Chuyen De Bat Dang Thuc

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc

BÊt ®¼ng thøc , bÊt ph¬ng tr×nh ,cùc trÞ ®¹i sè - BÊt ®¼ng thøc 1. KiÕn thøc cÇn nhí a) §Þnh nghÜa : Cho hai sè a vµ b ta cã a > b  a – b > 0 b) Mét sè bÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n : 01) C¸c bÊt ®¼ng thøc vÒ luü thõa vµ c¨n thøc : A2 n  0n  ¥ víi A lµ mét biÓu thøc bÊt kú , dÊu b»ng x¶y ra khi A =0 2n A  0 ; A  0; n  ¥ ; dÊu b»ng x¶y ra khi A = 0 A  B  A  B Víi A  0; B  0 dÊu b»ng x¶y ra khi cã Ýt nhÊt 1 trong hai sè b»ng kh«ng A  B  A  B víi A  B  o dÊu b»ng x¶y ra khi B = 0 02) C¸c bÊt ®¼ng thøcvÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi A  0 Víi A bÊt kú , dÊu b»ng x¶y ra khi A = 0 A  B  A  B dÊu b»ng x¶y ra khi A vµ cïng dÊu A  B  A  B DÊu b»ng x¶y ra khi A vµ B cïng dÊu vµ A> B 03) BÊt ®¼ng thøc Cauchy ( C«si ) : a  a  ...  an - Cho c¸c sè a1 , a2 ,..., an  0  n a1a2 ...an  1 2 n ( Trung b×nh nh©n cña n sè kh«ng ©m kh«ng lín h¬n trung b×nh céng cña chóng ) DÊu b»ng x¶y ra khi a1  a2  ...  an - BÊt ®¼ng thøc C«si cho hai sè cã thÓ ph¸t biÓu díi c¸c d¹ng sau : ab  ab Víi a vµ b lµ c¸c sè kh«ng ©m 2 2 Víi a vµ b lµ c¸c sè bÊt kú  a  b   4ab

 a  b 

2

Víi a vµ b lµ c¸c sè bÊt kú 2 DÊu b»ng x¶y ra khi a = b 04) BÊt ®¼ng thøc Bunhiacopsky (Cßn gäi lµ bÊt ®¼ng thøc C«si – Svac ) : - Cho hai bé c¸c sè thùc: a1 , a2 ,..., an vµ b1 , b2 ,..., bn . a b 2

2

Khi ®ã :

 a1b1  a2b2  ...  anbn 

2





 a12  a22  ...  an2 b12  b22  ...  bn2



DÊu b»ng x¶y ra khi : a a1 a2   ...  n víi ai , bi kh¸c 0 vµ nÕu ai  0 th× bi t¬ng øng còng - HoÆc b1 b2 bn b»ng 0 - HoÆc cã mét bé trong hai bé trªn gåm toµn sè kh«ng - BÊt ®¼ng thøc C«si – Svac cho hai cÆp sè : 2  ax  by   a 2  b 2 x 2  y 2 DÊu b»ng x¶y ra khi ay = bx







1 1  2 Víi x > 0 ; x   2 Víi x < 0 x x c) C¸c tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc : 01) TÝnh chÊt b¾c cÇu : NÕu a > b vµ b > c th× a > c 05) BÊt ®¼ng thøc x 

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n 02 ) TÝnh chÊt liªn quan ®Ðn phÐp céng : Céng hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc víi cïng mét sè : NÕu a> b th× a +c > b+ c Céng hai bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu : NÕu a > b vµ c > d th× a+c > b +d 03 ) Trõ hai bÊt ®¼ng thøc ngîc chiÒu : NÕu a > b vµ c < d th× a – c > b – d 04 ) C¸c tÝnh chÊt liªn quan ®Õn phÐp nh©n : - Nh©n 2 vÕ cña bÊt ®¼ng thøc víi mét sè NÕu a >b vµ c > 0 th× ac > bc NÕu a > b vµ c < 0 th× ac < bc - Nh©n 2 bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu NÕu a > b >0 vµ c > d > 0 th× ac > bd NÕu a < b < 0 vµ c < d < 0 th× ac > bd - Luü thõa hai vÕ cña mét bÊt ®¼ng thøc : Víi mäi n  ¥ a  b  a 2 n 1  b 2 n 1 2n 2n Víi mäi n  ¥ ab0 a b 2n 2n Víi mäi n  ¥ ab0a b n m 0 < a < 1 a a Víi n > m n m a > 1 a a Víi n > m 2. Mét sè ®iÓm cÇn lu ý : - Khi thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi trong chøng minh bÊt ®¼ng thøc , kh«ng ®îc trõ hai bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu hoÆc nh©n chóng khi cha biÕt râ dÊu cña hai vÕ . ChØ ®îc phÐp nh©n hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc víi cïng mét biÓu thøc khi ta biÕt râ dÊu cña biÓu thøc ®ã - Cho mét sè h÷u h¹n c¸c sè thùc th× trong ®ã bao giê ta còng chän ra ®îc sè lín nhÊt vµ sè nhá nhÊt . TÝnh chÊt nµy ®îc dïng ®Ó s¾p thø tù c¸c Èn trong viÖcchøng minh mét bÊt ®¼ng thøc 3. Mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc: 3.1. Sö dông c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña bÊt ®¼ng thøc 3x 2  4 x  11 VÝ dô 1: Chøng minh r»ng víi mäi sè thøc x th× : 2 x2  x  1 Gi¶i : 2

1 3  Ta cã : x 2  x  1   x     0 Víi mäi x 2 4  2 3x  4 x  11 2 2 2 2 Do vËy :  2  3x  4 x  11  2  x  x  1  3x  4 x  11  2 x  2 x  2 2 x  x 1 2  x 2  6 x  9  0   x  3  0 §óng víi mäi x DÊu b»ng x¶y ra khi x = -3 VÝ dô 2 : Cho a, b  ¡ vµ a+b  0 . Chøng minh r»ng Gi¶i :

a 5  b5  a2b2 ab

a 5  b5  a 2 b 2  a  b  a b a b 2 2 2 2 a b  a b 0 M  0 ab ab ab XÐt tö cña M : a 5  b 5  a 3 b 2  a 2 b 3   a 5  a 2 b 3    a 3 b 2  b 5   a 2  a 3  b3   b 2  a 3  b 3  

Ta cã :

5

5

5

5

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc

a

3

 b3   a 2  b 2    a  b   a 2  ab  b 2   a  b   a  b  

  a  b  a  b

2

1 2  3 2 2    a  ab  4 b   4 b    a  b   a  b       

2

1  3 2  a  b  b  2  4   

2

2 1  3 2 2   a  b a  b    V× a+b 0 nªn M=    b  > 0 do a, b kh«ng thÓ ®ång thêi 2  4    b»ng 0

3.2. Ph¬ng ph¸p ph¶n chøng:  abc  0   ab  ac  bc  0 .  abc  0 

VÝ dô 3: Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n

Chøng minh r»ng c¶ ba sè ®ã ®Òu d¬ng Gi¶i - Gi¶ sö cã mét sè kh«ng d¬ng: a  0 Tõ abc > 0 ta cã: bc < 0 (* ) Tõ a+b+c >0 ta cã: b+c>-a>0 Tõ ab +bc+ac >0 ta cã: bc + a(b + c) > 0  bc > - a (b + c) > 0 Ta cã (*) vµ (**) m©u thuÉn nhau  ®pcm. 3.3. Ph¬ng ph¸p sö dông c¸c bÊt ®¼ng thøc c¬ b¶n:

VÝ dô 4: Chøng minh r»ng: Víi x, y > 0. Ta cã :

(**)

( 1 + x) (1 + y)  (1 +

xy

)2 Gi¶i C¸ch 1 : ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopsky ta cã : (1  x )(1  y )   12   C¸ch 2 :

 x

2

  12    

 y



  1  xy 

2





2

Theo bÊt ®¼ng thøc Cosi ta cã:

2 xy x y   1 x 1 y (1  x)(1  y ) 1 1 1  2 1 x 1 y (1  x )(1  y ) 2

2 xy  1 (1  x)(1  y )



xy  1 (1  x)(1  y )



 1  (1  xy  (1  x)(1  y )  (1  x )(1  y )  1  xy

DÊu b»ng x¶y ra khi x = y VÝ dô 5 : Cho a, b  ¡ vµ 3a + 4 = 5 . Chøng minh r»ng a 2  b 2  1 Gi¶i : C¸ch 1 : ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxky ta cã : 52   3a  4b    32  42   a 2  b 2   a 2  b 2  1 2



2

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc 3  a  3a  4b  5    5  DÊu b»ng x¶y ra khi :  a b  3  4  b4 5  C¸ch 2 : Tõ 3a +4b = 5 ta cã a=

5  4b 3

2

 5  4b  2 2 2 VËy a  b  1     b  1  25  40b  16b  9b  9 3   2

2

 25b 2  40b  16  0   5b  4   0 2

§óng víi mäi x

VÝ dô 6 : Chøng minh r»ng víi mäi gãc nhän x ta cã : a ) sin x + cosx 

1 2

b) tgx + cotgx  2 Gi¶i : a) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cosi cho hai sè d¬ng ta cã : sin x + cosx 

sin 2 x  cos 2 x 1  2 2

DÊu b»ng x¶y ra khi sinx = cosx hay x = 450 b ) V× tgx , cotgx >0 . ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cosi cho hai sè ta cã ; tgx + cotgx  2 tgx.cot gx  2 ( V× tgx . cotgx = 1 ) DÊu b»ng x¶y ra khi tgx = cotgx hay x= 450 VÝ dô 7 : Cho a  4 . Chøng minh r»ng : a 

1 17  a 4

Gi¶i : Ta cã : a 

1 a 1 15a    a 16 a 16

¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cosicho hai sè d¬ng

a 1 vµ ta cã : 16 a

a 1 a 1 1 1  2 . 2  16 a 16 a 16 2 Mµ : a  4  VËy a 

15a 15 15  .4  16 16 4

1 17  DÊu b»ng x¶y ra khi a = 4 a 4

VÝ dô 8 : Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc x , y ta cã : 5 x 2  2 y 2  2 xy  4 x  6 y  10

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc Gi¶i :

BÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh t¬ng ®¬ng víi : 5 x 2  2 y 2  2 xy  4 x  6 y  10

  4 x 2  4 x  1   y 2  6 y  9    x 2  2 xy  y 2   0   2 x  1   y  3   x  y   0 2

2

2

§iÒu nµy ®óng v×  2 x  1  0;  y  3  0;  x  y   0 2

2

2

vµ kh«ng ®ång thêi x¶y ra (2x-1)2 = (y-3)2 = (x-y)2 = 0 3.4. Ph¬ng ph¸p sö dông ®iÒu kiÖn cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : VÝ dô9 : Chøng minh r»ng nÕu ph¬ng tr×nh: 2x2 + (x + a)2 + (x + b)2 = c2 Cã nghiÖm th× 4c2  3(a + b)2 – 8ab Gi¶i Ta cã : 2 x 2   x  a    x  b   c 2  4 x 2  2  a  b  x  a 2  b 2  c 2  0 2

2

§Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th× :





 '  0   a  b   4(a 2  b 2  c 2 )  0  4c 2  3 a 2  b 2  2ab  4c 2  3  a  b   8ab 2

3.5. Ph¬ng ph¸p lµm tréi: VÝ dô10 : Chøng minh víi n  N* th×: 1 1 1 1   ...   n 1 n  2 2n 2 Gi¶i Ta cã:

1 1 1   n  1 n  n 2n 1 1  n  2 2n

+

…………………. 1 1  2n  1 2n 1 1  2n 2n 1 1 1 1 1    ...   n.  n 1 n  2 2n 2 2

4. C¸c bµi tËp tù luyÖn :

2

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n Bµi 1: Trong tam gi¸c vu«ng ABC cã c¹nh huyÒn b»ng 1 , hai c¹nh gãc vu«ng lµ b vµ c. Chøng minh r»ng : b3 + c3 < 1 Bµi 2 : Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc sau : a)

7 x 2  15 x  12  3 Víi mäi x x2  x  1

3 3 b ) NÕu a + b < 0 th× a  b  ab  a  b 

c ) NÕu x3+y3 = -2 th× 2  x  y  0 d ) NÕu x3+y3 = 16 th× 0 < x +y  4 Bµi 3 : Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc sau : a ) NÕu a2 +b2 = 13 th× a2 +b2  2a +3b 2 2 b) 5  x  y   4  x  y   2  xy  1  0 Víi mäi x , y  ¡

Bµi 4: a) Cho hai sè thùc d¬ng a vµ b . Chøng minh r»ng :

1 1 4   a b ab

b) Cho 0 < x < 2 vµ x  1 . Chøng minh r»ng : 1

 x  1

2



1  4  x2 x  2  x a

Bµi 5: a ) Cho a > b > 0 . Chøng minh r»ng b ) ¸p dông so s¸nh

2007  2006 vµ

ab  ab 2

2006  2005

Híng dÉn gi¶i : Bµi 1 : Theo ®Þnh lý Pitago ta cã 1 = b2 + c2 vµ 1> b; 1 > c VËy 1= b2 + c2 > b3 + c3 

2

1 3 Bµi 2 : a) Ta cã : V× x - x +1 =  x     0 víi mäi x 2 4  2

Nªn

7 x 2  15 x  12  3  7 x 2  15 x  12  3 x 2  3x  3 2 x  x 1  4 x 2  12 x  9  0   2 x  3  0 ( §óng ) 2

DÊu b»ng x¶y ra khi x =

b ) Ta cã :

3 2

a 3  b3  ab  a  b    a  b   a 2  ab  b 2   ab  a  b    a  b   a 2  2ab  b 2   0   a  b   a  b   0

§óng v× a +b < 0 vµ a+b2  0

2

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc

3 3 2 2 c) Ta cã 2  x  y   x  y   x  xy  y  2

y 3 Mµ x  xy  y   x    y 2  0 Nªn x + y < 0 2 4  2

2



 x  y   0  x 2  xy  y 2  xy   x  y   x 2  xy  y 2   xy  x  y   y  x  y   2  3 xy  x  y   6 3  x 3  y 3  3 xy  x  y   8   x  y   8  x  y  2 2

MÆt kh¸c :

DÊu b»ng x¶y ra khi x = y = -1 d) T¬ng tù c©u c Bµi 3 : a) ¸p dông bÊt d¼ng thøc Bunhiacopxky ta cã :

 2a  3b 

2

  a 2  b 2   22  32   13  a 2  b 2    a 2  b 2 

2

 2a  3b  a 2  b 2  2a  3b  a 2  b 2 DÊu b»ng x¶y ra khi a = 2 ; b = 3 b) Ta cã : 5  x 2  y 2   4  x  y   2  xy  1  0

  4 x 2  4 x  1   4 y 2  4 y  1   x 2  2 xy  y 2   0   2 x  1   2 y  1   x  y   0 2

2

2

§iÒu nµy lu«n lu«n ®óng. DÊu b»ng x¶y ra khi x 

1 1 ;y  2 2

1 1 4 ab 4     (*) a b ab ab ab 2 V× a,b > 0; a+b > 0 nªn: (*)   a  b   4ab ( BÊt ®¼ng thøc Cosi cho 2 sè ) Bµi 4: a ) Ta cã:

1 1 4   víi mäi a , b > 0 a b ab b) §Æt (x-1)2 = t th× t > 0 vµ x(2-x) = -x2+2x = 1-(x-1)2 = 1-t V× 0 < x < 2 nªn 1-t > 0 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc ë c©u (a) cho hai sè d¬ng t vµ 1-t ta ®îc 1 1 1 1 4     4 2  x  1 x  2  x  t 1  t t  1  t VËy

Mµ 4 - x2 < 4 do 0 < x < 2. 1 1   4  x2 VËy: 2  x  1 x  2  x  ab  ab  2 a  ab  ab 2 B×nh ph¬ng hai vÕ cña bÊt ®¼ng thøc ta ®îc: 4a  2a  2 a 2  b 2  a  a 2  b 2  a 2  a 2  b 2  0  b 2 §óng b) ¸p dông c©u a víi a = 2006 vµ b = 1 ta cã: 2 2006  2007  2005  2006  2005  2007  2006 Bµi 5: a) Ta cã

a

V.2. Gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt Cña biÓu thøc : 1. KiÕn thøc cÇn nhí : Cho c¸c biÓu thøc A vµ B

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n - NÕu A  a trong ®ã a lµ mét gi¸ trÞ cña biÓu thøc A Th× a ®îc gäi lµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña A (GTLN cña A ) , ®îc ký hiÖu lµ MaxA hay AMax -

NÕu B  b trong ®ã b lµ mét gi¸ trÞ cña B

Th×

b ®îc gäi lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B (GTNN cña B ),®îc ký hiÖu lµ Min B

hay BMin - C¸c c¸ch biÕn ®æi thêng dïng ®Ó t×m GTLN vµ GTNN. C¸ch 1: C¸ch 2:

a) T×m GTLN:

f(x)  g(x)  a

b) T×m GTNN:

f(x)  g(x)  a

a) T×m GTLN:

f(x) = h(x) + g(x)

(h(x)  0; g(x)  a)

b) T×m GTNN:

f(x) = h(x) + g(x)

(h(x)  0; g(x)  a)

Víi biÓu thøc nhÒu biÕn cã c¸ch lµm t¬ng tù 2. Mét sè diÓm cÇn lu ý : - Khi t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc . NÕu biÕn lÊy gi¸ trÞ trªn toµn tËp ¡ th× vÊn ®Ò ®· kh«ng ®¬n gi¶n . Khi biÕn trong biÓu thøc chØ lÊy gi¸ trÞ trong ¤ , ¢ , ¥ hoÆc mét kho¶ng gi¸ trÞ nµo ®ã th× vÊn ®Ò cµng phøc t¹p vµ dÔ m¾c sai lÇm . - Mét sai lÇm thêng m¾c ph¶i ®ã lµ khi biÕn ®æi c¸c biÓu thøc theo c¸ch 1 hoÆc c¸ch 2 . Ta kÕt luËn gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc lµ a nhng dÊu b»ng kh«ng x¶y ra ®ång thêi VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : P = 4x2+ y2+2xy+3x+5 Lêi gi¶i 1 : P  x 2  2 xy  y 2  2 x 2  4 x  2  x 2  x  3   x  y   2  x  1  x 2  x  3  x 2  x  3 Víi mäi x 2

2

1 11 11 Mµ x  x  3   x     2 4 4  2

Nªn Min P =



2

11 1 1 khi x = vµ x +y = 0 nªn y = 4 2 2

Ta thÊy lêi gi¶i nµy sai lÇm ë chç dÊu b»ng kh«ng x¶y ra ®ång thêi . Khi x = th× (x-1)2  0 Lêi gi¶i 2 : Ta cã 2

1  17 1 17 17 2   P  x 2  2 xy  y 2  3  x 2  x     x  y   3  x     4 4 2 4 4  

1 2

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc 1  x  x y 0  17   2  VËy Min P = Khi  1 4  x  2  0  y1 2 

VÝ dô 2 : Cho a  2 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = a 

1 a

Lêi gi¶i 1 : Theo bÊt ®¼ng thøc Cosi cho hai sè d¬ng ta cã P  a 

1 1  2 a.  2 a a

VËy P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 2 Lêi gi¶i nµy sai lÇm ë chç P  2  a  1 kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a  2 Lêi gi¶i 2 : Ta cã P  a 

1 a 1 3 a 1 3 3 7    a  2 .  a  2 a  a 4 a 4 4 a 4 4 2

VËy Min P =

7 khi a = 2 2

3. Bµi tËp vÝ dô : -VÒ b¶n chÊt bµi to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc vµ bµi to¸n chøng minh bÊt ®¼ng thøc cã thÓ coi lµ t¬ng ®¬ng nhau . Bµi to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc nÕu ta ph¸n ®o¸n ®îc kÕt qu¶ th× bµi to¸n trë thµnh chøng minh bÊt ®¼ng thøc VÝ dô 3: Cho x, y, z  R tho¶ m·n x2 + y2 + z2 = 1 T×m GTLN cña P = x  2 y  3 z Gi¶i: Theo bÊt ®¼ng thøc Cosi – Bunhiacopxki ta cã: P2 = ( x + 2y + 3z)2  (12 + 22 + 32) (x2 + y2 + z2) = 14 Nªn P  14 DÊu = x¶y ra khi: 

  x y z        1 2 3  x2  y2  z 2  1   

1 x2   14 x2 y2 z2    4    y2  1 4 9 14  x2  y2  z2  1  2 9  z  14 

 14 2 14 3 14   (1) ; ; VËy (x, y, z) =  14 14   14  14 2 14 3 14  ; ; HoÆc (x, y, z) =   (2) 14 14 14   

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc VËy Pmax =



  

 14 2 14 3 14   hoÆc (x, y, z) = ; ; khi (x, y, z) =   14 14 14  

14

14 2 14 3 14  ; ;  14 14 14   a b  1 x y

VÝ dô 4: Cho a, b, x, y lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : a) P = xy;

b) Q = x + y Gi¶i:

a) Theo bÊt ®¼ng thøc Cauchy ta cã: 2

ab a b    1  xy  4ab xy x y  x  2a a b 1    x y 2  y  2b

VËy Pmin = 4ab khi

  a b b) Ta cã:   ( x  y )     x y 

a b   x y 





2

x  y  

 

 a b . x . y   x y 



(BÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxki) VËy : Q = x+ y  Qmin = VÝ dô 5:







a b



2

2

a  b khi x = a  ab ; y  b  ab T×m GTLN cña P =

x ( x  a) 2 Gi¶i

§iÒu kiÖn : x  a Ta cã: Víi x = 0 => P = 0 Víi x  0 ta cã: P =

x  x = P(x + a)2 ( x  a) 2

 px2 + 2 apx + pa2 = x  px2 + (2ap – 1) x + a2 = 0 §Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th×: 2 2   0  (2ap – 1) – 4pa  0

<=> 4a2p2 – 4ap + 1 – 4a2p  0 <=> 4a2p2 – 4a (a + 1)p + 1  0

a b



2

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh bËc 2 thu ®îc P1  P  P2 4. Bµi tËp tù luyÖn : Bµi 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau: a) A = x2 - 6x +1 b) B = 10x2+5y2- 4x - 6y -12xy +2020 x 2x  1  2x  1 x

c) C =

3x  5 y  2

d ) D = 3x2+5y2 víi

Bµi 2 : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau: a) M = - x2 + 4x + 7 b ) N = 2003 -2x2 - 8y2 +2x + 4xy + 4y c) P = ( x+1 ) (2 - x ) Bµi 3: T×m gi¸ tri lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P =

3x  1 x2  1

Gi¶i: Bµi 1: a) A= (x-3)2 -8 nªn min A = 8 khi x = 3 b) B = ( x-2)2 +(y - 3)2 +(3x -2y)2 +2007 Nªn Min B = 2007 Khi x = 3; y =2 1 c) §iÒu kiÖn: x <  ; x > 0 (*). ¸p dông bÊt d¼ng thøc Cosi cho hai sè d¬ng 2 ta cã: C

x 2x  1  2 2x  1 x

VËy MinC = 2 khi

x 2x  1 2 2x  1 x

x  2x  1

 x  1 2x  1 2 2 2  x   2 x  1  3 x  4 x  1  0    x  1 x 3 

®èi chiÕu víi (*) ta ®îc x =-1 c) Tõ

3x  5 y  2  3 x  5 y  2

Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxky ta cã:





3 x.1  5 y.1   3 x 2  5 y 2   1  1  3 x 2  5 y 2  2 2

VËy MinD = 2 khi x=

1 3

vµ y = 

1 5

Bµi 2: a) M = 11 - (x - 2)2 Nªn MaxM = 11 khi x = 2 b) N = 2005 - (x -1 )2 -(2y+1)2-(x-2y)2 Nªn MaxN = 2005 khi x = 1; y = -

1 2

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc 2

9  x 1 2  x    2 4  

c ) P = ( x+1 ) (2 - x )   VËy MaxP = Bµi 3: Ta cã: P =

( BÊt ®¼ng thøc Cosi )

9 1 khi x = 4 2

3x  1  P  x 2  1  3x  1  Px 2  3x  P  1  0 (* ) 2 x 1

Ta thÊy P = 0 khi x =

1 3

Víi P  0 th× gi¸ trÞ cña P ph¶i tho¶ m·n cho ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm víi x §iÒu nµy t¬ng ®¬ng víi:   32  4 P  P  1  0  4 P 2  4 P  9  0   2 P  1  10 2

  10  2 P  1  10   VËy MaxP = MinP = -

10  1 10  1 P 2 2

10  1 khi x = 2

10  1 3

10  1 1  10 khi x = 2 3

V.3. BÊt ph¬ng tr×nh 1. KiÕn thøc cÇn nhí : - BÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt : ax +b = 0 ( a  0 ) + NÕu a > 0 bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x  

b a

+ NÕu a <0 bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x  

b a

T¬ng tù cho bÊt ph¬ng tr×nh ax + b < 0 * Ta cã thÓ nhí c¸ch lÊy nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt theo qui t¾c " Lín cïng bÐ kh¸c " . NghÜa lµ nhÞ thøc bËc nhÊt f(x) = ax +b Khi x >  kh¸c dÊu

( a  0 ) cã nghiÖm x = 

b . a

b b th× f(x) vµ hÖ sè a cïng dÊu , khi x <  th× f(x) vµ hÖ sè a a a

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc   A( x)  0     B( x)  0

- BÊt ph¬ng tr×nh tÝch : A(x)B(x) > 0    A( x)  0     B ( x )  0

  A( x)  0     B( x)  0

; A(x)B(x) < 0    A( x)  0     B ( x )  0

trong ®ã A(x) vµ B(x) lµ c¸c biÓu thøc cña biÕn x - BÊt ph¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi : Ta lµm mÊt dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®ãi ®Ó gi¶i b»ng c¸ch xÐt kho¶ng gi¸ trÞ cña biÕn hoÆc b×nh ph¬ng hai vÕ cña bÊt ph¬ng tr×nh  B ( x)  0  B ( x )  0  A( x)  B ( x)    B ( x)  0 ; A( x)  B ( x)   2 2   A( x )    B ( x)     A( x)  2   B ( x)  2   - BÊt ph¬ng tr×nh v« tû :   A( x )  0     B( x)  0

A( x)  B ( x)  

 A( x)  0  A( x)  B ( x)   B ( x)  0  A( x)  B ( x) 

 B( x)  0     A( x )   B ( x)  2 

;

 A( x )  0  A( x)  B ( x)   B ( x )  0  A( x )  ( B ( x)) 2 

2. Bµi tËp vÝ dô : VÝ dô 1: Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau : a) -3(x+2) +2(x-1)  4x -3 b)  m  1 x  2m  x  1 2

Gi¶i a) Ta cã : -3(x+2) +2(x-1) 4x -3  3 x  6  2 x  1  4 x  3   x  4 x  3  7 4  5 x  4  x   5 2 b ) Ta cã :  m  1 x  2m  x  1   m  2m  1 x  2mx  2m 2

  m 2  1 x  2m V× m 2  1  0 víi mäi m nªn bÊt ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x  VÝ dô 2 : Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh : a) x 2  5 x  6  0

2m m2  1

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc b)  x 2  4 x  3  0 Gi¶i

2 2 a)Tacã : x  5 x  6  0  x  2 x  3x  6  0  x  x  2   3  x  2   0   x  2   x  3  0



  x20     x3 0   x20     x  3  0



  x2     x3   x2     x  3

 x3  x2



2 2 b) Tacã :  x  4 x  3  0   x  x  3 x  3  0   x  x  1  3  x  1  0

  x  1  3  x   0 

  x 1  0     3 x  0   x 1  0     3  x  0



  x 1     x3   x 1     x  3

1 x  3

Chó ý : - Ta cã thÓ kÕt hîp nghiÖm trªn trôc sè - Ta cã thÓ so s¸nh A(x) vµ B(x) trong bÊt ph¬ng tr×nh tÝch ®Ó gi¶i nhanh h¬n : VÝ dô :  x  1  3  x   0   x  1  x  3  0 do x-1 > x-3  x 1  0  x 1  1 x  3  x3 0  x3

nªn chØ x¶y ra 

VÝ dô 3 : Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh : a)

x 2  3x  2  x  2

b) 3x  2  2 x  1 Gi¶i:

a) Ta cã :



  x 2  3x  2  0     x 1  0

x 2  3x  2  x  1  

x 1  0    2 2   x  3 x  2   x  1

  x 1  0     x20   x 1     x  1

   x  1  x  2   0     x  1  0    x  1   x 2  3 x  2  x 2  2 x  1

x2

Chó ý : Tr¸nh biÕn ®æi sai lÇm nh sau : x 2  3x  2  x  1 

 x  1  x  2 

 x  2  x  1  1  0



 x  1

2



x  2  x 1

KÕt luËn ph¬ng tr×nh v« nghiÖm

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc b) C¸ch 1 : 

 3x  1  0

Ta cã : 2 x  1  3 x  1  

  2 x  1   3 x  1 2

1 3 2 4 x  4 x  1  9 x 2  12 x  1

 x

2

  





 x 



1 3



 5 x 2  16 x  0 

 



1 x  1 3 x  1 3   x0 x 3   x  5 x  16   0 16   x 5  

C¸ch 2 : NghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh ®· cho nÕu cã ph¶i tho¶ m·n : 3x-1 0 x

1 (1) 3

XÐt 2x+1  0  x  

1 (2) 2

BÊt ph¬ng tr×nh trë thµnh : 2 x  1  3x  1   x  2  x  2 KÕt hîp víi (1) vµ (2) ta cã x 

1 lµ nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh ®· cho 3

1 (3) 2 BÊt ph¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh : 2 x  1  3 x  1  5 x  0  x  0 Kh«ng tho¶ m·n (3) 1 VËy bÊt ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x  3 3. Bµi tËp tù luyÖn : Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau Bµi 1 : a) 2  3 x  1  3  x  2   5  1  2 x   4 XÐt 2x +1 < 0  x  

b)  m  2 

2

 x  1  4m  3  x 

c) 6 x 2  7 x  2  0 d ) 9 x 2  18 x  5  0 Bµi 2 : a) x  2  2 x  1 b) 1  2 x  1  3 x  5 c)

x 2  5x  6  3x  2

d)

x 2  3x  2  2 x 2  5 x  3

e)

3x 2  2 x  1  x  1 Bµi 3: a) x  6 x  8  0 2x x  0 b) 2x  1 x  2 Gi¶i:

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n 5 1 16m  m 2  4 Bµi 1: a) x  ; b)x  ; c)  x  1 ; d) 2 13 5 m 4  x 1   x1 3  1 1    x 2  x2  2x  1  0    1      x 1 1 Bµi 2: a) x  2  2 x  1    2 x  1  0  x   x   2 2 2 2      x  2    2 x  1     2  1  x 1     3 x  3  0  x  2  0

b) Ta cã: 1  2 x  1  3 x  5  2 x  1  3 x  6  

  2 x  2    3 x  6 

 x  2     3 x  6  2 x  2   3x  6  2 x  2   0 



x 2  5x  6  3x  2  

3x  2  0    2 2   x  5 x  6   3 x  2 

  x  2; x  3     x2   3 2  x 3   x   2 (*)   3   8 x 2  17 x  10  0   +10 v« nghiÖm ) d)

2

 x2  x2  x4    x4  x  4   5x  8  0   8 x   5

  x2  5x  6  0     3x  2  0

c) Ta cã:

2

   x  2   x  3  0     x2   3    x 2   3   2 2   x  5 x  6  9 x  12 x  4

( HÖ (*) v« nghiÖm do bÊt ph¬ng tr×nh 8x2-17x

x 2  3x  2  2 x 2  5 x  3

  x 1    Ta cã: x  3x  2  2 x  5 x  3   2   x2 2  x  3 x  2  2 x  5 x  3  2  x  8x  1  0   x 1    x  4  15   x2     x  4  15  x  4  15   x  4  15   2

2

 x 2  3 x  2  0

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc e) Ta cã:

  x  1     x1 x  1 3 x  1  0      3 x  1   x   1  x2  1    1  x  1

  3x 2  2 x  1  0   3x 2  2 x  1  x  1   x  1  0   3x 2  2 x  1  x 2  2 x  1    Bµi 3:

a) §iÒu kiÖn x  0 Ta cã: x  6 x  8  0 



x 2



 x  1  1   x 1  3



x  4  0  2  x  4  4  x  16

b) Ta cã: 2 x( x  2)  x  2 x  1 2x x 3x  0 0  0  x  x  2   2 x  1  0 (*) 2x  1 x  2  x  2   2 x  1  x  2   2 x  1 Ta cã thÓ lËp b¶ng xÐt dÊu hoÆc xÕt tõng kho¶ng gi¸ trÞ ®Ó gi¶i 1 - Víi x > 0 th× (*)   x  2   2 x  1  0  2  x   kh«ng tho¶ m·n x > 0 2  x  2 -Víi x < 0 th× (*)   x  2   2 x  1  0   kÐt hîp víi x < 0 ta ®îc  x  1  2 x   2   1   x0  2

D. Mét sè bµi tËp n©ng cao : Bµi 1: Cho x  2 ; y  2 Chøng minh r»ng: (x + y) (x2 + y2)  x5 + y5 Bµi 2:

Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng:

a b c 3 a b c       2 2 2 2 bc ca ab 1 a 1 b 1 c Bµi 3: Chøng minh r»ng: 1 3(1  2 ) Bµi 4: 

1 5( 2  3 )



1 7( 3  4 )

 ... 

1 4003( 2001  2002)



2001 4006

Cho a, b, c > 0; a + b + c = 6. Chøng minh r»ng:

 1 



1  1 1 729 1 3   a  3   3   512 a  b  c 

Bµi 5: Cho abc = 1; a3 > 36, Chøng minh r»ng:

a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca 3

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n Bµi 6 : Chøng minh r»ng . NÕu x, y, z  0 th× x(x - y) (x - z) + y(y - z) (y - x) + z (z - x) (z - y)  0 Bµi 7: Cho a, b, c  [0;2] cã a + b + c = 3. CMR: a2 + b2 + c2 < 5 Bµi 8: Cho c¸c sè thùc d¬ng a , b , c tho¶ m·n abc = 1. ab bc ca  5  5 Chøng minh r»ng : 5 < 1 5 5 5 a b c b  c  bc c  a 5  ac Bµi 9: CMR. nÕu x, y  ¢ 

th× mét trong hai bÊt ®¼ng thøc sau lµ sai:

1 1  1 1  1 1  1  2   vµ ≥  2 2  2 x( x  y ) y  5  x 5 x  x  y Bµi 10: Cho a, b, c > 0 vµ abc = 1. Chøng minh r»ng: 1 ≥ xy

ba a



ca b



ab c



  

 a  b  c 3

Bµi 11: Chøng minh r»ng: Mäi a, b, c, d, p, q > 0 ta cã: 1 1 1 p  q' pq pq      a b c pa  qb pb  qc pc  qa

Bµi 12 : Cho x, y thay ®æi sao cho 0  x  3; 0  y  4 T×m Max cña P = (3 – x) ( 4 – y) (2x + 3y) Bµi 13: T×m GTLN vµ GTNN cña xy víi x, y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x4 + y4 – 3 = xy (1 – 2xy) Bµi 14: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh:

 x  1  x  2   x  3  x  4   3  0

Híng dÉn gi¶i Bµi 1: V× x  2 ; y  2 => x2 + y2  4 => => 2.

x  y x2  y2 x  y  . 2 2 2

=> 2.

x  y x3  y3  2 2

(

x2  y2 2 2

)

=> 2.( x + y ) ( x 2 + y 2 ) 2 ≤ x 3 + y 3 ( x 2 + y 2 ) ≤ x 5 + y 5 Bµi 2:

Ta cã :

a 1 a b c 3 ≤ + + ≤ T¬ng tù cho b , c ta ®îc 2 2 2 2 2 1+ a 1+ b 1+ c 2 1+ a

DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c = 1

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n a b c 3 1 1  9  1 + + ≥ <=> (a + b + c)  + + * MÆt kh¸c : ≥ b+c a+c a+b 2 b+c a+c a+b 2 §Æt a+b= x ; b+c =y ; c+a = z ta cã

( x + y + z )  1 + 1 + 1  ≥ 9 <=> ( x − y ) 2 + ( y − z ) 2 + ( z − x) 2 ≥ 0 x

Bµi 3: XÐt

y

z

2

( §óng )

1 ( n +1 − n ) n +1 − n 1  1 1  = < =  −  (2n + 1)( n + n + 1) n +1  4n 2 + 4n + 1 2 n(n + 1) 2  n 1 1 1 1 1 1  1 1     ...     1 VËy S n   1    2 3 3 5 n n  2 n 1 

2S n  1 

2 4n  4

 1

2 n  4n  4 2

 1

2 n  S n  n2 2(n  2)

víi n = 2001 ta cã: 2 S 2001  1 

2 2001 2001   S 2001  2003 2003 4006

1  1  1  Bµi 4: §Æt A =  1  3   1  3   1  3  a  b  c   1 1  1 1 1  1  1  3  3   3 3  3 3  3 3   3 3 3 3 b c   a b b c a c  ab c  a

Ta cã A = 1   A  1

3 3 1 1    2 2 2  3 3 3   1  abc a b c abc  a b c 

3

( BÊt ®¼ng thøc Cosicho 3 sè d¬ng ) 3

1 1  abc     8  abc  8  3 abc 8  

Theo bÊt ®¼ng thøc cosi: abc   1  VËy A   1   8 

3



729 512

(DÊu b»ng x¶y ra: a = b = c = 2)

a3  b 2  c 2  ab  bc  ac 3

Bµi 5 : Ta cã : <=>

a2 + b2 + c2 – a(b+c) – bc > 0 3

<=>

a2 + (b + c)2 – a(b+c) – 3bc > 0 3

Thay bc = (*) <=>

1 ta ®îc: a

3 a2 + (b + c)2 – a(b+c) – >0 a 3

(*)

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc <=> a( b + c)2 – a2 (b + c) +

a3 -3>0 3

§Æt b + c = x ta cã: ax2 – a2x +

a3 - 3 > 0 Víi mäi x 3

§iÒu nµy t¬ng ®¬ng:  = a4 – 4a ( <=> a4 -

a3 - 3) < 0 3

4a 4  12a  0 3

<=> 12a (36 – a3) < 0 ®óng v× a3 > 36 Bµi 6:- Do vai trß b×nh ®¼ng cña x, y, z nªn cã thÓ gi¶ sö z  y  x Khi ®ã: x(x - y) (x - z)  0 (1) MÆt kh¸c: z (z - x)  y(y - z) Do vËy: z (z - x) (z - y)  y(y - x) (z - y)  z (z - x) (z - y) + y(y - z) (y - x)  0 (2) Tõ (1) vµ (2)  ®pcm. Bµi 7: - Do a, b, c  [0;2] nªn (2 - a) (2 - b) (2 - c)  0  8 - 4 (a + b + c) + 2 (ab + bc + ac) - abc  0  2 (ab + ac + bc) + 4 (a + b + c) + abc - 8  2 (ab + ac + bc)  4 + abc  4  (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2)  4  (a2 + b2 + c2) < 5 DÊu "=" x¶y ra khi a, b, c cã mét sè b»ng 2; mét sè b»ng 0; mét sè b»ng 1. Bµi 8 :Ta cã: (a3 - b3) (a2 - b2)  0  (a5 + b5)  a2 b2 (a + b) ab ab c2 c  2 2  2  Do ®ã : 5 5 (1) a  b  ab a b ( a  b)  ab c abc bc a T¬ng tù: 5 < (2) 5 abc a  b  ab ca b < (3) . Tõ (1) ; (2) vµ (3) ta cã ®iÒu cÇn chøng 5 5 abc c  a  ac minh Bµi 9 :- Gi¶ sö c¶ hai bÊt ®¼ng thøc ®Òu ®óng khi ®ã: 5 xy  x2 + y2 vµ 

5 x(x + y)  x2 (x + y)2

5 (x2 + 2xy)  3x2 + 2xy + 2y2

 2y2 - 2( 5 - 1)xy + (3 -

5 )x2  0

 4y2 - 4 ( 5 - 1)xy + (6 - 3 5 )x2  0  (2y)2 - 2 . 2y ( 5 - 1)x + [( 5 - 1)]2  0  [2y - ( 5 - 1)x]2  0 §iÒu nµy kh«ng x¶y ra v× ( 5 - 1)x lµ sè v« tû kh«ng thÓ b»ng 2y khi x ,y  ¢  . Bµi10:- Theo bÊt ®¼ng thøc Cosi cho hai sè d¬ng ta cã:

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc  bc ca ab    2  a b c   

bc a



ca b



ab c

bc ca ab     a b c   

  

ca ab       b c   

ab bc       c a   

bc ca    a b  

bc ca ab    2( a  b  c )  a  b  c  3 6 abc  a  b  c  3 a b c

(BÊt ®¼ng thøc cosi cho 3 sè) DÊu b»ng x¶y ra khi a = b= c =1 Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopxi ta cã: Bµi11: ( p + q )

2

2

 p  q  p q =  . pa + . qb  ≤  + ( pa + qb ) b  a b  a 

 p q 2 T¬ng tù ( p + q ) ≤  + ( pb + qc ) b c

( p + q ) 2 ≤  p + q ( pc + qa ) c

a

1 1 1   1 1 1 2  ≤ ( p + q )  + +  + + Do ®ã ( p + q )  a b c  pa + qb pb + qc pc + qa  =>

1 1 1 p+q p+q p+q + + ≥ + + a b c pa + qb pb + qc pc + qa

Bµi 12: Ta cã: P =

1 (6 – 2x) (12 – 3y) (2x + 3y) 6 3

 6 − 2 x + 12 − 3 y + 2 x + 3 y  3 6P ≤   =6 3   P ≤ 36 Pmax

6 − 2 x = 12 − 3 y = 2 x + 3 y x = 0  ⇔ = 6 <=> 0 ≤ x ≤ 3 y = 2 0 ≤ y ≤ 4 

Bµi 13: Ta cã: x4 + y4 – 3 = xy ( 1- 2xy) <=> xy + 3 = x4 + y4 + 2x2 y2 <=> xy + 3 = (x2 + y2)2 Do (x2 + y2)2 ≥ 4x2y2 do ®ã: xy+ 3 ≥ 4x2y2 §Æt xy = t ta cã: 4x2y2 – xy – 3 ≤ 0

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc hay 4t2 – t – 3 ≤ 0 <=> −

3 ≤ t ≤1 4

VËy (xy)max = 1 khi x = y = ± 1 (xy)min = −

Bµi1 4: Ta cã:

3 3 khi x = y = ± 4 2

 x  1  x  2   x  3  x  4   3  0    x  1  x  4     x  2   x  3 

3 0

  x2  5x  4  x2  5x  6  3  0

§Æt x2 +5x +4 = t th× x2 +5x +6 = t +2  t 1  t  3

2 BÊt ph¬ng tr×nh trë thµnh : t +2t -3  0   t  3  t  1  0   2

5 7  Víi t  3 ta cã: x2+5x+8  0   x     0 V« nghiÖm 2 4  Víi t  1 ta cã:   5 13 5  13 x  x 2   5 13  2 2 2 x2  5x  4  1  x2  5x  3  0   x      2 4    5 13 5  13  x   x  2 2  2

Phương pháp chọn điểm rơi cho bất đẳng thức cosi Khi áp dụng bđt côsi trong các bài toán tìm cực trị thì việc lựa chọn tham số để tại đó dấu = xảy ra là điều quan trọng và khó khăn nhất. Đôi lúc trong các bài toán khi các biến bị giới hạn bởi một điều kiện nào đó thì khi áp dụng trực tiếp sẽ dẫn đến nhiều sai lầm. Vì thế trong chuyên mục nhỏ này tôi muốn trình bày những phương pháp cụ thể để bạn có thể tìm được tham số phù hợp. Bài toán 1: Cho các số dương x,y,z sao cho x+y+z=1. Tìm các giá trị nhỏ nhất: a. b. c. d. Giải: a.Bài này khá đơn giản chắc bạn nào cũng đều biết nó. Tuy nhiên dùng bài này minh họa cho việc lựa chọn tham số theo mình là phù hợp nhất. Vì vai trò các biến x,y,z là như nhau nên ta có thể dự đoán được dấu = xảy ra tại x=y=z=1/3. Nên ta có như sau: (dấu = xảy ra khi

)

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc Như vậy ta áp dụng như sau: cộng dồn lại rồi suy ra.

b.Như bài trên mình đã nói lên một ý tưởng là thêm vào các biệt số phụ như chẳng hạn. Và phương pháp thêm này nói chung rất hiệu quả và triệt để cho các bài toán dạng này. Ta thấy vai trò của x,y là như nhau nên ta có thể dự đoán được dấu = xảy ra x=y. Ta cần chọn các biệt số phụ sao: (dấu = xảy ra khi

)

(dấu = xảy ra khi

)

(dấu = xảy ra khi ) Và mục đích của các biệt số phụ sao cho khi ta cộng dồn lại chỉ xuất hiện x+y+z. Nên ta có suy ra: (*) Đồng thời với các điều kiện dấu bằng và (*) các bạn sẽ tìm được các biệt số phụ như ý muốn. c.Để thấy thêm sự hiệu quả thì câu c điều kiện các tham số đó kô ràng buộc. Ta chọn các biệt số phụ sao cho: (dấu = xảy ra tại (dấu = xảy ra tại

) )

(dấu = xảy ra tại ) Và mục đích của các biệt số phụ khi ta cộng dồn lại chỉ xuất hiện x+y+z Vậy ta suy ra dễ dàng: (*) Đồn thời với dấu = xảy ra và đk (*) bạn có thể tìm được biệt số. d.Sang câu d đây là một dạng tổng quát của bài toán này. Tuy nhiên khi giải mà làm theo các bước trên thì thật là khó chụi và mất thời gian nhiều. Nay mình xin nói thêm đây là một cách rất hay chỉ cần 1 hay 2 dòng là ra các biệt số phụ liền. Tuy nhiên các bạn phải hiểu rõ các cách trên vì đây chỉ là một cách suy ra từ pp trên mà thôi. như vậy bạn chỉ cần rút x,y,z theo rồi thế vào điều kiện là có thể ra được điểm rơi. Ngoài ra với bài toán trên nó kô chỉ giới hạn ở mức độ nhỏ đó đâu mà nó còn nâng lên bậc cao m,n,k của x,y,z bất kì cộng với điều kiện có thể tổng quát hơn: . Mà cách giải vẫn không mấy thay đổi (tuy nhiên đều là số nguyên) Bài toán 2: Cho x,y,z là các số dương thõa xy+yz+zx=1. Tìm giá trị lớn nhất: a. b. c. d. Giải: Những bài này chúng ta cũng sẽ và có chung một hương đi giải quyết đó:

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n a.1=a+b, 1=c+d, 2=e+f (trong đó a,b,c,d,e,f có là các số sẽ tìm được) Ta có: dấu = xảy ra khi: Suy ra: ade=bcf Và mục đích của các biệt số này là có thể đưa về dạng xy+yz+zx. Nên khi đó: Như vậy ta được hệ phương trình sau: abd = cef a+b=1 c+d=1 e+f=2 Hệ trên 6 phương trình tương ứng với 6 ẩn số các bạn hoàn toàn có thể giải được có điều hơi dài. Tuy nhiên trong trường hợp bài toán a,b,c chúng ta thấy rằng các biến x,y có tính đối xứng nay nên việc phân tích sẽ đơn giản hơn thế này a=c, b=d, e=f. Như vậy thì đơn giản hơn đúng kô1 Còn trường hợp ở bài cuối cùng khá tổng quát thì việc giải nó sẽ khó khăn đôi chút. Nhưng có một phương pháp rất hay và mới: Xét biểu thức: Với Như vậy ta được hệ phương trình bậc 3 theo trong đó là nghiệm dương nhỏ nhất. Từ đây bạn có thể tính ra suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức mà kô cần phải giải a,b,c,d,e,f. Bài toán 3: Cho x,y,z là các số dương, thõa: x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của:

Với các dạng bài này thì phương pháp cũng tương tự nhau nên dành cho các bạn vậy! Xem như đây là một bài luyện tập Ngoài ra đôi lúc trong việc tìm cực trị của bài toán không phải là ta nhìn đã thấy được đó là điểm rơi trong côsi mà nó còn kết hợp với phương pháp khác như đồng nhất thức, đạo hàm, v.v... Và chính điều này nó làm tăng thêm phần hay và đẹp của điểm rơi trong côsi

Đổi Biến Để Chứng Minh Bất ĐẳngThức

Đôi khi chứng minh một bài toán BĐT có rất nhiều cách khác nhau để giải, song không phải cách nào cũng thuận lợi cho việc chứng minh BĐT, có nhiều BĐT đề ra phức tạp làm cho ta cảm giá rối, nhưng qua việc đưa về biến mới thì bài toán trở nên dễ hơn. Bài viết này xin nêu ra một số cách đổi biến để chứng minh BĐT được dễ dàng hơn. Sau đây là một số ví dụ :

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc VD1:(BĐT Nesbitt): Cho a,b,c là các số thực dương . CMR:

a b c 3    bc ca ab 2

yzx 2  x bc  xz y 1 yzx xz y x yz 3     Ta đặt  y  c  a   b  nên BĐT    2 2 x y z  2  z  ab   x yz   c 2   x y  y z   z x x y y z z x            2 . 2 .  2 .  6 (đúng) y x z y x z  y x  z y  x z Vậy BĐT đuợc chứng minh. Dấu “=” xảy ra  a  b  c 

 a

VD2: (Prance Pre –MO 2005) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x 2  y 2  z 2  3 . CMR: xy yz zx   3 z x y 

xy  a z  yz  Đặt  b  với a, b, c  0 từ giả thiết x 2  y 2  z 2  3  ab  bc  ca  3 x  zx   c y  Và BĐT cần CM  CM BĐT a  b  c  3 mặt khác ta có BĐT sau: a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca  a  b  c  3(ab  bc  ca )  3 Vậy BĐT đuợc chứng minh. Dấu “=” xảy ra  x  y  z  1 VD3: Cho x, y, z >0 thoả x  y  z  1 . CMR 

1 4 9    36 x y z

a  x  abc  b  Từ giả thiết ta có thể đặt:  y  với a,b,c >0 abc  c   z  abc  abc abc abc  4.  9.  36 Nên BĐT  CM a b c b c a c a b    4.  4.  9.  9.  22 a a b b c c a  c a  c b b a c a c b  b    4.    9.   4.  9.   2 .4.  2 .9.  2 4. .9.  22 (đúng) b  a c  b c a b a c b c  a

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n



1  x6   b  2a  1  y Dấu “=” xảy ra   3  c  3a  1   z2  VD4: Cho x, y, z là các số thực dương. CMR xyz  ( x  y  z )( y  z  x )( z  x  y )  x bc  Ta đặt  y  c  a với a, b, c  0 nên BĐT  CM BĐT (a  b)(b  c)(c  a )  8abc  z  ab  mặt khác ta có (a  b)(b  c)(c  a )  8abc  a (b  c ) 2  b(c  a ) 2  c(a  b) 2  0 Vậy BĐT đuợc chứng minh. Dấu “=” xảy ra  x  y  z VD5: ( IMO 2000) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 . 1  1  1  CMR:  a  1   b  1   c  1    1 b  c  a  x   a y  y  Do abc  1 nên ta có thể đặt  b  với x, y , z  0 z  z   c x   x z  y x  z y  1    1    1    1 y  z z  x x  y

Nên BĐT có thể viết lại 

 xyz  ( x  y  z )( y  z  x )( z  x  y ) (đã CM ở VD4) Vậy BĐT đuợc chứng minh. Dấu “=” xảy ra  a  b  c  1 VD6:( IMO-1995) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 . 1 1 1 3  3  3  CMR : 3 a (b  c) b (c  a ) c (a  b) 2 

1  a x  1  Ta đặt  b  với x, y , z  0 và do abc  1 nên xyz  1 y   1  c z  x2 y2 z2 3    Nên BĐT  yz zx x y 2 mặt khác theo BĐT Cauchy- Schwarz ta có:  x2 y2 z2  2   y  z    z  x    x  y        x  y  z   yz zx x y

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n



x2 y2 z2  x  y  z 3 3 xyz 3       2 2 2  yz zx x y Vậy BĐT đuợc chứng minh. Dấu “=” xảy ra  a  b  c  1 

VD7: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: xyz  x  y  z  2 . 3 xyz CMR: x  y  z  2 1 1 1   1 1 x 1 y 1 z 1 1 1  a,  b,  c với a, b, c  0 Ta đặt 1 x 1 y 1 z 1 a b  c 1 b a  c 1 c a  b x  ,y  ,z   a a b b c c a b b c c a 3 Nên BĐT cần CM  CM BĐT .  .  .  bc ca ca ab ab bc 2 a b 1 a b  .    Mặt khác ta có:  bc ca 2 ac bc Từ xyz  x  y  z  2 

b c 1 b c  .     ca ab 2 ba ca  c a 1 c a  .     ab bc 2 cb ab  Nên

a b b c c a 1 a b b c c a  3 .  .  .         bc ca ca ab ab bc 2 ac bc ba ca cb ab  2

Vậy BĐT luôn đúng Dấu “=” xảy ra  x  y  z  2 Sau đây là một số bài tập để luyện tập: Bài 1: Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác: a b c   3 1, b c  a c  a b a b c 1 1 1 1 1 1      2, a b c b c  a c  a b a b c Bài 2: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x 2  y 2  z 2  2 xyz  1 . CMR: 3 1, x  y  z  2 1 1 1 2,    4( x  y  z ) x y z a b c ,y ,z  bc ca ab Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a  b  c  1 . 1 1 1 1    2  22  CMR: abc ab bc ca Gợi ý: từ giả thiết ta có thể đặt x 

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc Bài 4: Cho a, b, c  0 thoả mãn abc  1 . CMR: 1 

3 6  a  b  c ab  bc  ca

Bài 5: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác. CMR: 1, a 2  b 2  c 2  4 3S với S là diện tich tam giác 2, a 2b(a  b)  b 2 c(b  c)  c 2 a (c  a )  0 Gợi ý: Đặt a  x  y, b  y  z , c  z  x

Mot so phuong phap chung minh bat dang thuc

A- §Æt vÊn ®Ò Trong gi¶ng d¹y m«n to¸n, ngoµi viÖc gióp häc sinh n¨m ch¾c kiÕn thøc c¬ b¶n, th× viÖc ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña häc sinh ®Ó khai th¸c thªm c¸c bµi to¸n míi tõ nh÷ng bµi to¸n ®iÓn h×nh, ®ång thêi biÕt øng dông c¸c bµi to¸n ®¬n gi¶n vµo viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n phøc t¹p lµ ®iÒu rÊt cÇn thiÕt cho c«ng t¸c båi dìng häc sinh giái. Chóng ta ®Òu biÕt mét bµi to¸n dï cã khã, phøc t¹p ®Õn ®©u lêi gi¶i cña nã còng cã thÓ ®a ®îc vÒ mét chuçi h÷u h¹n c¸c bíc suy luËn ®¬n gi¶n, viÖc gi¶i bµi to¸n phøc t¹p ®Òu cã thÓ ®a vÒ viÖc ¸p dông, tiÒn ®Ò lµ c¸c bµi to¸n ®¬n gi¶n. Nªn viÖc thêng xuyªn øng dông, khai th¸c c¸c bµi to¸n ®¬n gi¶n ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n khã lµ mét c¸ch n©ng cao dÇn kh¶ n¨ng suy luËn, t duy s©u cho häc sinh. Qua mét sè n¨m gi¶ng d¹y, t«i ®· häc hái ®îc ë c¸c ®ång nghiÖp vµ víi kinh nghiÖm cña b¶n th©n

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc

t«i lu«n gióp häc sinh khai th¸c, øng dông nhiÒu bµi to¸n, nhÊt lµ c¸c bµi to¸n vÒ chøng minh bÊt ®¼ng thøc, trªn c¬ së ®ã t«i viÕt s¸ng kiÕn kinh nghiÖm. “øng dông, khai th¸c mét bÊt ®¼ng thøc “. Dï ®· cã nhiÒu cè g¾ng, song s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy cha ph¶i lµ hoµn chØnh, cßn cã thiÕu sãt. T«i rÊt mong ®îc Héi ®ång khoa häc vµ c¸c ®ång nghiÖp bæ sung thªm ý kiÕn ®ãng gãp cho t«i, ®Ó trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y sau nµy, t«i sÏ gióp ®îc häc sinh cña m×nh nhiÒu h¬n n÷a trong lÜnh vùc t×m tßi vµ chiÕm lÜnh c¸c tri thøc, kh¸m ph¸ m«n to¸n häc .

B- Néi dung I- C¬ së lý thuyÕt

1. §Þnh nghÜa bÊt ®¼ng thøc Cho hai sè a vµ b. Ta nãi : a lín h¬n b, ký hiÖu a > b, nÕu a - b > 0 a nhá h¬n b, ký hiÖu a < b, nÕu a - b < 0

2. Mét sè tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc +a>b  b
+a rel="nofollow">b,b>c  a>c

a  b   ac bd c  d a  b   a.c  b.c c  0

+

a  b   a.c  b.c c  0

+

a  b  0   a.c  b.d c  d  0

3. Mét sè h»ng bÊt ®¼ng thøc + a2  0

;  a2  0

x¶y ra ®¼ng thøc khi a = 0.

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc + a  0 . X¶y ra ®¼ng thøc khi a = 0

4. Mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc 4.1. Dïng ®Þnh nghÜa §Ó chøng minh A > B, ta xÐt hiÖu A - B vµ chøng minh r»ng A - B > 0 4.2. Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng §Ó chøng minh A > B ta biÕn ®æi t¬ng ®¬ng A  B  A1  B1  A2  B2  ...  An  Bn . Trong ®ã bÊt ®¼ng thøc An > Bn lu«n ®óng, do qu¸ tr×nh biÕn ®æi lµ t¬ng ®¬ng nªn ta suy ra A > B lµ ®óng. 4.3. Dïng bÊt ®¼ng thøc phô §Ó chøng minh A > B, ta xuÊt ph¸t tõ mét h»ng bÊt ®¼ng thøc hoÆc mét bÊt ®¼ng thøc ®¬n gi¶n (gäi lµ b®t phô) vµ biÕn ®æi t¬ng ®¬ng suy ra A > B. II- C¸c nhËn xÐt vµ c¸c bµi to¸n minh ho¹ cho viÖc øng dông, khai th¸c mét bÊt ®¼ng thøc líp 8

NhËn xÐt :Trong ch¬ng tr×nh to¸n T.H.C.S cã mét bÊt ®¼ng thøc quen thuéc mµ viÖc øng dông cña nã trong khi gi¶i c¸c bµi tËp ®¹i sè vµ h×nh häc rÊt cã hiÖu qu¶. Ta thêng gäi ®ã lµ “bÊt ®¼ng thøc kÐp”. §ã lµ bÊt ®¼ng thøc sau :

( a + b) 2 Víi mäi a, b ta lu«n cã : a + b ≥ ≥ 2ab (*) 2 2

2

2(a 2 + b 2 ) ≥ (a + b) 2 .......(1)  2 NhËn thÊy (*) ⇔ (a + b) ≥ 4ab.................(2)  2 2 a + b ≥ 2ab..................(3) C¶ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ®Òu t¬ng ®¬ng víi h»ng bÊt ®¼ng thøc

( a − b) 2 ≥ 0

vµ do ®ã chóng x¶y ra ®¼ng thøc khi a = b.

ý nghÜa cña bÊt ®¼ng thøc (*) lµ nªu nªn quan hÖ gi÷a tæng hai sè víi tÝch hai sè vµ víi tæng c¸c b×nh ph¬ng cña hai sè ®ã. Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô minh ho¹ viÖc vËn dôngvµ khai th¸c bÊt ®¼ng thøc (*). Bµi to¸n 1: Cho a + b = 1 . Chøng minh r»ng:

a2 + b2 ≥

1 2

;

a4 + b4 ≥

1 1 8 8 ; a +b ≥ 8 128

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc

* Gi¶i : ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (1) vµ gi¶ thiÕt a

+ b = 1 ta cã:

1

( )2 ( a + b) 2 1 2 2 2 a +b ≥ = ; a 4 + b 4 ≥ (a + b ) ≥ 2 = 1 2 2 2 2 8 2

2

1 ( )2 (a + b ) 1 .§¼ng thøc x¶y ra khi a = b = 1/2. a8 + b8 ≥ ≥ 8 = 2 2 128 4

4 2

* Khai th¸c bµi to¸n NhËn xÐt 1: NÕu tiÕp tôc ¸p dông b®t (1) vµ t¨ng sè mò cña biÕn ta thu ®îc c¸c kÕt qu¶ nh:

1 2 ) (a + b ) 1 16 16 128 a +b ≥ ≥ = 15 ......... 2 2 2 8

8 2

(

Tæng qu¸t ta cã bµi to¸n sau: Bµi to¸n 1.1:

n

n

2 + b2 Cho a + b = 1 . Chøng minh r»ng: a

≥

1 n 2 2 −1

C¸ch gi¶i bµi to¸n 1.1 ta ¸p dông ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc vµ lµm t¬ng tù bµi to¸n 1.

NhËn xÐt 2: TiÕp tôc kh¸i qu¸t bµi to¸n 1.1 khi thay gi¶ thiÕt a n

n

gi¶ thiÕt a + b = k , lµm t¬ng tù nh trªn ta cã a 2 + b 2

≥

2

+ b = 1 bëi

kn 2n −1

VËy cã bµi to¸n 1.2 nh sau: Bµi to¸n 1.2: Cho a + b = k . Chøng minh:

n n kn a2 + b2 ≥ n 2 2 −1

NhËn xÐt 3: Tõ bµi to¸n 1.2 nÕu ta thay gi¶ thiÕt a + b = k bëi b = k - a ta ®îc Bµi to¸n 1.3:

n

n

Chøng minh : a 2 + (k − a) 2

≥

kn víi mäi k . n 2 2 −1

* Khai th¸c s©u bµi to¸n

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc

NhËn xÐt 1: NÕu ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (1) liªn tiÕp 2 lÇn ta cã kÕt qu¶:  ( a + b) 2    4 (a 2 + b 2 ) 2  2  ( a + b) 4 4 a +b ≥ ≥ = 2 2 23 2

Tæng qu¸t ta cã bµi to¸n sau: Bµi to¸n1.4: Chøng minh : a) a + b 4

4

2n n n ( ) a + b 2 2 b) a +b ≥ n 2 2 −1

4 ( a + b) ≥

23

NhËn xÐt 2: NÕu ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (1) liªn tiÕp nhiÒu lÇn vµ t¨ng sè biÕn ta cã:

 ( a + b) 2   ( c + d ) 2    +  2 2 2 2 2 2 2 2  ( a + b ) + ( c + d )    4 4 4 4 a +b +c +d ≥ ≥ = 2 2 4 ( a + b ) 4 + (c + d ) 4 ( a + b + c + d ) = ≥ 8 8 .2 3 2

2

a4 + b4 + c4 + d 4 ( a + b + c + d )  a+b+c+d  . ⇒ ≥ =   4 4 .8 .2 3 4   4

4

VËy cã bµi to¸n 1.5:

a4 + b4 + c4 + d 4  a + b + c + d  Chøng minh: ≥  4 4  

4

Cø tiÕp tôc suy luËn s©u h¬n n÷a ta thu ®îc nhiÒu bµi to¸n tæng qu¸t h¬n. Bµi to¸n 2: Cho a, b, c > 0.Chøng minh r»ng:

(a + b).(b + c).(c + a ) ≥ 8abc.

(a + b) 2 ≥ 4ab  2 * Gi¶i: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (2) ta cã : (c + b) ≥ 4cb (a + c) 2 ≥ 4ac  ⇒ [ (a + b)(b + c)(c + a )] ≥ 64a 2 b 2 c 2 2

⇒ (a + b)(b + c)(c + a ) ≥ 8abc

(v× a, b, c > 0) ( v× (a+b)(b+c)(c+a) > 0 vµ 8abc > 0).

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc §¼ng thøc x¶y ra khi a = b = c .

* Khai th¸c bµi to¸n NhËn xÐt 1: NÕu cho a, b, c > 0 vµ a + b + c = 1. Khi ®ã ta cã 1 - a, 1- b, 1 - c > 0 vµ cã 1 + c = 1 + 1 - a - b = (1 - a ) + (1 - b ). ¸p dông bµi to¸n 2 ta ®îc :

(1 + a )(1 + b)(1 + c ) ≥ 8(1 − a)(1 − b)(1 − c ) VËy cã bµi to¸n 2.1:

Cho a, b, c > 0 vµ a + b + c = 1. Chøng minh:

(1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8(1 − a)(1 − b)(1 − c)

NhËn xÐt 2: Ta tiÕp tôc khai th¸c s©u h¬n bµi to¸n b»ng c¸ch cho a + b + c = n > 0 . Khi ®ã t¬ng tù nh bµi to¸n 2.1 ta cã Bµi to¸n 2.2: Cho a, b, c > 0 vµ a + b + c = n > 0. Chøng minh :

(n + a )(n + b)(n + c) ≥ 8(n − a )(n − b)(n − c)

Bµi to¸n 3: Chøng minh r»ng víi mäi a, b, c ta cã :

a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca

* Gi¶i : a 2 + b 2 ≥ 2ab  2 2 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (3) ta cã : c + b ≥ 2cb a 2 + c 2 ≥ 2ac  ⇒ 2(a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 2(ab + bc + ca) ⇒ ®.p.c.m Cã ®¼ng thøc khi a = b = c.

* Khai th¸c bµi to¸n NhËn xÐt 1 : NÕu ¸p dông bµi to¸n 3 vµ t¨ng sè mò lªn, gi÷ nguyªn sè biÕn ta cã a 4 + b 4 + c 4 ≥ a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 (*) l¹i ¸p dông bµi to¸n 3 lÇn n÷a ta cã

a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≥ abc(a + b + c) (**) . Tõ (*) vµ (**) ta thu ®îc kÕt qu¶ lµ

a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc(a + b + c) . VËy cã bµi to¸n 3.1: Chøng minh r»ng víi mäi a, b, c ta cã :

a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc(a + b + c) .

NhËn xÐt 2: NÕu t¨ng sè biÕn vµ gi÷ nguyªn sè mò cña biÕn víi c¸ch lµm

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc nh bµi to¸n 3 ta cã Bµi to¸n 3.2: 2

2

2

Chøng minh r»ng: a1 + a 2 + ... + a n ≥ a1 a 2 + a 2 a3 + ... + a n −1 a n + a n a1 Víi mäi

a1 ; a 2 ;...; a n

Bµi to¸n 4 : Chøng minh r»ng víi mäi a, b, c, d ta cã :

a 4 + b 4 + c 4 + d 4 ≥ 4abcd

* Gi¶i : ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (3) ta cã :

a 4 + b 4 + c 4 + d 4 ≥ 2a 2 b 2 + 2c 2 d 2 = 2(a 2 b 2 + c 2 d 2 ) ≥ 4abcd ®.p.c.m Cã ®¼ng thøc khi a = b = c = d

* Khai th¸c bµi to¸n NhËn xÐt 1: NÕu thay b = c = d = 1 ta cã b®t a 4 + 3 ≥ 4a ⇒ a 4 − 4a ≥ −3 VËy cã bµi to¸n 4.1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = a 4 − 4a

NhËn xÐt 2: NÕu khai th¸c bµi to¸n 4 theo híng t¨ng sè biÕn, sè mò lªn, ta Cã bµi to¸n tæng qu¸t sau: Bµi to¸n 4.2: Chøng minh r»ng víi mäi sè a1; a 2 ; a3 ;...; a 2n víi n ∈ N * ta cã: a1

2n

+ a2

2n

+ a3

2n

+ ... + a n 2

2n

n ≥ 2 a1a 2 a3 ...a n . 2

Bµi to¸n 5 : Cho a + b + c + d = 2 . Chøng minh : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ 1

* Khai th¸c bµi to¸n NhËn xÐt 1: NÕu thay h»ng sè 2 ë gi¶ thiÕt bëi sè k a2 + b2 + c2 + d 2 ≥

ta ®îc kÕt qu¶

k2 . VËy cã bµi to¸n tæng qu¸t h¬n nh sau: 4

Bµi to¸n 5.1:

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc

Cho a + b + c + d = k . Chøng minh : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥

k2 4

NhËn xÐt 2: Ta cßn cã thÓ tæng qu¸t bµi to¸n 5.1 ë møc ®é cao h¬n b»ng c¸ch t¨ng sè biÕn cña bµi to¸n . Khi ®ã bµi to¸n 5.1 chØ lµ trêng hîp riªng cña bµi to¸n sau: Bµi to¸n 5.2: Cho a1 + a2 + ... + an = k . Chøng minh: a1 + a 2 + ... + a n 2

2

2

k2 víi n ∈ N * ≥ n

§Ó gi¶i bµi to¸n nµy th× c¶ hai c¸ch lµm cña bµi to¸n 5 ë trªn ®a vµo ¸p dông kh«ng hîp lý, ta sÏ lµm nh sau:

k2 k k2 k k2 k 2 2 ; ; … ; a + ≥ 2 a . ≥ 2 a . a + ≥ 2 a . 2 2 n n 1 n n2 n n n2 n2

2

¸p dông b®t (3) ta cã: a1 + 2

2

2

2

2

⇒ a1 + a 2 + ... + a n + n 2

⇒ a1 + a 2 + ... + a n +

k2 k ≥ 2 (a1 + a 2 + ... + a n ) n n2

k2 k2 ≥2 n n

2

2

(v× a1 + a 2 + ... + a n = k ) 2

⇒ a1 + a 2 + ... + a n ≥

k2 (®.p.c.m). n

Tõ ®ã suy ra : 2

2

2

a1 + a 2 + ... + a n ≥

( a1 + a 2 + ... + a n ) 2

víi

n

n∈ N*

(1.1)

VËy cã bµi to¸n 5.3: 2

2

2

Chøng minh: a1 + a 2 + ... + a n ≥

( a1 + a2 + a3 + ... + an ) 2 n

víi n ∈ N * .

§Æc biÖt ho¸ víi n = 5, n = 7, ta ®îc nh÷ng bµi to¸n nh : Chøng minh : 2

2

2

a1 + a 2 + ... + a5 ≥ 2

2

2

a1 + a 2 + ... + a 7 ≥

( a1 + a 2 + a3 + ... + a5 ) 2 5

( a1 + a 2 + a3 + ... + a7 ) 2 7

.

Râ rµng nh÷ng b®t nµy nÕu sö dông ph¬ng ph¸p dïng ®Þnh nghÜa hoÆc biÕn ®æi t¬ng ®¬ng th× rÊt khã gi¶i quyÕt .

* Khai th¸c s©u bµi to¸n NÕu tiÕp tôc n©ng sè mò lªn cao h¬n theo c¸ch khai th¸c cña bµi to¸n 1.4 ta thu ®îc kÕt qu¶ tæng qu¸t h¬n n÷a ch¼ng h¹n: Bµi to¸n 5.4:

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc Chøng minh: 4

4

4

a) a1 + a 2 + ... + a n ≥ b)

c)

8

8

8

( a1 + a 2 + a3 + ... + a n ) 4

a1 + a 2 + ... + a n ≥

a1

2n

+ a2

2n

n

3

víi

( a1 + a 2 + a3 + ... + an ) 8

+ ... + a n 2

n

2n

≥

7

n∈ N*

víi n ∈ N *

( a1 + a 2 + a3 + ... + a 2n ) 2n (2n )

2n −1

víi n ∈ N * (1.2)

Râ rµng c¸c bÊt ®¼ng thøc nµy cßn chÆt h¬n c¶ b®t C« Si vµ còng kh«ng cÇn ®iÒu kiÖn g× cña biÕn.

TiÓu kÕt 1: Trªn ®©y ta ®· khai th¸c vµ ph¸t triÓn tõ nh÷ng bµi to¸n ®¬n gi¶n ®Ó thu ®îc nh÷ng bµi to¸n míi, nh÷ng kÕt qu¶ míi tæng qu¸t h¬n. BÊt ®¼ng thøc (1.1) lµ trêng hîp tæng qu¸t cña bÊt ®¼ng thøc (1) khi ta khai th¸c theo híng t¨ng sè biÕn cña bµi to¸n. BÊt ®¼ng thøc (1.2) lµ trêng hîp tæng qu¸t cña bÊt ®¼ng thøc (1) khi ta khai th¸c theo híng t¨ng c¶ sè mò vµ sè biÕn.

TiÓu kÕt 2: §Ó khai th¸c, ph¸t triÓn mét bµi to¸n vÒ bÊt ®¼ng thøc ta cã thÓ ®i theo mét sè híng nh sau:

Híng thø nhÊt : Tæng qu¸t ho¸ c¸c h»ng sè cã trong bµi to¸n, vÝ dô nh c¸c bµi to¸n 1.2; 2.2; 5.1; 6.1; 8.1; 9.1; 10.2; 12.1

Híng thø hai :

Gi÷ nguyªn sè biÕn vµ t¨ng sè mò cña c¸c biÕn dÉn

®Õn tæng qu¸t ho¸ sè mò, vÝ dô c¸c bµi to¸n 1.1; 1.4

Híng thø ba : Gi÷ nguyªn sè mò vµ t¨ng sè biÕn cña c¸c biÕn dÉn ®Õn tæng qu¸t ho¸ sè biÕn, vÝ dô c¸c bµi to¸n 1.5; 3.1; 6.3; 9.2; 10.3

Híng thø t : Tæng qu¸t ho¸ c¶ vÒ sè mò vµ sè biÕn, vÝ dô nh c¸c bµi to¸n 4.2; 5.2; 5.4

Híng thø n¨m : §æi biÕn, ®Æc biÖt ho¸ tõ bµi to¸n tæng qu¸t, vÝ dô nh c¸c bµi to¸n 2.1; 4.1; 5.3; 6.2 Trªn ®©y lµ c¸c vÝ dô vËn dông b®t (*) vµo viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n ®¹i sè vµ

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc mét sè ph¬ng híng ®Ó khai th¸c mét bµi to¸n.

KÕt qu¶ thu ®îc sau khi khai th¸c b®t (1) lµ b®t :

2

2

2

a1 + a 2 + ... + a n ≥

( a1 + a2 + ... + an ) 2 n

víi n ∈ N *

(1.1) Vµ b®t:

a1

2n

+ a2

2n

+ ... + a n 2

2n

≥

( a1 + a2 + a3 + ... + a2n ) ( 2n )

2n −1

2n víi n ∈ N * (1.2)

Hoµn toµn t¬ng tù nh trªn ( Chøng minh b»ng quy n¹p to¸n häc ) ta còng cã kÕt qu¶ khi khai th¸c b®t (2) nh sau:

( a1 + a2 + a3 + ... + a2n ) 2n (2n )

2n −1

n víi n ∈ N * (2.1) ≥ 2 a1a 2 ...a 2n

Tõ b®t (1.2) vµ b®t (2.1) ta cã b®t tæng qu¸t cña b®t (*) nh sau:

a1

2n

+ a2

2n

+ ... + a n 2

2n

≥

( a1 + a2 + a3 + ... + a2n ) 2n ( 2n )

2n − 1

n ≥ 2 a1a 2 ...a víi n ∈ N * (*.1) 2n

Nh vËy khi lµm xong mét bµi to¸n dï lµ bµi to¸n dÔ , ngêi lµm to¸n kh«ng nªn tho¶ m·n ngay víi lêi gi¶i cña m×nh mµ cÇn tiÕp tôc suy xÐt nh÷ng vÊn ®Ò xung quanh bµi to¸n, t×m ra c¸c bµi to¸n míi hay h¬n, tæng qu¸t h¬n, sau ®ã ®Æc biÖt ho¸ bµi to¸n tæng qu¸t ®Ó cã ®îc nh÷ng bµi to¸n ®éc ®¸o h¬n, thó vÞ h¬n. §iÒu ®ã lµm cho ngêi häc to¸n ngµy cµng say mª bé m«n, ®ång thêi còng lµ c¸ch rÌn luyÖn t duy, nghiªn cøu ®Ó chiÕm lÜnh kho tµng tri thøc cña nh©n lo¹i.

MOÄT KYÕ THUAÄT CHÖÙNG MINH

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n

BAÁT ÑAÚNG THÖÙC COÙ ÑIEÀU KIEÄN =========== Trong moät soá baøi toaùn Baát ñaúng thöùc coù moät soá khaù nhieàu baøi toaùn chöùng minh maø caùc aån coù ñieàu kieän raøng buoäc; daïng: “Cho C  D. Chöùng minh A  B” Coù moät kyõ thuaät ñeå chöùng minh laø ta ñi töø chöùng minh: (A – B) + (D –C)  0; Khi ñoù töû ñieàu kieän C  D ta suy ra ñöôïc A  B Sau ñaây laø moät soá ví duï: Baøi toaùn 1: Cho a + b  1. Chöùng minh raèng: a2 + b2  1/2 Giaûi: Ta coù (a2 + b2 – 1/2) + (1 – a – b) = a2 + b2 – a – b – 1/2 = (a2 – a + 1/4) + ( b2 – b + 1/4) = (a – 1/2)2 + (b – 1/2)2  0. Maø a + b  1 suy ra: 1 – a – b  0 => a2 + b2 – 1/2  0 Hay a2 + b2  1/2 Baøi toaùn 2: Chöùng minh raèng neáu a + b  2 thì a3 + b3  a4 + b4 Giaûi: Ta coù: (a4 + b4 – a3 + b3) + ( 2 – a – b) = a4 – a3 – a + 1 + b4 – b3 – b + 1 = = (a – 1)(a3 – 1) + (b -1)(b3 – 1) = (a – 1)2(a2 + a + 1) + (b – 1)2(b2 + b + 1)  0 Maø a + b  2 => 2 – a – b  0 => a4 + b4 – a3 + b3  0 => a3 + b3  a4 + b4 Baøi toaùn 3: Cho x, y laø caùc soá döông thoaû maõn: x3 + y4  x2 + y3. Chöùng minh raèng: x3 + y3  x2 + y2 vaø x2 + y3  x + y2 Giaûi: a/ Ta coù: (x2 + y2 – x3 – y3) + (x3 + y4 – x2 – y3) = y2 – 2y3 + y4 = y2(y – 1)2  0 Maø x3 + y4  x2 + y3 => x3 + y4 – x2 – y3  0 => x3 + y3  x2 + y2 b/ Ta coù: (x + y2 – x2 + y3) + (x3 + y4 – x2 – y3) = x – 2x2 + x3 + y2 – 2y3 + y4 = = x(1 – x)2 + y2(y – 1)2  0 (vì x > 0) Maø x3 + y4  x2 + y3=> x3 + y4 – x2 – y3  0 => x2 + y3  x + y2 Baøi toaùn 4: Chöùng minh raèng neáu: a + b + c  3 thì a4 + b4 + c4  a3 + b3 + c3 Giaûi: Ta coù: (a4 + b4 + c4 – a3 – b3 – c3) + (3 – a – b – c) = = (a – 1)2(a2 + a + 1) + (b – 1)2(b2 + b + 1) + (c – 1)2(c2 + c + 1  0 Maø: a + b + c  3 => 3 – a – b – c  0 => a4 + b4 + c4  a3 + b3 + c3 Baøi toaùn 5: Cho x, y laø caùc soá döông thoaû maõn x3 + y3 = x – y. Chöùng minh raèng: x2 + y2 < 1 Giaûi: Ta coù: 1 – x2 – y2 = (1 – x2 – y2) + (x3 + y3 – x + y) = x4 – x3 – x + 1 + y4 – y3 + y = (x – 1)(x2 – 1) + y(y2 – y + 1) = (x + 1)(x – 1)2 + y(y2 – y + 1) > 0 ( vì x; y > 0) => x2 + y2 < 1 ------BAØI TAÄP AÙP DUÏNG: 1/ Bieát raèng x2 + y2  x + y. Chöùng minh raèng x + y  2 2/ Bieát raèng ab  1. Chöùng minh raèng a2 + b2  a + b 3/ Bieát raèng x2 + y2  x. Chöùng minh raèng y(x + 1)  -1

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc

C- KÕt luËn Sau mét qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y nhiÒu n¨m, th«ng qua c¸c tµi liÖu tham kh¶o, còng nh häc hái ë c¸c ®ång nghiÖp. T«i ®· hÖ thèng l¹i ®îc rÊt nhiÒu bµi to¸n h×nh häc vµ ®¹i sè cã thÓ øng dông bÊt ®¼ng thøc (*) ®Ó gi¶i, mÆc dï cã nh÷ng bµi to¸n mµ trong tµi liÖu tham kh¶o ph¶i sö dông c¸c bÊt ®¼ng thøc lín nh bÊt ®¼ng thøc C«Si cho 3 sè, cho 4 sè, bÊt ®¼ng thøc Bunhiacèpski… ®Ó gi¶i, c¸c c¸ch gi¶i nµy hiÖn nay kh«ng phï hîp víi ch¬ng tr×nh to¸n T.H.C.S. Trong khi ®ã bÊt ®¼ng thøc (*) hÇu hÕt häc sinh líp 8 vµ líp 9 ®Òu chøng minh ®îc vµ thêng sö dông, h¬n n÷a viÖc øng dông bÊt ®¼ng thøc (*) mang l¹i hiÖu qu¶ kh«ng ph¶i lµ nhá. Th«ng qua s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy t«i mong muèn ®ùoc ®ãng gãp mét phÇn nhá bÐ c«ng søc trong viÖc híng dÉn häc sinh øng dông vµ khai th¸c bÊt ®¼ng thøc (*) khi lµm to¸n, rÌn luyÖn tÝnh tÝch cùc, ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o cho häc sinh, g©y høng thó cho c¸c em khi häc to¸n. Tuy nhiªn, do thêi gian cã h¹n, tr×nh ®é b¶n th©n cßn h¹n chÕ, nªn t«i rÊt mong ®îc sù ®ãng gãp bæ sung cña Héi ®ång khoa häc c¸c cÊp vµ cña c¸c b¹n ®ång nghiÖp ®Ó kinh nghiÖm cña t«i ®îc hoµn chØnh h¬n, ®ång thêi còng gióp ®ì t«i tiÕn bé h¬n trong gi¶ng d¹y. T«i xin tr©n träng c¶m ¬n !

Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc

Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n S¬n