Circuitos Rlc

Resistores

Os resistores são dispositivos que possuem duas funções basicamente: converter energia elétrica em energia térmica a partir do efeito Joule, tornando-se aquecedores ou dissipadores de eletricidade ou limitar os valores da corrente em um circuito elétrico. Ao estudar os resistores, foi conferido que algum deles possuía uma relação linear entre a voltagem empregada e a corrente elétrica desenvolvida. À razão entre essas duas grandezas foi dado o nome de resistência. No entanto, foi descoberto depois que essa relação poderia não ser linear. Assim, foram classificados como resistores ôhmicos os que obedecem essa linearidade e não-ôhmicos os que não obedecem. Logo, para os resistores ôhmicos, a relação é linear e pode ser conferida a seguir:

V  Ri Essa é conhecida como Primeira Lei de Ohm. Em muitos cursos preparatórios, professores de física associam essa fórmula com a grande frase: “Quem vê, ri”. Assim, fica mais fácil decorá-la. No entanto, os resistores ôhmicos não obedecem essa relação linear entre voltagem e corrente, apresentando uma relação particular para cada um deles. Confira a seguir o gráfico que ilustra bem cada um desses resistores.

Resistor Ôhmico

Resistor Não-Ôhmico

A unidade de resistência é o Ohm (Ω) e ele representa um Volt por Ampére. Seus submúltiplos não são tão empregados nos diversos problemas da física quanto os da capacitância que serão visto adiante. Até o momento, analisamos apenas um resistor em particular, estudando suas características. Porém, é muito comum a presença de vários deles em um circuito elétrico, onde todos expressam, juntos, uma resistência equivalente. Para entendermos e calcularmos o valor dessa resistência, precisamos estudar as diversas formas de associar resistores que existem.

→

Resistores em série

Como é possível conferir na imagem anterior, a voltagem disponível para o circuito é dividida entre todos os resistores presentes. Isso ocorre, pois cada resistor possui sua própria resistência. A corrente, por outro lado, será a mesma em todos os resistores, visto que ela possui somente um caminho para percorrer. Assim, denotando por i a corrente elétrica que passa pelo circuito e assumindo que todos os resistores são ôhmicos, temos:

 U1 U  2  U 3 U 4

 R 1i  R 2i  R 3i  R 4i



U  U1  U 2  U 3  U 4   R 1i  R 2 i  R 3 i  R 4 i   R 1  R 2  R 3  R 4 i   R eq i



R eq  R 1  R 2  R 3  R 4

Onde podemos notar que a resistência equivalente para resistores em série é calculada pela soma das resistências de cada resistor empregado no circuito. Assim, concluímos que, para associação de resistores em série, a voltagem (ou DDP) se divide em partes proporcionais às resistências dos resistores, a corrente se conserva em todo o circuito e a resistência equivalente é expressa pela soma das resistências individuais dos resistores empregados.

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Resistores em paralelo

Como é possível conferir na imagem anterior, a voltagem é a mesma para todos os resistores empregados, visto que os terminais dos resistores são os mesmos terminais da bateria empregada. Logo, a voltagem é a mesma em todos. Por outro lado, a corrente agora se divide entre os três resistores, visto que agora ela possui mais de um caminho

para prosseguir. Assim, assumindo que todos os resistores são ôhmicos e realizando o balanço de correntes elétricas, temos:

 U i1  R1  U  i 2  R2  i  U 3 R 3 



i  i1  i 2  i 3 U U U U    R eq R 1 R 2 R 3  1 U 1 1   U      R eq  R 1 R 2 R 3 



1 1 1 1    R eq R 1 R 2 R 3

Onde podemos notar que o inverso da resistência equivalente para associação de resistores em paralelo pode ser calculada a partir dos inversos das resistências de cada resistor. O cálculo prosseguiria se tivéssemos mais resistores; como temos apenas três, a conta finalizou ali. Assim, concluímos que, para associação de resistores em paralelo, a voltagem (ou DDP) é a mesma em todos os resistores, a corrente é dividida em partes inversamente proporcionais à resistência de cada resistor e o inverso da resistência equivalente é calculada a partir dos inversos das resistências individuais dos resistores empregados.

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Associação mista

Essa associação consiste quando, em um circuito, temos resistores que estão em paralelo e outros que estão em série. Para calcularmos a resistência equivalente do circuito como um todo, devemos resolver por partes, analisando cada uma das associações separadamente. Veja o exemplo a seguir.

Exemplo: Calcule a resistência equivalente do circuito abaixo.

Primeiramente, vamos calcular a resistência equivalente dos três resistores em paralelo que estão no meio:

1 1 1 1 3     R eq 4 4 4 4



R eq 

4  3

Porém, essa associação está em série com outros dois resistores de 4Ω: um na esquerda e outro na direita. Assim, para finalizarmos, temos:

R eq  4 

→

4 4 28 4 8   3 3 3

Efeito Joule

Foi comentado no início que uma das funções dos resistores é a dissipação de energia térmica a partir da energia elétrica fornecida. No entanto, é necessário mensurar essa dissipação de energia. Para isso, temos que a energia térmica dissipada por um resistor é calculada a partir do produto Q.V (carga e voltagem), pois a energia transmitida na forma de calor é a energia perdida por cada carga Q submetida a uma voltagem V nesse circuito. Vale ressaltar que estamos considerando uma eficiência de 100% na conversão, ou seja, toda a energia elétrica que está atravessando o resistor é transformada em energia térmica. Logo, temos: E  Q.V

Essa energia é medida em Joules. Se dividirmos essa quantidade de energia pelo tempo que ela demora pra passar nesse circuito, iremos obter uma quantia chamada de potência e ela possui como unidade mais comum o Watt (W), equivalendo a um Joule por segundo. Pot 

E Q.V  t t

Mas sabemos que a corrente elétrica é expressa pela carga Q dividida pelo tempo; logo, ficamos com: i

Q t



Pot 

Q.V t



Pot  V.i

Essa é a fórmula mais comum para potência. Outras variantes dela podem ser obtidas a partir da substituição de V ou de i, conforme mostra as expressões a seguir. V  Ri

i

V R



Pot  V.i  R.i.i



Pot  Ri 2



Pot  V.i  V.

V R



Pot 

V2 R

Por fim, podemos obter uma expressão melhor para a energia dissipada pelo efeito Joule, proposta no início dessa seção, da seguinte forma:

Q  it  V  Ri



E  it.Ri



E  Ri 2 t

Essa quantidade de energia é encontrada nas nossas contas de luz em casa, quando olhamos nela e está lá descrito a quantidade consumida na unidade de kWh.

→

Segunda Lei de Ohm

Ao continuar estudando as características de condutores, foi possível notar certas características em relação a sua resistência. Após vários experimentos, foi observado que a resistência era diretamente proporcional ao comprimento de um condutor retilíneo (quanto maior o condutor, maior é a resistência) e inversamente proporcional à área transversal ao fluxo da corrente elétrica (quanto maior a área, menor a resistência do condutor). Assim, foi possível escrever a expressão abaixo: R

L A

Onde L é o comprimento do condutor, A é a área transversal e ρ é o parâmetro de proporcionalidade denominado resistividade, que depende do material e da temperatura de trabalho, sendo sua unidade usual Ω.m.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Questão 01) (ASOM/N – 2014) Em uma instalação elétrica de 220V/60Hz, um chuveiro com especificação 4,4kW/220V é ligado durante 15 minutos, e um ferro de passar com especificação 2200W/220V é ligado durante uma hora. Considerando o preço da energia como sendo R$0,50 por kWh, podemos dizer que a corrente elétrica do conjunto, quando ambos os aparelhos estão ligados ao mesmo tempo, e o custo total do uso de energia elétrica, respectivamente, valem (a) 45A; R$2,50.

(c) 30A; R$2,00.

(b) 45A; R$1,85.

(d) 30A; R$1,65.

(e) 20A; R$3,25.

Solução: A especificação do chuveiro, em termos de potência, está em kW. Passando para W, temos que ele consome 4400W. Ao ligar o chuveiro junto com o ferro de passar, eles irão consumir, juntos, 4400 + 2200 = 6600W. Ao aplicar a fórmula da potência, que relaciona voltagem e corrente, obtemos: Pot  V.i



i

Pot 6600   30A V 220

Para o cálculo da quantidade de energia gasta, vamos calcular separadamente para o chuveiro e para o ferro de passar, lembrando que o tempo a ser utilizado tem que ser em horas, visto que o consumo é medido em kWh. Assim, chegamos a: 15  1100Wh  1,1kWh 60  Pot.t  2200.1  2200Wh  2,2kWh

E chuveiro  Pot.t  4400. E ferro



E Total  1,1  2,2  3,3kWh

Como cada kWh custa R$0,50, basta multiplicar o consumo total de energia por esse valor; logo, temos: Preço  3,3.R$0,50  R$1,65

Dessa forma, o gabarito é a letra (D).

Questão 02) (ASOM/N – 2014) No circuito elétrico da figura, E = 24V e R1 = 200Ω. O resistor R2 é uma liga metálica (Liga X) que possui a resistência elétrica dependente da temperatura e seu valor a 0ºC vale R2 = R0 = 100Ω (Razão de Resistência R2/R0 = 1), conforme o gráfico dado. Podemos afirmar que a corrente elétrica, no circuito a 200ºC e o módulo da variação da corrente elétrica quando a temperatura varia de 200ºC a 600ºC, respectivamente, valem: (a) 60mA; 40mA.

(c) 20mA; 60mA.

(b) 60mA; 20mA.

(d) 40mA; 20mA.

(e) 20mA; 35mA.

Solução: Pelo enunciado, vemos que a resistência R1 é constante e igual a 200Ω. Já a resistência R2 varia com a temperatura. Pelo gráfico fornecido, notamos que, a 200ºC, a razão de resistência R2/R0 vale 2; logo:

R2 2 R0



R2 2 100



R 2  200

Como as duas resistências estão em série, a resistência equivalente do circuito fornecido será igual à soma dela, ou seja, 200 + 200 = 400Ω. Aplicando esse valor e a voltagem de 24V fornecida na equação, temos: V  R.i



24  400i



i

24  0,06A  60mA 400

Essa é a corrente elétrica quando a temperatura for de 200ºC. Quando a temperatura for de 600ºC, a razão de resistências R2/R0 vale 4; logo:

R2 4 R0



R2 4 100



R 2  400

Agora, a nova resistência equivalente, sendo novamente calculada pela soma das resistências individuais dos resistores, será igual a 200 + 400 = 600Ω. Aplicando novamente na equação da voltagem, temos: V  R.i



24  600i



i

24  0,04A  40mA 600

Assim, o módulo da variação da corrente elétrica, entre 200ºC e 600ºC, será igual a:

i  60  40  20  20mA Dessa forma, o gabarito correto é a letra (B).

Questão 03) (ASOM/N – 2012) Ao fazer a instalação elétrica num compartimento de um navio, foi usada uma fonte de potência de 120V protegida por um fusível de 15A. Qual é o número máximo de lâmpadas de 60W que podem ser simultaneamente alimentadas, em paralelo, por essa fonte? (a) 10.

(b) 15.

(c) 20.

(d) 25.

(e) 30.

Solução: Se elas serão todas alimentadas em paralelo, todas elas estarão submetidas a 120V (lembrando que, em paralelo, a voltagem é a mesma em todos os ramos, mas a corrente total é dividida entre cada um deles). Com uma potência de 60W, a corrente que atravessa cada lâmpada será igual a: Pot  V.i



i

Pot 60   0,5A V 120

Como a máxima corrente permitida na configuração é de 15A por causa do fusível, então basta fazer uma regra de três para saber o total de lâmpadas, ou seja: 0,5A      1 lâmpada 15A      x



x

15  30lâmpadas 0,5

Dessa forma, o gabarito correto é a letra (E).

Questão 04)

(ASOM/N – 2011) No circuito indicado na figura, cada resistor representa uma lâmpada. Considere ε = 9,00V e R1 = R2 = R3 = R4 = 4,50Ω. O número inteiro mais próximo do valor da medida da potência dissipada no resistor R1 é, em Watt: (a) 7.

(c) 9.

(b) 8.

(d) 10.

(e) 11.

Solução: A partir da figura fornecida, vemos que os resistores R2, R3 e R4 estão em paralelo e, que o resistor R1 está em série com essa associação. Assim, vamos calcular primeiro a resistência equivalente da associação da direita e depois a resistência equivalente total a partir da colocação de R1 em série com esta associação. Então:

1 1 1 1 1 1 1 3 1         R eq1 R 2 R 3 R 4 4,5 4,5 4,5 4,5 1,5



R eq1  1,5

R eq  R 1  R eq1  4,5  1,5  6,0

Substituindo essa resistência equivalente na fórmula da voltagem, temos: V  R.i



i

V 9   1,5A R 6

A potência dissipada por um resistor é calculada por Ri². Assim, chegamos a:

Pot  R.i 2  4,5.1,5 2  4,5.2,25  10,125W Logo, o inteiro mais próximo desse valor é 10W e o gabarito é letra (D).

Questão 05) (EFOMM – 2013) No circuito da figura, cada uma das duas lâmpadas incandescentes idênticas dissipava 36W sob uma tensão inicial V1 volts mantida pela bateria (ε, r). Quando, então, o filamento de uma delas se rompeu (anulando a corrente nessa 4 lâmpada), observou-se que a tensão nas lâmpadas aumentou para o valor V2  V1 . 3 Considerando as lâmpadas como resistências comuns, a potência na lâmpada que permaneceu acesa, em Watts, é

(a) 18.

(b) 32.

(c) 36.

(d) 64.

(e) 72.

Solução: Pelo enunciado, notamos que uma das lâmpadas terá seu filamento rompido, não permitindo mais a passagem de corrente por ela, o que significa que, no segundo caso, passará corrente somente pela outra lâmpada. Como a questão faz menção apenas a voltagem e a potência, será por esses valores que desenvolveremos nosso raciocínio. Sempre parta por esse caminho devido a sua facilidade, visto que, um raciocínio

baseando-se na corrente elétrica será complicado, pois ela varia de um caso por outro e pode gerar erros na resolução. Assim, temos:

Pot  V.i  V.

V V2  R R

Para o primeiro caso, temos:

36 

V12 R

Pot 

V22 R

Para o segundo caso, temos:

A resistência é a mesma embaixo, pois estamos analisando apenas a lâmpada que permanecerá acesa no segundo caso, visto que a outra não nos interessa. Assim, dividindo a segunda equação pela primeira, chegamos a:

Pot V22  36 V12

2



Pot  4  16    36  3  9



Pot  36.

16  64W 9

Dessa forma, o gabarito correto é a letra (D).

Questão 06) (EFOMM – 2013) Uma resistência de 4,00Ω percorrida por uma corrente elétrica de 10,0A é mergulhada em 1,0kg de água armazenada em um recipiente termicamente isolado. Se a água está na temperatura inicial de 20,0ºC, o intervalo de tempo, em minutos, necessário para a temperatura da água aumentar até 80,0ºC é Dados:

calor específico da água = 1,00 cal/gºC

;

(a) 8,40.

(b) 10,5.

(e) 18,3.

(c) 12,6.

(d) 15,7.

1,00 cal = 4,20 J.

Solução: Essa questão mistura um pouco o conceito da termodinâmica de mudança de temperatura em substâncias simples. Para a mudança de temperatura informada, temos que a quantidade de calor necessária é igual a:

Q  mc  1000.1.80  20  60000cal A energia fornecida pelo circuito, ao ser dissipada pela resistência, pode ser calculada a partir da potência dissipada por essa resistência e vale: Pot  V.i  R.i.i  R.i 2  4.10 2  4.100  400W  400J / s

Isso quer dizer que a resistência fornece 400J para a água a cada segundo. Convertendo a quantidade de calor calculada inicialmente para Joules, a fim de alinhar as unidades, temos:

Q  60000cal.

4,2J  252000J 1cal

Montando uma regra de três, finalizamos o problema da seguinte forma: 400J      1seg 252000J    x



x

252000  630seg 400

Para descobrir o valor desse tempo em minutos, basta dividir por 60, ou seja: t

630  10,5mins 60

Dessa forma, o gabarito correto é a letra (B).

Questão 07) (EFOMM – 2015) Para o circuito da figura dada, o valor da corrente elétrica que passa pelo resistor de 6Ω é: (a) 0,5A.

(b) 1,0A.

(d) 3,0A.

(e) 4,0A.

(c) 2,0A.

Solução: Para encontrarmos o valor da corrente, primeiro devemos encontrar a resistência equivalente no circuito da direita, visto que o resistor questionado encontra-se nesse trecho. Na direita, temos um trecho em paralelo (resistores de 3Ω e de 6Ω) que está em série com um resistor de 2Ω. Logo, temos:

1 1 1 2 1 3 1      R eq1 3 6 6 6 2



R eq1  2

R eq ,d  2  2  4

Aplicando essa resistência na fórmula da voltagem, chegamos a: V  R.i



12  4.i



i  3,0A

Como o resistor de 2Ω está em série com o trecho em paralelo, então a corrente de 3A chegará no trecho em paralelo. Como passa 3A por esse resistor, a voltagem desenvolvida nele será de 2.3 = 6V. Logo, dos 12V que chegam nesse ramo, apenas 12 – 6 = 6V chegam no trecho em paralelo com os resistores de 3Ω e 6Ω. Quando a corrente elétrica chega no trecho em paralelo, ela se dividirá entre os resistores presentes, porém a voltagem será a mesma nos dois resistores, ou seja, 6V em cada um deles. Aplicando essa voltagem no resistor de 6Ω, obtemos uma corrente elétrica de: V  R.i



6  6.i

Dessa forma, a resposta correta é a letra (B).



i  1,0A

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Questão 01) (EFOMM – 2015) Em uma residência, há um aparelho de ar condicionado de potência 1kW que é ligado em metade dos dias do mês, por 8 horas a cada dia. Nessa mesma casa, o chuveiro é de potência 4kW e é ligado por 1 hora, todos os dias. Considere o custo do kWh como sendo R$0,50. Ao fim de um mês de 30 dias, o valor a ser pago no mês pelo custo do consumo do ar condicionado e do chuveiro juntos é (a) R$40,00. (b) R$60,00. (c) R$80,00. (d) R$120,00. (e) R$240,00. Questão 02) (EN – 2017) Um chuveiro elétrico opera em uma rede elétrica de 220 Volts dissipando 7600 J/s de calor em sua resistência. Se esse mesmo chuveiro for conectado a uma rede de 110 Volts, a potência dissipada, em J/s, passará a ser de: (a) 5700.

(b) 3800.

(c) 2533.

(d) 1900.

(e) Zero.

Questão 03) (EN – 2015) No circuito da figura, cada lâmpada incandescente L dissipava 4,00 Watts sob uma tensão inicial V0 mantida pela bateria de fem e resistência interna desconhecidas. Quando, então, o filamento de uma das lâmpadas se rompeu (anulando sua corrente), observou-se que a tensão nas lâmpadas aumentou para 5V0/4. Considerando as lâmpadas como resistências comuns (constantes), a potência total dissipada, em Watts, nas duas lâmpadas que permaneceram acesas é

(a) 4,50.

(b) 9,00.

(c) 12,5.

(d) 14,0.

(e) 16,0.

Questão 04) (EN – 2014) Um chuveiro elétrico consome 5,0kW quando regulado para o inverno. Nesta condição, e a um custo de R$0,30 por quilowatt-hora, certa residência deve pagar R$45,00 na conta mensal de energia elétrica, devido apenas ao chuveiro. Quanto tempo, em horas, ele ficou ligado? (a) 5.

(b) 15.

(c) 20.

(d) 30.

(e) 40.

Questão 05) (EN – 2013) Considere que dois resistores, de resistências R1 e R2, quando ligados em paralelo e submetidos a uma DDP de 150V durante 600 mins, geram 225 kWh de energia. Associando esses resistores em série e submetendo-os a uma DDP de 400V, a energia gerada, durante o mesmo intervalo de tempo, passa a ser de 400 kWh. Sobre os valores das resistências R1 e R2, em Ω, pode-se afirmar que são, respectivamente: (a) 1,00 e 1,00.

(c) 2,00 e 3,00.

(b) 2,00 e 2,00.

(d) 3,00 e 4,00.

→

(e) 4,00 e 4,00.

Ponte de Wheatstone

Essa montagem é utilizada sempre que desejamos calcular o valor de uma resistência desconhecida. Essa resistência geralmente possui um valor próximo das demais resistências utilizadas. Para tal, utiliza-se uma montagem com quatro resistores, dois em cada ramo, com um galvanômetro ligado no meio deles. O galvanômetro é um aparelho utilizado para detectar ou medir correntes elétricas de pequena intensidade através de um dispositivo mecânico, que é posto em movimento pela ação de forças eletromagnéticas produzidas por essa corrente. Uma demonstração dessa montagem pode ser conferida ao lado. Como podemos conferir na imagem anterior, a corrente sai da fonte de tensão elétrica U e chega até o ponto A. Nesse ponto, a corrente se dividirá em duas partes (i1 e i2), sendo uma em direção ao ponto C e outra em direção ao ponto D respectivamente. Ao chegar nesse local, a corrente se dividiria novamente. No entanto, a resistência do reostato R4 é calibrada de tal forma que a leitura do galvanômetro seja nula. Dessa forma, a corrente que atravessa o ramo CD é nula, bem como a diferença de potencial entre esses pontos. Logo, a corrente i1 segue em direção a B passando por R2 e a corrente i2 segue em direção a B passando por R4. Em B elas se juntam e retornam à fonte de tensão elétrica. Assim, ficamos com a configuração a seguir. Assim, notamos que R1 está em série com R2 e que R3 está em série com R4. Como a diferença de potencial entre C e D é nula, então o potencial dos dois é o mesmo, mostrando que o potencial calculado pelo caminho AC e o calculado por AD devem ser os mesmos. Dessa forma, podemos escrever a seguinte equação:

U AC  U AD



R 1 .i1  R 3 .i 2

Procedendo de maneira análoga para os trechos CB e DB, temos:

U CB  U DB



R 2 .i1  R 4 .i 2

Dividindo as duas equações finais anteriores, temos:

R 1 .i1 R 3 .i 2  R 2 .i1 R 4 .i 2



R1 R 3  R2 R4



R 1R 4  R 2 R 3

Logo, concluímos que, nas montagens de ponte de Wheatstone equilibrada, o produto cruzado das resistências empregadas será sempre igual.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Questão 01) (EN – 2014) Observe a figura a seguir.

No circuito representado acima, as correntes IG e I0 assumem os valores indicados (zero e 1A, respectivamente) quando a resistência variável R3 é ajustada em um valor tal que R3 = R2 = 2R1 ohms. Sendo assim, quanto vale a soma, R1 + R2 + R3 + R4, dos valores dos quatro resistores, em ohms? (a) 9.

(b) 8.

(c) 4.

(d) 3.

(e) 2.

Solução: A partir da dedução que fizemos anteriormente, podemos escrever que:

R 1R 3  R 2 R 4



R 1 .2R 1  2R 1R 4



R1  R 4

Ou seja, o produto cruzado entre as resistências empregadas é igual. Agora, para descobrirmos o valor dessa R1, vamos utilizar a informação de que, dos 6V fornecidos pela fonte, temos que 4V são utilizados no primeiro resistor isolado e fora da ponte de Wheatstone. Isso pode ser calculado facilmente a partir da expressão V = Ri = 4.1 = 4V. Logo, os outros 2V (6 – 4 = 2V) serão disponibilizados para a ponte. Com uma corrente de 1A chegando a essa ponte, a resistência equivalente dela será de:

V  R eq i



R eq 

V 2   2 i 1

Por fim, basta calcularmos a resistência equivalente em função de R1. No lado esquerdo da ponte, temos em série R1 e R4, formando R1 + R4 = 2R1. No lado direito da ponte, temos em série R2 e R3, formando R2 + R3 = 2R1 + 2R1 = 4R1. Como essas duas estão em paralelo, temos:

1 1 1 3    R eq 2R 1 4R 1 4R 1 4R 1  6



1 3  2 4R 1

 R1 

6 3   4 2

Logo, a soma de todas as resistências será igual a: 3 R 1  R 2  R 3  R 4  R 1  2R 1  2R 1  R 1  6R 1  6.  9 2

Dessa forma, a alternativa correta é a letra (A).

Questão 02)

(ITA) O circuito da figura acima, conhecido como ponte de Wheatstone, está sendo utilizado para determinar a temperatura de óleo em um reservatório, no qual está inserido um resistor de fio de tungstênio RT. O resistor variável R é ajustado automaticamente de modo a manter a ponte sempre em equilíbrio, passando de 4,00Ω para 2,00 Ω. Sabendo que a resistência varia linearmente com a temperatura e que o coeficiente linear de temperatura para o tungstênio vale α = 4,00 x 10 -3°C-1, a variação da temperatura do óleo deve ser de: (a) -125ºC.

(b) -35,7ºC.

(c) 25,0ºC.

(d) 41,7ºC.

(e) 250ºC.

Solução: A partir do enunciado, notamos que estamos trabalhando com dois momentos: um quando R = 4Ω e outro quando R = 2Ω. Analisando cada um separadamente, temos:

R 1R 4  R 2 R 3



0,8.10  4.R T



R T  2

R 1R 4  R 2 R 3



0,8.10  2.R T



R T  4

Logo, a variação da resistência de fio de tungstênio varia de 2Ω. Aplicando a equação da dilatação térmica linear da calorimetria, alterando apenas os termos de comprimento para termos de resistência, chegamos a: R  R 0 ..T



2  2.4.10 3.T



1 T  .10 3 º C 4

T  250º C Onde temos R0 como a resistência inicial do fio de tungstênio. Assim, a resposta correta é a letra (E).

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Questão 01) Considere a ponte de Wheatstone, esquematizada ao lado, em equilíbrio. Qual é o valor da resistência elétrica R? Questão 02) Determine a resistência elétrica equivalente entre os terminais A e B da associação de resistores ao lado. Questão 03) A ponte de Wheatstone mostrada na figura é usada para medir a resistência de um extensômetro (strain gauge). O resistor ajustável tem um ajuste linear com valor máximo igual a 100Ω. Se for determinado que a resistência do medidor de deformação é de 42,6Ω, em que fração do curso completo do cursor deslizante ele se encontra quando a ponte estiver equilibrada?

Questão 04) Na ponte de Wheatstone da figura, selecione os valores de R1 e R3, tais que a ponte possa medir Rx no intervalo de 0Ω a 10Ω. Encontre os valores de R1 e R3 também, mas para que possa medir Rx no intervalo de 0Ω a 100Ω agora.

Capacitores

Os capacitores são dispositivos que armazenam cargas elétricas e são constituídos por dois condutores, ou armaduras, separados por um material isolante. Seu parâmetro é chamado de capacitância e relaciona a tensão entre seus terminais com a respectiva carga armazenada, ou seja:

Qt   CVt  A unidade da capacitância é o Farad e ele representa um Coulomb por Volt. Seus submúltiplos são muito empregados em problemas da física, como o microFarad (a milionésima parte do Farad), nanoFarad (a bilionésima parte do Farad), dentre outros. Quando estamos trabalhando com capacitores de placas paralelas, a equação a seguir pode ser aplicada a fim de determinar a capacitância do capacitor estudado, onde ε representa a permissividade do material isolante, A a área dos condutores e L a distância entre eles. C

A L

Com isso, vemos que quanto maior a permissividade do isolante e a área dos mesmos, maior será a capacitância do capacitor estudado (diretamente proporcionais). Quanto maior for a distância entre eles, menor será a capacitância do capacitor (inversamente proporcionais). Um esquema de um capacitor pode ser conferido ao lado. O modo como as cargas são armazenadas pode ser entendido a partir do seguinte raciocínio: vamos considerar que inicialmente o capacitor está descarregado. Quando conectarmos uma fonte de tensão entre seus terminais, um campo elétrico é estabelecido entre os condutores. Este campo movimenta os elétrons da placa positiva para a placa negativa. Com isso, um campo elétrico de oposição é induzido no isolante, oposto ao dos condutores, que depende da capacitância dele. O movimento ocorrerá até que o campo elétrico, de intensidade E = V/L, faça com que todo o condutor esteja no mesmo potencial. Vale ressaltar aqui que, quanto maior for o campo elétrico de oposição, maior é a quantidade de carga acumulada nas placas do capacitor. Para um capacitor linear, podemos fazer uso das equações básicas da eletricidade, que dizem: i

dQ dt

it   C



1 1 Q0 idt  V0   idt   C0 C0 C t

V

dVt   dt t

dV 

i dt C

A partir da equação anterior, podemos concluir que um capacitor descarregado em série com uma fonte de intensidade V é equivalente a um capacitor carregado com tensão inicial V. Um esquema dessa conclusão pode ser conferido a seguir.

Agora, vamos analisar a energia armazenada em capacitores. Para isso, fazemos uso de duas fórmulas bem conhecidas que dizem que P = Vi = dW/dt. Assim, ficamos com: t

dW  Pdt



t

t

t

dV Wt   W0   Pdt   Vidt   VC dt  C VdV dt 0 0 0 0

Wt   W0 

Qt   Q0 CVt  CV0   2 2 2C 2C 2

2

2

2

Se ele estiver inicialmente descarregado, o último termo da direita será anulado e a quantidade de energia armazenada será representada apenas pelo penúltimo termo. Até o momento, analisamos apenas um capacitor em particular, estudando suas características. Porém, é muito comum a presença de vários deles em um circuito elétrico, onde todos expressam, juntos, uma capacitância equivalente. Para entendermos e calcularmos o valor dessa capacitância, precisamos estudar as diversas formas de associar capacitores que existem.

→

Capacitores em série

Conforme observamos nos resistores em série, a voltagem será dividida em cada capacitor também. Nessa associação, a carga em cada capacitor será sempre a mesma e a armadura negativa de um capacitor está ligada à armadura positiva do capacitor seguinte. Assim, utilizando a primeira fórmula ilustrada nessa seção, temos:

U  U1  U 2  U 3  ...  U n 

Q Q Q Q  1 1 1 1    ...       ...  C1 C 2 C 3 C n  C1 C 2 C 3 Cn

 Q 



Q  1 1 1 1      ...  C eq  C1 C 2 C 3 Cn

 Q  

1 1 1 1 1     ...  C eq C1 C 2 C 3 Cn

Dessa forma, vemos que, diferentemente dos resistores, quando os capacitores estão em série, o inverso da capacitância equivalente da associação é calculada a partir da soma das capacitâncias individuais dos capacitores utilizados.

→

Capacitores em paralelo

Nesse caso, as armaduras negativas dos capacitores estão ligadas entre si, bem como as armaduras positivas. Conforme o que foi visto no caso dos resistores em paralelo, a corrente aqui é dividida entre cada um dos capacitores de acordo com sua capacitância, porém sendo diretamente proporcional dessa vez, ou seja, aquele que tiver maior capacitância terá mais corrente elétrica chegando nele, estando assim mais carregado que os outros, ou seja, com mais carga que os outros, visto que todos estão submetidos à mesma diferença de potencial. Dessa forma, utilizando ainda a primeira equação fornecida nessa seção, chegamos a:

Q  Q1  Q 2  Q3  ...  Q n  C1V  C 2 V  C3 V  ...  C n V Q  C1  C 2  C3  ...  C n V



C eq V  C1  C 2  C3  ...  C n V

C eq  C1  C 2  C3  ...  C n

Novamente, diferentemente do que aconteceu com os resistores, quando os capacitores estão em paralelo, a capacitância equivalente da associação é calculada a partir da soma das capacitâncias individuais dos capacitores empregados.

→

Associação mista de capacitores

Da mesma forma que foi mostrado para o caso dos resistores, aqui também deverá ser feita a análise por partes, ou seja, estudando cada associação separadamente das outras, a fim de que não haja erros na resolução dos exercícios. Veja o exemplo a seguir.

Exemplo: Calcule a capacitância equivalente do circuito ilustrado ao lado.

Primeiramente, vamos analisar os dois que estão em série na parte de cima do desenho (o de 3 e o de 6 microFarad). Assim, temos:

1 1 1 1 1 63 9 1        C eq C1 C 2 3 6 18 18 2



C eq  2F

Agora, finalizamos o exercício resolvendo o paralelo que essa associação anterior forma com o capacitor de 2 microFarad, ou seja: C eq  C1  C 2  2  2  4F

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Questão 01) (CP-CEM – 2017) Três capacitores de valor C1 = C2 = C3 = 540pF estão associados em série. Então, a capacitância equivalente do sistema é igual a: (a) 180pF

(b) 270pF

(c) 540pF

(d) 1080pF

(e) 1520pF

Solução: Como eles estão em série, basta aplicarmos a fórmula abaixo:

1 1 1 1 1 1 1 3 1         C eq C1 C 2 C 3 540 540 540 540 180



C eq  180pF

Assim, o gabarito é a letra (A). A letra antes do Farad simboliza “pico” e esse submúltiplo equivale a 10-15 do Farad.

Questão 02)

(ASOM/N – 2015) No esquema apresentado na figura acima, temos um circuito com capacitores dispostos em série e em paralelo, cujos valores individuais de cada capacitância são dados por: C1 = 1,0μF

C2 = C4 = C5 = 2,0μF

C3 = 3,0μF

C6 =

9 μF 4

A capacitância equivalente da combinação apresentada, em unidade de μF, é:

(a)

5 . 3

(b)

11 . 6

(c) 2.

(d)

13 . 6

(e)

6 . 11

Solução: Para o cálculo dessa capacitância equivalente, vamos seguir o raciocínio abaixo: Calcular a capacitância equivalente de C2, C3 e C4, que estão em série, denotando por Ceq1; Calcular a capacitância equivalente da anterior junto com C6, que estão em paralelo, denotando por Ceq2; Calcular a capacitância equivalente final, juntando a anterior com C1 e C5, que estão em série. Assim, temos:

1 1 1 1 1 1 1 1 4        1  C eq1 C 2 C 3 C 4 2 3 2 3 3

C eq 2  C eq1  C 6 



C eq1 

3 F 4

3 9 12    3F 4 4 4

1 1 1 1 1 1 1 6  2  3 11          C eq C1 C eq 2 C 5 1 3 2 6 6

C eq 

6 F 11

Dessa forma, ficamos com o gabarito letra (E). Cuidado nesse final de resolução, visto que a banca fornece a resposta e a fração inversa dela também nas alternativas. Ter atenção é imprescindível nessas questões para alcançar a resposta correta.

Questão 03) Calcule a capacitância equivalente do circuito a seguir, a carga armazenada em cada capacitor e a voltagem em cada um.

Solução: Conforme podemos observar na figura fornecida, os capacitores estão em série um com o outro. Logo, ficamos com:

1 1 1 1 1 1 1 1  4  20 25 1          C eq C1 C 2 C 3 200 50 10 200 200 8 C eq  8F

Com a capacitância equivalente, calculamos a carga armazenada em cada capacitor a partir de: Q  C eq V  8.60  480C

Por fim, para os cálculos das voltagens em cada um, temos: V1 

Q 480   2,4V C1 200

V2 

Q 480   9,6V C2 50

V3 

Q 480   48V C3 10

Só por curiosidade, é possível notar que a soma das voltagens dá exatamente igual à voltagem fornecida pela bateria no circuito, que é de 60V.

Questão 04) Calcule a capacitância equivalente do circuito a seguir, a carga armazenada em cada capacitor e a voltagem em cada um.

Solução: Conforme podemos observar na figura, os capacitores estão em paralelo; logo, basta aplicarmos a equação a seguir: C eq  C1  C 2  C3  800  600  1200  2600F

A voltagem em cada capacitor será a mesma, visto que eles estão em paralelo. Assim, ela será igual a 48V em cada capacitor. Para as cargas em cada capacitor, temos:

Q1  C1V  800.48  38400C Q 2  C 2 V  600.48  28800C Q 3  C3 V  1200.48  57600C E, conforme esperávamos, a soma dessas três cargas é igual ao produto da capacitância equivalente pela voltagem do circuito: Q T  C eq V  2600.48  124800C

Questão 05) Calcule a capacitância equivalente do circuito a seguir, a carga total da associação, a carga armazenada em cada capacitor e a voltagem em cada um.

Solução: Para a capacitância equivalente, vamos seguir o raciocínio abaixo: Primeiro a capacitância equivalente do trecho da esquerda, com capacitores de 3μF e 6μF, denotando-a de Ceq1; Depois, a capacitância equivalente do trecho da direita, com dois capacitores de 4μF, denotando-a de Ceq3; Por fim, calcularemos a capacitância equivalente total a partir da observação de que as duas Ceq calculadas e o capacitor de 2μF estão em paralelo. Assim, temos:

1 1 1 1 1 3 6 9 1        C eq1 C1 C 2 6 3 18 18 2



C eq1  2F

1 1 1 1 1 2 1       C eq 3 C1 C 2 4 4 4 2



C eq 3  2F

C eq  C eq1  C 2  C eq 3  2  2  2  6F

Para a carga total da associação, temos: Q T  C eq V  6.24  144C

Como as capacitâncias equivalentes resultaram em 2μF e a capacitância do meio também é igual a 2μF, a carga se dividirá em três partes iguais, ou seja: Q1  Q 2  Q 3 

144  48C 3

Assim, cada um dos capacitores do circuito será carregado com 48μC. Por fim, para o cálculo da voltagem, temos que, como os três ramos estão em paralelo, em cada ramo chegará 24V. Para o primeiro ramo, onde temos um capacitor de 6μF e um de 3μF, a voltagem em cada um deles será de:

V6 

Q 48   8V C 6

V3 

Q 48   16V C 3

Perceba que a soma das duas voltagens totaliza os 24V que estão chegando nesse ramo devido à bateria ligada no circuito. Para o capacitor de 2μF, os 24V alimentarão ele, visto que ele está sozinho nesse ramo. Para o último ramo, com dois capacitores de 4μF, os dois terão a mesma voltagem os alimentando, visto que possuem a mesma capacitância; logo: V4 

Q 48   12V C 4

Como temos dois capacitores em série e cada um recebe 12V, temos um total de 24V nesse ramo também.

Questão 06) Calcule a capacitância equivalente do circuito a seguir, a carga total da associação, a carga armazenada em cada capacitor e a voltagem em cada um, considerando que a DDP entre os terminais ab é igual a 330V.

Solução: ●

Capacitância equivalente: vamos seguir o raciocínio abaixo:

Calcular a capacitância equivalente do trecho a direita, com um capacitor de 3μF e um de 4μF, visto que eles estão em série, denotando por Ceq1; Calcular a capacitância equivalente da capacitância anterior junto com o capacitor de 2μF, visto que eles estão em paralelo, denotando por Ceq2; Terminar os cálculos, utilizando a capacitância equivalente do passo anterior com o capacitor de 1μF, visto que eles estão em série. Assim, ficamos com:

1 1 1 1 1 43 7       C eq1 C 3 C 4 3 4 12 12 C eq 2  C eq1  C 2 

 12 26 2 F 7 7

C eq1 

12 F 7

1 1 1 1 1 7 33      1  C eq C1 C eq 2 1 26 26 26 7 ●

C eq 

26 F 33

Carga total da associação: Q T  C eq V 

●



26 .330  260C 33

Carga e voltagem em cada capacitor:

Como o capacitor de 1μF está em série com todo o outro grupo, sua carga será igual à carga total da associação, ou seja, 260μC, visto que capacitores em série dividem a voltagem, mas a carga em cada um será sempre a mesma e igual à carga total do sistema. Dessa forma, a voltagem nesse capacitor será de:

V1 

Q1 260   260V C1 1

Assim, 260V ficam com o primeiro capacitor e ele deixa passar 70V (330 – 260) para os outros capacitores à direita. Agora, para o conjunto da direita com os três capacitores, teremos que, como o de 3μF com o de 4μF estão em paralelo com o de 2μF e a voltagem não divide quando temos um circuito em paralelo, então 70V alimentam o capacitor de 2μF e 70V alimentam os capacitores de 3μF e de 4μF. Ou seja, V2 = 70V e a carga no capacitor 2 será de:

Q 2  C 2 V2  2.70  140C Devemos lembrar que a carga total do circuito (260μC) é a carga desse conjunto de três capacitores; logo, como 140μC estão no capacitor de 2μF, então sobram 120μC para os dois capacitores da direita (3μF e 4μF). Isso ocorre, pois, embora a voltagem não divida no trecho em paralelo, a carga se divide. No entanto, no trecho em série dos capacitores de 3μF e 4μF a carga não se divide e será a mesma em ambos os capacitores. Ou seja, Q3 = Q4 = 120μC. Para terminar, o cálculo da voltagem em cada capacitor será de:

V3 

Q 3 120   40V C3 3

V4 

Q 4 120   30V C4 4

Totalizando assim, os 70V que chegam nesse ramo. Resumindo, ficamos com:

Q1  260C V1  260V

Q 2  140C V2  70V

Q 3  120C V3  40V

Q 4  120C V4  30V

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Questão 01) Calcule a capacitância equivalente do circuito a seguir, a carga total da associação, a carga armazenada em cada capacitor e a voltagem em cada um. Quando o item não fornecer a voltagem, considere a DDP entre os terminais como sendo de 240V.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Questão 02) Em um circuito, encontram-se infinitos capacitores conectados em paralelo, sendo que o primeiro possui capacitância de 100μF, o segundo de 50μF, o terceiro de 25μF, e assim por diante, sempre reduzindo à metade. Se esse circuito for conectado a uma DDP de 400V, qual será a carga total da associação e a carga em cada capacitor?

Questão 03) Em um circuito, encontram-se 100 capacitores conectados em série, sendo que o primeiro possui capacitância de 100μF, o segundo de 98μF, o terceiro de 96μF, e assim por diante, sempre reduzindo à metade. Se esse circuito for conectado a uma DDP de 400V, qual será a carga total da associação e a carga em cada capacitor? Questão 04) Cinco capacitores de 120μF são ligados com suas armaduras positivas frente a frente, bem como suas armaduras negativas. Qual a capacitância equivalente da associação? Se eles forem ligados a uma DDP de 480V, qual a carga total da associação e a carga em cada capacitor? Questão 05) O que aconteceria no problema anterior se a armadura positiva de um capacitor fosse ligada à negativa do capacitor seguinte, ao invés de armaduras iguais serem ligadas entre si? Haveria alguma diferença nos valores encontrados? Em caso afirmativo, quais seriam os novos valores?

Indutores

Um indutor é um dispositivo elétrico passivo que armazena energia na forma de campo magnético, normalmente combinando vários loops de corrente elétrica alternada. Ele pode ser usado em um circuito como um filtro que rejeita altas frequências. São muito usados para impedir variações de corrente elétrica, para formar um transformador e também em filtros que excluem sinais em alta frequência (filtros passa baixa), conforme já se esperava pelo que foi dito anteriormente. A indução eletromagnética é um fenômeno causado por um campo magnético e gera corrente elétrica. Uma área delimitada por um determinado condutor, ao sofrer variação do fluxo de indução magnética, cria em seus terminais uma diferença de potencial, força eletromotriz ou tensão. No caso de seus terminais estarem ligados a um equipamento elétrico, uma corrente será gerada e é chamada de corrente induzida. Os indutores e os capacitores possuem a semelhança de que ambos os equipamentos são armazenadores de energia. Além disso, ambos se opõem à corrente alternada. Se comparado a um capacitor, o indutor apresentará uma tensão maior em seus terminais quanto maior for a variação de corrente elétrica em um determinado tempo. Veja abaixo alguns exemplos de indutores.

Assim como os capacitores e os resistores, existe um parâmetro que define os indutores. Foi observado que, em cada indutor particular, ao submetê-lo a uma variação de corrente por certo tempo (di/dt), uma voltagem era induzida em seus terminais, conforme dito anteriormente, que era sempre proporcional a essa variação de corrente com o tempo. A esse fator de proporcionalidade foi dado o nome de indutância, com simbologia L, e sua unidade de medida é o Henry (H). Essa observação decorre do fato da equação do fluxo magnético e sua relação com a voltagem, ou seja:   Li



V

d dLi  di  L dt dt dt

Para calcularmos a corrente elétrica que atravessa um indutor em particular, basta resolvermos a equação diferencial fornecida entre dois instantes de tempo t0 e t. Assim, teríamos: t

it 

t0

i0

t

 Vdt  L  di

 Vdt  Lit   i 



0

t

1 it    Vdt  i 0 L t0



t0

Para a potência de um indutor, lembrando que ela é calculada a partir do produto de V por i, temos dois caminhos: um é multiplicar a equação final anterior diretamente por V ou substituir desde o início. Para o primeiro caminho, temos:

Pt   V.it 

1 t  Pt   V  Vdt  i 0  Lt   0 



Para o segundo caminho, ficamos com: it 

t

di P  V.i  Li dt



 Pdt  L  idi t0

 Pdt  Lit  t



i0

2

 i 02



t0

E então teríamos que resolver essa integral. Para a energia armazenada em um indutor, teríamos o seguinte, supondo que inicialmente o indutor estava totalmente descarregado e, ao ser ligado, não havia corrente elétrica alguma no circuito:

dE P dt



dE di  Li dt dt



E

dE  Lidi



E

i

0

0

 dE  L idi

Li 2 2

Então a energia armazenada em um indutor, que estava inicialmente descarregado e ligado sem corrente elétrica a princípio, é calculada a partir da metade do produto de sua indutância pela corrente final ao quadrado. Além disso, podemos relacionar o número de espiras presentes em um indutor com sua indutância a partir da equação a seguir:

L

N 2 A C

Onde temos μ como a permeabilidade magnética do material e é aproximada pela do ar, sendo igual a 4π.10-7, N o número de espiras presentes no indutor, A a área transversal do indutor e C o seu comprimento.

→

Indutores em série

Como sabemos de demonstrações anteriores, ao ligar equipamentos em série, a voltagem é dividida entre eles e a soma de todas essas partes resulta na voltagem total a que o circuito está submetido. Aplicando esse conceito, podemos escrever: V  V1  V2  ...  Vn



L eq

di di di di  L1  L 2  ...  L n dt dt dt dt

Simplificando todos os di/dt, chegamos a: L eq  L1  L 2  ...  L n

Isso nos mostra que a indutância equivalente para indutores em série será calculada a partir da soma das indutâncias individuais empregadas. Esse raciocínio é análogo aos resistores que vimos no início dessa apostila.

→

Indutores em paralelo

Como sabemos de demonstrações anteriores, para uma associação em paralelo, a voltagem é a mesma em todos os ramos e igual à voltagem empregada pela fonte geradora, mas a corrente elétrica é dividida dessa vez. A partir da fórmula da corrente, temos:

i T  i1  i 2  ...  i n 1 L eq

t

 Vdt  i 0  t0

t

1 1 Vdt  i 0   L1 t 0 L2

t

 Vdt  i 0  ...  t0

Simplificando os termos semelhantes, chegamos a: 1 1 1 1    ...  L eq L1 L 2 Ln

1 Ln

t

 Vdt  i t0

0

Isso nos mostra que o inverso da indutância equivalente para indutores em paralelo será calculado a partir da soma dos inversos das indutâncias individuais empregadas. Esse raciocínio é análogo aos resistores que vimos no início dessa apostila.

→

Associação mista de indutores

O raciocínio será o mesmo desenvolvido nas seções anteriores, ou seja, sempre calculando por partes as indutâncias equivalentes para, finalmente, calcular a indutância final.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

Questão 01) Com base no circuito da figura, sendo i = 0 para t < 0 e i(t) = 20te-5t para t ≥ 0, com i em Ampéres e t em segundos, calcule o instante de tempo em que ocorre corrente máxima, a tensão V(t) indicada, a potência P(t), a energia E(t) e a energia máxima armazenada nesse indutor. Solução: Para ocorrer corrente máxima, então a derivada da corrente em relação ao tempo tem que ser nula, ou seja: di  20e 5 t 1  5t   0 dt



1  5t  0



1 t s 5

Para a voltagem, medida em Volts, temos: Vt   L

di  0,100.20e 5 t 1  5t  dt

Vt   2e 5 t 1  5t 



Para a potência, medida em Watts, temos: Pt   Li

di  0,100.20te5 t .20e 5 t 1  5t  dt

Pt   40te10t 1  5t 



Finalmente, para a energia, medida em Joules, temos:



0,100. 20te5 t  2 2

Li Et  

2



2



Et   20t 2 e 10t

A energia máxima armazenada ocorrerá quando a derivada dessa expressão for nula, ou seja:





dE  20e 10t 2t  10t 2  0 dt



2t  10t 2  0 

t0

ou

t

1 5

Mas, inicialmente, ele estava descarregado (basta substituir t = 0 na expressão da energia que será encontrado E = 0); logo, t = 0,2s. Assim, para esse tempo, quantidade de energia armazenada no indutor será igual a: Et   20t e

2 10t

2

1

20 2  1  10.  20  .e 5  e 25 5



1 E   0,1083J  108,3mJ 5

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Questão 01) Calcule a indutância equivalente em cada caso a seguir.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

CIRCUITOS RLC

A partir da agora analisaremos as associações de resistores, capacitores e indutores entre si, demonstrando todas as suas equações diferenciais e funções características, a fim de que o estudo de todo esse assunto seja completo.

Circuitos RC

→

Circuito autônomo

Circuitos autônomos são aqueles que não possuem fontes de tensão independentes presentes, conforme ilustra a figura anterior. Pelo o que podemos observar, a soma das correntes ilustradas tem que ser igual a zero, pois, pelas leis de Kirchhoff, a soma das correntes que saem de um nó é igual à soma das correntes que chegam a ele. Logo, temos, admitindo que o capacitor está inicialmente com voltagem V0:

iC  iR  0 A partir das fórmulas da corrente desenvolvidas anteriormente, podemos escrever: iC  iR  0 V

C



V t ln     RC  V0 

t

dV 1 V V   RC 0 dt 0

dV V  0 dt R



 t  Vt   V0 exp     RC 

O produto RC é denominado de constante de tempo e, a partir da figura ao lado, podemos notar que, transcorridos 4RC, a voltagem já é reduzida a 2% do seu valor inicial.



C

dV V  dt R

→

Circuito com fonte constante – RC em série

A partir do circuito fornecido, notamos que a diferença de potencial V marcada é igual para o trecho com a fonte e o resistor e para o trecho com o capacitor apenas. Isso ocorre, pois estamos ligando os mesmo dois pontos do circuito; estamos apenas olhando para partes diferentes dele. Dessa forma, olhando para o trecho com o resistor, podemos escrever que: V  E  Ri R



iR 

VE R

Agora, novamente pela lei das correntes de Kirchhoff, temos: iC  iR  0 V



t

dV 1 V V  E   RC 0 dt 0



C

dV V  E  0 dt R



 VE  t    ln  RC  V0  E 

 t  V  E  V0  E  exp     RC 





C

dV VE  dt R

VE  t   exp    V0  E  RC 

 t  Vt   E  V0  E  exp     RC 

Essa equação é composta de duas partes, sendo a primeira a componente forçada e a segunda a componente transitória. Se a voltagem inicial no capacitor for nula, estando, assim, descarregado, a equação anterior sofre pequena variação, passando a:

  t   t  Vt   E  E exp     E 1  exp     RC   RC   Se analisarmos essa equação, veremos que a voltagem sempre aumentará até atingir um patamar máximo. Isso ocorre, pois o valor da exponencial é cada vez menor, indicando que o valor que está sendo diminuído é cada vez menor. A carga do capacitor estará aumentando também, devido à voltagem crescente no circuito. Por outro lado, a corrente diminuirá até chegar a zero, que ocorre quando o capacitor está completamente carregado. Uma ilustração do gráfico da corrente e da carga do capacitor ao longo do tempo pode ser conferida a seguir.

Podemos observar, pelo gráfico, que a constante de tempo RC pode ser calculada a partir do ponto onde o capacitor já está 63% carregado ou quando a corrente no circuito já diminuiu a 37% do seu valor original. Outra aplicação é quando um capacitor carregado é colocado para ser descarregado com um resistor. Nesse caso, a corrente de descarregamento seguirá a mesma curva que para o carregamento, mostrada anteriormente. A curva da carga seguirá uma curva parecida com essa curva da corrente de descarregamento.

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Circuito com fonte constante – RC em paralelo

O circuito RC paralelo não é de grande interesse geralmente, pois a tensão de entrada do circuito é igual à tensão de saída do mesmo. Além disso, esse circuito não atua como um filtro no sinal de entrada, atuando dessa forma apenas quando alimentado por uma fonte de corrente. Dessa forma, será analisado aqui o circuito alimentado por uma fonte de corrente alternada. Nos circuitos em paralelo, sabemos que todos os componentes estão submetidos à mesma diferença de potencial. Assim, o capacitor e o resistor estarão submetidos à mesma voltagem. Ao aplicar a tensão V no circuito, surge uma corrente no resistor que se encontra em fase com a tensão aplicada. Já no capacitor, a corrente que surge no mesmo não está em fase com a voltagem, mas, sim, adiantada de 90º. Isso ocorre, pois antes de aparecer uma diferença de potencial nas armaduras do capacitor, ele necessita ser carregado. Ou seja, a corrente aparece primeiro, carregando o capacitor, para depois aparecer a tensão. Assim, ficamos com uma ilustração parecida com a figura a seguir.

A partir do circuito fornecido, sabemos que a corrente total será calculada a partir da soma das componentes do resistor e do capacitor. Porém, como a corrente do capacitor está adiantada, essa soma não se procede da maneira convencional, mas, sim, por vetores formando 90º entre si, conforme ilustração abaixo. Essa soma é chamada de fasorial.

i T2  i 2R  i C2

i T  i 2R  i C2

A corrente do resistor é calculada pela simples divisão da voltagem pela sua resistência. Para o cálculo da corrente no capacitor, é necessário ter o conceito de reatância capacitiva. Esse conceito pode ser explicado como a resistência oferecida por um capacitor à passagem de corrente elétrica. Ela é dependente da capacitância do capacitor e da frequência da corrente alternada empregada, em Hz. Essa reatância e a corrente presentes no capacitor são calculados a partir de: RC 

1 2fC



iC 

V  2fCV RC

Circuitos RL

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Circuito autônomo

Vamos utilizar os mesmos princípios norteadores da seção anterior. No entanto, vamos utilizar um balanço de voltagens nesse momento, visto que a expressão da corrente para o indutor envolve uma integral da voltagem. A partir do circuito proposto, temos que a soma das voltagens do indutor com a do resistor deve ser nula, visto que não estamos empregando uma fonte de tensão nesse caso. Assim, ficamos com:

VL  VR  0 it 



L



L

di  Ri dt

 it   Rt    ln  L  i0 

t

di R i i   L 0 dt 0

di  Ri  0 dt



 Rt  it   i 0 exp     L

Onde i0 é a corrente no instante t = 0. O termo – R/L é chamado de constante de tempo para os circuitos RL. A partir da figura ao lado, podemos notar que, transcorridas 4 unidades de tempo, a corrente se reduz a 2% do valor inicial empregado no circuito.

→

Circuito com fontes constantes – RL em série

Partindo de um raciocínio similar ao empregado no item anterior, vamos utilizar o balanço das voltagens novamente. Nesse caso, temos que a soma das voltagens do resistor e do indutor é igual à voltagem E empregada no circuito. Escrevendo matematicamente essa informação, temos: VL  VR  E  it 

L



t

di 1 i E  Ri  L 0 dt 0

E  Rit   Rt   exp    E  Ri 0  L it  

di  Ri  E dt







L

di  E  Ri dt

1  E  Rit   t  ln  R  E  Ri 0  L

 Rt  E  Rit   E  Ri 0  exp     L

1  Rt  1   Rt  E  E  Ri 0  exp     E  Ri 0  E  exp     R  L  R   L 

Onde temos i0 como a corrente elétrica no instante t = 0. Nessa equação, a primeira parte dela representa a componente forçada da corrente, enquanto a segunda parte seja a componente transitória da mesma. Quando temos esse circuito fechado, a corrente elétrica aumenta conforme ilustrado na figura a seguir. Ela não irá direto para o seu valor final porque a variação de fluxo magnético através da bobina induz uma força eletromotriz contrária ao aumento de corrente. Após L/R segundos, a corrente aumenta até cerca de 63% do seu valor máximo, que é igual ao resultado da divisão de E por R. Depois de muito tempo operando no circuito, a corrente muda tão pouco durante o tempo que a força eletromotriz contrária ao seu momento, imposta pela bobina, é desprezível.

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Circuito com fontes constantes – RL em paralelo

Quando há a conexão do resistor e do indutor em paralelo, ambos os equipamentos recebem a mesma voltagem. Por essa razão é que a voltagem será usada como referência nos cálculos desenvolvidos nessa seção. Quando for aplicada uma voltagem V em uma rede de corrente alternada, o resistor receberá essa voltagem e, a corrente que o atravessa é calculada pela simples divisão entre a voltagem empregada e sua resistência (1ª Lei de Ohm). Já para o indutor, a corrente que o atravessa também será gerada, mas o será de forma atrasada devido à autoindução presente nele. Ou seja, devido à voltagem inicial, um campo magnético é gerado no indutor, provocando o surgimento de uma força eletromotriz já que as ligações estão fechadas, gerando dessa forma a corrente no indutor. Por isso ela é

atrasada em relação à voltagem. Logo, a corrente no resistor está em fase com a voltagem, mas a corrente no indutor está atrasada em 90º (observe a figura inicial dessa seção). Novamente, como no caso do circuito RC em paralelo, a soma será fasorial nesse caso, ou seja: i T2  i 2R  i 2L



i T  i 2R  i 2L

A corrente do resistor, conforme dito anteriormente, é calculada pela simples divisão da voltagem pela sua resistência. Para o cálculo da corrente no indutor, é necessário ter o conceito de reatância indutiva. Esse conceito pode ser explicado como a resistência oferecida por um indutor à passagem de corrente elétrica alternada. Ela é dependente da indutância do indutor e da frequência da corrente alternada empregada, em Hz. Essa reatância e a corrente presentes no indutor são calculados a partir de: R L  2fL



iL 

V V  R L 2fL

Circuito RLC

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Circuito com fonte constante – RLC em série

Como estamos trabalhando inicialmente com um circuito em série, sabemos que a voltagem se divide entre os componentes e a corrente que os atravessa é a mesma. A partir da lei de Kirchhoff das tensões, temos: VL  VR  VC  E



L

di  Ri  VC  E dt

Sendo, assim, uma equação diferencial em função de i e de VC. Para reduzirmos a apenas uma incógnita, podemos recorrer à equação do capacitor, que diz:

iC

dVC dt



d 2 VC di C dt dt 2

Substituindo na equação original, chegamos a:

L

di  Ri  VC  E dt



LC

d 2 VC dV  RC C  VC  E 2 dt dt

d 2 VC R dVC VC E    2 L dt LC LC dt Dessa forma, temos uma equação diferencial de segunda ordem em função de VC. Inicialmente, vamos resolver a homogênea associada a ela, ou seja:

d 2 VC R dVC VC   0 L dt LC dt 2



2 

R 1  0 L LC

Calculando o valor de Δ para essa equação do segundo grau, chegamos a:

 R2 1 R2 4 1  R    b 2  4ac     4.1.  2   4 2  LC L LC L  4L LC  2

2  R2 R 1    R  2 R  1   4 2  2 L b   4L LC  L 4L2 LC   R  R  1    2a 2.1 2 2L 4L2 LC

R R   1         2L  2L   LC  2

2



 1   R  2L    R  2   2L  

 R   1        2L   LC  2

2

R   1        2L   LC  2

2

O primeiro parâmetro, que é igual a R/2L, é representado pela letra grega α e significa amortecimento. O segundo termo que está dentro da raiz, que é igual à raiz quadrada de 1/LC, é representado pela letra grega ω e significa frequência natural não amortecida. Agora, devemos analisar o valor que se encontra no interior da raiz anterior: ●

Se α > ω:

Nesse caso, o valor no interior da raiz é positivo e a equação do segundo grau gerada possui duas raízes reais e distintas. Logo, a solução da equação diferencial será representada por uma combinação de exponenciais da forma: VC t   C1e 1t  C 2 e  2 t  E

Onde o E aparece devido à solução particular da equação diferencial fornecida. Os expoentes das exponenciais são as raízes da equação característica obtida e as constantes C1 e C2 são obtidas a partir de condições de contorno propostas pelo enunciado. Nesse caso, temos um amortecimento forte, visto que o amortecimento é maior do que a frequência não amortecida. Assim, nesse caso, a voltagem tende a zero de uma maneira decrescente em toda a sua extensão, não sendo oscilatória por sua vez.

●

Se α = ω:

Nesse caso, o valor no interior da raiz é nulo e a equação do segundo grau gerada possui duas raízes reais e iguais, ou seja, é o mesmo que dizer que há apenas uma raiz real. Logo, a solução da equação diferencial será apresentada novamente como uma combinação de exponenciais, com uma pequena diferença, da forma: VC t   C1e 1t  C 2 te 2 t  E

Onde cada símbolo representa o mesmo que foi descrito no item anterior. Nesse caso, temos um amortecimento crítico, visto que amortecimento e frequência não amortecida são iguais. ●

Se α < ω:

Nesse caso, o valor no interior da raiz é negativo e a equação do segundo grau gerada possui duas raízes complexas. Logo, teremos uma combinação de senos e cossenos na solução da equação diferencial obtida. Dessa forma, a solução da equação será da forma: 2

R R R   1           i 2L 2L  2L   LC  2

VC t   e at C1sen bt   C 2 cos bt   E

2

 1  R        a  bi  LC   2L 

onde

2

R  a    2L  2 2  b   1    R      LC   2L 

Onde as constantes a e b são calculadas a partir das fórmulas apresentadas ao lado. Essas são, respectivamente, a parte real e a parte imaginária das soluções da equação característica. A raiz da constante b aparece invertida em relação à calculada originalmente da equação característica. Isso ocorre, pois aquela inicial apresenta valor negativo em seu interior, sendo alterada a ordem a fim de que a mesma fique positiva e produza uma raiz real, visto que o trecho complexo já está simbolizado pela letra “i”. Nesse caso, temos um amortecimento fraco, visto que a frequência não amortecida é superior ao amortecimento. Dessa forma, o circuito é oscilador harmônico e tende a uma voltagem nula quando ligado por um tempo suficientemente longo. Logo, ele tende a zero de forma oscilatória. Assim, quando R ≠ 0, o circuito será do tipo oscilador, porém tendendo a zero, ou seja, perdendo energia ao longo do tempo. Caso o amortecimento seja nulo, ou seja, R = 0, as raízes da equação característica tornam-se puramente imaginárias e o termo exponencial inicial não aparecerá mais. Esse circuito é chamado de oscilador harmônico linear, pois oscila sem perder energia. As condições para se descobrir as constantes das soluções são as seguintes: ●

Voltagem inicial no capacitor VC(0);

● A derivada da voltagem do capacitor em relação ao tempo é igual à corrente inicial dividida pela capacitância do capacitor, ou seja, dVC(0)/dt = i(0)/C.

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Circuito com fonte constante – RLC em paralelo

Como estamos trabalhando com um circuito em paralelo, sabemos que a corrente se dividirá entre os ramos do circuito e a voltagem será a mesma em todos os componentes. Assim, aplicando a lei de Kirchhoff para as correntes, visto que a corrente total será calculada a partir da soma das correntes individuais, temos: iC  iR  iL  I



C

dV V   iL  I dt R

Não substituímos a corrente do indutor, pois ela é calculada a partir de uma integral da voltagem empregada. Mas, escrevendo a voltagem em função da corrente no indutor (iL), temos:

VL

di L dt

d 2i dV  L 2L dt dt



Substituindo na lei de Kirchhoff, chegamos a:

CL

d 2 i L 1 di L  L  iL  I dt 2 R dt

d 2i L 1 di L i L I    2 RC dt LC LC dt



Formando, assim, uma equação diferencial da corrente no indutor em função do tempo. Para resolvermos essa equação, vamos utilizar os mesmos princípios empregados no tópico anterior, ou seja, partindo da homogênea, temos:

d 2i L 1 di L i L   0 2 RC dt LC dt



2 

1 1  0 RC LC

Calculando o valor de Δ para essa equação do segundo grau, chegamos a: 2

1 1 4 1   1   1   b  4ac    2 2   4    4.1.  2 2 LC R C LC LC   RC   4R C 2



b   2a



1 1   1 1 1 1  4 2 2    2  2 2 RC LC 4 R C   RC LC 4R C  2.1 2 2

1 1 1 1 1  1          2 2 2RC LC 2RC LC 4R C  2RC 

1  1   1         2RC  2RC   LC  2

2



 1   1  2RC    1  2   2RC  

 1   1        2RC   LC  2

2

 1   1        2RC   LC  2

2

Para o caso do circuito em paralelo, o primeiro parâmetro, que é igual a 1/2RC, é representado pela letra grega α e significa amortecimento. O segundo termo que está dentro da raiz, que é igual à raiz quadrada de 1/LC, é representado pela letra grega ω e significa frequência natural não amortecida. Agora, devemos analisar o valor que se encontra no interior da raiz anterior: ●

Se α > ω:

Nesse caso, o valor no interior da raiz é positivo e a equação do segundo grau gerada possui duas raízes reais e distintas. Logo, a solução da equação diferencial será representada por uma combinação de exponenciais da forma:

i L t   C1e 1t  C 2 e  2 t  I Onde o I aparece devido à solução particular da equação diferencial fornecida. Os expoentes das exponenciais são as raízes da equação característica obtida e as constantes C1 e C2 são obtidas a partir de condições de contorno propostas pelo enunciado. Nesse caso, temos um amortecimento forte, visto que o amortecimento é maior do que a frequência não amortecida. Assim, nesse caso, a voltagem tende a zero de uma maneira decrescente em toda a sua extensão, não sendo oscilatória por sua vez. ●

Se α = ω:

Nesse caso, o valor no interior da raiz é nulo e a equação do segundo grau gerada possui duas raízes reais e iguais, ou seja, é o mesmo que dizer que há apenas uma raiz real. Logo, a solução da equação diferencial será apresentada novamente como uma combinação de exponenciais, com uma pequena diferença, da forma:

i L t   C1e 1t  C 2 te 2 t  I Onde cada símbolo representa o mesmo que foi descrito no item anterior. Nesse caso, temos um amortecimento crítico, visto que amortecimento e frequência não amortecida são iguais. ●

Se α < ω:

Nesse caso, o valor no interior da raiz é negativo e a equação do segundo grau gerada possui duas raízes complexas. Logo, teremos uma combinação de senos e cossenos na solução da equação diferencial obtida. Dessa forma, a solução da equação será da forma: 2

1 1  1   1        i    2RC 2RC  2RC   LC  2

2

 1   1        a  bi  LC   2RC  2

i L t   e at C1sen bt   C 2 cos bt   I onde

1  a   2RC  2 2  b   1    1      LC   2RC 

Onde as constantes a e b são calculadas a partir das fórmulas apresentadas ao lado. Essas são, respectivamente, a parte real e a parte imaginária das soluções da equação característica. A raiz da constante b aparece invertida em relação à calculada originalmente da equação característica. Isso ocorre, pois aquela inicial apresenta valor negativo em seu interior, sendo alterada a ordem a fim de que a mesma fique positiva e produza uma raiz real, visto que o trecho complexo já está simbolizado pela letra “i”. Nesse caso, temos um amortecimento fraco, visto que a frequência não amortecida é superior ao amortecimento. Dessa forma, o circuito é oscilador harmônico e tende a uma corrente nula quando ligado por um tempo suficientemente longo. Logo, ele tende a zero de forma oscilatória. Assim, o circuito será do tipo oscilador, porém tendendo a zero, ou seja, perdendo corrente ao longo do tempo. Caso o amortecimento seja nulo, ou seja, R = ∞, as raízes da equação característica tornam-se puramente imaginárias e o termo exponencial inicial não aparecerá mais. Esse circuito é chamado de oscilador harmônico linear, pois oscila sem perder energia. As condições para se descobrir as constantes das soluções são as seguintes: ●

Corrente inicial no indutor iL(0);

● A derivada da corrente do indutor em relação ao tempo é igual à voltagem inicial dividida pela indutância do indutor, ou seja, diL(0)/dt = V(0)/L. Agora, vamos resolver um exemplo de cada caso (série e paralelo), a fim de proporcionar um melhor entendimento do conceito trabalhado.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Questão 01) Considere um circuito RLC em série com R = 280Ω, L = 100mH e C = 0,4μF excitado por uma fonte de tensão contínua de E = 48V. A tensão inicial no capacitor, bem como a corrente no indutor, são nulas. Determine a tensão sobre o capacitor VC(t).