Circuitos Rc

Laboratorio Circuitos Resistivos y Capacitivos

Por

Juan David Palacio Mejia

Politécnico Colombiano Jaime isaza Cadavid Medellín 2007

Objetivos •

Comprender el funcionamiento de una resistencia

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Comprender el funcionamiento de un capacitor Investigar como se carga y de descarga un capacitor y cuando demora este en cargarse y descargarse.

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Introducción Con el informe que a continuación se encuentra la información acerca los los circuitos RC, estos circuitos constan de resistencias y capacitares que interactúan en un circuito, este lograra cargar o descargar el capacitor, según sea la necesidad. Aquí mismo se describen las ecuaciones matemáticas necesarias para calcular estos fenómenos, además también hace parte de esta memoria el tiempo que demora este en cargar y descargar. MARCO TEÓRICO Circuitos RC La figura ilustra un ejemplo de un circuito resistor-capacitor, o circuito RC. En la parte a del dibujo un interruptor completa el circuito en el punto A, de modo que la batería puede cargar las placas del capacitor. Cuando el interruptor esta cerrado, el capacitor no se carga de inmediato. En vez de lo anterior, la carga llega gradualmente a su valor de equilibrio de q= CVo, en donde Vo es la tensión de la batería.

Carga de un capacitor Si cargamos al capacitor de la figura siguiente al poner el interruptor Sen la posición a. ¡ Que corriente se crea en el circuito cerrado resultante?, aplicando el principio de conservación de energía tenemos:

En el tiempo dt una carga dq (=i dt) pasa a través de cualquier sección transversal del circuito. El trabajo ( = Є dq) efectuado por la fem debe ser igual a la energía interna ( i2 Rdt) producida en el resistor durante el tiempo dt, mas el incremento dU en la cantidad de energía U (=q2/2C) que esta almacenada en el capacitor. La conservación de la energía da: Є dq = i2 Rdt + q2/2C Є dq = i2 Rdt + q/c dq Al dividir entre dt se tiene: Є dq / dt = i2 Rdt + q/c dq/dt Puesto que q es la carga en la placa superior, la i positiva significa dq/dt positiva. Con i = dq/dt, esta ecuación se convierte en : Є = i Rdt + q/c

La ecuación se deduce también del teorema del circuito cerrado, como debe ser puesto que el teorema del circuito cerrado se obtuvo a partir del principio de conservación de energía. Comenzando desde el punto xy rodeando al circuito en el sentido de las manecillas del reloj, experimenta un aumento en potencial, al pasar por la fuente fem y una disminución al pasar por el resistor y el capacitor, o sea: Є -i R - q/c = 0 La cual es idéntica a la ecuación Є = i Rdt + q/c sustituimos primero por i por dq/dt, lo cual da: Є = R dq / dt + q/c Podemos reescribir esta ecuación así: dq / q - Є C = - dt / RC Si se integra este resultado para el caso en que q = 0 en t= 0, obtenemos: (despejando q), q= C Є ( 1 – e-t/RC) Se puede comprobar que esta función q (t) es realmente una solución de la ecuación Є = R dq / dt + q/c , sustituyendo en dicha ecuación y viendo si reobtiene una identidad. Al derivar la ecuación q= C Є ( 1 – e-t/RC) con respecto al tiempo da: i = dq = Є e-t/RC dt R En las ecuaciones q= C Є ( 1 – e-t/RC) y i = dq = Є e-t/RC la cantidad RC tiene dt R las dimensiones de tiempo porque el exponente debe ser adimensional y se llama constante capacitiva de tiempo τ C del circuito τ C = RC Es el tiempo en que ha aumentado la carga en el capacitor en un factor 1- e-1 (~63%) de su valor final C Є , Para demostrar esto ponemos t = τ C = RC en la ecuación q= C Є ( 1 – e-t/RC) para obtener: q= C Є ( 1 – e-1) = 0.63 C Є Corriente i y carga del capacitor q. La corriente inicial es Io y la carga inicial en el capacitor es cero. La corriente se aproxima asintóticamente a cero y la carga del capacitor tiende asintóticamente a su valor final Qf. Constante de tiempo Después de un tiempo igual a RC, la corriente en el circuito R- C disminuye a 1/e ( cerca de 0.38) de su valor inicial. En este momento, la carga del capacitor ha alcanzado (1 – 1/e) = 0.632 de su valor final Qf= C Є . El producto RC es, pues una medida de que tan rápido se carga el capacitor. RC se llama constante de tiempo o tiempo de relajación del circuito y se representa con τ : τ = RC ( constante de tiempo para un circuito R – C). Cuando τ es pequeña, el capacitor se carga rápidamente; cuando es mas grande, la carga lleva mas tiempo. Si la resistencia es pequeña, es mas fácil que fluya corriente y el capacitor se carga en menor tiempo.

Descarga de un capacitor Considérese el circuito de la siguiente figura que consta de un capacitor con una carga inicial Q, una resistencia y un interruptor. Cuando el interruptor está abierto (parte a), existe una diferencia de potencial Q / C a través del capacitor y una diferencia de potencial cero a través de la resistencia ya que I = 0. Si el interruptor se cierra al tiempo t = 0, el capacitor comienza a descargarse a través de la resistencia. En algún tiempo durante la descarga, la corriente en el circuito es I y la carga del capacitor es q (parte b) . De la segunda Ley de Kirchhoff, se ve que la caída de potencial a través de la resistencia, IR, debe ser igual a la diferencia de potencial a través del capacitor, q / C: IR = q c

Sin embargo, la corriente en el circuito debe ser igual a la rapidez de decrecimiento de la carga en el capacitor. Es decir, I = - dq/ dt, así la ecuación IR = q/c viene a dar : - R dq = q dt c dq = - 1 dt q RC Integrando esta expresión y utilizando el hecho de que q= Q para t = 0 se obtiene:

Diferenciando la última ecuación con respecto al tiempo se tiene la corriente como función del tiempo:

donde la corriente inicial Io = Q/RC. Por lo tanto, se ve que la carga del capacitor y la corriente decaen exponencialmente a una rapidez caracterizada porla constante de tiempo τ = RC. 7. Bibliografia 1) Serway Raymond A. "Física Tomo II" Tercera edición en español ,Editorial Mc Graw Hill. México, 1992 2) Halliday David / Resnick Robert / Krane Kenneth S. "Física Vol.2" Tercera edición en español , Editorial Continental. México, 1996 3) Cutnell John D. / Jonson Kenneth W. "Física" Primera edición , Editorial Limusa. México, 1986 4) Sears Francis W. / Zemansky Mark W. / Young Hugh D./ Freedman Roger A. " Física Universitaria Vol.2 " novena edición, Editorial Addison Wesley. México, 1998