Chuong6

Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n

PhÇn Ii: c¬ së lý thuyÕt c¸n ngang vµ nghiªng ******* Ch−¬ng 6

C¸n ngang 6.1- BÒ mÆt tiÕp xóc gi÷a dông cô vµ trôc c¸n Qu¸ tr×nh biÕn d¹ng ngang gi÷a trôc c¸n vµ ph«i ta h×nh dung nh− qu¸ tr×nh rÌn tù do mét thanh thÐp trßn, sau mçi lÇn ®Ëp bóa ng−êi ta l¹i quay ph«i mét gãc bÐ vµ tiÕp tôc ®Ëp bóa lÇn thø hai. Qu¸ tr×nh ®−îc tiÕp tôc cho ®Õn khi ph«i ®−îc kÐo dµi ra vµ tiÕt diÖn ngang bÞ gi¶m ®i. NÕu thùc hiÖn qu¸ tr×nh ®ã theo s¬ ®å c¸n nh− h×nh 6.1a th× hai trôc c¸n thay thÕ cho bóa ®Ëp. Qu¸ tr×nh c¸n ngang th−êng 2b R gÆp trong c«ng nghÖ s¶n xuÊt b ph«i èng cho c«ng nghÖ c¸n èng ∆r kh«ng hµn, s¶n xuÊt bi cÇu, c¸n l c¸c lo¹i b¸nh r¨ng, bul«ng vµ c¸c r chi tiÕt cã tiÕt diÖn thay ®æi theo a) b) chu kú, c¸n ph«i cho c«ng nghÖ l chÕ t¹o m¸y... Ngµy nay ph−¬ng ph¸p c¸n ngang xo¾n ®−îc sö dông réng r·i H×nh 6.1- S¬ ®å qu¸ tr×nh c¸n ngang trong nÒn c«ng nghiÖp hiÖn ®¹i. a) C¸n ngang V× vËy, ph−¬ng ph¸p c¸n ngang b) RÌn tù do ph«i trßn ®· ®−îc nghiªn cøu s©u réng c¶ vÒ lý thuyÕt vµ thùc nghiÖm. 6.2- TÝnh c¸c ®¹i l−îng biÕn d¹ng khi c¸n ngang L−îng biÕn d¹ng khi c¸n ngang chÝnh lµ sù gi¶m nhá cña b¸n kÝnh vËt c¸n sau mét chu kú c¸n lµ 1/2 vßng quay cña nã (1/2 vßng quay cña ph«i v× ta cã hai trôc c¸n ®ång thêi nÐn lªn ph«i). NÕu ta ký hiÖu l−îng biÕn d¹ng ®ã lµ ∆r th× ta cã (h×nh 6.2): x + y = ∆r víi,

x = r − r 2 − b2

vµ

y = R − R2 − b2 Nh− vËy, ta cã ®−îc l−îng biÕn d¹ng ∆r: ∆r = ⎛⎜ R − R 2 − b 2 ⎞⎟ + ⎛⎜ r − r 2 − b 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng

(6.1)

77

Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n

trong ®ã,

b: chiÒu réng bÒ mÆt tiÕp xóc R = D/2: b¸n kÝnh trôc c¸n r: b¸n kÝnh vËt c¸n tr−íc lóc c¸n d: ®−êng kÝnh vËt c¸n sau 1 lÇn c¸n Tõ (6.1) ta cã thÓ ®−a vÒ d¹ng:

R b r

x d

∆r

y

2⎞ 2⎞ ⎛ ⎛ ⎛b⎞ ⎟ ⎜ ⎛b⎞ ⎟ ⎜ ∆r = R⎜1 − 1 − ⎜ ⎟ ⎟ + r⎜1 − 1 − ⎜ ⎟ ⎟ (6.2) ⎜ ⎝R⎠ ⎟ ⎜ ⎝r⎠ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Khai triÓn vµ bá ®i c¸c sè h¹ng bËc cao ta nhËn ®−îc:

l

H×nh 6.2- S¬ ®å tÝnh l−îng biÕn d¹ng ∆r

2

1⎛ b ⎞ ⎛b⎞ 1− ⎜ ⎟ ≈ 1− ⎜ ⎟ 2⎝R⎠ ⎝R⎠ 2

1⎛b⎞ ⎛b⎞ 1− ⎜ ⎟ ≈ 1− ⎜ ⎟ 2⎝ r ⎠ ⎝r⎠

2

(6.3)

2

Thay (6.3) vµo (6.2) ta cã:

b=

2.R.r.∆r R+r

(6.4)

NÕu tiÕp tôc biÕn ®æi (6.4) b»ng c¸ch thay: r = d/2 + ∆r, ta cã: b=

∆r.d + 2 ∆r 2 d 2 ∆r 1+ + D D

(6.5)

Qua biÓu thøc (6.5) ta nhËn xÐt: nÕu D → ∞ (tr−êng hîp Ðp ph«i gi÷a hai tÊm ph¼ng) vµ víi l−îng Ðp ∆r rÊt bÐ so víi D th×: d ∆r ≈ ≈0 D D ®ång thêi nÕu bá qua ®¹i l−îng 2∆r2, ta cã:

b = ∆r.d

(6.6)

∆r = ε lµ l−îng biÕn d¹ng cña ph«i sau 1/2 lÇn quay cña nã so víi d b = ε (6.7) ®−êng kÝnh, vËy: d V× trong qu¸ tr×nh c¸n, tiÕt diÖn cña ph«i cã h×nh d¸ng ovan nªn ®é dµi cung tiÕp xóc cã lín lªn, v× thÕ biÓu thøc (6.7) ®−îc viÕt d−íi d¹ng: b =ϕ ε (6.8) d trong ®ã, ϕ: hÖ sè biÕn ®æi chiÒu réng cña bÒ mÆt tiÕp xóc khi c¸n ngang.

Ký hiÖu

Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng

78

Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n

B©y giê chóng ta sÏ xÐt xem l−îng biÕn d¹ng tíi h¹n ε cã gi¸ trÞ bao nhiªu? §Ó xÐt vÊn ®Ò nµy chóng ta kh¶o s¸t s¬ ®å m«men quay cña ph«i vµ m«men c¶n l¹i sù quay c S/2 nµy trªn h×nh 6.3. x S/2 Ph«i quay ®−îc lµ do m«men cña lùc ma f.P α s¸t T t¹o ra víi tay ®ßn a. Ta ký hiÖu m«men nµy P P lµ M1: M1 = T.a = P.f.a (6.9) f.P a Hai trôc c¸n t¸c ®éng lªn ph«i c¸c lùc lµ P, c¸c lùc nµy t¹o ra mét m«men quay víi tay D/2 ®ßn lµ c, ký hiÖu lµ M2: M2 = P.c (6.10) H×nh 6.3- S¬ ®å m«men Trong tr−êng hîp ph«i ngõng quay th× M1 khi c¸n ngang = M2, nªn: f.a = c (6.11) Gi¶ thiÕt r»ng chiÒu dµi cung tiÕp xóc b»ng ®é dµi d©y cung vµ ®iÓm ®¹t cña lùc P ë chÝnh gi÷a d©y cung. Víi mét gi¸ trÞ cña c nh− ë h×nh 6.3, ta cã: C = S + d.sinα (d.sinα = x) trong ®ã, S: ®é dµi d©y cung a = d.cosα (d: ®−êng kÝnh vËt c¸n sau mét lÇn c¸n) Thay c vµ a vµo (6.11) ta cã: S = f . cos α − sin α (6.12) d MÆt kh¸c, tõ h×nh 6.3 ta nhËn thÊy S ⎛S⎞ = sin α, do vËy cos α = 1 − sin 2 α = 1 − ⎜ ⎟ D ⎝D⎠ Thay vµo (6.12) ta cã:

2

2⎤ ⎡ S S ⎛S⎞ = f⎢ 1− ⎜ ⎟ ⎥ − (6.13) ⎢ d ⎝D⎠ ⎥ D ⎣ ⎦ S f hay, (6.14) = 2 d d⎞ ⎛ 2 ⎜1 + ⎟ + f D ⎝ ⎠ V× hÖ sè ma s¸t f < 1 nªn f2 cã thÓ bá qua vµ trÞ sè gÇn ®óng cña biÓu thøc (6.14) cã thÓ viÕt nh− sau: S f ≈ (6.15) d d 1+ D Nh− ®· nãi ë trªn, qu¸ tr×nh quay cña ph«i lu«n cã hiÖn t−îng t¹o «van nªn trÞ sè tíi h¹n cña tû sè S/d (®é dµi tiÕp xóc tíi h¹n) cã gi¸ trÞ:

Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng

79

Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n

ϕ.f ⎛S⎞ (6.16) ⎜ ⎟ = ⎝ d ⎠ th 1 + d D Ta coi ®é dµi cung tiÕp xóc cã gi¸ trÞ nh− chiÒu réng b ®· t×m ®−îc (6.8) th×: ϕ.f = ϕ ε th (6.17) d 1+ D V× vËy,

ε th =

f2 2

(6.18)

d⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ ⎝ D⎠ Trong thùc tÕ th× tû sè gi÷a chiÒu réng cña bÒ mÆt tiÕp xóc víi ®−êng kÝnh cña ph«i lµ rÊt bÐ, lùc ma s¸t còng rÊt nhá. V× vËy, cã thÓ ®¸nh gi¸ mét c¸ch gÇn ®óng tû sè l/d vµ εth trong khi hÖ sè ma s¸t biÕn ®æi trªn chiÒu réng cña bÒ mÆt tiÕp xóc tõ 0 (ë gi÷a) ®Õn mét gi¸ trÞ tíi h¹n còng chØ b»ng hÖ sè ma s¸t tr−ît, cã nghÜa lµ: 0 < f < ftr−ît V× vËy, trÞ sè hÖ sè ma s¸t trung b×nh cã gi¸ trÞ: fTB = 0,5.ftr−ît NÕu ta gi¶ thiÕt r»ng ftr−ît = 0,3 vµ khi tû sè d/D ≈ 0 th× theo biÓu thøc (6.18) l−îng biÕn d¹ng tû ®èi tíi h¹n εth cã gi¸ trÞ:

ε th

( 0,5.0,3)2 =

≈ 2,25% 1+ 0 VËy, khi c¸n ngang l−îng biÕn d¹ng tû ®èi rÊt bÐ, bÐ h¬n gi¸ trÞ tíi h¹n trªn.

6.3- Sù xuÊt hiÖn biÕn d¹ng dÎo khi c¸n ngang

D−íi t¸c dông cña ngo¹i lùc (lùc cña trôc c¸n) sù diÔn biÕn cña biÕn d¹ng dÎo trªn mét mÆt c¾t nµo ®ã cña vïng biÕn d¹ng sÏ lµ mét tæng vµ sù t−¬ng quan gi÷a c¸c øng suÊt trong vïng biÕn d¹ng còng nh− biÕn d¹ng khi c¸n däc. Muèn nghiªn cøu vÊn ®Ò nµy ph¶i gi¶i ®−îc bµi to¸n vÒ øng suÊt, ë ®©y còng lµ bµi to¸n ph¼ng v× ta chØ xÐt trªn mét mÆt c¾t nµo ®ã cña tiÕt diÖn. Gi¶ thiÕt tiÕt diÖn lµ mét vßng trßn, trªn mét ®−êng kÝnh th¼ng ®øng cã hai lùc (nÐn) xuyªn t©m vµ ®−îc tËp trung ë t©m. Ta biÕt r»ng, nÕu mét ®Üa chÞu hai lùc nÐn nh− ë h×nh 6.4 th× ë t©m ®Üa chÞu mét hÖ thèng øng suÊt nÐn ®µn håi mµ ph−¬ng tr×nh viÕt trong hÖ täa ®é trô lµ: P ⎧ ⎪σ ρ = − π.r (1 + 2 cos 2θ) ⎪ P ⎪ (1 − 2 cos 2θ) (6.19) ⎨σ θ = − π.r ⎪ 2P ⎪ ⎪τρθ = π.r sin 2θ ⎩ Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng

80

Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n

víi θ: gãc biÕn ®æi (h×nh 6.4). A

σy=σρ

O

γ b

r0 r θ r 1 B

θ

øng suÊt trªn biªn giíi gi÷a vïng ®µn håi vµ dÎo ë t¹i t©m vßng trßn ph¶i tho¶ m·n c¸c ph−¬ng tr×nh vÒ ®µn håi vµ dÎo, nghÜa lµ ph¶i tho¶ m·n ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh (6.20): ⎧ ∂σ ρ 1 ∂τρθ σ ρ − σ θ =− + =0 ⎪ ∂ ρ ρ ∂ θ ρ ⎪ ⎪ 1 ∂σ ∂τ ρθ τ ρθ θ ⎪ + +2 =0 ⎨ ρ ∂θ ∂ρ ρ ⎪ ⎪∇ 2 σ ρ − σ θ = 0 ⎪ 2 ⎪ σ ρ − σ θ 2 + 4 τρθ = K2 ⎩

A σx=σθ

B

τxy fk σy

(

H×nh 6.4- S¬ ®å t¸c dông lùc trªn mét tiÕt diÖn trßn khi c¸n ngang

(

)

)

ë ®©y ký hiÖu ∇ lµ ®¹o hµm bËc hai cña hai øng suÊt σρ vµ σθ (σx vµ σy). ∇ =

∂2

∂2

+ ∂ρ 2 ∂θ 2 NÕu ta thay ®æi c¸c gi¸ trÞ cña øng suÊt ë biÓu thøc (6.19) vµo ph−¬ng tr×nh dÎo ë biÓu thøc (6.20), ta cã: 2

2

2

⎛ P ⎞ ⎛ P ⎞ 16⎜ ⎟ . cos 2 2θ + 16⎜ ⎟ sin 2 2θ = K 2 (6.21) ⎝ π.r ⎠ ⎝ π.r ⎠ P K Suy ra, =± (6.22) π.r 4 Cã nghÜa lµ víi mét ®iÒu kiÖn nh− ë biÓu thøc (6.22) th× ph−¬ng tr×nh dÎo tho¶ m·n, cã nghÜa lµ ë t©m vßng trßn b¾t ®Çu cã biÕn d¹ng dÎo. VËy víi l−îng Ðp bao nhiªu th× ë t©m vßng trßn b¾t ®Çu cã biÕn d¹ng dÎo ? Lùc toµn bé t¸c dông lªn bÒ mÆt tiÕp xóc khi c¸n ngang lµ: P = p.l (N) trong ®ã, l lµ chiÒu réng bÒ mÆt tiÕp xóc (®é dµi trªn h×nh trô lµ l). Tõ biÓu thøc (6.22) ta suy ra: 1 πK 1 πK = ⇔ = (6.23) r 4 p d 8 p NÕu víi mét lùc ®¬n vÞ trung b×nh tÝnh theo biÓu thøc (4.36) ta nhËn thÊy r»ng: ¶nh h−ëng cña ma s¸t tiÕp xóc khi c¸n ngang lµ kh«ng ®¸ng kÓ v× t¶i träng mang tÝnh tËp trung, ®ång thêi tû sè gi÷a chiÒu réng b vµ d cïng rÊt nhá, cho nªn cã thÓ coi nσ ≈ 1.

¶nh h−ëng cña biÕn cøng vµ tèc ®é biÕn d¹ng cïng cã gi¸ trÞ nH = nv = 1 v×

Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng

81

Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n

qu¸ tr×nh lµ c¸n nãng, mÆt kh¸c t¶i träng còng lµ t¶i träng tÜnh. V× vËy biÓu thøc (4.36) cã d¹ng: p = nβ.nc.σS (6.24) Trªn c¬ së thùc nghiÖm cña Smirn«p th×: l l v× nhá nªn nc = 2. d d Nh− chóng ta ®· biÕt ¶nh h−ëng cña chiÒu réng còng cã nghÜa lµ ¶nh h−ëng cña σ2. Trong biÕn d¹ng ph¼ng trÞ sè K = nβ.σS = 1,15.σS vµ v× vËy trªn c¬ së cña (6.25) biÓu thøc (6.24): p = nβ.nc.σS = 2.K K 1 Do ®ã, = . Thay gi¸ trÞ nµy vµo biÓu thøc (6.23) ta cã: p 2 nc = 2 −

l π 1 = . ≈ 0,2 d 4 2 Nh− vËy trë l¹i biÓu thøc (6.8) ta nhËn ®−îc l−îng biÕn d¹ng:

hay,

⎛l l⎞ ε = ⎜⎜ . ⎟⎟ ⎝d ϕ⎠ 0,04 ε= 2 ϕ

2

(v× l = b)

ë ®©y ϕ lµ ®é «van khi c¸n ngang vµ nÕu ϕ cµng t¨ng th× l−îng biÕn d¹ng cµng bÐ. C¸c sè liÖu thùc nghiÖm cho thÊy: ϕ = 1,4. Nh− vËy trÞ sè ε sÏ lµ: 0,04 ε = 2 = 2% 1,4 So s¸nh gi¸ trÞ nµy víi sè liÖu thùc nghiÖm cña mét sè tac sgi¶ cho thÊy kh¸ bÐ. Víi sè liÖu thùc nghiÖm cña ¤r¬nop vµ S¬v©ykin lµ 4%, cña Phor¬mitrep lµ 5%, cña Xevedenc« lµ 8%. VÊn ®Ò nµy mét lÇn n÷a cho thÊy r»ng, khi c¸n ngang vµ c¸n nghiªng cã mét sù gi¶m c−êng ®é biÕn d¹ng dÎo tõ ngoµi vµo trong t©m cña tiÕt diÖn do trÞ sè rÊt nhá cña l−îng Ðp tíi h¹n. NÕu nh− biÕn d¹ng dÎo nhê mét lo¹t c¸c l−îng Ðp tíi h¹n mµ thÈm thÊu ®Õn t©m cña tiÕt diÖn th× trªn c¬ së cña c¸c biÓu thøc (6.19) vµ (6.22) øng suÊt cña ngo¹i lùc ®−îc x¸c ®Þnh theo biÓu thøc: K ⎧ ⎪σ ρ = − 4 (1 + 2 cos 2θ ) ⎪ K ⎪ ⎨σ θ = − (1 − 2 cos 2θ ) 4 ⎪ K ⎪ ⎪τρθ = 2 sin 2θ ⎩

Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng

(6.26)

82

Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n

NÕu nh− biÕn d¹ng dÎo ch−a thÈm thÊu ®Õn t©m tiÕt diÖn th× øng suÊt ë t©m cña tiÕt diÖn ®−îc tÝnh theo biÓu thøc: K ⎧ ⎪σ ρ = − n. 4 (1 + 2 cos 2θ ) ⎪ K ⎪ (6.27) ⎨σ θ = − n. (1 − 2 cos 2θ ) 4 ⎪ K ⎪ ⎪τρθ = n. 2 sin 2θ ⎩ víi, n lµ mét hÖ sè biÕn ®æi trong ph¹m vi tõ 0 < n < 1 tuú thuéc vµo gi¸ trÞ cña ngo¹i lùc hoÆc l−îng Ðp hÖ sè n còng cã thÓ t×m tõ ®iÒu kiÖn: P (1 + 2 cos 2θ) = n K (1 + 2 cos 2θ) π.r 4 4P 4 P n= = Suy ra: π.r.K π.r K V× P = p.l vµ r = d/2 nªn: 8 p l n= . . π K d l K 1 p = ϕ ε ; = hay = 2 Tr−íc ®©y chóng ta ®· cã: d p 2 K

VËy,

n=

16 .ϕ ε π

Víi ϕ = 1,4: n = 7,1 ε Nh− h×nh 6.4, θ lµ gãc biÕn ®æi tõ 0 ÷ γ víi mét gi¸ trÞ rÊt bÐ cho nªn cos2θ = 1 vµ sin2θ = 0. V× vËy, tõ biÓu thøc (6.26) ta cã: ⎧σ ρ = 0,75.n.K ⎪ ⎨σ θ = 0,25.n.K ⎪τ = 0 ⎩ ρθ

(6.28)

6.4- T×m gi¸ trÞ øng suÊt do ngo¹i lùc g©y ra trong vïng biÕn d¹ng b»ng c¸ch gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n c©n b»ng khi biÕn d¹ng ph¼ng Víi bµi to¸n ph¼ng, ph−¬ng tr×nh vi ph©n c©n b»ng kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn dÎo lµ: ⎧ ∂σ x ∂τ xy + =0 ⎪ x y ∂ ∂ ⎪ ⎪⎪ ∂σ y ∂τ xy (6.29) + =0 ⎨ ∂x ⎪ ∂y ⎪ 2 2 2 ⎪ σ x − σ y + 4τ xy = 4 K ⎪⎩

(

)

Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng

83

Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n

NÕu ta tiÕp tôc lÊy ®¹o hµm bËc hai cña biÓu thøc (6.29) víi x, y th×: ∂ 2 τ xy ∂ 2 τ xy ∂2 σx − σy = 2 − 2 ∂x∂y ∂ x ∂ y

(

)

(σ x − σ y ) = ± 2

vµ víi: Ta cã:

∂ 2 τ xy ∂2x

−

∂ 2 τ xy ∂2y

K 2 − τ 2xy = ±2

∂2 K 2 − τ 2xy ∂x∂y

(6.30)

§Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh (6.30) víi c¸n nghiªng cÇn cã nh÷ng gi¶ thiÕt vµ nhËn xÐt: - Tû sè l/d rÊt bÐ. - TrÞ sè øng suÊt tiÕp thay ®æi tõ 0 ®Õn f.K khi ®i gi÷a bÒ mÆt tiÕp xóc ra ngoµi biªn. V× vËy ta coi τxy = 0 th× nã kh«ng phô thuéc vµo täa ®é y. ∂ 2 τ xy

=0 ∂2x τxy = C1x + C2 víi h»ng sè C1 vµ C2 lÊy theo ®iÒu kiÖn biªn nh− sau: x = 0 vµ τxy = 0 th× C2 = 0 τxy = C1x Suy ra, V× vËy tõ biÓu thøc (6.29) ta rót ra: ∂τ xy ∂σ y =− = C1 ∂y ∂x

V× vËy,

(6.31)

LÊy tÝch ph©n ta cã: σy = C1y + f(x) (6.32) σy = p = nσ.nH.nv.nc.nβ.σS VÒ mÆt trÞ sè th×: trong ®ã, nσ = 1; nH = 1; nv = 1; nc = 2 vµ nβ.σS = K Khi y = r th× σy = -2K NÕu biÕn d¹ng thÈm thÊu ®Õn t©m tiÕt diÖn vµ gi¶ thiÕt n = 1 th× tõ biÓu thøc (6.28) khi y = 0; σy = -0,75K. D×ng ®iÒu kiÖn biªn nµy cho biÓu thøc (6.32) ta cã: 1,25K f(x) = -0,75K; C 1 = r y σ y = 1,25K − 0,75K (6.33) VËy, r Víi τxy = C1x, ta cã: Kx τ xy = ± 1,25 (6.34) r Khi b = x, ta cã: f.K = Kb/r nªn f = 1,25b/r = 1,25γ Thùc tÕ gi¸ trÞ nµy rÊt bÐ so víi 1 nªn 1,25x/r còng lµ mét ®¹i l−îng rÊt bÐ, v× vËy mµ ph−¬ng tr×nh dÎo cã thÓ viÕt d−íi d¹ng:

Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng

84

Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n

(σ x − σ y )

2

2 ⎛ 2 τ xy ⎞ 2,5.x ⎞ ⎟ = ν.K 1 − ⎛⎜ = ν.K 1 − ⎜⎜ ⎟ ≈ ν.K ⎟ K r ⎠ ⎝ ⎝ ⎠

(6.35)

Víi ®iÒu kiÖn biªn n = 1 vµ ν = ±1 th× tõ biÓu thøc (6.28) ta x¸c ®Þnh øng suÊt σθ = σx. Trªn c¬ së c¸c biÓu thøc (6.33) vµ (6.35) ta cã: y σ x = −1,25K + 0,25K (6.36) r C¸c hµm sè theo biÓu thøc (6.33) vµ (6.36) còng sÏ tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh vi ph©n c©n b»ng (6.29) víi mäi gi¸ trÞ cña hÖ täa ®é x, y. Khi x = 0, ®iÒu kiÖn dÎo viÕt d−íi d¹ng cña biÓu thøc (6.35) vµ biÓu thøc nµy cã d¹ng nh− ®iÒu kiÖn dÎo viÕt trong hÖ trôc chÝnh (x = 0 trªn mét ®−êng kÝnh th¼ng ®øng, h×nh 6.4), ta cã: ⎧ ⎪τ xy = τρθ = 0 ⎪ Kρ ⎪ (6.37) − 0,75K ⎨σ y = σ ρ = −1,25 r ⎪ Kρ ⎪ ⎪⎩σ x = σ θ = −1,25 r + 0,25K NÕu nh− biÕn d¹ng dÎo ch−a thÈm thÊu ®Õn t©m tiÕt diÖn th× ®iÒu kiÖn biªn cña bµi to¸n theo biÓu thøc (6.28) vµ ph−¬ng tr×nh dÎo cã d¹ng: (6.38) σx - σy = ν.n.K B»ng c¸ch gi¶i t−¬ng tù nh− trªn, ta nhËn ®−îc kÕt qu¶: ⎧ ⎪τ ρθ = 0 ⎪ Kρ ⎪ (6.39) − 0,75K ⎨σ ρ = (− 2 + 0,75n ) r ⎪ Kρ ⎪ ⎪⎩σ θ = (− 2 + 0,75n ) r + 0,25K Tæng hîp c¸c biÓu thøc (6.26) vµ (6.37) ta cã c¸c kÕt qu¶ nh− b¶ng: øng suÊt cña ngo¹i lùc t¹i t©m tiÕt diÖn cña ph«i

θ (®é) 0 45 90

TrÞ sè øng suÊt σρ - 0,75K.n - 0,25K.n + 0,25K.n

TrÞ sè øng suÊt σθ + 0,25K.n - 0,25K.n - 0,75K.n

σz = (σρ + σθ)/2 - 0,25K.n - 0,25K.n - 0,25K.n

øng suÊt cña ngo¹i lùc trªn chu vi cña ph«i θ (®é) 0 45 90

TrÞ sè øng suÊt σρ - 2K 0 0

TrÞ sè øng suÊt σθ -K -K -K

Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng

σz = (σρ + σθ)/2 - 1, 5K.n - 0,5K.n - 0,5K.n

85

Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n

Nh− chóng ta ®· biÕt khi c¸n ngang th× ph«i võa quay võa bÞ biÕn d¹ng vµ sau mét vµi l−îng Ðp tíi h¹n trong ph«i xuÊt hiÖn øng suÊt kÐo theo ph−¬ng h−íng kÝnh do qu¸ tr×nh biÕn d¹ng kh«ng ®Òu g©y ra vµ còng lµ kÕt qu¶ cña ®Æc ®iÓm tËp trung ngo¹i lùc trªn mét ®−êng kÝnh. Ngoµi ra khi c¸n ngang ph«i chÞu ®iÒu kiÖn biÕn d¹ng ph©n líp trªn c¸c ph©n tè vßng trßn, song ph«i l¹i lµ mét quÇn thÓ ®Æc sÝt v× thÕ mµ trong ph«i xuÊt hiÖn ra øng suÊt kÐo trong khi ®ã øng suÊt ë ngoµi l¹i chÞu øng suÊt nÐn do trôc c¸n ®em l¹i.

6.5- Nh÷ng kÕt qu¶ thùc nghiÖm khi c¸n ngang Ng−êi ta tiÕn hµnh c¸n trªn 3 mÉu cã tû sè gi÷a chiÒu dµi vµ ®−êng kÝnh kh¸c nhau (h×nh 6.5). Sè liÖu thùc nghiÖm nghiªn cøu tû sè d·n dµi cña c¸c líp ë chu vi bªn ngoµi cña h×nh trô llk/l0 vµ c¸c líp ë t©m cña mÉu thö llu/l0 khi ε kh«ng ®æi. l0/d0 < 3 l0/d0 = 3 llk/l0; llu/l0 1,06 ε = 1,5% 1,04 llk/l0 1% 1,02 0,5% l0/d0 > 3 0,5% 1,00 llu/l0 1% 1,5% 0,98 0 1 2 3 4 5 l0/d0 a) b) H×nh 6.5- Sù phô thuéc hÖ sè kÐo dµi ë c¸c líp mÆt ngoµi vµ t©m trôc cña ph«i vµo tû sè gi÷a chiÒu dµi vµ ®−êng kÝnh mÉu a) Sè liÖu thùc nghiÖm; b) S¬ ®å KÕt qu¶ thùc nghiÖm nh− trªn h×nh 6.5a. Tõ c¸c kÕt qu¶ thùc nghiÖm ta cã nhËn xÐt: - Khi l0/d0 < 3 th× ë t©m cã hiÖn t−îng co. - Khi l0/d0 > 3 th× cã d·n dµi. - Khi l0/d0 = 3 ta cã chiÒu dµi kh«ng ®æi ë mäi l−îng Ðp ®Õn chõng nµo mµ t¹i t©m ch−a h×nh thµnh nh÷ng vÕt rçng. Chóng ta còng nhËn ra r»ng, khi ls/dv = 3 th× s¬ ®å biÕn d¹ng ë t©m ph«i lµ biÕn d¹ng ph¼ng v× ë ®©y ®· xuÊt hiÖn nh÷ng lç rçng. C¸n ngang cã mét quy luËt rÊt kh¾t khe gi÷a biÕn d¹ng ®µn håi vµ biÕn d¹ng dÎo, do vËy cïng t©m ph«i dÔ bÞ ph¸ huû. Còng v× vËy mµ kÝch th−íc h×nh häc cña ph«i còng sÏ bÞ biÕn ®æi theo mét quy luËt nhÊt ®Þnh theo chiÒu trôc cña c¸c l−îng Ðp theo ®−êng kÝnh. Sù h×nh thµnh c¸c lç rçng lµ kÕt qu¶ cña qu¸ tr×nh chuyÓn tõ tr¹ng th¸i dÎo sang tr¹ng th¸i ph¸ huû. Ng−êi ta c¸n mét ph«i thÐp h×nh trô ë nhiÖt ®é 10600C trªn m¸y c¸n cã ®−êng kÝnh D = 400 mm. KÕt qu¶ thùc nghiÖm nh− ë h×nh 6.6. Qua ®å thÞ ta thÊy khi l−îng Ðp ∆d/d0% lµ 7,75% th× biÕn d¹ng cña líp ngoµi vµ líp trong kh¸c biÖt nhau rÊt lín, l−îng Ðp cµng t¨ng cµng cã sù kh¸c biÖt. Trªn h×nh 6.6 cßn cho biÕt sù

Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng

86

Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n

thay ®æi tû sè Vn/V0 (tû träng khèi l−îng riªng). ë l−îng Ðp 7,75% vïng t©m ph«i bÞ ph¸ huû vµ nã ®−îc coi lµ l−îng Ðp tíi h¹n. llk/l0; llu/l0 Vn/V0.100% 4,0

1,8 Vn/V0

1,6

3,0 2,0

1,4 llk/l0

1,2

1,0

1,0

0

llu/l0

0,8 0,6 0

1

2

3

4

5

6

7

8

∆d/d0.100%

H×nh 6.6- Sù kh¸c nhau cña hÖ sè kÐo dµi ë líp ngoµi vµ trong t©m khi c¸n ngang mét ph«i trßn thÐp 0,16%C ë nhiÖt ®é 10600C

Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng

87