Chuyen De Bien Doi Bieu Thuc Dai So

Chuyªn ®Ò båi dìng Hsg m«n to¸n 8 – phÇn ®¹i sè Chuyªn ®Ò 2

BiÕn ®æi biÓu thøc ®¹i sè a – biÓn ®æi biÓu thøc nguyªn I. Mét sè h»ng ®¼ng thøc c¬ b¶n 1. (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ; (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ; (a1 + a2 + ... + an )2 = = a12  a22  ...  a2n  2(a1a2  a1a3  ...  a1an  a2a3  ...  a2an  ...  an1an ); 2. (a  b)3 = a3  3a2b + 3ab2  b3 = a3  b3  3ab(a  b); (a  b)4 = a4  4a3b + 6a2b2  4ab3 + b4 ; 3. a2 – b2 = (a – b)(a + b) ; a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3b2 + … + abn – 2 + bn – 1) ; 4. a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ; a2k + 1 + b2k + 1 = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 – … + a2b2k – 2 – ab2k – 1 + b2k) ; II. B¶ng c¸c hÖ sè trong khai triÓn (a + b)n – Tam gi¸c Pascal §Ønh 1 Dßng 1 (n = 1 1 1) Dßng 2 (n = 1 2 1 2) Dßng 3 (n = 1 3 3 1 3) Dßng 4 (n = 1 4 6 4 1 4) Dßng 5 (n = 1 5 10 10 5 1 5) Trong tam gi¸c nµy, hai c¹nh bªn gåm c¸c sè 1 ; dßng k + 1 ®îc thµnh lËp tõ dßng k (k ≥ 1), ch¼ng h¹n ë dßng 2 ta cã 2 = 1 + 1, ë dßng 3 ta cã 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2, ë dßng 4 ta cã 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, …Khai triÓn (x + y)n thµnh tæng th× c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö lµ c¸c sè trong dßng thø n cña b¶ng trªn. Ngêi ta gäi b¶ng trªn lµ tam gi¸c Pascal, nã thêng ®îc sö dông khi n kh«ng qu¸ lín. Ch¼ng h¹n, víi n = 4 th× : (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 biªn so¹n : TrÇn Ngäc §¹i – thcs thôy phóc

1

Chuyªn ®Ò båi dìng Hsg m«n to¸n 8 – phÇn ®¹i sè vµ víi n = 5 th× : (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5 II. C¸c vÝ dô VÝ dô 1. §¬n gi¶n biÓu thøc sau : A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3. Lêi gi¶i A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3 = [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 – z3] – – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3] = 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz VÝ dô 2. Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b). TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5 Lêi gi¶i a) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b b) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab c) x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2 d) (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y) Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2 ⇒ x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2 Chó ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3) VÝ dô 3. Chøng minh c¸c h»ng ®¼ng thøc : a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ; b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Lêi gi¶i a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2 = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3) = (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) VÝ dô 4. Ph©n tÝch biÓu thøc sau thµnh nh©n tö : biªn so¹n : TrÇn Ngäc §¹i – thcs thôy phóc

2

Chuyªn ®Ò båi dìng Hsg m«n to¸n 8 – phÇn ®¹i sè A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) Lêi gi¶i §Æt S = a + b vµ P = ab, th× a2 + b2 = S2 - 2P ; a3 + b3 = S3 - 3SP . V× vËy : A = x3 – 3( S2 - 2P )x + 2( S3 - 3SP ) = (x3 - S3) - (3S2x - 3S3) + (6Px - 6SP) = (x - S)(x2 + Sx + S2 ) - 3S2(x - S) + 6P(x - S) = (x - S)(x2 + Sx - 2S2 + 6P) = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab] = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2 VÝ dô 5. Cho x + y + z = 0. Chøng minh r»ng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) Lêi gi¶i V× x + y + z = 0 nªn x + y = –z ⇒ (x + y)3 = –z3 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 ⇒ 3xyz = x3 + y3 + z3 Do ®ã : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2) Mµ x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (v× x + y = –z). T¬ng tù : y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx. V× vËy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) Suy ra : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (®pcm) Bµi tËp 1. Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) x3 + 4x2 – 29x + 24 ; b) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 ; c) (x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ; d) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1 ; e) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + 1. 2. Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) x8 + x4 + 1; b) x10 + x5 + 1 ; c) x12 + 1 ; 3. Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ; b) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5. biªn so¹n : TrÇn Ngäc §¹i – thcs thôy phóc

3

Chuyªn ®Ò båi dìng Hsg m«n to¸n 8 – phÇn ®¹i sè 4. Cho a + b + c = 0 vµ a2 + b2 + c2 = 14. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A = a4 + b4 + c4. 5. Cho x + y + z = 0 vµ xy + yz + zx = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009. 6. Cho a2 – b2 = 4c2. Chøng minh r»ng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2. 7. Chøng minh r»ng nÕu (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2 th× x = y = z. 8. a) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 vµ x, y kh¸c a b 0 th× = . x y b) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + a b c cz)2 vµ x, y, z kh¸c 0 th× = = . x y z 9. Cho x + y + z = 0. Chøng minh r»ng : a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ; b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ; c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5). 10.Chøng minh c¸c h»ng ®»ng thøc sau : a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ; b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2. 11.Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m·n a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2. Chøng minh r»ng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4 12. Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : C = a2 + b9 + c1945. 13. Hai sè a, b lÇn lît tháa m·n c¸c hÖ thøc sau : a3 – 3a2 + 5a – 17 = 0 vµ b3 – 3b2 + 5b + 11 = 0. H·y tÝnh : D = a + b. 14. Cho a3 – 3ab2 = 19 vµ b3 – 3a2b = 98. H·y tÝnh : E = a2 + b2. 15. Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ; e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008. B – biÓn ®æi ph©n thøc h÷u tØ biªn so¹n : TrÇn Ngäc §¹i – thcs thôy phóc

4

Chuyªn ®Ò båi dìng Hsg m«n to¸n 8 – phÇn ®¹i sè VÝ dô 5. a) Chøng minh r»ng ph©n sè

3n + 1 lµ ph©n sè tèi gi¶n ∀n∈N ; 5n + 2

n2 + 4 b) Cho ph©n sè A = (n∈N). Cã bao nhiªu sè tù nhiªn n nhá h¬n n+ 5 2009 sao cho ph©n sè A cha tèi gi¶n. TÝnh tæng cña tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn ®ã. Lêi gi¶i a) §Æt d = ¦CLN(5n + 2 ; 3n + 1) ⇒ 3(5n + 2) – 5(3n + 1) d hay 1 d ⇒ d = 1. 3n + 1 VËy ph©n sè lµ ph©n sè tèi gi¶n. 5n + 2 29 29 b) Ta cã A = n- 5+ . §Ó A cha tèi gi¶n th× ph©n sè ph¶i n+ 5 n+ 5 cha tèi gi¶n. Suy ra n + 5 ph¶i chia hÕt cho mét trong c¸c íc d¬ng lín h¬n 1 cña 29. V× 29 lµ sè nguyªn tè nªn ta cã n + 5 29 ⇒ n + 5 = 29k (k ∈ N) hay n = 29k – 5. Theo ®iÒu kiÖn ®Ò bµi th× 0 ≤ n = 29k – 5 < 2009 ⇒ 1 ≤ k ≤ 69 hay k∈{1; 2;…; 69} VËy cã 69 sè tù nhiªn n tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Ò bµi. Tæng cña c¸c sè nµy lµ : 29(1 + 2 + … + 69) – 5.69 = 69690. VÝ dô 6. Cho a, b, c ≠ 0 vµ a + b + c ≠ 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn 1 1 1 1 + + = . a b c a+ b + c Chøng minh r»ng trong ba sè a, b, c cã hai sè ®èi nhau. Tõ ®ã suy ra r»ng : 1 1 1 1 + 2009 + 2009 = 2009 . 2009 2009 a b c a + b + c2009 Lêi gi¶i 1 1 1 1 1 1 1 1 =0 Ta cã : + + = ⇔ + + a b c a+ b + c a b c a+ b + c a+ b a+ b c(a+ b + c) + ab + = 0 ⇔ (a+ b). =0 ⇔ ab c(a+ b + c) abc(a+ b + c)

biªn so¹n : TrÇn Ngäc §¹i – thcs thôy phóc

5

Chuyªn ®Ò båi dìng Hsg m«n to¸n 8 – phÇn ®¹i sè éa+ b = 0 éa =- b ê ê b + c = 0 ⇔ êb =- c ⇒ ®pcm. ⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = 0 ⇔ ê ê ê êc + a = 0 êc =- a ë ë 1 1 1 1 1 1 1 + = Tõ ®ã suy ra : 2009 + 2009 + 2009 = 2009 + a b c a (- c)2009 c2009 a2009 1 1 1 = 2009 = 2009 2009 2009 2009 2009 2009 a +b +c a + (- c) + c a 1 1 1 1 ⇒ 2009 + 2009 + 2009 = 2009 . 2009 a b c a + b + c2009 VÝ dô 7. §¬n gi¶n biÓu thøc : ö ö 1 æ 1 1ö 3 æ 1 1÷ 6 æ 1 1÷ ÷ ç ç ç A= + + + + + . ÷ ÷ ÷ ç ÷ (a+ b)4 ç ça3 b3 ø ça2 b2 ÷ ça b÷ è ø (a+ b)5 ç è ø (a+ b)3 è Lêi gi¶i §Æt S = a + b vµ P = ab. Suy ra : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = S2 - 2P a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S3 - 3SP . 1 1 a+ b S 1 1 a2 + b2 S2 - 2P = ; 2+ 2= 2 2 = Do ®ã : + = ; a b ab P a b ab P2 1 1 a3 + b3 S3 - 3SP + = 3 3 = . a3 b3 ab P3 1 S3 - 3SP 3 S2 - 2P 6 S Ta cã : A = 3 . + 4. + 5. S P3 S P2 S P = S2 - 3P 3(S2 - 2P) 6 (S4 - 3S2P) + (3S2P - 6P2) + 6P2 S4 + + = = S2P3 S4P2 S4P S4P3 S4P3 1 1 Hay A = 3 = 3 3 . P ab VÝ dô 8. Cho a, b, c lµ ba sè ph©n biÖt. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña x : (x - a)(x - b) (x - b)(x - c) (x - c)(x - a) S(x) = + + . (c- a)(c- b) (a- b)(a- c) (b- c)(b- a) Lêi gi¶i C¸ch 1 x2 - (a + b)x + ab x2 - (b + c)x + bc x2 - (c + a)x + ca S(x) = + + = Ax2 – Bx + (c- a)(c- b) (a- b)(a- c) (b- c)(b- a) C

biªn so¹n : TrÇn Ngäc §¹i – thcs thôy phóc

6

Chuyªn ®Ò båi dìng Hsg m«n to¸n 8 – phÇn ®¹i sè 1 1 1 + + víi : A = ; (c- a)(c- b) (a- b)(a- c) (b- c)(b- a) a+ b b+ c c+ a B= + + ; (c- a)(c- b) (a- b)(a- c) (b- c)(b- a) ab bc ca C= + + (c- a)(c- b) (a- b)(a- c) (b- c)(b- a) b- a+ c- b + a- c = 0; Ta cã : A = (a- b)(b- c)(c- a) (a+ b)(b- a) + (b + c)(c- b) + (c + a)(a- c) b2 - a2 + c2 - a2 + a2 - c2 B= = =0 (a- b)(b- c)(c- a) (a- b)(b- c)(c- a) ; ab(b- a) + bc(c- b) + ca(a- c) ab(b- a) + bc[(c- a) + (a- b)] + ca(a- c) = (a- b)(b- c)(c- a) (a- b)(b- c)(c- a) (a- b)(bc- ab) + (c- a)(bc- ca) (a- b)(b- c)(c- a) = = = 1. (a- b)(b- c)(c- a) (a- b)(b- c)(c- a) VËy S(x) = 1∀x (®pcm). C¸ch 2 §Æt P(x) = S(x) – 1 th× ®a thøc P(x) lµ ®a thøc cã bËc kh«ng vît qu¸ 2. Do ®ã, P(x) chØ cã tèi ®a hai nghiÖm. NhËn x–t : P(a) = P(b) = P(c) = 0 ⇒ a, b, c lµ ba nghiÖm ph©n biÖt cña P(x). §iÒu nµy chØ x¶y ra khi vµ chØ khi P(x) lµ ®a thøc kh«ng, tøc lµ P(x) = 0 ∀x. Suy ra S(x) = 1 ∀x ⇒ ®pcm. 1 VÝ dô 9. Cho x + = 3. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : x 1 1 1 1 a) A = x2 + 2 ; b) B = x3 + 3 ; c) C = x4 + 4 ; d) D = x5 + 5 . x x x x Lêi gi¶i 2 ö 1 æ 1÷ a) A = x2 + 2 = ç x+ ÷ - 2 = 9- 2 = 7 ; ç è x÷ ø x ç C=

3

ö æ 1ö 1 æ 1÷ ç b) B = x + 3 = ç x + 3 x+ ÷ ÷ ÷= 27- 9 = 18 ; ç ç ÷ ç ç è x÷ ø x è xø 2 ö 1 æ2 1 ÷ c) C = x4 + 4 = ç x + 2÷ - 2 = 49- 2 = 47 ; ç è ø x ç x ÷ 3

biªn so¹n : TrÇn Ngäc §¹i – thcs thôy phóc

7

Chuyªn ®Ò båi dìng Hsg m«n to¸n 8 – phÇn ®¹i sè æ2 1 ö æ3 1 ö 1 1 5 ÷ ç x + 2÷ x + = x + + x + = D + 3 ⇒ D = 7.18 – 3 = 123. d) A.B = ç ÷ ÷ ç ç ÷ç ÷ ç è è x ø x3 ø x x5 VÝ dô 10. X¸c ®Þnh c¸c sè a, b, c sao cho : 2 ax + b c = 2 + . 2 (x +1)(x - 1) x + 1 x - 1 Lêi gi¶i ax + b c (ax + b)(x - 1) + c(x2 +1) (a+ c)x2 + (b- a)x + (c- b) + = = Ta cã : 2 x +1 x - 1 (x2 +1)(x - 1) (x2 +1)(x - 1) 2 §ång nhÊt ph©n thøc trªn víi ph©n thøc 2 , ta ®îc : (x +1)(x - 1) ìï a+ c = 0 ìï a =- 1 ï ï 2 - x- 1 1 ïí b- a = 0 Û ïí b =- 1. VËy = + . ïï ïï (x2 +1)(x - 1) x2 + 1 x - 1 ïîï c- b = 2 ïîï c = 1 Bµi tËp n3 + 2n2 - 1 16. Cho ph©n thøc P = 3 . n + 2n2 + 2n +1 a) Rót gän P ; b) Chøng minh r»ng nÕu n lµ sè nguyªn th× gi¸ trÞ cña ph©n thøc t×m ®îc trong c©u a) t¹i n lu«n lµ mét ph©n sè tèi gi¶n. 17. a) Chøng minh r»ng c¸c ph©n sè sau tèi gi¶n víi mäi sè tù nhiªn n : 12n +1 ; 30n + 2

n3 + 2n 2n + 1 ; . 4 2 n + 3n +1 2n2 - 1 n7 + n2 +1 b) Chøng minh r»ng ph©n sè 8 kh«ng tèi gi¶n víi mäi sè n + n +1 nguyªn d¬ng n. n2 + 5 c) TÝnh tæng c¸c sè tù nhiªn n nhá h¬n 100 sao cho lµ n +1 ph©n sè cha tèi gi¶n. 18. TÝnh c¸c tæng sau : 3 5 2n +1 + + ... + a) A = ; 2 2 (1.2) (2.3) [n(n +1)]2 biªn so¹n : TrÇn Ngäc §¹i – thcs thôy phóc

8

b) c) d) e) f)

Chuyªn ®Ò båi dìng Hsg m«n to¸n 8 – phÇn ®¹i sè 1 1 1 1 B = 1+ + 2 + 4 + ... + 2n ; 2+1 2 +1 2 +1 2 +1 1 1 1 1 C= + + ... + ; 1.4 4.7 7.10 (3n +1)(3n + 4) 1 1 1 D= + + ... + ; 1.3 2.4 n.(n + 2) 1 1 1 1 E= + + + ... + ; 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n- 1)n(n +1) 1.2! 2.3! n.(n + 1)! F= + 2 + ... + (k! = 1.2.3…k) 2 2 2n

19. TÝnh c¸c tÝch sau : æ 1ö æ 1ö æ 1ö æ 1ö ÷ ÷ ÷ ÷; ç ç ç11 1 1 ... a) G = ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ç 22 ÷ ç 32 ÷ ç 42 ÷ ç n2 ÷ è øè øè ø ç è ø 12 32 52 (2n- 1)2 . . ..... b) H = 2 ; 2 - 1 42 - 1 62 - 1 (2n)2 - 1 æ æ æ ö 1 ö 1 ö 1 ÷ ÷ ÷ ç ç 11 ... 1 c) I = ç ÷ ÷ ÷; ç ç ç ÷ç ç è 1+ 2÷ øç è 1+ 2+ 3ø è 1+ 2+ ... + n÷ ø æ æ 1ö æ 1ö æ 1ö 1 ö ÷ ÷ ÷ ç ç ç 1+ ÷ 1 + 1 + ... 1 + d) K = ç . ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ç n(n + 2)÷ è 1.3øè 2.4øè 3.5ø è ø æ4 1ö æ4 1ö æ4 1ö æ 4 1ö ÷ ÷ ç ç ç ç 1+ ÷ 3 + 5 + ... 2007 + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è 4øè 4øè 4ø è 4ø 20. TÝnh : L = . æ4 1ö æ ö æ ö æ ö 1 1 1 4 4 4 ç 2 + ÷ 4 + ÷ 6 + ÷ 2008 + ÷ ÷ç ÷ç ÷...ç ÷ ç ç ç ç ç è øç è øç è ø ç è ø 4÷ 4÷ 4÷ 4÷ æ 1999ö æ 1999ö æ 1999ö æ 1999ö ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç 1 + 1 + 1 + ... 1+ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è ø è ø è ø è ø 1 2 3 1000÷ 21. TÝnh M = æ 1000ö æ 1000ö æ 1000ö æ 1000ö ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç 1+ 1 + 1 + ... 1+ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è 1 øè 2 øè 3 ø è 1999ø 22. Thùc hiÖn c¸c ph–p tÝnh : 1 1 1 + + a) A = ; (c- a)(c- b) (a- b)(a- c) (b- c)(b- a) 1 1 1 + + b) B = ; a(a- b)(a- c) b(b- a)(b- c) c(c- a)(c- b) a2 b2 c2 + + c) C = ; (a- b)(a- c) (b- a)(b- c) (c- a)(c- b) biªn so¹n : TrÇn Ngäc §¹i – thcs thôy phóc

9

Chuyªn ®Ò båi dìng Hsg m«n to¸n 8 – phÇn ®¹i sè a3 b3 c3 + + d) C = (a- b)(a- c) (b- a)(b- c) (c- a)(c- b)

23. Rót gän : A =

(a2 + b2 + c2)(a+ b + c)2 + (bc + ca+ ab)2 . (a+ b + c)2 - (ab + bc + ca)

(a+ 2b)3 - (a- 2b)3 3a4 + 7a2b2 + 3b4 : 24. Rót gän : B = . (2a+ b)3 - (2a- b)3 4a4 + 7a2b2 + 3b4 25. Rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau víi x = –1,76 vµ y = 0,12 : éæx - y x2 + y2 + y - 2ö 4x4 + 4x2y + y2 ÷ êç ÷: - 2 2 ÷ êç ç ÷ x2 + y + xy + x 2y x x xy 2y è ø ë

4ù x +1 ú: ú 2x2 + y + 2 . û

(TrÝch ®Ò thi HSG toµn quèc 1963) 26. Rót gän : é a- 1 ù 36a3 - 144a- 36a2 +144 2(a- 1) 4(a+ 1) a ê2 ú´ + 2 - 2 + 2 . ê ú a 2a + 1 a 4 a + a 2 a 3a + 2 a3 + 27 ë û 27. Thùc hiÖn c¸c ph–p tÝnh : x2 - yz y2 - zx z2 - xy + + y+z z+x x+y ; a) 1+ 1+ 1+ x y z a(a+ b) a(a+ c) b(b + c) b(b + a) c(c + a) c(c + b) + + + a- b a- c + b- c b- a + c - a c- b b) ; 2 2 (b- c) (c- a) (a- b)2 1+ 1+ 1+ (a- b)(a- c) (b- c)(b- a) (c- a)(c- b) a+ b- 2c b + c- 2a c + a- 2b + + c) (a- b)3 (c- a)(c- b) (b- c)3 (a- b)(a- c) (c- a)3 (b- c)(b- a) . + 2 + 2 + 2 a3 - b3 a + ab + b2 b3 - c3 b + bc + c2 c3 - a3 c + ca+ a2 28. a) BiÕt a – 2b = 5, h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : 3a- 2b 3b- a P= + ; 2a+ 5 b- 5 b) BiÕt 2a – b = 7, h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : 5a- b 3b- 3a Q= ; 3a+ 7 2b- 7

biªn so¹n : TrÇn Ngäc §¹i – thcs thôy phóc

10

Chuyªn ®Ò båi dìng Hsg m«n to¸n 8 – phÇn ®¹i sè c) BiÕt 10a2 –3b2 + 5ab = 0 vµ 9a2 – b2 ≠ 0, h·y tÝnh : 2a- b 5b- a R= + . 3a- b 3a+ b 29. Cho a + b + c = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : 1 1 1 + + a) A = 2 ; a + b2 - c2 b2 + c2 - a2 c2 + a2 - b2 a2 b2 c2 b) B = 2 ; + + a - b2 - c2 b2 - c2 - a2 c2 - a2 - b2 æ æc a- b b- c c- aö a b ö ÷ ÷ ç + + + + c) C = ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷. ç ç è c a b øèa- b b- c c- aø 30. Cho 3 sè a, b, c kh¸c 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn a3 + b3 + c3 = 3abc. æ aö æ b÷ öæ c÷ ö ÷ ç ç 1 + 1 + 1 + TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : ç . ÷ ÷ ÷ ç ç b÷ ç c÷ ç è øç è øç è a÷ ø 31. Cho 3 sè a, b, c kh¸c nhau ®«i mét tháa m·n ®iÒu kiÖn æ bö æ c÷ öæ a÷ ö a+ b b + c c + a ç ç 1+ ÷ 1 + 1 + = = . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : ç . ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è a÷ øç è b÷ øç è c÷ ø c a b 32. a) Cho ba sè a, b, c kh¸c 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn a + b + c = 0. Chøng minh r»ng : 2

1 1 1 æ 1 1 1ö + 2 + 2 =ç + + ÷ ÷. ç 2 ç ø a b c èa b c÷ b) TÝnh D =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + ...+ + + 2 2 2 1 2 3 2 3 4 3 4 5 2007 2008 20092

33. §¬n gi¶n c¸c biÓu thøc sau : 1 æ 1 1ö 1 æ 1 1ö 1 æ 1 1ö ÷ ÷ ç ç ç + + - 2÷ a) A = ÷ ÷ ÷ 3ç 4 4÷ 4ç 3 3÷ 5ç 2 ÷. ç ç ç è ø è ø è (a+ b) a b (a+ b) a b (a+ b) a b ø 3

éa(2b3 - a3)ù úb) B = a + ê 3 ê a + b3 ú ë û 3

3

éb(2a3 - b3)ù ê 3 ú. ê a + b3 ú ë û

34. a) Chøng minh r»ng nÕu abc = 1 th× 1 1 1 + + = 1. 1+ a+ ab 1+ b + bc 1+ c + ca b) Cho abcd = 1, h·y tÝnh : a b c d + + + 1+ a+ ab + abc 1+ b + bc + bcd 1+ c + cd+ cda 1+ d+ da+ dab biªn so¹n : TrÇn Ngäc §¹i – thcs thôy phóc

11

Chuyªn ®Ò båi dìng Hsg m«n to¸n 8 – phÇn ®¹i sè 1 1 1 35. Chøng minh r»ng nÕu + + = 2 vµ a + b + c = abc th× a b c 1 1 1 + 2 + 2 = 2. 2 a b c (TrÝch ®Ò thi HSG toµn quèc 1970) a b c x y z + + = 0 vµ + + = 2 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc x y z a b c a2 b2 c2 + + . x2 y2 z2

36. Cho

37. Cho nhau.

a b c a b c + + = + + . CMR tån t¹i hai trong ba sè a, b, c b»ng b c a c a b

2 2 2 (a- b)2 + (b- c)2 + (c- a)2 + + + 38. Rót gän biÓu thøc : . a- b b- c c- a (a- b)(b- c)(c- a) 39. Cho ba sè a, b, c kh¸c 0 tháa m·n hÖ thøc : a+ b- c b + c- a c + a- b = 0. Chøng minh r»ng trong ba ph©n ab bc ca thøc ë vÕ tr¸i, cã Ýt nhÊt mét ph©n thøc b»ng 0. æ æ1 1 1 1ö 1 1ö ÷ ÷. ç + + abc + + 40. Rót gän biÓu thøc : B = (ab + bc + ca)ç ÷ ç ç ÷ ça b c÷ ça2 b2 c2 ÷ è ø è ø 41. Cho a, b, c kh¸c nhau ®«i mét vµ thøc :

1 1 1 + + = 0. Rót gän c¸c biÓu a b c

1 1 1 + + ; a2 + 2bc b2 + 2ca c2 + 2ab bc ca ab + 2 + 2 b) N = 2 ; a + 2bc b + 2ca c + 2ab a2 b2 c2 + + c) P = 2 a + 2bc b2 + 2ca c2 + 2ab a) M =

42. X¸c ®Þnh a, b, c sao cho : 1 a bx + c 1 a b = + = + a) ; b) ; x(x2 +1) x x2 +1 x2 - 4 x - 2 x + 2 1 a b c = + + c) . 2 2 (x +1) (x + 2) x +1 (x +1) x+2 biªn so¹n : TrÇn Ngäc §¹i – thcs thôy phóc

12

Chuyªn ®Ò båi dìng Hsg m«n to¸n 8 – phÇn ®¹i sè 32 - 1 72 - 1 112 - 1 20072 - 1 43. Rót gän biÓu thøc : A = 2 . . ... . 5 - 1 92 - 1 132 - 1 20092 - 1 44. Rót gän biÓu thøc : æn- 1 n- 2 n- 3 æ 2 1 ö 1 1 1ö ÷ ÷ ç ç + + + ... + + : + + ... + ÷ ÷ ç ç ÷ ÷. ç ç è 1 2 3 n- 2 n- 1ø è2 3 nø 1 1 1 1 + + ... + + A 1(2n- 1) 3(2n- 3) (2n- 3).3 (2n- 1).1 = 45. Rót gän biÓu thøc : . 1 1 1 B 1+ + + ... + 3 5 2n- 1 46. Cho ba sè a, b, c kh¸c 0 tháa m·n hai ®iÒu kiÖn abc = 1 vµ 1 1 1 a+ b + c = + + . Chøng minh r»ng trong ba sè a, b, c tån t¹i mét a b c sè b»ng 1. 47. Cho x, y, z kh¸c 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn x + y + z = 2008 vµ 1 1 1 1 + + = . Chøng minh r»ng tån t¹i Ýt nhÊt mét trong ba sè x, x y z 2008 y, z b»ng 2008. 48. Gi¶ sö a, b, c lµ ba sè kh¸c nhau tháa m·n Chøng minh r»ng :

a b c + + = 0. b- c c- a a- b

a b c + + = 0. (b- c)2 (c- a)2 (a- b)2

a b c a2 b2 c2 + + = 1. Chøng minh r»ng + + = 0. 49. Cho b + c c + a a+ b b + c c + a a+ b 50. Cho a + b + c = 0, x + y + z = 0 vµ r»ng

a b c + + = 0. Chøng minh x y z

ax2 + by2 + cz2 = 0.

51. Cho x2 – 4x + 1 = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc A = x5 + 1 . x7 x x2 x2 = 2008. M = N = 52. Cho 2 TÝnh vµ . x - x +1 x4 + x2 +1 x4 - x2 +1

1 vµ x5

B = x7 +

biªn so¹n : TrÇn Ngäc §¹i – thcs thôy phóc

13

Chuyªn ®Ò båi dìng Hsg m«n to¸n 8 – phÇn ®¹i sè a1 - 1 a2 - 1 53. Cho d·y sè a1, a2, a3, … sao cho : a2 = ; a3 = ;…; a1 +1 a2 +1 a - 1 an = n- 1 . an- 1 +1 a) Chøng minh r»ng a1 = a5. b) X¸c ®Þnh n®m sè ®Çu cña d·y, biÕt r»ng a101 = 108.

biªn so¹n : TrÇn Ngäc §¹i – thcs thôy phóc

14