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CINEMATICA Cuando estudiamos el movimiento de un cuerpo, puede interesarnos solamente conocer cómo es o puede interesarnos saber por qué tiene las características que observamos en él. La Cinemática se ocupa de describir los movimientos y determinar cuáles son sus características mientras que la Dinámica estudia las relaciones que existen entre las fuerzas y las alteraciones que éstas provocan en el movimiento de los cuerpos. La Posición Si hemos acordado llamar movimiento al cambio de la posición con el tiempo, será necesario establecer un criterio para determinar qué posición ocupa un cuerpo en un instante. Se trata, de nuevo, de establecer un sistema de referencia adecuado para lo que necesitamos estudiar. Una dimensión Imagina que tenemos un cuerpo que se mueve por una recta, es decir que realiza un movimiento en una dimensión. Para determinar su posición sólo necesitamos indicar a qué distancia del origen se encuentra. Observa que la posición del cuerpo puede ser positiva o negativa según se encuentre a la derecha o a la izquierda del origen respectivamente. Representa los siguientes puntos: • • •

P(2.8) P(-1.6) P(0)

Como ves resulta muy fácil hacerlo. Con una coordenada podemos conocer la posición de un punto sobre una recta. Dos dimensiones Si el cuerpo realiza un movimiento en dos dimensiones, es decir se mueve por un plano, necesitaremos dos coordenadas para determinar la posición que ocupa en un instante dado. Los dos valores que determinan la posición de un cuerpo en un plano podemos establecerlos utilizando como referencia un sistema de coordenadas cartesianas o un sistema de coordenadas polares. En el caso de las coordenadas cartesianas se utilizan las distancias a los dos ejes acompañadas de los signos (+) ó (-).

En la figura de la izquierda aparece representado el punto P(3,2). Para evitar confusiones se tiene el acuerdo de escribir primero la coordenada x y después la coordenada y, separadas por una coma.

El signo negativo para la coordenada x se utiliza si el punto se encuentra a la izquierda del orígen y para la coordenada y cuando está por debajo del orígen. Las coordenadas polares utilizan la longitud de la recta que une nuestro punto con el punto de referencia y el ángulo que forma esta recta con la horizontal.

En la figura de la izquierda se representa el punto P(3 , 45°), que significa que la distancia OP vale 3 y que el ángulo vale 45°

Vector de Posición

Si ya sabes cómo se determina la posición de un punto, es muy fácil entender qué es un vector de posición. En el siguiente simulador se representa el vector de posición (r) en verde, para cada posición que ocupa el punto P en un plano, además de sus componentes en coordenadas cartesianas y en polares: Movimientos rectilíneos Podemos decir que son los movimientos cuya trayectoria es una línea recta. En éstas páginas hacemos un estudio de este tipo de movimientos y analizamos cuáles son sus características. Una de las características que nos permiten describir un movimiento es la dirección de su velocidad, que puede cambiar o no. Para estudiar los cambios en la dirección de la velocidad utilizamos una magnitud llamada aceleración normal o centrípeta. Como en los movimientos rectilíneos no cambia la dirección, podemos decir que se trata de movimientos en los que la aceleración normal es cero.

Movimientos curvilíneos Ya has visto en la tabla anterior que podemos distinguir entre dos tipos de movimientos curvilíneos: los de dos dimensiones y los de tres dimensiones. Como algunas de las curvas son muy conocidas, solemos asociar el nombre de algunos movimientos con la forma de su trayectoria. Así, podemos citar: •

Movimientoscirculares

•

Movimientoselípticos

•

Movimientosparabólicos

Movimiento rectilíneo Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.

En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.

Posición La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).

Desplazamiento Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado x=x'-x en el intervalo de tiempo t=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.

Distancia y Desplazamiento

En el lenguaje ordinario los términos distancia y desplazamiento se utilizan como sinónimos, aunque en realidad tienen un significado diferente. La distancia recorrida por un móvil es la longitud de su trayectoria y se trata de una magnitud escalar.

En cambio el desplazamiento efectuado es una magnitud vectorial. El vector que representa al desplazamiento tiene su orígen en la posición inicial, su extremo en la posición final y su módulo es la distancia en línea recta entre la posición inicial y la final.

Con el siguiente applet entenderás fácilmente la diferencia que existe entre ambas magnitudes. Para usarlo pulsa el ratón para marcar el inicio del recorrido, arrastra para dibujar la trayectoria que desees y suelta para marcar el final de la misma. Intenta realizar los siguientes ejercicios:

• •

Traza una trayectoria en la que coincidan distancia y desplazamiento. Traza un recorrido en el que el desplazamiento sea cero.

Observa que los valores de la distancia recorrida y el desplazamiento sólo coinciden cuando la trayectoria es una recta. En caso contrario, la distancia siempre es mayor que el desplazamiento.

Seguramente habrás observado que si el final del recorrido coincide con el inicio, el desplazamiento es cero. Cuando Alex Crivillé da una vuelta completa al circuito de Jerez recorre una distancia de 4.423,101 m, pero su desplazamiento es cero.

Trayectoria Hemos dicho en el apartado anterior que la trayectoria es la línea formada por las sucesivas posiciones por las que pasa un móvil. Parece razonable que podamos hacer una primera clasificación de los movimientos utilizando como criterio la forma de su trayectoria: Tipos de Movimientos Tipos de trayectorias de una dimensión Líneas rectas de dos dimensiones Líneas curvas planas Líneas curvas no de tres dimensiones planas Velocidad La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por

Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo como sea posible, en el límite cuando t tiende a cero.

t tan pequeño

Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t. Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicio Ejercicio Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t está dada por x = 5·t2 +1, donde x se expresa en metros y t en segundos. Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre: • • • •

2 y 3 s. 2 y 2.1 s. 2 y 2.01 s. 2 y 2.001 s.

• •

2 y 2.0001 s. Calcula la velocidad en el instante t=2 s.

En el instante t=2 s, x=21 m t’ (s) x’ (m) Δx=x'-x

Δt=t'-t m/s

3 2.1 2.01 2.001 2.0001 ...

46 23.05 21.2005 21.020005 21.00200005 ...

25 2.05 0.2005 0.020005 0.00200005 ...

1 0.1 0.01 0.001 0.0001 ... 0

25 20.5 20.05 20.005 20.0005 ... 20

Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo Δt→0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t=2 s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero. Calculamos la velocidad en cualquier instante t • • • •

La posición del móvil en el instante t es x=5t2+1 La posición del móvil en el instante t+ t es x'=5(t+ t)2+1=5t2+10t t+5 t2+1 El desplazamiento es x=x'-x=10t t+5 t2 La velocidad media es

La velocidad en el instante t es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero

La velocidad en un instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada de la posición x respecto del tiempo.

En el instante t=2 s, v=20 m/s

Aceleración

En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad del móvil es v, y en el instante t' la velocidad del móvil es v'. Se denomina aceleración media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad v=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, t=t'-t.

La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el intervalo cero, que es la definición de la derivada de v.

t tiende a

Ejemplo: Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x=2t3-4t2+5 m. Hallar la expresión de • •

La velocidad La aceleración del móvil en función del tiempo.

Dada la velocidad del móvil hallar el desplazamiento Si conocemos un registro de la velocidad podemos calcular el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t, mediante la integral definida.

El producto v dt representa el desplazamiento del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos infinitesimales entre los instantes t0 y t.

La Pendiente El lenguaje científico utiliza con frecuencia las gráficas porque de ellas se pueden deducir muchas características del fenómeno que estemos estudiando. Uno de los aspectos importantes que analizamos sobre una gráfica es su pendiente. Así, nos interesa saber si la pendiente en un punto es positiva o negativa, si siempre es la misma o va cambiando, etc. La pendiente de una gráfica en un punto es la inclinación que tiene la recta tangente a la gráfica en ese punto. ¿Cómo se calcula la pendiente?

• • • •

Selecciona dos puntos de la recta tangente y determina sus coordenadas. Calcula la diferencia entre las coordenadas Y de los dos puntos seleccionados (elevación). Calcula la diferencia entre las coordenadas X de dichos puntos (avance). Divide la diferencia de coordenadas Y entre la diferencia de coordenadas X (elevación / avance o pendiente).

En Cinemática utilizamos con frecuencia las gráficas para extraer información sobre las características de los movimientos que estudiamos. De la gráfica posición-tiempo y de la gráfica velocidad-tiempo podemos extraer una valiosa información sobre las características de un movimiento analizando los valores de la pendiente. Por ejemplo el valor de la pendiente en una gráfica posición-tiempo es la velocidad en ese momento y en la gráfica velocidad-tiempo la pendiente equivale a la aceleración en ese instante. Otra información valiosa que podemos extraer de una gráfica es el punto en que la misma corta al eje vertical. En el caso de las gráficas e-t, este punto representa la posición inicial del cuerpo ya que es la posición que ocupa cuando t=0. Si se tratara de una gráfica v-t, el punto de corte con el eje vertical representaría la velocidad inicial, es decir la velocidad del cuerpo cuando t=0.

En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad en función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento total del móvil entre los instantes t0 y t, el segmento en color azul marcado en la trayectoria recta. Hallamos la posición x del móvil en el instante t, sumando la posición inicial x0 al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva v-t o mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior.

Dada la aceleración del móvil hallar el cambio de velocidad Del mismo modo, que hemos calculado el desplazamiento del móvil entre los instantes t0 y t, a partir de un registro de la velocidad v en función del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad v-v0 que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de un registro de la aceleración en función del tiempo.

En la figura, el cambio de velocidad v-v0 es el área bajo la curva a-t, o el valor numérico de la integral definida en la fórmula anterior. Conociendo el cambio de velocidad v-v0, y el valor inicial v0 en el instante t0, podemos calcular la velocidad v en el instante t.

Movimiento rectilíneo uniforme

Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero. La posición x del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando

o gráficamente, en la representación de v en función de t. Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, por lo que las ecuaciones del movimiento uniforme resultan

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración es constante. Dada la aceleración podemos obtener el cambio de velocidad v-v0 entre los instantes t0 y t, mediante integración, o gráficamente.

Dada la velocidad en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, quedando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, las siguientes.

Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad v con el desplazamiento x-x0