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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO-PROF. FRANCISCO J ARAUJO R Número Primo: Todo número que es sólo divisible por sí mismo y por la unidad. Ejemplos: 2, 3, 5, 7, 11,13, 97. Número Compuesto: Todo número que además de ser divisible por sí mismo y por la unidad, lo es también por otro número. Ejemplos: 14, 21, 25, 32. Múltiplo: El múltiplo de un número es el número que contiene a éste un número exacto de veces. Ejemplo: El número 14 es múltiplo de 2 porque 14 contiene a 2 siete veces. Divisor: El divisor de un número es el número que está contenido en el primero un número exacto de veces. Ejemplo: 5 es divisor de 20 ya que 20 puede dividirse en 4 veces 5. Caracteres de Divisibilidad: Son ciertas características de los números que nos permiten conocer, por simple inspección, si un número es divisible por otro.

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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO-PROF. FRANCISCO J ARAUJO R CRITERIOS DE DIVIVISIBILIDAD DIVISIBILIDAD POR 2. TEOREMA: Un número es divisible por 2 cuando termina en cero o cifra par. Ejemplos: 1) Que el número termine en cero: Algunos ejemplos serían: 10, 30, 590. 10 ÷ 2=5

30 ÷ 2=15

590 ÷ 2=295

2) Que el número termine en cifra par: Algunos ejemplos serían: 4, 586, 342. 4 ÷ 2=2

586 ÷ 2=293

342 ÷ 2=171

DIVISIBILIDAD POR 3.

TEOREMA: Un número es divisible por 3 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es tres o múltiplo de tres. Ejemplos: 1) Sea el número

48, el mismo es divisible por 3, pues: 4+8=12 y 12 es

múltiplo de 3; 48 ÷ 3=12. 2) Sea el número 4275, el mismo es divisible por 3, pues: 4+2+7+5=18 y 18 es múltiplo de 3; 4275 ÷ 3=1225.

DIVISIBILIDAD POR 5. TEOREMA: Un número es divisible por 5 cuando termina en cero o cinco. Ejemplos: 1) Que el número termine en cero: Algunos ejemplos serían: 10, 30, 590. 10 ÷ 5=2

30 ÷ 5=6

590 ÷ 5=118

2) Que el número termine en cinco: Algunos ejemplos serían: 75, 1225, 525. 75 ÷ 5=25

1225 ÷ 5=245

525 ÷ 5=105

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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO-PROF. FRANCISCO J ARAUJO R

TABLA DE NÚMEROS PRIMOS DESDE EL 1 HASTA EL 150 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141

2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112 122 132 142

3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 113 123 133 143

4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 104 114 124 134 144

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 125 135 145

6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 106 116 126 136 146

7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 107 117 127 137 147

8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 108 118 128 138 148

9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 109 119 129 139 149

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

En la tabla anterior los espacios que no están marcados con color amarillo, corresponden a los números primos que existen entre 1 y 150.

DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS REGLA PRÁCTICA PARA DESCOMPONER UN NÚMERO COMPUESTO EN SUS FACTORES PRIMOS: Se divide el número dado por el menor de sus divisores primos; el cociente se divide también por el menor de sus divisores primos y así sucesivamente con los demás cocientes, hasta hallar un cociente primo, que se dividirá por si mismo. Ejemplo: Descomponer 30 Y 45 en sus factores primos. Solución:

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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO-PROF. FRANCISCO J ARAUJO R MÁXIMO COMÚN DIVISOR. CONCEPTOS: DIVISOR COMÚN: Varios números tienen un divisor común cuando todos ellos son divisibles por dicho número MÁXIMO COMÚN DIVISOR: Llámese máximo común divisor de dos o más números al mayor de los divisores comunes a dichos números. El máximo común divisor de varios números se representa abreviadamente con las siguientes letras: m.c.d Ejemplo: 1) 18 y 24 son divisibles por 2, pero también por 3 y 6. ¿Hay algún número mayor que 6 que divida exactamente a 18 y a 24? No, por lo tanto 6 es el m.c.d de 18 y 24

1) MÁXIMO COMÚN DIVISOR POR EL METODO DE DIVISIONES SUCESIVAS. (CONSULTAR ARITMÉTICA TEORÍA Y PRACTICA DE A.BALDOR EN LA PÁGINA 211 DE LA EDICIÓN 1989.

2) MÁXIMO

COMÚN

DIVISOR

POR

DESCOMPOSICIÓN

EN

FACTORES PRIMOS.

Teorema: El m.c.d de dos o más números descompuestos en sus factores primos es igual al producto de los factores primos comunes elevados a su menor exponente.

Regla práctica para hallar el m.c.d de más de dos números por descomposición en factores primos: 1) Se descomponen los números en factores primos. 2) Se toman factores comunes comunes elevados a su menor exponente. 3) Se multiplican esos factores para obtener el m.c.d

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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO-PROF. FRANCISCO J ARAUJO R

EJERCICIO DE APLICACIÓN CON MÁXIMO COMÚN DIVISOR. 1) Un carpintero quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm de ancho, en cuadrados lo más grandes posibles. a) ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado?

SOLUCIÓN: La longitud del lado del cuadrado tiene que ser un divisor de 256 y 96, y además debe ser el mayor divisor común, por lo tanto tenemos que proceder a calcular el m.c.d de 256 y 96. Descomponemos 256 y 96 en sus factores primos.

Tenemos entonces: 256=26 96=25 x 3

Por lo tanto: m.c.d. (256, 96)=25 =32 a) Las longitudes de los lados del cuadrado deben ser de 32 cm.

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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO-PROF. FRANCISCO J ARAUJO R MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO.

CONCEPTOS: MÚLTIPLO COMÚN: El múltiplo común de dos o más números es todo número que contiene exactamente a cada uno de ellos. Ejemplo: 1) 40 es múltiplo común de 20 y 8 porque 40 contiene a 20 dos veces y a 8 cinco veces. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO: La serie

de los múltiplos comunes de los

números es ilimitada; pues bien, llámese mínimo común múltiplo de dos o más números al menor de los múltiplos comunes a dichos números. El mínimo común múltiplo de varios números se representa abreviadamente con las letras siguientes: m.c.m.

Ejemplo: 1) 18 y 2 contiene exactamente a 9 y a 6; 18 también contiene exactamente a 9 y a 6. ¿Hay algún número menor que 18 que contenga exactamente a 9 y a 6? No, por lo tanto 18 es el m.c.m de 9 y 6 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO POR EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR.

CASO N°1: Para dos números. Teorema: El m.c.m de dos números es igual a su producto dividido por su m.c.d. Regla práctica para hallar el m.c.m de dos números por el m.c.d Se multiplican los números dados y se divide el resultado de este producto por el m.c.d de ambos. El cociente será el m.c.m. Ejemplo: Hallar el m.c.m de 84 y 120. Solución: Del ejemplo realizado en la sección de m.c.d sabemos que m.c.d de 84 y 120 es 12, aplicando la regla práctica tenemos que:

m.c.m =

84 x120 = 840 12

Por lo tanto m.c.m de 84 y 120 es 840

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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO-PROF. FRANCISCO J ARAUJO R CASO N°2: Para más dos números.

Teorema: El m.c.m de varios números no se altera porque se sustituyan dos de ellos por su m.c.m

Regla práctica para hallar el m.c.m de más de dos números por el m.c.d

Se halla primero el m.c.m de dos de ellos, luego el de otro de los números dados y m.c.m. hallado, después el de otro de los números dados y el segundo m.c.m hallado y así sucesivamente hasta el último número. El último m.c.m hallado será el m.c.m de todos los números dados. Si alguno de los números dados es divisor de otro, puede suprimirse al hallar el m.c.m. La operación con los restantes se debe empezar por los mayores, así se termina más rápido.

Ejemplo: Hallar el m.c.m de 400, 360, 180, 54, 18.

Solución: Como 18 es divisor de 54, 180 y 360, prescindimos de ambos nos quedamos con 400, 360 y 54. Hallemos el m.c.m de 400 y 360, para ello primero encontramos que m.c.d de 400 y 360 es 40, aplicando la regla práctica tenemos que:

m.c.m =

400 x360 = 3600 40

Ahora procedemos a encontrar el m.c.m de 3600 y 54, encontramos que m.c.d de 3600 y 54 es 18, aplicando la regla práctica tenemos que:

m.c.m =

3600 x54 = 10800 18

Por lo tanto m.c.m de 400, 360, 180, 54 y 18 es 10800. ←

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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO-PROF. FRANCISCO J ARAUJO R MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS

Teorema: El m.c.m de dos o más números descompuestos en sus factores primos es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes elevados a su mayor exponente.

Regla práctica para hallar el m.c.m de más de dos números por descomposición en factores primos: 1) Se descomponen los números en factores primos. 2) Se toman factores comunes y no comunes elevados a su mayor exponente. 3) Se multiplican esos factores para obtener el m.c.m.

EJERCICIO DE APLICACIÓN CON MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO.

1) Un viajero va a Mérida cada 18 días, otro va cada 15 días y un tercero va cada 8 días. Hoy 21 de Septiembre del año 2006 los tres viajeros han coincidido en Mérida. ¿Dentro de cuantos días volverán a coincidir los viajeros en la ciudad de Mérida? Solución: El numero de días que han de transcurrir, como mínimo para que los tres viajeros vuelvan a coincidir en Mérida tiene que ser un múltiplo de 18, 15, y 8, y

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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO-PROF. FRANCISCO J ARAUJO R además tiene que ser múltiplo común, por lo tanto tenemos que proceder a calcular el m.c.m. Descomponemos 18, 15, y 8 en sus factores primos.

Tenemos entonces:

18=2 x 32 15=3 x 5 8= 23 Por lo tanto: m.c.m. (18, 15, 8)=23 x 32 x 5=360 Los tres viajeros volverán a coincidir en Mérida dentro de 360 días

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