Ciencias Naturales

“Educación de Calidad en Valores y Civismo”

I.E.P. “TALENTUS”

TEORÍA DE CONJUNTOS IDEA DE CONJUNTO, RECONOCIMIENTO Y DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS I.

II.

Objetivos Específicos:

-

Resume los datos bibliográficos del creador de la teoría de Conjunto.

-

Explica con un lenguaje sencillo la idea de conjunto.

-

Reconoce las de conjunto e identifica sus elementos con responsabilidad.

-

Determina por extensión un conjunto dado por comprensión y viceversa.

Procedimiento: A. Motivación. Se imaginan ustedes como llevaría el control de sus ventas el administrador de una tienda comercial, la señora que vende frutas en la esquina de una calle, el señor que vende pescado en el mercado, la señora que vende ropa en su bazar; como el cajero de un banco tendría que atender a un cliente con tanta rapidez cuando tenga que pagarle S/. 3548 240, todo ese control obedece a una manera de tener cada cosa en su respectivo lugar. Seguramente el cajero del banco tiene agrupados los billetes de S/. 200, de S/. 100, de S/. 50, de S/ 10, pequeños montoncitos de S/. 5, de S/. 2, de S/. 1, de S/. 0.50, de S/. 0.20, de S/. 0.10 para poder pagar en forma rápida y precisa el monto a un determinado cliente. Sabemos que existen varias clases de conjuntos, tales como: finito, infinito, determinado, indeterminado, etc. Algunos de ellos pueden pertenecer a una o dos clases, por ejemplo el conjunto “El presidente del Perú” que es un conjunto determinado y unitario, asimismo hay otros conjuntos con estas características.

B. Contenido Teórico

RESEÑA HISTÓRICA

El creador de la teoría de conjuntos, GEORGE CANTOR, nació en Sant Petersburgo (Rusia), el año 1845, de padre Danés y madre alemana, pero su formación matemática la materializó en Alemania, Introdujo la idea de “infinito actual”, es decir, la posibilidad de considerar conjuntos infinitos dados simultáneamente. Se le considera el creador de la teoría de los números irracionales y de los conjuntos.

Tuvo entre uno de sus principales opositores a LEOPOLDO KRONECKER científico eminente que a pesar de haber sido su maestro, le impidió el acceso a lo que en la época era un cargo importante, es decir, dictar cátedra en la Universidad de Berlín, limitándose a dictar clases en la no muy brillante Universidad de Halle.

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La enemistad entre Kronecker y Cantor duró casi toda la vida hasta que se reconciliaron cuando ya Cantor estaba muy enfermo. ¿Qué defendía Kronecker?. El decía que “los números naturales son obra de Dios y lo demás es obra nuestra”; abogada por la combinación finita de los números, le era muy difícil reconocer la existencia de los decimales infinitos y de las demostraciones matemáticas de infinitos pasos. Cantor por el contrario fue considerado como el “profeta del infinito”. Existen conjuntos – decía – cuyos elementos son tales que no podemos establecer cuál es el último. A este número muy grande, Cantor le denominó ALEPH CER. En un principio su descubrimiento fue ridiculizado, pero finalmente Cantor vivió lo suficiente para ver que su obra era aceptada en todo el mundo. Murió en Enero de 1918.

IDEA DE CONJUNTO

Por conjunto entendemos como: una colección, agrupación de objetos denominados elementos del conjunto, los cuales (los elementos), pueden ser de naturaleza real o material (carpetas, libros, alumnos, etc.) y abstracta o inmaterial (puntos, rectas, ideas, etc.). Así tenemos los ejemplos siguientes:

Ejemplo 1. “La colección de estudiantes de tu grupo”. Cada estudiante es un elemento.

Ejemplo 2. “La colección de estados de la materia”. Sus elementos son: sólido, líquido, gaseoso.

Ejemplo 3. “La colección de todas las ciudades del Perú”. Lima es un elemento del conjunto.

NOTACIÓN DE UN CONJUNTO

Para representar un conjunto se ha convenido emplear llaves { }, dentro de las cuales se nombran los elementos del conjunto, unos a continuación de otros. Dichos elementos, se denotan por letras minúsculas, gráficas, nombres, números, que van separados por comas y punto y coma (;). Finalmente para dar nombre al conjunto e identificarlo fácilmente se emplea o denota por letras mayúsculas. Así tenemos: Ejemplo 1. Sea el conjunto: A = {Teresa, Nelly, Carmen, Adelina}

Se lee: “A es el conjunto cuyos elementos son: Teresa, Nely, Carmen, Adelina”.

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Ejemplo 2. Sea el conjunto: B = {2; 4; 6; 8 }

Se lee : “B es el conjunto cuyos elementos son: 2; 4; 6; 8”

Determinar un conjunto, es indicar o señalar en forma clara y precisa, cuáles son los elementos que forman dichos conjuntos. Existen dos formas para determinar un conjunto: por extensión y por comprensión.

1. POR EXTENSIÓN. Un conjunto se determina por extensión cuando se indican uno por uno los elementos del conjunto. Así tenemos:

Ejemplo. Sean los conjuntos:

R = {este, oeste, norte, sur }

S = { a, e, i, o , u }

T = {1; 3; 5; 7; 9; ...} En el conjunto de R, se indican cada uno de sus elementos que son los 4 puntos cardinales; en el conjunto S se indican las letras vocales de nuestro abecedario; del mismo modo, en el conjunto T se indican todos los números naturales impares.

2. POR COMPRENSIÓN. Un conjunto se determina por comprensión cuando se enuncia una propiedad común que caracteriza a todos los elementos del conjunto. Así tenemos:

Ejemplo 1. Considerando el conjunto:

A = {x / x es P }

Se lee: El conjunto de todos los elementos x, tales que x es P (P es la propiedad)

Ejemplo 2. Sea el conjunto:

B = {x / x es una nota musical }

Se lee: El conjunto B de todos los elementos x, tales que x es una nota musical.

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I.E.P. “TALENTUS” Ejemplo 3. Sea el conjunto:

T={x N/2<x<7}

Se lee: T es el conjunto de los x, tal que x pertenece a N y x es mayor que 2 y menor que 7; o sea que esta formado por los números comprendidos entre 2 y 7; es decir:

T = {3; 4; 5; 6 }

Ejemplo 4. Sea le conjunto:

V = { x  N / x = a +2  a < 5 }

Solución: Para determinar los elementos de V, analizamos las condiciones que presenta: 

Como a es menor que 5; toma los siguientes valores: 0; 1; 2; 3; 4



Para hallar los valores de x, reemplazamos los valores de a en x = a +2; así:

Valores

x=a+2 



Si a = 0

x=0+2=2

Si a = 1

x=1+2=3

Si a = 2

x=2+2=4

Si a = 3

x=3+2=5

Si a = 4

x=4+2=6

Por lo tanto, el conjunto V está conformado de la siguiente manera:

V = { 2; 3; 4; 5; 6 }

CLASES DE CONJUNTOS

Entre las principales clases o tipos de conjuntos, de acuerdo al número de elementos, se pueden considerar los: conjuntos finitos y conjuntos infinitos.

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Conjunto Finito. Es el conjunto cuyos elementos se pueden contar de uno en uno desde el primero hasta el último. Ejemplos:

E = { x / x es un día de la semana }

F = { 3; 6; 9; 12; ...; 2 505 }

Dentro el conjunto finito tenemos los siguientes tipos de conjuntos: conjunto nulo o vacío y conjunto unitario o singletón .

CONJUNTO VACÍO.- Es el conjunto que carece de elementos, y se denota por el siguiente símbolo  o { }.

Ejemplos:

M = {hombres que viven en Marte}

N={x/xZ, x>8,X<7} CONJUNTO UNITARIO.- Es el conjunto que tiene un solo elemento.

Ejemplos

C = { El alcalde actual de tu ciudad } D={x/xN ,7<x<9}

2.

CONJUNTO INFINITO. Cuando en el proceso de contar, no se puede llegar al último elemento.

Ejemplo.

R = { 0; 1; 3; 5; 7; .. } S = { x/x es una estrella del universo }

El conjunto infinito puede clasificarse como: numerable o innumerable.

CONJUNTO INFINITO NUMERABLE.- Se denomina así, al conjunto cuyos elementos se pueden enumerar consecutivamente, aunque no en su totalidad.

Ejemplos.

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A = {2x – 1 / x  Z+} B = { 2 ; 4; 6; 8; 10; ... }

CONJUNTO INFINITO INNUMERABLE.- Se llama así al conjunto cuyos elementos no se pueden enumerar consecutivamente.

Ejemplo:

A={x/5x7,xR} B = { x / x  Q}

PRÁCTICA DE CLASE

Actividad A: En base a la lectura anterior, desarrolle en forma personal la tarea que se precisa a continuación.

I.

II.

Responda Ud. a las siguientes preguntas:

01.

¿A quién se le considera el creador de la teoría de conjuntos?

02.

¿A qué nacionalidad pertenece y donde mayormente estudio?

03.

¿Qué defendía el creador de la teoría de conjunto?

04.

¿Quién su principal opositor y qué defendía?

05.

¿Cómo se llama una colección cualquiera de objetos?

06.

¿Hay diferencia de significado entre: “Un conjunto de objetos” y “una colección de objetos”?

07.

¿Pueden formar un conjunto, un elefante, una flor, y un alfiler?

08.

¿Qué son elementos de un conjunto?

Coloca verdadero (V) o falso (F) después de analizar cuidadosamente los siguientes ejercicios:

01.

El conjunto es una reunión sólo de objetos materiales ......................................... (

)

02.

Para que sea conjunto bien definido, la idea debe ser precisa ............................. (

)

03.

Los entes que pertenecen a un conjunto se llaman elementos ............................. (

)

04.

Los elementos pueden ser materiales como inmateriales ..................................... (

)

05.

El conjunto de alumnos de C.P “Lord kelvin” no está bien definido .................... (

)

06.

El conjunto de letras: a, b , c, d es un conjunto mal definido ............................... (

)

07.

Dado: “El conjunto de perros” es un conjunto mal definido ................................ (

)

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El conjunto de los planetas del Sistema solar” no es un conjunto mal definido ..... (

)

Actividad B: Complete los espacios, según se te indica:

01.

Concepto de conjunto determinado:

............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................

................................................................................

............................................................... Ejemplos:

a)

............................................................................................................................................

b)

............................................................................................................................................

02. Concepto de conjunto infinito:

............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................

Ejemplos:

a)

.......................................................................................................................................

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