Cimp Electrostatic

CÎMP ELECTROSTATIC METODE NUMERICE ELEMENT DE FRONTIERĂ POTENŢIAL DE SIMPLU STRAT

Calculul cîmpului electric prin metode integrale de frontieră CRISTIN PĂUL* – BUCUREŞTI

The electric fiel computing by boundary integral methods The computing for the electrostatic field implies the choise of the Laplace (Poisson) equation solution with given boundary conditions, Dirichled, Neuman or mixed type. In the most of the cases, the problems that will be solved present geometrical configurations, that make impossible their solving by analytical methods, so that the numerical methods become used, the most often for the engineer applications. At the apparatus problems of high voltage, from the numerical methods, among the numerical methods that are suitable for such configurations, those boundary integral are. The boundary integral methods start from the reformulation of a partial derivates equation to an integral one and are used frequently for the extended infinite fields, as the boundary condition from the infinite is implicated by using Green function. For the boundary element method and the based on the formulation of a simple layer potential, the case of a parallel cylinders configuration electrodes spark gap in a synthetic tests station for the high voltage apparatus will be presented.

Introducere Calculul pentru cîmpul electrostatic implica găsirea soluţiei ecuaţiei Laplace (Poisson) cu condiţii de frontieră date de tip Dirichlet, Neumann sau mixte: V  0

(1)

În majoritatea cazurilor, problemele ce se rezolvă prezintă configuraţii geometrice ce fac practic imposibilă rezolvarea lor prin metode analitice, astfel încât metodele numerice devin cel mai des utilizate pentru aplicaţiile inginereşti.Dacă ne referim la problemele de aparataj de înaltă tensiune, atunci dintre metodele numerice care se pretează cel mai bine la astfel de configuraţii sunt cele integrale de frontieră. De exemplu, metodele difereţiale (care pleacă de la rezolvarea unei ecuaţii cu derivate parţiale ce guvernează domeniul ____________________ * Ing. Păun, C. - asistent la Catedra de Măsuri şi aparate electrice, . Facultatea de Electrotehnică, Universitatea “Politehnica” Bucureşti

analizat) se aplică in mod curent pentru domenii închise; pot fi utilizate şi la domenii infinit extinse, dar efortul de calcul este foarte mare. Metodele integrale de frontieră pleacă de la reformularea ecuaţiei cu derivate parţiale la una integrală şi se utilizează in mod frecvent pentru domenii infinit extinse pentru că, condiţia de frontieră de la infinit este implicită prin folosirea ecuaţiei Green [1]. Pe de altă parte, domeniul infinit extins analizat trebuie sa fie omogen, în caz contrar creşte considerabil efortul de calcul, pentru ca matricea produsă de algoritmul metodei este plină. Marele avantaj al metodelor integrale, în afara faptului că se aplică la domenii deschise, constă in aceea că se reduce geometria problemei cu o unitate. Astfel, problemele tridimensionale se reduc la probleme bidimensionale, iar cele bidimensionale la probleme unidimensionale. Dintre metodele integrale de frontieră, amintim: metoda sarcinii simulate prin distribuţii de sarcini în formulări prin potenţial de simplu strat şi metoda elementului de frontieră. Se poate arăta ca aceste metode integrale de frontieră se pot reduce pe baza metodei

momentelor, care de fapt derivă dintr-o tehnică de reziduu ponderat. Pentru metoda elementului de frontieră şi a celei bazate prin formulare de potenţial de simplu strat, se va prezenta cazul unui eclator cu electrozi în configuraţie cilindri paraleli dintr-o staţie de încercări sintetice pentru aparatajul de înaltă tensiune.

Fie un set de funcţii liniar independente, numite funcţii pondere sau funcţii test: w, cu rol de a minimiza termenul de eroare pe spaţiul său, respectiv calculăm produsul scalar <w, e> pentru fiecare funcţie pondere din set: wm , e   wm , K ( f n )  n  wm , g , (6) n

1. Metoda momentelor

Unde:

Deducerea matematică a algoritmului metodelor integrale de frontieră tip element de frontieră şi cea bazată pe formulare de potenţial de simplu strat se poate face pe baza metodei momentelor (Harrington, [2]). Metodele integrale de frontieră au la bază o ecuaţie de tip Fredholm de primă sau a doua speţă. Conform teoriei operatorilor, există următoarea formulare a problemei de câmp pe baza următoarei ecuaţii integrale: K (f) = g, (2) unde: K este operatorul integral linia; g - funcţia dată = excitaţia sau sursa; f – funcţia necunoscută = cîmpul sau sau răspunsul; Funcţia necunoscuta se poate scrie sub forma: f=

 n

f

n n,

(3)

unde:  n - reprezintă necunoscutele problemei; f n - funcţii de bază ale aproximării sau funcţii caracteristice, sau funcţii triale; Tinînd cont de liniaritatea operatorului K, se obţine:

  K( f )  g . n

n

n

(4)

Fie termenul de eroare reziduală: e, ca un indicator al acurateţei aproximării funcţiei necunoscute în funţie de funcţiile de bază, definit ca :

e   n K ( fn )  g . n

(5)

u , v   uvd . . 

(7)

Punînd condiţia ca membrul stîng din (6) sa fie zero, cu semnificaţia fizică, anume că setul de funcţii pondere w minimizează termenul de eroare e, se obţine formula metodei momentelor:



wm , K ( f n )  n  wm , K ( f n )  n  wm , g ,

n

(8) adică, un sistem de ecuaţii algebrice liniare ce se va rezolva printr-o metodă numerică adecvată. 1.1. Metoda integrală de frontieră cu formulare prin potenţial de simplu strat O categorie de metode integrale de frontieră sunt formulate pe baza reprezentării potenţialului scalar V prin potenţial de simplu strat sau de dublu strat generat prin distribuţii continue de surse frontiera domeniului analizat. Aceste potenţiale satisfac condiţiile de frontieră prescrise pentru funcţia necunoscută. Principalul dezavantaj îl constituie faptul că se introduc densităţi de surse formale, care în diverse regimuri ale cîmpului electromagnetic nu au substrat fizic în rezolvarea unei probleme de cîmp, care în esenţă face referiri la mărimi fizice. În cazul cîmpului electrostatic cele doua tipuri de potenţial au semnificaţii fizice: cel de simplu strat se referă la distribuţii echivalente de sarcini electrice repartizate pe frontiera domeniului, iar cel de dublu strat la distribuţia de dipoli electrici. Un alt dezavantaj, dar care în problemele concrete de aparataj de înaltă tensiune nu apare, este acela că metoda se poate

aplica doar la suprafeţe netede, fără muchii şi colţuri (Liapunov). Soluţia ecuaţiei Laplace (1) cu condiţii Dirichlet date se obţine plecînd de la exprimarea funcţiei necunoscute V în funcţie de potenţialul de simplu strat: V (r )   G (r , r `) ( r `) dr `, 

(9)

unde: G(r, r’) este funcţia Green, iar  G (r , r ')  operatorul K; r – raza vectoare a punctului în care se calculează V; r’ – raza vectoare a punctului în care se află sursa;  r ' necunoscuta problemei : sarcina distribuită. Dacă r’ aparţine frontierei  ,atunci rezultă o ecuaţie Fredholm de primă speţă, pentru determinarea necunoscutei  : b

 K (r , r ') f (r ')dr '  g (r ).

(10)

a

Această ecuaţie are soluţie unică, iar pe baza soluţiei ecuaţiei Fredholm se poate determina potenţialul în orice punct din domeniul analizat. Pentru rezolvarea acestei ecuaţii integrale se adoptă metoda colocaţiei cu funcţii de bază constante pe porţiuni. Astfel, se partiţionează frontiera domeniului analizat în elemente de frontieră constante şi se alege cîte un punct de colocaţie în interiorul fiecărui element de frontieră (în centroidul acestuia). Ca set de funcţii de bază se aleg funcţiile caracteristice ale fiecărui element de frontieră:

η i ( r ') =

{1, r '∈ Γ ; { 0, r '∉ Γ

(11)

necunoscutele problemei devin valorile: σ i constante şi ataşate fiecărui element în centroidrul acestuia, unde indicele i se referă la cele n elemente de frontieră rezultante în urma discretizării. Ca set de funcţii pondere alegem

funcţiile Dirac ataşate fiecărui element de frontieră din discretizare, cu proprietatea de filtrare:

∫

ri

f δ i dΓi = f i ,

(12)

unde f i este valoarea funcţiei în punctual de colocaţie i situate în centroidul elementului i ţinînd cont de definiţia funcţiei caracteristice şi de proprietatea funcţiei Dirac şi punînd condiţia ca termenul de eroare să fie zero, se va obţine următorul sistem algebric de ecuaţii: n

∑ σ ∫ G(r , r )dΓ i −1

i

j

i

i

= Vj ,

(13)

Γi

unde j=1,n. 1.2. Metoda elementului de frontieră Metoda elementului de frontieră (MEFr) clasică este o metodă integrală de frontieră în care atît valorile funcţiei V cît şi ale derivatei după normala exterioară la frontiera domeniului dVldn joacă rol de densităţi de surse în aflarea lui V în domeniul analizat. MEFr presupune ca soluţia aproximativă să satisfacă domeniul analizat şi numai aproximativ condiţiile de frontieră, le satisface identic în punctele de coloraţie alese, pe frontiera domeniului analizat, iar setul de funcţii pondere este identic cu setul de funcţii de formă ce aproximează necunoscuta problemei. Faţă de metodele de domeniu tip diferenţe finite şi element finit, MEFr prezintă următoarele avantaje: - se discretizează doar frontiera (scade cu o unitate dimensiunea problemei); - are o aplicabilitate directă la probelemele de cîmp infinit extinse; - sistemul de ecuaţii are o dimensiune mult mai mică (matricea coeficienţilor este plină); - datele de intrare sunt mult mai puţine; - are o precizie ridicată cu un timpcalculator redus; - pentru o precizie dată se cere un număr mai mic de variabile şi de integrale de evaluat; - acurateţe numerică superioară;

- memoria internă alocată este mult mai mică; - numarotarea nodurilor şi a elementelor se face după dorinţa utilizatorului, fără a schimba dimensiunea matricei; - nu necesită experienţă sau algoritmi specifici în discretizare. Ca dezavantaje s-ar putea enumera: - algoritmi puternici pentru rezolvarea sistemului de ecuaţii; - limitare în alegerea funcţiilor de aproximare la acelea care satisfac operatorul integral în interiorul domeniului; -aplicarea dezavantajoasă în domenii neliniare şi neomogene; - determinarea necunoscutei pe întreg domeniul analizat creşte timpul de calculator. Conform Brebbia [2] se poate arăta că, plecînd de la ecuaţia Laplace şi punînd condiţiile pe frontieră, se obţine ecuaţia: ∂w  ∂V ∂V  ∫Ω ∆VwdΩ = Γ∫  ∂n − ∂n wdΓ2 − Γ∫ (V − V ) ∂n dΓ1 , 2 1 (14) unde notaţia “barat” se referă la valori cunoscute ale funcţiei V sau dVldn pe frontiera domeniului. Această ecuaţie are trei termeni de eroare: primul corespunde funcţiei în interiorul domeniului, al doilea-condiţiilor de frontieră de tip Neumann, iar al treilea-condiţiilor de tip Dirichlet; deci, s-a aproximat funcţia în interiorul domeniului cît şi condiţiile pe frontieră, exact ca în formularea inversă din cadrul metodei momentelor (a reziduului ponderat). Se integrează de doua ori relaţia de mai sus şi se obţine: ∂V ∂V ∫Ω ∆wVdΩ = −∫Γ ∂n wdΓ + ∫Γ v ∂n wdΓ. (15) Se alege ca funcţie pondere w soluţia fundamentală a ecuaţiei Laplace (specific MEFr): ∆w(r , r ' ) = −2απδ (r , r ' ), (16) unde r’ este vectorul de poziţie al punctului în care se află sursa unitară, iar r este vectorul de poziţie al punctului în care se calculează. α este 1 pentru problema bidimensională şi 2

pentru cea tridimensională. Înlocuind pe w şi ţinînd cont de proprietatea de filtrare a funcţiei Dirac, se obţine: ∂V (r ' ) − 2απV (r ) + ∫ w( r , r ' )dΓ( r ' ) = ∂n Γ (17) ∂w( r , r ' ) = ∫ V ( R' ) dΓ(r ' ). ∂n Γ Se observă că se obţine o expresie analoagă cu formula lui Kirchhoff (caz particular al formulei celor trei potenţiale, ce se obţine plecînd de la treia formulă Green pentru cîmpuri de scalari). Dacă r se alege pe frontiera domeniului, atunci se obţine ecuaţia care guvernează MEFr: ∂w( r.r ' ) c (r )V (r ) + ∫ V (r ' ) dΓ(r ' ) = ∂n Γ (18) ∂V (r ' ) =∫ w(r , r ' )dΓ(r ' ), ∂n Γ unde c(r) este un coeficient care depinde de forma frontierei. Pentru ecuaţia Laplace funcţia pondere w este funcţia Green: i) G (r,r’) = 1/2 π *ln(1/R) – în problema bidimensională; ii) G (r,r’) = 1/4 π R – în problema tridimensională. Fie cazul elementelor de frontieră constante. La nivelul fiecărui element de frontieră, notat e, valorile funcţiei de potenţial V e şi ale derivatei sale după normala exterioară d V e ldn se admit constante şi se asociază nodului median elemental. Se alege ca funcţie de bază funcţia caracteristică definită la formularea cu potenţial de simplu strat. În formulele integrale ale MEFr, de la care se porneşte pentru stabilirea sistemului de ecuaţii, factorii V e şi d V e ldn ies în faţa integralelor avînd valori constante:

αp 2π

V p (r ) =

∂V e (r ' ) G ( r , r ' )dΓ e − ∂nΓ ∫Γ e

(19) ∂G (r , r ' ) e − V (r ' ) ∫ e dΓ . Γ ∂nΓ Ţinînd cont că frontiera a fost discretizată în n elemente de frontieră: e

α p, j

n  ∂V e V pj = ∑  G (r j , r e )dΓ e − e ∫ Γ 2π e =1  ∂nΓ (20) ∂G (r j , r e ) e  e −V ∫ e dΓ , Γ ∂nΓ  unde: 1 1 G (r j , r e ) = ln , 2π (x j − xe )2 + ( y j − y e )2

(21) cu j=1,n. Practic, variind pe j între 1 şi n, se obţine un system de n ecuaţii algebrice liniare cu necunoscutele V sau dVldn, funcţie de condiţiile pe frontieră, ataşate nodului median al elementului j. 2. Rezultate şi concluzii cu referire la cazul eclatorului cu electrozi cilindri paraleli Fie cazul unui eclator dintr-o staţie de încercări sintetice care are electrozii cilindri paraleli. y

a

v=-1

a

01

0

v=-1

x

02

r2

r1 D

Fig. 1. Sistem de doi cilidri metalici, paraleli, de rază a, aflaţi la potenţialele –V=-1 şi V=1, infinit lungi.

Problema de cîmp este una plan-paralelă, cu simetrie faţă de axele Ox şi Oy; deci se poate studia doar un sfert de domeniu. Fie potenţialele celor doi cilindri egale cu 1, dar de semne contrare. În cazul rezolvării printr-o MEFr cu formulare prin simplu strat, potenţialul în orice punct din spaţiul dintre electrozi este dat de superpoziţia potenţialelor datorate celor doi cilindri:

V p (r ) = ∫ G (r , r ' )σ 1 (r ' ) dΓ1 + ∫ G (r , r ' )σ 2 (r ' ) dΓ2 , Γ1

Γ2

(22) unde funcţia G(r,r`) are expresia: 1 G (r , r ' ) = ln + ln(rM − r ' ), (23) r − r' unde al doilea termen apare pentru ca V(r)-->0 pentru cazul cînd r-->M, astfel ar apărea o singularitate. M se alege la o distanţă suficient de mare în raport cu dimensiunile geometrice ale cilindrilor, pe axa Oy. Ţinînd cont de faptul că cei doi cilindri au aceleşi potenţiale în modul, rezultă că şi necunoscutele problemei (sarcinile distribuite pe suprafaţă) vor fie gale în modul, deci se poate scrie că: V p (r ) =

[( x + x' ) [( x − x' )

][ ][

] ]

+ ( y − y ' ) 2 ( x + x' ) 2 + ( y + y ' ) 2 σ (r ' ) dΓ, 2 + ( y − y ' ) 2 ( x − x' ) 2 + ( y + y ' ) 2 Γ (24) unde notaţiile din formulă au corespondenţă în figura 2. S-a discretizat frontiera Γ în n = 20 elemente. Rezolvarea sistemului de ecuaţii s-a făcut prin metoda eliminării Gauss, obţinînd o eroare maximă a soluţiei emax = 3.637978E12. soluţia obişnuită pentru cazul electrozilor cilindri paraleli diferă de cea analitică cu o eroare mai mică de 0.5% (potenţialul V = 0.9 pe axa Ox se obţine pentru x=0.09167, faţă de valoarea exactă x=0.0913918211). dacă se variază numărul de elemente de frontieră, se obţine că pentru n=40avem o precizie mai bună de 1/1000 pentru calculul potenţialului în punctual considerat, iar dacă n=10 elemente se obţine o precizie de 2%, de unde avantajul metodelor integrale faţă de cele de domeniu, în sensul că avînd o discretizare nu prea fină se obţin rezultate cu o precizie foarte bună. S-a rezolvat o ecuaţie de tip Fredholm de speţa întîi, care, de regulă, conduce la un sistem de ecuaţii algebrice cu matricea coeficienţilor rău condiţinată: în cazul de faţă factorul de condiţionare obţinut este F=6.018904. = ∫ ln

2

R

calculul

sursa r

r1

Γ 02

0

a x V=1

Cîteva considerente referitoare la reprezentarea grafică: Calculul potenţialului în imediata vecinătate a frontierei se realizează cu erori. Din acest motiv, dacă se doreşte o reprezentare corectă, trebuie să se aleagă o discretizare foarte fină a domeniului în care se va calcula potenţialul, ceea ce va duce la un timp calculator prohibitiv.

D/2

Fig. 2. Referitor la simetria configuraţiei cilindri paraleli.

În cazul rezolvării prin MEFr se transformă domeniul infinit în unul mărginit de o frontieră situată la infinit (de exemplu, o sferă de rază R infinită, cu centrul în orignea sistemului), iar cealaltă frontiră este cea a cilindrilor în cauză. Acest domeniu este un domeniu multiplu conex, iar formularea este pentru domenii simplu conexe. Prin practicarea a doua tăieturi între cercul de la infinit şi fiecare cerc de cilindru (într-un plan transversal prin cei doi cilindri) se obţine un domeniu simplu conex. Aceste tăieturi implică două aspecte numerice nedorite: - cele două drepte pentru fiecare dintre tăieturi sunt foarte apropiate una de alta, distanţa dintre ele tinzînd teoretic, la zero; - practice, ea se consideră de ordinal 1 e-3; altfel, pentru valori mai mici se impune lucrul în dublă precizie; - intersecţia dintre tăietură şi cerc duce la un punct de singularitate geometrică, în sensul că se obţine un unghi drept. Singularitatea geometrică se înlătură prin excluderea punctului de intersecţie şi considerarea a două, trei puncte în zona respectivă, astfel încît cele două elemente se racordează prin alte trei sau patru elemente, iar frontiera redevine netedă. Valorile numerice pentru cîteva puncte din domeniu sunt foarte apropiate: pentru x =0.0913918211 şi y=0, rezultă V=0.9 în soluţia analitică, respectiv V=0.89655 în soluţia numerică prin MEFr.

Fig. 3. Spectrul suprafeţelor echipotenţiale la configuraţia cilindri paraleli.

În problema aceasta se observă că numărul de elemente la discretizarea frontierei este mare pantru că avem, de fapt, trei contururi, chiar dacă pe cel de la infinit s-ar considera un număr redus de elemente. Se poate afirma că această frintieră duce, datorită alegerii unui număr însemnat de elemente, tot la un tipm calculator mare care se amplifică odată cu calculul potenţialului în punctele alese de utilizator pentru reprezenatarea grafică. De exemplu, pentru punctual de coordinate corespunzător echipotenţialei V=0.9, se obţine: Nr. elemente 30 60 90 120

Valoare potenţial 0.8153 0.8925 0.8965 0.8973

Eroare [%] 9.41 0.833 0.389 0.298

Se constată că o valoare acceptabilă pentru n numărul de elemente de frontieră este 90, adică 30 pe fiecare contur. Referitor la alegerea valori de 10 ori mai mari ale acesteia, la un razei R a frontierei de la infinit se ştie că pentru

număr de 90 de alemente se obţine o eroare mai mică de 0.5[%]. Sistemul de ecuaţii a fost rezolvat tot cu o metodă de eliminare Gauss, iar eroarea maximă obţinută este de emax=2.1827871e-10 şi factorul de condiţionare al matricei sistemului este F=2.642. Pentru exemplificare s-a ales o problemă la care se cunoaşte soluţia analitică. Comparaţia rezultatelor obţinute numeric cu cele rezultate din soluţia analitică arată clar că, alegînd un număr relative mic de elemente de discretizare a frontierei, se obţine o soluţie numerică foarte bună, cu un timp calculator redus. În această configuraţie de electrozi analizată, MEFr implică, faţă de MIFr formulare prin simplu strat, tratarea unor singularităţi geometrice. În cazul problemelor tridimensionale, care nu mai prezintă simetrii, MEFr este cea mai utilizată. Exemplul analizat

mai sus are ca aplicaţie practica de aparataj de înaltă tensiune, cazul eclatorului cu electrozii cilindri paraleli. Bibliografie [1] Brebbia, C. A. – The Boundary element method for engineers. Pentch Press, London, 1984. [2] Harrington, R. – Field Complutation by Moment Method, R. Krieger Publishing Company Malabar, Florida,1982. [3] Mîndru, Gh., Rădulescu, M. – Analiza numerică a cîmpului electromagnetic, Editura Dacia, ClujNapoca,1986. [4] Mocanu, C. – Teoria cîmpului electromagnetic, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979.

METODA ELEMENULUI FINIT MOTOARE CU MAGENŢI PERMANENŢI DEPENDENŢA DE TEMPERATURĂ

Influenţa temperaturii asupra distribuţiei cîmpului magnetic în motoarele electrice cu magneţi permanenţi NICOLAE DAN, OVIDIU CRAIU* - BUCUREŞTI Field distribution in parmanent magnet motors taking into account termperature dependence In this paper an algorithm based on finite element method FEM, which takes into account the effect of magnetic saturation in the magnetic iron is used the obtain a delailed knowledges of the electromagnetic filed distribution for rareearth permanent magnet motors. The characteristics of the permanent magnet, and finally of motors are functions of temperature and thus using the same mesh discretisation, as in electromagnetic field calculus, temperature distribution in the motor is computed ehit FEM. Taking into account temperature dependence of the permanent magnet characteristics the electromagnetic fields distribution in motor are calculated.

Introducere Calculul cîmpului magnetic şi al performanţelor motoarelor electrice echipate cu magneţi permanenţi necesită considerarea efectului temperaturii, datorită variaţiei caracteristicilor magnetului permanent cu temperatura. În gama temperaturilor admise d clasele termice de izolaţie, inducţia remanentă Br

şi cîmpul coercitiv H c , prezină variaţii reversibile cu temperatura. În aria schimbărilor reversibile ale acestor mărimi, variaţiile sunt paroximativ liniare şi se pot utiliza coeficienţii de variaţie cu temperatura care sunt cunoscuţi pentru materialele magnetice ca date de catalog. În lucrarea de faţă, utilizînd metoda elementului finit, MEF, se calculează

distribuţia temperaturii în motor la funcţionarea în sarcină, iar apoi, luînd în considerare efectul creşterii temperaturii, este determinată distribuţia cîmpului magnetic în motor şi inducţia în întrefier. Calculul cîmpului magnetic se face, de asemenea, cu MEF, luînd în considerare neliniaritatea materialului feromagnetic, folosind tehnica iterativă Newton-Raphson. Calculul cîmpului magnetic şi al cîmpului termic se face cu aceeaşi reţea de discretizare a domeniului de calcul – studii comparative arată ca utilizarea unei reţele de discretizare mai detaliată, pentru calculul termic, care să ţină cont şi de izolaţia crestăturii, duce practic la aceleaşi rezultate [1]. Sunt prezentate comparativ rezultatele, în cazurile în

care efectul temperaturii este sau nu este considerat. 1. Algoritmul metodei După construirea reţelei de discretizare şi impunerea condiţiilor pe frontiere, avînd cunoscute sursele termice – pierderi în fier şi pierderi Joule în înfăşurări – se face calculul distribuţiei temperaturii în motor. Problema termică se studiază bidimensional (simetrie plan-paralelă), considerînd deci o distribuţie uniformă a temperaturii pe direcţia z. ecuaţia diferenţială ce guvernează regimul termic bidimensional, în regim staţionar este dată de: ….