Cinematic A

Cinematica Vectorul de poziţie

Vectorul de poziţie este vectorul care uneşte originea sistemului de coordonate cu punctul aflat în mişcare.

    r = x(t ) i + y (t ) j + z (t )k r = x2 + y2 + z 2   r = r(t)

Lege de miscare

    r = x(t ) i + y (t ) j + z (t )k Traiectoria este curba pe care se deplaseaza punctul traiectoria: f(x, y, z)=0

forma parametrică: x = x(t) y = y(t) z = z(t)

eliminăm timpul → f(x, y, z) = 0

Vectorul viteză Viteza instantanee este derivata vectorului de poziţie la timp:

 v = lim ∆t →0

  ∆r dr = ∆t dt

Viteza este tangentă la traiectoria pe care se deplasează punctul.

      dr  dx  dy  dz  r = x(t ) i + y (t ) j + z (t )k v= =r= i+ j+ k dt dt dt dt     v = v x ( t ) i + v y ( t ) j + v z ( t )k v = v 2x + v 2y + v 2z

Vectorul acceleraţie

Acceleraţia instantanee este derivata vectorului viteză la timp sau derivata de ordinul doi al vectorului de poziţie

 a = lim ∆t →0

  2 ∆v dv d r = = 2 ∆t dt dt

    dv x  dv y  dv z  a= i+ j+ k = a x ( t ) i + a y ( t ) j + a z ( t )k dt dt dt

a = a 2x + a 2y + a 2z

Mişcarea circulară uniformă a unui punct Viteza unghiulara pentru mişcarea circular uniformă este constanta:

∆α ω= ∆t

∆t = t 2 − t1

Modulul vitezei, v, este constant în timp:

  v( t1 ) = v( t 2 )

v( t1 ) = v( t 2 ) = v

Modulul vectorului de poziţie este egal cu raza cercului:

r(t1 ) = r(t 2 ) = r Modulul vectorului acceleraţie centripetă este constant în timp

a c (t 1 ) = a c (t 2 ) = a c

Relaţia între parametrii cinematici pentru mişcarea circular uniformă Vectorul viteză este tanget la cerc (traiectoria) şi perpendicular pe vectorul de poziţie. Vectorul acceleraţie centripetă este îndreptat în lungul razei către centrul de rotaţie. Relaţia dintre modulul vitezei si viteza unghiulară:

v = ωr

Relaţia dintre modulul acceleraţiei şi viteza unghiulară sau viteza: 2 v a c = ω2 r = r

Relatia dintre vectorul viteza si vectorul viteza unghiulara

 ω

 r

 v

 r

 ω

Vectorul viteza unghiulara este perpendicular pe planul cercului

 v

  v =ω×r

Aplicatie Legea de miscare pentru un punct material are forma:

   r = r cos(ωt ) i + r sin(ωt ) j

ω, r – pozitive, constante în timp

Determinarea traiectoriei

x = r cos(ωt ) y = r sin(ωt ) x 2 + y 2 = r 2 (cos 2 (ωt ) + sin 2 (ωt )) cos 2 (ωt ) + sin 2 (ωt ) = 1 x 2 + y2 = r 2 f ( x , y) = x 2 + y 2 − r 2 = 0

Traiectoria este un cerc cu raza r

X

 r

x = r cos(ωt )

ωt  i

 j

Y y = r sin(ωt )

Determinarea vectorului viteza   dr dx  dy  v= = i+ j dt dt dt dx d (r cos(ωt ) d (ωt ) = = −r sin(ωt ) = −ωr sin(ωt ) dt dt dt dy d (r sin(ωt ) d (ωt ) = = r cos(ωt ) = ωr cos(ωt ) dt dt dt       dr v= = −ωr sin(ωt ) i + ωr cos(ωt ) j = v x ( t ) i + v y ( t ) j dt v x = −ωr sin(ωt ) v y = ωr cos(ωt ) v = (−ωr sin(ωt ) 2 + (ωr cos(ωt )) 2 = ωr

Unghiul dintre vectorul viteza si vectorul de pozitie   v • r = v x rx + v y ry = (−ωr sin(ωt ))(r cos(ωt )) + (ωr cos(ωt ))(r sin(ωt )) = 0 Viteza este perpendiculara pe vectorul de pozitie; este tangenta la cerc

     v = −ωr sin(ωt ) i + ωr cos(ωt ) j = v x ( t ) i + v y ( t ) j v = ωr

X ωt  i

ωt ωt  j

 v Y

Determinarea acceleratiei

    dv 2 2 a= = −ω r cos(ωt ) i − ω r sin(ωt ) j dt a = a 2x + a 2y = ω 2 r     2 a = −ω (r cos(ωt ) i + r sin(ωt ) j) = −ω 2r = −ω 2 rrˆ Proiectia (componenta) acceleratiei pe directia vitezei (acceleratia tangentiala)

    v 2 v a t = a • vˆ = a • = −ω r • = 0 v v

Proiectia acceleratie pe directia razei (acceleratia normala)

   r (ωr ) 2 v2 2 2 a n = a • rˆ = a • = −ω rrˆ • rˆ = −ω r = − =− r r r

   2 2 a = −ω r cos(ωt ) i − ω r sin(ωt ) j a = a 2x + a 2y = ω 2 r

X

 a ωt

 i

 j

 v Y