Chuyendeptmu-logarit

Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên ñề “Phương trình mũ – Lôgarit”

CHUYÊN ðỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN Lý thuyết: ða số các phương trình mũ cơ bản ñều biến ñổi về dạng • a f ( x ) = a g ( x) ⇔ f ( x ) = g ( x ) • a

f ( x)

= c ⇔ f ( x ) = log a c , với a > 0, a ≠ 1, c > 0

Một số Phương pháp giải các phương trình mũ cơ bản: 1. Phương pháp ðưa (biến ñổi) về cùng một cơ số Dạng 1.1: Biến ñổi về dạng a f ( x ) = a g ( x ) Lưu ý các công thức a x .a y = a x + y ; ( a x ) = ( a y ) = a xy ; y

x

ax 1 = a x− y ; a − x = x . y a a

• Bài tập 1: Giải các phương trình sau: a) 2

x 2 − 7 x +12

1 b) 5 .   5

x

=1

 8  .   27 

2 1 x− + g) 5 x 2

( x −4)

( )

i)

5

x−1

=

lg 9 lg 27

h) 4 x +2

( 0, 2 )

= 125. ( 0,04 )

x−2 x−4

1

k)

4

f) 5 x −1 = 10 x.2− x.5 x +1

=5 5 x x + 2.

x

 1  =   125  2 2 1 d) 2 x − 6.3x − 6 = 5 6 x −1 6

c) 2 x.5 x −1 = 0, 2.10 2 − x

9 e)   4

x −3

x

x +5 32 x − 7

x +17 = 0, 25.128 x − 3

j) 4 x.5 x +1 = 5.202 − x l) 43+ 2 cos 2 x − 7.41+ cos 2 x − 41/ 2 = 0

2 x 4 x. ( 0,125 ) x = 4 3 2

Dạng 1.2: Biến ñổi về dạng a f ( x ) = c • Bài tập 2: Giải các phương trình sau: a) 5.4 3x

x +1 x

+2

c) 2 .3 − 2

2x −3

x+4 − 16 2

3 x +1 x −1

.3

=3

2

b)

2( x +1)

2 x −3

= 192

d) 3

−9

− 3.2 x −1 = 7

x −1

2x + 27 3

= 675

Dạng 1.3: Biến ñổi về dạng m.a f ( x ) = n.b f ( x ) . (m, n là các số thực) f ( x)

a () n n a = (Có Dạng 1.2). Sau ñó ñưa về dạng f ( x ) = ⇔   m m b b Nhận dạng: Loại này có 2 cơ số khác nhau. Hãy chuyển các số hạng chứa lũy thừa với cơ số bằng nhau về cùng một vế, sau ñó biến ñổi cho số mũ của các lũy thừa ñó bằng nhau và làm tiếp như trên. • Bài tập 3: Giải các phương trình sau: f x

a) 3x + 4 − 5 x + 3 = 3 x − 5 x + 2

b) 7.3x +1 − 5 x + 2 = 3x + 4 − 5 x + 3

Biên soạn: ðỗ Cao Long

Trang 1/8

Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên ñề “Phương trình mũ – Lôgarit”

1 3

1 4

c) 22 lg 4 x −1 − 7lg 4 x = 7 lg 4 x −1 − 3.4lg 4 x

d) 3.4 x + .9 x + 2 = 6.4 x +1 − .9 x +1

2 2 2 2 e) 2 x −1 − 3x = 3x −1 − 2 x + 2

f) 9 x − 2 x + 0,5 = 2 x + 3,5 − 32 x −1

Dạng 1.4: Biến ñổi về phương trình tích • Bài tập : Giải các phương trình sau: a) 52 x = 32 x + 2.5 x + 2.3 x

b) x 2 .2 x + 8 = 2 x 2 + 2 x + 2

c) x 2 .6 − x + 6 x + 2 = x 2 .6 x + 62 − x

d) 8 − x.2 x + 23− x − x = 0

(

Hướng dẫn: a) 52 x − 32 x = 5 x − 3x

)(5x + 3x )

2. Phương pháp ñặt ẩn số phụ (ñưa phương trình mũ về phương trình ñại số bậc hai, bậc 3 theo ẩn số phụ) Dạng 2.1: Biến ñổi về dạng m.a 2 f ( x ) + n.a f ( x ) + p = 0 . (1) Phương pháp: Trước khi giải cần lưu ý “ñiều kiện xác ñịnh” của (1).

(

Bước 1: ðặt t = a f ( x ) , t > 0 . Ta có t 2 = a

f ( x)

)

2

=a

2 f ( x)

.

m.t 2 + n.t + p = 0 (*) . PT ñã cho trở thành  t > 0 Bước 2: Giải (*), tìm nghiệm t > 0 . f x Bước 3: Với t tìm ñược, giải phương trình a ( ) = t ñể tìm x. Bước 4: Kết luận (nghiệm của (1)). • Bài tập 4: Giải các phương trình sau: 2 2 b) 9 x −1 − 36.3x −3 + 3 = 0

a) 32 x + 5 = 3 x + 2 + 2 x x 2 4 c) 3.2 − 7.2 = 20 1 3 3+ e) 64 x − 2 x + 12 = 0

( ) + (10 3 )

g) 5 3

x

x−10

d) 27 x − 13.9 x + 13.3 x +1 − 27 = 0 2 f) 8 x

3x +3 −2 x

+ 12 = 0

h) 34 x +8 − 4.32 x + 5 + 28 = 2log 2 2

= 84

2( x +1) i) 32 x +1 = 3 x + 2 + 1 − 6.3 x + 3

k)

Dạng 2.2: Biến ñổi về dạng m.a f ( x ) + n.a − f ( x ) + p = 0 hay m.a f ( x ) + n. Phương pháp: Trước khi giải cần lưu ý “ñiều kiện xác ñịnh” của (2). 1 1 −f x Bước 1: ðặt t = a f ( x ) , t > 0 . Ta có a ( ) = f ( x ) = . t a m.t 2 + p.t + n = 0 (*) n . PT ñã cho trở thành mt + + p = 0, ( t > 0 ) ⇔  t t > 0 Bước 2: Giải (*), tìm nghiệm t > 0 . f x Bước 3: Với t tìm ñược, giải phương trình a ( ) = t ñể tìm x. Bước 4: Kết luận (nghiệm của (2)). • Bài tập 5: Giải các phương trình sau:

Trang 2/8

Biên soạn: ðỗ Cao Long

1 a

f ( x)

+ p = 0 (2)

Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên ñề “Phương trình mũ – Lôgarit”

a) 3 x +1 + 18.3− x = 29

b) 22 + x − 22 − x = 15

c) 5 x −1 + 5.0, 2 x − 2 = 26

2 2 d) 2sin x + 4.2cos x = 6

) (

e)

(

g)

2 x + 10 9 = x−2 4 2

5 + 24

x

+

5 − 24

x

= 10

f)

(

7 + 48

) ( x

+

7 − 48

)

x

= 14

h) 101+ x − 101− x = 99 2

( ) ( ) k) ( 5 − 21 ) + 7 ( 5 + 21 ) i) 3 + 5

)

x

x

+ 16 3 − 5 x

= 2 x+3 x

j)

(

2

5 −1

(

= 2 x+3

l) 7 − 4 3 f ( x)

) ( x

)

x

+6

5 +1

(

−3 2− 3

)

x

)

x

= 2 x+ 2

+2=0

Dạng 2.3: Biến ñổi về dạng m.a ( ) + n. ( a.b ) + p.b ( ) = 0 . (m, n, p là các số thực) (3) Phương pháp: Trước khi giải cần lưu ý “ñiều kiện xác ñịnh” của (3). 2f x 2f x Bước 1: Chia cả hai vế của (3) cho b ( ) , (hoặc a ( ) ), ta ñược: 2f x

a 2 f ( x) a f ( x ) .b f ( x ) b2 f ( x) a m. 2 f ( x ) + n. 2 f ( x ) + p. 2 f ( x ) = 0 ⇔ m.   b b b b 2 f ( x)

2f x

2 f ( x)

a () + n. f ( x ) + p = 0 b f x

f ( x)

a a ⇔ m  + n  + p = 0. b b Phương trình này có Dạng 2.1, ñã biết cách giải. 2

  a  f ( x )   a 2 f ( x) , t > 0 . Ta có t =     =   .  b    b    2 m.t + n.t + p = 0 (*) . PT ñã cho trở thành  > t 0  Bước 3: Giải (*), tìm nghiệm t > 0 . a Bước 2: ðặt t =   b

f ( x)

2

a Bước 4: Với t tìm ñược, giải phương trình   b Bước 5: Kết luận (nghiệm của (3)).

f ( x)

= t ñể tìm x.

• Bài tập 6: Giải các phương trình sau: 2x+4

a) 3

x

+ 45.6 − 9.2

2x+2

2

2

1 + 25 x

1 4, 25.50 x

=0

b) 4

2

c) 7.4 x − 9.14 x + 2.49 x = 0 e)

2 10 x

=

−

1 x

+6

−

1 x

=9

−

1 x

d) 9 x + 6 x = 22 x+1 2 2 2 f) 32 x − 6 x + 9 + 4.15 x + 3 x − 5 = 3.52 x − 6 x + 9

3. Phương pháp lôgarit hóa

f ( x)

g ( x ) h( x )

Nhận dạng: Phương trình loại này thường có dạng a .b .c =d. Nói chung, là trong phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau. Cách giải: Lấy lôgarit cơ số a (hoặc b, hoặc c) cả hai vế.

(

Ta ñược log a a

f ( x)

)

g x h x .b ( ) .c ( ) = log a d

Biên soạn: ðỗ Cao Long

Trang 3/8

Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên ñề “Phương trình mũ – Lôgarit” f x g x h x ⇔ log a a ( ) + log a b ( ) + log a c ( ) = log a d ⇔ f ( x ) + g ( x ) log a b + h ( x ) log a c = log a d . Biết log a b;log a c;log a d là các số thực. Giải phương trình thu ñược theo ẩn x.

• Bài tập: Giải các phương trình sau:

a) 2 x = 3x −1 2

c) 3

x x + .8 2

x

x x b) 57 = 75

=6

d)

4. Phương pháp sử dụng tính ñồng biến, nghịch biến của hàm số. (Phương pháp ñánh giá hai vế). • Dạng “sử dụng tính ñơn ñiệu” - Thường biến ñổi phương trình ñã cho về dạng f ( x ) = g ( x ) , hay f ( x ) = c Với phương trình f ( x ) = g ( x ) , chúng ta thường gặp trường hợp x = a là nghiệm của phương trình, còn với mọi x ≠ a thì f ( x ) > b và g ( x ) < b . Nghĩa là mọi x ≠ a không phải là nghiệm của phương trình f ( x ) = g ( x ) . Việc chứng minh f ( x ) > b và g ( x ) < b ta sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm y = f ( x ) và hàm

y = g ( x) . Ví dụ: Giải phương trình a) 3

x2 −2 x + 2

x

= 2 + 2x − x

1 b)   = x + 4 3

2

a) Nhận xét: Thông thường ñể ñánh giá các tam thức bậc hai chúng ta thường biến ñổi nó về dạng tổng

(

)

của các bình phương. Ở ñây ta biến ñổi x 2 − 2x + 2 = x 2 − 2x + 1 + 1 = ( x − 1) + 1 . 2

Lời giải:

Vì ( x − 1) ≥ 0 nên x 2 − 2 x + 2 = ( x − 1) + 1 ≥ 1 . Suy ra 3x 2

2

(

)

2

− 2x + 2

≥ 31 = 3 .

Còn vế phải 2 + 2 x − x 2 = 3 − x 2 − 2x + 1 = 3 − ( x − 1) ≤ 3 . 2

(1) (2)

3x 2 −2 x+ 2 = 3 2 ⇔ ( x − 1) = 0 ⇔ x = 1 Từ (1) và (2) ta suy ra phương trình ñã cho ⇔  2 + 2 x − x 2 = 3 Vậy phương trình ñã cho có nghiệm duy nhất x = 1 . x

1 b) Nhận xét: Hàm số y =   nghịch biến trên ℝ , còn hàm số y = x + 4 ñồng biển trên ℝ .  3 Nếu dùng ñồ thị chúng ta co thể nhận thấy hai ñồ thị này chỉ cắt nhau tại nhiều nhất 1 ñiểm nên phương trình ñã cho có nhiều nhất 1 nghiệm. Lời giải: Dễ nhận thấy x = −1 là một nghiệm của phương trình, ta sẽ chứng minh nghiệm này duy nhất. x

1 1 Với mọi x > −1 ta có :   <    3  3 x + 4 > −1 + 4 = 3 (2)

Trang 4/8

−1

x

= 3 (1)

1 (do hàm số y =   nghịch biến trên ℝ )  3

Biên soạn: ðỗ Cao Long

Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên ñề “Phương trình mũ – Lôgarit”

So sánh (1) và (2) ta nhận thấy mọi x > −1 không thỏa mãn phương trình ñã cho. Nghĩa là mọi x > −1 không phải là nghiệm của phương trình ñã cho. Tương tự ta chứng minh ñược, mọi x < −1 không phải là nghiệm của phương trình ñã cho. Vậy, x = −1 là nghiệm duy nhất của phương trình ñã cho. • Bài tập: Giải các phương trình sau: x

3 a)   = −2 x 2 + 6 x − 9 4 2 1 c) 2 2x − x = x + x

b) 3cos d)

4

2

x

= 3 + x2

16 − x 2 = 2 x + 2− x

•♥ Một số bài toán có cách giải khác Bài toán ñưa ñược về dạng f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v , trong ñó f là hàm luôn ñồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác ñịnh của nó. • Bài tập: Giải các phương trình sau

a) 2 x −1 − 2 x c) 4 x

2

+x

2

= ( x − 1)

−x

+ 21− x = 2( 2

x +1)

2

2

b) 4 x

+1

d)

(

2

+x

− 21− x = ( x + 1)

5− 3

2

) +(

Biên soạn: ðỗ Cao Long

x

2

5− 3

)

x

= 4x

Trang 5/8

Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên ñề “Phương trình mũ – Lôgarit”

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CƠ BẢN Lý thuyết: ða số các phương trình mũ cơ bản ñều biến ñổi về dạng  f ( x ) > 0, ( hoÆc g ( x ) > 0 ) • log a f ( x ) = log a g ( x ) ⇔   f ( x ) = g ( x ) • log a f ( x ) = c ⇔ f ( x ) = a c , với a > 0, a ≠ 1 . Ngoài ra cần hcọ thuộc và sử dụng ñúng các công thức biến ñổi lôgarit.

Một số Phương pháp giải các phương trình lôgarit cơ bản:

1. Phương pháp ðưa (biến ñổi) về cùng một cơ số Dạng 1.1: Biến ñổi về dạng log a f ( x ) = log a g ( x ) Lưu ý: Nếu các em học sinh tìm ñiều kiện xác ñịnh của phương trình log a f ( x ) = log a g ( x )

 f ( x ) > 0 . g x > 0 ( ) 

thì cần giải hệ (hoặc nêu ra) 

 f ( x ) > 0, ( hoÆc g ( x ) > 0 ) thì Còn nếu giải theo phép biến ñổi log a f ( x ) = log a g ( x ) ⇔  f x g x = ( ) ( )  không cần nêu hệ ñiều kiện xác ñịnh ở trên. Khuyến khích: Thường các em dễ mắc lỗi và hiểu không kỹ về phép biên ñổi, do vậy khuyên các em nên nêu ra hệ ñiều kiện xác ñịnh của phương trình trước khi giải. Vì có nhiều phương trình chứa nhiều lôgarit. • Bài tập 1: Giải các phương trình sau

(

)

a) log 2 x 2 − 4 x + 7 = 2 c) log 3 x + log

3

b) 2log 2 x + log

x + log 1 x = 9 2

d) log 3 ( x − 2 ) + log1/3 2 x − 1 = 0

x + log 1 x = 6 3

1 3

2

e) 2log x 2 − 36 + log ( x + 1) = log ( x + 6 ) + 2 log 3 + log 2 f)

3

1 ( log x + lg 2 ) + log 2

(

)

2 x + 1 = log 6

g) 2log 3

x−3 x −3 + 1 = log 3 x−7 x −1

h) log 1 + x + 3log 1 − x = log 1 − x 2 − 2

(

)

i) log 3 2 x 2 − 54 + log 1 ( x + 3) = 2log 9 ( x − 4 )

(

)

3

j) log 3 x + 12 x + 19 − log ( 3 x + 4 ) = 1 2

k) log 3 ( x − 5 ) − log 3 2 − log 3 3 x − 20 = 0

log ( 2 x − 19 ) − log ( 3x − 20 ) = −1 log x 1 n) log x 2 − 10 x + 25 + log x 2 − 6 x + 3 = 2log ( x − 5 ) + log 3 2 m)

(

Trang 6/8

)

(

)

Biên soạn: ðỗ Cao Long

Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên ñề “Phương trình mũ – Lôgarit”

2. Phương pháp ñặt ẩn số phụ (ñưa phương trình mũ về phương trình ñại số bậc hai, bậc 3 theo ẩn số phụ) Lưu ý: Ngoài việc ñặt ñiều kiện ñể biểu thức log a f ( x ) có nghĩa là f ( x ) > 0 , chúng ta cần chú ý ñến ñặc ñiểm của phương trình ñang xét (chứa căn bậc hai, chứa ẩn ở mẫu) và phải ñặt ñiều kiện cho phương trình có nghĩa. Các phép biến ñổi cần chú ý: log a x 2 n = 2n log a x với ñiều kiện x ≠ 0 . • Bài tập 2: Giải các phương trình sau a) 4 − log x = 3 log x

b) log 2 2 x + 3log 2 x + log 1 x = 2 2

c)

log 22

x − log 2 x − 2 =1 log 2 x + 1

(

)

d)

(

)

e) log 3 3x − 1 .log3 3x+1 − 3 = 6 g)

1 + log ( x − 1) 1 + log

2

( x − 1)

+

log ( 6 − x ) 1 = 2 3log ( 6 − x ) − 1 1 + log 2 x + 4log 4 x − 2 = 4

f)

2 =2 1 + log ( x − 1)



h) log 3 ( log 2 x − 9 ) = 2 + log3  1 −



4   log 4 x 

i) log 2 x − log x 6 = log 2 3 − 9

j) log (10 x ) .log ( 0,1x ) = log x3 − 3

k) 4log 24 ( − x ) + 2 log 4 x 2 + 1 = 0

l) log 2 (100 x ) + log 2 (10 x ) = 14 + log

(

)

m) log 2 x 2 + 7 = 5 + log 2 x −



n)  log 22 x + 2log 0,5



1 x

6 7  log 2  x +  x 

2 x 2  ( 3log8 x − 1) = 2log 2 x .log 2 4  2

p) 2log 92 x = log 3 x.log3

(

)

2x + 1 −1

3. Phương pháp mũ hóa • Bài tập 3 : Giải các phương trình sau: a) log 2 x + log 3 x = 1

c) log 3 ( x + 1) + log5 ( 2 x + 1) = 2

b) log 3 x + log 5 x = lg15 d) log 2 x = log5 ( x + 3)

Gợi ý: a) ðặt x = 2t , ta có log 3 x = log 3 2t = t log 3 2

Phương trình ñã cho trở thành log 2 2t + log 3 2t = 1

⇔ t + t log3 2 = 1 ⇔ t (1 + log 3 2 ) = 1 ⇔ t = Vậy phương trình a) có nghiệm x = 2

log 6 3

1 1 = = log 6 3 . 1 + log3 2 log3 6

.

Biên soạn: ðỗ Cao Long

Trang 7/8

Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên ñề “Phương trình mũ – Lôgarit”

4. Phương trình lôgarit nhiều cấp (tầng) Phương pháp: Hạ từng cấp một từ ngoài vào trong theo tính chất log a f ( x ) = c ⇔ f ( x ) = a c • Bài tập 4: Giải các phương trình sau:

(

( (

)

b) log 3 log 4 log 32 ( x − 3)

a) log log ( log x ) = 0

(

(

c) log 4 2log 3 1 + log 2 (1 + 3log 3 x ) e)

(

log 3 log 22

( x − 4)) = 0

) ) = 12

)) = 0

d) log 3  log 21 x − 3log 1 x + 5  = 2



2

2



f) log 4 ( log 2 x ) + log 2 ( log 4 x ) = 2

5. Phương pháp biến ñổi về phương trình tích • Bài tập 5: Giải các phương trình sau:

b) 2 x.log 2 x 2 + 2 = 4 x + 4log 4 x

a) 3 x.log 3 x + 6 = 6 x + log 27 x

 

c) log 2 ( 4 − x ) + log ( 4 − x ) .log  x +

(

1 1 2  = 2log  x +  2 2 

)

d) x 2 log 6 5 x 2 − 2 x − 3 − x log1/6 5 x 2 − 2 x − 3 = x 2 + 2 x

6. Phương pháp sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm số Chú ý dạng: log a u − u = log a v − v , có dạng f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v trong trường hợp f là hàm số ñồng biến (hoặc nghịc biến) trên tập xác ñịnh của nó. Và phương pháp ñánh giá hai vế của phương trình. • Bài tập 6: Giải các phương trình sau:

(

)

a) log 2 x = 3 − x

b) x + log x 2 − x − 6 = 4 + log ( x + 2 )

c) log 1 x = x − 4

d) log 3

(

3

)

e) log x 2 − x − 12 + x = log ( x + 3) + 5

x2 + x + 3 = x2 + 3x + 2 2 2x + 4x + 5 f) log 3 x 2 + x + 1 − log3 x = 2x − x 2

(

)

Gợi ý: a) ðiều kiện xác ñịnh: x > 0 . Nhận thấy x = 2 là nghiệm của phương trình a). Ta chứng minh nghiệm này duy nhất. Thật vậy, với mọi x > 2 , ta có : • log 2 x > log 2 2 = 1 (do hàm số y = log 2 x ñồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) ) (1) • 3− x < 3− 2 =1 (2) So sánh (1) và (2) suy ra mọi x > 2 ñều không thỏa mãn phương trình a), nên không phải là nghiệm của phương trình. Làm tương tự ta chứng minh ñược mọi 0 < x < 2 cũng không phải là nghiệm của phương trình. Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 .

♥ Chuyên ñề và các dạng toán Ôn thi ñại học, cao ñẳng sẽ biên soạn sau. Hẹn các em vào dịp tới. Chúc các em học và ôn tập tốt !

Trang 8/8

Biên soạn: ðỗ Cao Long