Chuyen-de-so-mu.pdf

IV. Chuyên đề về số mũ Tổng hợp lại các công thức số mũ: 1. Cho a, b  , p  P trong đó p lẻ thỏa mãn gcd(a, p)  gcd(b, p)  1 và vp  a  b   1

Khi đó v p  a n  bn   v p  a  b   v p  n  với n 

*

2. Cho a, b  , p  P trong đó p lẻ thỏa mãn gcd(a, p)  gcd(b, p)  1 và vp  a  b   1

Khi đó v p  a n  bn   v p  a  b   v p  n  với n 

*

lẻ

3. a, b , a, b cùng lẻ. Khi đó ta có + v2  a n  bn   1 với n 

*

chẵn

+ v2  a n  bn   v2  a  b  với n 

*

lẻ

+ v2  a n  bn   v2  a  b  với n 

*

lẻ

+ v2  a n  bn   v2  a  b   v2  a  b   v2  n   1 với n 

*

chẵn

4. Bất đẳng thức số mũ + v p (a  b)  min v p (a), v p (b) + Nếu v p (a)  v p (b) thì v p (a  b)  min v p (a), v p (b)  max v p (a), v p (b) + Nếu v p (a  b)  v p (a) thì v p (a)  v p (b) (đây là hệ quả của bđt 2) Ví dụ 1: Cho p là số nguyên tố. Tìm khai triển của p trong khai triển của (p m) ! Lời giải: Sử dụng công thức legendre, ta có: e p ( n)   [ i1

pn ]  p m1  p m2  ...  p  1 i p

=

pm 1 p 1

Ví dụ 2: Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn n ! có tận cùng đúng 1000 chữ số 0. Lời giải: Dễ thấy trong khai triển của n !, e2(n) > e5(n) Do đó, ycbt tương đương với tìm n t/m n n n 1 n  n   5    52   ...  5  52  ...  5 (1  5  ...) n 1 n  .  (đl giới hạn) 5 1 1 4 5  n > 4000

Mặt khác, ta có: n n n 1000 >   1   2  1  ...   k  1 5

 5



5



Trong đó k t/m 5k  n k

1 1   k  1000 > n .  5   k  n (1   1  )  k 5 1 1 4 5 5

Chọn k = 5 (do 55 = 3125 < n ) 5

 1000 > n .1   1   5 4 5

 n < 1005.4.3125  4022 3124  n  [4001, 4021]

Sử dụng định lý legendre lần nữa, ta thấy 4005 là số đầu tiên t/m và 4009 là số cuối cùng.

Vậy n = 4005, 4006, 4007, 4008, 4009 là các số cần tìm. Ví dụ 3: Cmr:  số nguyên dương n, 2n | n! Lời giải: n n Ta có k = e2(n) =     2   .... 2 2   k < n  n  ...  n (1  1  ...)  n . 1  n 2 22 2 2 2 1 1 2  đpcm.

Kết luận. Chúng ta có thể c/m rằng với  p là SNT

p n |  ( p  1)n !

Ví dụ 4: Các số nguyên dương a, b, p, n, k thỏa mãn an+bn = pk Cmr: Nếu n > 1 là số lẻ và p là số nguyên tố lẻ thì n là lũy thừa của p Lời giải: Ta có: pk= (a+b) (an-1 - an- 2 b +…+ bn-1) Suy ra a + b = pj, j  1 . Giả sử p || n Theo định lý 2, ta có: vp (an+bn) = vp (a+b) + vp (n) = j +  mà vp (an+bn) = vp (pk) = k  k = j +    =k-j

Hơn nữa, theo định lý 2 ta có:









vp a p  b p  v p (a  b)  v p ( p  )  j    k  p k || a p  b p . Mặt khác n  p   n = p  . h (h lẻ)

 a p  b p | a n  b n (vì h lẻ) 

n

n

mà a +b = p

k



 p k  a p  b p  a n  bn

 n  p

(đpcm).

Bài 1: Cho k là số nguyên dương. Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn 3k| 2n - 1 Lời giải: Giả sử tìm được n thỏa mãn. Có 2n  1  mod 3  n chẵn. Đặt n = 2m (m  N*)  3k| 4m - 1. Vì 3 | 4 - 1 nên áp dụng được định lý 2

v3  4m  1  1  v3  m   k m  3k 1. s (s  )  n = 2s. 3k-1 ( s 

)

Bài này cũng giải được bằng cách sử dụng căn nguyên thủy Ta có 2 là căn nguyên thủy của 3k với k  1 Ta có 2n  1 (mod3k) nên n   (3k) = 2.3k-1 Vậy n = 2.3k-1.s (S  N)

Bài 2: Cho a, n là hai số nguyên dương và p là số nguyên tố lẻ thỏa mãn ap  1 (modpn) Lời giải: Theo định lý Fecma ta có: ap  a (modp)  a  1 (modp). Đến đây áp dụng được định lý 2.

vp a p  1  v p (a  1)  v p ( p)  v p (a  1)  1  vp a  1  v p (a p  1)  1  n  1  a  1 (modn - 1)

Lời giải bằng cách sử dụng căn nguyên thủy Do p lẻ nên theo định lý tồn tại căn nguyên thủy,  g là căn nguyên thủy (modpn). Do đó,  k: a  gk (mod pn)  ap  gpk  1 (mod pn)

 pk   (pn) = pn-1. (p-1)  k  pn-2 (p -1) =  (pn-1)

có a  gk (mod pn)  a  gk (mod pn-1) Theo ĐL Euler g  ( p

n1

)

 1 (mod pn-1)

Do k  ( p n1 )  gk  1 (mod pn-1) hay a  1 (mod pn-1)

Bài 3: Cho p là số nguyên tố, a và n là số nguyên dương Cmr: Nếu 2p + 3p = an thì n = 1 Lời giải: Ta có 22 + 32 = 13. Vậy nếu p = 2 thì n = 1 Giả sử p lẻ, ta có 2p + 3p = 2 (mod 3)  2p + 3p không phải số chính phương.

Lại có 5 | 2 + 3  v5(2p + 3p) = 1 + v5(p)  2  v5 (2p + 3p) = 1 (do 2p + 3p không là số CP)

 n = 1 (đpcm).

Bài 4: Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn a|b2, b3|a4, a5|b6, b7|a8,… Cmr: a = b. Lời giải: Ta thấy a4n+1| b4n+2 và b4n+3| a4n+4  N.

Ta sẽ c/m vp(a) = vp (b)  số nguyên tố p. Ta có a4n+1 | b4n+2  (4n+1) vp(a)  (4n+2) vp(b) 4n  2 vp b   vp b  n  4n  1

 v p  a   lim

Tương tự từ b4n+3 | a4n+4  vp (b)  vp(a)  vp(a) = vp (b) (đpcm)

Bài 5: Cho a, b, c là các số nguyên dương thỏa mãn c | ac - bc a c  bc Cmr: c | a b

Lời giải: Gọi p là ước nguyên tố của c Ta sẽ c/m rằng vp(c)  vp

a c - bc a-b

Đặt h = vp(c) +) Nếu p | (a  b) lại có c | a c  bc

 a c  bc   h  v p (c)  v p (a c  bc )  h  v p    a b  +) Nếu p |  a  b  . Đặt vp (a - b) = k (k  1) +) TH1: p = 2 , nên c chẵn ta có v2(ac - bc) = v2(a - b) + v2(a + b)+ v2(c) - 1 = k + h + v2(a + b) - 1 Do 2 | a - b  2 |a + b hay v2 (a + b)  1

 v2  a c  bc   k  h

 a c  bc   v2  h  a b  +) TH2: p lẻ, áp dụng định lý 2 vp(ac - bc) = vp(a - b) + vp(c) = k + h c

c

 vp ( a - b ) = h a-b

Vậy ta có vp (c)  vp (

a c - bc )  p là ước của c. a-b

c c  c | a - b (đpcm). a-b

Bài 6: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 3n - 2n là lũy thừa của 1 số nguyên tố. Cmr: n là số nguyên tố. Lời giải: Giả sử n là hợp số, tức là n có biểu diễn n = ab (a, b > 1) Đặt 3n - 2n =pk (k  1)  (3a - 2a) (3a(b-1) +…+ 2a(b-1)) = pk

 3 a - 2 a = pm

(m  1)

Áp dụng định lý 2 ta có: vp (3n - 2n) = vp (3a - 2a) + vp (b)  k = m + vp (b) C1: Áp dụng bđt :  a  b   a n  bn . Ta có: n

3ab - 2ab > (3a - 2a)b  pm+vp (b) > pmb Mặt khác vì b > 1 nên ta có:

mb  m + b - 1  m + vp (b)

(do b< pb)

 mâu thuẫn

Vậy n là số nguyên tố C2: Ta có v p (b)  k  m  b  p k mt , gcd(t , p)  1 Có 3at  2at 3a  2a nên k  v p (3ab  2ab )  v p (3at  2at )  v p ( p k m )

 v p (3at  2at )  m  3at  2at  3a  2a  t  1

 b  p k m Ta có p k  p m p k m   3a  2a  b 3ab  2ab   3a  2a  3a (b 1)  3a ( b2) 2a...  2a ( b1)    3a  2a  b

Suy ra mâu thuẫn Vậy n là số nguyên tố Bài 7: Cho p là số nguyên tố và m > 1 là số nguyên dương Cmr nếu tồn tại số nguyên dương x > 1, y > 1 t/m xp  yp  x  y    thì m = p 2  2  m

xp  yp x y Lời giải: Do    m p 2  2  p

Đặt d = gcd (x,y) và x = dx1, y = dy1 (x1, y1  1), gcd( x1 , y1 )  1  2m1  x1p  y1p   d m p  x1  y1 

m

Gọi q là số nguyên tố thỏa mãn q | x1  y1  gcd( x1 , p)  gcd( y1, p)  1 Đặt v  vq  x1  y1   v  1

TH1: p  3  p lẻ + Nếu q lẻ ta có vq  x1p  y1p   vq  x1  y1   vq ( p)  v  1 Lại có:







vq  x1p  y1p   vq 2m1  x1p  y1p   vq d m p  x1  y1 

m

  mv

 v  1  mv  m  2 do p  m  p  2 (vô lý do p lẻ)

+ Nếu q = 2, ta có: + v2  2m1 ( x1p  y1p )   v2 (2m1 )  v2  x1p  y1p   (m  1)  v2  x1  y1   m  1  v



+ v2 d m p  x1  y1 

m

  v d

m p

2

  v  x  y  2

1

m

1

  mv

 m  v  1  mv  (m  1)(v  1)  0 Mà m  2  v  1  v  1  x1  y1  2 (do x1+y1 không có ước NT > 2-Chứng minh ở TH q>2)  x1  y1  1  x  y . Thay vào pt ban đầu

 x p  x m  m  p (đpcm)

TH2: p= 2, x2  y2 x y x y ta có  2    do x + y  4 2  2   2  2

3

 m  3 mà m  p = 2  m = 2

Kết luận: Ta có đpcm. Bài 8. Tìm tất cả số nguyên dương x, y, thỏa mãn px – y p  1

Với p là số nguyên tố

Bài 9: Cho p là số nguyên tố. Giải phương trình nghiệm nguyên sau a p  1  p k (k 

*

).

Bài 10 (bổ đề) Cho p là số nguyên tố lẻ. CMR a) Nếu a  2 thì a p  1 có ít nhất 1 ước nguyên tố không phải là ước của a  1 b) Nếu a  2, p  3 hoặc a  2 thì a p  1 có ít nhất 1 ước nguyên tố không phải là ước của a  1

Bài tập về số mũ Bài 1: Cho a là số nguyên dương. CMR: 4  a n  1 là lập phương của một số nguyên với  n  N* khi và chỉ khi a = 1 Bài 2: Cho k > 1 là số nguyên. CMR  vô số số nguyên dương n thỏa mãn 1  2  3  ....  k n

n

n

n

n

Bài 3: Tìm tất cả nghiệm của phương trình  n  1! 1  nm trong tập nguyên dương Bài 4: 19911992

Tìm số mũ lớn nhất k của 1991 sao cho 1991k 1990

 19921991

1990

Bài 5: Cho x, y là hai số thực dương thoả mãn với mọi số nguyên dương n thì x n  y n là số nguyên dương. CMR: x, y là hai số nguyên dương Bài 6: Cho p  5 là số nguyên tố. Tìm k lớn nhất sao cho p k ( p  2) 2( p1)  ( p  4) p1 Bài 7: Tìm bộ 4 số nguyên dương  x, r , p, n  thỏa mãn p là số nguyên tố , n, r  1 và xr  1  p n Bài 8: Cho a  b  1 là các số nguyên dương, b lẻ và số nguyên dương n Nếu bn a n  1 . CMR: a b 

3n n

Bài 9: Cho p là số nguyên tố, p  3, và số nguyên a, b thỏa mãn p | a  b và p 2 | a3  b3 CMR: p 2 | a  b hoặc p3 | a3  b3 Bài 10: Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn 2n 1  1 là số nguyên n

Bài 11: Cho số nguyên dương n, đặt a  v2  5n  3n  Gọi b là số nguyên dương lớn nhất t/m 2b  n CMR: a  b + 3 Bài 12: Xác định tất cả các bộ số nguyên không âm x, y, z t/m PT 2x  3y  z 2

Bài 13: Tìm nghiệm nguyên dương của PT: x2009  y 2009  7 z

Bài 14: Cho n là số nguyên dương lẻ





CMR:  n  1  1 | n.(n - 1)( n-1) 1  n n

2

n

Bài 15: Tìm n nguyên dương t/m 2n | 3n  1 Bài 16: Cho a, n  2 là hai số nguyên và  k  2, k nguyên thỏa mãn

n |  a  1 . CMR: n | a n1  a n2  a  1 k

Bài 17: Tìm tất cả các số nguyên dương a thỏa mãn

5a  1 là số nguyên dương 3a

Bài 18: Tìm tất cả các số nguyên a, b lớn hơn 1 thỏa mãn ba | ab  1