Circutio-de-tercer-orden.docx

DISEÑO E IMPLEMENTACION DE CONTROLADOR POR REALIMENTACION DE ESTADOS CON OBSERVADOR. Nombres:

Objetivo: Diseñar un controlador por realimentación de estados, ya sea de segundo orden o tercer orden. Introducción: El controlador por retroalimentación de estados con observadores forma parte de las técnicas de control moderno en el cual se analiza los sistemas en el dominio del tiempo usando una representación en variables de estados, para este tipo de controlador por realimentación de estados es necesario el conocimiento de lo estados del sistema, cuyo objetivo principal es estimar el vector de estados completo o únicamente los estados que no están disponibles para su medición. Marco teórico: Concepto de estado: La teoría moderna de control se basa en la representación matemática de los sistemas dinámicos por medio del concepto de estado, en contraposición con la teórica clásica de control que utiliza únicamente la relación entre su entrada y su salida. Se puede definir como estado de un sistema como la mínima cantidad de información necesaria en un instante para que conociendo la entrada a partir de ese instante se puede determinar cualquier variable del sistema en cualquier instante posterior. Espacio de estado: Se define como el espacio vectorial en el cual el vector de estado toma valores teniendo por lo tanto la misma dimensión que el número de elementos de dicho vector. Representación de estados en variables de estado: La representación de un sistema en variables de estado se lo puede apreciar en la figura 1 Pegar figura Controlabilidad: Controlabilidad es una propiedad importante de un sistema de control, y juega un papel crucial en muchos problemas de control, como la estabilización de sistemas inestables, o el control óptimo. Controlabilidad y observabilidad son aspectos duales de un mismo problema.

A grandes rasgos, el concepto de controlabilidad es la habilidad de mover un sistema en toda su configuración de espacios usando solamente ciertas manipulaciones admisibles. La definición exacta varía ligeramente dentro del marco de trabajo o los tipos de modelos aplicados. Observabilidad: Observabilidad es una propiedad importante de un sistema de control, y gobierna la existencia de una solución de control óptimo. Es una medición que determina cómo los estados internos pueden ser inferidos a través de las salidas externas. La controlabilidad y la observabilidad de un sistema son aspectos duales de un mismo problema, estos criterios son utilizados para determinar de antemano la existencia de una solución de diseño según los parámetros y objetivos del diseño. Formalmente, se dice que un sistema es observable si, mediante cualquier secuencia de los vectores de estado y de control, el estado actual puede determinarse en un tiempo finito usando solamente las salidas (esta definición está orientada hacia la representación de espacios de estados). De manera menos formal, esto significa que a partir de las salidas de un sistema es posible conocer el comportamiento de todo el sistema. Cuando un sistema no es observable, quiere decir que los valores actuales de algunos de sus estados no pueden ser determinados mediante sensores de salida: esto implica que su valor es desconocido para el controlador y, consecuentemente, no será capaz de satisfacer las especificaciones de control referidas a estas salidas. DESARROLLO 1. Se Diseñara un sistema de tercer orden (plantear el sistema y graficar la respuesta al escalón) el cual tendrá un Mp mayor al 20%. Luego implementar un controlado PID o una de sus derivaciones para disminuir el Mp por debajo del 4%. Realizar las simulaciones correspondientes. El sistema de tercer se planteó según las características propuestas por el tema: 𝐺(𝑠) =

𝑘 ∙ 𝑤𝑛 2 ∙ 𝑝 ⇒ 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜𝑟𝑎𝑙. (𝑠 2 + 2𝜁𝑤𝑛 𝑠 + 𝑤𝑛 2 )(𝑠 + 𝑝)

Donde la ecuación de tercer orden es: 𝑮(𝒔) =

𝒔𝟑

+ 𝟗𝒔𝟐

𝟏 + 𝟐. 𝟑𝒔 + 𝟏

Con ayuda de límites obtendremos un Mp > 20%. 25 3 75 lim ∆𝑌𝑜(𝑡) = 𝐾𝑒 = 𝐺(𝑠) = 𝐺(0) = ( ) ( ) = = 1 ⇒ 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙. 𝑡→∞ 25 3 75 ∆𝑌𝑜(0) = lim 𝑠 ∙ 𝑡→∞

1 ∞ ∙ 𝐺(𝑠) = = 0 ⇒ 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙. 𝑠 ∞

Los polos de nuestra función de transferencia son los siguientes: −𝟏. 𝟖𝟏 ± 𝟒. 𝟔𝟕𝒋 ≈ 𝜽 ± 𝒘𝒅 Con la obtención de 𝜽 𝑦 𝒘𝒅 se puede obtener el tiempo estable, el tiempo pico y el Mp. 𝜋 𝜋 𝑡𝑠 = = = 𝟏. 𝟕𝟑 𝒔 𝜃 1.81 𝑡𝑝 =

𝜋 𝜋 = = 𝟎. 𝟔𝟕 𝒔 𝑤𝑑 4.67

−𝜃𝜋

𝑀𝑝 = 𝑒 𝑤𝑑 = 𝑒

−(1.81)𝜋 (4.67)

= 0.26 ≈ 𝟐𝟔%

Con ayuda del código “sisotool” se puede obtener el valor de las constantes de: Proporcionalidad, derivación e Integración. CÓDIGO PROPUESTO: syms Hs Hs=tf([1],[1 9 2.3 1]) sisotool(Hs)

A continuación, aparecerá la siguiente ventana, donde tendremos la opción de poder mover los polos para la obtención del porcentaje que requerimos:

Fig.2: Ventana de vista para el LGR.

Las constantes obtenidas son: Proporcional (Kp): 0.0749. Integral (Ki): 0.0937 Derivativa (Kd): 0.0149 Con la obtención de un Mp = 24.6%, donde sería casi igual al Mp calculado de 26%. Obtenemos la siguiente gráfica, donde representara la forma de onda del sistema y la respuesta al escalón:

Fig.2: Onda de la FT y respuesta al escalón.

Con ayuda de Simulink se diseña el sistema propuesto de un PID:

Fig.3: Diagrama de bloques del PID.

Onda controlada

La gráfica obtenida con ayuda del osciloscopio es la siguiente:

 Cada color de onda está definido como: Morada: Onda de Función de Transferencia Pura. Fig.4: Respuesta del sistema de PID con un Mp=24.6%.

Descripciones ondas:

Roja: Onda del PID. Azul: Referencia de alimentación. Amarillo: Onda de la FT controlada con el PID.

Como pide implementar un controlador PID con cualquiera de sus derivaciones y a la vez disminuir el Mp por debajo del 4%. Se ha utilizado la ventana presente en la figura 2 ; donde se ha movido los polos tratando de que la misma función obtenga un Mp > 4%. Las constantes obtenidas son: Proporcional (Kp): 0.16742. Integral (Ki): 1.522𝑠 −1 Derivativa (Kd): 0 Con la obtención de un Mp = 3.71 %, la siguiente gráfica, donde representara la forma de onda del sistema y la respuesta al escalón:

Fig.5: Onda de la FT y respuesta al escalón, con un Mp<4%.

La gráfica obtenida a través del diagrama de bloques realizado en Simulink del sistema de FT con un Mp < 20%, es el siguiente.

Fig.6: Respuesta del sistema de PID con un Mp=3.71%.

 Cada color de onda está definido como: Descripción ondas: Morada: Onda de Función de Transferencia Pura. Roja: Onda del PID. Azul: Referencia de alimentación. Amarillo: Onda de la FT controlada con el PID. Como nos podemos dar cuenta en la respuesta del sistema con un Mp>60% y Mp<4%, la onda de color Amarillo varía al disminuir el Mp, por efecto una ira más rápido que la otra. En consecuencia, las demás respuestas de onda también varían.

2.-Al sistema del ejercicio 1 aplicar un controlador por realimentación de estados con observador con la intención de disminuir el MP a menos el 5%. Presentar los resultados de los tres estados reales, así como de los tres estados observados. Opcionalmente, utilizar los polinomios de Bessel o ITAE para el diseño del controlador. La ecuación de segundo orden seleccionada es: 𝐺(𝑠) =

𝑠3

+ 9𝑠 2

1 + 2.3𝑠 + 1

De donde se obtiene un MP > 5%. 

CÓDIGO EN MATLAB: - Designamos el código en Matlab para proceder a saber si es Controlable y Observable:

clc wn=1.77 num = [1] den=[1 9 2.3 1] [A B C D]=tf2ss(num,den) eig(A) %Controlabilidad Pc=ctrb(A,B) rank(Pc) %Observabilidad Po=obsv(A,C) rank(Po) Ap=[A zeros(3,1);-C 0] Bp=[B;0] %Raices propuestas segun ITAE Jp=[-0.424+1.263j,-0.424-1.263j,-0.623+0.414j,-0.626-0.414j] %calculo de las ganancias del regulador y seguidor KT=acker(Ap,Bp,Jp) Je=[-50,-0.8+0.19j,-0.8-0.19j] K=acker(A,C',Je)

RESPUESTA: - Se obtiene las matrices A, B y C; y en qué punto es Controlable y Observable el sistema.

Los polos de nuestra función son:

MATRIZ DE CONTROLABILIDAD:

⇒

MATRIZ DE OBSERVABILIDAD:

Donde el sistema es Controlable el 3.

⇒

Donde el sistema es Observable el 3.

Se presenta el esquema de bloques en Simulink para la simulación:

Fig.7: Diagrama de control de espacio de estados.

Fig.8: Diagrama de planta pura.

A continuación, podemos observar con la ayuda del osciloscopio la gráfica de nuestra función de transferencia pura.

Fig.9: Respuesta de FT pura con Mp > 20%..

Cada color de onda está definido como: Violeta: Referencia de 10. Amarillo: Respuesta de FT pura. Resultado de la respuesta de la FT con un Mp < 5, Donde se puede observar claramente los resultados de los tres estados reales, así como de los tres estados observados. Ondas de estados.

Ondas de salidas

Las dos ondas unidas

Aquí se observa que la onda de estados tiende a estabilizarse en cero y las ondas de salidas de tienden a estabilizar en la referencia.

CONCLUSIONES: Con los resultados ya obtenidos de las formas de onda de la FT en un controlador de SS con observados y un Mp obtenido menor al 5%, se puede observar claramente la diferencia que existe entre los estados observados y regulados. Lo que se hizo fue el controlador por realimentación de estados con observadores donde se analiza los sistemas en el domino en el tiempo usando una representación en variables de estado. Lo que hizo este método que por medio de alimentación de señales de estado del sistema, por medio de una ganancia va a llevar al sistema a una respuesta lo más cercana posible como se puede apreciar en nuestra planta. La controlabilidad y la observabilidad son dos conceptos desarrollados para la representación de sistemas en espacio de estado, estos permiten caracterizar respectivamente la capacidad del control para ejercer una influencia sobre alguno de sus estados y la posibilidad de extraer una información de alguno de sus estados mediante un observador. La observabilidad es una característica estructural complementaria de una representación de estado de un sistema, o del sistema en sí mismo, que nos indica la capacidad de poder estimar los valores históricos de un estado partiendo del conocimiento de las variables de salida y entrada del sistema.