Trường THPT Hương Giang Chương III: NGUYÊN HÀM Bài 1: NGUYÊN HÀM I. Mục đích yêu cầu:
Tổ Toán
1. Về kiến thức: - Hiểu được định nghĩa nguyên hàm của hàm số trên K, phân biệt rõ một nguyên hàm với họ nguyên hàm của một hàm số. - Biết các tính chất cơ bản của nguyên hàm. - Nắm được các phương pháp tính nguyên hàm. 2. Về kĩ năng: - Tìm được nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm. - Sử dụng phương pháp đổi biến số, phương pháp tính nguyên hàm từng phần để tính nguyên hàm. 3. Về tư duy, thái độ: - Thấy được mối liên hệ giữa nguyên hàm và đạo hàm của hàm số. - Cẩn thận, chính xác, nghiêm túc, tích cực phát biểu xây dựng bài. II. Chuẩn bị: 1. Giáo viên: Giáo án, bảng phụ, phiếu học tập. 2. Học sinh: SGK, đọc trước bài mới. III. Tiến trình bài học: 1. Ổn định lớp: Kiểm tra sỉ số, tác phong… 2. Kiểm tra bài cũ: Câu hỏi: Tìm đạo hàm các hàm số sau: a/ y = x3
b/ y = tan x
3. Bài mới: Tiết 40 : HĐGV HĐHS HĐ1: Nguyên hàm HĐTP1: Hình thành khái niệm nguyên hàm - Yêu cầu học sinh thực hiện - Thực hiện dễ dàng dựa HĐ1 SGK. vào kquả KTB cũ. - Từ HĐ1 SGK cho học sinh rút - Nếu biết đạo hàm của ra nhận xét (có thể gợi ý cho một hàm số ta có thể suy học sinh nếu cần) ngược lại được hàm số - Từ đó dẫn đến việc phát biểu gốc của đạo hàm. định nghĩa khái niệm nguyên - Phát biểu định nghĩa Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
Ghi bảng I. Nguyên hàm và tính chất 1. Nguyên hàm Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng của IR. Định nghĩa: (SGK/ T93)
-1-
Trường THPT Hương Giang hàm (yêu cầu học sinh phát nguyên hàm (dùng SGK) biểu, giáo viên chính xác hoá - Học sinh thực hiện và ghi bảng) được 1 cách dễ dàng nhờ HĐTP2: Làm rõ khái niệm vào bảng đạo hàm. - Nêu 1 vài vd đơn giản giúp học sinh nhanh chóng làm quen TH: với khái niệm (yêu cầu học sinh a/ F(x) = x2 thực hiện) H1: Tìm Ng/hàm các hàm số: b/ F(x) = lnx a/ f(x) = 2x trên (-∞; +∞) 1 c/ F(x) = sinx b/ f(x) = trên (0; +∞) x c/ f(x) = cosx trên (-∞; +∞) HĐTP3: Một vài tính chất suy a/ F(x) = x2 + C ra từ định nghĩa. b/ F(x) = lnx + C - Yêu cầu học sinh thực hiện c/ F(x) = sinx + C HĐ2 SGK. (với C: hằng số bất kỳ) - Từ đó giáo viên giúp học sinh nhận xét tổng quát rút ra kết - Học sinh phát biểu định luận là nội dung định lý 1 và lý (SGK). định lý 2 SGK. - Yêu cầu học sinh phát biểu và C/M định lý. HĐGV HĐHS - Từ định lý 1 và 2 (SGK) nêu - Chú ý K/n họ nguyên hàm của h/số và kí hiệu. - Làm rõ mối liên hệ giữa vi phân của hàm số và nguyên hàm của nó trong biểu thức. (Giáo viên đề cập đến thuật ngữ: tích phân không xác định cho học sinh) HĐTP4: Vận dụng định lý - H/s làm vd2 (SGK): Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh nếu - H/s thực hiện vd cần, chính xác hoá lời giải của học sinh và ghi bảng. HĐ2: Tính chất của nguyên hàm. HĐTP1: Mối liên hệ giữa nguyên hàm và đạo hàm: - Từ đ/n dễ dàng giúp học sinh suy ra tính chất 1 (SGK) - Minh hoạ tính chất bằng vd và - Phát biểu tính chất 1 y/c h/s thực hiện. (SGK) HĐTP2: Tính chất 2 (SGK) - Yêu cầu học sinh phát biểu - H/s thực hiện vd tính chất và nhấn mạnh cho học Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
Tổ Toán
VD: a/ F(x) = x2 là ng/hàm hàm số f(x) = 2x trên (-∞; +∞) b/ F(x) = lnx là ng/hàm của 1 hàm số f(x) = trên (0; +∞) x c/ F(x) = sinx là ng/hàm của h/số f(x) = cosx trên (-∞; +∞)
Định lý1: (SGK/T93) C/M. Ghi bảng Định lý2: (SGK/T94) C/M (SGK)
∫f(x) dx = F(x) + C
CЄR Là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K *Chú ý: f(x)dx là vi phân của ng/hàm F(x) của f(x) vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx. Vd2: a/ ∫2xdx = x2 + C; x Є(-∞; +∞) b/ ∫1/sds = ln s + C; s Є(0; +∞) c/ ∫costdt = sint + C; t Є(0; +∞) 2. Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1:
∫f’(x) dx = f(x) + C
Vd3: ∫(cosx)’dx = ∫(-sin)dx = cosx + C Tính chất2: -2-
Trường THPT Hương Giang sinh hằng số K+0 - HD học sinh chứng minh tính chất. - Phát biểu tính chất. HĐTP3: Tính chất 3 - Y/cầu học sinh phát biểu tính chất. - Thực hiện HĐ4 (SGK) (giáo viên hướng dẫn học sinh nếu cần) - Phát biểu dựa vào SGK. - Thực hiện HĐGV - Minh hoạ tính chất bằng vd4 SGK và yêu cầu học sinh thực hiện. - Nhận xét, chính xác hoá và ghi bảng. HĐ3: Sự tồn tại của nguyên hàm - Giáo viên cho học sinh phát biểu và thừa nhận định lý 3. - Minh hoạ định lý bằng 1 vài vd 5 SGK (y/c học sinh giải thích) HĐ4: Bảng nguyên hàm - Cho học sinh thực hiện hoạt động 5 SGK. - Treo bảng phụ và y/c học sinh kiểm tra lại kquả vừa thực hiện. - Từ đó đưa ra bảng kquả các nguyên hàm của 1 số hàm số thường gặp. - Luyện tập cho học sinh bằng cách yêu cầu học sinh làm vd6 SGK và 1 số vd khác gv giao cho. - HD h/s vận dụng linh hoạt bảng hơn bằng cách đưa vào các hàm số hợp.
HĐHS - Học sinh thực hiện Vd: Với x Є(0; +∞) Ta có: ∫(3sinx + 2/x)dx = 3∫(sin)dx + 2∫1/xdx = -3cosx + 2lnx +C
Tổ Toán
∫kf(x) dx = k ∫f(x) dx k: hằng số khác 0 C/M: (SGK) Tính chất 3:
∫[f(x) ± g(x)]dx=∫f(x)dx ±∫g(x)dx C/M: Chứng minh của học sinh được chính xác hoá. Ghi bảng Vd4: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3sinx + 2/x trên khoảng (0; +∞) Giải: Lời giải của học sinh đã chính xác hoá. 3. Sự tồn tại của nguyên hàm
- Phát biểu định lý
Định lý 3: (SGK/T95)
- Thực hiện vd5
Vd5: (SGK/T96)
- Thực hiện HĐ5 - Kiểm tra lại kquả
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp: Bảng nguyên hàm: (SGK/T97)
- Chú ý bảng kquả - Thực hiện vd 6 Vd6: Tính 2 -2/3 a/ = 2∫x dx + ∫x dx = 1 2/3x3 + 3x1/3 + C. a/ ∫[2x2 + ─ ]dx trên (0; +∞) 3 b/ = 3∫cosxdx - 1/3xdx √x2 b/ ∫(3cosx - 3x-1) dx trên (-∞; +∞) = 3sinx - +C c/ ∫2(2x + 3)5dx 6 c/ = 1/6(2x + 3) + C d/ = ∫sinx/cosx dx d/ ∫tanx dx = - ln/cosx/ +C
Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
-3-
Trường THPT Hương Giang
Tổ Toán
Tiết 41 HĐGV HĐ5: Phương pháp đổi biến số HĐTP1: Phương pháp - Yêu cầu h/s làm hđộng 6 SGK. - Những bthức theo u sẽ tính được dễ dàng nguyên hàm - Gv đặt vđề cho học sinh là: ∫(x1)10dx = ∫udu Và ∫lnx/x dx = ∫tdt - HD học sinh giải quyết vấn đề bằng định lý 1(SGKT98) - HD h/s chứng minh định lý - Từ định lý y/c học sinh rút ra hệ quả và phát biểu. - Làm rõ định lý bằng vd7 (SGK) (yêu cầu học sinh thực hiện) - Lưu ý học sinh trở lại biến ban đầu nếu tính nguyên hàm theo biến mới. HĐTP2: Rèn luyện tính nguyên hàm hàm số bằng p2 đổi biến số. - Nêu vd và y/c học sinh thực hiện. HD học sinh trả lời bằng 1 số câu hỏi H1: Đặt u như thế nào? H2: Viết tích phân bất định ban đầu thẽo? H3: Tính? H4: Đổi biến u theo x - Nhận xét và chính xác hoá lời giải.
HĐHS
Ghi bảng II. Phương pháp tính nguyên hàm 1. Phương pháp đổi biến số
- Thực hiện a/ (x-1)10dx chuyển thành u10du. b/ lnx/x dx chuyển thành : t ─ etdt = tdt et Định lý1: (SGK/ T98) - Phát biểu định lý 1 C/M (SGK) (SGK/T98) Hệ quả: (SGK/ T98) - Phát biểu hệ quả - Thực hiện vd7 Vì ∫sinudu = -cosu + C Nên: ∫sin (3x-1)dx = -1/3 cos (3x - 1) + C
- Thực hiện vd: Đặt u = x + 1 Khi đó: ∫x/(x+1)5dx = ∫ u-1/u5 du = ∫1/u4 du - ∫1/u5 du 1 1 1 1 =-─ .─ + ─ ─+C 3 u3 4 u4 1 1 1 1 =-─ .─ + ─ ─+C 3 (x+1)3 4 (x+1)4 1 1 1 = ─ [- ─ + ─ ]+ C (x+1)3 3 4(x+1) HĐGV HĐHS - Nêu vd9; yêu cầu học sinh thực - Học sinh thực hiện hiện. GV có thể hướng dẫn thông a/ qua 1 số câu hỏi: Đặt U = 2x + 1 Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
∫f(ax+b)dx=1/a F(ax+b) + C (a + 0) VD7: Tính ∫sin (3x -1)dx * Chú ý: (SGK/ T98) Vd8 (SGK) Tính ∫x/(x+1)5 dx Giải: Lời giải học sinh được chính xác hoá
Ghi bảng Vd9: Tính a/ ∫2e2x +1 dx b/ ∫ 5 x4 sin (x5 + 1)dx -4-
Trường THPT Hương Giang H1: Đổi biến như thế nào? U’ = 2 H2: Viết tích phân ban đầu theo u ∫2 e 2x+1 dx = ∫ eu du H3: Tính dựa vào bảng nguyên = eu + C hàm. = e 2x+1 + C - Từ những vd trên và trên cơ sở b/ Đặt U = x5 + 1 của phương pháp đổi biến số U’ = 5 x4 y/cầu học sinh lập bảng nguyên ∫ 5 x4 sin (x5 + 1)dx hàm các hàm số cấp ở dạng hàm = ∫ sin u du = - cos u +c số hợp: dạng: f(u) với u = u (x) = - cos (x5 + 1) + c - Học sinh thực hiện
Tổ Toán Giải: Lời giải học sinh được chính xác hoá .
- Bảng nguyên hàm 1 số hàm số sơ cấp ở dạng hàm số hợp. (bảng phụ)
Tiết 42
Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
-5-
HĐGV
HĐHS
HĐ6: Phương nguyên Trườngpháp THPT Hươnghàm Giang từng phần. HĐTP1: Hình thành phương pháp. - Yêu cầu và hướng dẫn học sinh - Thực hiện: thực hiện hoạt động 7 SGK. ∫(x cos x)’ dx = x cos + C1 - Từ hoạt động 7 SGK hướng ∫cosx dx = Sin x + C2 dẫn học sinh nhận xét và rút ra Do đó: kết luận thay U = x và V = cos x. ∫x sin x dx = - x cosx - Từ đó yêu cầu học sinh phát + sin x + C (C = - C1 + C2) biểu và chứng minh định lý - Phát biểu định lý - Lưu ý cho học sinh cách viết - Chứng minh định lý: biểu thức của định lý: V’(x) dx = dv U’ (x) dx = du HĐTP2: Rèn luyện tính nguyên hàm hàm số bằng phương pháp nguyên hàm từng phần. - Nêu vd 9 SGK yêu cầu học sinh thực hiện. GV có thể hướng dẫn thông qua các câu hỏi gợi ý: Đặt u = ? Suy ra du = ? , dv = ? - Thực hiện vídụ: Áp dụng công thức tính a/ Đặt: U = x dv = ex dx - Nhận xét , đánh giá kết quả và Vậy: du = dx , v = ex chính xác hoá lời giải , ghi bảng ∫x ex dx = x . ex - ∫ ex de ngắn gọn và chính xác lời giải. x ex - ex + C b/ Đặt u = x , dv = cos dx, du = dx , v = sin x Do đó: ∫ x cos x dx = x sin x - ∫sin - Từ vd9: yêu cầu học sinh thực dx = x sin x + cosx + C hiện HĐ8 SGK c/ Đặt u = lnx, dv = dx - Nêu 1 vài ví dụ yêu cầu học du = 1/2 dx , v= x sinh thực hiện tính khi sử dụng Do đó: phương pháp nguyeê hàm từng ∫ lnx dx = xlnx - x + c phần ở mức độ linh hoạt hơn. - Thực hiện 1 cách dễ dàng. - GV hướng dẫn học sinh thực - Thực hiện theo yêu cầu hiện tính (lặp lại tính nguyên giáo viên hàm 1 số lần ) a/ Đặt u = x2 và dv = cosx - Nhận xét và chính xác hoá kết dx quả. ta có: du = 2xdx, v = sin x do đó: ∫x2 cosxdx = x2 sin x - ∫2x sin x dx HĐ7: Củng cố: Đặt u = x và dv = sin x dx - Yêu cầu học sinh nhắc lại : du = dx , v = - cosx + Định nghĩa nguyên hàm hàm ∫x sin x dx = - xcos x + ∫ số cos x dx + Phương pháp tính nguyên hàm = - x cos x + sin x + C bằng cách đảo biến số và phương Vậy: kết quả = x2 sin x - 2 pháp nguyên từng phần .Phan Anh (- x Hùng cosx + sin x +C) Biênhàm soạn: Nguyễn - Nhắc lại theo yêu cầu của giáo viên.
Ghi bảng 2. Phương pháp tính nguyên Tổ hàm Toán từng phần:
Định lý 2: (SGK/T99) ∫u (x) v’ (x) dx = u (x) v(x) - ∫u’ (x) v(x) dx Chứng minh: *Chú ý:
∫u dv = u . v - ∫ vdu VD9: Tính a/ ∫ xex dx b./ ∫ x cos x dx c/ ∫ lnx dx. Giải: Lời giải học sinh đã chính xác hoá.
VD10: Tính a/ ∫x2 cos x dx Giải: Lời giải của học sinh đã chính xác hoá.
-6-
Trường THPT Hương Giang - Nắm vững các cách tính nguyên hàm của hàm số - Làm các bài tập SGK và SBT.
Tổ Toán
BÀI TẬP PHẦN NGUYÊN HÀM I. Mục đích yêu cầu : 1/ Kiến thức : -
Nắm được khái niệm nguyên hàm có một hệ số .
-
Biết các tính chất cơ bản của nguyên hàm .
2/ Kỹ năng : -
Tìm được nguyên hàm của một hàm số tưong đối đơn giản dựa vào bảng nghàm 1 cách tìm nguyên hàm từng phần .
-
Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính nghàm
3/ Tư duy, thái độ : -
Thấy được mlg giữa nguyên hàm 1 đạo hàm .
-
Rèn luyện tính cảm nhận, chính xác.
II. Chuẩn bị : GV. - Bảng phụ, sgk, gán, phiếu học tập . HS. - học thuộc bảng hàm & làm BTVN. III.Phương pháp:
đàm thoại, vấn đáp, thảo luận nhóm
IV.Tiến trình bài học : Tiết 43 1, Ổn định lớp 2, KTBC HS1 : Bảng hàm ( ghi bảng phụ ) HS2: Chữa bài 2c sgk GV NX, ghi điểm cho học sinh 3, Luyện tập HĐGV
HĐHS
Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
Ghi Bảng
-7-
Trường THPT Hương Giang Hđ1 : Nắm vững nguyên hàm
Tổ Toán
Hđtp 1 : Tiếp cận nguyên hàm gọi từng học sinh trả lời miệng và giải Thích lí do bài 1 SGK
Thảo luận nhóm Da9ị
Hđtp 2: Hình thành kỹ năng tìm nghàm
diện nhóm trình bày lời 3 5/3 6 7/6 3 2/3 2/a, x + x + x + C 5 7 2 Bài 2 : Cho học sinh thảo luận nhóm các câu a, b, giải c, d, e, g, h có thể hướng dẫn cho học sinh câu d sử dụng công thức đổi từ tích đến tổng hướng dẫn câu h:
2 x + ln 2 − 1 +C b, e (ln 2 − 1) −1 1 ( cos 8 x + cos 2 x ) + C 4 4
d,
1 A B = + (1 + x)(1 − 2 x ) 1 + x 1 − 2 x A(1 − 2 x ) + B (1 − x) ( A + B ) + (−2 A + B ) = = (1 − x)(1 − 2 x) (1 − x)(1 − 2 x ) {A+ B =1 − 2 A + B = 0 ⇒ A = 1 / 3; B = 2 / 3
e, tanx – x + C g,
− 1 3−2 x e +C 2
h,
1 1+ x ln +C 3 1− x
3a, Hđ2 : Sử dụng phân số đổi biến số Hđtp 1 : Vận dụng địa lý để làm bài tập , gọi 2 hs Làm việc cá nhân lên bảng làm câu 3a,b SGK
b,
− (1 − x)10 +C 10
1 (1 + x 2 )5 / 2 + C 5
4, HDVN : - Nắm vững bảng nghàm & biết cách tìm nghàm bằng phân số đổi biến số . - BTVN : 3c, d, : 4 SGK . + Bài tập thêm : 2 1/ CMR Hàm số F ( x) = ln x + x + 1 + C
là nguyên hàm của hàm số y = f ( x) = 2/ Tính a, b,
1 x2 + 1
cos x
∫ 1 + 2 sin x dx cos xdx sin 3 x Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
∫
-8-
Trường THPT Hương Giang HĐGV HĐHS Hđtp 2: Rèn luyện kỹ năng đặt biến Bài 3 c, d SGK gọi 2 học sinh lên bảng làm
Làm việc cá nhân
Tổ Toán Ghi Bảng −1 4 cos x + C 3c, 4 d,
−1 +C 1+ e
Hđ 3 : Rèn luyện kỹ năng đặt u, dv trong phương pháptính nguyên hàm bằng phương pháp từng phần Làm bài 4 sgk
Thảo luận theo bài
u = ln(1 + x) dv = x dx 4/a, 1 1 x Kq : ( x 2 − 1) ln(1 + x) − x 2 + + C 2 4 2
gọi 4 hs lên bảng làm b,
Câu b : các em phải đặt 2 lần
u = x 2 + 1, dv = e dx Kq : e ( x 2 − 1) + C
u = x, dv = sin( 2 x + 1)dx c, −x 1 Kq : cos(2 x + 1) + sin(2 x + 1) + C 2 4 Hđ4 : Nâng cao phát biểu bài tập theo bàn có thể hướng dẫn câu a : Thảo luận trong 5’ hs làm b
d,
u = x, dv = cos xdx Kq : (1 − x) sin x − cos x + C
Hướng dẫn câu a : 5x − 5 dx x − x−6 5x − 5 A B = + 2 x − x −6 x −3 x + 2 5 x − 5 = A( x + 2) + B( x − 3) 5 x − 5 = ( A + B ) x + ( 2 A − 3B ) I =∫
2
b,
J =
∫x
3x + 1
dx − 4x + 3 = −2 ln x − 1 + 5 ln x − 3 + C 2
Thảo luận trong 5’
A + B = 5 A = 2 ⇒ 2 A − 3B = −5 B = 3 5x − 5 2 3 = + x − x −6 x −3 x + 2 dx dx I = 2∫ + 3∫ x−3 x+2 = 2 ln x − 3 + 3 ln x + 2 + C 2
Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
-9-
Trường THPT Hương Giang
Tổ Toán
4, HDVN : - Nắm vững bảng nghàm . - Vận dụng linh hoạt các phương pháp tìm nghàm = 2 phân số đối biến & từng phần . - BTVN : các bài tập trong Phụ lục:Bảng phụ: Hãy điền vào dấu …. ...... = tan x + C ...... = − cot x + C
∫ dx = .... xα +1 + C , α ≠ −1 α +1 .... = − cos x + C .... = sin x + C
∫ .... =
Phiếu học tập: Tính a, I = ∫ b, J = ∫
∫ a dx = ......., a > 0, a ≠ 1
5 x −5 dx x −x −6 2
3x + 1 dx x − 4x + 3 2
Học kì II Tiết 49,50,51,52
TÍCH PHÂN
I. Mục tiêu: - Kiến thức cơ bản: khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất của tích phân, các phương pháp tính tích phân (phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần) - Kỹ năng: hiểu rõ khái niệm tích phân, biết cách tính tích phân, sử dụng thông thạo cả hai phương pháp tính tích phân để tìm tích phân của các hàm số. -Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv, năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ích của toán học trong đời sống, từ đó hình thành niềm say mê khoa học, và có những đóng góp sau này cho xã hội. - Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ. II. Phương pháp : - Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp. - Phương tiện dạy học: SGK. Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
- 10 -
Trường THPT Hương Giang III. Chuẩn bị:
Tổ Toán
+ Chuẩn bị của giáo viên : -
Phiếu học tập, bảng phụ.
+ Chuẩn bị của học sinh : -
Hoàn thành các nhiệm vụ ở nhà.
-
Đọc qua nội dung bài mới ở nhà.
IV. Tiến trình tiết dạy : 1. Ổn định lớp : 2. Kiểm tra bài cũ : - Trình bày phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm. - Viết công thức tính nguyên hàm từng phần (dạng đầy đủ và dạng rút gọn). 3. Vào bài mới Hoạt động của giáo viên I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN. 1. Diện tích hình thang cong: Hoạt động 1 : Ký hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1; x = t (1 ≤ t ≤ 5) (H45, SGK, trang 102) 1. Hãy tính diện tích S của hình T khi t = 5. (H46, SGK, trang 102) 2. Hãy tính diện tích S(t) của hình T khi t ∈ [1; 5]. 3. Hãy chứng minh S(t) là một nguyên hàm của f(t) = 2t + 1, t ∈ [1; 5] và diện tích S = S(5) – S(1).
Hoạt động của Hs
Nội dung ghi bảng TÍCH PHÂN I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN. 1. Diện tích hình thang cong: ( sgk )
Thảo luận nhóm để: + Tính diện tích S của hình T khi t = 5. (H46, SGK, trang 102) + Tính diện tích S(t) của hình T khi t ∈ [1; 5]. + Chứng minh S(t) là một nguyên hàm Gv giới thiệu với Hs nội dung định nghĩa của f(t) = 2t + 1, t ∈ sau : “Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu [1; 5] và diện trên đoạn [a ; b] .Hình phẳng giới hạn bởi đồ tích S = S(5) – S(1). thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a ; x = b được gọi là hình thang cong (H47a, SGK, trang 102)” Gv giới thiệu cho Hs vd 1 (SGK, trang 102, 103, 104) để Hs hiểu rõ việc tính diện 2. Định nghĩa tích phân : tích hình thang cong. 2. Định nghĩa tích phân : Hoạt động 2 : Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b], F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của f(x). Chứng minh rằng F(b) – F(a) = G(b) – Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
- 11 -
Trường THPT Hương Giang G(a). (tức là hiệu số F(b) – F(a) không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm). Gv giới thiệu với Hs nội dung định nghĩa sau : “Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), ký hiệu: b
∫ f ( x) dx a
b
Ta còn ký hiệu: F ( x) a = F (b) − F (a) . b
Vậy:
∫
b
Tổ Toán
Thảo luận nhóm để chứng minh F(b) – F(a) = G(b) – G(a).
“Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), ký hiệu: b
f ( x)dx = F ( x) a = F (b) − F (a)
f ( x) dx
a
Qui ước: nếu a = b hoặc a > b: ta qui ước : a
b
a
a
a
b
f ( x) dx 0; f ( x) dx f ( x) dx
a
b
Ta còn ký hiệu: F ( x) a = F (b) − F (a) . b
Vậy:
Gv giới thiệu cho Hs vd 2 (SGK, trang 105) để Hs hiểu rõ định nghĩa vừa nêu.
∫ f ( x)dx = F ( x)
b a
= F (b) − F (a)
a
Nhận xét: + Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể b
ký hiệu là
b
f ( x) dx hay
a
f (t ) dt . Tích phân a
đó chỉ phụ thuộc vào hàm f, các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t. + Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì b
f ( x) dx là diện tích S của hình thang giới a
hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a; x = b. (H 47 a, trang 102) b
Vậy : S =
f ( x) dx a
II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN.
II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN. + Tính chất 1: b
b
a
a
kf ( x) dx k f ( x) dx + Tính chất 2: b
b
b
a
a
a
[f ( x) g ( x)] dx f ( x) dx g ( x) dx + Tính chất 3: Hoạt động 3 : Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
- 12 -
Trường THPT Hương Giang Hãy chứng minh các tính chất 1, 2. Gv giới thiệu cho Hs vd 3, 4 (SGK, trang 106, 107) để Hs hiểu rõ các tính chất vừa nêu. III. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN. 1. Phương pháp đổi biến số: Hoạt động 4 :
Tổ Toán b
Thảo luận nhóm để chứng minh các tính chất 1, 2.
2 Cho tích phân I = (2 x 1) dx 0
a/ Hãy tính I bằng cách khai triển (2x + 1)2. b/ Đặt u = 2x + 1. Biến đổi (2x + 1)2dx thành g(u)du. u (1)
f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx a
a
g (u ) du và so sánh với kết quả ở
b
u (0)
câu a. Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý sau: “Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = (t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [; ] sao cho () = a; () = b và a (t) b với mọi t thuộc [; ] . Khi đó:” b
a
b
( a c b)
c
III. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN. 1. Phương pháp đổi biến số: “Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = (t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [; ] sao cho () = a; () = b và a (t) b với mọi t thuộc [; ] . Khi đó:”
1
c/ Tính:
c
a
f ( x) dx f ( (t )). ' (t ) dt
Chú ý: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. b
Để tính
f ( x) dx ta chọn hàm số u = u(x) a
làm biến mới, với u(x) liên tục trên [a; b] và u(x) thuộc [; ]. Ta biến đổi f(x) = g(u(x)).u’(x). Khi đó ta có:
f ( x) dx f ( (t )). ' (t ) dt
u (b )
b
Gv giới thiệu cho Hs vd 5 (SGK, trang 108) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu. Chú ý: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
a
f ( x) dx =
g (u ) du
u(a)
b
Để tính
f ( x) dx ta chọn hàm số u = u(x) a
làm biến mới, với u(x) liên tục trên [a; b] và u(x) thuộc [; ]. Ta biến đổi f(x) = g(u(x)).u’(x). Khi đó ta có: b
u (b )
a
u(a)
f ( x) dx =
g (u ) du
Gv giới thiệu cho Hs vd 6, 7 (SGK, trang 108) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu. 2. Phương pháp tính tích phân từng phần: Hoạt động 5 : 2. Phương pháp tính tích phân từng phần: “Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì
x a/ Hãy tính ( x 1)e dx bằng phương
pháp nguyên hàm từng phần. Thảo luận nhóm để: Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
- 13 -
Trường THPT Hương Giang
Tổ Toán
1
+ Tính
0
( x 1)e
x b/ Từ đó, hãy tính: ( x 1)e dx
Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý sau: “Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì b
b
u( x)v ( x) dx (u( x)v( x))
b a
b
b
a
a
'
a
u ( x)v( x) dx '
a
b
x
dx
bằng phương pháp nguyên hàm từng phần + Tính:
b
' b ' u( x)v ( x) dx (u( x)v( x)) a u ( x)v( x) dx a
a
b
b
a
a
b Hay u dv uv a v du ”
1
( x 1)e
x
dx
0
b Hay u dv uv a v du ”
Gv giới thiệu cho Hs vd 8, 9 (SGK, trang 110, 111) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu. V. Củng cố: + Gv nhắc lại các khái niệm và quy tắc trong bài để Hs khắc sâu kiến thức. + Dặn BTVN: 1..6 SGK, trang 112, 113.
TIẾT 53,54: BÀI TẬP TÍCH PHÂN I.Môc tiªu bµi häc Qua bµi häc,häc sinh cÇn n¾m ®îc: 1.VÒ kiÕn thøc - HiÓu vµ nhí c«ng thøc ®æi biÕn sè vµ c«ng thøc tÝch ph©n tõng phÇn - BiÕt 2 ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n c¬ b¶n ®ã lµ ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè vµ ph¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn 2.VÒ kĩ n¨ng - VËn dông thµnh th¹o vµ linh ho¹t 2 ph¬ng ph¸p nµy ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n tÝnh tÝch ph©n - NhËn d¹ng bµi to¸n tÝnh tÝch ph©n,tõ ®ã cã thÓ tæng qu¸t ho¸ d¹ng to¸n t¬ng øng. 3VÒ t duy, th¸i ®é - TÝch cùc, chñ ®éng,®éc lËp, s¸ng t¹o - BiÕt quy l¹ vÒ quen - biÕt nhËn xÐt ®¸nh gi¸ bµi lµm cña b¹n - T duy l«gic vµ lµm viÖc cã hÖ thèng II.ChuÈn bÞ ph¬ng tiÖn d¹y häc Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
- 14 -
Trường THPT Hương Giang Tổ Toán 1.ChuÈn bÞ cña gi¸o viªn Gi¸o ¸n,phÊn b¶ng,®å dïng d¹y häc cÇn thiÕt kh¸c 2.ChuÈn bÞ cña häc sinh Ngoµi ®å dïng häc tËp cÇn thiÕt,cÇn cã: - KiÕn thøc cò vÒ nguyªn hµm,®Þng nghÜa tÝch ph©n,vµ hai ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n - GiÊy nh¸p vµ MTBT,c¸c ®å dïng häc tËp kh¸c III.Ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y Chñ yÕu lµ vÊn ®¸p gîi më,kÕt hîp víi c¸c ho¹t ®éng t duy cña häc sinh. IV.TiÕn tr×nh bµi häc 1.æn ®Þnh tæ chøc líp,kiÓm tra sÜ sè 2.KiÓm tra bµi cò C©u 1: H·y tr×nh bµy ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè C©u 2: H·y nªu c«ng thøc tÝnh tÝch ph©n tõng phÇn Gi¸o viªn: - Cho HS nhËn xÐt c©u tr¶ lêi cña b¹n,chØnh söa,bæ sung(nÕu cÇn thiÕt) - NhËn xÐt c©u tr¶ lêi cña häc sinh,®¸nh gi¸ vµ cho ®iÓm - Môc tiªu cña bµi häc míi 3.Bµi míi Bài tập tÝch ph©n H§1:LuyÖn tËp vÒ c«ng thøc ®æi biÕn sè TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 3
a)
I=
x 1dx
b) J =
0
Ho¹t ®éng cña gi¸o viªn
Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
6
2
(1 cos3x) sin 3xdx 0
c) K =
4 x 2 dx
0
Ho¹t ®éng cña häc sinh
- 15 -
Trường THPT Hương Giang -Giao nhiÖm vô cho häc sinh -Theo dâi häc sinh lµm viÖc,gîi y cho HS nÕu cÇn thiÕt -Cho HS nhËn d¹ng vµ nªu c¸ch gi¶i quyÕt cho tõng c©u
Tổ Toán -NhËn nhiÖm vô, suy nghÜ vµ lµm viÑc trªn giÊy nh¸p -Tr¶ lêi c©u hái cña GV: a)§Æt u(x) = x+1 u(0) = 1, u(3) = 4 Khi ®ã I= 4
4
4 2 32 2 2 14 udu u du u u u (8 1) 1 3 1 3 3 3 1
- Nªu c¸ch gi¶i kh¸c (nÕu cã)
4
1
1 2
b)§Æt u(x) = 1 – cos3x u (0) 0, u ( ) 1 6 1
1
u u2 1 Khi ®ã J = du 3 6 0 6 0 c)§Æt u(x) = 2sint, t , .Khi ®ã 2 2
- Nªu d¹ng tæng qu¸t vµ c¸ch gi¶i
K= 2
2
4 4sin 2 t 2 cos tdt 4 cos 2 tdt
0
0
2
2 (1 cos 2t )dt (2t sin 2t ) 02 0
H§2: LuyÖn tËp tÝnh tÝch ph©n tõng phÇn TÝnh c¸c tÝch ph©n sau 1. I1=
2
1
e
(2 x 1) cos xdx
2. I2=
0
Ho¹t ®éng cña gi¸o viªn Ghi l¹i c«ng thøc tÝnh tÝch ph©n tõng phÇn mµ hs ®· tr¶ lêi ë trªn b
b
udv uv a vdu a
b
a
-Giao nhiÖm vô cho häc sinh -Cho häc sinh nhËn d¹ng bµi to¸n trªn vµ nªu c¸ch gi¶i t¬ng øng -Gäi häc sinh gi¶i trªn b¶ng Theo dâi c¸c häc sinh kh¸c lµm viÖc,®Þnh híng,gîi ý khi cÇn thiÕt -NhËn xÐt bµi gi¶i cña häc Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
x
2
2 x 3. I3= x e dx
ln xdx
0
1
Ho¹t ®éng cña häc sinh -NhËn nhiÖm vô vµ suy nghÜ t×m ra c¸ch gi¶i quyÕt bµi to¸n u 2x 1 du 2dx 1.§Æt . Khi ®ã: dv cos xdx v sin x I1= 2 0
2
(2 x 1) sin 2 x 2 sin xdx 1 2 cos x 02 3 0
dx du u ln x x 2.§Æt 2 3 dv x dx v x 3 I2=
Khi ®ã
- 16 -
Trường THPT Hương Giang sinh,chØnh söa vµ ®a ra bµi gi¶i ®óng -Nªu c¸ch gi¶i tæng qu¸t cho c¸c bµi to¸n trªn
Tổ Toán e
3 e
e
x3 1 e3 x ln x x 2 dx 3 31 3 9 1
e 3 e 3 1 2e 3 1 3 9 9
1
du 2 xdx
u x x x dv e dx v e 2
3.§Æt
1
Khi ®ã
1
1
0
0
2 x x x I3= x e 0 2 xe dx e 2 J víi J xe dx
(TÝnh J t¬ng tù nh I3) H§3: Cñng cè bµi Ho¹t ®éng cña gi¸o viªn - Tõ bµi to¸n 1,®a ra c¸ch gi¶i chung nhÊt cho bµi to¸n tÝch ph©n dïng phÐp ®æi biÕn KiÓu 1: §Æt t = u(x), víi tÝch ph©n
Ho¹t ®éng cña häc sinh -LÜnh h«i kiÕn thøc,vµ ghi bµi
-§a ra c¸ch ®æi biÕn, ®æi cËn
b
cã d¹ng
f (u ( x)).u '( x)dx
a
KiÓu 2: §Æt x = u(t) víi tÝch ph©n
-§Æt x= msint, t , 2 2 x=mtant, t , 2 2
b
f ( x,
cã d¹ng
m x ) dx hay 2
2
a
b
1 ) dx ,v.v.... m2 a - Tõ bµi to¸n 2,®a ra mét sè d¹ng tæng qu¸t cã thÓ trùc tiÕp dïng tÝch ph©n tng phÇn
f ( x, x
2
b
1.
f ( x) sin kxdx
u f ( x) u f ( x) hay dv sin kxdx dv cos kxdx
§Æt
b
hay
a
f ( x) cos kxdx a
u f ( x)
§Æt
b
2.
f ( x )e
kx
kx dv e dx
dx
a
u ln k x §Æt dv f ( x) dx
b
3.
f ( x) ln
k
xdx ,v.v.....
a
V.Híng dÉn häc ë nhµ vµ bµi tËp vÒ nhµ 1.Xem lai c¸ch gi¶i c¸c bµi to¸n ®· gi¶i,c¸ch gi¶i tæng qu¸t vµ lµm c¸c bµi tËp cßn l¹i trong SGK 2.TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 1
1.
x ln(1 x
1
2
)dx
2.
0
2
3.
0
3
5.
ln 1 x dx
e
e
7 x4
sin(ln x)dx 1
0
Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
6.
0
e x 1dx
x sin xdx
0
ln 2
dx
4.
2 4
2
7.
x
2
4 x 2 dx
1
- 17 -
Trường THPT Hương Giang Tiết 55,56,57:
Tổ Toán Bài 3: ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
I. Mục tiêu: 1. Về kiến thức: - Viết và giải thích được công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và trục Ox, các đường thẳng x = a, x = b. Hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và các đường thẳng x = a, x = b. - Nắm được công thức thể tích của một vật thể nói chung - Nắm được công thức thể tích khối tròn xoay, công thức của khối nón, khối nón cụt, khối trụ tròn xoay trong trường hợp vật thể quay xung quanh trục Ox 2. Về kỹ năng: - Áp dụng được công thức tính diện tích hình phẳng, thiết lập được công thức tính thể tích khối chóp, khối nón và khối nón cụt - Ứng dụng được tích phân để tính được thể tích nói chung và thể tích khối tròn xoay nói riêng 3. Về tư duy, thái độ: - Thấy được ứng dụng rộng rãi của tích phân trong việc tính diện tích, thể tích - Học sinh có thái độ tích cực, sáng tạo trong học tập II. Chuẩn bị: 1. Giáo viên: Phiếu học tập, bảng phụ các hình vẽ SGK 2. Học sinh: Làm bài tập và học lý thuyết về tích phân, đọc nội dung bài mới III. Tiến trình bài dạy: 1. Ổn định: Kiểm tra sỉ số, tác phong 2
2 2. Kiểm tra bài cũ: Tính I = ∫ ( − x + 3x − 2 ).dx 1
3. Bài mới: Tiết 1: HĐ1: Tiếp cận công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục hoành Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng HĐTP 1: Xây dựng công I. Tính diện tích hình phẳng thức 1. Hình phẳng giới hạn bởi đường - Cho học sinh tiến hành - Tiến hành giải hoạt động 1 cong và trục hoành hoạt động 1 SGK Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị - GV treo bảng phụ hình vẽ hàm số y = f(x) liên tục, trục Ox và các 51, 52 SGK - Hs suy nghĩ đường thẳng x = a, x = b được tính theo b - GV đặt vấn đề nghiên cứu công thức: S = ∫ f ( x ) dx cách tính diện tích hình a phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và các đường thẳng x = a, x = b. - GV giới thiệu 3 trường hợp: + Nếu hàm y = f(x) liên tục và không âm trên [ a; b] . Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và các đường thẳng Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng - 18 -
Trường THPT Hương Giang x = a, x = b là:
Tổ Toán
b
S = ∫ f ( x )dx a
+ Nếu hàm y = f(x) ≤ 0 trên [ a; b] . Diện tích b
S = ∫ ( − f ( x ))dx a
+
Tổng
quát:
b
S = ∫ f ( x ) dx a
HĐTP2: Củng cố công thức - Giải ví dụ 1 SGK - Gv đưa ra ví dụ 1 SGK, hướng dẫn học sinh thực hiện - Gv phát phiếu học tập số 1 - Tiến hành hoạt động nhóm + Phân nhóm, yêu cầu Hs thực hiện
Ví dụ 1: SGK Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol y = − x 2 + 3x − 2 và trục hoành Ox . Bài giải Hoành độ giao điểm của Parabol y = − x 2 + 3x − 2 và trục hoành Ox là nghiệm của phương trình x = 1 − x 2 + 3x − 2 = 0 ⇔ 1 . x2 = 2 2
S = ∫ ( − x 2 + 3 x − 2 ).dx 1
2
x3 x2 = − +3 − 2 x = ... 2 3 1 HĐ2: Tiếp cận công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong HĐTP 1: Xây dựng công 2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường thức cong - GV treo bảng phụ hình vẽ - Theo dõi hình vẽ Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên 54 SGK tục trên [ a; b] . Gọi D là hình phẳng giới - GV đặt vấn đề nghiên cứu hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các cách tính diện tích hình - Hs lĩnh hội và ghi nhớ đường thẳng x = a, x = b trong hình 54 phẳng giới hạn bởi đồ thị thì diện tích của hình phẳng được tính hàm số y = f1(x), và y = theo công thức f2(x) và hai đường thẳng x = b a, x = b S = ∫ f1 ( x ) − f 2 ( x ) dx a - Từ công thức tính diện tích của hình thang cong suy ra được diện tích của hình Lưu ý: Để tính S ta thực hiện theo các phẳng trên được tính bởi cách công thức b Cách 1: Chia khoảng, xét dấu biểu thức S = ∫ f1 ( x ) − f 2 ( x ) dx f1(x) – f2(x) rồi khử dấu trị tuyệt đối a Cách 2: Tìm nghiệm của phương trình Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
- 19 -
Trường THPT Hương Giang
Tổ Toán f1(x) – f2(x) = 0. Giả sử ptrình có 2 nghiệm c, d (c < d) thuộc [ a; b] thì: c
S =∫ f 1 ( x ) − f 2 ( x ) dx a
d
HĐTP2: Củng cố công thức - Gv hướng dẫn học sinh giải vd2, vd3 SGK - Theo dõi, thực hiện - Gv phát phiếu học tập số 2 + Phân nhóm, yêu cầu Hs thực hiện - Hs tiến hành giải dưới sự định hướng của giáo viên. - Hs thảo luận theo nhóm và tiến hành giải. Hoành độ giao điểm của 2 + Treo bảng phụ, trình bày đường đã cho là nghiệm của cách giải bài tập trong phiếu ptrình học tập số 2 x2 + 1 = 3 – x ⇔ x2 + x – 2 = 0 x = 1 ⇔ x = −2
+∫ f 1 ( x ) − f 2 ( x ) dx c
b
+∫ f 1 ( x ) − f 2 ( x ) dx d
c
= ∫( f 1 ( x ) − f 2 ( x ) )dx a
d
+ ∫( f 1 ( x ) − f 2 ( x ) )dx c
b
+ ∫( f 1 ( x ) − f 2 ( x ) )dx d
1
S=
∫x
2
+ 1 − (3 − x )
−2 1
=
∫ (x
2
+ x − 2)dx = ...
−2
=
9 2
Tiết 2: 1. Ổn định: Kiểm tra sỉ số, tác phong 2. Kiểm tra bài cũ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) y = x 2 và y = x . 3. Bài mới: HĐ1: Hướng dẫn học sinh chiếm lĩnh công thức tính thể tích vật thể Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng - Giáo viên đặt vấn đề như - Hs giải quyết vấn đề đưa II. Tính thể tích SGK và thông báo công ra dưới sự định hướng của 1. Thể tích của vật thể thức tính thể tich vật thể giáo viên Một vật thể V giới hạn bởi 2 mp (P) và (treo hình vẽ đã chuẩn bị (Q). Chọn hệ trục toạ độ có Ox vuông lên bảng) góc với (P) và (Q). Gọi a, b (a < b) là giao điểm của (P) và (Q) với Ox. Gọi một mp tùy ý vuông góc với Ox tại x ( x ∈ [ a; b] ) cắt V theo thiết diện có diện tích là S(x). Giả sử S(x) liên tục trên [ a; b] . Khi đó thể tích của vật thể V được - Thực hiện theo sự hướng tính bởi công thức - Hướng dẫn Hs giải vd4 dẫn của giáo viên SGK Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng - 20 -
Trường THPT Hương Giang
Tổ Toán b
V = ∫ S ( x )dx a
HĐ2: Hướng dẫn Hs hình thành công thức thể tích khối chóp và khối chóp cụt - Xét khối nón (khối chóp) 2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt x2 S ( x ) = S . 2 đỉnh A và diện tích đáy là S, * Thể tích khối chóp: h h đường cao AI = h. Tính diện Do đó, thể tích của khối x2 S .h V = ∫ S . 2 dx = tích S(x) của thiết diện của chóp (khối nón) là: h 3 0 khối chóp (khối nón) cắt bởi h 2 * Thể tích khối chóp cụt: mp song song với đáy? Tính V = S . x dx = S .h 2 ∫ h h 3 tích phân trên. 0 V = S 0 + S 0 .S1 + S1 3 - Đối với khối chóp cụt, nón cụt giới hạn bởi mp đáy có hoành độ AI0 = h0 và AI1 = - Hs tiến hành giải quyết h1 (h0 < h1). Gọi S0 và S1 lần vấn đề đưa ra dưới sự định lượt là diện tích 2 mặt đáy hướng của giáo viên. tương ứng. Viết công thức Thể tích của khối chóp cụt tính thể tích của khối chóp (nón cụt) là: cụt này. h V = S 0 + S 0 .S1 + S1 - Củng cố công thức: 3 + Giáo viên phát phiếu học tập số 3: Tính thể tích của - Hs giải bài tập dưới sự vật thể nằm giữa 2 mp x = 3 định hướng của giáo viên và x = 5, biết rằng thiết diện theo nhóm của vật thể bị cắt bởi mp vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x ( x ∈ [ 3;5] ) là một hình chữ nhật có độ dài - Hs tính được diện tích của thiết diện là: các cạnh là 2x, x 2 − 9 Yêu cầu Hs làm việc theo S ( x ) = 2 x. x 2 − 9 nhóm - Do đó thể tích của vật thể - Gv yêu cầu Hs trình bày là:
(
(
)
)
5
- Đánh giá bài làm và chính xác hoá kết quả
V = ∫ S ( x )dx 3
5
128 3 3 - Thực hiện theo yêu cầu của giáo viên - Các nhóm nhận xét bài làm trên bảng = ∫ 2 x. x 2 − 9dx = ... =
Tiết 3: 1. Ổn định: Kiểm tra sỉ số, tác phong 2. Bài mới: HĐ1: Hướng dẫn học sinh chiếm lĩnh công thức tính thể tích khối tròn xoay Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng - Giáo viên nhắc lại khái III. Thể tích khối tròn xoay niệm khối tròn xoay: Một 1. Thể tích khối tròn xoay Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
- 21 -
Trường THPT Hương Giang mp quay quanh một trục nào đó tạo nên khối tròn xoay + Gv định hướng Hs tính thể tích khối tròn xoay (treo bảng phụ trình bày hình vẽ 60SGK). Xét bài toán cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên [ a; b] . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục Ox tạo nên khối tròn xoay. Tính diện tích S(x) của thiết diện khối tròn xoay cắt bởi mp vuông góc với trục Ox? Viết công thức tính thể tích của khối tròn xoay này. HĐ2: Củng cố công thức - Gv hướng dẫn Hs giải vd5, vd6 SGK
Tổ Toán
b
V = π .∫ f 2 ( x )dx
- Thiết diện khối tròn xoay a cắt bởi mp vuông góc với 2. Thể tích khối cầu bán kính R Ox là hình tròn có bán kính 4 y = f(x) nên diện tích của V = πR 3 3 thiết diện là: 2 S ( x) = π . f ( x) Suy ra thể tích của khối tròn xoay là: b
V = π .∫ f 2 ( x )dx a
- Dưới sự định hướng của giáo viên Hs hình thành Ví dụ: Tính thể tích vật tròn xoay tạo công thức tính thể tích khối thành khi quay hình phẳng (H) xác định - Chia nhóm học sinh, yêu cầu và giải vd5 SGK bởi các đường sau quanh trục Ox cầu Hs làm việc theo nhóm 1 3 y = x − x 2 , y = 0, x = 0 và x = 3 a) để giải vdụ 3 + Đối với câu a) Gv hướng - Tiến hành làm việc theo π b) y = e x . cos x , y = 0, x = , x = π dẫn Hs vẽ hình cho dễ hình nhóm. 2 dung Giải: 2 3 1 3 2 V = π ∫ x − x dx 3 0 - Đại diện các nhóm lên trình bày và nhận xét bài làm của nhóm khác
+ Đánh giá bài làm và chính xác hoá kết quả
3 x6 2 81π = π ∫ − x 5 + x 4 dx = 9 3 35 0
π
V = π ∫ ( e 2 x . cos 2 x ) dx π 2
π
π
2
2
b) = π e 2 x .dx + π e 2 x . cos 2 xdx 2 ∫π 2 ∫π
π = ... = (3.e 2π − eπ ) 8
IV. Củng cố: 1. Giáo viên hướng dẫn học sinh ôn lại kiến thức trọng tâm của bài học 2. Nhắc lại công thức tính thể tích của một vật thể nói chung từ đó suy ra công thức của thể tích khối chóp, khối nón 3. Nhắc lại công thức tính thể tích khối tròn xoay Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng - 22 -
Trường THPT Hương Giang Tổ Toán Bài tập về nhà: - Giải các bài tập SGK - Bài tập làm thêm: 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau a) x = 0, x = 1, y = 0, y = 5 x 4 + 3 x 2 + 3 . b) y = x 2 + 1, x + y = 3 . c) y = x 2 + 2, y = 3 x . d) y = 4 x − x 2 , y = 0 . e) y = ln x, y = 0, x = e . f) x = y 3 , y = 1, x = 8 . 2. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Parabol y = x 2 − 2 x + 2 tiếp tuyến với nó tại điểm M(3;5) và trục tung . 3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi nó quay xung quanh trục Ox . π a) y = cos x, y = 0, x = 0, x = . 4 b) y = sin 2 x, y = 0, x = 0, x = π . x
c) y = xe 2 , y = 0, x = 0, x = 1 .
Tiết 58:
BÀI TẬP ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
I/ MỤC TIÊU: 1.Về kiến thức: Nắm được công thức tính diện tích,thể tích nhờ tích phân Biết được một số dạng đồ thị của những hàm số quen thuộc để chuyển bài toán tính diện tích và thể tích theo công thức tính ở dạng tích phân 2.Về kỹ năng: Biết tính được diện tích một số hình phẳng,thể tích một số khối nhờ tích phân 3.Về thái độ: Rèn luyện cho học sinh tính cẩn thận chính xác và thói quen kiểm ta lại bài của học sinh Biết qui lạ về quen,biết nhận xét đánh giá bài làm của bạn Có tinh thần hợp tác trong học tập II/CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH +Giáo viên:Giáo án,bảng phụ,phiếu học tập +Học sinh :Sách giáo khoa,kiến thức về công thức tính tích phân,vở bài tập đã chuẩn bị ở nhà III/PHƯƠNG PHÁP: Gợi mở,vấn đáp,giải quyết vấn đề,hoạt động nhóm IV/TIẾN TRÌNH TỔ CHỨC BÀI DẠY: 1. Ổn định tổ chức:Kiểm tra sĩ số hs 2. Kiểm tra bài cũ:kiểm tra đan xen vào bài tập 3. Bài mới: HĐ1:Baì toán tìm diện tích giới hạn bởi một đường cong và trục hoành Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
- 23 -
Trường THPT Hương Giang Hoạt động của GV +Nêu công thức tính diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x),liên tục ,trục hoành và 2 đường x=a,x=b +Tính S giới hạn bởi y =x3-x,trục ox,đthẳng x=-1,x=1 + +Gv cho hs lên bảng giải,hs dưới lớp tự giải đđể nhận xét
Tổ Toán Hoạt động của HS
Ghi bảng
+Hs trả lời
b
S= ò f ( x) dx a
+Hs vận dụng công thức tính HS mở dấu giá trị tuyệt đối để tính tích phân
1
òx
3
- x dx =
- 1
0
1
ò( x
3
- x)dx -
- 1
ò(x
3
- x)dx
0
=1/2
HĐ2:Bài toán tìm diện tích giới hạn bởi hai đường cong Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
+Nêu công thức tính diện tích giới hạn bởi đồ thi hàm số y=f(x),y=g(x) và 2 đường thẳng x=a,x=b +Gv cho hs tính câu 1a ở sgk +GVvẽ hình minh hoạ trên bảng phụ để hs thây rõ +Gv cho hs nhận xét và cho điểm +Gv gợi ý hs giải bài tập 1b,c tương tự
Hs trả lời
Ghi bảng b
S= ò f ( x) - g ( x) dx a
PTHĐGĐ Û x2 - x - 2 = 0 Hs tìm pt hoành độ giao điểm éx = 2 x2=x+2 Û ê Sau đó áp dụng công thức ê ëx =- 1 tính diện tích S= 2
2
òx
2
- x - 2 dx =
- 1
ò(x
2
- x - 2)dx
- 1
=9/2(đvdt)
HĐ3:Bài toán liên quan đến tìm diện tích hai đường cong Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
+GV gợi ý hs giải câu 2 ở sgk +GVvẽ hình minh hoạ trên bảng phụ để hs thấy rõ +Gv cho hs nhận xét
+Hs viết pttt taị điểm M(2;5)
Ghi bảng Pttt:y-5=4(x-2) Û y=4x-3
+Hs áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng cần S= tìm Hs lên bảng tính =
2
ò (x
2
+1 - (4 x - 3))dx
0
2
ò( x
2
- 4 x + 4)dx =8/3(đvdt)
0
HĐ4:Giáo viên tổng kết lại một số bài toán về diện tích Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
- 24 -
Trường THPT Hương Giang Hoạt động của GV +Gv phát phiếu hoc tập cho hs giải theo nhóm +Gv cho các nhóm nhận xét sau đó đánh giá tổng kết +Gv treo kết qủa ở bảng phụ
•
Tổ Toán Hoạt động của HS
Ghi bảng
+Hs giải và mỗi nhóm lên bảng trình bày
Kết quả a. 9/8 b. 17/12 c. 4/3 d.
4 (4p + 3) 3
Củng cố hướng dẫn làm bài tập ở nhà:(5’) Gv hướng dẫn học sinh giải bài tập 3 sgk và dặn dò hs giải các bài tập về thể tích khối tròn xoay HĐ5: Bài toán tính thể tích khối tròn xoay Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
+Nêu công thức tính thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường y =f(x); y=0;x=a;x=b quay quanh trục ox +Gv cho hs giải bài tập 4a
+Hs trả lời
+Gv gợi ý hs giải bài4c tương tự
Ghi bảng b 2 V= pò f ( x)dx a
+Hs vận dụng lên bảng trình bày * Tính thể tích khối tròn xoay sinh a. PTHĐGĐ ra bởi 1-x2= Û x=1hoăc x=-1 a. y =1-x2 ;y=0 1 b. y =cosx ;y=0 ;x= 0 ;x= p 2 2 V= p (1 - x ) dx =
ò - 1
16 p 15 p
b. V= p
2 ò cos x.dx = 0
p2 2
HĐ6: Bài toán liên quan đến tính thể tích khối tròn xoay Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
Ghi bảng
- 25 -
Trường THPT Hương Giang +Gv gợi ý hs xem hình vẽ dẫn dắt hs tính được thể tích khối tròn xoay
Tổ Toán +Hs lâp được công thức theo hướng dẫn của gv
Btập 5(sgk) a. V= p
+Hs tính được diện tích tam giác vuông OMP.Sau đó áp dụng công thức tính thể tích +Gv gợi ý hs tìm GTLN của V theo a +Gv gợi ý đặt t= cos a
=
+Hs nêu cách tìm GTLN và áp dung tìm
ò
Rcosa
0
tan 2 a.x 2 dx
pR 3 (cosa -cos3a ) 3
b.MaxV( a )=
2 3pR 3 27
é1 ù ê ë2 ú û
với t Î ê ;1ú HĐ7:Gv cho học sinh giải bài tập theo nhóm bài toán về thể tích khối tròn xoay Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Ghi bảng
+Gv phát phiếu hoc tập cho hs giải theo nhóm Hs giải và mỗi nhóm lên 16p a. +Gv cho các nhóm nhận bảng trình bày 15 xét sau đó đánh giá tổng p kết b. (p- 2) 8 +Gv treo kết qủa ở bảng phụ c. 2p(ln 2 - 1) 2 d.
64 p 15
4.Củng cố và dặn dò: . Học sinh cần nắm vững công thức tính diện tích và thể tích khối tròn xoay đã học để giải các bài toán tính diện tích và thể tích . Học sinh về nhà xem lại các bài tạp đã giải và giải các bài tập 319-324 trang 158-159 ở sách bài tập V/ PHỤ LỤC 1.Phiếu học tập * Phiếu học tập 1:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường a. y =x2-2x+2 và y =-x2-x+3 b. y=x3 ;y =2-x2 và x=0 c. y =x2-4x+3 và trục 0x d. y2 =6x và x2+y2=16 *Phiếu học tập 2:Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi a.y=2x-x2 ;y=0 b.y=sinx;y=0;x=0;x=
p 4
c. y=lnx;y=0;x=1;x=2 Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
- 26 -
Trường THPT Hương Giang d. y=x2;y=2x 2.Bảng phụ
Tổ Toán quay quanh trục ox
KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x)liên tục,trục hoành và hai đường thẳng x=a,x=b là: b
S=
ò f ( x)dx a
2.Hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a;b].Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đó và các đường thẳng x=a;x=b là: b
S=
ò f ( x) -
g ( x) dx
a
3.Thể tích vật tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x) ;y=0;x=a;x=b quay quanh trục 0x b
V= p
òf
2
( x)dx
a
. Tiết 59,60:
ÔN TẬP CHƯƠNG III
I.Mục tiêu: Học sinh biết : Hệ thống kiến thức chương 3 và các dạng bài cơ bản trong chương. Củng cố, nâng cao và rèn luyện kỹ năng tính tích phân và ứng dụng tính tích phân để tìm diện tích hình phẳng, thể tích các vật thể tròn xoay. Giáo dục tính cẩn thận, chặt chẽ, logic. II . Chuẩn bị Giáo viên : Soạn bài, chuẩn bị bảng phụ hệ thống hoá lại các kiến thức cơ bản của chương và xem lại giáo án trước giờ lên lớp. Học sinh: Soạn bài và giải bài tập trước khi đến lớp, ghi lại những vấn đề cần trao đổi. III.Phương pháp: +Gợi mở nêu vấn đề kết hợp với hoạt động nhóm. IV.Tiến trình bài học: *Tiết 1: Ôn tập nguyên hàm và phương pháp tính nguyên hàm từng phần. 1/.Ổn định lớp, kiểm diện sĩ số: 2/.Kểm tra bài cũ:Phát biểu định nghĩa nguyên hàm của hàm số f(x) trên từng khoảng. Nêu phương pháp tính nguyên hàm.( Giáo viên treo bảng phụ hệ thống kiến thức và bảng các nguyên hàm). 3/.Bài tập: Hoạt động của Hoạt động của học sinh Ghi bảng. giáo viên HĐ1:Tìm Bài 1.Tìm nguyên hàm của hàm số: nguyên hàm a/.f(x)= sin4x. cos22x. của hàm số( ĐS: Áp dụng các +Học sinh tiến hành thảo luận Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
- 27 -
Trường THPT Hương Giang công thức và lên bảng trình bày. trong bảng các a/. nguyên hàm). 1 + cos 4 x ) +Giáo viên ghi f(x)= sin4x( 2 đề bài tập trên 1 1 = . sin 4 x + sin 8 x . bảng và chia 2 4 nhóm:(Tổ 1,2 +Học sinh giải thích về làm câu 1a; Tổ phương pháp làm của mình. 3,4 làm câu 1b: trong thời gian 3 phút). +Cho học sinh xung phong lên bảng trình bày lời giải HĐ 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số vào +Học sinh nêu ý tưởng: bài toán tìm a/.Ta có: nguyên hàm. ( x + 1) 2 x 2 + 2 x + 1 = +Yêu cầu học x1 / 2 x sinh nhắc lại = x 3 / 2 + 2 x 1 / 2 + x −1 / 2 . phương pháp b/.Đặt t= x3+5 đổi biến số. 2 +Giáo viên gọi ⇒ dt = 3 x dx học sinh đứng 1 ⇒ x 2 dx = dt tại chỗ nêu ý 3 tưởng lời giải hoặc đặt t= x 3 + 5 và lên bảng (sinx+cosx)2 trình bày lời =1+2sinx.cosx giải. =1+siu2x +Đối với biểu π thức dưới dấu 2 hoặc: 2. sin ( x + ) tích phân có 4 chứa căn, π 2 hoặc: 2. cos ( x − ) thông thường 4 ta làm gì?. +(sinx+cosx)2, ta biến đổi như thế nào để có thể áp dụng được công thức nguyên hàm. *Giáo viên gợi ý học sinh đổi biến số. HĐ 3:Sử dụng phương pháp nguyên hàm Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
Tổ Toán 1 1 − cos 4 x − cos 8 x + C . 8 32 e−x 1 x x ( ) f x = e 2 + = 2 e + b/. 2 cos x cos 2 x ⇒ F ( x ) = 2e x + tan x + C .
Bài 2.Tính: 2 ( x + 1) dx . a/. ∫ x 2 5/ 2 4 3/ 2 1/ 2 ĐS: x + x + 2 x + C . 5 3 b/.
∫x
x 3 + 5dx
2
(
= ∫ x3 + 5
(
) d ( x 3 + 5) 1 2
3
)
2 3 x + 5 x3 + 5 + C 9 1 dx c/. ∫ ( sin x + cos x ) 2 1 π ĐS: tan( x − ) + C . 2 4 =
Bài 3.Tính: ∫ (2 − x) sin xdx - 28 -
Trường THPT Hương Giang từng phần vào + u.dv = uv − vdu . ∫ ∫ giải toán. +Hàm lôgarit, hàm luỹ, hàm +Hãy nêu công mũ, hàm lượng giác. thức nguyên hàm từng phần. +đặt u= 2-x, dv=sinxdx +Ta đặt u theo Ta có:du=-dx, v=-cosx thứ tự ưu tiên ∫ (2 − x) sin xdx nào. =(2-x)(-cosx)- ∫ cos xdx +Cho học sinh xung phong lên bảng trình bày lời giải.
Tổ Toán ĐS:(x-2)cosx-sinx+C.
Bài 4: Tìm một nguyên hàm F(x) của 1 f(x)= biết F(4)=5. (1 + x)(2 − x) +Học sinh trình bày lại phương 1 1+ x 1 5 pháp. + 5 − ln . ĐS: F(x)= ln 3 2−x 3 2 1 1 dx = ln | ax + b | +C . +∫ ax + b a
HĐ 4: Sử dụng phương pháp đồng nhất các hệ số để tìm nguyên hàm của hàm số +Học sinh lên bảng trình bày phân thức và lời giải. tìm hằng số C. 1 A B = + +yêu cầu học (1 + x)(2 − x ) x + 1 2 − x sinh nhắc lại Đồng nhất các hệ số tìm được phương pháp A=B= 1/3. tìm các hệ số A,B. +Nhắc lại cách tìm nguyên hàm của hàm số 1 ∫ ax + bdx +Giáo viên hướng dẫn lại cho học sinh. 4/.Ôn tập củng cố: +Yêu cầu học sinh nhắc lại phương pháp tìm nguyên hàm của một số hàm số thường gặp. +Giáo viên hướng dẫn học sinh làm một số bài tập còn lại về nhà cho học sinh. *Tiết 2:Ôn tập tích phân, phương pháp . 1/.Ồn định lớp ,kiểm diện sĩ số. 2/.Kiểm tra bài cũ: Hãy nêu định nghĩa và các tính chất của tích phân. Phương pháp tính tích phân. Ứng dụng tích phân vào tính diện tích hình phẳng và thể tích của vật thể tròn xoay. b
* ∫ f ( x ).dx = [ F ( x ) ] a b
= F (b) − F ( a )
a
3/.Bài tập: Hoạt động của Hoạt động của học sinh Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
Ghi bảng - 29 -
Trường THPT Hương Giang giáo viên HĐ 1:Sử dụng phương pháp đổi biến số vào tính tích phân. +Học sinh nhắc lại phương pháp +Giáo viên yêu đổi biến. cầu học sinh nhắc lại phương +Học sinh làm việc tích cực theo pháp đổi biến số. nhóm và đại diện nhóm lên bảng +Yêu cầu học trình bày lời giải của mình. sinh làm việc 1a/.đặt theo nhóm câu t= 1 + x ⇒ t 2 = 1 + x 1a,1b,1c ta có: dx= 2tdt. Đổi cận:x=0 thì t=1 x=3 thì t=2 3 2 x (t 2 − 1)2tdt dx = ∫0 1 + x ∫0 t +Giáo viên cho 2 học sinh nhận xét 2 3 2 2 = tính đúng sai của ∫0 2(t − 1)dt = ( 3 t − 2t ) |0 lời giải. HĐ 2:Sử dụng phương pháp tích phân tứng phần +Học sinh nhắc lại công thức b để tính tích phân. b b +Yêu cầu học ∫a udv = uv |a − ∫a vdu . sinh nhắc lại -1/2 phương pháp tính a/.Đặt u=lnx, dv=x dx1/2 ta có: du= dx/x; v= 2.x tích phân theo 2 e2 phương pháp tích e ln x 1/ 2 e2 −1 / 2 ∫1 x dx = 2 x ln x |1 − ∫1 2 x dx phân từng phần. +Giáo viên cho 1/2 e 2 học sinh đứng tại =4e-4x | 1 =4. b/.Khai triển,sau đó tính từng tích chỗ nêu phương phân một. pháp đặt đối với câu a, b. HĐ 3: ứng dụng tích phân vào tính diện tích hình phẳng và thể tích của vật +Giải phương trình: f(x)=g(x) thể tròn xoay. +Diện tích hình phẳng: b +Yêu cầu học sinh nêu phương S= ∫ | f ( x) − g ( x ) | dx . a pháp tính diện tích hình phẳng giới hạn bởỉ y= f(x), y= g(x), đường thẳng Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
Tổ Toán Bài 5. Tính: 3 x dx a/. ∫ 1+ x 0 ĐS:8/3. 1 xdx 9 b/. ∫ 2 ĐS: ln . 8 0 x + 3x + 2 π
c/. ∫ 1 + sin 2 x .dx ĐS: 2 2 . 0
Bài 6:Tính: e2 ln x dx . a/. ∫ x 1 π
2 b/. ∫ ( x + sin x) dx ĐS: 0
π 3 5π + 3 2
Bài 7:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : y = ex , y = e- x , x = 1 . Bài giải Ta có : 1 1 S = ∫ e x − e − x dx = e + − 2 e 0
Bài 8:Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng - 30 -
Trường THPT Hương Giang x=a,x=b. +Học sinh trả lời. 2 +Cho học sinh 2 V = π lên bảng làm bài ∫1 y dx tập 7. +Hãy nêu công thức tính thể tích của vật thể tròn +Học sinh lên bảng trình bày và xoay sinh bởi đồ giải thích cách làm của mình. 2 thị (C): 2 V = π y= f(x) và đường ∫1 y dx thẳng: x=a,x=b, 2 quay quanh trục 2 = π ∫ ( ln x ) dx Ox. 1
+Giáo viên yêu cầu học sinh lên bảng trình bày .
2
Tổ Toán giới hạn bới các đường y = ln x, x = 1, x = 2, y = 0 khi nó quay xung quanh trục Ox ĐS: 2
V = π ∫ y 2 dx 1
2
= π ∫ ( ln x ) dx 2
1
2
= π ∫ ln 2 xdx 1
(
)
= 2π ln 2 2 − 2 ln 2 + 1
= π ∫ ln 2 xdx 1
+Học sinh tiến hành giải tích phân theo phương pháp tích phân từng phần.
+Giáo viên cho học sinh chính xác hoá lại bài toán. 4/.Ôn tập củng cố: +Yêu cầu học sinh nêu phương pháp giải của một số dạng toán tích phân. +Nêu lại phương pháp tính diện tích hình phẳng và thể tích tích của vật thể tròn xoay. +Giáo viên hướng dẫn học sinh làm các bài tập còn lại. *Chú ý: Dùng bảng phụ cho cả hai tiết học để hệ thống các công thức và phương pháp đã học.
Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
- 31 -
Trường THPT Hương Giang
Tổ Toán
Tiết 61 : KIỂM TRA 45 phút I Mục tiêu : Kiểm tra các kiến thức trong chương 3 giải tích gồm có các nội dung chính : nguyên hàm; tích phân;ứng dụng của tích phân. II. Mục đích yêu cầu: +Học sinh cần ôn tập trước các kiến thức trong chương 3 thật kỹ, tự giác tích cực làm bài. Qua đó giáo viên nắm được mức độ lĩnh hội kiến thức của học sinh. III. Ma trân đề : Mức độ NB TH VD Tổng ND TN TL TN TL TN TL Nguyên hàm 1 1 1 3 1 1 1 3 Tích phân 1 1 1 3 2 1,5 1 4,5 Ứng dụng Tp 1 1 2 1,5 1 2,5 Tổng 2 3 3 8 3 4 3 10 IV.Đề kiểm tra KIỂM TRA : 1 TIẾT Họ và tên:…………………………… Môn: GIẢI TÍCH Lớp: 12 / Thời gian: 45 phút. 3 Câu 1:Tính nguyên hàm của hàm số y sinx.cos x Câu 2:Tính nguyên hàm
x ln x.dx
Câu 3:Tính sin xdx 1
Câu 4:Tính
x .dx 3
0
2
2 Câu 5: sinx.(2cos x 1) dx
3 2
Câu 6:
(2 x 1)e
2x
dx
1
Câu 7:Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên bởi phép quay quanh trục Ox của một hình
x 1 1 ; y và x = 1 bằng : x x Câu 8:Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y x 3 ; y 1 x 2 ;x = 0 là : phẳng giới hạn bởi các đường : y
Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
- 32 -
Trường THPT Hương Giang Chương IV :
Tổ Toán SỐ PHỨC
Tiết 62 SỐ PHỨC I. Mục tiêu: 1. Kiến thức : - Hiểu được số phức , phần thực phần ảo của nó; hiểu được ý nghĩa hình học của khái niệm môđun, số phức liên hợp, hai số phức bằng nhau. 2. Kĩ năng: Biết biểu diễn số phức trên mặt phẳng toạ độ -Xác định được môđun của số phức , phân biệt được phần thực và phần ảo của số phức. -Biết cách xác định được điều kiện để hai số phức bằng nhau. 3. Tư duy và thái độ : + Tư duy: -Tìm một yếu tố của số phức khi biết các dữ kiện cho trước. -Biết biểu diễn một vài số phức dẫn đến quỹ tích của số phức khi biết được phần thực hoặc ảo. + Thái độ: nghiêm túc , hứng thú khi tiếp thu bài học, tích cực hoạt động. II. Chuẩn bị: 1.Giáo viên: Giáo án , phiếu học tập, bảng phụ. 2.Học sinh: sách giáo khoa, đồ dùng học tập III. Phương pháp: Gợi mở,vấn đáp,giải quyết vấn đề,đan xen hoạt động nhóm. IV. Tiến trình bài học: HOẠT ĐỘNG 1. 1.Kiểm tra bài cũ: Gọi một học sinh giải phương trình bậc hai sau A. x 2 − 5 x + 6 = 0 B. x 2 + 1 = 0 2.Bài mới: HOẠT ĐỘNG 2
Tiếp cận định nghĩa số i Hoạt động của giáo viên Như ở trên phương trình x 2 + 1 = 0 vô nghiệm trên tập số thực. Nhưng trên tập số phức thì phương trình này có nghiệm hay không ? + số thoả phương trình x 2 = −1 gọi là số i. H: z = 2 + 3i có phải là số phức không ? Nếu phải thì cho biết a và b bằng bao nhiêu ? + Phát phiếu học tập 1:
Hoạt động của học sinh
Viết bảng
+ Nghe giảng
Bài SỐ PHỨC 1.Số i: i 2 = −1
+ Dựa vào định nghĩa để trả lời
Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
2.Định nghĩa số phức: *Biểu thức dạng a + bi , a, b ∈ R; i 2 = −1 được gọi là một số phức. Đơn vị số phức z =a +bi:Ta nói a là phần số thực,b là phần số ảo - 33 -
Trường THPT Hương Giang + z = a +bi là dạng đại số của số phức.
Tổ Toán Tập hợp các số phức kí hiệu là C: Ví dụ :z=2+3i z=1+(- 3 i)=1- 3 i Chú ý: * z=a+bi=a+ib
HOẠT ĐỘNG 3 Tiếp cận định nghĩa hai số phức bằng nhau +Để hai số phức z = a+bi và z = c+di bằng nhau ta cần điều kiện gì ? + Gv nhắc lại đầy đủ. +Em nào định nghĩa được hai số phức bằng nhau ? +Hãy chỉ ra hướng giải ví dụ trên?
+Bằng logic toán để trả lời câu hỏi ngay dưới lớp.
+trả lời câu hỏi ngay dưới lớp. + Lên bảng giải ví dụ.
+ Số 5 có phải là số phức không ? +Trả lời câu hỏi ngay dưới lớp.
3:Số phức bằng nhau: Định nghĩa:( SGK) a = c a+bi=c+di ⇔ b = d Ví dụ:tìm số thực x,y sao cho 2x+1 + (3y-2)i=x+2+(y+4)i 2 x + 1 = x + 2 x = 1 x = 1 ⇔ ⇔ 3 y − 2 = y + 4 2 y = 6 y = 3 *Các trường hợp đặc biệt của số phức: +Số a là số phức có phần ảo bằng 0 a=a+0i +Số thực cũng là số phức +Sồ phức 0+bi được gọi là số thuần ảo:bi=0+bi;i=0+i
HOẠT ĐỘNG 4 Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
- 34 -
Trường THPT Hương Giang Tiếp cận định nghĩa điểm biểu diễn của số phức cho điểm M (a;b) bất kì,với a, b thuộc R.Ta luôn biểu diễn được điểm M trên hệ trục toạ độ. Liệu ta có biểu diễn được số phức z=a+bi trên hệ trục không và biểu diễn như thế nào ?
Tổ Toán
M ath Com po ser 1.1.5 htt p://www .m athc om pos er.com
5
y
4
b
3
M
2 1
-5
-4
-3
-2
-1
x 1
a
2
3
4
5
-1 -2 -3 -4 -5
+Nghe giảng và quan sát.
+ Điểm A và B được biểu diễn bởi số phức nào?
4.Biểu diển hình học của số phức Định nghĩa : (SGK) Ví dụ : +Điểm A (3;-1) được biểu diển số phức 3-i +Điểm B(-2;2)được biểu diển số phức-2+2i .
+Dựa vào định nghĩa để trả lời
HOẠT ĐỘNG 5 Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
- 35 -
Trường THPT Hương Giang
Tổ Toán Khắc sâu biểu diễn của số phức:
+ Bảng phụ
+quan sát vào bảng phụ để trả lời.
M ath Composer 1. 1. 5 http: / / www. mathcomposer. com
5
y
4 3
A
2 1
+Hãy biểu diễn các số phức 2+i , 2 , 2-3i lên hệ trục tọa độ? +Nhận xét các điểm biểu diễn trên ?
+ lên bảng vẽ điểm biểu diễn
-5
-4
-3
-2
-1
x 1
-1
2
3
4
5
B
-2 -3 -4
C
-5
Nhận xét : + Các số phức có phần thực a nằm trên đường thẳng x = a. +Các số phức có phần ảo b nằm trên đường thẳng y= b. HOẠT ĐỘNG 6 Tiếp cận định nghĩa Môđun của số phức +Cho A(2;1) ⇒ OA = 5 .
+quan sát và trả lời.
Độ dài của vec tơ OA được gọi là môđun của số phức được biểu diễn bởi điểm A. +Tổng quát z=a+bi thì môđun của nó bằng bao +Trả lời ngay nhiêu ? dưới lớp
+ Số phức có môđun bằng 0 là số phức nào ? Vì
+Trả lời ngay dưới lớp
a 2 + b 2 = 0 ⇒ a = 0; b = 0 +Phát phiếu học tập 2
+Trả lời ngay dưới lớp
Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
5. Mô đun của hai số phức : Định nghĩa: (SGK) Cho z=a+bi.
z = a + bi = a 2 + b 2 Ví dụ: 3 − 2i = 3 2 + (−2) 2 = 13
- 36 -
Trường THPT Hương Giang
Tổ Toán
HOẠT ĐỘNG 7 Cũng cố định nghĩa môđun của hai số phức
+Hãy biểu diễn hai số phức sau trên mặt phẳng tọa đô: Z=3+2i ; z=3-2i +Nhận xét biểu diễn của hai số phức trên ?
M ath Composer 1. 1. 5 ht tp: / / ww w. mathcomposer . com
5
y
4
+ Lên bảng biểu diễn.
3
A
2 1 -5
-4
-3
-2
-1
x 1
2
3
4
5
-1 -2
+ Hai số phức trên gọi là hai số phức liên hợp.
-3
B
-4 -5
+ Nhận xét z và z +chú ý hai số phức liên hợp thì đối xứng qua trục Ox và có môđun bằng nhau. +Hãy là ví dụ trên
+ Quan sát hình vẽ hoặc hoặc dùng đại số để trả lời +phát biểu ngay dưói lớp
6. Số phức liên hợp: Cho z = a+bi. Số phức liên hợp của z là: z = a − bi Ví dụ : 1. z = 4 − i ⇒ z = 4 + i 2. z = −5 + 7i ⇒ z = −5 − 7i Nhận xét: *z = z *z = z
V.Cũng cố: + Học sinh nắm được định nghĩa số phức , hai số phức bằng nhau . + Biểu diễn số phức và tính được mô đun của nó. +Hiểu hai số phức bằng nhau. +Bài tập về nhà: 1 – 6 trang 133 – 134 VI.Phục lục: 1.Phiếu học tập 1: Ghép mỗi ý ở cột trái với một ý ở cột phải Số phức 1. z = 1 − 2i 2. z = πi 3. z = −3 4. z = −1 + 2i
Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
Phần thực và phần ảo A. a = −3; b = 0 B. a = −1; b = 1 C. a = −1; b = 2 D. a = 1; b = −2 E. a = 0; b = π
- 37 -
Trường THPT Hương Giang Tổ Toán 2.Phiếu học tập 2:Tìm số phức biết mô đun bằng 1 và phần ảo bằng 1 A. z = 1 + i B. z = −2 + i C. z = 0 + i D. z = 1 + i 3.Bảng phụ: Dựa vào hình vẽ hãy điền vào chỗ trống. M ath Composer 1. 1. 5 ht tp: / / www. mathcomposer. com
5
y
4
1. Điểm…..biểu diễn cho 2 – i
3
A
2
D -5
-4
-3
1 -2
-1
2. Điểm…..biểu diễn cho 0 + i
C
x 1
-1
2
3
4
5
B
-2
3. Điểm…..biểu diễn cho – 2 + i 4. Điểm…..biểu diễn cho 3 + 2i
-3 -4 -5
Tiết 63-64: CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC I.Mục tiêu: 1) Về kiến thức: Hs nắm được quy tắc cộng trừ và nhân số phức 2) Về kỹ năng: Hs biết thực hiện các phép toán cộng trừ và nhân số phức 3) Về tư duy thái độ: Học sinh tích cực chủ động trong học tập, phát huy tính sáng tạo Có chuẩn bị bài trước ở nhà và làm bài đầy đủ II.Chuẩn bị của gv và hs: 1. Giáo viên: Giáo án, bảng phụ, phiếu học tập 2. Học sinh: Học bài cũ, làm đầy đủ các bài tập ở nhà. Chuẩn bị bài mới. III.Phương pháp: Gợi mở, vấn đáp và thảo luận nhóm. IV. Tiến trình bài học: 1. Ổn định lớp 2. Kiểm tra bài cũ: Câu hỏi: - Hai số phức như thế nào được gọi là bằng nhau? Tìm các số thực x,y biết: ( x+1) + ( 2+y )i = 3 + 5i? 3. Bài mới: HĐ của Thầy * HĐ1: Tiếp cận quy tắc cộng hai số phức: - Từ câu hỏi ktra bài cũ gợi ý cho hs nhận xét
HĐ của trò
Ghi bảng 1. Phép cộng và trừ hai số phức: Quy tắc cộng hai số phức:
-Từ việc nhận xét mối quan hệ giữa 3 số phức hs phát
Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
- 38 -
Trường THPT Hương Giang mối quan hệ giữa 3 số hiện ra quy tắc cộng hai số phức 1+2i, 2+3i và phức 3+5i ? -Học sinh thực hành bài giải -Gv hướng dẫn học sinh ở ví dụ 1(một học sinh lên áp dụng quy tắc cộng hai số phức để giải ví dụ 1 bảng giải, cả lớp nhận xét *HĐ2:Tiếp cận quy tắc bải giải ) trừ hai số phức -Từ câu b) của ví dụ 1giáo viên gợi ý để học sinh phát hiện mối quan hệ giữa 3 số phức 3-2i, -Từ việc nhận xét mối quan 2+3i và 1-5i hệ giữa 3 số phức hs phát hiện ra quy tắc trừ hai số -Gv hướng dẫn học sinh phức áp dụng quy tắc cộng hai số phức để giải ví dụ 2 *Học sinh thực hành làm Học sinh thực hành bài giải bài tập ở phiếu học tập số ở ví dụ 2 (một học sinh lên 1 bảng giải, cả lớp nhận xét *HĐ3:Tiếp cận quy tắc bải giải ) nhân hai số phức -Giáo viên gợi ý cho học sinh phát hiện quy tắc nhân hai số phức bằng cách thực hiện phép nhân (1+2i).(3+5i) =1.3-2.5+(1.5+2.3)i = -7+11i -Gv hướng dẫn học sinh áp dụng quy tắc cộng hai số phức để giải ví dụ 3 *Học sinh thực hành làm bài tập ở phiếu học tập số 2
-Thông qua gợi ý của giáo viên, học sinh rút ra quy tắc nhân hai số phức và phát biểu thành lời cả lớp cùng nhận xét và hoàn chỉnh quy tắc . -Học sinh thực hành bài giải ở ví dụ 3 (một học sinh lên bảng giải, cả lớp nhận xét bải giải
Tổ Toán VD1: thực hiện phép cộng hai số phức a) b)
(2+3i) + (5+3i) = 7+6i ( 3-2i) + (-2-3i) = 1-5i
Quy tắc trừ hai số phức:
VD2: thực hiện phép trừhai số phức a) (2+i) -(4+3i) = -2-2i c) ( 1-2i) -(1-3i) = i
2.Quy tắc nhân số phức Muốn nhân hai số phức ta nhân theo quy tắc nhân đa thức rồi thay i2 = -1 Ví dụ 3 :Thực hiện phép nhân hai số phức a) (5+3i).(1+2i) =-1+13i b) (5-2i).(-1-5i) =-15-23i Chú ý :Phép công và phép nhân các số phức có tất cả các tính chất của phép cộng và phép nhân các số thực
4.Cũng cố toàn bài Nhắc lại các quy tắc cộng ,trừ và nhân các số phức Phiếu học tập số 2 . Hãy nối một dòng ở cột 1 và một dòng ở cột 2 để có 5.Dặn dò Các em làm các bài tập trang 135-136 SGK
kết quả đúng? Phiếu học tập số 1Cho 3 số phức z1 = 2+3i, z2 = 7+ 5i, z3 = -3+ 8i. Hãy
2+ 5i) thực hiện1.các3.( phép toán? sau: 2. 2i.( 3+ 5i) ? a) z1 + z2 + z3 = ? b) z1Nguyễn +3. z2 -–z5i.6i = ? ?Anh Hùng 3Phan Biên soạn: 4. ( -5+ 2i).( -1- 3i) ? c) z1 - z3 + z2 =? Nhận xét kết quả ở câu b) và c) ?
A. B. C. D.
30 6 + 15i 11 + 13i –10 + 6i E. 5 – 6 i2
- 39 -
Trường THPT Hương Giang
Tiết 65:
Tổ Toán
PHÉP CHIA SỐ PHỨC
I. Mục tiêu: 1. Kiến thức : Học sinh phải nắm được: * Nội dung và thực hiện được các phép tính về tổng và tích của hai số phức liên hợp * Nội dung và các tính chất của phép chia hai số phức . . 2. Kỹ năng: * Thực hiện được các phép tính cộng , trừ , nhân , chia số phức . 3. Tư duy thái độ: * Biết tự hệ thống các kiến thức cần nhớ. * Tự tích lũy một số kinh nghiệm giải toán * Biết vận dụng linh hoạt các kiến thức về các phép tính của số phức một cách linh hoạt , sáng tạo II. Chuẩn bị của Giáo viên & Học sinh: 1. Giáo viên:Giáo án, bảng phụ , phiếu học tập 2. Học sinh: Giải các bài tập ở nhà và đọc qua bài mới III. Phương pháp: Phát vấn , Gợi mở kết hợp hoạt động nhóm. IV. Tiến trình bài học: 1. Ổn định tổ chức lớp: Sĩ số, tác phong. 2 .Kiểm tra bài cũ: Tính a) 5 + 2i – 3 (-7 + 6i ) Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng - 40 -
Trường THPT Hương Giang
Tổ Toán b) (2-
3
.Bài mới:
3i)(
1 + 2
3i)
c) ( 1+ 2 i)2 PHÉP CHIA SỐ PHỨC
HOẠT ĐỘNG 1: Tổng và tích của hai số phức liên hợp Hoạt động của giáo viên Cho số phức z = a + bi và z = a – bi . Tính z + z và z. z Hãy rút ra kết luận
Hoạt động của học sinh * Học sinh thực hiện các yêu cầu của giáo viên * z + z = ( a + bi ) +(a – bi )= 2a * z . z =(a+bi)(a- bi) = a2 + b2 = |z|2 * Tổng của số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó * Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương mô đun của số phức đó
Ghi bảng 1/Tổng và tích của2 số phức liên hợp Cho số phức z = a + bi và z = a – bi . Ta có z + z = 2a z. z = a2 + b2 Vậy tổng và tích của Hai số phức liên hợp là một số thực
HOẠT ĐỘNG 2: Hình thành phép chia hai số phức Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh *Hãy tìm phần thực và phần ảo của *Làm việc theo định hướng của các số phức giáo viên thông qua các câu hỏi 3+i a) z1 = 1− i 1 3 1 b ) z2 = (i + 5 ) 2i i * Nhận xét ( 1-i )(1+ i) = ? * (1- i )(1+i) = 1- i2 = 2 => p pháp giải câu a *Nhận xét i2n = ? ( n ∈ ¥ * ) * i2n = -1 => p pháp giải câu b
Ghi bảng 2/ Phép chia hai số phức. a/ Ví dụ Tìm phần thực và phần ảo của các số phức 3+i z1 = 1− i 1 3 1 z2 = (i + 5 ) 2i i Giải ( 3 + i )(1 + i ) * z1 = 1− i2 = ( 3 + 1) + ( 3 + 1)i 2 3 +1 => a = b = 2
HOẠT ĐỘNG 3: Phép chia hai số phức Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
- 41 -
Trường THPT Hương Giang Hoạt động của giáo viên * Cho hai số phức z1 = c + di và z2 = a+bi (z2 khác 0) Hãy tìm phần thực và phần ảo của z1 số phức z = z2 * g/v định hướng Để tìm phần thực và phần ảo của số phức z thì z phải có dạng A + Bi => buộc mẫu phải là một số thực => nhân tử và mẫu của z cho z2 * Gọi và hướng dẫn học sinh làm các ví dụ đã cho
Tổ Toán Hoạt động của học sinh * z=
=
(c + di )(a − bi ) c + di = (a + bi ) a + bi ac + bd ad − bc + i a 2 + b2 a2 + b2
* Học sinh tiến hành giải dưới sự định hướng của giáo viên
Ghi bảng b/ Phép chia hai số phức SGK Chú ý c + di Tính thương a + bi Ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp c/ Ví dụ 2 + 3i 1/ Tính 5−i 1 2/ Tính 3 + 2i 1 + 3i 3/ Tính 1 − 3i 2 − 3i 4/ 2i
HOẠT ĐỘNG 4 : củng cố ( thông qua bảng phụ và phiếu học tập) Hoạt động của giáo viên *Giáo viên phát phiếu học tập cho 4 nhóm * Treo bảng phụ * gọi từng nhóm lên giải và nhận xét , chỉnh sửa 4 5
Hoạt động của học sinh * học sinh nghe và nhận nhiệm vụ * Học sinh thực hiện nhiệm vụ
Ghi bảng
* học sinh các nhóm khác nhận xét và đánh giá
.Củng cố toàn bài : Giáo viên nhắc lại các nội dung trọng tâm của bài học Qui tắc và tính chất của phép chia hai số phức .Hướng dẫn học bài ở nhà và ra bài tập về nhà (5’) + Học thuộc định nghĩa phép tính về tổng và tích hai số phức liên hợp + Học thuộc các quy tắc và tính chất của các phép tính trên số phức + Giải tất cả các bài tập trong sách giáo khoa + Bài tập làm thêm Cho số phức z = a+ bi , a,b ∈ R . Tìm phần thực và ảo các số phức sau
Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
- 42 -
Trường THPT Hương Giang a/ z2 – 2z +4i
Tổ Toán b/
z+i iz − 1
V.Phiếu học tập Nhóm 1 Thực hiện phép tính
2 1+ i + i 2 2
z Nhóm 2 Thực hiện phép tính biết z = 4+3i và z1 = 2i – 3 z1 1+ z Nhóm 3 Tìm phần thực và ảo các số phức sau với z = 3+i 3 + 2iz 3+i Nhóm 4 Thực hiện phép tính (1 + i )(1 − 2i )
Tiết 66:
BÀI TẬP PHÉP CHIA SỐ PHỨC
I. Mục tiêu: 1. Kiến thức : Học sinh phải nắm được: * Phép chia hai số phức , nghịch đảo của một số phức và các phép toán trên số phức . 2. Kỹ năng: * Sử dụng thành thạo các phép tính cộng , trừ , nhân , chia số phức . 3. Tư duy thái độ: * Phát huy tính tư duy logic , sáng tạo và thái độ nghiêm túc trong quá trình giải bài tập II. Chuẩn bị của Giáo viên & Học sinh: 3. Giáo viên:Giáo án, bảng phụ , phiếu học tập 4. Học sinh: SGK và chuẩn bị trước các bài tập ở nhà III. Phương pháp: Phát vấn , Gợi mở kết hợp hoạt động nhóm. IV. Tiến trình bài học: 1.Ổn định tổ chức lớp: Sĩ số, tác phong. 2 .Kiểm tra bài cũ: CH1 Nêu qui tắc tính thương của hai số phức (1 + 2i ) 2 − (1 − i ) 2 1+ i 2 CH2 tính , (3 + 2i ) 2 − (2 + i ) 2 2+i 3 3 .Bài mới: BÀI TẬP PHÉP CHIA SỐ PHỨC Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng - 43 -
Trường THPT Hương Giang HOẠT ĐỘNG 1: Bài tập 1 SGK
Tổ Toán
Hoạt động của giáo viên
Hoạt động của học sinh Ghi bảng * Học sinh thực hiện các yêu Bài 1 cầu của giáo viên 2+i 4 7 * Nêu qui tắc tìm thương + i a/ = 3 − 2i 13 13 của hai số phức 1+ i 2 2 + 6 2 2 − 3 * Gọi học sinh học lực trung b/ = + i bình lên bảng trình bày 2+i 3 7 7 * Các học sinh khác nhận xét 5i 15 10 c/ =− + i 2 − 3i 13 13 HOẠT ĐỘNG 2 Bài tập 2 SGK Hoạt động của giáo viên * Nhắc khái niệm số nghịch 1 đảo của số phức z là z * Giao nhiệm vụ cho học sinh theo 4 nhóm ( mỗi nhóm 1 bài) *Gọi 1 thành viên trong nhóm trình bày * Cho các nhóm khác nhận xét và g/v kết luận
Hoạt động của học sinh Ghi bảng *Nhận nhiệm vụ và thảo luận theo nhóm . Trình bày lời giải Bài 2 vào bảng phụ 1 1 2 a/ = − i 1 + 2i 5 5 *Đại diện nhóm lên bảng treo 1 2 + 3i 2 3 bảng lời giải và trình bày = b/ = + i 2+9 2 − 3i 11 11 * Các nhóm khác nhận xét 1 −i c/ = = −i i 1 1 5−i 3 5 3 = d/ = − i 5 + i 3 25 + 3 28 28
HOẠT ĐỘNG 3: Bài tập 3 SGK Hoạt động của giáo viên * Giao nhiệm vụ cho học sinh theo 4 nhóm ( mỗi nhóm 1 bài) *Gọi 1 thành viên trong nhóm trình bày * Cho các nhóm khác nhận xét * Gv nhận xét và kết luận
HOẠT ĐỘNG 4 : Bài tập 4 SGK Hoạt động của giáo viên Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
Hoạt động của học sinh
Ghi bảng
Bài 3 *Nhận nhiệm vụ và thảo luận a/ 2i(3+i)(2+4i) = 2i(2+14i) theo nhóm . Trình bày lời giải = - 28 +4i 2 3 vào bảng phụ (1 + i ) (2i ) 2i (−8i ) b/ = −2 + i −2 + i *Đại diện nhóm lên bảng treo 16(−2 − i ) 32 16 =− − i bảng lời giải và trình bày = 5 5 5 c/ 3+2i+(6+i)(5+i) = 3+2i +29+11i = 32+13i * Các nhóm khác nhận xét 5 + 4i d/ 4-3i+ 3 + 6i (5 + 4i )(3 − 6i ) = 4-3i + 45 39 18 219 153 − i = 4-3i + − i = 45 45 45 45 Hoạt động của học sinh
Ghi bảng - 44 -
Trường THPT Hương Giang
Tổ Toán
Nhận nhiệm vụ và thảo luận * Giao nhiệm vụ cho học sinh theo nhóm . Trình bày lời giải theo 4 nhóm vào bảng phụ (nhóm 1,3 bài c; nhóm 2 bàia ; nhóm4 bài b) *Đại diện nhóm lên bảng treo bảng lời giải và trình bày *Gọi 1 thành viên trong nhóm trình bày * Các nhóm khác nhận xét * Cho các nhóm khác nhận xét * Gv nhận xét và kết luận
HOẠT ĐỘNG V Củng cố
1 2
Bài 4 a/(3-2i)z +(4+5i)=7+3i (3-2i)z=3 – 2i 3 − 2i z = =1 3 − 2i b/ (1+3i)z-(2+5i)=(2+i)z (-1+2i)z=(2+5i) 2 + 5i 8 9 = − i z= −1 + 2i 5 5 z + (2 − 3i ) = 5 − 2i 4 − 3i z = 3+i c/ ⇔ 4 − 3i ⇔ z = (3 + i )(4 − 3i ) ⇔ z = 15 − 5i
( Phát phiếu học tập ) 10’ 3 Câu 1 Tìm a,b ∈ R sao cho (a – 2bi) (2a+bi) = 2+ i 2 Câu 2 Cho z1 = 9y2 – 4 – 10xi3 và z2 = 8y2 +20i19 . Tìm x,y∈ R sao cho z1 = z2 Các nhóm thảo luận và đại diện nhóm lên bảng giải Gv nhận xét và kết luận . Củng cố toàn bài : Nắm kỹ các phép toán trên số phức .Dặn dò ,bài tập : Làm tất cả các bài tập trong sách bài tập Tiết 67-68:
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
I.Mục tiêu: 1.Về kiến thức: Giúp học sinh nắm được: Căn bậc hai của một số thực âm; cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực trong mọi trường hợp đối với Δ 2.Về kĩ năng: Học sinh biết tìm được căn bậc 2 của một số thực âm và giải phương trình bậc hai với hệ số thực trong mọi trường hợp đối với Δ 3.Về tư duy và thái độ - Rèn kĩ năng giải phương trình bậc hai trong tập hợp số phức. - Rèn tính cẩn thận ,chính xác… II.Chuẩn bị của giáo viên và học sinh: * Giáo viên: Soạn giáo án, phiếu học tập ,đồ dùng dạy học …. * Học sinh: Xem nội dung bài mới, dụng cụ học tập … III.Phương pháp: * Gợi mở + nêu vấn đề đan xen hoạt động nhóm. IV.Tiến trình bài học: 1.Ổn định lớp. Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
- 45 -
Trường THPT Hương Giang 2. Kiểm tra bài cũ:
Tổ Toán
Câu hỏi 1:Thế nào là căn bậc hai của một số thực dương a ? Câu hỏi 2:Viết công thức nghiệm của phương trình bậc hai ? 3.Bài mới : Hoạt động của GV Hoạt động của HS Hoạt động 1:Tiếp cận khái niệm căn bậc 2 của số thực âm * Ta có: với a > 0 có 2 căn bậc 2 của a là b = ± (vì b² = a) * Vậy a < 0 có căn bậc 2 của a không ? Để trả lời cho câu hỏi trên ta thực hiện ví dụ sau: Ví dụ 1: Tìm x sao cho x² = -1 Chỉ ra được x = ±i Vậy số âm có căn bậc 2 không? Vì i² = -1 (-i)² = -1 ⇒ -1 có 2 căn bậc 2 là ±i ⇒ số âm có 2 căn bậc 2 Ví dụ 2: Tìm căn bậc hai của -4 ? Ta có( ±2i)²=-4 Tổng quát:Với a<0.Tìm căn bậc ⇒ -4 có 2 căn bậc 2 là 2 của a ± 2i Ví dụ : ( Củng cố căn bậc 2 của số thực âm) *Ta có (±i)²= -a Hoạt động nhóm: GV chia lớp ⇒ có 2 căn bậc 2 của a là ±i thành 4 nhóm, phát phiếu học tập 1, cho HS thảo luận để trả lời. Hoạt động 2:Cách giải phương trình bậc 2 với hệ số thực Nhắc lại công thức nghiệm của phương trình bậc 2: ax² + bx + c = 0 Δ > 0: pt có 2 nghiệm phân biệt: x1,2 = Δ = 0: pt có nghiệm kép x1 = x2 = Δ < 0: pt không có nghiệm thực. *Trong tập hợp số phức, Δ < 0 có 2 căn bậc 2, tìm căn bậc 2 của Δ ⇒ 2 căn bậc 2 của Δ là ±i *Như vậy trong tập hợp số phức,Δ<0 phương trình có ⇒ Δ < 0 pt có 2 nghiệm nghiệm hay không ? phân biệt là: Nghiệm bao nhiêu ? x1,2 =
Ghi bảng 1.Căn bậc 2 của số thực âm
Với a<0 có 2 căn bậc 2 của a là ±i Ví dụ :-4 có 2 căn bậc 2 là ±2i
II.Phương trình bậc 2 + Δ>0:pt có 2 nghiệm phân biệt x1,2 = + Δ = 0: pt có nghiệm kép x1 = x2 = + Δ<0: pt không có nghiệm thực. Tuy nhiên trong tập hợp số phức, pt có 2 nghiệm phân biệt x1,2 =
Ví dụ :Giải các pt sau trên tập hợp số phức:
Δ = -3 < 0: pt có 2 nghiệm phân biệt Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
- 46 -
Trường THPT Hương Giang a) x² - x + 1 = 0 Ví dụ 2: (Dùng phiếu học tập 2) Chia nhóm ,thảo luận * Gọi đại diện mỗi nhóm trình bày bài giải →GV nhận xét ,bổ sung (nếu cần). *Giáo viên đưa ra nhận xét để học sinh tiếp thu.
Tổ Toán x1,2 = Chia nhóm ,thảo luận theo yêu cầu của giáo viên. Nhận xét:(sgk)
4.Củng cố toàn bài : - Nhắc lại căn bậc 2 của 1 số thực âm. - Công thức nghiệm pt bậc 2 trong tập hợp số phức. - Bài tập củng cố (dùng bảng phụ ). 5.Hướng dẫn học bài ở nhà và ra bài tập về nhà. Dặn dò học sinh học lý thuyết và làm bài tập về nhà trong sách giáo khoa. V.Phụ lục: 1. Phiếu học tập 1: Tìm căn bậc 2 của các số :-2,-3,-5,-6,-8,-9,-10,-12 2.Phiếu học tập 2 Giải các pt sau trong tập hợp số phức a).x² + 4 = 0 b).-x² + 2x – 5 = 0 c). x4 – 3x2 – 4 = 0 d). x4 – 9 = 0 3.Bảng phụ : BT1: Căn bậc 2 của -21là : A/ i B/ -i C/±i D/ ± 4 BT2:Nghiệm của pt x – 4 = 0 trong tập hợp số phức là : A/ x=± B/ x=i C/ x=-i D/ Tất cả đều đúng. BT3:Nghiệm của pt x4 + 4 = 0 trong tập hợp số phức là : A/ ±(1-i) B/ ±(1+i) C/ ±2i D/ A,B đều đúng Tự chọn:
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
I.Tiến trình bài học: 1.ổn định lớp: Câu hỏi 1: Căn bậc 2 của số thực a<0 là gì? Áp dụng : Tìm căn bậc 2 của -8 Câu hỏi 2: Công thức nghiệm của pt bậc 2 trong tập số phức Áp dụng : Giải pt bậc 2 : x² -x+5=0 2.Nội dung: Hoạt động của GV - Gọi 1 số học sinh đứng tại chỗ trả lời bài tập 1 Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
Hoạt động của HS Trả lời được : ± I ; ± 2i ; ±2i ; ±2i ; ±11i.
Ghi bảng Bài tập 1
- 47 -
Trường THPT Hương Giang
Tổ Toán
- Gọi 3 học sinh lên bảng giải 3 câu a,b,c
⇒ GV nhận xét, bổ sung (nếu cần).
- Gọi 2 học sinh lên bảng giải ⇒ Cho HS theo dõi nhận xét và bổ sung bài giải (nếu cần). - Giáo viên yêu cầu học sinh nhăc lại cách tính z1+ z2, z1.z2 trong trường hợp Δ > 0 - Yêu cầu học sinh nhắc lại nghiệm của pt trong trường hợp Δ < 0. ⇒Sau đó tính tổng z1+z2 tích z1.z2
a/ -3z² + 2z – 1 = 0 Δ΄= -2 < 0 pt có 2 nghiệm phân biệt. z1,2 = b/ 7z² + 3z + 2 = 0 Δ= - 47 < 0 pt có 2 nghiệm phân biệt. z1,2 = c/ 5z² - 7z + 11 = 0 Δ = -171 < 0 pt có 2 nghiệm phân biệt z1,2 = 3a/ z4 + z² - 6 = 0 z² = -3 → z = ±i z² = 2 → z = ± 3b/ z4 + 7z2 + 10 = 0 z2 = -5 → z = ±i z² = - 2 → z = ± i
Tính nghiệm trong trường hợp Δ<0 Tìm được z1+z2 = z1.z2 = z+z‾ = a+bi+a-bi=2a z.z‾= (a+bi)(a-bi) = a² - b²i² = a² + b² →z,z‾ là nghiệm của pt X²-2aX+a²+b²=0
Bài tập 2
Bài tập 3
BT4:
z1+z2 = z1.z2 = BT5:
- Yêu cầu học sinh tính z+z‾ z.z‾ →z,z‾ là nghiệm của pt X² -(z+z‾)X+z.z‾ = 0 →Tìm pt
Pt:X²2aX+a²+b²=0
- Bài tập củng cố: 3). Củng cố toàn bài . BT 1: Giải pt sau trên - Nắm vững căn bậc 2 của số âm ; giải pt bậc 2 trong tập hợp số phức tập số phức: a/ z2 – z + 5 = 0 b/ z4 –1 =0 c/ z4 – z2 – 6 = 0
Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
- 48 -
Trường THPT Hương Giang
Tổ Toán
Tiết 69: ÔN TẬP CHƯƠNG IV I/ Mục tiêu: 1/ Kiến thức: - Nắm được định nghĩa số phức, phần thực, phần ảo, môđun của số phức. Số phức liên hợp. - Nắm vững được các phép toán: Cộng , trừ, nhân, chia số phức – Tính chất của phép cộng, nhân số phức. - Nắm vững cách khai căn bậc hai của số thực âm. Giải phương trình bậc hai với hệ số thực. 2/ Kỹ năng: - Tính toán thành thạo các phép toán. - Biểu diễn được số phức lên mặt phẳng tọa độ . - Giải phương trình bậc I, II với hệ số thực. 3/ Tư duy, thái độ: - Rèn luyện tính tích cực trong học tập , tính toán cẩn thận , chính xác. II/ Chuẩn bị: 1/ Giáo viên: Bài soạn- Phiếu học tập. 2/ Học sinh: Bài cũ: ĐN, các phép toán, giải phương trình bậc hai với hệ số thực. III/ Phương pháp giảng dạy: Nêu vấn đề - Gợi ý giải quyết vấn đề. IV/ Tiến trình dạy học: 1/ Ổn định: . 2/ Kiểm Tra: - Chuẩn bị bài cũ của học sinh. - Biểu diễn số phức Z1= 2 + 3i và Z2 = 3 + i lên mặt phẳng tọa độ. Xác định véc tơ biểu diễn số phức Z1 + Z2 3/ Bài mới Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng I/ ĐN số phức- Số phức liên Nêu đ. nghĩa số phức ? Dạng Z= a + bi , trong đó a hợp: là phần thực, b là phần ảo. - Số phức Z = a + bi với a, b ∈R Vẽ hình Biểu diễn số phức Z= a + bi lên mặt phẳng tọa độ ? Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
- 49 -
Trường THPT Hương Giang Viết công thức tính môđun của số phức Z ? Nêu d. nghĩa số phức liên hợp của Z = a − bi số phức Z= a + bi ? Số phức nào bằng số phức liên hợp Số phức có phần ảo bằng 0. của nó ? Theo dõi và tiếp thu Giảng: Mỗi số phức đều có dạng Z= a + bi , a và b ∈ R. Khi biểu diễn Z lên mặt phẳng tọa độ ta được véc tơ OM = (a, b). Có số phức liên hợp Z = a + bi. Giảng: Mỗi số phức Z = a + bi biểu diễn bởi một điểm M (a, b) trên mặt phảng tọa độ. Nêu bài toán 6/ 145 (Sgk) . Yêu cầu lên bảng xác định ?
Yêu cầu HS nêu qui tắc: Cộng , trừ, nhân , chia số phức? Phép cộng, nhân số phức có tính chất nào ? Yêu cầu HS giải bài tập 6b, 8b . a = 0 *Gợi ý: Z = a + bi =0 b = 0
Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
Tổ Toán
2 2 * OM = Z = a + b .
* Số phức liên hợp: Z = a – bi Chú ý: Z = Z ⇔ b = 0 II/ Tập hợp các điểm biểu Theo dõi Vẽ hình và trả lời từng câu diễn số phức Z: 1/ Số phức Z có phần thực a = a, b, c, d 1: Là đường thẳng qua hoành độ 1 và song song với Oy. 2/ Số phức Z có phần ảo b = -2: Là đường thẳng qua tung độ -2 và song song với Ox. 3/ Số phức Z có phần thực a ∈ [ − 1,2] ,phần ảo b ∈ [ 0,1] : Là hình chữ nhật. 3/ Z ≤ 2 : Là hình tròn có R = 2. III/ Các phép toán : Trả lời - Cộng: Giao hoán, kết hợp Cho hai số phức: Z1 = a1 + b1i … Z2 = a2 + b2i - Nhân: Giao hoán, kết hợp, *Cộng: phân phối. Z1+Z2= a1+ a2+(b1+b2)i * Trừ: Lên bảng thực hiện Z1-Z2= a1- a2+(b1-b2)i * Nhân: Z1Z2= a1a2- b1b2 + (a1b2+a2b1)i * Chia : Z1 Z1 Z 2 = ; Z2 ≠ 0 Z2 Z2 Z2 6b)Tìm x, y thỏa : 2x + y – 1 = (x+2y – 5)i 2 x + y − 1 = 0 x = −1 ⇔ ⇔ x + 2 y − 5 = 0 y = 3 1+ i 8b) Tính : (4-3i)+ 2+i
- 50 -
Trường THPT Hương Giang
Tổ Toán (1 + i )(2 − i ) = 4- 3i + (2 + i )(2 − i ) 3 + i 23 14 = − i = 4 – 3i + 5 5 5 IV/ Phương trình bậc hai với Nêu cách giải phương trình bậc hai Nêu các bước giải – ghi 2 hệ số thực: : ax + bx + c = 0 ; a, b, c ∈ R và a ≠ bảng ax2 + bx + c = 0 ; a, b, c ∈ R 0? Thực hiện và a ≠ 0. Yêu cầu HS giải bài tập 10a,b * Lập ∆ = b2 – 4ac Nếu : −b ∆ = 0 ; x1 = x2 = 2a −b± ∆ ∆ > 0 ; x1, 2 = 2a −b±i ∆ ∆ < 0 ; x1, 2 = 2a 10a) 3Z2 +7Z+8 = 0 Lập ∆ = b2 – 4ac = - 47 − 7 ± i 47 Z1,2 = . 6 10b) Z4 - 8 = 0. Z 2 = 8 2 Z = − 8 Z 1, 2 = ± 4 8 Z 3, 4 = ± i 4 8 4/Cũng cố: - Nhắc lại hệ thống các kiến thức cơ bản : ĐN số phức, số phức liên hợp- Giải phương trình bậc hai với hệ số thực. - HS thực hiện trên 3 phiếu học tập. 5/ Dặn dò: - Nắm vững lý thuyết chương 4. - Giải các bài tập còn lại của chương - Xem lại bài tập đã giải. -Chuẩn bị tiết sau kiểm tra 1 tiết của chương 4 V/ Phụ lục: 1) Phiếu học tập số 1: Câu 1: Số phức Z = a + bi thỏa điều kiện nào để có điểm biểu diễn M ở phần gạch chéo trong hình a, b, c. 2) Phiếu học tập số 2: Câu 2: Giải phương trình : Z4 – Z2 – 5 = 0. 3) Phiếu học tập số 3: Câu 3: Tìm hai số phức Z1, Z2 thỏa : Z1 + Z2 = 1 và Z1Z2 = 7
KIỂM TRA 1 TIẾT CHƯƠNG IV Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
- 51 -
Trường THPT Hương Giang
A/ PHẦN TRẮC NGHIỆM (4đ) Câu 1: Phần ảo của z =3i là a/ o b/ 3i c/ i Câu 2: 2 − 3i bằng:
Tổ Toán
d/ 3
a/ 5 b/ -3 c/ 5 d/ 13 Câu 3: Tìm các số thực x và y biết: (3x-2) + (2y + 1)i =(x+1) -(y-5)i a/x =3, y =4 b/ x =
3 , y =2 2
3 4 ,y= 2 3 1 4 d/ x = ,y = 2 3
c/x =
Câu 4: Số z + z là: a/ Số thực b/ số ảo Câu 5: Đẳng thức nào sau đây đúng: a/i2006 = -i b/i2007 = 1 Câu 6: Căn bậc hai của -36 là : a/ ± 6 b/ ± 6i c/ - 36i Thực hiện bài 7,8,9,10 với đề toán sau: Cho z =3 + 2i; z1 =2-3i Câu 7: z × z1 bằng: a/ 12 - 5i b/ 6 - 6i c/ 13i Câu 8: z/z1 bằng: a/ 13i b/ 6 + I c/ i Câu 9: z + z1 bằng : a/ 6 - 5i b/ 5 + 5i c/ 6 - 6i Câu 10 : z + z bằng: a/ 6 - 4i b/ 4i c/ 6
c/ o c/ i2008 = i
d/ 2 d/i2345 = i
d/ o
d/ 12 + 13i d/ 6 +13i d/ 5 - i d/ 4
B/ PHẦN TỰ LUẬN: 1. Thực hiện phép tính: 1+ i ( 1- 2 i ) + 2+i 2. Giải phương trình : z2 - 2z + 9 =0 3. Tìm số phức z, biết z = 3 10 và phần ảo của z bằng 3 lần phần thực của nó.
KIỂM TRA 1 TIẾT CHƯƠNG IV Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
- 52 -
Trường THPT Hương Giang I. Mục đích yêu cầu : học sinh nắm được : - Cách xác định căn bậc hai của số thực âm. - Giải phương trình bậc hai với hệ số thực có biệt số âm. - Các phép toán cộng, trừ ,nhân, chia số phức. II. Mục tiêu : - Đánh giá khả năng tiếp thu bài của học sinh. - Học sinh nắm vững và hệ thống các kiến thức đã học trong chương NB
TH
VD
TN TN
Tổ Toán
TL
TN
TC TL
TL
2
2
số phức
0,8 0,8
1,6
1 cộng, trừ, nhân số phức
1 0 ,4
1 2
1 phép chia số phức phương trinh bậc hai với hệ số thực
1 0,4
0,4
3,2
1 0,4
0,4
1
0,8 2
0,4
1 2
2
4,4
2
10
tổng cộng 2 • ĐÁP ÁN : A/ PHẦN TRẮC NGHIỆM : Câu 1 2 3 Đáp án d d c
2
16
4 a
2
5 d
0,4
6 b
7 a
8 c
B/ PHẦN TỰ LUẬN : 1+ i 3 1 1. - ( 1-2i) + = (1-2i) + ( + i) ( 1đ) 2+i 5 5 - Tính đúng kết quả ( 1đ) 2. - Tính đúng ∆ = -8 ( 0,5 đ) - Tính đúng ∆ ( 0,5 đ) - Tìm đúng 2 nghiệm ( 1 đ ) 3. z = a + 3ai ( 0,5 đ) z = 10a 2 = 3 10 ⇒ a= 3 ( 0.5 đ) - Tìm đúng z và kết luận (1đ)
Biên soạn: Nguyễn Phan Anh Hùng
- 53 -
9 d
10 c