Cinematica De La Particula.docx

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE GUERRERO FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA CIVIL

PROGRAMA EDUCATIVO:

INGENIERO CIVIL UNIDAD DE APRENDIZAJE: PAVIMENTOS FLEXIBLES INVESTIGACIÓN No. 1 Cinemática de la partícula

Calleja García Hidai SEMESTRE: SEXTO

GRUPO: --T.

M.

CHILPANCINGO GUERRERO, 8 DE OCTUBRE DE 2018.

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CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

corresponden a la altura, la anchura y la profundidad. Para determinar la posición de un

La dinámica incluye:

cuerpo primero establecemos el sistema de 1. La cinemática, la cual corresponde al

referencia. En un plano, en dos dimensiones,

estudio de la geometría del movimiento. Se

la coordenada X corresponde al eje de abcisa,

utiliza para relacionar el desplazamiento, la

eje horizontal y la coordenada Y al eje de

velocidad, la aceleración y el tiempo, sin hacer

ordenada, eje vertical. El observador se sitúa

referencia a la causa del movimiento.

en el origen del Sistema de referencia (SR) y

2. La cinética, que es el estudio de la relación

mediante un aparato de medida adecuado o a

que existe entre las fuerzas que actúan sobre

través de relaciones matemáticas, se determina

un cuerpo, su masa y el movimiento de este

el valor de cada posición (X,Y). Ese par,

mismo. La cinética se utiliza para predecir el

(X,Y), son las coordenadas del vector

movimiento ocasionado por fuerzas dadas, o

posición, ó simplemente posición, que une el

para determinar las fuerzas que se requieren

punto en el que se encuentra el cuerpo con el

para producir un movimiento específico. Para

origen de coordenadas.

poder desarrollar la Cinemática es necesario establecer una serie de conceptos previos, que permitan

sostener

todo

el

entramado

matemático. Entre estos postulados están

MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA Hasta este momento se han definido, de

•

Espacio

•

Tiempo

•

Partícula (o punto material)

•

Sólido rígido

manera general, las cantidades cinemáticas que permiten describir el movimiento de los cuerpos, mediante el modelo de partícula. En lo que sigue, se consideran casos particulares

SISTEMA DE UNIDADES

de

Espacio y tiempo dos magnitudes elementales

anteriormente.

de la física son el espacio y el tiempo.

Se inicia con el caso del movimiento más

Íntimamente relacionados, el tiempo (t)

simple que puede presentarse como es el de un

permite ordenar los sucesos físicos en una

cuerpo cuya trayectoria es una línea recta, la

escala que distingue entre pasado, presente y

cual se hace coincidir, generalmente, con uno

futuro, mientras que el espacio (s) puede verse

de los ejes de coordenadas (x ó y ). Luego de

como un medio abstracto en el que se

analizar este movimiento, se analizan otros

desplazan

movimientos más generales en el plano, los

los

cuerpos.

Se

describe

normalmente mediante tres coordenadas que

las

expresiones

consideradas

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cuales se representan por medio de sus proyecciones sobre los ejes de coordenadas o utilizando coordenadas polares.

O sea, las definiciones y conceptos de la sección anterior siguen siendo válidos, ecuaciones (1.1) a (1.13), siempre y cuando se tenga

presente

que

solo

aparece

una

componente en cada uno de los vectores, si la trayectoria coincide con el eje utilizado. Es preciso recordar que no se debe confundir Aunque el desplazamiento por definición es

desplazamiento con distancia recorrida, como

una cantidad vectorial, se considera en primer

se ilustra en la figura 1.16, donde una partícula

lugar la situación en la cual sólo una

va del origen de coordenadas O al punto A y

componente del desplazamiento es diferente

luego regresa, pasando por O, hasta llegar al

de cero, ya que en la mayoría de los casos se

punto B. Así, en este caso, el vector

hace coincidir uno de los ejes de coordenadas

desplazamiento de la partícula tiene una

con la trayectoria rectilínea descrita por la

magnitud dada por ∆x = OB, apuntando hacia

partícula.

la derecha; esto corresponde al vector que va del punto O al punto B, mientras que la

La trayectoria en línea recta puede ser vertical,

distancia recorrida es d = 2OA + OB.

horizontal u oblicua, como la mostrada en la figura. Si en la figura, el eje x coincide con la trayectoria descrita por una partícula, se tiene que el vector posición, el vector velocidad y el

Movimiento rectilíneo de una partícula Sea

vector aceleración de la partícula están dados,

una partícula P que se mueve rectilíneamente

respectivamente, por

a lo largo de un eje x, fijo a un objeto y que precisamente y que precisamente se ha hecho coincidir con la dirección del movimiento (Fig. 1.2).

Ahora, como al hacer coincidir el eje x con la trayectoria de la partícula, ya queda definida la dirección del movimiento, es posible escribir las cantidades anteriores en forma escalar, es decir

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Fig. 1.2. La partícula P se mueve a lo largo del

como el cociente entre la longitud recorrida

eje OX.

(ΔS) y el intervalo del tiempo transcurrido

La posición de la partícula en cada instante

(Δt).

quedará determinada por el vector de origen O y el extremo en el lugar que ocupa la partícula. Este vector recibe el nombre de vector de posición de la partícula. El desplazamiento

En general, el módulo de la velocidad media

realizado por la partícula se define por el

es diferente del de la rapidez media. Ambas

vector de origen a y extremo b, cuyo valor es

magnitudes llevan asociado un intervalo de

evidente.

tiempo; sin embargo, a veces es necesario obtener información acerca de cómo es la rapidez de la variación de la posición en un

NOTA: El signo que se obtenga para X determinará el sentido del vector. La longitud recorrida (ΔS) por la partícula es una magnitud escalar que expresa la suma de los segmentos recorridos,

medidos

sobre

la

propia

trayectoria. Así, en la Fig. 1.2., la partícula se

instante de tiempo dado. Para esto se puede ir reduciendo el intervalo Δt, haciéndole tender a cero. Así, se define la velocidad instantánea como la razón de cambio, respecto al tiempo, de la posición y la longitud recorrida respectivamente.

mueve desde a hasta c y retrocede hasta b, la longitud recorrida es la suma, expresada modularmente, entre los segmentos ac y bc. Se define la velocidad media (Vm) de la partícula como el cociente entre su desplazamiento (ΔX) y el intervalo del tiempo (Δt) durante el cual este se procede. Es una magnitud vectorial y su dirección y sentido son los del vector desplazamiento.

En el límite, cuando el desplazamiento ΔX es infinitamente pequeño y el intervalo Δt tiende a cero, la longitud recorrida ΔS es igual al módulo de desplazamiento ΔX. De ahí, que la rapidez instantánea sea igual módulo de la velocidad

instantánea.

La

aceleración

media(am) de la partícula durante el intervalo NOTA: El signo algebraico de la velocidad media es el mismo que del desplazamiento. Se define la rapidez media (Wm) de la partícula

transcurrido al trasladarse desde a hasta b, como se muestra en la Fig. 1.3., se define como el cociente de la variación (Δv) entre el intervalo de tiempo transcurrido (Δt).

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decir, a=constante. Para obtener la expresión de la velocidad de la partícula en cualquier instante, se utiliza la siguiente definición de aceleración:

NOTA: El signo algebraico de la aceleración dependerá del signo que tenga la variación de la velocidad. La aceleración instantánea se

De donde:

define como el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo Δt tiende a cero y señala la razón de cambio, respecto al tiempo, de la variación de la velocidad.

Para hallar C se hará uso de las condiciones iniciales: Para t= t0, v=v0. Luego:

Se puede expresar que: Por tanto, la expresión de la velocidad tomará la forma: Es decir, la aceleración es la segunda derivada de la posición respecto al tiempo. O sea: MOVIMIENTO

RECTILÍNEO

UNIFORMEMENTE ACELERADO Se analizará el movimiento de una partícula en

Análogamente, para hallar una expresión para

una dirección, por ejemplo, la X, que de mueve

la posición de la partícula en función del

con aceleración constante, es decir, con

tiempo, se utiliza la definición de velocidad:

movimiento uniformemente acelerado. Para esto, se denomina t0 al instante en que se comienza a analizar el movimiento y, por x0 y v0, a la posición y la velocidad iniciales de este respectivamente. Es decir, para t= t0, x= x0, v=v0. Como la aceleración es constante, se puede llamar a en todo el movimiento. Es

De donde:

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En este caso, la velocidad varía con el tiempo

de la velocidad con el tiempo, si aquella es

según

cero, la velocidad no variará, sino que

la

expresión

(1.7)

obtenida

anteriormente. Por tanto, sustituyendo esta

permanecerá

constante.

Por

ello,

la

expresión en función de t para poder integrar

aceleración nula implica velocidad constante.

se tiene:

En este caso, las expresiones (1.10), (1.11) y (1.12) se reducen a solamente dos ecuaciones. Así, si a = 0.

NOTA: Para usar cualquier de las expresiones Para evaluar C se hará uso de las condiciones

anteriores deducidas, será necesario saber

iniciales para la posición, es decir:

respecto a cuál cuerpo está referido el

Para t= t0, x=x0. Por tanto:

movimiento, en qué dirección se realiza, así como, en qué sentido serán positivas la velocidad y la aceleración; es decir, es necesario escoger un sistema de referencia, y

Y la expresión de la posición toma la forma:

asociarle un sistema de coordenadas en la dirección del movimiento, para así poder analizar los resultados.

Por último, con las expresiones (1.7) y (1.8),

ANÁLISIS GRAFICO DEL MOVIMIENTO

se obtiene una relación entre la velocidad de la

RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA

partícula y su posición, dada por:

A menudo resulta conveniente representar gráficamente la variación de la posición, de la velocidad y la aceleración de una partícula en

Las ecuaciones deducidas anteriormente se

movimiento

rectilíneo,

a

medida

que

simplifican y toman la siguiente forma:

transcurre el tiempo. La Fig. 1.4. se refiere al movimiento rectilíneo de una partícula sobre un eje de coordenadas, por ejemplo, el X. En ella se observa la posición de la partícula en función del tiempo; por ejemplo, t= t0 la posición de la partícula es x= x0.

Otro caso particular, aparece cuando la aceleración es nula. Como esta mide el cambio

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está dada por la pendiente de la recta tangente en dicho punto, es decir:

Este resultado permite afirmar que la velocidad sobre la dirección X viene dada, en la gráfica de x contra t, por la pendiente de la recta trazada entre dos puntos de la gráfica correspondiente a los extremos del intervalo

MOVIMIENTO CURVILINEO GENERAL

en el cual se está determinando la velocidad.

Movimiento curvilíneo

Así como en la Fig. 1.4., la pendiente de la recta que une los puntos 1 y 2 es igual, numéricamente, a la velocidad media en el eje X.

Supongamos que el movimiento tiene lugar en el plano XY, Situamos un origen, y unos ejes, y representamos la trayectoria del móvil, es decir, el conjunto de puntos por los que pasa el

Es decir:

móvil. Las magnitudes que describen un movimiento curvilíneo son: Vector posición r en un instante t. Como la posición del móvil cambia con el tiempo. En el instante t, el móvil se encuentra en el punto P, o en otras palabras, su vector posición es r y en el instante t' se encuentra en el punto P', su posición viene dada por el vector r'. Diremos que el móvil se ha desplazado Δr=r’r en el intervalo de tiempo Δt=t'-t. Dicho vector tiene la dirección de la secante que une

De igual forma, a partir de la definición de velocidad instantánea a lo largo de un eje, se puede afirmar que esta vendrá dada por la pendiente de la tangente a la curva x contra t en cuestión, en el instante considerado. En la Fig. 1.5., la velocidad instantánea v en t= t0,

los puntos P y P'.

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El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección del vector velocidad media, la recta secante que une sucesivamente los Vector velocidad

puntos P, con los puntos P1, P2....., tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto P.

El vector velocidad media, se define como el

En el instante t, el móvil se encuentra en P y

cociente entre el vector desplazamiento Δr y el

tiene una velocidad v cuya dirección es

tiempo que ha empleado en desplazarse Δt.

tangente a la trayectoria en dicho punto.

El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, la secante que une los puntos P y P1 cuando se calcula la velocidad media entre los instantes t y t1.

Vector aceleración En el instante t el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto. En el instante t' el móvil se encuentra en el punto P' y tiene una velocidad v'. El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en

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módulo como en dirección, en la cantidad dada

respecto del eje Z. Por tanto, podemos

por el vector diferencia Δv=v’-v.

considerar un movimiento curvilíneo como la

Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad

composición de movimientos rectilíneos a lo largo de los ejes coordenados.

Δv y el intervalo de tiempo Δt=t'-t, en el que tiene

lugar

dicho

cambio.

Bibliografía https://gamorenorod.files.wordpress.com/201 5/02/dinc3a1mica-beer.pdf

Y la aceleración a en un instante

Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo en el plano XY son

La primera fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje X, la segunda fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje Y, y lo mismo podemos decir