Chuyende-gioihan11

VẤN ĐỀ 4. ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ Dạng 1. Tìm giới hạn của hàm số bằng định nghĩa •

Ta có định nghĩa giới hạn hữu hạn: lim f ( x )  L    xn  , xn  x0 ,lim xn  x0  lim f ( xn )  L

x  x0

lim f ( x )      xn  ,xn  x0 ,lim xn  x0  lim f ( xn )  

x  x0

lim f ( x )      xn  ,xn  x0 ,lim xn  x0  lim f ( xn )  

x  x0

2x2  8 xn  2. Tìm và một dãy bất kỳ  xn   2 sao cho nlim  x2 từ đó suy ra lim f  x  .

1. a) Cho hàm số y  f ( x) 

lim f  xn 

n 

x 2

x 2  3x  2 xn  1. và một dãy bất kỳ  xn   1 sao cho nlim  x 1 từ đó suy ra lim f  x  .

b) Cho hàm số y  f ( x) 

f  xn  Tìm nlim 

x 1

2. Áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số, tìm các giới hạn sau: 2 a) lim x − 3x − 4 x → −1 x +1

b) lim x 1

c) lim  cx k 

1 5 x

x  x0

3. Sử dụng nguyên lý kẹp của giới hạn dãy số và định nghĩa giới hạn hàm số, hãy tìm 1  x sin  a) lim  x0 x 

1  xcos  b) lim  x0 x 

4. Chứng minh rằng không tồn tại giới hạn 1  cos  a) lim  x 0 x 

1  sin  b) lim  x 0 x 

Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức •

f  x   a, lim g  x   b . Khi đó ta có Ta thừa nhận định lý: Cho xlim  x0 x  x0 lim  f

x  x0

 x   g  x  

 ab

lim  f

x  x0

 x   g  x  

 a b

lim  f

x  x0

 x  g  x  

 f  x 

 ab

lim 

x  x0

 g  x  

 

a , b  0  b

5. Tìm các giới hạn sau: x − x3 x →1 ( 2 x − 1)( x 4 − 3)

a) lim | x 2 − 8 | x→ 3

4 d) lim x + 3x − 1 x →2 2x 2 − 1

x3 x2 − 3

b) lim

c)

e) lim 3 2 x ( x + 1) x →3 x2 − 6

3 g) lim 1 − x − 3x x → −2 2 x 2 + x − 3

lim

x → −1

2 x + 1 − 5 x2 − 3 x →−2 2x + 3

h) lim

6. Tìm các giới hạn sau

a) lim x(1  1 ) x 0 x

x −3 x →9 9 x − x 2

c)

x 4 − 16 x →−2 x 2 + 6 x + 8

b) lim

x 4 − 27 x x →3 2 x 2 − 3x − 9

lim

x →−

x3 + 2 2 2 x2 − 2

x2 −1 x →1 2 x 2 − x − 1

d) lim

e) lim

g)

x 3 − 3x + 2 h) lim 4 x →1 x − 4 x + 3

x 3 − 2x − 1 h) lim 5 x → −1 x − 2 x − 1

2 x 2 − 3x − 2 i) lim 3 x → 2 x + 4 x − 16

ĐS: c)

−3 2 2

d) 9

lim

e) 16

7. Tìm các giới hạn sau: a) lim

x → −2

d) lim

x → −2

h) lim x →1

x2 + 5 − 3 x+2 x−2 x +7 −3

2x + 7 − 3 2− x+3

8. Tính các giới hạn sau

b) lim x →1

e) lim

x → −1

i) lim x →1

x −1 x+3−2 x +1

6 x + 3 + 3x 2

2x + 7 + x − 4 x 3 − 4x 2 + 3

c) lim 1 − x − 1 x →0 x

g) lim x →1 x 1

1 x  x 1 x 2  x3

1+ x − 1− x

a) lim

x →0 3

3

b) lim

1+ x − 3 1− x

x → −1

x + 7 − 3 2x − 3

d) lim

x →2 3

m

x + 6 − 2 3x − 5

x 3 − 3x − 2 x →1 x −1

c) lim

x2 + 3 − 2

e) lim

3

x +1

x →0

1+ x −1 x

9. Tính các giới hạn sau 4

a) lim x →1

•

2x − 1 − 2 − x x −1

3

b) lim x →1

x2 +7 − 5− x x −1

2 x +1 − 3 8 − x x →0 x

c) lim

sin u  x  sin x  1 với u  0   0. = 1 . Tổng quát hơn ta có lim x 0 x →0 u  x x

Chú ý: Ta thừa nhận lim

10. Tính các giới hạn sau

1 − cos 6 x x →0 x2

1 − cos 3x x → 0 1 − cos 5x

tgx − sin x x →0 x3

a) lim

b) lim

c) lim

cos πx + 1 d) lim x →1 1− x

1 − tgx e) x → π π ) 4 sin( x − 4

g) lim

h)

lim

1 − tgx

lim (1 + cos 2 x ) tgx

i) limπ 1 − cot gx x→

π x→ 2

x →∞

π ) x

m) lim x →0

x3

x →0

k) limπ

4

l) lim ( x sin

1 + tgx − 1 + sin x

x→

4

sin x − cos x 1 − tgx

1 + 2x − 3 1 + x 2 sin x

Dạng 3. Giới hạn một phía lim f ( x ) có 11.Tìm giới hạn bên trái, giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) tại x = x 0 và xét xem x→ x0 tồn tại hay không trong những trường hợp sau đây

 x 2 − 3x + 2 khi x > 1  2  a) f(x) =  x − 1 tại x0 = 1 − x khi x ≤ 1   2

c ) f(x) =

2 4x 2 + x 3

tại x = 0

4 − x2  b) f(x) =  x − 2 1 − 2x

khi x < 2 khi x ≥ 2

tại x0 = 2

3 khi x ≤ 0  2 d ) f(x) =  tại x0 = 0 x +1 −1  khi x > 0  3 x + 1 − 1

x3 −1 khi x < 1 f ( x ) tồn tại, trong đó f(x) =  12.Tìm a để lim  x −1 x→1 ax + 2 khi x ≥ 1

Dạng 4. Giới hạn của hàm số tại vô cực 13. Tìm các giới hạn sau: 3x 2 − x + 7 x → −∞ 2x 3 − 1

a) lim

d) lim

x → −∞

2x 4 + 7 x 3 − 15 x → −∞ x4 +1

b) lim

x6 + 2 3x 3 − 1

e) lim

3

x → −∞

x 2 + 2x 8x 2 − x + 3

x6 + 2 3x 3 − 1

c) lim

x → +∞

x x x → +∞ x − x + 2

g) lim

2

14. Tìm các giới hạn sau: 2x 2 + x + 1 x3 − x 2 + 3 2 x 3 + 3x − 4 b) c) lim lim x → +∞ x → +∞ 5 x 2 − x 3 x →−∞ − x 3 − x 2 + 1 3x + x 2 ( x 2 − 1)(1 − 2 x) 5 x 2 + 4x 4 − x + 1 d) lim e) g) lim x → −∞ x → −∞ x7 + x + 3 2x 2 + x + 1

a) lim

x + 4x 2 − x + 1 lim x → −∞ 1 − 2x 15. Tìm các giới hạn sau: x 2 − 3x x+2

( x 2 + 1 − x) a) xlim → +∞

b) lim

( x2 − x − x2 +1 d) xlim → +∞

( x + x 2 − x + 1) e) xlim → +∞

g) lim ( x 2 + 1 − x )

h) lim 2 x − 15 x + 12 x →1 x 2 − 4x + 3

x → +∞

x → −∞

( x 2 − x − x 2 + 1) c) xlim → −∞

( x 2 − x + 1 + x) f) xlim → −∞

2

16.Tính các giới hạn sau

1 − 3x x →∞ 2 − x

A = lim

2x 2 + 3 x →∞ x 3 − 2 x 2 + 1

B = lim

x 5 + 2x 2 − 1 x →∞ x3 +1

C = lim

17. Tính các giới hạn sau M = lim

x →∞

P = lim

x →∞

x 2 + 2 x + 3 + 4x + 1 4x 2 + 1 + 2 − x 9x 2 + x + 1 − 4x 2 + 2x + 1 x +1

18. Tính các giới hạn sau

N = lim

x →∞

x 2 + x + 2 + 3x 4x 2 + 1 − x + 1

2 A = lim ( x + x − x )

2 B = lim (2 x − 1 − 4 x − 4x − 3 )

x →∞

x →∞

3 2 3 C = lim ( x + 1 − x − 1)

3 2 3 D = lim ( x + 3x − x )

x →∞

x →∞

Dạng 5. Hàm số liên tục 19. Xét tính liên tục của các hàm số sau

1 − 2 x − 3  khi x ≠ 2 tại x = 2 b) f(x) = a) f(x) =  2 − x 0 1 khi x = 2  sin πx  c) f(x) =  x − 1  − π

khi x ≠ 1 khi x = 1

1 − cos x khi x ≠ 0  2 tại x0 = 0  sin x 1 khi x = 0  4

tại x0 = 1

20.Tìm m để các hàm số sau liên tục tại x0= 0.

 1− x − 1+ x   x a) f(x) =  4 − x m +  x+2 

khi x < 0 khi x ≥ 0

1 − cos 4 x   b) f(x) =  x sin 2 x x + 4 + m   x +1

khi x < 0 khi x ≥ 0

21. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên R

 sin x | | khi x ≠ 0 a) f(x) =  x  khi x = 0 1

 sin x khi x ≠ 0  b) f(x) =  | x | 1 khi x = 0

 3 3x + 2 − 2 khi x > 2   x−2 22.Tìm m để hàm số f(x) =  liên tục trên R 1  mx + khi x ≤ 2  4  23. Không giải phương trình, hãy chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm a) cosx + mcos2x = 0 c) (m2 + m + 1)x4 + 2x – 2 = 0

b) m(x – 1)3(x + 2) + (2x + 3) = 0