Cinematic A

1. CINEMÀTICA DE LA PARTÍCULA O MASSA PUNTUAL

1.1. CONCEPTES PRELIMINARS 1.1.1. Concepte de massa puntual Per estudiar la mecànica dels cossos és necessari establir un model físic d’aquests. Un model no és més que unes hipòtesis que acceptem per descriure la realitat, que poden estar més o menys pròximes a aquesta realitat. Segons el model que s’estableix per modelitzar els cossos, l’estudi d’aquesta mecànica pot resultar més complex o més senzill. Alguns dels models que s’utilitzen per descriure els cossos són, per exemple, el de sòlid o sòlid elàstic, el de sistema de partícules, el de sòlid rígid..., o el de massa puntual o partícula, que és el que utilitzarem en aquest capítol. Definim la massa puntual o partícula com una agrupació de matèria que té una massa determinada, però que no ocupa volum o ocupa un volum nul en l’espai. Com és sabut, en la realitat no existeix cap massa que ocupi un volum nul, però aquesta hipòtesi de massa puntual la utilitzem freqüentment, és una model bastant potent i, a més, introdueix un alt grau de simplicitat per a l’estudi de la Mecànica. Aquest model, tal com hem dit, l’utilitzem constantment de manera quotidiana. Un exemple aleatori d’això és quan, per exemple, anem en cotxe i diem que estem a 150 km de Barcelona. En realitat, quina part del cotxe està a 150 km de Barcelona: la part davantera, la part posterior, algun punt central? En realitat en aquest cas estem considerant que tot el cotxe està concentrat en un punt que està a 150 km de Barcelona. D’exemples com aquest de la utilització del model de massa puntual en podríem descriure infinitats.

1.1.2. Definició de Mecànica i Cinemàtica Anomenem Mecànica aquella part de la Física que s’encarrega d’estudiar els moviments dels cossos. Anomenem Cinemàtica aquella part de la Mecànica que s’encarrega d’estudiar el moviment dels cossos sense tenir en compte les causes que el produeixen.

1.1.3. Posició d’un mòbil respecte un sistema de referència Anomenarem mòbil aquell cos que és susceptible d’experimentar moviment.

Per estudiar el moviment d’un mòbil el primer pas que fa falta és situar aquest mòbil en l’espai. Amb aquesta finalitat prenem arbitràriament un sistema de referència. Aquest sistema de referència pot ser, per exemple, un arbre, una casa, un planeta, un estel..., o nosaltres mateix podem ser el sistema de referència (de fet, en gran part dels casos és així). Matemàticament,

el

sistema

de

referència ve definit habitualment per una base de vectors de l’espai vectorial de V3 i els eixos de coordenades que defineixen les orientacions dels vectors

k

de la base. Per comoditat, en Física i

O

s’utilitza la base canònica de V3,

j

formada

pels

vectors

r r r {i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)} (Figura 1.1). Figura 1.1. Sistema de referència cartesià

Al punt de concurrència de les direccions dels vectors de la base se l’anomena origen del sistema de referència (en la Figura 1.1, el punt O). Tenint en compte l’anterior, doncs, anomenarem posició d’un mòbil respecte un sistema de referència les coordenades d’aquest mòbil expressades respecte la base de vectors que constitueixen el nostre sistema de referència (veure Figura 1.2).

posició: (x , y , z ) 0

z x

0

0

0

mòbil

0

y

0

O

Figura 1.2. Posició d’un móvil respecte un sistema de referència cartesià

1.1.4. Vector posició Definim com a vector posició d’un mòbil respecte un sistema de referència (designat

r

per r ) aquell vector que uneix l’origen del sistema de referència amb el mòbil (veure Figura 1.3). A partir d’ara ens referirem al vector posició tant com a “vector posició” com simplement amb la paraula “posició”.

mòbil

r

O

Figura 1.3. Vector posició

r r r El vector posició pot expressar-se tant en funció dels vectors de la base {i , j , k } :

r r r r r = x0 ⋅ i + y0 ⋅ j + z0 ⋅ k , com simplement expressant les seves components:

r r = ( x0 , y0 , z0 ) r

El mòdul del vector posició (escrit | r | o r ) equival a la distància del mòbil a l’origen del sistema de referència. Com qualsevol vector de V3 en base canònica, el seu mòdul és:

r = x02 + y02 + z02 La posició d’un mòbil té dimensions de Longitud ( [ r ] = L ), per tant es mesura en unitats de longitud. En el Sistema Internacional d’unitats (SI) la unitat de longitud és el metre (m).

1.1.5. Concepte de moviment d’un mòbil respecte un sistema de referència Sigui un mòbil M que en un determinat moment té com a posició inicial

r r r r r0 = a ⋅ i + b ⋅ j + c ⋅ k respecte un determinat sistema de referència. Després de r r r r transcórrer un interval de temps dt el mòbil té com a nova posició r = a '⋅i + b'⋅ j + c'⋅k (veure Figura 1.4). Podem afirmar que la posició del mòbil M ha variat en transcórrer el temps.

M (a', b', c')

r

M (a, b, c) r0 O

Figura 1.4. Canvi de posició

Diem que un mòbil experimenta moviment quan la seva posició respecte el sistema de referència canvia en transcórrer el temps.

1.1.6. Equació de moviment Anomenem equació de moviment d’un mòbil aquella funció que té com a variable independent el temps i com a variable dependent la posició respecte un determinat sistema de referència. L’equació de moviment ens dóna la posició de mòbil en qualsevol instant, és a dir,

r

relaciona la posició amb el temps i té la forma r = f (t ) . Quan el vector posició no és

r

funció del temps, sinó que és una constant ( r = ctnt. ), llavors el mòbil no verifica moviment, és a dir, està en repòs.

r

r

r

r

Exemple 1. Un mòbil té com a equació de moviment r (t ) = 3t ⋅ i + 2t 3 ⋅ j − ( 4t 2 − 2) ⋅ k

[m], en la qual el temps s’expressa en segons. Quina és la posició inicial del mòbil quan es comença a estudiar el moviment?


Entenem com a posició inicial la que correspon a l’instant inicial t = 0 s. Per tant, tindrem:

r r r r r r t = 0 ⇒ r (0) = 3 ⋅ 0 ⋅ i + 2 ⋅ 0 ⋅ j − ( 4 ⋅ 0 − 2) ⋅ k ⇒ r = 2 ⋅ k [m], o bé

r

r

r r = (0, 0, 2) [m ]

r

2 Exemple 2. La posició d’una partícula ve definida per r (t ) = 5t ⋅ i + t ⋅ j

( SI ) . Trobar

la posició de la partícula en l’instant t = 2 s. A quina distància de l’origen es troba la partícula en aquest instant?


Tindrem:

r r r r r r r r r t = 2 s ⇒ r (2) = 5 ⋅ 2 2 ⋅ i + 2 ⋅ j ⇒ r = 20 ⋅ i + 2 ⋅ j (unitats del SI ) ⇒ r = 20 ⋅ i + 2 ⋅ j (m)




La distància a l’origen serà:

r = 20 2 + 2 2 = 20,1 m

1.1.7. Desplaçament d’una partícula entre dos punts Sigui el mòbil M que es troba inicialment en el punt A (veure Figura 1.5). El mòbil verifica un moviment i en un altre instant es troba situat en el punt B.

r

Anomenarem desplaçament del mòbil del punt A al punt B ( (∆r ) A→ B ) la diferència

r

r

r

entre la posició final B i la posició inicial A: (∆r ) A→ B = rB − rA . En general, el desplaçament s’expressarà com:

r r r ∆r = r − r0 El desplaçament té dimensions de longitud ( [ ∆r ] = L ). En el SI la unitat de longitud és el metre. Per tant, en el SI el desplaçament s’expressarà en metres.

B

∆r

r

A

B

r

A

O

Figura 1.5. Vector desplaçament

1.1.8. Velocitat mitjana d’una partícula durant un interval de temps r

Sigui una partícula o massa puntual que verifica un desplaçament ∆r del punt A al

r

r

r

punt B tal i com es mostra en la Figura 1.5: ∆r = rB − rA . El desplaçament es realitza entre l’instant de temps t1 i t2. Per tant el temps emprat en realitzar el desplaçament és

∆t = t 2 − t1 . r

r

Anomenem velocitat mitjana v m de la partícula que realitza el desplaçament ∆r emprant un interval de temps ∆t al quocient:

r r ∆r vm = ∆t Les dimensions de la velocitat mitjana són

[v m ] = L . T

Per tant, en el Sistema

Internacional la velocitat mitjana es mesura en metres partit per segon (m/s). Exemple.

El

moviment

unidimensional

d’una

partícula

ve

donada

per

x(t ) = 25 ⋅ sin (32 ⋅ t ) [mm]. Calcular la velocitat mitjana amb que es mou entre l’instant t = 4 s i t = 7 s.

r r r r r r r ∆r x(7) ⋅ i − x(4) ⋅ i 25 ⋅ sin (32 ⋅ 7 ) ⋅ i − 25 ⋅ sin (32 ⋅ 4 ) ⋅ i vm = = = = −12,77 ⋅ i [cm / s ] ∆t 7−4 3


La interpretació d’aquest resultat és que la velocitat mitjana ha estat de 12,77 cm/s en sentit cap a l’esquerra en la direcció del moviment.