Chuong2

Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n

Ch−¬ng 2

Vïng biÕn d¹ng 2.1- C¸c th«ng sè h×nh häc Quan s¸t m« h×nh c¸n víi hai trôc c¸n cã t©m O1 vµ O2 quay ng−îc chiÒu nhau víi c¸c tèc ®é V1 vµ V2. B¸n kÝnh trôc c¸n lµ R1 vµ R2, c¸c ®iÓm tiÕp xóc gi÷a ph«i c¸n víi trôc lµ A1B1B2A2, gãc ë t©m ch¾n c¸c cung A1B1 vµ B2A2 lµ α1 vµ α2. E Víi c¸c ký hiÖu nh− trªn, ta cã c¸c V1 kh¸i niÖm vÒ th«ng sè h×nh häc cña O1 vïng biÕn d¹ng khi c¸n nh− sau: R 1 A1 α1 K - A1B1B2A2: vïng biÕn d¹ng h×nh häc ∆h1 - A1B1nB2A2m: vïng biÕn d¹ng B1 H h thùc tÕ. m n ∆h 2 - m, n: biÕn d¹ng ngoµi vïng biÕn α B2 A2 2 R2 d¹ng h×nh häc. O2 - α1, α2: c¸c gãc ¨n. - A1B1, A2B2: c¸c cung tiÕp xóc. V2 lx - lx: h×nh chiÕu cung tiÕp xóc lªn ∆b/2 ph−¬ng n»m ngang. - H, h: chiÒu cao vËt c¸n tr−íc vµ sau khi c¸n. B b - B, b: chiÒu réng vËt c¸n tr−íc vµ sau khi c¸n. ∆b/2 - L, l: chiÒu dµi vËt c¸n tr−íc vµ sau khi c¸n. H×nh 2.1- S¬ ®å c¸n gi÷a hai trôc. 2.2- Mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i l−îng h×nh häc H - h = ∆h: l−îng Ðp tuyÖt ®èi. H−h h ∆h = 1− = : l−îng Ðp tû ®èi. H H H b - B = ∆b: d·n réng tuyÖt ®èi. b−B b ∆b = −1 = : d·n réng tû ®èi. B B B Tõ h×nh 2.1, ta xÐt hai tam gi¸c A1B1E vµ KB1A1: A1B1 B E = 1 suy ra: A1B12 = B1E.KB1 = 2R1∆h1 KB1 B1A1 Do ®ã,

A1B1 = 2 R1∆h1

(2.1)

Theo h×nh 2.1 ta cã A1B1 lµ d©y cung cña cung tiÕp xóc A1B1, v× gãc α1 rÊt bÐ nªn ta cã thÓ coi ®é dµi cña d©y cung b»ng ®é dµi cung. Song còng víi lý do α1 Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng

16

Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n

nhá (50 - 80) cho nªn khi chiÕu d©y cung A1B1 lªn ph−¬ng n»m ngang ta coi nh− kh«ng ®æi. V× vËy, A1B1.cosα1 = A1K Víi cosα1 ≈ 1, nªn ta cã: A1B1 ≈ A1K ≈ lx V× vËy,

l x1 = 2 R1∆h1 : chiÒu dµi cung tiÕp xóc (2.2)

Víi gi¶ thiÕt α1 bÐ, ta còng cã biÓu thøc: lx1 ≈ R1. α1 (2.3) NÕu nh− ta còng xÐt t−¬ng tù víi O2 ta cã thÓ suy ®−îc:

l x 2 = 2R 2 ∆h 2

(2.4)

NÕu nh− ®é dµi cung tiÕp xóc ë trªn trôc O1 vµ O2 b»ng nhau, lx1 = lx2: → → →

2 R1∆h1 = 2 R 2 ∆h 2

2R1∆h1 = 2R2∆h2 R ∆h1 = 2 ∆h 2 vµ R1

∆h 2 =

R1 ∆h1 R2

trong ®ã,

∆h1 + ∆h2 = ∆h = H - h

do ®ã,

∆h1 +

⎛ ⎛ R + R2 ⎞ R1 R ⎞ ⎟⎟ = ∆h ∆h1 = ∆h1 ⎜⎜1 + 1 ⎟⎟ = ∆h1 ⎜⎜ 1 R2 ⎝ R2 ⎠ ⎝ R2 ⎠

hoÆc,

∆h1 =

R2 ∆h R1 + R 2

vµ

∆h 2 =

R1 ∆h R1 + R 2

(2.5)

§−a (2.5) vµo c¸c biÓu thøc (2.2) vµ (2.4), ta cã: l x1 = 2 R1 .∆h1 = l x 2 = 2 R 2 .∆h 2 =

2 R1R 2 ∆h R1 + R 2 2 R1R 2 ∆h R1 + R 2

(2.6) (2.7)

NÕu nh− hai ®−êng kÝnh trôc c¸n b»ng nhau R1 = R2 = R, ta cã: l x1 = l x 2 = l x = R.∆h

th×

(2.8)

Trë l¹i h×nh 2.1, ta xÐt c¸c ®o¹n th¼ng: B1K = B1O1 - KO1, víi KO1 = R1cosα1 → B1K = R1 - Rcosα1 Mµ B1K = ∆h1 nªn: ∆h1 = R1(1 - cosα1) T−¬ng tù ®èi víi trôc O2, ta cã: ∆h2 = R2(1 - cosα2) ∆h = ∆h1 + ∆h2 = R1(1 - cosα1) + R2(1 - cosα2) Gi¶ thiÕt r»ng, R1 = R2 = R vµ α1 = α2 = α, do ®ã: cosα1 = cosα2 = cosα ∆h1 = ∆h2 Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng

17

Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n

∆h = 2∆h1 = 2∆h2 = R (1 - cosα) ∆h = D(1 - cosα) (2.9) D: ®−êng kÝnh lµm viÖc cña trôc c¸n. Khi gãc α bÐ (α ≈ 10 - 150) th×: 1 - cosα = 2sin2(α/2) = 2(α/2)2 = α2/2

cho nªn: víi

Do ®ã,

α ⎛α⎞ ∆h = D (1 − cos α ) = D.2. sin 2 ⎜ ⎟ = D. 2 ⎝2⎠

Suy ra,

α=

2

∆h R

(2.10)

2.3- HÖ sè biÕn d¹ng khi c¸n

cã:

Tõ gi¶ thiÕt lµ thÓ tÝch cña kim lo¹i lµ kh«ng ®æi trong qu¸ tr×nh biÕn d¹ng, ta H.B.L = h.b.l = const H.B.L =1 (2.11) VËy, h.b.l H = η : hÖ sè biÕn d¹ng theo chiÒu cao. Ký hiÖu: h B = β : hÖ sè biÕn d¹ng theo chiÒu réng (hÖ sè d·n réng). b L = λ : hÖ sè biÕn d¹ng theo chiÒu dµi (hÖ sè d·n dµi). l VËy, η.β.λ = 1 Tõ biÓu thøc (2.11) chóng ta cã thÓ biÕn ®æi: H.B l F 1 = = = (λ < 1) (2.12) hb L f λ Qu¸ tr×nh c¸n lµm d·n tiÕt diÖn vµ t¨ng chiÒu dµi.

2.4- HiÖn t−îng t¨ng chiÒu dµi vïng tiÕp xóc lx

Trong c«ng nghÖ c¸n nguéi, ®Æc biÖt lµ khi c¸n nguéi tÊm réng vµ máng, lùc c¸n rÊt lín. V× vËy, trôc c¸n cã l−îng biÕn d¹ng ®µn håi lín, mÆt kh¸c khi vËt c¸n th× cïng víi biÕn d¹ng d− (dÎo) cã c¶ biÕn d¹ng ®µn håi. L−îng biÕn d¹ng ®µn håi nµy khi ph«i ra ngoµi vïng tiÕp xóc th× lËp tøc bÞ mÊt ®i. Do cã biÕn d¹ng ®µn håi cña trôc c¸n vµ vËt c¸n mµ chiÒu dµi cung tiÕp xóc cña vïng biÕn d¹ng t¨ng lªn. Gi¶ thiÕt r»ng, ®¹i l−îng t¨ng lªn ®ã lµ x2. Ký hiÖu l−îng biÕn d¹ng ®µn håi cña trôc c¸n lµ y1, l−îng biÕn d¹ng ®µn håi cña vËt c¸n lµ y2. §Ó cã ®−îc mét ®¹i l−îng biÕn d¹ng ∆h/2 ph¶i thu hÑp khe hë gi÷a hai trôc c¸n l¹i, nghÜa lµ ph¶i gi¶m kho¶ng c¸ch hai t©m trôc mét kho¶ng lµ y1 + y2. Tõ h×nh (2.2), A1 vµ A2 lµ ®iÓm tiÕp xóc cña ph«i víi trôc c¸n khi cã nÐn ®µn håi vµ kh«ng cã nÐn ®µn håi; B2 vµ B3 vµ C lµ c¸c ®iÓm thÓ hiÖn khi ph«i kh«ng cã nÐn ®µn håi vµ cã nÐn ®µn håi (B2C vµ B3C). Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng

18

Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n

y2 A1 D C B1 A2 B2 B H 3 y1 h x1 x2

∆h/2

§−êng tiÕp xóc b×nh th−êng gi÷a trôc c¸n vµ ph«i lµ A2B2C. lx = x1 + x2 Ta xÐt 2 tam gi¸c: A2B2C vµ B1CO: x12 = R2 - (R - B3D)2 x22 = R2 - (R - B1B3)2 VËy,

lx H×nh 2.2- S¬ ®å x¸c ®Þnh chiÒu dµi cung tiÕp xóc khi tÝnh biÕn d¹ng ®µn håi cña trôc vµ vËt c¸n.

l x = R 2 − (R − B 3 D )2 + R 2 − (R − B1B 3 )2 hoÆc lµ:

l x = R 2 − R 2 − B 3 D 2 + 2 RB 3 D + R 2 − R 2 − B1B 32 + 2 RB1B 3 Bá qua c¸c ®¹i l−îng v« cïng bÐ so víi b¸n kÝnh trôc c¸n R, ta cã: l x = 2 R.B 3 D + 2 R.B1B 3

(2.14)

Tõ h×nh ta thÊy, B3D = ∆h/2 + y1 + y2 B3D = y1 + y2

(2.15)

VËy,

⎛ ∆h ⎞ lx = ⎜ + y1 + y 2 ⎟ 2 R + ⎝ 2 ⎠

(y1 + y 2 )2R

HoÆc,

l x = R∆h + 2R(y1 + y 2 ) +

(y1 + y 2 )2R

trong ®ã, Do ®ã,

2 R(y1 + y 2 ) = x 2

(2.16)

(2.17)

l x = R∆h + x 22 + x 2

(2.18)

TrÞ sè y1 vµ y2 lµ c¸c gi¸ trÞ nÐn ®µn håi cã biÓu thøc tÝnh gÇn ®óng nh− sau: y1 ≈ 2 q y 2 ≈ 2q

1 − µ 2P

1

πE1 1 − µ 2P

(2.19)

2

πE 2

trong ®ã, q: ¸p lùc nÐn thuû tÜnh, trÞ sè cña q cã thÓ biÓu thÞ qua ¸p lùc P trªn bÒ (2.20) mÆt tiÕp xóc: q = 2X2P µP1, µP2: hÖ sè Poisson cña trôc c¸n vµ kim lo¹i. E1, E2: m«®un ®µn håi cña trôc c¸n vµ kim lo¹i. §−a gi¸ trÞ cña y1 vµ y2 vµo biÓu thøc (2.17), ta cã: ⎛ 1 − µ2 1 − µ2 ⎞ P1 P2 ⎟ ⎜ (2.21) x 2 = 8RP ⎜ + πE 2 ⎟⎟ ⎜ πE1 ⎝ ⎠ V× khi c¸n tÊm máng th× chiÒu dµy cña thÐp tÊm so víi ®−êng kÝnh trôc c¸n Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng

19

Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n

lµ rÊt bÐ nªn phÇn nÐn ®µn håi cña vËt c¸n cã thÓ bá qua (E2 ≈ ∞), cho nªn: ⎛ 1 − µ2 P1 ⎜ x 2 = 8RP ⎜ ⎜ πE1 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(2.22)

2.5- C¸c ®Æc ®iÓm ®éng häc trong vïng biÕn d¹ng

Qu¸ tr×nh c¸n so víi c¸c qu¸ tr×nh gia c«ng kim lo¹i b»ng ¸p lùc kh¸c cã nh÷ng ®Æc ®iÓm sau ®©y: - CÇn thiÕt ph¶i cã lùc ma s¸t tiÕp xóc dï cho ph¶i tiªu tèn n¨ng l−îng nhiÒu h¬n. - Lu«n lu«n tån t¹i mét vïng kh«ng biÕn d¹ng tiÕp gi¸p víi vïng biÕn d¹ng (tån t¹i mét vïng cøng bªn ngoµi vïng biÕn d¹ng). V× vËy mµ sù ph©n bè biÕn d¹ng, tèc ®é biÕn d¹ng vµ øng suÊt trong vïng biÕn d¹ng lµ kh«ng ®ång ®Òu. Ng−êi ta nghiªn cøu ¶nh h−ëng cña lùc ma s¸t tiÕp xóc cña vïng kh«ng biÕn d¹ng kÒ s¸t vïng biÕn d¹ng ®Õn sù ph©n bè øng suÊt, ph©n bè biÕn d¹ng vµ tèc ®é di chuyÓn cña c¸c chÊt ®iÓm kim lo¹i trong vËt thÓ biÕn d¹ng, th«ng qua h×nh d¸ng h×nh häc cña vïng biÕn d¹ng ®−îc thÓ hiÖn qua tû sè gi÷a chiÒu dµi cung tiÕp xóc vµ chiÒu cao trung b×nh cña vËt c¸n trong vïng tiÕp xóc (lx/hTB). Nh− ta ®· biÕt, trªn dé dµi cung tiÕp xóc bao giê còng tån t¹i lùc ma s¸t gäi lµ lùc ma O s¸t tiÕp xóc. V× r»ng gi÷a bÒ mÆt trôc c¸n vµ kim lo¹i cã sù tr−ît ®ång thêi, trÞ sè lùc ma α R ∆h/2 s¸t nµy lµm ¶nh h−ëng ®Õn sù ph©n bè øng H hTB h suÊt vµ biÕn d¹ng trong vËt thÓ ph«i c¸n. Lùc ma s¸t bao giê còng k×m h·m (c¶n trë) α R sù di chuyÓn cña c¸c chÊt ®iÓm kim lo¹i lx O trong vËt c¸n, ¶nh h−ëng cña sù k×m h·m nµy cµng xa bÒ mÆt tiÕp xóc cµng gi¶m ®i (tÝnh theo chiÒu cao vËt c¸n). V× vËy mµ c¸c H×nh 2.3- S¬ ®å vïng biÕn d¹ng chÊt ®iÓm cña kim lo¹i ë vïng t©m ph«i c¸n vµ c¸c vïng l©n cËn. cã kh¶ n¨ng di chuyÓn nhanh h¬n (tèc ®é lín h¬n) so víi c¸c chÊt ®iÓm trªn bÒ mÆt tiÕp xóc. NÕu nh− chiÒu cao hTB cµng lín (khi biÕn d¹ng tr−ît ®−îc x¶y ra trªn toµn bé chiÒu cao) th× tèc ®é di chuyÓn cña c¸c chÊt ®iÓm ë chÝnh gi÷a ph«i cµng lín (xem h×nh 2.4). 1. Tèc ®é vïng bªn ngoµi tiÕt diÖn. 2. Tèc ®é vïng t©m tiÕt diÖn. 3. Tèc ®é trung b×nh trong tiÕt diÖn. 4. §å thÞ tèc ®é cña vïng kh«ng biÕn d¹ng. 5. §å thÞ tèc ®é ë vïng ngoµi vïng biÕn d¹ng phÝa ph«i ®i vµo trôc. 6. §å thÞ tèc ®é ë vïng trÔ. Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng

20

Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n

1

7. §å thÞ tèc ®é ë tiÕt v1 diÖn trung b×nh. a) vB 2 8. §å thÞ tèc ®é ë vïng v−ît tr−íc. 9. §å thÞ tèc ®é cña vïng ngoµi vïng biÕn d¹ng lóc ph«i ra khái trôc c¸n. 10 9 8 b) 7 10. §å thÞ tèc ®é cña 4 5 6 vïng kh«ng biÕn d¹ng (c¸n H×nh 2.4- §å thÞ tèc ®é vËt c¸n t¹i c¸c tiÕt xong). diÖn kh¸c nhau (a) vµ biÓu ®å ph©n bè tèc ®é Lùc ma s¸t ¶nh h−ëng theo chiÒu cao tiÕt diÖn (b) khi B/h > 0,5 ÷ 1 ®Õn sù ph©n bè øng suÊt trong vïng biÕn d¹ng khi lx/hTB > 0,5 ÷ 1 ®−îc thÓ hiÖn trªn h×nh 2.4. Nh− ë h×nh 2.5 chóng ta hiÓu r»ng ë vïng kÒ s¸t bÒ mÆt tiÕp xóc, do tån t¹i ma s¸t vµ cã sù biÕn ®æi tèc ®é nªn c¸c chÊt ®iÓm kim lo¹i chÞu sù l«i kÐo ®ång thêi vF.cosγ 3

víi lùc nÐn cña trôc c¸n. ë vïng gi÷a t©m ph«i vµ ¶nh h−ëng vïng ngoµi vïng tiÕp xóc ®Õn biÕn d¹ng vµ øng suÊt lµ rÊt lín, sù ph©n bè tèc ®é kh«ng ®ång ®Òu t¨ng lªn, biÕn d¹ng cña c¸c líp gÇn bÒ mÆt tiÕp xóc m·nh liÖt h¬n, cho nªn x¶y ra hiÖn t−îng kÐo m·nh liÖt c¸c líp bªn trong t©m ph«i. Do ®ã, vïng trong t©m cña ph«i chÞu øng suÊt kÐo rÊt lín. HËu qu¶ cã thÓ g©y ra c¸c vÕt nøt trong ph«i rÊt lín, thËm chÝ cã thÓ t¹o ra nh÷ng lç hæng. 1-1, 5-5: gi¶ thiÕt øng suÊt 1 2 3 4 5 b»ng 0. 2-2: tiÕt diÖn ®i vµo vïng biÕn d¹ng. 3-3: tiÕt diÖn trung hoµ. 4-4: tiÕt diÖn ph«i ra khái + - + - + vïng biÕn d¹ng. 1 2 3 4 5 H×nh 2.5- BiÓu ®å ph©n bè øng suÊt ph¸p theo (-): øng suÊt kÐo. chiÒu cao tiÕt diÖn vËt c¸n khi l/h > 0,5 ÷ 1 (+): øng suÊt nÐn. Khi vËt c¸n võa tiÕp xóc víi trôc th× øng suÊt kÐo t¹o ®iÒu kiÖn cho c¸c chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng víi mét tèc ®é nhanh lªn. T¹i tiÕt diÖn kim lo¹i ra khái trôc c¸n th× c¸c chÊt ®iÓm cã phÇn bÞ k×m h·m l¹i lµm chËm trÔ sù chuyÓn ®éng cña c¸c chÊt ®iÓm ë vïng gi÷a ph«i c¸n (h×nh 2.6). H×nh 2.6a: 1. Vïng kh«ng biÕn d¹ng. 2. Vïng ®µn håi. 3. Vïng trÔ. 4. Vïng v−ît. 5. Vïng ®µn håi. 6. Vïng sau c¸n Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng

21

Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n

a)

b)

1

2

3

4

5

+

-

+

6

H×nh 2.6- BiÓu ®å t¹i c¸c tiÕt diÖn kh¸c nhau khi lx/hTB < 0,5 ÷ 1 a) BiÓu ®å tèc ®é. b) BiÓu ®å ph©n bè øng suÊt theo ph−¬ng c¸n

H×nh 2.6b:

§iÒu kiÖn: D.cosα > hH (-): øng suÊt kÐo (+): øng suÊt nÐn

2.6- TrÔ vµ v−ît tr−íc trong vïng biÕn d¹ng khi c¸n 2.6.1- Kh¸i niÖm

Gi¶ thiÕt ta cã mét s¬ ®å cña qu¸ tr×nh c¸n nh− h×nh 2.7. Hai trôc c¸n cã cïng mét tèc ®é quay lµ VB, ký hiÖu tèc ®é cña vËt c¸n lóc vµo cïng biÕn d¹ng lµ VH vµ lóc ra khái vïng biÕn d¹ng lµ Vh. Khi quan s¸t s¬ ®å cña qu¸ tr×nh c¸n ë h×nh 2.7, ta nhËn thÊy r»ng: VB V cosα B VH < VBcosα < Vh α * Ta chøng minh: VH < Vh Px Vh Trªn c¬ së cña gi¶ thiÕt kh«ng thay VH h VB H ®æi thÓ tÝch trong qóa tr×nh biÕn d¹ng P H.B.L = h.b.l hay F.L = f.l (2.23) víi: F, f: diÖn tÝch tiÕt diÖn vËt c¸n tr−íc vµ sau khi c¸n. VB Trªn c¬ së biÓu thøc 2.23, ta chia 2 vÕ cho mét thêi gian t nµo ®ã, ta cã: H×nh 2.7- S¬ ®å tèc ®é c¸n. F.L/t = f.l/t suy ra: F.VH = f.Vh (2.24) Qu¸ tr×nh c¸n lµm gi¶m diÖn tÝch tiÕt diÖn nghÜa lµ F > f. VËy th× muèn cho biÓu thøc 2.24 ®−îc tho¶ m·n th× ph¶i cã ®iÒu kiÖn VH > Vh. V× ta kh¶o s¸t sù chuyÓn ®éng cña ph«i theo ph−¬ng n»m ngang (ph−¬ng c¸n) cho nªn ®Ó so s¸nh tèc ®é VH vµ Vh víi tèc ®é cña trôc c¸n VB th× tèc ®é nµy còng ph¶i ®−îc chiÕu lªn ph−¬ng n»m ngang (h×nh 2.7) nghÜa lµ ta so s¸nh gi÷a VH vµ VBcosα (α lµ gãc ¨n). T¹i tiÕt diÖn mµ ë ®ã ph«i ra khái trôc c¸n th× α = 0 vµ cosα = 1, nªn VB = VBcosα khi cosα = 1 ta nhËn ®−îc chÝnh gi¸ trÞ tèc ®é dµi cña trôc c¸n. VËy tèc ®é quay cña trôc c¸n khi chiÕu lªn ph−¬ng n»m ngang cã gi¸ trÞ biÕn ®æi theo gãc α. Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng

22

Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n

Chóng ta biÓu thÞ hµm sè tèc ®é cña trôc c¸n theo gãc α trªn ®é dµi cung tiÕp xóc nh− h×nh 2.8. Khi quan s¸t tèc ®é di chuyÓn cña c¸c chÊt ®iÓm cña vËt c¸n ta I 2 VBcosα thÊy: vËt v¸n di chuyÓn ®−îc lµ nhê tèc ®é cña trôc c¸n truyÒn cho nã. VÒ Vh 1 VB mÆt vËt lý th× trªn thùc tÕ bao giê còng cã hiÖn t−îng tr−ît trªn bÒ mÆt VH tiÕp xóc cã nghÜa lµ hiÖu suÊt truyÒn lx t¶i tèc ®é bao giê còng < 1, cã nghÜa lµ lu«n cã sù c¶n trë qu¸ tr×nh ¨n vµo H×nh 2.8- S¬ ®å tèc ®é trôc vµ vËt c¸n cña vËt c¸n cho nªn ta lu«n cã ®iÒu kiÖn VBcosα > VH. Cµng ®i vµo vïng biÕn d¹ng, hiÖn t−îng tr−ît gi¶m ®i v× søc nÐn cña trôc c¸n lªn kim lo¹i m·nh liÖt h¬n vµ ®Õn mét tiÕt diÖn nµo ®ã th× hiÖu suÊt truyÒn t¶i cña tèc ®é sÏ b»ng 1, cã nghÜa lµ VBcosα = VH. T¹i tiÕt diÖn nµy ng−êi ta gäi lµ tiÕt diÖn trung hoµ, trªn h×nh 2.8 lµ tiÕt diÖn I-I. Khi c¸c chÊt ®iÓm cña vËt c¸n v−ît qua tiÕt diÖn nµy th× nã sÏ nhËn ®−îc mét tèc ®é cña trôc c¸n truyÒn cho cïng víi tèc ®é cña b¶n th©n nã ®Ó ®¶m b¶o ®−îc sù c©n b»ng thÓ tÝch dÞch chuyÓn qua tõng tiÕt diÖn trong mét ®¬n vÞ thêi gian. V× vËy, ta lu«n cã VBcosα < Vh trªn c¬ së ph©n tÝch vÒ t−¬ng quan gi÷a tèc ®é di chuyÓn cña ph«i vµ cña trôc c¸n ®−îc thÓ hiÖn trªn h×nh 2.8. Nh− vËy lµ trªn mét ®é dµi cung tiÕp xóc trong vïng biÕn d¹ng, sù chªnh lÖch tèc ®é t¹o nªn 2 vïng ph©n c¸ch bëi mét tiÕt diÖn mµ t¹i ®ã VBcosα = VH = Vh, ta gäi lµ tiÕt diÖn trung hoµ. Vïng (1) tèc ®é cña ph«i nhá h¬n tèc ®é cña trôc c¸n (VBcosα), ta gäi lµ vïng trÔ. Vïng (2) tèc ®é cña ph«i lín h¬n tèc ®é cña trôc c¸n (VBcosα), ta gäi lµ vïng v−ît tr−íc. Ký hiÖu γ lµ gãc ë t©m ch¾n bëi phÇn cung tiÕp xóc thuéc vïng v−ît tr−íc vµ ®−îc gäi lµ gãc trung hoµ. Gãc ë t©m ch¾n bëi cung thuéc vïng trÔ sÏ lµ (α - γ). NhiÒu c«ng tr×nh nghiªn cøu 2 ng−êi ta nhËn thÊy r»ng, nÕu nh− ®é γ 2 dµi cung tiÕp xóc lx kh¸ lín th× kh«ng VBcosα ph¶i chØ cã tiÕt diÖn trung hoµ mµ cã γ1 1 Vïng VB Vh c¶ mét vïng trung hoµ. Vïng nµy Vïng tr−ît Vïng ng−êi ta gäi lµ vïng dÝnh. Cã nghÜa dÝnh VH trÔ r»ng, trªn vïng nµy kh«ng tån t¹i sù lx tr−ît trªn bÒ mÆt tiÕp xóc, lùc ma s¸t cã gi¸ trÞ rÊt bÐ τ → 0 vµ ®æi dÊu. H×nh 2.9- S¬ ®å tèc ®é trôc vµ vËt c¸n §å thÞ tèc ®é trong tr−êng hîp khi tån t¹i vïng dÝnh nµy nh− h×nh 2.9. Tõ nh÷ng kh¸i niÖm ®· t×nh bµy trªn ®©y ta nhËn thÊy r»ng, hiÖn t−îng trÔ vµ Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng

23

Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n

v−ît tr−íc lµ mét qu¸ tr×nh ®éng x¶y ra mét c¸ch tù nhiªn trong vïng biÕn d¹ng. §é lín cña tõng vïng cã thÓ thay ®æi tïy theo c¸c th«ng sè c«ng nghÖ x¶y ra trong vïng biÕn d¹ng, kÓ c¶ c¸c th«ng sè h×nh häc cña vïng biÕn d¹ng. V× vËy, viÖc x¸c ®Þnh ®é lín cña tõng vïng, nhÊt lµ trÞ sè v−ît tr−íc cã ý nghÜa thùc tÕ trong c«ng nghÖ c¸n. 2.6.2- C¸c ph−¬ng ph¸p x¸c ®Þnh hÖ sè v−ît tr−íc a) Ph−¬ng ph¸p thùc nghiÖm

Trªn cïng mét vßng trßn cña trôc c¸n (t¹i mét tiÕt diÖn cña trôc c¸n), ng−êi ta ®¸nh dÊu 2 vÞ trÝ m1 vµ m2, kho¶ng c¸ch m1m2 = lB. Sau khi c¸n víi mét l−îng Ðp ∆h = H - h, hai vÕt m1 vµ m2 ®Ó l¹i dÊu trªn bÒ mÆt vËt c¸n lµ m1’ vµ m2’ cã kho¶ng c¸ch m1’m2’ = l1. So s¸nh hai ®é dµi lB vµ l1 ta nhËn thÊy: l1 > lB. VËy, l−îng v−ît tr−íc tuyÖt ®èi m1 mµ ta nhËn ®−îc lµ: VB lB (2.25) S h = l 1 - lB m2 L−îng v−ît tr−íc tû ®èi: m1 ’ l −l l m2 ’ S h % = 1 B % = 1 − 1 (2.26). h l 1 lB lB H P V1 Gi¶ thiÕt trong mét thêi gian t nµo ®ã ta ®¹t ®−îc c¸c ®é dµi trªn, VB nghÜa lµ: l1 Vh H×nh 2.10- S¬ ®å x¸c ®Þnh l−îng Sh % = t −1 = − 1 (2.27) v−ît tr−íc b»ng thùc nghiÖm. lB VB cos γ t Víi gi¸ trÞ cña l−îng v−ît tr−íc ®o ®−îc, khi biÕt vËn tèc c¸n Vh vµ vËn tãc trôc VB ta cã thÓ tÝnh ®−îc cosγ vµ do ®ã suy ra ®−îc gãc γ (gãc trung hoµ). b) Ph−¬ng ph¸p tèc ®é

Chóng ta biÕt r»ng, tèc ®é cña vËt c¸n lóc ra khái vïng biÕn d¹ng cã ®iÒu (ϕ: gãc ch−a x¸c ®Þnh) (2.28) kiÖn: Vh > VBcosϕ Trong tr−êng hîp nµy, l−îng v−ît tr−íc sÏ ®−îc tÝnh: V − VB cos ϕ Vh Sh% = h = −1 (2.29) VB cos ϕ VB cos ϕ Sh% +1 =

Vh VB cos ϕ

(2.30)

Tõ ®iÒu kiÖn thÓ tÝch kh«ng ®æi vµ gi¶ thiÕt r»ng l−îng d·n réng ∆b = 0 (∆b kh«ng ®¸ng kÓ). Tõ biÓu thøc (2.30) ta biÕn ®æi nh− sau:

Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng

24

Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n

Sh% +1 =

h γ cos γ Vh = VB cos ϕ h

(2.31)

V× H.B.L = h.b.l (b = B) nªn: H.L = h.l hoÆc H.L/t = h.l/t Do ®ã, H.VH = h.Vh = hγ.VBcosγ (2.32) trong ®ã, hγ: chiÒu cao vËt c¸n t¹i tiÕt diÖn trung hoµ. Tõ (2.32) ta rót ra: h γ VB cos γ (2.33) Vh = h Thay (2.33) vµo (2.30) ta rót ra ®−îc (2.31). V× ta ®ang xÐt t¹i tiÕt diÖn ph«i ra khái trôc c¸n nªn gãc ϕ = 0. Tõ (2.30) ta suy ra: h γ cos γ Sh% = (2.34) h Khi xÐt mèi liªn hÖ gi÷a c¸c th«ng sè h×nh häc ta cã: ∆hmax = D(1 - cosα). Víi biÓu thøc nµy, nÕu nh− ta tÝnh l−îng Ðp t¹i tiÕt diÖn trung hoµ th× ta cã thÓ viÕt: (2.35) ∆hγ = hγ - h = D(1 - cosγ) (2.36) Suy ra, hγ = D(1 - cosγ) + h §−a biÓu thøc (2.36) vµo (2.34), ta cã: [D(1 − cos γ ) + h ]cos γ − 1 Sh% = (2.37) h Trong (2.37) ®Ó t×m ®−îc Sh% cÇn ph¶i x¸c ®Þnh ®−îc cosγ lµ chñ yÕu. Tõ (2.35) ta t×m ®−îc: ∆h γ cos γ = 1 − (2.38) D

γ γ2 γ2 MÆt kh¸c, 1 − cos γ = 2 sin = ⇒ cos γ = 1 − (2.39) (v× γ rÊt nhá) 2 2 2 Tõ (2.38) vµ (2.39) ta cã: hγ − h γ2 = 1− 1− (2.40) D 2 Tõ ®iÒu kiÖn thÓ tÝch kh«ng ®æi, ta cã: hγ. bγ = (1 + Sh%)h.b Khi ta coi tèc ®é cña vËt c¸n t¹i tiÕt diÖn trung hoµ Vγ b»ng tèc ®é cña trôc c¸n VB (Vγ ≈ VB, gãc γ rÊt bÐ). Tõ ®iÒu kiÖn trªn ta t×m ®−îc gi¸ trÞ chiÒu cao vËt c¸n t¹i tiÕt diÖn trung hoµ. b h γ = (1 + S h %)h. (2.41) bγ 2

Thay (2.41) vµo (2.40) ta cã:

Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng

25

Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n

⎡b ⎤ h ⎢ (1 + S h %) − 1⎥ ⎢bγ ⎥⎦ γ2 = ⎣ 2 D Sh% =

Suy ra,

(2.42)

⎞ bγ ⎛ γ2 ⎜ R + 1⎟ − 1 ⎟ b ⎜⎝ h ⎠

(2.43)

Khi l−îng d·n réng kh«ng ®¸ng kÓ (∆b ≈ 0) th×: R Sh % = γ2 (2.44) h Trong tr−êng hîp ®o ®−îc Sh% b»ng thùc nghiÖm th× ta x¸c ®Þnh ®−îc gãc γ theo biÓu thøc (2.44) γ=

S h %.h R

(2.45)

c) Ph−¬ng ph¸p c©n b»ng lùc Gi¶ thiÕt ta cã s¬ ®å c¸n nh− h×nh 2.11. α

N

ϕ

f.P x

T¹i tiÕt diÖn N-N ph©n chia vïng biÕn d¹ng thµnh vïng trÔ vµ vïng v−ît tr−íc. Ph−¬ng cña lùc ph¸p tuyÕn ®¬n vÞ trong vïng trÔ lµm víi trôc th¼ng ®øng xuyªn qua t©m hai trôc c¸n mét gãc ϕ. VËy th× lùc cña trôc c¸n t¸c dông lªn kim lo¹i trªn toµn bé cung tiÕp xóc lx sÏ b»ng:

P

γ

f.P P

α

∫ P.R. sin ϕ.dϕ

N

0

VËy th× lùc ma s¸t trong c¸c vïng trÔ vµ vïng v−ît tr−íc khi chiÕu lªn ph−¬ng n»m ngang lµ:

H×nh 2.11- S¬ ®å t¸c dông lùc

γ

α

∫ T. cos ϕ.R.dϕ

∫ T. cos ϕ.R.dϕ

vµ

γ

0

Víi T = P.f, trong ®iÒu kiÖn c©n b»ng tÜnh: ΣX = 0, ta cã: γ

α

α

− ∫ f .P. cos ϕ.R.dϕ + ∫ f .R. cos ϕ.R.dϕ + ∫ P.R. sin ϕ.dϕ = 0 γ

0

Suy ra,

γ

(2.46)

0

α

α

− sin ϕ 0 + sin ϕ γ − cos ϕ 0 = 0

Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng

26

Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n

sin γ =

sin α (1 − cos α ) sin α − = − 2 2f 2

2 sin 2

α 2

2f

(2.47)

Do c¶ hai gãc α vµ γ ®Òu lµ nh÷ng gãc bÐ nªn cã thÓ viÕt: γ=

α⎛ α⎞ ⎜1 − ⎟ 2 ⎝ 2f ⎠

(f: hÖ sè ma s¸t)

(2.48)

Tõ (2.48) ta thÊy gãc v−ît tr−íc γ lµ mét hµm sè thay ®æi theo gãc ¨n α vµ hÖ sè ma s¸t f: γ = Φ(α , f) Mèi quan hÖ gi÷a gãc ¨n α vµ gãc v−ît tr−íc γ cã thÓ t×m ®−îc trªn c¬ së t×m cùc trÞ cña hµm γ = Φ(α). Tõ (2.48), ta coi hÖ sè ma s¸t ®· x¸c ®Þnh, lÊy ®¹o hµm cña γ theo α, ta cã: dγ dγ 1 1 α =0⇒ = − =0⇒α=f dα dα 2 2 f §iÒu nµy cã nghÜa lµ gãc γ cã gi¸ trÞ cùc ®¹i khi α ≈ f. §−¬ng nhiªn gi¸ trÞ nhá nhÊt cña gãc γ = 0. Thay vµo (2.48) ta t×m ®−îc: γ = 0 khi α = 0 vµ khi 1 - α/2f = 0 suy ra α = 2f. γ Còng tõ (2.48) ta rót ra nh÷ng nhËn xÐt 0,1 sau ®©y: 0,05 - Khi α ≈ f, ta cã vïng v−ît tr−íc lín nhÊt. 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 α - Tõ ®iÒu kiÖn ¨n kim lo¹i cña trôc c¸n α ≤ β, cho nªn khi 0 < α vµ α < 2f nªn: H×nh 2.12- Sù phô thuéc cña gãc γ vµo gãc α vµ hÖ sè ma s¸t f f ≤ α ≤ 2f. Trong vïng biÕn d¹ng chØ tån t¹i cã mét vïng tr−ît, ®ã lµ vïng trÔ. Cã nghÜa lµ qu¸ tr×nh c¸n kh«ng tån t¹i mÆc dÇu hai trôc vÉn quay vµ tr−ît trªn bÒ mÆt vËt c¸n, ®ång thêi g©y ra hiÖn t−îng va ®Ëp.

2.6.3- TrÔ vµ mèi quan hÖ gi÷a trÔ vµ v−ît tr−íc Còng nh− v−ît tr−íc, ®¹i l−îng trÔ cã thÓ tÝnh tõ ®iÒu kiÖn thÓ tÝch kh«ng ®æi khi ph«i di chuyÓn trong vïng biÕn d¹ng trong mét ®¬n vÞ thêi gian: VHF = Vhf.

ë ®©y ta ký hiÖu: F/f = λ, do ®ã: VH = Vh/ λ Ký hiÖu SH lµ ®¹i l−îng trÔ, ta cã: V cos α − VH VH SH = B = 1− VB cos α VB cos α

(2.49)

(2.50)

Víi α lµ mét gãc biÕn ®æi theo tiÕt diÖn quan s¸t. §−a (2.49) vµo (2.50) ta cã VH (2.51) SH = 1− λVB cos α Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng

27

Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n

V× ta ®· cã biÓu thøc (2.30) cho nªn: 1+ Sh SH = 1− (2.52) λ cos α BiÓu thøc (2.52) cho thÊy SH (trÔ) lµ mét hµm sè phô thuéc vµo l−îng v−ît tr−íc Sh, gãc ¨n α vµ hÖ sè kÐo dµi λ: SH = Φ(Sh, α, λ).

2.6.4- C¸c th«ng sè c«ng nghÖ ¶nh h−ëng ®Õn l−îng v−ît tr−íc Ngoµi c¸c th«ng sè ®· thÓ hiÖn trong c¸c biÓu thøc tÝnh γ cßn mét sè th«ng sè c«ng nghÖ kh¸c ¶nh h−ëng ®Õn trÞ sè v−ît tr−íc th«ng qua sè liÖu thùc nghiÖm.

a) §−êng kÝnh trôc c¸n Khi ®−êng kÝnh trôc c¸n D t¨ng th× trÞ sè v−ît tr−íc còng t¨ng v× D t¨ng lµm cho thÓ tÝch dÞch chuyÓn trong vïng v−ît tr−íc t¨ng, lµm cho ®é dµi cña vËt c¸n ph¶i t¨ng lªn. H×nh 2.13 lµ ¶nh h−ëng khi c¸n nh«m trªn trôc kh«, kh«ng mµi bãng, H = 2,5; h = 1,5.

b) ChiÒu cao cña ph«i sau khi c¸n (h) NÕu t¨ng h th× l−îng v−ît tr−íc gi¶m ®i. Nh− ®· ®−îc thÓ hiÖn ë biÓu thøc (2.44) chóng ta cã thÓ gi¶i thÝch thªm: khi chiÒu cao h t¨ng lªn cã nghÜa lµ lµm gi¶m sù di chuyÓn cña kim lo¹i theo chiÒu dµi so víi l−îng kim lo¹i cÇn di chuyÓn trong vïng v−ît tr−íc. H×nh 2.14 lµ ¶nh h−ëng khi c¸n thÐp 0,1%C, D = 150mm.

c) L−îng Ðp tû ®èi (∆h/H %) Thùc nghiÖm cho thÊy khi t¨ng ∆h/H % th× l−îng v−ît tr−íc cã mét gi¸ trÞ cùc ®¹i. §iÒu nµy cã thÓ gi¶i thÝch r»ng: nÕu nh− t¨ng l−îng Ðp tû ®èi ε = ∆h/H %, cã nghÜa lµ t¨ng ∆h cho nªn thÓ tÝch di chuyÓn trong vïng v−ît tr−íc t¨ng vµ trong mét ph¹m vi cña gãc α cho phÐp (0 ≤ α ≤ f), nÕu cµng t¨ng α th× γ còng t¨ng theo (h×nh 2.15 lµ ¶nh h−ëng khi c¸n nguéi thÐp, D = 127mm, H = 4mm, cã b«i tr¬n). Nh−ng nÕu nh− α ®· v−ît qu¸ giíi h¹n æn ®Þnh (f ≤ α ≤ 2f), nÕu ta cµng t¨ng α th× sù va ®Ëp cña ph«i lªn trôc c¸n cµng t¨ng do ®ã mµ v−ît tr−íc gi¶m ®i ®¸ng kÓ. ë thêi ®iÓm nµy viÖc t¨ng ∆h kh«ng bï ®¾p ®−îc sù gi¶m γ. S% S% 8 S% 8 6 2,4 6 4

4

1,6

2

2

0,8

0

0

0 120 240 360 D,mm H×nh 2.13- ¶nh h−ëng cña H ®Õn ®é v−ît tr−íc.

0,5 1 1,5 h,mm H×nh 2.14- ¶nh h−ëng cña h ®Õn ®é v−ît tr−íc.

8 12 16 ε,% H×nh 2.15- ¶nh h−ëng cña ε ®Õn ®é v−ît tr−íc.

Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng

4

28

Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n

d) NhiÖt ®é c¸n Thùc chÊt nhiÖt ®é c¸n lµm thay ®æi thµnh phÇn líp v¶y rÌn trªn vËt c¸n, sau ®ã lµm thay ®æi hÖ sè ma s¸t (xem h×nh 1.10) trong vïng biÕn d¹ng. Tõ sù thay ®æi hÖ sè ma s¸t f dÉn ®Õn sù thay ®æi cña l−îng v−ît tr−íc Sh. §å thÞ quan hÖ gi÷a l−îng v−ît tr−íc vµ nhiÖt ®é cã d¹ng t−¬ng tù nh− ë h×nh 1.10. §−¬ng nhiªn khi cã cïng mét l−îng Ðp th× nÕu nhiÖt ®é cµng thÊp l−îng v−ît tr−íc cµng cao (h×nh 2.16).

e) Tèc ®é c¸n Khi thÝ nghiÖm tèc ®é c¸n víi l−îng v−ît tr−íc Sh%, ng−êi ta ghi l¹i ®−îc ®å thÞ ph¶n ¸nh mèi quan hÖ gi÷a hai th«ng sè trªn nh− h×nh 2.17. Trªn h×nh ta nhËn thÊy r»ng nÕu cã cïng mét l−îng Ðp tû ®èi ε% bÐ th× ¶nh h−ëng cña tèc ®é c¸n ®Õn l−îng v−ît tr−íc lµ kh«ng ®¸ng kÓ. S% 6

S% 1

3

2

4 2

n = 10v/p

2 4

3

n = 30v/p

1 n = 0,26v/p

10 20 30 ε% H×nh 2.16- Quan hÖ gi÷a l−îng v−ît tr−íc, l−îng Ðp tû ®èi vµ nhiÖt ®é c¸n. (1) t = 6850C; (2) t = 8750C (3) t = 10200C; (4) t = 11850C 0

10 20 30 40 50 ε% H×nh 2.17- Quan hÖ gi÷a l−îng v−ît tr−íc, l−îng Ðp tû ®èi vµ tèc ®é c¸n.

0

f) Lùc kÐo tr−íc vµ sau vËt c¸n Lùc kÐo tr−íc vµ sau vËt c¸n ®−îc thÓ hiÖn theo s¬ ®å c¸n h×nh 2.18. Nh− ë h×nh ta nhËn thÊy khi cã lùc kÐo sau To th× sÏ lµm cho l−îng trÔ SH t¨ng lªn vµ do ®ã v−ît tr−íc gi¶m ®i, nh−ng nÕu víi mét lùc kÐo tr−íc T1 th× l¹i lµm cho Sh% t¨ng lªn vµ do ®ã SH gi¶m. Ta cã thÓ chøng minh hiÖn t−îng trªn b»ng biÓu thøc ®−îc rót ra tõ ph−¬ng ph¸p tÝnh v−ît theo c©n b»ng lùc khi cã c¶ hai lùc kÐo tr−íc vµ sau vËt c¸n. α⎛ α⎞ 1 (T1 − T0 ) γ = ⎜1 − ⎟ + 2 ⎝ 2f ⎠ 2f .D.P.b hay

γ=

1 α⎛ α⎞ (σ1h − σ0 H ) ⎜1 − ⎟ + 2 ⎝ 2f ⎠ 2f .D.P.b

(2.53)

Tõ (2.53) ta nhËn thÊy nÕu cµng t¨ng σ0 th× γ gi¶m ®i. Trªn ®å thÞ h×nh 2.19 cho ta thÊy ¶nh h−ëng cña T0 vµ T1 ®Õn l−îng v−ît tr−íc Sh%. Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng

29

Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n

S%

VB T0

6 5 4 3

α O T1

P P

2 1 4,9 2,95 0,98 0,98 2,95 4,9 (500) (300)(100) (100) (300) (500)

O

H×nh 2.18- S¬ ®å c¸n cã lùc kÐo tr−íc vµ sau.

H×nh 2.19- Quan hÖ gi÷a l−îng v−ît tr−íc víi lùc kÐo tr−íc T0 vµ sau T1 trong ®iÒu kiÖn: H = 0,4mm; ∆h/H = 0,27%; B = 15 ÷ 20mm

g) ChiÒu réng cña vËt c¸n KÕt qu¶ thÝ nghiÖm nhËn ®−îc nh− ë ®å thÞ h×nh 2.20. Khi chiÒu réng B t¨ng th× ∆b gi¶m ®i. ∆b, mm §ång thêi l−îng v−ît tr−íc Sh t¨ng lªn. 0,8 §Õn mét chiÒu réng B nµo ®ã th× c¶ Sh% 0,6 Sh% lÉn ∆b ®Òu ®¹t ®Õn mét gi¸ trÞ nhÊt ®Þnh vµ ∆b 4 0,4 kh«ng ®æi. §Ó gi¶i thÝch kÕt qu¶ trªn ta ®i tõ ®iÒu kiÖn thÓ tÝch kh«ng ®æi khi c¸n: 0,2 2 S H.B.VH = h.b.Vh = hγ. bγ.VBcos γ 0 20 40 60 B,mm h γ b γ cos γ VH = = 1− Sh% Suy ra, H×nh 2.20- Quan hÖ gi÷a B.H VB l−îng v−ît tr−íc S víi d·n h γ b γ cos γ VH réng ∆b vµ chiÒu réng vËt c¸n = = 1+ Sh% Hay: khi D = 158mm; H = 4,5mm; h.b VB ∆h = 1,2mm Chia hai biÓu thøc trªn ta cã: H.B 1 + S h % = =λ (2.54) h.b 1 − S h % NÕu ta ®Ó ý r»ng: η.β.λ = 1 (2.55) Víi ký hiÖu r»ng: η = h/H < 1; β = b/B > 1; λ = l/L > 1 §−a gi¸ trÞ λ cña 2.54 vµo 2.55, ta cã: 1+ Sh η.β. = 1 hay η.β + Sh(η.β + 1) = 1 1− Sh Suy ra,

Sh =

1 − η.β 1 + η.β

Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng

(2.56)

30

Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n

Víi gi¸ trÞ η lµ hÖ sè biÕn d¹ng cao kh«ng ®æi th× biÓu thøc (2.56) lµ mét hµm sè gi÷a l−îng v−ît tr−íc vµ hÖ sè biÕn d¹ng réng ∆b cã d¹ng: y=

(aX )2 − 1 (aX + 1)2

(2.57)

Hµm sè nµy lu«n cã cùc trÞ cho nªn chóng ta dÔ dµng nhËn thÊy víi mét gi¸ trÞ β nµo ®ã th× sÏ lµm cho Sh% t¨ng ®Õn mét gi¸ trÞ nhÊt ®Þnh nÕu nh− cã cïng mét l−îng Ðp ∆h (η = const).

Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng

31