTESIS

H 0 :  12   22 

 

H1 :     2 1

2 2

  12   2 1  2 2  1  1   22

Estadística

S 22  12 16 FC  2  2  1  0, 25 S1  2 64

Valor p

2 P( F(12,29)  0, 25)  0,0144

Decisión

Rechazar la igualdad de varianzas

PRUEBAS CHI- CUADRADO 1.- PRUEBA PARA LA BONDAD DE UN AJUSTE Se utiliza para decidir si existe incompatibilidad entre la distribución de frecuencias observadas en una muestra y alguna distribución propuesta en la hipótesis para la población. La hipótesis más utilizada es la de suponer que la población de la que se extrae la muestra se distribuye normal.

HIPOTESIS

H 0 : La población es normal H1 : La población no es normal

Estadística para la prueba

oi  ei   2 C   :  (2k  s 1) ei i 1 k

2

Donde: k = Nº de intervalos de clasificación de los datos

oi

= frecuencia observada del intervalo i-ésimo

ei

= frecuencia esperada si la población fuera normal

v  p  p(  (2k  s 1)   C2 )

EJEMPLO La siguiente tabla muestra la distribución de las mediciones de ácido úrico en 250 pacientes. Pruebe la hipótesis de que la muestra proviene de una población normal, con

  5, 74 y   2, 01

Hipótesis

H0 : H1 :

.

LA POBLACIÓN ES NORMAL LA POBLACION NO ES NORMAL

Estadística

% esperado de

k

Determinación

Frecuencia

pacientes bajo

Frecuencia

de ácido úrico

Observada

Ho: Normalidad

Esperada

(Oi -ei)^2/ei

menor a 1

1

0,92

2,3

0,734782609

1 - 1.99

5

2,22

5,55

0,054504505

2 - 2.99

15

5,5

13,75

0,113636364

3 - 3.99

24

10,7

26,75

0,28271028

4 - 4.99

43

16,3

40,75

0,124233129

5 - 5.99

50

19,5

48,75

0,032051282

6 - 6.99

45

18,32

45,8

0,013973799

7 - 7.99

30

13,5

33,75

0,416666667

8 - 8.99

22

7,8

19,5

0,320512821

9 - 9.99

10

3,54

8,85

0,149435028

5

1,7

4,25

0,132352941

10 o más

250

250

C2

=2,37485

 C2 

 (o  e ) i 1

i

ei

i

2

:  (2k 1)

Valor p: 2 P (  (10)  2, 3748)  0, 99

No se rechaza Ho

2.- PRUEBA DE INDEPENDENCIA

Se utiliza para probar independencia entre dos criterios de clasificación. Por ejemplo, “El tabaco produce cáncer”

H 0 : Los criterios de clasificación son independientes H1 : Los criterios son dependientes

HIPOTESIS

Las frecuencias Oij son las observadas de los datos

Y

Y1

Y2

X1

O11

O12

f1

X2

O21

O22

f2

c2

n total f c f c datos eij  i  j n  i j

X

Total

c1

Total

Se comparan con las frecuencias eij que deberían haber en cada celda si la hipótesis nula fuera verdadera, es decir, si X e Y fueran independientes.

H 0  p ( X  Xi  Y  Yj )  p ( X  Xi ) p (Y  Yj ) luego la frecuencia esperada bajo H 0 es : n

Estadística para la prueba

n

n

   2 C

j

i

o

ij

 eij  eij

2

:  (2c 1)( f 1)

EJEMPLO Se quiere investigar si existe alguna relación entre el estado nutricional y el desempeño académico de los niños de primaria. Se tomó una muestra de 500 niños de la población clasificándolos en la siguiente tabla:

DESEMPEÑO ACADEMICO

Las frecuencias esperadas en cada celda bajo Ho de independencia son:

ESTADO NUTRICIONAL Malo

Bueno total

Malo

105

15

120

Satisfactorio

80

300

380

Total

185

315

500

Malo Malo Satisfactorio

Bueno

120 185  44.4 500

140.6

75.6 239.4

H 0 : Desempeño académico independiente del Estado Nutricional H1 : Desempeño académico depende del Estado Nutricional

La estadística para la (105  44.4) 2 (15  75.6) 2 (80  140.6) 2 (300  239.4) 2 prueba: 2       172.74 C

El valor p es :

44.4

75.6

140.6

2 p(  (1)  172, 74)  0.0000

239.4

Rechazar Independencia

Salida del Statistica 2 x 2 Table (Spreadsheet1) Column 1 Column 2 Row Totals Frequencies, row 1 105 15 120 Percent of total 21,000% 3,000% 24,000% Frequencies, row 2 80 300 380 Percent of total 16,000% 60,000% 76,000% Column totals 185 315 500 Percent of total 37,000% 63,000% Chi-square (df=1) 172,75 p=0,0000 V-square (df=1) 172,40 p=0,0000 Yates corrected Chi-square 169,91 p=0,0000 Phi-square ,34549 Fisher exact p, one-tailed p=0,0000 two-tailed p= ,0000 McNemar Chi-square (A/D) 92,93 p=0,0000 Chi-square (B/C) 43,12 p= ,0000

Valor p

3.- PRUEBA CHI-CUADRADO DE HOMOGENEIDAD La hipótesis Nula de esta prueba, plantea que dos muestras extraídas independientemente, provienen de dos poblaciones homogéneas con respecto a algún criterio de clasificación. Se diferencia de la Prueba de independencia, porque en esta prueba se fijan los tamaños de muestra de cada población. Hipótesis

Categorias de respuestas

GRUPO 1

GRUPO 2

TOTAL

1

O11

O12

O1g

2

O21

O22

O2 g

3

O31

O32

O3g

TOTAL

Fijos

Og1

Og2

n

H0 : H1 :

Las muestras provienen de la misma población. Las proporciones son las mismas Las poblaciones son distintas

La estadística es la misma de la Chi-cuadrado de independencia

Para el caso de dos muestras y dos categorías de respuestas, es un método alternativo para probar la igualdad de proporciones entre dos poblaciones

EJEMPLO Una muestra de 150 portadores crónicos de cierto antígeno, y una muestra de 500 no portadores, revelaron la siguiente distribución de grupos sanguíneos. GRUPO Sanguíneo

Hipótesis Nula: La distribución de grupos sanguíneos, es la misma en portadores y no portadores.

Portadores

No Portadores

Total

0

72

230

302

A

54

192

246

B

16

63

79

AB

8

15

23

La hipótesis es distinta.

150

500

650

La estadística es la misma.

Total ˆ ( grupo 0)  p

302  0, 4646 650

Hipótesis Alternativa: Las distribuciones difieren

Se diferencia con el caso de independencia, porque aquí no se eligen al azar los 650 individuos.

 frecuencia esperada en portadores  0, 4646 150  69, 7 frecuencia esperada en no portadores  0, 4646 500  232, 3

ˆ ( grupo A)  p

246  0, 3784 650

 frec. esp. en portadores  0, 3784 150  56.8 frec. esp. en no portadores  0, 3784 500  189.2

Se puede observar que las frecuencias esperadas de cada celda, bajo la hipótesis de igualdad de proporciones en las dos poblaciones, se calculan igual que en el caso de independencia, es decir, como el producto de los totales por fila y columna, dividido por el total de datos

RIESGO RELATIVO Medida de asociación que se usa frecuentemente en estudios epidemiológicos. Se define como el cuociente entre las probabilidad de enfermar de un individuo expuesto a un factor de riesgo y la probabilidad de enfermar de un individuo no expuesto al factor. EXPUESTO

NO EXPUESTO

ENFERMA

A

B

NO ENFERMA

C

D

A RR  A  C B BD

El RR no tiene dimensiones Rango de 0 a infinito Si RR = 1 no hay asociación entre la presencia del factor y el evento Si RR > 1 la presencia del factor se asocia una mayor ocurrencia del evento y si RR < 1 la asociación es negativa

RIESGO RELATIVO . placebo

tratamiento

enfermos

420

307

No enfermos

2634

2744

3054

3051

307 = 0.73 RR = 3051 420 3054 El tratamiento se asocia con una menor ocurrencia de enfermos

TABLAS DE CONTINGENCIA DE 2X2 Indice de Disparidad u Odd’s Ratio Si se tienen dos variables aleatorias que representan una enfermedad y la otra la exposición a ella, el índice de disparidad se define como: “La probabilidad en favor de la enfermedad entre los individuos expuestos, dividida por la probabilidad en favor de la enfermedad entre los no expuestos”

OR =

P (enfermedad / exp uesto) /[1 − P (enfermedad / exp uesto)] P (enfermedad / no exp uesto) /[1 − P (enfermedad / no exp uesto)]

Una muestra de n individuos se ordenan en una tabla de contingencia de 2x2

No expuesto

Expuesto Enferman No enferman

A C

B D

Total

A+C

B+D

Total A+B C+D

ODDS RATIO El cuociente entre la probabilidad de que un evento ocurra y la probabilidad de que no ocurra, se llama Odds o Chance. Si un evento ocurre con probabilidad p, entonces la razón p/q es la odds. Un Odds indica cuánto más probable es la ocurrencia del evento que su no ocurrencia. El Odds Ratio (OR) , se define como el cuociente entre el odds en el grupo expuesto al factor de riesgo y el odds en el grupo sin el factor. EXPUESTOS

NO EXPUESTOS

ENFERMAN

A

B

A+B

NO ENFERMAN

C

D

C+D

A+C

B+D

Si p1 es el odds de los expuestos y p2 el odds de los no expuestos, entonces la razón de los odds u Odds Ratio, se define por:

p1 OR =

p2

q1 q2

=

p1q2 A ⋅D = p2 q1 B ⋅C

Observaciones: - Si el OR = 1, no hay asociación entre el factor de riesgo y la enfermedad - Si OR > 1 , indica que la presencia del factor aumenta la ocurrencia de la enfermedad, si OR < 1 la asociación es negativa - El OR se puede estimar siempre y en la misma forma, el RR no se puede en los caso-control. - El OR está siempre más alejado del 1 que el RR

EJEMPLO CÁNCER

NO CANCER

EXPUESTO A RADIACION

45

15

NO EXPUESTO

18

27

El OR =

45 ⋅ 27 = 4.5 18 ⋅15

Esto se interpreta como: la posibilidad de contraer cáncer, es 4.5 veces mayor en un individuo expuesto a la radiación que frente a uno no expuesto.