Circuitos Electricos Libro Completo

´Indice general

´ INTRODUCCION

5

1. REDES SUMERGIDAS EN DOS VARIABLES

7

1.1. Elementos Circuitales Transformados en s . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.1. Fuentes Ideales Transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.2. Resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.3. Inductancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.4. Capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2. Concepto de Funci´on de Circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2. REDES DE DOS PUERTAS.

17

2.1. Par´ametros de un Cuadripolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2. Otras Funciones de Circuito de un cuadripolo . . . . . . . . . . . . . .

25

2.3. Impedancia Caracter´ıstica de un cuadripolo . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.4. Conexiones de los cuadripolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.4.1. Conexi´on serie y equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.4.2. Conexi´on paralelo y equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.4.3. Conexi´on cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.4.4. Conexiones mixtas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.5. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

1

´INDICE GENERAL

´INDICE GENERAL

´ ´ DE CUADRIPOLOS 3. TECNICAS PARA REDUCCION

37

3.1. Equivalencia de un cuadripolo utilizando Millman . . . . . . . . . . . .

37

3.2. Reciprocidad aplicada a cuadripolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.3. Teoremas de Thevenin y Norton en cuadripolos . . . . . . . . . . . . .

40

3.4. Equivalencia T, Π; Π, T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.5. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

´ DE TRANSFERENCIA H(S) 4. LA FUNCION

53

4.1. Polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

4.2. H(s) como funci´on compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

4.3. Respuesta forzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

4.4. Ejercicio Propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

´ 5. FILTROS ELECTRICOS

69

5.1. Tipos de filtros el´ectricos pasivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

5.1.1. Filtro Pasa Bajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

5.1.2. Filtro Pasa Alto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

5.1.3. Filtro Pasa Banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

5.1.4. Filtro Eliminador de Banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

5.1.5. Modelos circuitales para filtros pasivos . . . . . . . . . . . . . .

72

5.1.6. Filtros pasa bajo tipo T y Π normalizados . . . . . . . . . . . .

73

5.1.7. Filtros pasa alto tipo T y Π normalizados . . . . . . . . . . . .

77

5.1.8. Filtros pasa banda tipo T y Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

5.1.9. Filtro eliminador de banda tipo T . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

5.2. Fundamentos de los filtros activos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

5.2.1. Filtro pasa bajo Butterworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

5.2.2. Filtro pasa alto Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

5.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

2

´INDICE GENERAL

6. RESPUESTA EN FRECUENCIA

3

89

6.1. Diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

6.2. Casos generales para los diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . .

91

6.3. Criterio de estabilidad de Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100

6.4. Polos referenciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100

6.5. Criterio de Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102

6.5.1. Condici´on suficiente de Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

6.6. F´ormulas de Vieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

6.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106

7. SERIES DE FOURIER

107

7.1. Consideraciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

7.2. Conceptos de aproximaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

7.3. La serie trigonom´etrica de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110

7.4. Funciones peri´odicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

7.5. Propiedades generales de las series de Fourier . . . . . . . . . . . . . .

114

7.6. La transformada continua de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

7.7. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122

8. BIBLIOGRAFIA

123

4

´INDICE GENERAL

´ INTRODUCCION La secuencia en el ´area de los circuitos el´ectricos de la Facultad de Ingenier´ıa El´ectrica de la Universidad Tecnol´ogica de Pereira parte de los m´as simples conceptos y leyes que los puedan modelar hasta la teor´ıa de los Circuitos El´ectricos III existiendo una sustentaci´on v´alida de ´esta; esto es , la descripci´on de ellos desde su g´enesis en la variable tiempo y luego hacia la variable frecuencia en donde ambas son realidades f´ısicas cualificables y cuantificables. Para la primera variable, tiempo, los cursos de Circuitos I y II han demostrado llenar las espectativas y niveles deseados existiendo libros gu´ıas b´asicos y otros escritos en el seno de la misma facultad pero, desafortunadamente para el curso de Circuitos El´ectricos III no existe ´este y por una raz´on fundamental; los t´opicos tratados est´an dispersos en sus fuentes y adem´as a trav´es de los a˜ nos la importancia del comportamiento en la frecuencia de ellos es innegable; tratamiento con la utilizaci´on de herramientas como la transformada de Laplace por ejemplo. El texto se divide en dos apartes as´ı: La primera, con los cap´ıtulos 1,2 y 3, el estudiante avanza, apoyado en la Transformada de Laplace, en conocimientos en el manejo de los teoremas y principios b´asicos de las redes el´ectricas desde y bajo el concepto de funciones de circuito hacia el entendimiento de funci´on de transferencia.

La segunda, cap´ıtulos 4,5,6 y 7, se pasa, cualitativamente, a la frecuencia llegando inclusive al terreno de las Series de Fourier, la antesala de las Transformadas Continuas de Fourier continuas, base ineludible para el entendimiento y manejo de se˜ nales en las comunicaciones modernas y por u ´ltimo a manera de ayuda se agrega un programa general hecho en Matlab. 5

6

´INDICE GENERAL

Hasta ac´a es el prop´osito general de este texto; el veredicto de la pr´actica docente y con los estudiantes lo har´an, as´ı se espera, madurar a trav´es de sus aciertos y errores.

Cap´ıtulo 1

REDES SUMERGIDAS EN DOS VARIABLES El describrir una red el´ectrica a trav´es del tiempo por medio de leyes y principios simples como; la ley de Ohm, ley de Ampere, ley de Faraday, superposici´on, linealidad, etc.,es una s´ıntesis que permite una aproximaci´on de ellas del como se comportan en la realidad. Estas leyes y principios son invariantes y los modelos circuitales y ecuaciones generadas son formulaciones basadas con consideraciones de tipo ideal. Son las mismas en la frecuencia aunque no hayan sido formuladas bajo esta variable y su presentaci´on matem´atica sea diferente.

Figura 1.1: Redes en t y en w. La Transformada de Laplace permite lo anterior en la variable s.

Existen otras transformadas con las consideraciones anteriores, sea que se traten en 7

CAP´ITULO 1. REDES SUMERGIDAS EN DOS VARIABLES

8

forma continua o discreta, que desembocan en la frecuencia y ah´ı radica una de sus utilidades.

Adem´as, la Transformada de Laplace, permite resolver una serie de ecuaciones diferenciales, integrodiferenciales bajo ciertas condiciones y la mayor´ıa de las veces agiliza el manejo algebr´aico de ´estas; no sucediendo lo mismo en su manipulaci´on en el tiempo, a´ un m´as; escudri˜ nar una se˜ nal en una red de una manera amplia a partir de una referencia como el tiempo bajo sus condiciones iniciales y llegar a unas condiciones finales. Ahora; con el cambio de variable s = jw (plano complejo) deja de ser una mera formulaci´on matem´atica al llegar a la variable real y f´ısicamente medible; la frecuencia w.

Figura 1.2: Redes en t en s y en w.

En los tres primeros cap´ıtulos s´olo se tratan ciertas redes sumergidas en s.

1.1.

Elementos Circuitales Transformados en s

Los elementos circuitales a tratar se consideran invariantes con el tiempo, concentrados, donde se pueda aplicar el principio de la superposici´on y la linealidad, no se transforman los “elementos” lo que se va hacer es obtener de la Transformada de Laplace aplicada a las se˜ nales de tensi´on y/o de corriente que aparecen sobre ellos bajo una ley general.

1.1. ELEMENTOS CIRCUITALES TRANSFORMADOS EN S

1.1.1.

9

Fuentes Ideales Transformadas

Figura 1.3: Fuentes transformadas en s.

1.1.2.

Resistencia v(t) = Ri(t) ←→

V (s) = RI(s)

Figura 1.4: Resistencia en t y en s. Se define Impedancia resistiva transformada a Z(s) =

V (s) =R I(s)

(1.1)

Y (s) =

I(s) 1 = V (s) R

(1.2)

o Admitancia transformada a

CAP´ITULO 1. REDES SUMERGIDAS EN DOS VARIABLES

10

1.1.3.

Inductancia v(t) = L

di(t) dt

←→

V (s) = L [sI(s) − i(0)]

Figura 1.5: Inductancia con fuente de tensi´on en s. Hay una fuente de tensi´on que depende exclusivamente de la inductacia L e i(0− ) o a la condici´on inicial que existe en la inductancia ligada al flujo magn´etico confinado φ(t) = Li(t) en 0− φ(0−) = Li(0− )

(1.3)

Se considera que ´este en 0− ni en 0+ (elemento propio) no cambia φ(0− ) = φ(0) = φ(0+ ) Conservaci´on de flujo; ahora, si se hace i(0)=0

(1.4)

se define Impedancia inductiva

transformada a Z(s) =

V (s) = Ls I(s)

(1.5)

Y (s) =

I(s) 1 = V (s) Ls

(1.6)

o Admitancia transformada a

Lo que indica que tanto Z(s) o Y(s) s´olo dependen de L y de s , propia de cada inductancia de valor L, y no de i(0). De la representaci´on circuital anterior, despejar a I(s)

Figura 1.6: Inductancia como fuente de corriente en s.

1.1. ELEMENTOS CIRCUITALES TRANSFORMADOS EN S

11

Es la transformaci´on a fuente de corriente, desde una fuente de tensi´on, a su nueva representaci´on. No es m´as que la transformada de la ecuaci´on; Z 1 t v(x)dx i(t) = L −∞

1.1.4.

(1.7)

Capacitancia i(t) = C

dv(t) dt

←→

I(s) = C [sV (s) − vc (0)]

Figura 1.7: Capacitancia en t.

Figura 1.8: Capacitancia como fuente de corriente. Existe una fuente de corriente dependiente de C y de vc (0− ), a la carga Q(0− ), si ´esta no cambia en 0− ni en 0+ (elemento propio), Q(0− ) = Q(0) = Q(0+ )

(1.8)

Si se hace vc (0) = 0, se define Admitancia capacitiva transformada a Y (s) =

I(s) = Cs V (s)

(1.9)

CAP´ITULO 1. REDES SUMERGIDAS EN DOS VARIABLES

12

O Impedancia capacitiva transformada: Z(s) =

V (s) 1 = I(s) Cs

(1.10)

Y(s) como Z(s) s´olo dependen de C y de s, son propias de cada capacitancia de valor C, y no de vc (0). La representaci´on anterior se puede llevar a

Figura 1.9: Capacitancia como fuente de tensi´on. Es la transformaci´on a fuente de tensi´on de su nueva representaci´on y no es m´as que la transformada de la ecuaci´on 1 V (t) = C

Z

t

i(x)dx −∞

Ejemplo de aplicaci´ on: Para el circuito mostrado llevarlo a su equivalente en s,

Figura 1.10: Ejemplo de red en t. si K se pasa en t=0 de 1 a 2. Este muestra las condiciones iniciales

(1.11)

´ DE CIRCUITO 1.2. CONCEPTO DE FUNCION

13

Figura 1.11: Condiciones iniciales.

Figura 1.12: Red transformada en s.

E1 (s) =

1 2

,

E2 (s) =

1 s

al encontrar cualquier se˜ nal de tensi´on o de corriente sobre cualquier elemento de este circuito tendr´a dos componentes; una provocada por la fuente E(s) y la otra por las fuentes relacionadas con las condiciones iniciales. As´ı por ejemplo

Vab (s) =

2 12s2 2 E(s) + E (s) + E2 (s) 1 12s2 + s + 2 12s2 + s + 2 12s2 + s + 2

aplicando el Principio de la Superposici´on.

1.2.

Concepto de Funci´ on de Circuito

Sea la red mostrada en la siguiente figura

CAP´ITULO 1. REDES SUMERGIDAS EN DOS VARIABLES

14

Figura 1.13: Red de n puertas en t y en s. Esta puede estar conformada por fuentes dependientes ( no acoples externos que involucren otra puerta de entrada) e independientes, elementos activos y adem´as se tiene acceso a n puntos o puertas (red de n puertas) con sus respectivas tensiones y corrientes. Ahora, si se considera como una caja negra y sobre ella se hacen pruebas de corto circuito o de circuito abierto, tensiones cero o eliminaci´on de corriente, por lo general es posible encontrar un conjunto de n×n ecuaciones linealmente independientes con el apoyo del principio de superposici´on, que relacionan las tensiones, corrientes entre s´ı y, adem´as originan relaciones propias de la red; relaciones que s´olo pertenezcan a ´esta. Si se tratara de plasmarlas en el tiempo, variable t, probablemente aparecer´ıan ecuaciones integrodiferenciales y reducirlas de tipo algebr´aico, racionales, s´olo se puede lograr en el plano s, s´ı y s´olo s´ı ,se hacen las condiciones iniciales nulas porque ´estas no permitir´ıan obtener este conjunto de ecuaciones en forma independiente, adem´as, de forma u ´nica y propia. Existen posibilidades algebraicas como [E] = [M ] [I] ;

T ensiones contra corrientes.

[I] = [M ] [E] ;

Corrientes contra tensiones.

Para [M ] matrices, en s, de n × n dimensi´on, diferentes, conformadas por elementos que s´olo dependen de la red y de su constituci´on. [E] = [M ] [I] ;

[M ] matriz con elementos de impedancia.

[I] = [M ] [E] ;

[M ] matriz con elementos de admitancia.

Para el caso de elementos de impedancia

1.3. EJERCICIOS PROPUESTOS

[E] = [M ] [I] ;

15

[M ] = [Z]



E1





Z11 Z12

    E2   Z21 Z22        . = . .     .   . .    En Zn1 Zn2

Z1n . .



  Z2n    .    .   Znn

I1



 I2    .   .   In

(1.12)

E1 = Z11 I1 + Z12 I2 + − − +Z1n In E2 = Z21 I1 + Z22 I2 + − − +Z2n In .. .. . .

(1.13)

En = Zn1 I1 + Zn2 I2 + − − +Znn In

con pruebas o ensayos de eliminaci´on de corriente (circuito abierto) en los puntos o puertas se pueden encontrar cada uno de los elementos de [Z] , por ejemplo,

Z11 =

todas las anteriores con

E1 , I1

Z21 =

E2 , I1

........,

Zn1 =

En I1

(1.14)

I2 = I3 = ...... = In = 0,

donde, por supuesto, [Z] depende de la red, no de las [E] ni de las [I] , s´ı de sus relaciones y tendr´an forma racionales en s. Estos elementos se definen como Funciones de Circuito de Impedancia y en su conjunto permiten la superposici´on en el sistema lineal de ecuaciones.

1.3.

Ejercicios Propuestos

1. Para la red mostrada hallar a [Z],[Y].

CAP´ITULO 1. REDES SUMERGIDAS EN DOS VARIABLES

16

Figura 1.14: Ejercicio propuesto 1. 2. Transformar el siguiente arreglo

Figura 1.15: Ejercicio propuesto 2.

3. A una red de n puertas con acoples externos ser´a posible encontrarle sus funciones de circuito? Explicar.

Cap´ıtulo 2

REDES DE DOS PUERTAS. Dentro de la teor´ıa de redes las de dos puertas son de las m´as comunes entre otras cosas porque, a traves de ellas, es posible modelar y analizar arreglos, por ejemplo, en las ´areas de potencia y electr´onica.

Figura 2.1: Red de dos puertas en s.

A estas, ya transformadas, se les denomina cuadripolos. En cada una de sus puertas o puntos de acceso se pueden realizar ensayos o pruebas de corto circuito y de circuito abierto o eliminaci´on de corriente. N´otese que por ser cuatro se˜ nales operando en ´estos se pueden obtener veinticuatro funciones de circuito como elementos de las seis matrices donde se relacionan estas cuatro se˜ nales conformando sistemas de dos ecuaciones linealmente independientes con dos inc´ognitas solo s´ı estas redes se puedan configurar como cuadripolos.

Estas funciones de circuito se pueden encontrar con pruebas o ensayos y es necesario hacer las condiciones iniciales cero tienendo en cuenta las restricciones generales de las redes de n puertas expuestas en el Cap´ıtulo 1. 17

CAP´ITULO 2. REDES DE DOS PUERTAS.

18

2.1.

Par´ ametros de un Cuadripolo

Para un cuadripolo existen los siguientes par´ametros o funciones de circuito que se pueden obtener con pruebas. Se eval´ uan, corto circuito,impedancia; "

V1

#

" = [Z]

V2

" [Z] =

I1

# (2.1)

I2

Z11 Z12

# (2.2)

Z21 Z22

Determinante: ∆Z = Z11 Z22 − Z12 Z21 ,

Z11

V1 = I1 I2 =0

Z21

V2 = I1 I2 =0

(2.3)

Z12

V1 = I2 I1 =0

(2.4)

Z22

V2 = I2 I1 =0

(2.5)

Se eval´ uan, eliminaci´on de corrientes, admitancia; "

I1

#

I2

" = [Y ]

" [Y ] =

V1

# (2.6)

V2

Y11 Y12

# (2.7)

Y21 Y22

Determinante: 4Y = Y11 Y22 − Y12 Y21

Y11

I1 = V1 V2 =0

;

Y12

(2.8)

I1 = V2 V1 =0

(2.9)

´ 2.1. PARAMETROS DE UN CUADRIPOLO

Y21

19

I2 = V1 V2 =0

;

Y22

I2 = V2 V1 =0

(2.10)

Se eval´ uan, corto circuito y eliminaci´on de corriente, transmisi´on; "

V1

#

" = [T ]

I1

"

(2.11)

−I2 #

A B

[T ] =

#

V2

(2.12)

C D

Determinante: ∆T = AD − BC V1 A= V2 −I2 =0 I1 C= V2 −I2 =0

(2.13)

;

V1 B= −I2 V2 =0

(2.14)

;

I1 D= −I2 V2 =0

(2.15)

Se eval´ uan, eliminaci´on de corriente y corto circuito, transmisi´on inversa; "

V2 I2

#

" = [T ]i

"

(2.16)

−I1

Ai Bi

[T ]i =

#

V1

# (2.17)

Ci Di

Determinante: ∆T i = Ai Di − Bi Ci V2 Ai = V1 −I1 =0 I2 Ci = V1 −I1 =0

(2.18)

;

V2 Bi = −I1 V1 =0

(2.19)

;

I2 Di = −I1 V1 =0

(2.20)

Se eval´ uan, corto circuito y eliminaci´on de correinte,h´ıbridos;

CAP´ITULO 2. REDES DE DOS PUERTAS.

20

"

V1

#

I2

" = [h]

" [h] =

I1

# (2.21)

V2

h11 h12

# (2.22)

h21 h22

Determinante: ∆h = h11 h22 − h12 h21 h11

V1 = I1 V2 =0

h21

I2 = I1 V2 =0

;

;

(2.23)

h12

V1 = V2 I1 =0

(2.24)

h22

I1 = V2 I1 =0

(2.25)

Se eval´ uan,eliminaci´on de corriente y corto circuito,h´ıbridos inversos; " # " # I1 V1 = [g] V2 I2 " [g] =

g11 g12

(2.26)

# (2.27)

g21 g22

Determinante: ∆g = g11 g22 − g12 g21 g11

I1 = V1 I2 =0

g21

V2 = V1 I2 =0

;

;

(2.28)

g12

I1 = I2 V1 =0

(2.29)

g22

V2 = I2 V1 =0

(2.30)

Casi siempre es posible realizar transformaciones algebra´ıcas y pasar de una matriz a otra cuando los respectivos determinantes no sean cero teniendo en cuenta que los elementos de una matriz no son los inversos de los de la matriz que se desea transformar. Como ejemplo

´ 2.1. PARAMETROS DE UN CUADRIPOLO

21

"

#

Z11 Z12

[Z] =

(2.31)

Z21 Z22 " i

[Z] [Z] =

"

1 [Z]i = ∆Z

#

1 0

(2.32)

0 1 Z22

−Z21

−Z12

Z11

# (2.33)

si "

V1

#

[Z]i

#

V1

I1

= [Z]

V2 "

"

" =

V2

# (2.34)

I2

1 0

#"

I1

0 1

# (2.35)

I2

se transforma en "

I1

#

" = [Y ]

I2

Y11 =

V1

# =

V2

Z22 ∆Z

"

;

Y11 Y12

#"

Y21 Y22 Y12 =

V1

#

V2

(2.36)

−Z21 ∆Z

(2.37)

S´olo en casos generales, pero

Y11 6=

1 Z11

;

Y12 6=

1 Z12

(2.38)

Y21 6=

1 Z21

;

Y22 6=

1 Z22

(2.39)

ya que implicar´ıa Z12 Z21 = 0

2 Z11 Z22 = Z12

(2.40)

adem´as la pruebas son diferentes tanto para [Z] como para [Y ] . Se presenta a continuaci´on la tabla de los diferente par´ametros de un cuadripolo.

Para [Z]; se hace I2 = 0.

ensayos y [Y ] , [T ]i por transformaciones algebra´ıcas. [g]

[h]

[T ]i

[T ]

[y]

[z]

z21 z11

1 z11

21 − zz22

∆z z11

1 z22 − zz12 11

− yy21 22

y21 y11 ∆y y22

1 y22

∆y y11 y12 y22

1 A

C A

− D1

B D

− yy12 11

z12 z22

∆z z22

1 y11

C ∆T

D ∆T

− y112 − yy11 12 − y∆12y − yy22 12

C

A

− yy22 − y121 21 − y∆21y − yy11 21

− B1

1 C D B

A C

Y21 Y22

Y11 Y12

y11 ∆y

− y∆12y

z11 z12

z22 z21 ∆z z12

z11 ∆z ∆z z21

− z∆12z

− y∆21y

y22 ∆y

[y]

1 z12

1 z21 z22 z12

z11 z21

− z∆21z

z22 ∆z

z21 z22

z11 z12

[z]

B A

C D − ∆AT

A ∆T ∆T D

B ∆T

D

B

A B

D C − ∆BT

∆T C

[T ]

∆T i Di

Ci Di

− ∆ATi i

Bi Ai

Ci

Ai

Ci ∆T i

Di ∆T i

− ∆BTii

∆T i Ci Ai Bi

Di Ci

1 Ai

Di

Bi

Ai ∆T i

Di Bi Bi ∆T i

Ai Ci − B1i

1 Ci

Bi Di

Ci Ai − D1i

[T ]i

∆h h11 − hh11 21

1 h22 − hh12 11

h12 h22

− h∆21h

h22 ∆h

h21

h11

h22 h12

1 h12

h11 ∆h

− h∆12h

h22

h12

∆h h12

h11 h12

− hh22 − h121 21

h21 h11 − h∆21h

−h21 h22 1 h11

∆h h22

[h]

g21

g11

− g∆21g

12

g12 ∆g

g22

g12

g11 ∆g

−

g22 ∆g

− g1

∆g g21 − gg22 12

1 g22 g22 g21

∆g g11 g12 g22

− gg12 11

− gg11 12

g11 g21 − g∆12g

1 g21

21 − gg22

g21 g11 ∆g g22

1 g11

[g]

22 CAP´ITULO 2. REDES DE DOS PUERTAS.

Ejemplo de aplicaci´ on:

Para el cuadripolo mostrado (denominado cuadripolo tipo T) encontrar [Z] , [T ] por

´ 2.1. PARAMETROS DE UN CUADRIPOLO

23

Figura 2.2: Cuadripolo tipo T.

Figura 2.3: Ensayo de circuito abierto.

Z11 =

Z21 =

V1 = Z1 + Z 3 I1

V2 I1 Z3 = = Z3 I1 I1

Ahora para I1 = 0; Z12 = Z3

Z22 = Z2 + Z3

queda la matriz [Z] "

V1

#

V2

" =

Z1 + Z3

Z3

Z3

Z2 + Z 3

#"

I1 I2

para [T ] ; con −I2 = 0

A=

I1 (Z1 + Z3 ) Z1 + Z3 V1 = = V2 I1 Z3 Z3 C=

I1 I1 1 = = V2 I1 Z3 Z3

#

CAP´ITULO 2. REDES DE DOS PUERTAS.

24

con V2 = 0

Figura 2.4: Ensayo de corto circuito.

B=

Z1 Z 2 + Z1 Z 3 + Z2 Z 3 V1 = −I2 Z3 D=

Z 2 + Z3 I1 = −I2 Z3

Ahora se pide encontrar [Y ] y [T ]i por transformaciones algebra´ıcas. Ya conocida la matriz [Z] , por ejemplo, se puede encontrar [Y ] y [T ]i as´ı: V1 = Z11 I1 + Z12 I2 V2 = Z21 I1 + Z22 I2 despejando I1, I2

I1 =

Z22 Z12 V1 − V2 ∆z ∆z

∆z = Z11 Z22 − Z12 Z21

I2 = −

Z21 Z11 V1 + V2 ∆z ∆z

luego: "

I1 I2

#

1 = ∆z

"

Z22

−Z12

−Z21

Z11

y para [T ]i de la primera ecuaci´on de impedancia I2 =

1 Z11 V1 − I1 Z12 Z12

#"

V1 V2

#

2.2. OTRAS FUNCIONES DE CIRCUITO DE UN CUADRIPOLO

25

y con esta I2 se lleva a la segunda de impedancia   1 Z11 V2 = Z21 I1 + Z22 V1 − I1 Z12 Z12 Z22 V1 − V2 = Z12



"

"

V2 I2

2.2.

#

1 = Z12

Z11 Z22 − Z12 Z21 Z12

Z22 ∆z 1

Z11

#"



V1

I1

#

−I1

Otras Funciones de Circuito de un cuadripolo

Cada uno de los par´ametros de un cuadripolo son funciones de circuito pero pueden existir otras como; Ganancia de Tensi´on:

G21 (s) =

Ganancia de Corriente:

V2 V1

α21 = II2

1

Impedancia de Entrada:

Zen =

V1 I1

Impedancia de Salida:

Zsa =

V2 I2

Son funciones de circuito que relacionan dos se˜ nales donde no se ha eliminado ninguna de las otras dos.

2.3.

Impedancia Caracter´ıstica de un cuadripolo

Si al cuadripolo siguiente conocida su [T ] y es cargado con una ZX , que puede ser parte de otra red, se eval´ ua su Zen

CAP´ITULO 2. REDES DE DOS PUERTAS.

26

Figura 2.5: Cuadripolo cargado.

"

V1

#

" =

I1

A B

#"

V2

# (2.41)

−I2

C D

con V1 = AV2 − BI2

(2.42)

I1 = CV2 − DI2

(2.43)

V2 = −ZX I2

(2.44)

adem´as

aparece Zen =

V1 AZX + B = I1 CZX + D

(2.45)

Ahora, con la carga en el puerto de entrada "

V2 I2

# =

h

T

"

i i

V1 −I1

#

" =

D B C A

#"

V1 −I1

# (2.46)

con V1 = −ZX I1 Zsa =

DZX + B CZX + A

(2.47) (2.48)

y comparando a Zen y Zsa ambas ser´an iguales si D = A ; se denomina Cuadripolo Sim´etrico. Si se supone que

Zen = ZX , esto es, la impedancia vista desde la puerta de entrada

sea exactamente ZX o de carga, a ´esta se le denomina Impedancia Caracter´ıstica Z0 ;

Zen = ZX = Z0

(2.49)

2.4. CONEXIONES DE LOS CUADRIPOLOS

27

Z0 =

AZ0 + B CZ0 + D

(2.50)

despejando a Z0 quedan dos soluciones

Z0(1,2)

1 A−D ± = 2C 2C

q

(A − D)2 + 4BC

(2.51)

si el cuadripolo es sim´etrico entonces r Z0(1,2) = ±

B C

(2.52)

Y se puede encontrar con s´olo realizar dos pruebas en el punto de salida. O sea, si V2 = 0 (corto circuito),

Zen =

B D

(2.53)

A C

(2.54)

y si −I2 = 0 (eliminaci´on de corriente), Zen =

de la ra´ız cuadrada del producto de las dos, si es sim´etrico, se obtiene; r p B Z0(1,2) = ± Zen(V2 =0) × Zen(I2 =0) = ± C

(2.55)

esta impedancia puede garantizar, en ciertos cuadripolos, una m´axima transferencia de potencia de la fuente que lo alimenta hacia la carga de ´este.

2.4.

Conexiones de los cuadripolos

Las posibilidades de conectar dos o m´as cuadripolos son varias en donde se deben cumplir ciertas condiciones para poder obtener unos cuadripolos equivalentes teniendo en cuenta que no existe una teor´ıa s´olida que garantice ´esto, esto es, arreglos que puedan reemplazar los originales en sus conexiones de tal forma que cada uno de ellos no pierdan sus particularidades.

CAP´ITULO 2. REDES DE DOS PUERTAS.

28

En principio cualquier cuadripolo, por simple que sea, es un arreglo de dos o varios cuadripolos, por ejemplo; Una resistencia

R

puede ser un arreglo, como equivalente, de dos cuadripolos

conectados como se muestra a la derecha de la figura anterior, o viceversa, dos resistencias generan un solo valor R.

Figura 2.6: Resistencias en serie.

2.4.1.

Conexi´ on serie y equivalencia

Si se dan dos cuadripolos con matrices [Z] conectados como

Figura 2.7: Conexi´on serie.

Se denomina Conexi´on Serie si se dan las siguientes condiciones; " # " # " # V1 V1 V1 + = V2 V2 V2 a

"

I1 I2

b

#

" = a

I1 I2

eq

#

" = b

(2.56)

I1 I2

# (2.57) eq

Es necesario que se cumplan para que el cuadripolo equivalente muestre la suma matricial de las matrices [Z], el cual queda como tal o sea con todas las propiedades

2.4. CONEXIONES DE LOS CUADRIPOLOS

29

de un cuadripolo. Para asegurar lo anterior se recurre a la prueba de Brune para la conexi´on serie;

Figura 2.8: Prueba de Brune. Por la naturaleza de esta conexi´on las corrientes de entrada en cada lado deben ser iguales y esto s´olo se garantiza si V=0. Se pueden conectar dos o m´as cuadripolos en serie y con las condiciones b´asicas ya establecidas el cuadripolo equivalente tendr´a como matriz [Z] a la suma de las matrices de cada una de ellos. Para evaluar a Brune, en este caso, se debe hacer primero para dos y encontrar su equivalente y tratado como uno hacerle la prueba con el tercero y as´ı sucesivamente donde la conexi´on es conmutativa, o sea, se puede cambiar la posici´on del cuadripolo [Z]a por [Z]b y lo contrario sin afectaci´on por la propiedad conmutativa en la suma matricial.

2.4.2.

Conexi´ on paralelo y equivalencia

Se dan dos cuadripolos con matrices [Y ] conectadas como figura 2.9

Figura 2.9: Conexi´on paralelo.

CAP´ITULO 2. REDES DE DOS PUERTAS.

30

Se denomina Conexi´on Paralelo donde se dan las siguientes condiciones; "

V1 V2

"

I1 I2

#

" =

" + a

#

I1 I2

" =

V2

a

#

V1

" = b

# (2.58)

V2

b

#

V1

I1 I2

eq

# (2.59) eq

Es necesario que se cumplan para que el cuadripolo equivalente muestre la suma matricial de las matrices [Y ] y para lo anterior, se recurre a la prueba de Brune para la conexi´on paralelo;

Figura 2.10: Prueba de Brune.

Para garantizar que la tensiones queden inalteradas bajo esta conexi´on las tensiones V deben ser cero al hacer el corto en las respectivas entradas y respecticvas salidas y para cada caso.

Lo mismo que para la Conexi´on Serie, se pueden conectar dos o varios cuadripolos en paralelo; resulta un cuadripolo equivalente cuya matriz [Y ] es la suma de las matrices [Y ] de cada una de ellos siendo ´esta conmutativa.

Esta conexi´on, bajo ciertas restricciones, es usada, por ejemplo en los bancos de transformadores monof´asicos, para generar uno trif´asico al modelarse estos como cuadripolos.

2.4. CONEXIONES DE LOS CUADRIPOLOS

2.4.3.

31

Conexi´ on cascada

Se dan dos cuadripolos con matrices [T ] conectados como

Figura 2.11: Conexi´on cascada. Se denomina Conexi´on Cascada si se dan las siguientes condiciones " # " # V1 V1 = I1 I1 a

"

V2 I2

"

V2 I2

eq

#

" =

#

" =

#

V1 −I1

a

b

(2.60)

V2 I2

(2.61) b

# (2.62) eq

Donde es necesario que se cumplan para que el cuadripolo equivalente muestre el producto de las matrices [T ] . Con la consideraci´on b´asica, que cada cuadripolo conserve su [T ], se pueden conectar en cascada dos o m´as cuadripolos, pero en este caso por ser la operaci´on multiplicaci´on matricial no conmutativa no se pueden intercambiar; si hay m´as de dos, se deben tomar las dos primeros y encontrar su equivalente y ´este conectado en cascada con el tercero y as´ı sucesivamente. Existe la posibilidad de intercambiar en aquellos que tengan como matriz [T ] a la matriz unidad y otros casos especiales. Ejemplo de Aplicaci´ on: Demostrar que dos impedancias Z1 , Z2 en serie se pueden tratar como el producto de sus matrices de transmisi´on.

CAP´ITULO 2. REDES DE DOS PUERTAS.

32

Del cuadripolo mostrado (puede ser para Z2 ).

Figura 2.12: Ejemplo de aplicaci´on. V1 A= =1 V2 −I2 =0

V1 B= = Z1 −I2 V2 =0

I2 C= =0 V1 −I2 =0

I1 D= =1 −I2 V2 =0

As´ı, en cascada dos cuadripolos, con Z1 y Z2 respectivamente " # " #" #" # V1 1 Z1 1 Z2 V2 = I1 0 1 0 1 −I2 Eq

"

V1 I1

#

" = Eq

1 Z1 + Z2 0

1

#"

V2 −I2

Eq

# Eq

En este caso es conmutativa la conexi´on, como era de esperarse, por el car´acter de cada una de las matrices de cada cuadripolo. Ejemplo de descripci´on de un sistema de potencia. Suponga un sistema de potencia.

Figura 2.13: Un sistema de potencia.

Describirlo como conexi´on cascada de cuadripolos entre los puntos 1 y 2. Si la Zen es igual a ZX , en donde si adem´as |Zg | = |Z0 | se estar´ıa generando una m´axima transferencia de potencia a la carga ZX por parte del generador Vg .

2.4. CONEXIONES DE LOS CUADRIPOLOS

33

Figura 2.14: El sistema conformado por cuadripolos.

Figura 2.15: Sistema equivalente en s.

2.4.4.

Conexiones mixtas

Conexi´ on serie-paralelo

Figura 2.16: Conexi´on serie-paralelo. Se denomina Conexi´on Serie Paralelo si se dan las siguientes condiciones; " # " # " # I1 I1 I1 = = V2 V2 V2 a

"

V1 I2

b

#

" + a

V1 I2

eq

#

" = b

(2.63)

V1 I2

# (2.64) eq

Es necesario que se cumplan para que el cuadripolo equivalente muestre la suma matricial de las matrices [h].

CAP´ITULO 2. REDES DE DOS PUERTAS.

34

Conexi´ on paralelo-serie Se dan dos cuadripolos con matrices [g] conectadas como;

Figura 2.17: Conexi´on paralelo serie. Se denomina Conexi´on Paralelo Serie si se dan las siguientes condiciones; " # " # " # V1 V1 V1 = = I2 I2 I2 a

"

I1 V2

b

#

" + a

I1

eq

#

V2

" = b

(2.65)

I1 V2

# (2.66) eq

Es necesario que se cumplan para que el cuadripolo equivalente muestre la suma matricial de las matrices [g].

2.5.

Ejercicios Propuestos

1. Encontrar G2g (s) para el cuadripolo. Recomendaci´on; utilizar conexi´on cascada.

Figura 2.18: Ejercicio propuesto. 2. Demostrar que con un transformador ideal se pueden realizar conexiones cascada conmutativas.

2.5. EJERCICIOS PROPUESTOS

35

3. Encontrar el equivalente de

Figura 2.19: Ejercicio propuesto. 4. Investigar el modelo de transformador real, como una aproximaci´on , como cuadripolo. 5. Es posible con M=1 encontrar [Z] y [T ] del cuadripolo mostrado?

Figura 2.20: Ejercicio propuesto.

6. Encontrar la matriz Z del siguiente cuadripolo

Figura 2.21: Ejercicio propuesto.

7. Realizar entre los dos cuadripolos todas las conexiones posibles.

36

CAP´ITULO 2. REDES DE DOS PUERTAS.

Figura 2.22: Ejercicio propuesto.

Cap´ıtulo 3

´ ´ TECNICAS PARA REDUCCION DE CUADRIPOLOS En este cap´ıtulo se tratar´a

una serie de teoremas y principios, sobre cuadripolos

transformados, buscando simplificar el manejo o interpretaci´on de ellos con sus equivalencias y restricciones.

3.1.

Equivalencia

de

un

cuadripolo

utilizando

Millman Sean n elementos en paralelo con fuentes de tensi´on en serie que pueden incluir condiciones iniciales, se conocen las fuentes V y las admitancias Y, se desea encontrar tensi´on vista desde a,b.

Figura 3.1: Cuadripolo en s con elementos en paralelo. 37

´ ´ DE CUADRIPOLOS CAP´ITULO 3. TECNICAS PARA REDUCCION

38

La tensi´on Vab en cada rama

I1 + V1 Y1 I2 Vab = − + V2 Y2 I3 + V3 Vab = Y3 .. .. . . In Vab = + Vn Yn Vab = −

(3.1)

Las corrientes, sum´andolas − I1 = Y1 Vab − V1 Y1 −I2 = Y2 Vab − V2 Y2

(3.2)

I3 = Y3 Vab − V3 Y3 .. .. . . In = Yn Vab − En Yn Para despejar Vab , con

−I1 − I2 + I3 + .. + In = 0 Vab =

V1 Y1 + V2 Y2 + ..... + Vn Y1 + Y2 + ..... + Yn

(3.3)

Expresi´on conocida como equivalente Millman, como se muestra en la figura 3.2, para la tensi´on Vab que permite calcular las respectivas corrientes de rama o viceversa y con representaci´on como la anteriror partirla en n ramas.

Figura 3.2: Equivalente de Millman en s.

3.2. RECIPROCIDAD APLICADA A CUADRIPOLOS

3.2.

39

Reciprocidad aplicada a cuadripolos

Sea el cuadripolo mostrado en la figura 3.3 con condiciones iniciales iguales a cero. con

Figura 3.3: Cuadripolo para reciprocidad. V2 = 0 y conectando en el puerto 1 con E se calcula la corriente en el puerto 2 que es IX .

Figura 3.4: Concetado con E y corto en la salida. si se realiza el corto en 1 y se alimenta con la misma fuente E en 2

Figura 3.5: Exitado con E y corto en la entrada. si se produce la misma IX en ambos casos, el cuadripolo es Rec´ıproco. Lo anterior llevado a las ecuaciones de transmisi´on y para el primer caso V2 = 0, IX = −

E B

(3.4)

y para el segundo caso 0 = AE − BI2

(3.5)

´ ´ DE CUADRIPOLOS CAP´ITULO 3. TECNICAS PARA REDUCCION

40

IX = CE − DI2

(3.6)

reemplazando IX e I2 y con la u ´ltima ecuaci´on se origina la Identidad de Transmisi´on; AD − BC = 1

(3.7)

A2 − BC = 1

(3.8)

si es sim´etrico. No s´olo es la identidad sino es el determinante de [T ], adem´as permite verificar si un cuadripolo es rec´ıproco o no.

3.3.

Teoremas de Thevenin y Norton en cuadripolos

Se van aplicar los teoremas de Thevenin y Norton dentro de ciertas restricciones, en el caso particular de cuadripolos sin considerar las condiciones iniciales y si existen fuentes dependientes est´an confinadas en estos. Se parte de "

V1 I1

#

" =

A B C D

#"

V2

#

−I2

(3.9)

Figura 3.6: Cuadripolo para Thevenin.

Con una carga ZX ubicada en la puerta 2, se encontrar´a el equivalente Thevenin; primero anulando a V1

3.3. TEOREMAS DE THEVENIN Y NORTON EN CUADRIPOLOS

41

Figura 3.7: Impedancia de Thevenin en s.

0 = AV2 − BI2

(3.10)

V2 B = ZT H = I2 A

(3.11)

y con −I2 = 0, V1 6= 0; VT H =

V1 A

Circuito equivalente Th´evenin.

Figura 3.8: Thevenin con la primera ecuaci´on de transmisi´on. a partir de este su Norton.

Figura 3.9: Norton de la anterior. ahora, a partir de la segunda ecuaci´on de transmisi´on el equivalente Norton

(3.12)

´ ´ DE CUADRIPOLOS CAP´ITULO 3. TECNICAS PARA REDUCCION

42

Figura 3.10: Corriente de Norton con la segunda ecuaci´on de transmisi´on.

I1 = −DI2 IN =

I1 D

(3.13) (3.14)

Figura 3.11: Impedancia de Norton.

0 = CV2 − DI2

(3.15)

V2 D = ZN = I2 C

(3.16)

Circuito equivalente Norton

Figura 3.12: Norton con la segunda ecuaci´on de transmisi´on.

y a partir de este se encuentra su equivalente Th´evenin

3.3. TEOREMAS DE THEVENIN Y NORTON EN CUADRIPOLOS

43

Figura 3.13: Thevenin de la anterior.

Son distintos; ¿ no deber´ıan ser iguales debido a que se obtuvieron a partir de la misma red?. Una posible respuesta podr´ıa ser porque para un caso se utiliz´o la primera ecuaci´on de transmisi´on y para el otro a partir de la segunda ecuaci´on. Si de la primera ecuaci´on se despeja V2 V2 =

V1 + BI2 A

(3.17)

V2 =

I1 + DI2 C

(3.18)

y de la segunda

e igualando ambas, para I2 I2 =

CV1 − AI1 AD − BC

(3.19)

si la red es rec´ıproca entonces ∆T = AD − BC = 1, I2 = CV1 − AI1

(3.20)

I2 en la primera de transmisi´on despejado V2 V2 = V1

1 + BC − BI1 A

Figura 3.14: An´alisis de Norton.

(3.21)

44

´ ´ DE CUADRIPOLOS CAP´ITULO 3. TECNICAS PARA REDUCCION

analizando para el Norton   B V1 V2 = + I2 A B   B V1 V2 = + CV1 − AI1 A B

V2 = V1

1 + BC − BI1 A

(3.22) (3.23)

(3.24)

e igualando con el anterior V2 significa que las dos redes producen el mismo efecto externo; V2 , de ella D V2 = C



I1 + I2 D

 (3.25)

Figura 3.15: An´alisis con Norton.

V2 =

I1 + D (CV1 − AI1 ) C

V2 = I1

1 − AD + DV1 C

Figura 3.16: An´alisis con Norton.

(3.26)

(3.27)

3.3. TEOREMAS DE THEVENIN Y NORTON EN CUADRIPOLOS

45

y D I1 I2 + C C

(3.28)

D I1 (CV1 − AI1 ) + C C

(3.29)

V2 = V2 =

V2 = I1

1 − AD + DV1 C

(3.30)

E igualando con el anterior V2 significa que los dos cuadripolos producen el mismo efecto externo V2 De la primera V2 = V 1

D=

1 + BC A

de la segunda V2 = I1

1 + BC − BI1 A ,

B=

AD − 1 C

1 − AD + DV1 C

(3.31)

(3.32)

(3.33)

s´ı y s´olo s´ı son rec´ıprocos, los dos presentan los mismos efectos externos, es decir, son equivalentes. Ejemplo de aplicaci´ on: Para la red mostrada en la siguiente figura encontrar su equivalente de Th´evenin visto desde el puerto 2. Suponer condiciones iniciales cero. 1. Utilizando los procedimientos comunes de circuitos. 2. Mediante la aplicaci´on de las ecuaciones de transmisi´on.

Figura 3.17: Ejemplo de aplicaci´on.

´ ´ DE CUADRIPOLOS CAP´ITULO 3. TECNICAS PARA REDUCCION

46

1. Con I2 = 0 en la figura 3.18

Figura 3.18: Ensayos. IL = VT H =

sV1 s2 + 1

IL V1 = 2 s s +1

y para hallar ZT H , con la fuente de prueba Vp .

Figura 3.19: Mallas. Ip = −Vp

h s2 + 1 i

s s −s+1 Vp = = s3 + s Ip 2

ZT H

Circuito equivalente de Th´evenin.

Figura 3.20: Equivalente.

3.3. TEOREMAS DE THEVENIN Y NORTON EN CUADRIPOLOS

2. Como ZT H =

B A

con

y VT H =

47

V1 . A

V1 A= V2 −I2 =0

A = s2 + 1

;

y V1 B= −I2 V2 =0

;

B =s−2

Este cuadripolo no es rec´ıproco. Ejemplo de aplicaci´ on: Dado el cuadripolo

Figura 3.21: Ejemplo de aplicaci´on. Encontrar la ganancia G2g (s) y su equivalente Th´evenin visto desde la carga. Se puede resolver por varios m´etodos. 1. Calculando la matriz [T ] de dos cuadripolos conectados en cascada, y encontrar su equivalente;

Figura 3.22: Cuadripolos conectados en cascada. El primero

´ ´ DE CUADRIPOLOS CAP´ITULO 3. TECNICAS PARA REDUCCION

48

Figura 3.23: Primer cuadripolo. " [T ]a =

1 1

#

0 1

El segundo

Figura 3.24: Segundo cuadripolo. " [T ]b =

2s2 + 1 s (2s2 + 2) 2s

#

2s2 + 1

el anterior cuadripolo es sim´etrico y rec´ıproco. [T ]eq = [T ]a [T ]b V1 = Vg = Aeq V2 + Beq V2 Aeq = 2S 2 + 2S + 1 Beq = 2S 3 + 2S 2 + 2S + 1 G2g =

V2 1 1 = = 3 2 Vg Aeq + Beq 2S + 4S + 4S + 2

2. Tambi´en se puede calcular G2g conocido [T ]b ,

3.3. TEOREMAS DE THEVENIN Y NORTON EN CUADRIPOLOS

49

Figura 3.25: Determinaci´on de la ganancia. para este circuito Vg − V1 = I1 Vg − Ab V2 − Bb V2 = Cb V2 + Db V2 G2g =

1 1 V2 = = 3 2 Vg Ab + Bb + Cb + Db 2s + 4s + 4s + 2

3. Utilizando Millman en a,b. Vab = con

−I2 = V2 = G2g =

2s2

Vg + 2s + 2

Vab s+1 V2 1 1 = 3 = 2 2 Vg (s + 1)(2s + 2s + 2) 2s + 4s + 4s + 2

Para su equivalente Th´evenin " [T ]eq =

A B C D

# eq

as´ı,

Figura 3.26: Equivalente de Thev´enin.

´ ´ DE CUADRIPOLOS CAP´ITULO 3. TECNICAS PARA REDUCCION

50

VT H = ZT H =

3.4.

V1 2s2 + 2s + 1

2s3 + 2s2 + 2s + 1 2s2 + 2s + 1

Equivalencia T, Π; Π, T

Si se da el caso particular que dos cuadripolos o m´as tengan la misma matriz [Z] o [Y] se definen cuadripolos equivalentes y no como el producto de conexiones. Los dos cuadripolos mostrados ser´an equivalentes

Figura 3.27: Cuadripolos equivalentes. si [Z]T = [Z]Π y esto es posible para cuando Z11T = Z11Π

(3.34)

Z12T = Z12Π

(3.35)

Z21T = Z21Π

(3.36)

Z22T = Z22Π

(3.37)

Z1 =

Z A ZB (ZA + ZB + ZC )

(3.38)

Z2 =

Z A ZC (ZA + ZB + ZC )

(3.39)

Z3 =

ZB ZC (ZA + ZB + ZC )

(3.40)

y se llega a

y para su equivalente al multiplicar cada una de las anteriores entre s´ı y sumando estos productos se despeja

3.5. EJERCICIOS PROPUESTOS

51

(Z1 Z2 + Z1 Z3 + Z2 Z3 ) Z3 (Z1 Z2 + Z1 Z3 + Z2 Z3 ) ZB = Z2 (Z1 Z2 + Z1 Z3 + Z2 Z3 ) ZC = Z1 ZA =

(3.41) (3.42) (3.43)

Impedancias o admitancias si es el caso; son equivalencias utilizadas ampliamente en redes trif´asicas; se pueden intercambiar sin afectaci´on ninguna.

3.5.

Ejercicios Propuestos

1. Verificar si el cuadripolo de la figura es a) Rec´ıproco. b) Encontrar su equivalente Thevenin y Norton. Explique.

Figura 3.28: Ejercicio propuesto. 2. Para el circuito de la figura encuentre vab (t).

Figura 3.29: Ejercicio propuesto.

52

´ ´ DE CUADRIPOLOS CAP´ITULO 3. TECNICAS PARA REDUCCION

3. Utilizando Thevenin, evaluar la tensi´on V2 (s) si la carga es de 1 Henrio.

Figura 3.30: Ejercicio propuesto.

Cap´ıtulo 4

´ DE LA FUNCION TRANSFERENCIA H(S) Las representaciones circuitales en s permiten no s´olo el f´acil manejo algebra´ıco fundamentalmente con las funciones de circuito y realizar evaluaciones de sus variables en el tiempo sino, tambi´en, en la frecuencia tal como se muestra

Figura 4.1: Funci´on de transferencia. A manera de ejemplo las funciones de circuito son el resultado de una relaci´on de dos se˜ nales en el tiempo transformadas, como en un cuadripolo

Z11

V1 (s) = =s+1 I1 (s) I2 (s)=0

(4.1)

Z11 es una relaci´on racional de dos polinomios en s y al despejar V1 (s)

(s + 1) I1 (s) = V1 (s), d i1 (t) + i1 (t) = v1 (t), dt

con

I2 (s) = 0

para i2 (t) = 0

(4.2)

(4.3)

Origina una ecuaci´on diferencial s´ı y s´olo s´ı sus condiciones iniciales no se tienen en cuenta pero el resolverla s´ı las exige. 53

´ DE TRANSFERENCIA H(S) CAP´ITULO 4. LA FUNCION

54

Ahora, no s´olo son las funciones de circuito las u ´nicas que se pueden representar de esta manera existiendo un concepto de m´as amplia aplicaci´on y se define Funci´ on de Transferencia H(s) de un Sistema y este como una combinaci´on de elementos reunidos para obtener un resultado. Sea un sistema donde se pueden realizar pruebas o ensayos, adem´as, con elementos invariantes en el tiempo y sea v´alido el principio de la superposici´on.

Figura 4.2: Funci´on de transferencia. Se define H(s) como H(s) =

R(s) E(s)

(4.4)

Originada, H(s), de e(t)

↔

∗

E(s) ×

h(t) ↔

H(s)

↔

R(s)

r(t)

H(s) =

R(s) E(s)

(4.5)

(4.6)

entonces, R(s) = H(s)E(s)

(4.7)

R(s) es el producto de la funci´on de transferencia que identifica al sistema y la transformada de la entrada. Para el caso H(s) = 1 entonces R(s) = E(s)

(4.8)

La se˜ nal de salida es id´entica a la entrada en el tiempo L−1 [R(s)] = r(t)

(4.9)

r(t) = h(t) ∗ e(t)

(4.10)

55

Operaci´on conocida como Convoluci´on en el tiempo entre h(t) y e(t) ( la transformada inversa del producto de H(s) y E(s)). Si E(s) = 1 R(s) = H(s)

(4.11)

La respuesta es la funci´on de transferencia del sistema. En t´erminos generales las funciones de transferencia vienen expresadas as´ı

H(s) =

R(s) an sn + an−1 sn−1 + ....... = E(s) bm sm + bm+1 sm−1 + .......

(4.12)

Como la relaci´on de dos polinomios ya reducidos y an, bn reales donde el grado n entero del numerador es al menos menor o igual al grado m entero del denominador, en caso contrario H(s) = coc(s) +

coc(s) cociente y res(s) residuo de la relaci´on

res(s) E(s)

(4.13)

R(s) E(s)

Figura 4.3: Caso de dos entradas.

y aunque aparezcan dos entradas, res(s) no puede tener como funci´on polin´omica en s un grado mayor que cero lo que significa que el grado del denominador en E(s) a lo sumo puede ser igual al grado del numerador R(s) de lo contrario no cumple el Teorema del valor inicial en H(s). Si se despeja

bm sm + bm−1 sm−1 + ..... R (s) = an sn + an−1 sn−1 + ..... E(s)

(4.14)

en el tiempo bm

dm dm−1 dn dn−1 r(t) + b r(t) + .... = e(t) + e(t) + .... m−1 dtm dtm−1 dtn dtn−1

(4.15)

´ DE TRANSFERENCIA H(S) CAP´ITULO 4. LA FUNCION

56

ecuaci´on diferencial que relaciona r(t) contra e(t), adem´as puede provenir de una integrodiferencial. Si se hace e(t) = 0 bm

dm dm−1 r(t) + b r(t) + .... = 0 m−1 dtm dtm−1

(4.16)

La homog´enea de la respuesta cuya soluci´on es la suma de las rj (1, 2, ....., m) t≥0

rh (t) = K1 r1 (t) + K2 r2 (t) + ......... + Kn rm (t)

(4.17)

y son necesarias las condiciones iniciales del sistema para evaluar K1, K2,....., Km , constantes de integraci´on. La total r(t) = rh (t) + rlibre (t)

(4.18)

para rlibre (t) dependiente de e(t). Las rj (t) est´an ligadas a las ra´ıces del polinomio “operacional”
bm pm + bm−1 pm−1 + ..... r (t) = 0 si: p=

d , dt

p2 =

d2 , ....., dt2

pm =

dm dtm

(4.19)

(4.20)

para m ra´ıces, pueden ser complejas y adem´as las an y bm s´olo dependen del como est´a conformado el sistema. Pueden existir sistemas que aunque sean diferentes, por ejemplo, mec´anicos, electr´onicos, etc., originan la misma funci´on de transferencia H(s) lo que ha permitido hacer simulaciones con s´ımiles. Por lo anterior , por ejemplo, el mostrar el equivalente de la admitancia transformada (funci´on de transferencia) de una inductancia

Figura 4.4: La inductancia con un sistema.

57

H(s) = Y (s) =

1 I(s) = V (s) Ls

(4.21)

Se utiliza esta inductancia como elemento almacenador de energ´ıa magn´etica. Un arreglo que da la misma H (s) sin la particularidad de almacenar energ´ıa en donde su aplicaci´on permite reemplazar el inductor como elemento circuital est´a basado en Amplificadores Operacionales. Un amplificador Operacional es representado como en la figura

Figura 4.5: Amplificador operacional.

Su modelo circuital es el mostrado en la figura siguiente

Figura 4.6: Circuito equivalente del amplificador.

Entre sus propiedades; puede generar altas ganancias de tensi´on G, tener alta impedancia de entrada, baja impedancia de salida y esto permite obtener diferentes arreglos y funciones de transferencia. Existen dos entradas; inversora(-), no inversora(+) referenciadas a una “tierra”. Ahora; con el arreglo circuital siguiente y las anteriores propiedades del amplificador operacional

´ DE TRANSFERENCIA H(S) CAP´ITULO 4. LA FUNCION

58

Figura 4.7: Una misma respuesta como una inductancia en s. para este dise˜ no se considera v(+) ≈ v(−)

(4.22)

i1 + i 2 = 0

(4.23)

y2 (v1 − vg ) + y3 (v2 − vg ) = 0

(4.24)

y2 v1 − y2 vg + y3 v2 − y3 vg = 0

(4.25)

(y2 + y3 ) vg = y2 v1 + y3 v2

(4.26)

i3 + i 4 = 0

(4.27)

y4 (v2 − vg ) + y5 (0 − vg ) = 0

(4.28)

y4 v2 − y4 vg − y5 vg = 0

(4.29)

(y4 + y5) vg = y4 v2

(4.30)

con dos ecuaciones de nodo

en forma matricial "

y2 + y3 y4 + y5

"

v1 v2

#

1 = ∆y

"

y4 −y3 0

y2

#"

#

" Vg =

y2 + y3 y4 + y5

#

y2 y3 0

y4

1 vg = ∆y

"

#"

v1

# (4.31)

v2 y2 y4 + y3 y4 − y3 y4 − y3 y5 y2 y4 + y2 y5

# vg (4.32)

4.1. POLOS Y CEROS

59

de la matriz antes de la inversi´on "

v1

# =

v2

1 ∆y

"

∆y = y2 y4 # y2 y4 − y3 y5 vg y2 y4 + y2 y5

(4.33) v1 , v2 = f (vg )

(4.34)

por otro lado, la impedancia de entrada Zen Vg i1

Zen =

i1 = (vg − v1 ) y1

,

1 v1 = (y2 y4 − y3 y5 ) vg ∆y   y2 y4 − y3 y5 y1 y3 y5 vg i1 = y 1 1 − vg = y2 y4 y2 y4

(4.35) (4.36) (4.37)

sustituyendo en Zen Zen =

y2 y4 y1 y3 y5

(4.38)

S´ıntesis del inductor, si 1 1 1 , y2 = , y3 = R1 R2 R3 1 y4 = C4 s y y5 = R5 y1 =

(4.39) (4.40)

Se obtiene Zen (s) = Yen (s) =

1 Ls

R1 R3 R5 C4 s R2 R1 R3 R5 L= C4 R2

(4.41) (4.42)

se observa una impedancia inductiva con solo colocar en y4 un capacitor, impedancia vista entre los puntos a y tierra.

4.1.

Polos y ceros

Para

n Q R(s) an (s − Zi ) H(s) = = m Q E(s) bm (s − Pj )

(4.43)

Se definen las ra´ıces Zi de R(s) como Ceros y las de E(s), Pj , como Polos de la funci´on de transferencia:

´ DE TRANSFERENCIA H(S) CAP´ITULO 4. LA FUNCION

60

1.

H(s) est´a reducido sobre transformaciones algebra´ıcas que “esconden” el origen de la conformaci´on del sistema. Se pueden cancelar del numerador y del denominador iguales funciones factorizadas.

2. Son ra´ıces que dependen del como est´a conformando el sistema, de los an y bm . 3. Pueden ser complejas. 4. Los Pj son la mismas ra´ıces del polinomio operacional de la respuesta homog´enea si E(s) = 0. Tanto los polos y los ceros se pueden representar en el plano complejo. Por ejemplo, tres ceros y cuatro polos, en la siguiente figura

Figura 4.8: Ubicaci´on de polos y ceros. donde el s´ımbolo X corresponde a los polos y el a los ceros. Adem´as, P1 muestra una multiplicidad doble y P3 , P4 deben ser complejos y conjugados. Estos conllevan la respuesta homog´enea del sistema y es √

rh (t) = K1 e−t + K2 te−t + K3 e−2t e

3jt

+ K4 e−2t e−

√

3jt

para

t=0

(4.44)

y para que esta respuesta sea estable (finita), causada por la condiciones iniciales, todos sus polos deben estar ubicados en el semiplano izquierdo del plano complejo; rh (t)t−→∞ −→ f inito

(4.45)

´ COMPLEJA 4.2. H(S) COMO FUNCION

61

y si al menos hay un polo en el semiplano derecho rh (t)t−→∞ −→ no f inito

4.2.

(4.46)

H(s) como funci´ on compleja

Al realizar el cambio s=jw la variable s se referencia el sistema a la variable real

ciclos frecuencia, w, dada en radianes por segundo rad o , hertz. s s Para los elementos L, M y C de una red, sus funciones de Impedancia transformada se convierten en funciones complejas con una magnitud y una fase. As´ı por ejemplo, para la inductancia L, es una relaci´on de magnitudes y un desfase entre un voltaje y una corriente Z(s) =

V (s) I(s)

s = jw

(4.47)

V (w) = jwL I(w)

(4.48)

|V (w)| o o ∠90 = |wL| ∠90 |I(w)|

(4.49)

1 |V (w)| o o ∠ − 90 = ∠ − 90 |I(w)| |wC|

(4.50)

Z(w) =

Z(w) = Para la capacitancia C Z(w) =

son funciones complejas de variable real w (f´ısica real), con magnitud y fase. Ahora con s = jw

H(w) =

R (w) E(w)

(4.51)

Todos los elementos dependientes de s, o sea jw, inclusive despu´es de transformaciones algebraicas quedan referenciados a la frecuencia originando como resultado final una H(w) funci´on compleja de variable real dependiendo no s´olo de ´esta sino adem´as del como est´a constiu´ıdo el sistema y adem´as de la fuente que la origina ,una fuente de alimentaci´on; no es posible s=jw sin existir una fuente externa que oblige a los elementos de red o sistema a enclavarse con la frecuencia, no es ya un arreglo matem´atico y tampoco es el caso particular de una frecuencia natural del sistema.

´ DE TRANSFERENCIA H(S) CAP´ITULO 4. LA FUNCION

62

Por lo tanto

Figura 4.9: Sistema referenciado a la frecuencia.

Es E(w) ,la fuente, que fuerza a H(w) y a R(w) a depender de la frecuencia. Los polos y los ceros quedan referenciados a jw, por ejemplo

Figura 4.10: Polos y ceros refenciados a la frecuencia.

Con s = jw n Q R(w) an (jw − Zi ) H(w) = = = |H(w)| ej Fase(w) m Q E(w) bm (jw − Pj )

|H(w)| =

θi = T an−1

an |jw − Z1 | |jw − Z2 | .......... |jw − Zn | bm |jw − P1 | |jw − P2 | .......... |jw − Pm |

Imag (jw − Zi ) Real (jw − Zi )

;

αj = T an−1

Imag (jw − Pj ) Real (jw − Pj )

(4.52)

(4.53)

(4.54)

´ COMPLEJA 4.2. H(S) COMO FUNCION

63

Fase(w) =

X

θi −

X

αj

(4.55)

Cada una de las partes de H(w) conforman, tanto en magnitud y fase, este resultado |R(w)| jF ase(w) R(w) = e E(w) |E(w)|

(4.56)

donde se puede considerar a |E (w)| = constante, y referencia en frecuencia todo el sistema o red. Existen dos formas b´asicas de representar a H(w); La forma hodogr´afica (param´etrica) H(w) = Re(w) + jI(w) Re(w) Parte real, I(w) Parte Imaginaria

Figura 4.11: Param´etrica de una funci´on. De ´esta, se pueden extraer |H(w)| como la F ase(w) directamente. Por partes, la magnitud y la fase, como se muestra en la figura 4.12

(4.57)

´ DE TRANSFERENCIA H(S) CAP´ITULO 4. LA FUNCION

64

Figura 4.12: Representaci´on gr´afica por separado. Cada una se elabora por separado.

4.3.

Respuesta forzada

Si la fuente de alimentaci´on a la red es del tipo E(w) = |E (w)| Cos(wt)

(4.58)

Se define como fuente de audio o de frecuencia variable de tipo sinusoide. As´ı, que, para una frecuencia dada w la representaci´on en el tiempo de la respuesta r(t), si se mantiene la magnitud de e(t) constante, es   jF ase(w) j(wt) r(t) = Real |E (w)| |H(w)| e e

(4.59)

porque H (w), para este caso, lo u ´nico que le hace a la entrada es alterarle su magnitud |E (w)| |H(w)| y su fase en F ase(w); no genera distorsi´ on en la se˜ nal sinusoide de entrada. r(t) = |E (w)| |H(w)| (Cos(wt + F ase(w)) O fasorialmente. Ver la figura

respuesta r(t) forzada

(4.60)

4.3. RESPUESTA FORZADA

65

Figura 4.13: Salida contra la entrada en w.

Ejemplo de aplicaci´ on: Para el cuadripolo mostrado encontrar: 1. H(s) =

V2 (s) , ganancia de tensi´on Vg (s)

2. Localizaci´on de polos y ceros. 3. Respuesta en el tiempo homog´enea para v2 (t). 4. Respuesta forzada v2 (t) si vg (t) = 10 cos(wt). 5. Respuesta v2 (t) por Laplace y comparar con 4.

Figura 4.14: Ejemplo de aplicaci´on.

Con V2 (s) 1 = Vg (s) Ab + Bb + Cb + Db

(4.61)

Par´ametros del cuadripolo entre 1 y 2, o segundo cuadripolo Ab =

s2 + 2 s2

,

Bb =

2s2 + 2 s3

(4.62)

´ DE TRANSFERENCIA H(S) CAP´ITULO 4. LA FUNCION

66

Figura 4.15: Representaci´on en s.

Cb =

2 s

,

H(s) =

Db =

s2 + 2 s2

s3 1 2 (s + 1)(s2 + s + 1)

(4.63) (4.64)

polos y ceros en la figura 4.16

Figura 4.16: Polos y ceros. La respuesta v2(t) (forzada) " v2 (t) = Real si

# 1 s3 10ejwt 2 (s + 1)(s2 + s + 1) s=jw Real(10ejwt ) = 10 cos wt

(4.65) (4.66)

4.3. RESPUESTA FORZADA

67

Para la magnitud |v2 (w)| =

v2 (t) = 5 √

10 w3 1 √ p 2 2 1+w (1 − w2 )2 + w2

w3 w2

p

1+ (1 − para todo t

w2 )2

+

w2

(4.67)

−1 cos(wt − 90◦ − t−1 j w − tj

w ) (4.68) 1 − w2

Figura 4.17: Magnitud ejercicio de aplicaci´on. aparecen |v2 (t)| y fase(w), o desfase, en la anterior expresi´on con respecto a vg (t) que se considera a 0◦ (referencia). Para la respuesta homog´enea s´olo se toman los polos (ubicados en el semiplano izquierdo) y con vg (t) = 0, t

v2 (t) = K1 e−t + K2 e− 2 ej

√ 3 t 2

t

+ K3 e− 2 e−j

√ 3 t 2

para

t≥0

(4.69)

para encontrar v2 (t) con Laplace V2 (s) s3 = H(s) = Vg (s) 2(s + 1)(s2 + s + 1)

(4.70)

Se despeja

V2 (s) =

s3 Vg (s) 2(s + 1)(s2 + s + 1)

(4.71)

si vg (t) = 10cos(wt) ↔

s2

10s + w2

;

w constante

(4.72)

´ DE TRANSFERENCIA H(S) CAP´ITULO 4. LA FUNCION

68

en este caso

V2 (s) =

5s4 (s + 1)(s2 + s + 1)(s + jw)(s − jw)

(4.73)

Se puede encontrar v2 (t) utilizando fracciones parciales y tambi´en se obtiene con el apoyo del Matlab con los comandos syms t s w  v2 (t) = ilaplace

5 ∗ s4 ((s + 1) ∗ (sˆ2 + s + 1) ∗ (s + j ∗ w) ∗ (s − j ∗ w))

 (4.74)

se llega con pocas transformaciones a v2 (t) = 5 √

w3 1+

w2

p

(1 −

w2 )2

+

w2

−1 cos(wt−90◦ −t−1 j w−tj

t w )+e− 2 ϕ(w, t)+e−t α(w, t) 2 1−w (4.75)

En este caso, con Laplace, aparece una componente “transitoria” debido al car´acter mismo de la transformada y la respuesta forzada; es una respuesta de r´egimen permanente.

4.4.

Ejercicio Propuesto

1. Describir la H(s) para el sistema mec´anico de la figura siguiente que relaciona el desplazamiento x y la fuerza externa F(t). Considere rozamiento de la superficie diferente de cero, analizar;

Figura 4.18: Ejercicio propuesto. a) Polos y ceros, respuesta homog´enea y respuesta forzada, si F (t) = cos wt b) Encuentre un s´ımil el´ectrico.

Cap´ıtulo 5

´ FILTROS ELECTRICOS Existen dispositivos de amplia gama y aplicaci´on que est´an en capacidad de discriminar determinadas bandas de frecuencias y se les denomina FILTROS. Hay filtros ´opticos, mec´anicos, biol´ogicos, el´ectricos, etc; lo que realizan es un bloqueo, de acuerdo con ciertas especificaciones, en la frecuencia para determinado fin, por ejemplo; el ojo humano s´olo es sensible a cierto espectro de la radiaci´on de la luz, la piel s´olo siente el espectro infrarojo, la radio est´a en capacidad de seleccionar ciertas bandas de la radiaci´on electromagn´etica, etc. Ac´a se tratar´an los filtros el´ectricos pasivos partiendo desde los m´as simples hasta llegar a los b´asicos activos an´alogos. Para dar un ejemplo si se estudia H (w) =

V2 (w) para el circuito mostrado V1 (w)

Figura 5.1: RC como filtro. se encuentra

H(w) =

1 1 =√ ∠ − tg −1 w 2 1 + jw 1+w

con la gr´afica y con |V1 (t)| = constante

69

(5.1)

´ CAP´ITULO 5. FILTROS ELECTRICOS

70

Figura 5.2: Respuesta en w del RC. la magnitud de v2 (t) (como respuesta forzada si v1 (t) = cos(wt), como fuente ) disminuye a medida que crece w,

v2 (t) −→ 0; por lo tanto se puede considerar

un filtro el´ectrico. Se dan a continuaci´on unas consideraciones sobre lo que se entiende y debe cumplir un Filtro El´ectrico. Los filtros ideales son f´ısicamente imposibles de construir porque no son causales para cierto tipo de excitaci´on como se ver´a en el curso de An´alisis, Filtrado y Transmisi´on de Se˜ nales. Estas son; 1. No hay distorsi´on a la salida de ellos. 2. Se cumple el principio de la superposici´on. 3. Son causales, la salida nunca adelanta a la entrada en el tiempo.

5.1. 5.1.1.

Tipos de filtros el´ ectricos pasivos Filtro Pasa Bajo

Figura 5.3: Respuesta de un filtro pasa bajo.

´ 5.1. TIPOS DE FILTROS ELECTRICOS PASIVOS

5.1.2.

71

Filtro Pasa Alto

Figura 5.4: Respuesta de un filtro pasa alto.

5.1.3.

Filtro Pasa Banda

Figura 5.5: Respuesta de un filtro pasa banda.

5.1.4.

Filtro Eliminador de Banda

Figura 5.6: Respuesta de un filtro eliminador de banda. Cada uno de ellos se clasifica de acuerdo a la banda o (bandas) que eliminan o dejan pasar, bandas pasantes y de bloqueo, delimitadas por unas frecuencias de corte Wcorte .

´ CAP´ITULO 5. FILTROS ELECTRICOS

72

En ´estos V2(w) se hace igual a V1(w) o a cero en los filtros ideales. Los filtros con buen dise˜ no tratar´ıan de “seguir” cualquiera de los cuatro gr´aficas ideales mostradas anteriormente, dependiendo del tipo, como se muestra con las l´ıneas punteadas.

5.1.5.

Modelos circuitales para filtros pasivos

Se tienen los siguientes cuadripolos: Modelo Tipo T

Figura 5.7: Modelo tipo T. Modelo Tipo

Π

Figura 5.8: Modelo tipo π. Ambos son cuadripolos rec´ıprocos y sim´etricos, cargados con sus respectivas impedancias caracter´ısticas Zo que son funciones de s. Si se calcula para cada uno de ellos esta Zo r ZoT = +

p BT = Z1 Z2 CT r

Zoπ = +

se cumple

ZoT .Zoπ = Z1 Z2

r 1+

√ Bπ Z1 Z2 =r Cπ Z1 1+ 4Z2

Z1 4Z2

(5.2)

(5.3)

´ 5.1. TIPOS DE FILTROS ELECTRICOS PASIVOS

73

Y adem´as se establece Z1 Z2 = constante y en los dise˜ nos se espera que las Zo (w) traten de permanecer constantes en cada una de las bandas pasantes y anularse en las bandas de bloqueo, como para un pasa bajo ideal; constante hasta una frecuencia de corte

Figura 5.9: Impedancia caracter´ıstica de un filtro pasa bajo ideal. Lo anterior para garantizar una m´axima transferencia de potencia y permitir un acople perfecto de impedancias con otros dispositivos o filtros (Si de una conexi´on cascada se trata).

5.1.6.

Filtros pasa bajo tipo T y Π normalizados

El filtro pasa bajo tipo T con s=jw es

Figura 5.10: Circuito T de un pasa bajo.

ZoT

r r L w2 LC 1− = C 4

(5.4)

y para el filtro pasa bajo tipo π con la mismas Z1 , Z2 q Zoπ = r

L C

w2 LC 1− 4

(5.5)

´ CAP´ITULO 5. FILTROS ELECTRICOS

74

L =constante C las gr´aficas que se obtienen para ambas Zo contra w reales y positivas son se ve que

ZoT .Zoπ =

Figura 5.11: Impedancia caracter´ıstica de los dos circuitos. 2 , entre este valor y cero dan unas Zo reales positivas pero LC no son constantes en esta banda, por lo tanto, se opta para un dise˜ no pr´actico cargarlos r L con Ro = y considerar que estos valores para las Zo (w) permanecen constante C aproximadamente hasta el 50 % de la banda pasante; lo anterior hace que estos filtros ambas con wcorte = √

no sean por supuesto ni ideales, ni garanticen un perfecto acople de impedancias, ni una m´axima trasferencia de potencia. As´ı, para el primer filtro conectado a una fuente vg (t) con una Rg interna

Figura 5.12: Un pasa bajo T conectado a un generador. Para su dise˜ no se necesita conocer L y C que aparecen en

wcorte

2 =√ ; LC

r Ro =

L C

(5.6)

´ 5.1. TIPOS DE FILTROS ELECTRICOS PASIVOS

75

O viceversa dadas wcorte , Ro encontrar L ,C. Por lo general lo que se da es la frecuencia hasta donde se desea “dejar pasar” y luego escoger Ro para evaluar L y C ,desde luego, ser´ıan infinitos dise˜ nos y por lo anterior se opta por partir del filtro Pasa Bajo Normalizado con wcorte = 1,

Ro = 1

(5.7)

Los valores L=2, C=2 permiten lo anterior; el dise˜ no

Figura 5.13: Circuito normalizado de un pasa bajo T.

Ejemplo de aplicaci´ on: Se pide dise˜ nar un filtro que s´olo deje pasar aproximadamente frecuencias hasta 2000 rad . s El filtro a dise˜ nar, como pasa bajo, tendr´a una banda pasante de 2000 y del normalizado se saca de la norma 1 y se lleva hasta 2000

wcorte = r

2 = 1 × 2000 2×2 (2000)2

Figura 5.14: Pasa bajo T llevado a un frecuencia de corte de 2000.

´ CAP´ITULO 5. FILTROS ELECTRICOS

76

wcorte = 2000

,

Ro = 1

Se puede llevar a una Ro = 500Ω, se saca de la norma a la resistencia de carga v u 2 × 500 = 1 × 500 Ro = u t 2 500

Figura 5.15: Pasa bajo T. wcorte = 2000

,

Ro = 500

Este tendr´a una “respuesta aceptable” hasta un 50 % de la banda pasante; si por ejemplo vg (t) = 10 cos(300t) v2 (t) w 5 cos(300t + F ase(300)) Calculando a v2 (t) como Respuesta forzada a una frecuencia de 300 teniendo en cuenta que ´esta es con respecto a vg (t) y no con v1 (t) y en este caso su magnitud ser´ıa de 10 aproximadamente. El filtro pasa bajo tipo Π normalizado es

Figura 5.16: Circuito normalizado para un pasa bajo Π.

´ 5.1. TIPOS DE FILTROS ELECTRICOS PASIVOS

77

Filtro Pasa Bajo tipo Π normalizado wcorte = 1

,

Ro = 1

Para el mismo ejemplo anterior se saca de la norma en frecuencia, de 1 a 2000 Ro = 1 a 500Ω.

rad y s

Figura 5.17: Pasa bajo Π llevado a un corte de 2000 y una carga de 500.

5.1.7.

Filtros pasa alto tipo T y Π normalizados

Se propone para s = jw, al cambiar L por C y C por L en el pasa bajo

Figura 5.18: Circuito T de un filtro pasa alto.

ZOT

ZOT .ZOΠ = y las gr´aficas

L = constante C

r r L 1 = 1− 2 C 4w LC

(5.8)

´ CAP´ITULO 5. FILTROS ELECTRICOS

78

Figura 5.19: Impedancias caracter´ısticas de los dos circuitos.

ambos con wcorte =

√1 , 2 LC

dentro de este valor e infinito se toman unas Zo reales

positiva donde no son constantes nos q en esta banda, por lo tanto, se opta para dise˜ L pr´acticos cargarlos con Ro = , se considera que valores de Zo (w) permanecen C aproximadamente constantes hasta un 50 % por encima de la frecuencia de corte. El modelo tipo T y conectado a la fuente vg (t) con una Rg interna

Figura 5.20: Un pasa alto T conectado a un generador.

para su dise˜ no se necesita conocer L y C con

wcorte

1 = √ 2 LC

r ,

Ro =

L C

(5.9)

Con las mismas consideraciones del filtro pasa bajo respecto a los infinitos dise˜ nos posibles se opta por partir del Filtro Pasa Alto Normalizado

´ 5.1. TIPOS DE FILTROS ELECTRICOS PASIVOS

wcorte = 1 Los valores L = 12 , C =

1 2

79

,

Ro = 1

permiten lo anterior y el dise˜ no queda

Figura 5.21: Circuito normalizado para un pasa alto T.

Ejemplo de aplicaci´ on: rad . s Como pasa alto, teniendo una banda pasante desde 3000 hasta el infinito.

Se desea calcular un filtro que s´olo deje pasar frecuencias encima de 3000

Del normalizado se saca de la norma 1 en frecuencia y se lleva hasta 3000. 1 wcorte = r = 1 × 3000 1 1 1 2 × × 2 2 (3000)2

Figura 5.22: Pasa alto T llevado a un corte de 3000.

wcorte = 3000;

Ro = 1

Se puede llevar a una Ro = 1000Ω y se saca de la norma para la resistencia

(5.10)

´ CAP´ITULO 5. FILTROS ELECTRICOS

80

v u1 u × 1000 u 2 Ro = u t 1000 = 1 × 1000 2

Figura 5.23: Pasa alto T llevado a un corte de 3000 y a una carga de 1000. wcorte = 3000

,

Ro = 1000

El filtro tendr´a una respuesta aceptable desde un 50 % por encima de wcorte . Para el filtro Π pasa alto normalizado.

Figura 5.24: Circuito normalizado para un pasa alto Π. Para el mismo ejemplo del anterior se saca de la norma en frecuencia, de 1 a 3000 y Ro de 1 a 1000.

Figura 5.25: Pasa alto llevado a un corte de 3000 y a una carga de 1000.

´ 5.1. TIPOS DE FILTROS ELECTRICOS PASIVOS

5.1.8.

81

Filtros pasa banda tipo T y Π

Se parte del modelo tipo T con s = jw.

Figura 5.26: Circuito T de un filtro pasa banda.

ZOT =

p

r Z1 Z2

j Z1 = jwL1 − =j wC1

1+ 

Z1 4Z2

w2 L1 C1 − 1 wC1

(5.11) 

L2 wL2 C2 = −j 2 Z2 = 2 j(w L2 C2 − 1) (w L2 C2 − 1) wC2 si se establece la condici´on

(5.12)

(5.13)

L1 C1 = L2 C2 r

ZOT =

v u L1 u (w2 L1 C1 − 1)2   t1 − C2 4w2 L1 C1 LL12

(5.14)

con el cambio w2 L1 C1 = W y se grafica ZoT contra w y se toman solo los valores reales y positivos adem´as

ZOT .Zoπ = Z1 Z2 = constante r ZOΠ = s

L1 C2

(w2 L1 C1 − 1)2 1− 4w2 L1 C1 ( LL12 )

(5.15)

(5.16)

´ CAP´ITULO 5. FILTROS ELECTRICOS

82

Figura 5.27: Impedancias caracter´ısticas de los filtro pasa banda T y Π. para calcular las frecuencias de corte inferior y la superior solo (del tipo T y π) se resuelve la ecuaci´on cuadr´atica (de cuarto grado en w) para wL1C1 = wL2C2 = W (W − 1)2 =1 L2 4W L1

(5.17) (5.18)

y encontrar los valores w1, w2   L2 s    2 2+4 L2 1 L2 L1 W1,2 = ± 16 + 16 2 2 L1 L1

(5.19)

as´ı p p L1 C1 wcorte1 = W2

(5.20)

p

(5.21)

L1 C1 wcorte2 =

p

W1

Para (como se ve en las gr´aficas de las ZoT , Zoπ ) se opta que sea con Ro = q cargarlos q L1 L2 = C1 en donde para un dise˜ no se deben dar, por lo general, las dos frecuencias C2 que delimitan la banda pasante y la Ro .

Aproximadamente se tendr´a una buena

respuesta solo para un valor de w de la mitad de la banda pasante. Un buen filtro pasante y selectivo es aquel de banda estrecha.

´ 5.1. TIPOS DE FILTROS ELECTRICOS PASIVOS

83

Para el Π

Figura 5.28: Circuito Π de un filtro pasa banda. no es posible hablar de filtros normalizados como en los dos filtros anteriores. Ejemplo de aplicaci´ on: Se desea dise˜ nar un filtro pasa banda tipo T de tal forma que rad s rad = 2731 s

wcorte1 = 732 wcorte2

Ro = 5000Ω de la f´ormula L1 C1 = L2 C2 y con Ro = 5000 asumiendo C1 = 0,10 × 10−6

entonces L2 = 2,5; 2 L1 C1 wcorte1 = W2 2 L1 C1 wcorte2 = W1

con L1 = 5 y Ro2 =

C2 L1 = = (5000)2 L2 C1 C2 = 2 × 10−7

Figura 5.29: Ejemplo de aplicaci´on.

´ CAP´ITULO 5. FILTROS ELECTRICOS

84

Figura 5.30: Impedancia carater´ıstica del ejemplo anterior.

Para el tipo Π se sigue el mismo procedimiento.

5.1.9.

Filtro eliminador de banda tipo T

Con s´olo cambiar las disposiciones del anterior filtro, serie por paralelo y paralelo por serie serie, se origina;

Figura 5.31: Circuito T de un filtro eliminador de banda. para ZOT = Z1 =

−jwL1 , (w2 L1 C1 − 1)

p

r Z1 Z2

Z1 4Z2  2  w L2 C2 − 1 Z2 = j wC2 1+

(5.22) (5.23)

5.2. FUNDAMENTOS DE LOS FILTROS ACTIVOS

y se establece la condici´on ZOT

85

L1 C1 = L2 C2 r s L1 w2 L1 C1 = 1 − C1 C2 4 C2 (w2 L1 C1 − 1)2

(5.24)

con el cambio w2 L1 C1 = W y se gr´afica ZOT contra w y se toman s´olo los valores reales,positivos y adem´as ZOT .ZOΠ = Z1 Z2 = constante v u L1 u u C2 ZOΠ = u u w2 L1 C1 t 1 − C1 4 C2 (w2 L1 C1 − 1)2

(5.25)

(5.26)

Figura 5.32: Impedancias caracter´ısticas de filtros eliminador de banda T y Π. Para calcular las frecuencias de corte inferior y superior (del filtro tipo T y Π) s´olo se debe resolver la ecuaci´on cuadr´atica (de cuarto grado en w) en W = wL1 C1 w2 L1 C1 4

5.2.

C1 2 (w L1 C1 − 1)2 C2

=1

(5.27)

Fundamentos de los filtros activos

Con el apoyo del amplificador operacional tratado en el capitulo 4, esto es;impedancia de entrada alta por lo tanto corriente de entrada baja e impedancia de salida baja la ganancia de voltaje en s se puede encontrar para

´ CAP´ITULO 5. FILTROS ELECTRICOS

86

Figura 5.33: Ganancia de tensi´on de un amplificador operacional.

con

V r = E + Vy

(5.28)

Vy ' Vr

(5.29)

Vr  E

(5.30)

al considerar que

Por tener una ganancia de tensi´on alta

con esta condici´on y la primera ecuaci´on Ve − Vx = Z1



1 1 + Z4 Z 2

 (Vx − Vr )

(5.31)

y la corriente despreciable a la entrada Vr Vx − Vr = Z2 Z3

(5.32)

la ganancia de tensi´on es

Gre(s) =

V r(s) Z2 Z 3 Z4 = Ve (s) (Z2 + Z3 ) (Z1 Z2 + Z1 Z4 + Z2 Z4 ) − Z1 Z3 (Z2 + Z4 )

(5.33)

5.2. FUNDAMENTOS DE LOS FILTROS ACTIVOS

5.2.1.

87

Filtro pasa bajo Butterworth

Es del tipo

Figura 5.34: Filtro pasa bajo Butterworth. Denominado Filtro Pasa Bajo de 5 polos, con una mejor respuesta en la frecuencia que su similar pasivo. Entre mayor sea el grado del denominador en Gre (s) mayor ser´a su atenuaci´on como se ver´a m´as adelante en los Diagramas de Bode. Para calcular la ganancia total tan s´olo es encontrarla en cada etapa mostrada, Gba (s), luego Grb (s), con su producto, (y el apoyo de la ganancia de un amplificador operacional ) y por u ´ltimo entre Gae(s). Se garantiza acople perfecto de impedancias por tener estos amplificadores impedancia de entrada altas y son m´as estables en la frecuencia.

5.2.2.

Filtro pasa alto Chebyshev

Es del tipo

Figura 5.35: Filtro pasa alto Chevyshev. Denominado Filtro Pasa Alto de 5 polos, se ha logrado ´este con solo intercambiar las resistencias por capacitancias del modelo anterior dando como efecto que en el

´ CAP´ITULO 5. FILTROS ELECTRICOS

88

numerador de la funcci´on de trasferencia del Pasa Bajo aparezca un polinomio de grado 5 , conservando el grado 5 en el denominador, convirti´endolo en un Pasa Alto. Para calcular su ganancia total es similar a el tratamiento del filtro anterior.

5.3.

Ejercicios propuestos

1. Es posible conectar dos filtros pasivos pasa bajo tipo T y pasa bajo tipo Π en cascada? Justifique. 2. Demostrar que un circuito RLC paralelo se puede comportar como un filtro pasa banda. 3. Porqu´e no es posible establecer filtros normalizados pasivos pasa banda y eleminador de banda? 4. Encontrar la ganancia de tensi´on para el filtro pasa bajo Butterworth si todas las resistencias y las capacitancias valen 1.

Cap´ıtulo 6

RESPUESTA EN FRECUENCIA El manejo de las respuestas en la frecuencia, para ciertos circuitos, permite conocer si ´estos dan respuestas estables en ´esta; que las se˜ nales de salida sean medibles para ciertos rangos de frecuencia o hacerse inconmensurable en otros. Hay m´etodos gr´aficos que ayudan a estudiar la H(s), funci´on de transferencia, de un sistema en el dominio de la frecuencia y como se trata de una funci´on “compleja” de variable real w el estudio de su magnitud como de su fase permite establecer si un sistema es estable o no y el rango de frecuencia en que lo sea. Se retoma a

R(s) H(s) = = E(s)

an bm

n Q

(s − Zi )

1 m Q

(6.1) (s − Pj )

1

y su magnitud y fase con s = jw

|H(w)| =

θi = T an−1

an |jw − Z1 | |jw − Z2 | .......... |jw − Zn | ; bm |jw − P1 | |jw − P2 | .......... |jw − Pm |

Imag (jw − Zi ) Real (jw − Zi )

αj = T an−1

,

F ase(w) =

X

θi −

X

αj

Imag (jw − Pj ) Real (jw − Pj )

(6.2)

(6.3)

(6.4)

tanto la magnitud como la fase se pueden estudiar como hodograma o por separado. La magnitud 89

CAP´ITULO 6. RESPUESTA EN FRECUENCIA

90

R(w) |R (w)| = |H (w)| = E(w) |E (w)|

(6.5)

E(w) entrada, R(w) respuesta Es ver el comportamiento de la respuesta |R (w)| frente a la se˜ nal de entrada |E (w)| si esta magnitud anterior permanece constante, al variar la frecuencia, desde el punto de vista la estabilidad.

6.1.

Diagramas de Bode

Los Diagramas de Bode muestran a H (w) y su estabilidad desde un punto de vista muy simple; realizar gr´aficas de las partes de H (w) por separado. Esto es en forma de suma, usando la funci´on logar´ıtmica y aunque esto se haga bajo esta funci´on la informaci´on fundamental de su estabilidad no se pierde. Si a

H(w) = |H(w)| ejF ase(w)

(6.6)

se le aplica esta funci´on (log base 10)

log H(w) = log |H (w)| + jF ase (w) log (e)

(6.7)

quedan separadas las magnitud y la fase. Para la magnitud  log |H(w)| = log

an bn

 +

n X 1

log |jw − Zi | −

m X

log |jw − Pj |

(6.8)

1

graficadas sus partes en escala semilogar´ıtmica, ordenadas en escala lineal, abscisas en escala logar´ıtmica, de su suma total se extrae informaci´on sobre la estabilidad de H(w). Inclusive por supuesto “devolverse” y llegar hasta H(w) a su forma original. La fase es simplemente ella misma ya que en H(w) est´a en forma exponencial.

6.2. CASOS GENERALES PARA LOS DIAGRAMAS DE BODE

91

Para la magnitud se opta universalmente las unidades de los “decibeles” (db) al radianes multiplicar por 20, en las ordenadas (escala lineal) y en escala logar´ıtmica segundo o sea en “d´ecadas” (dec).

6.2.

Casos generales para los diagramas de Bode

1. H (s) = K H(w) = K

Kconstante real positiva ,

F ase(w) = 0

20 log |H (w)| = 20 log K

(6.9) (6.10) (6.11)

Figura 6.1: Bode de una constante real. la respuesta permanece constante con las variaciones de w y la fase es cero con respecto a la entrada. Si se tratara de una entrada sinusoidal fasorialmente esta es

CAP´ITULO 6. RESPUESTA EN FRECUENCIA

92

Figura 6.2: Respuesta contra la entrada para el caso anterior. 2. H(s) = s H(w) = jw

F ase(w) = +90◦

20 log |H(w)| = 20 log w

(6.12) (6.13) (6.14)

Figura 6.3: Bode para s. la respuesta es menor que la entrada entre 0 y 1 y es mayor entre 1 y el infinito, la frecuencia en donde cambia de signo los decibelios respecto a cero se denomina frecuencia de quiebre Wq y para este caso es 1 adem´as la fase permanece constante, si se toma fasorialmente

6.2. CASOS GENERALES PARA LOS DIAGRAMAS DE BODE

93

Figura 6.4: Respuesta para el caso anterior. 3. H(s) = −s

(6.15)

para este caso no se altera la magnitud si se tratara para H(s) = s, s´olo la Fase(w) H(s) = −s = sejπ

(6.16)

Por lo tanto a la Fase(w) de H(s) = s se le suma π. 4. H(s) = s2 , es simplemente, H(s) = s · s H(w) = jw · jw que se puede generalizar con H (s) = sn , para n entero. 20 log |H(w)| = 20 log w2 = 40 log w

;

F ase(w) = 90◦ + 90◦ = 180◦ (6.17)

Figura 6.5: Bode para s al cuadrado.

CAP´ITULO 6. RESPUESTA EN FRECUENCIA

94

5. H(s) = 20 log |H(w)| = 20 log |1| − 20 log w

,

1 s

(6.18)

F ase(w) = (0◦ − 90◦ ) = −90◦ (6.19)

Figura 6.6: Bode para el inverso de s. 6. H(s) =

1 s2

(6.20)

que se puede generalizar para: H(s) =

1 sn

para n entero

20 log |H(w)| = 20 log 1−20 log w−20 log w;

(6.21)

F ase(w) = (0◦ −90◦ −90◦ ) = −180◦ (6.22)

Figura 6.7: Bode para el inverso de s al cuadrado.

6.2. CASOS GENERALES PARA LOS DIAGRAMAS DE BODE

95

Es estable a partir de 1, se aten´ ua la respuesta.  7. H(s) = αS + β; (α, β); reales; β > 0, si se transforma en H(s) = β adem´as se supone

 α s+1 β

β >0 α

α |H(w)| = β 1 + j w β

,

F ase(w) = tan−1

α 20 log |H(w)| = 20 log β + 20 log 1 + j w β

αw β

(6.23)

(6.24)

para la segunda expresi´on de la derecha se hacen las siguientes aproximaciones tendientes a obtener la as´ıntota de la funci´on exacta en w. α a. Si w  1; 20 log |1| = 0 β α α b. Si w  1; 20 log w = 20 log α + 20 log w − 20 log β β β α β c. Si w = 1; wq = (wq se denomina frecuencia de quiebre. β α la gr´afica aproximada (as´ıntota) queda en cada una de sus partes y su total, con su Fase(w).

Figura 6.8: Bode para una funci´on lineal en s.

CAP´ITULO 6. RESPUESTA EN FRECUENCIA

96

Es inestable el sistema a partir de la wq 8. H(s) =

1 ; con las mismas consideraciones del caso anterior la gr´afica es αs + β

Figura 6.9: Bode para una funci´on lineal en s inversa.

9. H(s) =

s2

1 , donde las ra´ıces de (s2 + αs + β) no son reales sino + αs + β

complejas. En este caso y para todo H(s) en donde existan ra´ıces complejas (polos o ceros) se debe proceder a buscar las gr´aficas de Bode de manera directa; manipulando H(s) queda H(s) =

1 α 1 β( s2 + s + 1) β β s

20 log H(w) = −20 log β − 20 log αw β − w2 generando unas gr´aficas aproximadas

F ase(w) = tan−1

w2 1− β

2

 +

α w β

2

6.2. CASOS GENERALES PARA LOS DIAGRAMAS DE BODE

97

Figura 6.10: Bode para una funci´on cuadr´atica en s e inversa.

Ejemplo de aplicaci´ on Estudiar Bode magnitud para el filtro pasa alto normalizado tipo T.

Se sabe H(s) =

V2 (s) 1 s3 = Vg (s) 2 s3 + 2s2 + 2s + 1

(6.25)

s3 2(s + 1)(s2 + s + 1)

(6.26)

H(s) =

20 log |H(w)| = 20 log

20 log |H (w)| = 20 log

|V2 (w)| 1 |(jw)3 | = 20 |Vg (w)| 2 |1 + jw| |(1 − w2 ) + jw|

(6.27)

p √ 1 + 60 log w − 20 log 1 + w2 − 20 log (1 − w2 )2 + w2 (6.28) 2

CAP´ITULO 6. RESPUESTA EN FRECUENCIA

98

Figura 6.11: Bode magnitud para un filtro pasa alto normalizado. como se puede ver, wq = wcorte = 1. Para frecuencias inferiores a wq = wcorte , existe atenuaci´on. Se pueden utilizar comandos del Matlab para obtener directamente las gr´aficas de Bode al digitarse: syms s H = 0,5 ∗ tf

h

1 0 0 0

i h i , 1 2 2 1

ENTER 0,5s3 s3 + 2s2 + 2s + 1 bode(H) Para los dem´as filtros no ideales, de cualquier tipo, las gr´aficas de magnitud en Bode son aproximadamente

Figura 6.12: As´ıntotas para filtro pasa bajo.

6.2. CASOS GENERALES PARA LOS DIAGRAMAS DE BODE

99

Figura 6.13: As´ıntotas para un filtro pasa banda.

Figura 6.14: As´ıntotas para un filtro eliminador de banda.

Un filtro entre m´as atenuaci´on tenga (en los cortes respectivos) m´as se aproxima al filtro ideal y para el caso del pasa bajo ideal

Figura 6.15: As´ıntotas para filtro real e ideal pasa bajo. Si se tiene una funci´on de transferencia de grado cinco en el denominador generar´a m´as atenuaci´on que una de grado tres como en uno activo.

CAP´ITULO 6. RESPUESTA EN FRECUENCIA

100

6.3.

Criterio de estabilidad de Hurwitz

En una funci´on de transferencia de un sistema lineal es indispensable que las ra´ıces del polinomio denominador, los polos, est´en en el semiplano izquierdo del plano complejo para garantizar respuestas estables. El criterio de Hurwitz establece que no solo no es necesario conocer el valor de ´estas sino que permite examinar de manera sencilla su ubicaci´on. Para H(s)

H(s) =

an sn + an−1 sn−1 + ....... E(s) = R(s) bm sm + bm+1 sm−1 + .......

(6.29)

Interesa donde est´an las ra´ıces de R(s) no su evaluaci´on. El hacer s=jw necesariamente el sistema o red es excitado por una fuente, por ejemplo, sinusoide de frecuencia variable.

6.4.

Polos referenciados

Se opta por

P (s) = bm (s − P1 )(s − P2 ).............(s − Pm )

(6.30)

si bm > 0 y se hace s = jw (frecuencia) m Y P (w) = bm (jw − Pi ) i=1

Son referenciados todos los polos a la variable w en el plano complejo

(6.31)

6.4. POLOS REFERENCIADOS

101

Figura 6.16: Polos referenciados a la variable w. con w con valores desde -∞ < w < ∞ el argumento de P (jw) queda incrementado en (N1 − N2 ) π

(6.32)

si N1 son los polos ubicados a la derecha, N2 en la izquierda respectivamente en el plano complejo N1 + N2 = m

(6.33)

Y si todos los polos est´an a la izquierda este incremento es −mπ Por el principio del argumento (fase) que establece; el n´ umero de ra´ıces de P(w) dentro de una regi´on limitada por una curva cerrada c es igual al n´ umero de vueltas que da P(w) alrededor del origen cuando w recorre una vez el contorno c en direcci´on positiva, sentido contrario al giro de las manecillas del reloj.

Figura 6.17: Principio del argumento. ahora Fase(w) = arg(bm ) + arg(jw − P1 ) + arg(jw − P2 ) + . . .

(6.34)

CAP´ITULO 6. RESPUESTA EN FRECUENCIA

102

El incremento de la fase Fase(w) como ∆Fase(w) = ∆arg(bm ) + ∆arg(jw − P1 ) + ∆arg(jw − P2 ) + . . .

(6.35)

cuando se da una revoluci´on en C ∆arg(jw − P1 ) = 2π

,

P1

est´a adentro

(6.36)

∆arg(jw − P1 ) = 0 ,

P1

est´a afuera

(6.37)

Si todos los polos est´an dentro de esta regi´on ∆Fase(w) = 2πm y este caso que se trata en la figura 6.16, si todos los polos est´an en el semiplano izquierdo el incremento del argumento o fase es − mπ

6.5.

para

−∞<w <∞

(6.38)

Criterio de Hurwitz

Se propone el polinomio P1 (w) = (j)−m P (jw)

(6.39)

    π arg P1 (w) = −m + arg P (w) 2

(6.40)

por lo tanto

si jw sobre el eje imaginario hacia abajo, en el plano complejo,     ∆arg P1 (w) = ∆arg P (w) = −mπ

(6.41)

as´ı, P1 (w) = bm

j m−1 m−1 jm m w + b w + ... m−1 jm jm

(6.42)

P1 (w) funci´on compleja de variable real w     P1 (w) = bm wm − bm−2 wm−2 + . . . − j bm−1 wm−1 − bm−3 wm−3 + . . . P1 (w) = λ (w) − jβ (w)

(6.43) (6.44)

las m ra´ıces de λ (w) como las m − 1 de β (w) , con la condici´on de bm, bm−1 mayores que cero, deben ser reales y alternadas ya que R1 (jw) debe “girar” en el sentido de

6.5. CRITERIO DE HURWITZ

103

las manecillas del reloj mostrando m veces un semiciclo (−mπ), alrededor del origen, y esto si la curva P1 (w) viene del cuarto cuadrante Ejemplo de aplicaci´ on Un filtro pasa banda tipo T con C1 = C2 = L1 = L2 = 1 y carga de 1 conectado a una fuente de impedancia interna de 1, muestra su funci´on de transferencia de ganancia de tensi´on

H(s) =

V2 (s) = 4s3 /(s6 + 4s5 + 11s4 + 16s3 + 11s2 + 4s + 1) Vg (s)

(6.45)

m=6

Figura 6.18: Hurwitz para filtro pasa banda 6

ra´ıces del polinomio real λ (w) de Hurwitz y alternadas.

5

ra´ıces del polinomio imaginario β (w) de Hurwitz y alternadas.

−6Π

incremento del argumento.

P1 (w) debe provenir desde el cuarto cuadrante y P (w) tiene sus seis ra´ıces (parte real si hay complejas) en el semiplano izquierdo. M´as para el caso

H(s) = no se cumple.

(2s5

+

2s4

s + 2s3 − 5s2 + s + 3)

(6.46)

CAP´ITULO 6. RESPUESTA EN FRECUENCIA

104

6.5.1.

Condici´ on suficiente de Hurwitz

Con   bm−2 m−2 λ(w) m = w − w + ........ = 0 bm bm

(6.47)

las m ra´ıces x1 , x2 , x3 , ......, xm ; deben cumplir con la F´ormulas de Vieta.

6.6.

F´ ormulas de Vieta

Sea el polinomio con Am > 0 Q = Am Qm + Am−1 Qm−1 + ....... + A0

(6.48)

la descomposici´on para Q1, Q2 , .....Qm m ra´ıces reales o complejas Q = Am (Q − Q1 ) + (Q − Q2 )...........(Q − Qm )

(6.49)

El desarrollar Q y comparando los t´erminos de igual potencia aparecen las identidades Q1 + Q2 + ........ + Qm = −

Am−1 Am

Q1 Q2 + Q1 Q3 + .... + Q2 Q3 + .... =

Q1 Q2 Q3 + Q1 Q2 Q4 + ........... = −

(6.50)

Am−2 Am

Am−3 Am

Q1 Q2 Q3 + ........................... = (−1)m

A0 Am

(6.51)

(6.52) (6.53)

Llevado esto a lo anterior, las m ra´ıces del λ(w)/bm , x1 + x2 + x3 + .... + xm = 0 bm−2 bm x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + ... + x2 x3 x4 + x2 x3 x5 + ... = 0 .. . b0 x1 x2 x3 ......................xn = (−1)m bm x1 x2 + x1 x3 + ... + x2 x3 + x2 x4 + ... = −

deben se ra´ıces reales y alternadas.

(6.54)

´ 6.6. FORMULAS DE VIETA

105

Por supuesto b0 > 0 y lo debe ser bm tambi´en. Las (m − 1) ra´ıces y1 , y2 , ....ym−1 , de   β(w) bm−3 m−3 m−1 = w − w + ........ bm−1 bm−1

(6.55)

Cumplen con y1 + y2 + ..... + ym−1 = 0 m−3 y1 y2 + y1 y3 + ...... = − bbm−1

:

(6.56)

: deben ser ra´ıces reales y alternadas Si las ra´ıces son reales y alternadas y adem´as se organizan en forma descendente x1 > x2 > x3 ............ > xm

(6.57)

y1 > y2 > y3 ............ > ym−1

(6.58)

x1 > y 1

(6.59)

x2 > y 1 .. .

(6.60)

x1 > y 1 > x 2 > y 2

(6.61)

por supuesto

se debe cumplir

Por lo tanto x1 x2 > y 1 y2 x1 x3 > y 1 y3 .. .

(6.62)

Con lo anterior, para los bm coeficientes, cumplen con las inecuaciones bm−3 bm−2 > bm bm−1

(6.63)

CAP´ITULO 6. RESPUESTA EN FRECUENCIA

106

bm−1 bm−2 > bm bm−3

(6.64)

para bm > 0,

bm−1 > 0

(6.65)

Se pueden constru´ır los determinantes de Hurwitz que garantizan que: si todos son mayores que cero P(s) tendr´a ra´ıces (en sus partes reales) en el semiplano izquierdo y estos son bm−1 > 0

6.7.

b m−1 bm , bm−3 bm−2

> 0,

0 bm−1 bm bm−3 bm−2 bm−1 bm−5 bm−4 bm−3

> 0,

etc

Ejercicios propuestos

1. Encontrar diagrama de Bode magnitud para el filtro pasa alto Chevyshev. 2. Obtener el diagrama de Bode para el siguiente arreglo y analizarlo como un filtro. Explique.

Figura 6.19: Ejercicio propuesto 3. Aplicar el criterio de Hurwitz para el ejercicio anterior. 4. Desarrollar un programa en Matlab que incluya el criterio de estabilidad Hurwitz.

Cap´ıtulo 7

SERIES DE FOURIER

7.1.

Consideraciones generales

Para la interpretaci´on de ciertos hechos de la realidad como; la cuerda oscilante, transferencia de calor y otros fen´omenos naturales, las Series de Fourier han permitido una soluci´on satisfactoria a ´esta y en el caso de las redes el´ectricas es innegable su importancia.

7.2.

Conceptos de aproximaci´ on

Una funci´on real f (t) dentro de intervalo cerrado a, b y cumple con las siguientes condiciones 1. Continua para a ≤ t ≤ b. 2. Si no lo es y si hay discontinuidades ´estas son en n´ umero finito y son finitas. Se puede aproximar dentro de este intervalo por una serie de funciones que cumplan con 1 y 2. El error para una aproximaci´on, e(t)

e(t) = f (t) − Ko φo (t) − K1 φ1 (t) − . . . − Ki φi (t) Para K0 , K1 , ..., Ki constantes deben de cumplir la desigualdad de Bessel 107

(7.1)

CAP´ITULO 7. SERIES DE FOURIER

108

K02

+

K12

+ ... +

Ki2

b

Z

|f (t)|2 dt,

≤ a

l´ım Ki → 0

i→∞

(7.2)

y las funciones φ0 (t), φ1 (t), ... verifican las condiciones para f (t), entonces el error e(t)

Figura 7.1: Error real para una aproximaci´on. en su error medio em (t) b

Z

1 em (t) = b−a

e(t)dt

(7.3)

a

Debe ser m´ınimo pero puede arrojar un valor bajo y en realidad se puede ocultar un error grande (es una sumatoria de ´areas) para este intervalo cerrado, por lo anterior, se recurre al emc error medio cuadr´atico definido como

emc

1 = b−a

Z

b

e2 (t)dt

(7.4)

a

que no “permite” cancelaciones de ´areas en este intervalo. Si no se conocen las constantes K0, K1 .., Ki pero s´ı φ0 (t), φ1 (t), φ2 (t), ..φi (t) se propone que este error sea m´ınimo si Kn φn (t) son en n´ umero finito. El m´ınimo error medio cuadr´atico es ∂emc =0 ∂Kn

n(0, 1, 2, ...., i)

(7.5)

para cualquier n ∂emc 1 = ∂Kn b−a

Z

b

[−2f (t)φn (t) + a

∂ [K02 φ20 (t) + .. + Kn2 φ2n (t) . . . + ∂Kn

(7.6)

´ 7.2. CONCEPTOS DE APROXIMACION

109

+2K0 K1 φ0 (t)φ1 (t) + ... + 2Kn Kl φn (t)φl (t) + ..]]dt = 0 quedando b

Z −2

Z f (t)φn (t)dt + 2

b

Kn φ2n (t)dt

Z

Kl φn (t)φl (t)dt = 0

+2

(7.7)

a

a

a

b

Constitu´ıda por funciones que tienen la particularidad, como otra condici´on b

Z

φn (t)φl (t)dt = 0

n 6= l

(7.8)

φn (t)φl (t)dt 6= 0

n=l

(7.9)

a

b

Z a

denominadas funciones ortogonales dentro del intervalo cerrado [a, b]; se pueden despejar las Kn Rb Kn =

a

f (t)φn (t)dt Rb φ2 (t)dt a n

(7.10)

con esta evaluaci´on de las constantes de la aproximaci´on se garantiza que el emc es m´ınimo. Para f (t)

f (t) w

i X

Kn φn (t)

,

emc

m´ınimo

(7.11)

es m´ınimo y cero

(7.12)

0

f (t) =

∞ X

Kn φn (t)

,

emc

0

f (t) QUEDA TOTALMENTE DETERMINADA cuando i −→ ∞, si y s´olo si las φn (t) son ortogonales.

Las Kn son utilizadas en la obtenci´on de series en f(t) y la de Fourier Trigonom´etrica, como caso particular, cumplen con todo lo anterior.

CAP´ITULO 7. SERIES DE FOURIER

110

7.3.

La serie trigonom´ etrica de Fourier

Como consecuencia de la ortogonalidad en a ≤ t ≤ b, las funciones que la componen de forma trigonom´etrica son ∞

a0 X f (t) = + (an cos(nw0 t) + bn sen(nwo t)) 2 1

(7.13)

Los coeficientes an , bn , se eval´ uan partiendo de que cos(nw0 t), sen(nw0 t) son ortogonales en el intervalo a ≤ t ≤ a + t0 donde t0 es el per´ıodo de w0 definido w0 =

2π t0

como la

frecuencia de oscilaci´on de las funciones sinusoidales que cumplen a+t0

Z

sen(nw0 t) sen(lw0 t)dt,

6= 0 si n = l

;

0 si n 6= l

(7.14)

cos(nw0 t) cos(lw0 t)dt,

6= 0 si n = l

;

0 si n 6= l

(7.15)

sen(nw0 t) cos(lw0 t)dt,

6= 0 si n = l

;

0 si n 6= l

(7.16)

a

Z

a+t0

a

Z

a+t0

a

y con la expresi´on de las Kn , an , bn son a+t R0

an =

f (t) cos(nw0 t) dt

a a+t R0

cos2 (nw

0 t)

a+t Z 0

2 = t0

dt

f (t) cos(nw0 t)dt

(7.17)

Zat0 f (t) sen(nw0 t)dt

(7.18)

a

a a+t R0

an =

f (t) sen(nw0 t) dt

a a+t R0

sen2 (nw

0 t)

dt

2 = t0

a

a

a0 1 = 2 t0

Z

a+t0

f (t)dt

dependen exclusivamente de n y de w0 ; el valor funci´on en este intervalo.

(7.19)

a a0 2

se define como el valor medio de la

´ 7.4. FUNCIONES PERIODICAS

111

El t´ermino, para n = 1, o sea w0 , es el primer arm´onico o fundamental de la serie, 2w0 el segundo arm´onico, 3w0 tercer arm´onico, etc. Es importante anotar que dada f (t) y su intervalo de expansi´on es posible encontrar an y bn y viceversa; f (t) s´olo depende del tiempo y an , bn s´olo dependen de n y de w0 , de la frecuencia en forma discreta, en m´ ultiplos de wo .

Figura 7.2: Espectro discreto obtenido por series de Fourier. f (t) es una funci´on real que puede describir un fen´omeno f´ısico real para un intervalo en t finito, an = a−n bn = −b−n

funci´on par en n

(7.20)

funci´on impar en n

(7.21)

Adem´as b0 es cero.

7.4.

Funciones peri´ odicas

Se define funci´on peri´odica aquella que f (t) = f (t ± pt0 ) si w0 = a intervalos regulares t0 , en valores enteros de p.

Figura 7.3: Funci´on peri´odica.

2π , t0

esto es, se repite

CAP´ITULO 7. SERIES DE FOURIER

112

Esta se puede expandir en Series Trigonom´etricas de Fourier aunque sean peri´odicas ya que la periodicidad finita de ellas lo permite, por ejemplo f (a) = f (a + t0 ) = f (a − t0 ) f (a) = f (a ± pt0 )

,

(7.22)

p(0, 1, 2, ....)

(7.23)

La expansi´on se hace para ese per´ıodo t0 o en el intervalo a ≤ t ≤ a + t0 y se cumplen las condiciones de existencia de ella. Si por ejemplo ∞

f (t) =

a0 X + (an cos(nw0 t) + bn sen(nw0 t)) 2 1

(7.24)

Es una se˜ nal de tensi´on que alimenta una red cada uno de los t´erminos es una fuente particular con su propia frecuencia de oscilaci´on. En principio toda f (t) para un intervalo finito contiene arm´onicos y

a0 2

es la fuente de

frecuencia cero (fuente D.C), n=0, y las dem´as se˜ nales oscilatorias como sus respectivos arm´onicos o fasores.

Figura 7.4: Superposici´on.

´ 7.4. FUNCIONES PERIODICAS

113

Existe otra forma de presentar estas series; es la Serie Compleja de Fourier ∞

∞

X bn a0 X an jnw0 t f (t) = + (e + e−jnw0 t ) + (ejnw0 t − e−jnw0 t ) 2 2 2j 1 1

(7.25)

Reorganizando y definiendo Fn =

an − jbn 2

(7.26)

con an y bn en su forma integral en Fn +∞ X

f (t) = Fn ejnw0 t Z −∞ 1 a+t0 f (t)e−jnw0 t dt Fn = t0 a

(7.27) (7.28)

Se necesita f(t) para evaluar Fn y viceversa. La una queda sumergida en la variable continua tiempo, la otra en la variable frecuencia discreta en w0 Intervalo finito en t, f (t) ←→ Fn espectro discreto. Ahora, en la forma fasorial en f(t) peri´odica, se propone una funci´on rectangular con per´ıodo to

Figura 7.5: Diagrama fasorial. Para que f (t) sea REAL se deben considerar valores negativos en n pero no en la frecuencia w0 .

CAP´ITULO 7. SERIES DE FOURIER

114

7.5. 1. Si

Propiedades generales de las series de Fourier a0 = 0 valor medio de f(t) , a ≤ t ≤ a + t0 , en el caso particular 2

Figura 7.6: Funci´on con valor medio cero.

las ´areas A1 , A2 se cancelan, la integral

R a+t0 a

f (t)dt no genera componente de

valor medio. 2. Si f (t) = f (−t) se denomina funci´on par, por ejemplo

Figura 7.7: Funci´on par. en este caso ∞
a0 X + an cos(nw0) t + bn sen(nw0 t) f (t) = 2 1

(7.29)

∞

a0 X f (−t) = + (an cos(nw0 t) − bn sen(nw0 t)) 2 1 Igualando ambas ∞ X

bn sen(nw0 t) = 0

1

La contribuci´on de la parte sen(nw0 t) y de los coeficientes bn es cero. 3. Si f (t) = −f (−t) se denomina funci´on impar, por ejemplo

(7.30)

(7.31)

7.5. PROPIEDADES GENERALES DE LAS SERIES DE FOURIER

115

Figura 7.8: Funci´on impar. − f (−t) =

− a20

−

∞ X

(an cos(nw0 t) − bn sen(nw0 t))

(7.32)

1

igualando ∞ X

an cos(nw0 t) = 0

(7.33)

1

La contribuci´on de la parte cos(nw0 t), y de los coeficientes an es cero. t0 4. Si f (t) = −f (t ± ) se denomina funci´on con simetr´ıa de media onda, ejemplo 2

Figura 7.9: Simetr´ıa de media onda. Desplazar medio per´ıodo la funci´on (a la derecha o a la izquierda) e invertirla y ser exactamente la misma  ∞  t0 a0 X t0 t0 −f (t± ) = − − an cos nw0 (t ± ) + bn sen nw0 (t ± ) = f (t) (7.34) 2 2 2 2 1 Al hacer el desarrollo de cada una de las partes y cambiando de signo (por menos) e igualando con f(t), tan solo es necesario realizar la integral para Fn dentro del intervalo a≤ t ≤ a + t0 /2 y multiplicar por dos.

CAP´ITULO 7. SERIES DE FOURIER

116

2 Fn = t0

a+t0 /2

Z

f (t)e−jnw0 t dt

,

s´olo n impar

(7.35)

a

5. Propiedad diferencial. 0

Para f (t), f (t), f ” (t), .........., hasta n derivada en a ≤ t ≤ a + t0 y recurriendo a la forma compleja f (t) =

∞ X

Fn e−jnw0 t

(7.36)

(jnw0 t)Fn e−jnw0 t

(7.37)

−∞ 0

f (t) =

∞ X −∞

.. . f

(n)

(t) =

∞ X

(jnw0 )n Fn e−jnw0 t

(7.38)

−∞

Para cada nueva serie, de las derivadas, aparece un nuevo espectro en w0 f (t) ↔ Fn

(7.39)

0

f (t) ↔ (jnw0 )Fn ”

f (t) ↔ (jnw0 )2 Fn .. .. .. . . . f

( n)

(t) ↔ (jnw0 )n Fn

(7.40) (7.41) (7.42) (7.43)

hasta llegar a funciones con discontinuidades finitas que aunque sigue siendo v´alida la propiedad diferencial, ac´a no se utilizan funciones singulares como lo es la funci´on Delta de Dirac, δ(t) que aparece en las discontinuidades finitas en sus derivadas. Ejemplo de aplicaci´ on: Para la f (t) mostrada encontrar su espectro Fn

adem´as aplicarla como se˜ nal de

tensi´on a un filtro Pasa Bajo con wcorte = 2. f (t) = t2 − 1, f (t) = −(t − 2)2 + 1,

−1 ≤ t ≤ t + 1 1≤t≤3

(7.44) (7.45)

7.5. PROPIEDADES GENERALES DE LAS SERIES DE FOURIER

117

Figura 7.10: Ejemplo de aplicaci´on. Es dificultoso realizar directamente la integral en Fn , pero en este caso no lo es si se utiliza la propiedad diferencial

Figura 7.11: Propiedad diferencial.

Se llega hasta derivadas que muestren discontinuidades finitas f ” (t);

w0 =

π , 2

jnw0 =

jnπ 2

simetr´ıa de media onda

(7.46)

CAP´ITULO 7. SERIES DE FOURIER

118



π 2 jn Fn = 2 Fn = −

Z

1

π

e−jn 2 t dt

(7.47)

−1

16 π sen(n ) 3 3 nπ 2

(7.48)

Pero Fn = an = −

an bn −j 2 2

(7.49)

32 π ) sen(n n3 π 3 2

(7.50)

f (t) tiene simetr´ıa media onda, valor medio cero, es par, por lo tanto ∞

f (t) = −

32 X sen(n Π2 ) π d cos(n t) π3 1 n3 2

s´olo n impar

(7.51)

Sea para el valor t = 0, hay convergencia f (0) = −

32 1 1 1 (1 − + − + .......) = −1 π3 33 53 73

(7.52)

Esta f (t) tiene un espectro del tipo

Figura 7.12: Espectro del ejemplo anterior. Aparecen componentes negativas para nw0 , por n, y s´olo esto garantiza que f (t) sea real. Si f (t) alimenta a un filtro Pasa Bajo con wcorte = 2

y es una fuente de tensi´on

aproximadamente aparecer´a la componente en v2 (t) del primer arm´onico v2 (t) w −

16 π cos( t + F ase(w)) 3 π 2

donde F ase(w) se puede calcular con la respuesta forzada.

(7.53)

7.6. LA TRANSFORMADA CONTINUA DE FOURIER

7.6.

119

La transformada continua de Fourier

Partiendo de f (t) con su espectro Fn

Figura 7.13: Espectro discreto generado por Series de Fourier.

con la condici´on Z

a+t0

f (t)dt = Finito

(7.54)

a

para a = −

t0 y la variable de integraci´on λ 2 Z t0 2 2 an = f (λ) cos (nw0 λ) dλ t0 − t20 Z t0 2 2 bn = f (λ) sen (nw0 λ) dλ t0 − t20 Z t0 2 a0 1 = f (λ)dλ 2 t0 − t20

Llevadas a la serie Trigonom´etrica de Fourier Z π Z π ∞ X w0 w0 w0 w0 f (t) = f (λ)dλ + f (λ) cos[nw0 (t − λ)]dλ 2π − Π π −π 1 w0

w0

El hacer t0 → ∞, w0 → 0, implica: 1. Se considera todo el intervalo en t −∞ < t < ∞.

(7.55) (7.56) (7.57)

(7.58)

CAP´ITULO 7. SERIES DE FOURIER

120

2. El espectro Fn , an , bn tienden a volverse continuos. 3. a0 debe de ser finito y an → 0, bn → 0

(condici´on suficiente) con t0 → ∞.

Figura 7.14: Espectro continuo generado por la transformada de Fourier. 4. nw0 → w

para este l´ımite.

5. Se diferencia con el tratamiento, entre otras cosas, con la Transformada de Laplace precisamente por el intervalo en t. Se denomina per´ıodo infinito (aperi´odica); f(t) se “repite” cada per´ıodo infinito aunque ella puede ser de per´ıodo finito. Con lo anterior ∞

Z

1 f (t) = π

Z

∞

f (λ) cos[w(t − λ)]dλ

dw

(7.59)

−∞

0

Z

∞

f (λ)dλ = Finita

(7.60)

−∞

Condici´on suficiente pero no necesaria y obtener Z ∞ a(w) = f (λ) cos(wλ)dλ , Z

a(w) = a(−w)

(7.61)

b(w) = −b(−w)

(7.62)

−∞ ∞

b(w) =

f (λ) sen(wλ)dλ

,

−∞

b(0) = 0

(7.63)

Entonces, en Fn con t0 → ∞ Z

∞

F (w) = −∞

f (t)e−jwt dt

(7.64)

7.6. LA TRANSFORMADA CONTINUA DE FOURIER

1 f (t) = 2π

Z

121

∞

F (w)ejwt dw

(7.65)

−∞

o F (w) =

p

a2 (w) + b2 (w) ejφ(w) = a(w) − jb(w)

(7.66)

si

Figura 7.15: Magnitud y fase en la transformada de Fourier. φ(w) = − tan−1 el par f (t)

↔

b (w) a (w)

(7.67)

F (w)

(7.68)

Son las Transformadas Continuas de Fourier; para evaluar F (w) (espectro continuo) se necesita f (t) y viceversa.

Figura 7.16: Series frente transformadas de Fourier. Para uno u otro caso, Serie y Transformada, una de las diferencias es el intervalo en t considerado.

CAP´ITULO 7. SERIES DE FOURIER

122

7.7.

Ejercicios propuestos

1. Qu´e valor o valores pueden tomar

L

y

C

para que v2 (t)

muestre

fundamentalmente el tercer arm´onico? Verificar con Bode; asuma un valor de t0 .

Figura 7.17: Ejercicio propuesto. 2. Que consideraciones se deben tener en cuenta para obtener la serie de Fourier de la corriente de excitaci´on de un transformador en vac´ıo.

Cap´ıtulo 8

BIBLIOGRAFIA

VAN VALKENBURG, M.E . “Network Analysis”. Prentice Hall,Inc. Second Edition. 1964. GABEL,Robert A. y Roberts, RICHARD A. “Se˜ nales y sistemas lineales”Limusa. M´exico. PERSICHINI, Tomas Julian. “Introducci´on a la Teor´ıa de cicuitos el´ectricos lineales”. Primera parte. Universitaria de Buenos Aires. Buenos Aires. WEINBERG, Louis. “Network Analysis and System ”. MacGraw Hill. New York. AHFORMAS, Lars V. “An´alisis de variable compleja”. Aguilar. Madrid. Revista Colombiana Electr´onia: Diagrama de Bode. Tomo 1. Bogot´a. BRENER, Egon and Javid Mansur. “Analysis of Electrical Circuits”. MacGraw Hill HAYT, William H. “Circuitos El´ectricos”. MacGraw Hill, 1966. “Pole-zero patterns; in the analysis and design of low order systems”. MacGraw Hill Companies INC., 1964 Matlab. “Symbolic Math Toolbox”. Cleve Moler and Peter J.Costa. The MATH WORKS, Inc.1993. 123

124

CAP´ITULO 8. BIBLIOGRAFIA

MARCHAIS. J.C. “E‘l amplificador operacional y sus aplicaciones”. ESPANA. MARCOMBO, 1976. ANTONIOU, Andres. “Digital Filters: Analysis and Design”. Mac Graw Hill.