Chuyen De Bat Dang Thuc Luong Giac (chuong 6)

Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng

Bất ñẳng thức lượng giác Chương 6 Hướng dẫn giải bài tập

Chương 6 :

Hướng dẫn giải bài tập 1.4.1. 3

3

Chứng minh cot A + cot B + cot

3

3 ( cot A + cot B + cot C ) C≥

9

và cot A + cot B + cot C ≥ 3

1.4.2. Xét hàm f ( x ) = sin

x với x ∈ (0 ; π ) 4

Chứng minh f ' ' ( x ) < 0 và sin

π 12

=

2− 3 2

Cuối cùng sử dụng Jensen.

1.4.3. Ta ñã có : sin A + sin B + sin C ≤

3 3 2

1 1   1 và theo AM – GM thì : (sin A + sin B + sin C ) + + ≥9  sin A sin B sin C 

1.4.4 Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : A B C 7 3 − (cos A + cos B + cos C ) + 2 sin sin sin ≥ 2 2 2 4 A B C 1 ⇔ sin sin sin ≤ 2 2 2 8

1.4.5.

The Inequalities Trigonometry

101

Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng

Bất ñẳng thức lượng giác Chương 6 Hướng dẫn giải bài tập

sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C 2 sin A sin B sin C 9 sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤ 4

Chứng minh cot A + + cot B + cot C = và

1.4.6. A B C cos cos > 0 nên bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : 2 2 2 A B C A− B B−C C−A 8 cos cos cos cos cos cos ≥ 8 sin A sin B sin C 2 2 2 2 2 2 ⇔ (sin A + sin B )(sin B + sin C )(sin C + sin A) ≥ 8 sin A sin B sin C Tiếp theo dùng AM – GM ñể chứng minh tiếp.

ðể ý cos

1.4.7. A B C ; y = tan ; z = tan ⇒ xy + yz + zx = 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Theo BCS thì : 3 x y + y z + z x ≥ ( xy + yz + zx ) 1 ⇒ x2 y2 + y2 z2 + z2 x2 ≥ (1) 3 Theo AM – GM thì : xy + yz + zx 3 2 2 2 1 ≥ x y z ⇒ xyz ≤ ⇔ 3 3 xyz ≤ 1 (2) 3 3 3 4 4 Từ (1) suy ra : 1 + x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ≥ và theo (2) có ≥ 4 3xyz 3 3 Dẫn ñến : 1 + x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ≥ 4 3 xyz

ðặt x = tan

(

)

(

)

⇔ 2 + 2 x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ≥ 8 3xyz

(

)(

)(

) ( )( )( ) ⋅ (1 − z ) ≥ 3 2 x ) (1 + z ) 1 + x

)

⇔ 1 + x 2 1 + y 2 1 + z 2 + 1 − x 2 1 − y 2 1 − z 2 ≥ 8 3 xyz ⇔ 1+

(1 − x ) ⋅ (1 − y (1 + x ) (1 + y 2

2

2

2

2

2

2

⋅

2y 2z ⋅ 2 1+ y 1+ z2

⇔ 1 + cos A cos B cos C ≥ 3 sin A sin B sin C

1.4.8. Theo AM – GM chứng minh ñược :  1 1 1   1 1 1 3  ≥ 3 + + +  + + 4  p−a p−b p−c  p−a p−b p−c p

The Inequalities Trigonometry

102

Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng

Bất ñẳng thức lượng giác Chương 6 Hướng dẫn giải bài tập

 1 1 1 3  43 3 và 3 ⇒ ñpcm. + + +  ≥ S  p−a p−b p−c p

1.4.9. & 1.4.10. 2

( )

Ta có : (2ma ) + a 3

2

(

= 2 a2 + b2 + c2 2

⇒ ama ≤ ⇒

1 ≥ ama

2

a +b +c

)

2

2 3 a + b2 + c2 2

2 3

 a 2 3a 2 ≥  a2 + b2 + c2 m ⇒ a 2 2 3ma  ma  a ≥ a 2 + b 2 + c 2 Tương tự (1) :

(1) (2)

2 3b 2 b ≥ mb a 2 + b 2 + c 2

⇒

a b c + + ≥2 3 m a mb mc

⇒

m a mb mc 3 3 + + ≥ a b c 2

2 3c 2 c ≥ 2 mc a + b 2 + c 2 Tương tự (2) : 2

mb 2 3mb ≥ 2 b a + b2 + c2 2 mc 2 3mc ≥ 2 c a + b2 + c2

1.4.11.

( p − a )(2b 2 + 2c 2 − a 2 )bc Chứng minh : ma l a = (b + c )2 4 2 ( b + c ) − a 2 (b + c ) 2 2 2 và (2b + 2c − a )bc ≥ 4

⇒ m a l a ≥ p( p − a )

Tương tự cho mb l b và mc l c rồi cộng các bất ñẳng thức lại ⇒ ñpcm.

1.4.12.

The Inequalities Trigonometry

103

Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng

Bất ñẳng thức lượng giác Chương 6 Hướng dẫn giải bài tập

1 2 1 b+c Ta có : ma < ⇒ 2 > a b+c 2 a ma 2 1 1   1  2 + 2 + 2 3 1 1 1 a b c  ≥ ⇒ ñpcm. ⇒ 2 + 2 + 2 >  a ma b mb c mc b + c c + a a + b abc + + 2 2 2

1.4.13. Theo AM – GM thì : ( p − a )( p − b ) ≤

c2 ⇒ ñpcm. 4

1.4.14. Chứng minh :

1 1 1 1 + + = rồi dùng AM – GM. ha ha ha r

1.4.15. Xét hàm f ( x ) = sin x ∀x ∈ (0 ; π ) có f ' ' ( x ) < 0 A + 3B sin A + 3 sin B Áp dụng Jensen thì : sin ≥ 4 4 sin A + 3 sin B 4 ≥ sin A sin 3 B Áp dụng AM – GM thì : 4 Từ ñó suy ra ñpcm.

2.6.1.

(

Chú ý OA + 3 OB − OC

)

2

≥ 0 với O là tâm ñường tròn ngoại tiếp ∆ABC .

2.6.2.

(

Chú ý 2OA + 3 OB + OC

)

2

≥0

2.6.3. Chú ý

(( 5 + 1)OA + OB − 2OC )

2

≥0

2.6.4. The Inequalities Trigonometry

104

Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng

Giả sử A ≥

Bất ñẳng thức lượng giác Chương 6 Hướng dẫn giải bài tập

2π 3

A B C A π A + tan + tan ≥ tan + 2 tan −  2 2 2 2 4 4 A π A Xét f ( A) = tan + 2 tan −  2 4 4  2π  Dễ thấy : f ' ' ( x ) > 0 ⇒ f (x ) ñồng biến trên  ;π  3  π  2π  mà 2 tan = 2 − 3 ⇒ f ( A) ≥ f   = 4− 3 12  3  Chứng minh : tan

2.6.5. Dễ thấy : (a + b − c ) + (b + c − a ) + (c + a − b ) = 1 4 p2 1 1 1 + 2 + 2 = = 2 2 2 2 2 2 (a + b − c )(b + c − a )(c + a − b) 4r 16S c − (a − b ) a − (b − c ) b − (c − a )

⇒ ñpcm.

2.6.6. Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : a 2 (a − b )(a − c ) + b 2 (b − c )(b − a ) + c 2 (c − a )(c − b ) ≥ 0

2.6.7. Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : (a + b − c )(b + c − a )(c + a − b ) > 0

2.6.8. Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : cot A + cot B + cot C ≥ 3

2.6.9 a ≥ b ≥ c   π Chứng minh f ( x ) = tan x tăng trên  0 ;  ⇒  A B C 2  tan 2 ≥ tan 2 ≥ tan 2 Tiếp theo sử dụng Chebyshev ⇒ ñpcm.

The Inequalities Trigonometry

105

Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng

Bất ñẳng thức lượng giác Chương 6 Hướng dẫn giải bài tập

2.6.10. Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : A B C 1 tan tan tan ≤ 2 2 2 3 3

2.6.11. Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : a 2 + b 2 + c 2 (a + b + c ) ≥ 9abc

(

)

2.6.12. 2

(

)

(

Ta có : ma = R 2 1 + 2 cos A cos(B − C ) + cos 2 A ≤ R 2 1 + 2 cos A + cos 2 A ⇒ ma ≤ R(1 + cos A) ⇒ ma + mb + mc ≤ 3R + R(cos A + cos B + cos C ) = 4 R + r

)

2.6.13. Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : A B C 1 sin sin sin ≤ 2 2 2 8

2.6.14. Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : x 2 + 2 x( y cos 2C + z cos 2 B )2 yz cos 2 A + y 2 + z 2 ≥ 0 với x = p − a , y = p − b , z = p − c Xét ∆' ⇒ ñpcm.

2.6.15. Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : A B C tan A tan B tan C ≥ cot cot cot 2 2 2 B+C C+A A+ B ⇔ tan A + tan B + tan C ≥ tan + tan + tan 2 2 2  π Xét f ( x ) = tan x ∀x ∈  0 ;   2 A + B tan A + tan B Theo Jensen thì : tan ≤ ⇒ ñpcm. 2 2

The Inequalities Trigonometry

(*)

106

Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng

Bất ñẳng thức lượng giác Chương 6 Hướng dẫn giải bài tập

Chứng minh các bất ñẳng thức sau rồi xét khi dấu bằng xảy ra : 3 3.3.1. cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A ≤ 4 3.3.2. sin 2 A + sin 2 B + sin 2C ≤ sin A + sin B + sin C 1 1 1 3 1 + + ≥ + tan A tan B tan C 3.3.3. sin 2 A sin 2 B sin 2C 2 2 2

  a2 + b2 + c2 a 2b 2 c 2  ≤ 3.3.4.  A B C  cot A + cot B + cot C  tan tan tan 2 2 2 a cos A + b cos B + c cos C 1 3.3.5. ≤ a+b+c 2 A B C 3.3.6. ma mb mc ≥ abc cos cos cos 2 2 2 A B C 3.3.7. l a lb l c ≤ abc cos cos cos 2 2 2 A B C 3.3.8. bc cot + ca cot + ab cot ≥ 12S 2 2 2 26 3 1  1  1   3.3.9. 1 + 1 + 1 +  ≥5+ 9  sin A  sin B  sin C  sin A sin B sin C 1 3.3.10. ≤ 2 (sin A + sin B + sin C ) 6 3

The Inequalities Trigonometry

107