Chuyenhungvuong.net Dapanhsgqgtoan2009
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Chuyenhungvuong.net Dapanhsgqgtoan2009 as PDF for free.
More details
- Words: 1,818
- Pages: 5
Upload by wWw.chuyenhungvuong.net
H
NG D N GI I
THI H C SINH GI I QUÔC GIA MÔN TOÁN N M 2009
GV: Ph m V n Quý Tr ng THPT chuyên Quang Trung T nh Bình Ph c
Bài 1 Gi i h ph
+
+
ng trình:
−
=
+ +
+
−
=
Gi i +
> − −
+) K:
≤ ≤
≥ ⇔ ≥
≤ ≤ ≤
+) V i i u ki n trên ta có +) M t khác ∀
∈
Theo b t ⇔
+
+) Vì
−
+
+ ≤ ≤
+
+
,
+ +
≤ ≤
Áp d ng B T (*) cho
+
+ +
+
+
+
+
ng th c sau: +
−
+
≥ +
+
≥
+
+
+
>
≤
+
+
−
+
+
và =
+
+ −
+
−
=
+ ≤
+
− +
≤
+
≤ , vì
+
luôn úng ∀
+
∈
∈
và
và < .
< .
=
ta có:
+
+
≤
+
=
ng trình ban
+) Gi i h này và
+
≤
+
ng th c x y ra ⇔ = +) V y h ph
<
≤
+
+
=
+
ta luôn có b t
ng th c B.C.S ta có
M t khác ta có: Do ó
<
và
ng th c (*) ⇔
Th t v y b t
≤
và
u⇔
−
+
−
=
⇔
= −
+ =
i chi u v i các i u ki n ta có hai c p nghi m (x; y) nh sau:
< .
.
+
+
−
;
−
.
+
+) K t lu n: H có hai nghi m là
+
=
Bài 2 Cho dãy s
: =
=
>
+) T gi thi t ta có −
Khi ó
−
−
+
−
( )=
→ ∞ và tìm gi i h n ó.
Gi i −
+
−
=
−
−
−
−
=
+
=
và ta có
+
> ,∀ ≥ .
− −
>
.
−
∀ ≥ .
+
−
=
−
, ∀ ≥ . Ch ng minh r ng dãy ( ) v i
+
( ) là dãy s t ng
+) Gi s V y
−
có gi i h n h u h n khi
=
Do ó
+
−
−
và
+
−
+
−
⇔ = , (vô lí).
→ ∞.
→ ∞ khi
−
=
+) M t khác ta có
+
−
+
−
,∀ ≥
=
+
−
−
=
∀ ≥
−
Do ó
=
=
+
−
+
−
+
+
=
<
+) T trên ta có
∀ ≥ , (vì
t ng và b ch n trên hay +) Ta có :
=
→∞
+) K t lu n :
−
=
+
−
= −
,∀ ≥ .
−
→∞
→∞
>
∀ ≥ ). M t khác
( ) có gi i h n h u h n khi −
= , (vì
→ ∞ khi
=
−
+
>
−
. Do ó
( ) là dãy
→ ∞.
→ ∞ ).
= .
Bài 3 Trong m t ph ng cho hai i m c sao cho = α không i ( < α <
nh A, B (A ≠ B). M t i m C di ng trên m t ph ng ) . ng tròn tâm I n i ti p tam giác ABC và ti p
xúc v i AB, BC, CA l n l t t i D, E, F. Các ng th ng AI, BI c!t ng th ng EF l n l t i M và N. a) Ch ng minh r ng o n th ng MN có dài không i. b) Ch ng minh r ng ng tròn ngo i ti p tam giác DMN luôn i qua m t i m c nh. Gi i a) Ch ng minh r ng o n th ng MN có +) Ta có
=
=
−
=
+
dài không =
i. ANFI là t giác n i ti p
t
Upload by wWw.chuyenhungvuong.net =
=
=
và
+) M t khác ta có ∆
∆ −α
=
= =
, (g-g)
không
=
=
−α
, (vì
=
).
i, ( pcm).
i khi C thay
C
α E
N F
M
I
A Chú ý : Bài toán có m t s tr minh không có gì thay i.
D
B
ng h p khác nhau v hình v , các b n t v hình nhé. Tuy nhiên cách ch ng
b) Ch ng minh r ng ng tròn ngo i ti p tam giác DMN luôn i qua m t i m c Cách 1: +) G i K là trung i m c a AB ta ã có = = = = + = = , (1). +) M t khác t ∆ ∆ câu (a) ta có = = , (2). IMEB là t giác n i ti p =
nh.
=
IMBD c ng là t giác n i ti p vì + = . = , (3). +) T (2) và (3) = + = + = , (4). +) T (1) và (4) = t giác NKDM n i ti p hay DMN luôn i qua i m K c nh, ( pcm).
ng tròn ngo i ti p tam giác
Cách 2 Theo trên ta có = = D, M, N l n l !t là chân ng cao k" t các #nh c a tam giác ABI nên (DMN) chính là ng tròn Euler c a tam giác ABI. Do ó ng tròn này ph i i qua trung i m c a K c a AB. Vì AB c nh nên K c nh. ( pcm).
Upload by wWw.chuyenhungvuong.net
Bài 4 Cho ba s th"c a, b, c tho mãn i#u ki n: v i m$i s nguyên d ng n, + + là m t s nguyên. Ch ng minh r ng t%n t i các s nguyên p, q, r sao cho a, b, c là ba + + = . nghi m c&a ph ng trình + Gi i
+ + =−
+) Gi s t$n t i các s p, q, r tho mãn bài toán. Theo
+) Nh v y
+
=
− +
+
+
+ + ∈
+
+
+
+
−
=
∈
∈ ∀ . ∈ , + + ∈
+
thi t
+ + =−
+ + ∈
ch ng minh bài toán ta ch# c n ch ng minh
+) Hi n nhiên + + ∈ , (1). Vì theo gi +) Vì + + ∈ ∀ + + ∈ +) Ta s% i ch ng minh ∈ . Th t v y: Ta có + + = + + − + Ta có + + = + + Ta có + + − = + + + +
nh lí Viet ta có :
+
+
+
−
−
+
+
+
∈
∈ +
+
∈
−
=
+ +
+
+
−
+
+
−
+ +
+
+
−
+
+
∈ +
Ta có +
+
+
−
=
−
=
+
+
+
+
+
+
−
−
−
=
+
+
+
+
−
+
+
−
+
+
+
+
−
+
+
∈
T các d ki n ∈ và +) Ta s% i ch ng minh + + Ta có ( + + ) = +
( (
+
+
+
+
) )
=
+
∈
∈ , (2).
∈ . Th t v y: + +
+ +
+ + + +
∈
T các d ki n + + ∈ và ( + + +) T (1), (2) và (3) ta có bài toán !c ch ng minh.
)
∈
+
+
∈ , (3).
Bài 5 Cho s nguyên d ng n. Kí hi u T là t'p h p g%m 2n s nguyên d ng u tiên. H(i có bao nhiêu t'p con S c&a T có tính ch)t : trong S không t%n t i các s a, b mà − ∈{ } . L u ý T p r ng c coi là t p con có tính ch t nêu trên.
Upload by wWw.chuyenhungvuong.net
Gi i c tham kh o t i http://forum.mathscope.org)
(L i gi i bài 5 +) Tr c h t ta xét bài toán sau : Cho 2 hàng i m trên và !c n i v i nhau, ngoài ra và có hai i m nào !c n i v i nhau.
d c ng
i. Các i m c p i m
−
,
!c n i v i nhau. Tính s cách ch n ra m t s
+) G i là s cách ch n th&a mãn i u ki n trên, nh ng có th ch a c th&a mãn nh ng không ch a i m nào trong 4 i m .G i
,
−
i m mà không
và . G i là s cách ch n là s cách ch n th&a mãn nh ng
ch a úng 1 i m trong 4 i m trên. G i là s cách ch n th&a mãn nh ng ch a úng 2 i m . G i là s cách ch n nh ng ch a úng 2 i m ho c . =
Khi ó ta có
+
+
+
và s cách ch n th&a mãn bài toán là
−
.
−
, (5).
ho c
= +) D' dàng l p công th c truy h$i cho
=
là :
.
=
+
+
−
+) M t khác ta có: = − , (1) = , (2) − − − =
và
=
T (1) và (2) suy ra
+
−
+
T (3) suy ra
−
−
T (4) và (5) ta có
=
=− =
+
−
− −
− −
!c k t qu
−
+ −
( là
−
.T
−
V y ta có s dãy th&a mãn là Cu i cùng thu
, (3).
−
−
−
=
−
−
ây d' dàng suy ra
, (4). −
=
−
. −
+
−
=
)(
+) Tr l i bài toán ang xét n u ta coi i m c a bài toán s 5.
+
−
)
+ − −
+
(
−
−
)(
−
)
!c g(n s n + i và i m
−
+
−
−
!c g(n s i thì ta có k t qu
H t My School Site: www.chuyenquangtrung.com.vn
H
NG D N GI I
THI H C SINH GI I QUÔC GIA MÔN TOÁN N M 2009
GV: Ph m V n Quý Tr ng THPT chuyên Quang Trung T nh Bình Ph c
Bài 1 Gi i h ph
+
+
ng trình:
−
=
+ +
+
−
=
Gi i +
> − −
+) K:
≤ ≤
≥ ⇔ ≥
≤ ≤ ≤
+) V i i u ki n trên ta có +) M t khác ∀
∈
Theo b t ⇔
+
+) Vì
−
+
+ ≤ ≤
+
+
,
+ +
≤ ≤
Áp d ng B T (*) cho
+
+ +
+
+
+
+
ng th c sau: +
−
+
≥ +
+
≥
+
+
+
>
≤
+
+
−
+
+
và =
+
+ −
+
−
=
+ ≤
+
− +
≤
+
≤ , vì
+
luôn úng ∀
+
∈
∈
và
và < .
< .
=
ta có:
+
+
≤
+
=
ng trình ban
+) Gi i h này và
+
≤
+
ng th c x y ra ⇔ = +) V y h ph
<
≤
+
+
=
+
ta luôn có b t
ng th c B.C.S ta có
M t khác ta có: Do ó
<
và
ng th c (*) ⇔
Th t v y b t
≤
và
u⇔
−
+
−
=
⇔
= −
+ =
i chi u v i các i u ki n ta có hai c p nghi m (x; y) nh sau:
< .
.
+
+
−
;
−
.
+
+) K t lu n: H có hai nghi m là
+
=
Bài 2 Cho dãy s
: =
=
>
+) T gi thi t ta có −
Khi ó
−
−
+
−
( )=
→ ∞ và tìm gi i h n ó.
Gi i −
+
−
=
−
−
−
−
=
+
=
và ta có
+
> ,∀ ≥ .
− −
>
.
−
∀ ≥ .
+
−
=
−
, ∀ ≥ . Ch ng minh r ng dãy ( ) v i
+
( ) là dãy s t ng
+) Gi s V y
−
có gi i h n h u h n khi
=
Do ó
+
−
−
và
+
−
+
−
⇔ = , (vô lí).
→ ∞.
→ ∞ khi
−
=
+) M t khác ta có
+
−
+
−
,∀ ≥
=
+
−
−
=
∀ ≥
−
Do ó
=
=
+
−
+
−
+
+
=
<
+) T trên ta có
∀ ≥ , (vì
t ng và b ch n trên hay +) Ta có :
=
→∞
+) K t lu n :
−
=
+
−
= −
,∀ ≥ .
−
→∞
→∞
>
∀ ≥ ). M t khác
( ) có gi i h n h u h n khi −
= , (vì
→ ∞ khi
=
−
+
>
−
. Do ó
( ) là dãy
→ ∞.
→ ∞ ).
= .
Bài 3 Trong m t ph ng cho hai i m c sao cho = α không i ( < α <
nh A, B (A ≠ B). M t i m C di ng trên m t ph ng ) . ng tròn tâm I n i ti p tam giác ABC và ti p
xúc v i AB, BC, CA l n l t t i D, E, F. Các ng th ng AI, BI c!t ng th ng EF l n l t i M và N. a) Ch ng minh r ng o n th ng MN có dài không i. b) Ch ng minh r ng ng tròn ngo i ti p tam giác DMN luôn i qua m t i m c nh. Gi i a) Ch ng minh r ng o n th ng MN có +) Ta có
=
=
−
=
+
dài không =
i. ANFI là t giác n i ti p
t
Upload by wWw.chuyenhungvuong.net =
=
=
và
+) M t khác ta có ∆
∆ −α
=
= =
, (g-g)
không
=
=
−α
, (vì
=
).
i, ( pcm).
i khi C thay
C
α E
N F
M
I
A Chú ý : Bài toán có m t s tr minh không có gì thay i.
D
B
ng h p khác nhau v hình v , các b n t v hình nhé. Tuy nhiên cách ch ng
b) Ch ng minh r ng ng tròn ngo i ti p tam giác DMN luôn i qua m t i m c Cách 1: +) G i K là trung i m c a AB ta ã có = = = = + = = , (1). +) M t khác t ∆ ∆ câu (a) ta có = = , (2). IMEB là t giác n i ti p =
nh.
=
IMBD c ng là t giác n i ti p vì + = . = , (3). +) T (2) và (3) = + = + = , (4). +) T (1) và (4) = t giác NKDM n i ti p hay DMN luôn i qua i m K c nh, ( pcm).
ng tròn ngo i ti p tam giác
Cách 2 Theo trên ta có = = D, M, N l n l !t là chân ng cao k" t các #nh c a tam giác ABI nên (DMN) chính là ng tròn Euler c a tam giác ABI. Do ó ng tròn này ph i i qua trung i m c a K c a AB. Vì AB c nh nên K c nh. ( pcm).
Upload by wWw.chuyenhungvuong.net
Bài 4 Cho ba s th"c a, b, c tho mãn i#u ki n: v i m$i s nguyên d ng n, + + là m t s nguyên. Ch ng minh r ng t%n t i các s nguyên p, q, r sao cho a, b, c là ba + + = . nghi m c&a ph ng trình + Gi i
+ + =−
+) Gi s t$n t i các s p, q, r tho mãn bài toán. Theo
+) Nh v y
+
=
− +
+
+
+ + ∈
+
+
+
+
−
=
∈
∈ ∀ . ∈ , + + ∈
+
thi t
+ + =−
+ + ∈
ch ng minh bài toán ta ch# c n ch ng minh
+) Hi n nhiên + + ∈ , (1). Vì theo gi +) Vì + + ∈ ∀ + + ∈ +) Ta s% i ch ng minh ∈ . Th t v y: Ta có + + = + + − + Ta có + + = + + Ta có + + − = + + + +
nh lí Viet ta có :
+
+
+
−
−
+
+
+
∈
∈ +
+
∈
−
=
+ +
+
+
−
+
+
−
+ +
+
+
−
+
+
∈ +
Ta có +
+
+
−
=
−
=
+
+
+
+
+
+
−
−
−
=
+
+
+
+
−
+
+
−
+
+
+
+
−
+
+
∈
T các d ki n ∈ và +) Ta s% i ch ng minh + + Ta có ( + + ) = +
( (
+
+
+
+
) )
=
+
∈
∈ , (2).
∈ . Th t v y: + +
+ +
+ + + +
∈
T các d ki n + + ∈ và ( + + +) T (1), (2) và (3) ta có bài toán !c ch ng minh.
)
∈
+
+
∈ , (3).
Bài 5 Cho s nguyên d ng n. Kí hi u T là t'p h p g%m 2n s nguyên d ng u tiên. H(i có bao nhiêu t'p con S c&a T có tính ch)t : trong S không t%n t i các s a, b mà − ∈{ } . L u ý T p r ng c coi là t p con có tính ch t nêu trên.
Upload by wWw.chuyenhungvuong.net
Gi i c tham kh o t i http://forum.mathscope.org)
(L i gi i bài 5 +) Tr c h t ta xét bài toán sau : Cho 2 hàng i m trên và !c n i v i nhau, ngoài ra và có hai i m nào !c n i v i nhau.
d c ng
i. Các i m c p i m
−
,
!c n i v i nhau. Tính s cách ch n ra m t s
+) G i là s cách ch n th&a mãn i u ki n trên, nh ng có th ch a c th&a mãn nh ng không ch a i m nào trong 4 i m .G i
,
−
i m mà không
và . G i là s cách ch n là s cách ch n th&a mãn nh ng
ch a úng 1 i m trong 4 i m trên. G i là s cách ch n th&a mãn nh ng ch a úng 2 i m . G i là s cách ch n nh ng ch a úng 2 i m ho c . =
Khi ó ta có
+
+
+
và s cách ch n th&a mãn bài toán là
−
.
−
, (5).
ho c
= +) D' dàng l p công th c truy h$i cho
=
là :
.
=
+
+
−
+) M t khác ta có: = − , (1) = , (2) − − − =
và
=
T (1) và (2) suy ra
+
−
+
T (3) suy ra
−
−
T (4) và (5) ta có
=
=− =
+
−
− −
− −
!c k t qu
−
+ −
( là
−
.T
−
V y ta có s dãy th&a mãn là Cu i cùng thu
, (3).
−
−
−
=
−
−
ây d' dàng suy ra
, (4). −
=
−
. −
+
−
=
)(
+) Tr l i bài toán ang xét n u ta coi i m c a bài toán s 5.
+
−
)
+ − −
+
(
−
−
)(
−
)
!c g(n s n + i và i m
−
+
−
−
!c g(n s i thì ta có k t qu
H t My School Site: www.chuyenquangtrung.com.vn
Related Documents
Chuyenhungvuong.net Dapanhsgqgtoan2009
May 2020 7More Documents from "Nguyen Ha Duc Thinh"
Chuyenhungvuong.net_luyenthidh_quanghinh
May 2020 0
Chuyenhungvuong.net Vlhn Bgn
May 2020 0
