Chon Mau Va Phan Phoi Chon Mau

Statistics for Business and Economics 6th Edition

Chapter 7 Sampling and Sampling Distributions Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-1

Chapter Goals After completing this chapter, you should be able to:  Describe a simple random sample and why sampling is important  Explain the difference between descriptive and inferential statistics  Define the concept of a sampling distribution  Determine the mean and standard deviation for the sampling distribution of the sample mean, X  Describe the Central Limit Theorem and its importance  Determine the mean and standard deviation for the sampling distribution of the sample proportion, pˆ  Describe sampling distributions of sample variances Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-2

Tools of Business Statistics  Descriptive statistics  Collecting, presenting, and describing data

 Inferential statistics  Drawing conclusions and/or making decisions concerning a population based only on sample data

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-3

Populations and Samples  A Population is the set of all items or individuals of interest 

Examples:

All likely voters in the next election All parts produced today All sales receipts for November

 A Sample is a subset of the population 

Examples:

1000 voters selected at random for interview A few parts selected for destructive testing Random receipts selected for audit

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-4

Population vs. Sample Population a b

Sample

cd

b

ef gh i jk l m n o p q rs t u v w x y

z

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

c

gi o

n r

u

y

Chap 7-5

Why Sample?  Less time consuming than a census  Less costly to administer than a census  It is possible to obtain statistical results of a sufficiently high precision based on samples.

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-6

Simple Random Samples  Every object in the population has an equal chance of being selected  Objects are selected independently  Samples can be obtained from a table of random numbers or computer random number generators

 A simple random sample is the ideal against which other sample methods are compared Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-7

Suy diễn thống kê  Trình bày quan điểm về đặc tính của tổng thể dựa trên kết quả phân tích đặc tính của mẫu Tham số tổng thể

Số thống kê mẫu (biết)

suy diễn

(không biết, nhưng có thể ước lượng bằng mẫu)

Sample

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Population

Chap 7-8

Suy diễn thống kê Rút ra kết luận hoặc ra quyết định về tổng thể dựa vào kết quả mẫu

 Ước lượng  Ví dụ: ước lượng trung bình trọng lượng tổng thể bằng trung bình trọng lượng mẫu

 Kiểm định giả thuyết  Ví dụ: dùng chứng cứ thu thập được từ mẫu để kiểm định lời tuyên bố rằng trung bình trọng lượng tổng thể là 120kg Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-9

Phân phối chọn mẫu  Phân phối chọn mẫu là phân phối của tất cả các giá trị số thống kê có thể nhận với 1 mẫu có kích thước nhất định rút ra từ tổng thể

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-10

Chapter Outline Sampling Distributions

Sampling Distribution of Sample Mean Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Sampling Distribution of Sample Proportion Chap 7-11

Phân phối chọn mẫu của Trung bình mẫu Sampling Distributions

Sampling Distribution of Sample Mean Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Sampling Distribution of Sample Proportion Chap 7-12

Tạo phân phối chọn mẫu  Giả sử có 1 tổng thể như sau…  Kích thước tổng thể N=4

A

B

C

D

 Biến ngẫu nhiên X là tuổi của các cá nhân trong tổng thể  Giá trị của X: 18, 20, 22, 24 (tuổi)

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-13

Tạo phân phối chọn mẫu (continued)

Các số đo tổng hợp cho phân phối tổng thể:

X ∑ μ=

P(x)

i

N

18 + 20 + 22 + 24 = = 21 4 σ=

∑ (X − μ) i

N

.25

0

2

= 2.236

18

20

22

24

A

B

C

D

x

phân phối đều Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-14

Tạo phân phối chọn mẫu (continued)

Xét tất cả các mẫu có kích thước n = 2

st

1 Obs

16 mẫu có thể rút ra từ tổng thể(lấy mẫu có hoàn lại)

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

16 trung bình mẫu 1st 2nd Observation Obs 18 20 22 24

18 18 19 20 21 20 19 20 21 22

18

22 20 21 22 23 24 21 22 23 24

Chap 7-15

Tạo phân phối chọn mẫu (continued)

Phân phối chọn mẫu của trung bình mẫu

Phân phối trung bình mẫu

16 trung bình mẫu 1st 2nd Observation Obs 18 20 22 24

18 18 19 20 21 20 19 20 21 22 22 20 21 22 23 24 21 22 23 24 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

_

P(X) .3 .2 .1 0

18 19

20 21 22 23

24

(không còn là pp đều )

_

X

Chap 7-16

Tạo phân phối chọn mẫu (continued)

Các số đo tổng hợp cho phân phối chọn mẫu này

X ∑ E(X) = N

σX = =

i

18 + 19 + 21+  + 24 = = 21 = μ 16

2 ( X − μ) i ∑

N

(18 - 21)2 + (19 - 21)2 +  + (24 - 21)2 = 1.58 16

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-17

So sánh pp tổng thể với pp mẫu Trung bình mẫu n=2

Tổng thể N = 4

μ = 21

μX = 21

σ = 2.236

_

P(X) .3

P(X) .3

.2

.2

.1

.1

0

σ X = 1.58

18

20

22

24

A

B

C

D

X

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

0

18 19

20 21 22 23

24

_

X Chap 7-18

Giá trị kỳ vọng của trung bình mẫu  Coi X1, X2, . . . Xn tượng trưng cho một ngẫu nhiên rút từ tổng thể  Giá trị trung bình mẫu của các giá trị quan sát được được định nghĩa là

1 n X = ∑ Xi n i=1

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-19

Sai số chuẩn của số trung bình  Các mẫu khác nhau (nhưng cùng kích thước) rút từ 1 tổng thể sẽ cho các giá trị trung bình khác nhau  Số đo khuynh hướng thay đổi của số trung bình từ mẫu này sang mẫu khác là Sai số chuẩn của số trung bình

σ σX = n  Sai số chuẩn của số trung bình giảm khi kích thước mẫu gia tăng Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-20

Nếu tổng thể thường  Nếu tổng thể theo phân phối thường với 2 tham số μ và σ, phân phối chọn mẫu của X cũng sẽ là thường với 2 số thống kê

μ X =μ

and

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

σ σX = n

Chap 7-21

Giá trị Z cho phân phối chọn mẫu  Giá trị Z cho phân phối chọn mẫu của X

( X − μ) ( X − μ) Z= = σ σX n where:

X = sample mean

μ = population mean

σ = population standard deviation n = sample size Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-22

Thừa số điều chỉnh tổng thể hữu hạn  Áp dụng thừa số điều chỉnh tổng thể hữu hạn nếu  1 phần tử trong tổng thể không thể được chọn nhiều hơn 1 lần trong 1 mẫu (lấy mẫu không hoàn lại)  kích thước mẫu lớn hơn 5% tổng thể

khi đó : 2

or

s N- n V(X) = n N- 1

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

σ σX = n

N −n N −1

Chap 7-23

Thừa số điều chỉnh tổng thể hữu hạn  khi kích thước mẫu lớn hơn 5% tổng thể

( X − μ) Z= σ N −n n N −1

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-24

Tính chất phân phối chọn mẫu

μx = μ



(i.e.

Normal Population Distribution

x không chệch ) Normal Sampling

μ

x

μx

x

Distribution (has the same mean)

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-25

Tính chất phân phối chọn mẫu (continued)

 Lấy mẫu có hoàn lại khi n tăng σ x giảm

Mẫu lớn hơn

Mẫu nhỏ hơn

μ Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

x Chap 7-26

Khi tổng thể không theo pp thường  Áp dụng Định lý giới hạn trung tâm:  Kể cả khi tổng thể không theo pp thường ,  …pp của trung bình mẫu của tổng thể vẫn tương đương pp thường nếu kích thước mẫu đủ lớn

Properties of the sampling distribution:

μx = μ

and

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

σ σx = n Chap 7-27

Định lý giới hạn trung tâm As the sample size gets large enough…

n↑

the sampling distribution becomes almost normal regardless of shape of population

x Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-28

If the Population is not Normal (continued)

Sampling distribution properties:

Population Distribution

Central Tendency

μx = μ Variation

σ σx = n

x

μ Sampling Distribution (becomes normal as n increases) Larger sample size

Smaller sample size

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

μx

x Chap 7-29

How Large is Large Enough?  For most distributions, n > 25 will give a sampling distribution that is nearly normal  For normal population distributions, the sampling distribution of the mean is always normally distributed

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-30

Ví dụ  Tổng thể: μ = 8 , σ = 3. Chọn mẫu ngẫu nhiên kích thước n = 36.  Xác suất trung bình mẫu giữa 7.8 và 8.2 là bao nhiêu?

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-31

Ví dụ (continued)

Solution:  Even if the population is not normally distributed, the central limit theorem can be used (n > 25)  … so the sampling distribution of approximately normal  … with mean

is

x

= 8

 …and standard μ deviation x σ 3 σx = = = 0.5 n 36 Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-32

Example (continued) Solution (continued):

P(7.8 < s

Population Distribution ??? ? ?? ? ? ? ? ?

μ=8

X

æ ö s X -s 7.8 - 8 8.2 - 8 ÷ ç < 8.2) = P < < ç3 ÷ s 3 è 36 n 36 ø = P(-0.4 < Z < 0.4 ) Sampling Distribution

Standard Normal Distribution

Sample

?

X

.1915 +.1915

Standardize

7.8

μX = 8

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

8.2

x

-0.4

μz = 0

04

Z Chap 7-33

Khoảng tin cậy  Goal: Xác định khoảng giá trị nhiều khả năng chứa đựng trung bình mẫu, khi biết trung bình và phương sai tổng  By the Central Limit Theorem, we know that the distribution of X is approximately normal if n is large enough, with mean μ and standard deviation σ X  Coi zα/2 là giá trị z sao phần đuôi phải của pp thường có diện tích bằng α/2 (i.e., khoảng giá trị - zα/2 đến zα/2 có xác suất 1 – α)  Thì

μ ± zα/2 σ X là khoảng chứa X với xác suất1 – α

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-34

Sampling Distributions of Sample Proportions Sampling Distributions

Sampling Distribution of Sample Mean Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Sampling Distribution of Sample Proportion Chap 7-35

Tỷ lệ tổng thể, P P = tỷ lệ tổng thể có đặc tính ta quan tâm Tỷ lệ mẫu ( )ˆ cho ta ước lượng P

P

X number of items in the sample having the characteristic of interest Pö= 0 ≤= ≤ 1 n sample size

 0 ≤ ˆ≤ 1 P  tuân theo pp nhị thức, nhưng xấp xỉ thường khi nP(1 – ˆ> 9 P)P

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-36

^

Phân phối chọn mẫu của P  Tính xấp xỉ bằng pp thường P(Pˆ ) .3 .2 .1 0

Tính chất:

E(Pˆ ) = p

and

Sampling Distribution

0

.2

.4

.6

8

ˆ 1 P

æX ö P(1- P) σ = Vç ÷= ènø n 2 Pö

(where P = population proportion) Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-37

Giá trị Z cho tỷ lệ Chuẩn hóa Pˆ thành Z với công thức:

Pˆ − P Z= = σ Pˆ

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Pˆ − P P(1− P) n

Chap 7-38

Ví dụ  Nêu tổng thể người đi bầu cử ủng hộ Ông A là P = 0.4, xác suất mẫu cỡ 200 cho kết quả giữa 0w4 và 0.45 là?

 i.e.: if P = .4 and n = 200, what is

ˆ ≤ .45) ? P(.40 ≤ P Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-39

Ví dụ (continued)



Tìm σ Pˆ :

Chuyển sang pp thường chuẩn:

if P = .4 and n = 200, what is ˆ ≤ .45) ? P(.40 ≤ P P(1− P) .4(1− .4) σ Pˆ = = = .03464 n 200

.45 − .40   .40 − .40 ˆ P(.40 ≤ P ≤ .45) = P ≤Z≤  .03464   .03464 = P(0 ≤ Z ≤ 1.44)

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-40

Ví dụ (continued)



if p = .4 and n = 200, what is ˆ ≤ .45) ? P(.40 ≤ P

dùng Bảng thường chuẩn:

P(0 ≤ Z ≤ 1.44) = .4251 Standardized Normal Distribution

Sampling Distribution

.4251 Standardize

.40

.45

Pˆ

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

0

1.44

Z Chap 7-41

Sampling Distributions of Sample Proportions Sampling Distributions

Sampling Distribution of Sample Mean

Sampling Distribution of Sample Proportion

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Sampling Distribution of Sample Variance Chap 7-42

Sample Variance  Let x1, x2, . . . , xn be a random sample from a population. The sample variance is n 1 2 s2 = (x − x ) ∑ i n − 1 i=1

 the square root of the sample variance is called the sample standard deviation  the sample variance is different for different random samples from the same population Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-43

Sampling Distribution of Sample Variances 

The sampling distribution of s2 has mean σ2

E(s2 ) = σ 2 

If the population distribution is normal, then 4 2σ Var(s2 ) = n −1



If the population distribution is normal then

has a χ

2

(n - 1)s 2 σ2

distribution with n – 1 degrees of freedom

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-44

The Chi-square Distribution  The chi-square distribution is a family of distributions, depending on degrees of freedom:  d.f. = n – 1

0 4 8 12 16 20 24 28

χ

0 4 8 12 16 20 24 28

2

d.f. = 1

χ

0 4 8 12 16 20 24 28

2

d.f. = 5

χ 2

d.f. = 15

 Text Table 7 contains chi-square probabilities Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-45

Degrees of Freedom (df) Idea: Number of observations that are free to vary after sample mean has been calculated Example: Suppose the mean of 3 numbers is 8.0 Let X1 = 7 Let X2 = 8 What is X3?

If the mean of these three values is 8.0, then X3 must be 9 (i.e., X3 is not free to vary)

Here, n = 3, so degrees of freedom = n – 1 = 3 – 1 = 2 (2 values can be any numbers, but the third is not free to vary for a given mean) Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-46

Chi-square Example  A commercial freezer must hold a selected temperature with little variation. Specifications call for a standard deviation of no more than 4 degrees (a variance of 16 degrees2).

 A sample of 14 freezers is to be tested  What is the upper limit (K) for the sample variance such that the probability of exceeding this limit, given that the population standard deviation is 4, is less than 0.05? Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-47

Finding the Chi-square Value 2 (n − 1)s χ2 = σ2

Is chi-square distributed with (n – 1) = 13 degrees of freedom

 Use the the chi-square distribution with area 0.05 in the upper tail:

χ

2 1

= 22.36 (α = .05 and 14 – 1 = 13 d.f.)

3

probability α = .05

χ χ Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

2

1=

2

22.36 Chap 7-48

Chi-square Example (continued)

χ 3

So:

2

1

= 22.36 (α = .05 and 14 – 1 = 13 d.f.)

 (n − 1)s 2 2   P(s > K) = P > χ13  = 0.05  16  2

(n − 1)K = 22.36 16

or

so

K=

(where n = 14)

(22.36)(16) = 27.52 (14 − 1)

If s2 from the sample of size n = 14 is greater than 27.52, there is strong evidence to suggest the population variance exceeds 16. Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-49

Chapter Summary  Introduced sampling distributions  Described the sampling distribution of sample means  For normal populations  Using the Central Limit Theorem

 Described the sampling distribution of sample proportions  Introduced the chi-square distribution  Examined sampling distributions for sample variances  Calculated probabilities using sampling distributions

Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.

Chap 7-50