Chuyen De Bdt

www.hsmath.net

B ất Đ ẳng Thức

1. Bất đẳng thức CauChy cho hai số: a

0, b

0

a+b 2

ab Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

a

2. Bất đẳng thức CauChy cho n số:

a1, a2 ,..., an

0

Với n số không âm

a1 a2 ... an

n n a1a2 ...an

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: a1

a2

... an

b

Bài toán: Chứng minh rằng a m a Ta có:

n

bm

n

cm

n

0, b 0, c 0 và m, n

a mb n b m c n c m a n

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho m số không âm

a m n và n số không âm b m n ta có: ma m n nb m n m n m n m m n n (a ) (b ) m n m n ma

m n

nb m n

ma

m n

m n

m n m n

(a b )

Tương tự: Ta cũng có

mb m

n

nc m m n

mc m

n m n

b c

m

(2)

n

na m m n

nb m n

n

a mb n (1)

n

c m a n (3)

Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta được điều phải chứng minh. www.hsmath.net

a5 b2

Ví dụ 1: Với a 0, b 0, c 0. CMR:

b5 c2

c5 a2

a3

b3

c3

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

a5 b2

ab 2

5

b c2

2a 3

bc 2

2b3

c5 a2

ca 2

2c 3

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:

a5 b2

b5 c2

c5 a2

ab 2 bc 2 ca 2

2(a 3 b3 c 3 ) (*)

Mặt khác trong bất đẳng thức ở bài toán trên khi cho m = 1, n = 2 thì ta có:

a3

b3

c3

ab 2

bc 2

ca 2

(**)

Cộng vế với vế của (*) và (**) ta có điều phải chứng minh.

www.hsmath.net

Ví dụ 2: Với a 0, b 0, c 0. CMR:

a5 bc

b5 ca

c5 ab

a3

b3

c3

(ĐHNN 2000)

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

a5 bc

b5 , ca

2a 3

abc

bca

5 c 2b 3 , ab

cab

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:

a5 bc

b5 ca

Mặt khác: a

c5 ab 3

3abc

b3

c3

2(a 3

b3

c 3 ) (*)

3abc (**)

Cộng vế với vế của (*) và (**) ta có điều phải chứng minh.

www.hsmath.net

2c 3

Ví dụ 3: Với a

0, b 0, c 0. CMR:

a5 b3

b5 c3

c5 a3

a3 b

b3 c

c3 a

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

a5 b3

b5 c3

ab

a3 2 b

b3 bc 2 c c5 a3

ca

c3 2 a

a5 b3

b5 c3

2ab

2bc c5 a3

a3 b

b3 c

2ca

a3 b

b3 c c3 a

2b2

bc c3 a

2a 2

ab

ca

2c 2

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được: a 5 b5 c 5 a 3 b3 c 3 2 2 2 2( ab bc ca ) 2( a b c ) (*) 3 3 3 b c a b c a Mặt khác trong bất đẳng thức ở bài toán trên khi cho m = 1, n = 1 thì ta có:

(a 2 b 2

c2 )

2(ab bc ca) (**)

Cộng vế với vế của (*) và (**) ta có điều phải chứng minh.

www.hsmath.net

www.hsmath.net

Ví dụ 4: Với a 0, b 0, c.0. CMR: a3 a 2b

b3 b 2c

c3 c 2a

1 2 (a 3

b2

c 2 ) (ĐH Mở HN 1999)

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

9a 3 a 2b

a(a 2b)

6a 2

9b3 , b(b 2c) 6b 2 b 2c

9c 3 , c ( c 2 a ) 6c 2 c 2a

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:

a3 b3 c3 9 (a 2 b2 c 2 ) 2(ab bc ca) 6(a 2 b2 c 2 ) (*) a 2b b 2c c 2a Mặt khác trong bất đẳng thức ở bài toán trên khi cho m = 1, n = 1 thì ta có:

(a 2 b 2

c2 )

2(ab bc ca) (**)

Cộng vế với vế của (*) và (**) ta có điều phải chứng minh.

a3

Ví dụ 5: Với a 0, b 0, c 0. CMR:

b c

b3 2

c3

c a

2

a b

2

1 (a b c) 4

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

8a 3 (b c ) 2

8c 3 ( a b) 2

(b c ) (b c )

6a

( a b) ( a b)

8b3 (c a ) 2

6c

(c a ) (c a )

6b

Cộng vế với vế ta được ĐPCM

Ví dụ 6: Với a 0, b 0, c 0. CMR: a3 b c

b3 a

c a

c3 b

a b

c

1 (a 2

b

c)

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 4c 3 4b3 4a 3 2a (b c ) 6c 2c (a b) 6b , 2b (c a ) 6a , c ( a b ) a (b c ) b (c a ) a3 b3 c3 Cộng vế với vế ta được: 4 b(c a) c(a b) a(b c)

www.hsmath.net

4(a b c) 6(a b c) Suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 7: Với a 0, b 0, c 0. CMR:

a4 bc 2

b4 ca 2

c4 ab 2

www.hsmath.net

a

b

c

(ĐHBKĐN 2001)

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

4

a bc 2

b c c

4 b 4a ca 2

c a a

4b

c4 ab 2

a b b

Cộng vế với vế ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 8: Với a 0, b 0, c 0. CMR:

a3 a b b c

b3

c3

b c c a

c a a b

1 (a b c) 4

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

8a 3 (a b)(b c) 8a 3 (c a )(a b)

(a b) (b c)

6a

(c a ) ( a b )

6c

8b3 (b c)(c a )

(b c) (c a )

6b

Cộng vế với vế ta được ĐPCM

4c

a2 Ví dụ 9: Với a 0, b 0, c 0. CMR: b3

b2 c3

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

b a2

a a

Mà

b2 c3

1 b

3b

b3 a2

Suy ra

a2 b3

a3 c2

3

3

c3 b2

c2 a3

1 c

1 a

c b2

b b 3c

a3 c2

a b c

1 b3 1 a2

9 a b c

1 c3 1 b2

(Bổ đề)

1 a3 1 c2

c2 a3

9 b

a

c

c c 3c

Áp dụng bổ đề cho biểu thức:

1 b 1 a

3

2

1 c 1 b

3

2

1 a 1 c

3

2

BĐT được chứng minh

www.hsmath.net

1 b

1 c

1 a

Ví dụ 10: Nếu

Thì

a 0, b 0, c 0, a b c 3abc

bc a 3 (c 2b)

ac b3 ( a 2c)

ab c3 (b 2a)

1

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

9a 3 b 2c Và

3

a (b 2c)

3(a 2 b 2

6a

2

9c 9b3 , b(c 2a) 6b 2 , a 2b c 2a

c(a 2b) 6c 2

c 2 ) 3(ab bc ca )

9a 3 9b3 9c 3 3(a 2 b 2 c 2 ) b 2c c 2a a 2b a3 b3 c3 1 2 (a b 2 c 2 ) b 2c c 2a a 2b 3 3 3 3 1 1 1 bc ac ab a b a a 3 (c 2b) b3 (a 2c) c 3 (b 2a) 1 2 1 2 1 2 b c c a a b BĐT được chứng minh 1 1 1 1 1 1 1 1 1a b c 1 2 2 2 3 a b c 3 ab bc ca 3 abc

www.hsmath.net