Chinese Math, Vol. 3 (in Chinese Language)



ln n ln pi



+O(ln n)

ln n ln pi



,

.

j

ln pi ln pj < . pi − 1 pj − 1

C
D ?,Î A , A p = 2 B , 2 = 2  2 = 1 + O(x). æ ) - 9,G1HtÈ 7 α(2)

i

n n+O( ln ) ln 2

x

SL(n!) =

kE . @ # Õ+A xF l B

max pα(p)

2≤p≤n

= 2α(2) = 2 2−1 +O( ln 2 ) n

ln n

= 2n+O(ln n) h in O( lnnn ) = 2·2 31

¹(S"º»# _% ' M ¼ ^ XI½

Smarandache



=

2+O



ln n n

n

æ  - I1 B C7 ! + (h Ç6#JH . h Ç 2.2.7 #ŒÌ Í"Î Ï ÐIÑIÒ1Ó‚Ô È 7Õ ( Ê Ë 2.2.7 ˆ n → ∞ ‹ , ƒ Ö× Á Ø

1

lim [SL(n!)] n = 2

n→∞

¤N¥

2.2.3

ln SL(n)

.

ln(SL(n!)) = ln 2. n→∞ n lim

¦*§š¨ K&ö

ù ® 2.2.3 €"¶6· e=fIg n > 1, L n = p p · · · p  ‘ n û6ü óð6Á , 3  α ≥ 2, α ≥ 2, · · · α ≥ 2, à á6ßM N1O* n ° ñ P=é*ÝtÞ g . L A (x)»‘’ x ëñ1Pé ÝÚÞg QJR , ßëƒI¾I¿À Á α1 α2 1 2

1

2

αs s

s

2

 1   ζ( 32 ) 1 ζ( 23 ) 1 3 − 15 5 2 3 6 x + x + O x exp −C log x(log log x) A2 (x) = ,(2-6) ζ(3) ζ(2)

*Ž

C>0

• Åg

.

ù ® 2.2.4 p • ¶=·(‡(g á ƒI¾I¿À Á X

,k

• ¶=·eIf(g . ëß € ¶=·6¸_g

ln p = x ln x + O (x) .

pk≤x (p, k)=1

ÿ
:  S T  èh(Ç6#U .  V #WIÎ , B C  X ln p k≤x

0

X k≤x

= ln x + O (1) ,

 x  ln p = x + O ln x

X ln p k≤x

32

p

p2

=D+O



1 ln x



,

x ≥ 1,

à

âã ä ¼ A D

- È1XY ë# u m1Z(è 9,G Ì Í Î È 7 X

ln p =

å æ

=

X

X

ln p

X

= x

1

k≤ x p

(p, k)=1

ln p

p≤x



x x − 2 + O (1) p p

X ln p p≤x

p

−x

X ln p p≤x

= x ln x + O (x) .

pIÔ1I17 +  Ç 2.2.4 #JH c ® 2.2.8 € ¶=·6¸_g X

çè

.

p≤x

pk≤x (p, k)=1

SL(n)

p2





+O

X p≤x



ln p

. x > 1,

à(á ƒI¾I¿À Á

ln SL(n) = x ln x + O (x) .

n≤x

ÿ[

ST

\

]
^ B6C _ ` X

#,a . b (, , S T F.Smarandache LCMæ ç  è SL(n) #(hIi  : ! " # m n=è n, SL(n) ≤ n 0 ln SL(n) ≤ ln n, :

U(n) =

X

ln SL(n).

n≤x

X

Ñ0 u Î , B C1c ? 7Õ n≤x

Euler

U(n) ≤

ln SL(n) ≤

X

X

U(n)

ln n.

n≤x

ln n = x ln x − x + O (ln x) = x ln x + O (x) .

(2-7)

d ? BNCe_e` X U(n) # w a . ! "f# mGnLè n > 1, \ n = 9 S Î , B»C/g [1, n] 9 71Ï ./h/i A 0 B. p p · · · p r s n #3 A ;I m(nè n. ? Ô - , A A r"s [1, n] 45 α ≥ 2 (i = 1, 2, · · · , s) # α1 α2 1 2

n≤x

αs s

i

33

¹(S"º»# %_' M ¼ ^ XI½ A ;" square-fullè ; B r»s n ∈ [1, n] A  j  æ hi A ë# ¼ r» s [1, n] # k mnIè n. æ - È 7 Smarandache

U(n) =

  Ç

X

ln SL(n) +

n≤x n∈A

2.2.3 X

n≤x n∈A

M h1i A ë# h(i , B C  X

ln SL(n) ≤

n≤x n∈A

ln n ≤

X

ln SL(n).

n≤x n∈B

X

n≤x n∈A

= ln x · A2 (x) 

ln x = ln x √

X

1

n≤x n∈A

x ln x.

(2-8)

d ? B C1_1` X h1i B ,6#J0Î . æ SL(n)=max{p , p , · · · , p }, ; K ! "l# n ∈ B, - h  m ? -. *è p4)5 p|n% p † n. "U , SnT SL(n) ç»è
hi , B*C  SL(np) ≥ p.  U B C1c ? È 7 α1 1

α2 2

αs s

2

  Ç < i

X

ln SL(n) =

n≤x n∈B

2.2.4

(2-7)

0

M

X

np≤x (n, p)=1



ln SL(np) ≥

X

ln p.

(2-9) X ln SL(n) ≥ x ln x + O (x) .

(2-10)

n≤x n∈B

B C1c ? 7Õ
Ì Í u Î

(2-10) X

ln SL(n) = x ln x + O (x) .

n≤x

pIÔ1I17 + h(Ç6 #J H . w x

B

C o Ê U"Ë h(Ç È*KÚ7Õ #ŒÌ Í u Î , ?  Ô 2.2.8 € ¶=·6¸_g x > 1, à(á ƒI¾I¿À Á *Ž 34

X

ln S(n) = x ln x + O(x),

n≤x

S(n)

»‘

Smarandache

ÙÚg

.

(2-9)

np≤x (n, p)=1

:

âã ä ¤ ¥ N

s t 0Î

SL(n)

2.2.4

å æ

SL(n)

çè

¦*§š¨ prq X

1 , SL(d)

(2-11)

rYs ! n # ;* m[!*Ñ0 , BC+u d ")v- . m6nè n >  x o (2-11)Î7"j
nIè . æ - B C [\ K w : 1 % n 6= 36 w y z { n = 1, 36| , }(ƒ¶ ~ / e"f g n, €  (2-11) Á$‚1°ƒ ï(f(g ? . / C „ D .†‡ -=m1ˆ# . @ ‰*#$Š ;Œ‹  x +H k , B

o $ " … p # - ? 0»; 2 p .Yw %Úx ' , 4 % nH ! æI- ] OP#
m(nè n, p .†‡ -m>ˆ # # . H c=® 2.2.9 ¯ n = p p · · · p • n  ûüIó»ð*Á (N3 p < p < ß Ž3   ‘ • 1 e ’6 . · · · < p ).  α = 1, > æ "# m n"è n > 1,  n = p p · · · p j n # 9 S ÿ :! 1  Î , “ ”ST SL(n) # | }  d|n

¼ A

X d|n

α1 α2 1 2

αr r

1

1

r

α1 α2 1 2

d ? 

2

αs s

SL(n) = max{pα1 1 , pα2 2 , · · · , pαr r }.

α1 = 1

% n14 5

(2-12)

- >- . m nIè .  n = p · n , “ ” @ # Õ ! " # d|n % d > 1, SL(p · d) = SL(d),  X d|n

1

m =

1

X d|n

=

• 

1 =m SL(d)

X d|n1

1

1

X 1 X 1 1 = + SL(d) SL(d) SL(p1 · d) d|n1

d|n1

X 1 X 2 1 1 1 + + −1= + − 1, SL(d) SL(d) p1 SL(d) p1 d|n1

n1 · m =

X d|n1

d|n1

n1 n1 · (1 − p1 ) + . SL(d) p1

(2-13) 35

Smarandache

¹(S"º»# _% ' M ¼ ^ XI½

C D ! æ" # d|n , n 0 n · m-In=è , –3- n · (1 − p )  -In=è p — (2-13)˜>™ . æ - , SL(d) I> α = 1, †1‡ m$ˆ . c ® 2.2.10 €I¶»· f g n > 1,  SL(n)• ƒï ‡ g , ߎ/I ‘ • e16 ’  . ÿ[ :  n = p p · · · p j n #
 9 S*Î . > SL(n) - -/. æ -/  è , & SL(n) 1 = p 0 α = 1.  n = p p · · · p = n · p . > (2-11) - ->. nIè m, “ ” @ # Õ ! "# d|n š SL(p · d) = p ,  1

1

1

1

1

,

1

1

α1 α2 1 2

s

αs s

α1 α2 1 2

s

1

m =

X d|n

=

X

p"q æ

1.

s

s

s

X 1 X 1 1 = + SL(d) SL(d) SL(ps · d) d|n1

d|n1

X 1 X 1 1 d(n1 ) + = + , SL(d) ps SL(d) ps

CD ! "# = r s # Dirichlet ›è ç
è . - Æ È 7 d|n1

1

s

d|n1

d|n1

d(n1 ) n1 (2-14)

d|n1 ,



(2-14)

(SL(d), ps ) =

ps | d(n1 ) = (α1 + 1)(α2 + 1) · · · (αs−1 + 1).

 œ ->I| , ž  p | α +1, 1 ≤ i ≤ s−1. U B  α +1 ≥ p • α ≥ p −1. –æ - ?IpŸ  + ¡ w  p ≥ p ≥ (1 + 1) > p , — SL(n) = p ˜™ . - Ô H h(Ç 2.2.10. c ® 2.2.11 ¯ p• ƒï ‡ g"ì α °ë¶»·(ef g .  n = p , ߎ/   ‘ • 1e ’6 .
ÿ :  p- >- .  è % n = p . “ ”  s

i αi i

i

ps −1 i

ps −1

s

i

s

s

s

α

α

X d|n

α X 1 1 1 1 1 = = 1 + + 2 + ··· + α i SL(d) SL(p ) p p p i=0

1 + p + p2 + · · · + pα . pα
pα , 1 + p + p2 + · · · pα = 1, (2-15) . 2.2.11 =

 j +  -I17Æ h(Ç6#JH \ w / h(Ç È 7 # 36

æ -

(2-15)

- - . n è -  È x # . æ

âã ä Ê1Ë

å æ

SL(n)

çè

 n °"ñ/P éÝ
Þ"g ( ¢ ß>Ž3  ‘ • e1’6 .

2.2.11 =⇒ p † n), 2

£¥¤

2.2.5

X

S(d) =

d|n

X

SL(d)

n > 1,

ì=€1¶3~‡=g

p|n

¨l¦+§f¨

d|n

@ l ‰6#Š ;e‹ #-©ª1«IT Q¬ 0=2 Q R X

S(d) =

X

SL(d)

(2-16)

| %_' , 7Õ +­ Q R # ;  mnIè S , 4 y \­ Q R S #ŒÌ Í u #‚È ? S * w x # Î .  Ô - c® 2.2.12 é(ê X S(d) = X SL(d)ƒ1ñ ®ò ï e=fIg»ð , ó … • n = 1, 2 p p · · · p , YŽ k • ¶1· e"f g , α = 0, 1 ‰ 2, ì 2 < p < · · · < p • ô ’tõ“끇(g . ÿ : b/( , ,  S(n)0 SL(n) # hi=3 ) È  n = 1 -"Q"R (2-16) #
S . 9 =& > n > 1, n = p p · · · p| }( p  < p < · · · < p ) - n #¯  S»Î .  S(n) 0 SL(n) #ëh(i M , d|n

d|n

d|n

α

1 2

d|n

1

k

k

αk k

α1 α2 1 2

0

1

2

k

S(n) = max{S(pα1 1 ), S( pα2 2 ) · · · , S(pαk k )} = S(pαi i ) ≤ αi pi α

SL(n) = max{pα1 1 , pα2 2 , · · · , pαk k } = pj j ,

C)D  p ≥ p ≥ α p . =U , ! "l# mn3è n > 1, n°  n = w6x D ;6 n > 1 9 jK w/± Ÿ 2 p p · · · p (2 < p < · · · < p ),  ¡ _1²³ (1) A α = 0, 1, o Ô+-)´ , n = p p · · · p (a) Y  > α = α = · · · = α = 1. • n = 2p p · · · p , »& ! n # " # 1! d,  S(d) = SL(d), U B Q1R (2c . 16) 7   -. α ≥ 2,

&  S(p ) ≤ α p , SL(p ) = p . C1D (b) >1µ Q R (2-16)U B  7 c . αj j

αi i

i i

αk k

α α1 α2 1 2

1

1

1 2

k

2

1 2

k

k

k

i

αi i

i i

αi i

αi i

37

¹(S"º»# _% ' M ¼ ^ XI½

Smarandache

A

&(

?

(2) α = 2, α1 = α2 = · · · = αk = 1, (c) p1 = 3, n = 4 · 3n1 ( 12 † n1 ), X S(d)

I>

d|n

=

X

S(d) +

d|n1

=

X d|n1



S(2d) +

d|n1

S(d) + 2 − 1 +

= 11 + 6

X d|n1

X

X



X d|n1

S(d) + 3 − 1 +

X d|n1

S(d),

X

SL(d),

X

S(6d) +

d|n1



S(d) + 4 − 1 +



SL(d) = 11 + 6

S(3d) +

d|n1



d|n1

X

X

S(4d) +

d|n1



3 − 1 +

V ÇIÈI7

X



X d|n1

X

S(12d)

d|n1



S(d) +



S(d) + 4 − 1 +

; K 

X

S(d) =

X d|n1

X



S(d)

SL(d).

Q

R (2-16)U B 7 c . ? n = 4 · n ( 4 † n ),  X S(d) = 4 + (d)  > p > 3, X X X c . S(d) 0 SL(d) = 4 + 3 SL(d), U B Q R (2-16) 7 3 & ?Q6R (2-16)Ï6Ð m ? ! ¶ · 4 5 S(2 ) ≤ 2α, (3) A α ≥ 3 B ,  c . SL(2 ) = 2 > 2α, U B Q R (2-16) 7 ¸ , ; G , Q*R (2-16))¹»ºl¼ . m nYè*S : n = 1, 2 p p · · · p •  2 ), ¼ A 2 < p < · · · < p -  $ V #¯I è . p"Ô I 7 + ( α = 0, 1 h(Ç6#JH . 2.3 ½¿¾ SL(n) ˜š™›ÁÀÃÂÅÄ ÆÈÇ 2.1: ˆ n > 1ì n 6= 36 ‹"úÊÉ»Á X 1 ’
Â3Ë(°ëeIf(g . d|n

d|n1

1

d|n1

1

d|n1

1

d|n

d|n1

d|n

d|n1

α

α

α

α

1

ÆÇ

Ó ƒIeIf(gð 38

k

d|n

ÌÍ"é(ê

2.2: .

X d|n

1 2

SL(d) = φ(n)

SL(d)

(Âð ÎYúÏÐ3ÑÒ1é(ê

k

â ± ä  Õ 

Smarandache

!Ô çè

S ∗ (n)

Smarandache ÖØ×

Ù Ú S ∗(n) Ã Ô ç*è S (n)-¥ÞlßfàáZ»â¥ãÜÛÈ¥äç Smarandache ç*èÜÛ Ý ¼ ßlæÅÛ/ç+è . é ä Š+ãlêŒë è ì , k — Smarandache 6 ç è S(n) å»F Ô ç
èÛ¯Þí â ã3î ³ , ïð)ë ì åæ1ñ ç
èÛ¯Þí Smarandache Ý ònóõô . öí1â1ã>÷ ø>7ù>Ýúû1üý$öí ò Û óõô åF1E
Ûþ>ÿ . ∗




3.1

     Ý   Û!#" $&% '   (  )*+,.- / +01&  ( 2&3 45- / +(016 ( 2 3 7&8 ê ë(9 Û;1: éçè <&= - +>! / - +!? / <&= &@ @6 ( A(B&C DFE GHI# ( GJ5K #L(HI(M( <&= /NC5OP@Q n,

3.1

m

m!|n,

Smarandache S ∗(n) S ∗ (n) = max{m : m!|n, m ∈ N}.

n, S ∗∗ (n) (2m − 1)!! | n 2|n

3.2 2m − 1 (2m)!! | n.

, S ∗∗ (n)

2†n ∗∗ , S (n)

2m

S ∗ (n)

3.1

, S ∗ (n) = 1,

n

, S ∗ (n) ≥ 2.

n

k,

3.2

S ∗ ((2k − 1)!(2k + 1)!) = q − 1,

k

,q

3.3

DFE

2k + 1

Re(s) > 1

∞ X S ∗ (n) n=1

G RSTU

∞ X 1 ζ(s) = ns n=1

<&=

3.4

.

X

n≤x

ns

= ζ(s) ·

∗

1 , s (n!) n=1

9  (V6WCXY#Z.Q

Riemann zetaS ∗ (n)

∞ X

.

S (n) = (e − 1)x + O



ln2 x (ln ln x)2



. 39

>[ üý3Û óõô&\&]ò^_ ] ` a  3.2 Smarandache bdcfehg S (n) ikjmlonqp \vw ì @ é  r ) ê ë @ Ý

 #   $ Û

Þ  í s

t

ç è u ñ 9
 ÛÞí(xyz{ ÛJü Û óõô 3.2.1 |~} Smarandache €h‚Fƒ S (n) „F…‡†‰ˆŠ ‹ &@ 5Œ ŽC Smarandache

e = 2.718281828459 · · ·

.

∗

S ∗(n)

Smarandache

,

.

∗

s>1

3.2.1

∞ X (S ∗ (n))k



ns

n=1

DFE

∞ X

1 = ζ(s) · ∗ S (n)ns n=1

ζ(s) =

‘’ “ ] ` 

∞ X 1 ns n=1

ζ(2) =

G

π2 , 6

s→1

™&š

•

1 1− n(n + 1)((n + 1)!)s n=1

.

3.2.1,

n, ( n X 1, µ(d)S ∗ = d 0,

3.2.1

9

!

,

.

∞ ∞ X X 1 µ(n) 1 , = e − 1, = s n! ζ(s) n n=1 n=1

9  –U(— &@ # ( C

M¨obius

(n!)s

”

lim (s − 1)ζ(s) = 1,

µ(n)

n=1

∞ X

Riemann zeta-

d|n

∞ X S ∗ (n) n=1

40

= ζ(s) ·

∞ X nk − (n − 1)k

n2

›œ &ž

˜FuU% “ &7 8 Û n = m!, m .

∞ π2 X 1 = . · 6 n=1 (n!)2

G (

;

Ÿ& ¡

™&š

Smarandache

¢9

S ∗ (n)

3.2.2 lim (s − 1) ·

∞ X S ∗ (n)

!

= e − 1,

DFE G£9 `&«  — – N   — ¤ & ¥ ¦ . § 9 ¨ & © ª “ s t N« ­&® ¥¦ ¯ •(°&±²&z³ ”˜&% “( ´ µ «;¶· ¬&˜' uN% ‹ & @ 5Œ CXY#Z.Q s→1

n=1

e = 2.718281828459 · · · 3.2.1 Perron’s ∗ S (n) .

.

(

X

n≤x

3.2.3

[7] ,

6.5.2),

,

x > 1,

3.2.2

‹

ns

∗

S (n) = (e − 1)x + O

5S6@ 5Œ

s > 1,



ln2 x (ln ln x)2



.

¸¹º

∞ X S ∗∗ (n)

G»¼5 ½

ns

n=1

,

∞ X S ∗∗ (n)

DFE

n=1

ns

¾ &™ š

ζ(s)

G



1 = ζ(s) 1 − s 2

∞ X

!

∞

X 2 2 1+ +ζ(s) , s ((2m + 1)!!) ((2m)!!)s m=1 m=1

.

,

3.2.3 ∞ X S ∗∗ (n)

∞ ∞ π2 X π2 X π2 1 1 = + + , 4 m=1 ((2m + 1)!!)2 3 m=1 ((2m)!!)2 8

∞ X S ∗∗ (n)

∞ ∞ π4 X 1 π4 X 1 π4 = + + . 48 m=1 ((2m + 1)!!)4 45 m=1 ((2m)!!)4 96

n=1

‹

TU ¿ 5À '9% “

Riemann zeta-

s = 2, 4



n=1

n2

n4

3.2.4

&@ # ( Á! n,

X

S ∗ (d) = n.

(3-1)

d|n

41

Smarandache

C ½(Ç&C ‹

[(Ãý «čÅ&\&]Æ^_

9È I# ( É Á! DFE ÏÐ ÏÐ DFE ÏÐ

n = 1, 12 3.2.5

.

X

S ∗ (d) = ω(n)Ω(n)

d|n

C ½(Ç&C Ê#Ë#Ì#Í ÎQ9É

1. n = pα1 p2 n = p1 pβ2 . 2 < p1 < p2 , α ≥ 1, β ≥ 1 2 2 2. n = p1 p2 p3 n = p 1 p2 p3 n = p1 p2 p23 3. n = p1 p2 p3 p4 , p1 < p 2 < p 3 < p 4 .

+>#M(

‡Ñ Ò X S (d) = n „ÓÕÔ×Ö ØÚÙ&Û ÜÝ&Þ °&±²&z³ß@àá;z{ ∗

3.2.2

d|n

X

S ∗ (d) = n.

« ˜ Ã@â ã äåá9æçè z { «!é Û &"@ à ê¢@ë ì ß5à Û í ¢ 9 6« ÆFčÅ&î&ï á;ð&ñ Û ° « z³&¤@ò#ó ‹ !Á  d|n

, S ∗ (n)

.

.

3.2.6

X

S ∗ (d) = n.

C ½(Ç&C È9I# ( É ô.õ ö@÷#øù æç z&{ 7&8 ñ&þÿ

    5¿6¢
 ’ ¾ ýæ&ç ¦¿ Û

(3-2)

d|n

n = 1, 12 :

1.

.

n=1

(i) n = 2k + 1 n>1 (3-2)

n=

(3-2).

,

X

S ∗ (d) =

d|n X

úûü@ &ý æç  Û (" é u n>1

2!

n,

d(n)

Dirichlet

d|n

.

n≥3

42

d|m

n > d(n), (3-3)

d|m

,

(3-3)

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, (3-2) 1 . (ii) n = 2 · m, m . m = 1, 3, 5 n (3-3) m ≥ 7. 3 † m (3-3) X X X n = 2m = S ∗ (d) = S ∗ (d) + S ∗ (2d) d|n

¦

S ∗ (d) =

1 = d(n),

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(3-2)

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Smarandache 1+

d|m

X

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S ∗ (n)

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d|m

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2m = 3d(m), m≥7 2m > 3d(m), 3|m n = 2m (3-3) , X X m X ∗ n = 2m = 6 · = S (d) = S ∗ (d) + S ∗ (2d) 3 d|n d|m d|m X X X = S ∗ (6d) + S ∗ (2d) 1+



'

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d|m

d| m 3

≤ d(m) +

X

d| m

3 + 3d

d| m 3

 m 3

3

X

m 3

3

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m

3

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m m 9 m + · ≤ d(m) + 6d . 2 2 3 3 m . = 3 n = 18 , 3

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S ∗ (d) = S ∗ (1) + S ∗ (2) + S ∗ (3) + S ∗ (6) + S ∗ (9) + S ∗ (18)

d|18

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= 1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 2 = 10,

¾

(3-3) . n = 2 · m (m ), (3-2) . (iii) n = 22 · m, m . m=1 n=4 (3-3) . m = 3 n = 12 , X S ∗ (d) = S ∗ (1) + S ∗ (2) + S ∗ (3) + S ∗ (4) + S ∗ (6) + S ∗ (12)



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d|12

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= 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 3 = 12,



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n = 12 (3-3),

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n = 22 m =

(3-2).

X

S ∗ (d) =

d|n

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X

m > 3, X

S ∗ (d) +

d|m

S ∗ (6d) +

d| m 3

≤ d(m) + 4



X d| m 3

X

3|m

X

d| m 3

3 = d(m) + 12d

X d| m 3

m

3

m ≥ 9,

S ∗ (2d) +

d|m

S ∗ (2d) +

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X

¿


n

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S ∗ (4d)

d|m

S ∗ (12d) +

X

S ∗ (6d)

d| m 3

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Smarandache

'

m m ≤ d(m) + 12d , 3 3 m > 3 3

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[(Ã! «čÅ&\&]Æ^_ ¿!5˜(')5À

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m = 3 n = 36 , 3 X S ∗ (d) = S ∗ (1) + S ∗ (2) + S ∗ (3) + S ∗ (4) + S ∗ (6) + S ∗ (12) + S ∗ (9) d|36

+S ∗ (18) + S ∗ (36)

= 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 3 + 1 + 3 + 3 = 19 6= 36.

¾

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n = 22 · m, m

¿

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3†m , n (3-3) , X X X X n = 4m = S ∗ (d) = S ∗ (d) + S ∗ (2d) + S ∗ (4d) d|n

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X

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2+

X

d|m

d|m

2 = 5d(m),

d|m

4m = 5d(m) (3-3) . (iv) n = 2α · m, m

n = 22 ·m, m

.

m=3

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X

S ∗ (d) =

d|2α 3

= 2α + 1 + 1 + 3 2α 3 6= 3α + 2.

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n = 12

= 1 + 2d(2α−1 ) = 2α + 1 6= 2α .

n = 2α 3 =



   ¿,+ Û æ ” ê5¿

, α ≥ 3. m = 1, n = 2α , X X n = 2α = S ∗ (d) = 1 + S ∗ (2d) d|2α

¾

d|m

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d|m

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d|m

X



X

S ∗ (d) +

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X d|2α

n = 2α 3

X d|2α

1 − 3 = 1 + 2d(2α−1 ) = 3α + 2,

(æ&ç

(3-3)

¦ ú&û*-. .

S ∗ (n) = S ∗ (2α m) = u, m > 3.

S ∗ (3d)



u = 2,

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Smarandache

n

(3-3)

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X

n = 2α m =

X

S ∗ (d) =

d|n

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X

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2α m = d(m) + d 2α−1 m .



u = 3,

”

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n

X

(3-3)

X



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u ≥ 4,

u=4

”

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n

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3|m.

X

3+

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n

X d| n6

m≥3



(3-3)

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i=1

X

∗

X d|m

1+

é u

X d|m

n

6

.

.

6

(3-4)

α X X

S ∗ (2i d)

i=0 d|m

3 + (α − 1)

≤ 4d(m) + 4(α − 1)d(m),

¯ ¾

n

.

S (d) =

d|n

2α m ≤ 4αd(m).

S ∗ (2d)

d| n2

¿

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n = 2 m=

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X

.

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α

≤

2

S ∗ (d) +

n = 2α m > d(m) + 6d

α≥

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n

d|m

d| n6

d|m

2α m ≤ d(m) + 6d

S ∗ (2d)

¦¿ Û

X

S ∗ (d) =

d|n

'

¿

X d| n2

2 = d(m) + d

• ¾ æ&ç

n = 2α m = ≤

S ∗ (d) +


2α m > d(m) + d 2α−1 m .



3|m.

S ∗ (n)

d|m

X d| n2

d|m

¢9

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X

4

d|m

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Smarandache

n

¿ /  Û ,

(3-3)

3|m 5|m,

m ≥ 15,

15d(m) ≤ 4m.

¦¿ Û

n = 2α m =

X

S ∗ (d) =

≤

1+

d|m

X d|m

α X X

S ∗ (2i d)

i=0 d|m

d|n

X

(3-5)

3 + (α − 1)

X

u

d|m

≤ 4d(m) + u(α − 1)d(m) ≤ (uα − 1)d(m).

' –

2α m ≤ (uα − 1)d(m).

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(3-4)



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(3-5)

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u−1 u−1 3u − 3 + = . 2 4 4

    4α 2 15 ≤ 4(uα − 1) ≤ 4 α +1 −1 . 3 α

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3.2.3

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X

S ∗ (d) = φ(n)

d|n

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S ∗ (d) = φ(n).

d|n

¾

(3-6)

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, X S ∗ (n) = max{m : m ∈ N, m!|n}. S ∗ (d) < φ(n), n = pα d|n

46

X

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S ∗ (n)

Smarandache

,

n

X

S ∗ (d) > φ(n).

d|n

n

(3-6)

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X

n,

3.2.7

S ∗ (d) = φ(n)

n=

d|n

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1, 3, 14, 84. : (1) n

n

X

n 2 . ∗ S (n) = max{m :Xm ∈ N, m!|n}, S ∗ (n) = 1, S ∗ (d) n

,

d|n

S ∗ (d) = d(n),

(3-6)

d(n) = φ(n).

d|n

(A) (B)

,

n = 1 , d(n) = φ(n) = 1, n = 1 n > 1 , n = pα1 1 pα2 2 · · · pαk k n : d(n) = (α1 + 1)(α2 + 1) · · · (αk + 1),

(3-6)

.

, (3-6)

pi

(α1 + 1)(α2 + 1) · · · (αk + 1)

= p1α1 −1 (p1 − 1)p2α2 −1 (p2 − 1) · · · pkαk −1 (pk − 1).

Dbc.« &² ¦ ë &  ì
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À  ] k Û iu + •(à ¿   lm?û ۔

: pα−1 (p − 1) ≥ α + 1,

(3-7)

ý²!d&À

α = 1, p = 3, p ≥ 3. : (i) α = 1, p − 1 ≥ 2 = 1 + α p = 3; (ii) α = 2, p(p − 1) ≥ 2p ≥ 6 > 1 + α; (iii) α > 2, pα−1 (p − 1) > pα−1 ≥ 3α−1 > α + 1. (3-6) : α (a) k = 1, n = p . (3-7) (α + 1) = pα−1 (p − 1), pα−1 (p − 1) ≥ αX +1 α = 1, p = 3, ∗ n=3 , S (d) > φ(n). d|n

(b) k ≥ 2, i = 1, 2, · · · , k.

n ≥ 15,

pi ≥ 5,

ý
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¾ ý e ¾ Û



Ù é

piαi −1 (pi − 1) > αi + 1,

(α1 + 1)(α2 + 1) · · · (αk + 1) < p1α1 −1 (p1 − 1)p2α2 −1 (p2 − 1) · · · pkαk −1 (pk − 1), 47

[(Ã! « čÅ&\&]Æ^_  .ëì$0‡å ¾ a'X "Z.¿  z { «Ã ',8 •   .ê ¿  á6z
n &ë ì!fV ^

Smarandache



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X

S ∗ (d) > φ(n).

d|n

n

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(A) n = 2α

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n

¿

d|n X





n

φ(n) = 2α−1 .

&•z{ « à .   ,  φ(n) = 2 "& •z{ (3-6) «

φ(n) = 1,

S ∗ (d) = 1 + 2α

d|n

•

α−1

(3-6). n = 2α (B) n = 2pα1 1 pα2 2 · · · pαk k , k ≥ 1. (a) n = 2p1 p2 · · · pk , ( X 3 × 2k , p1 ≥ 5; S ∗ (d) = k+1 k−1 2 + 3 × 2 , p1 = 3.



(3-6)

,

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,

,

.

S ∗ (d) = 1 + 2α

X d|n , S ∗ (d) = 3

2

•  ¬ à ,

.

d|n

φ(n) = (p1 − 1)(p2 − 1) · · · (pk − 1). ( X 6, p1 ≥ 5; (i) k = 1 , φ(n) = p1 − 1 S ∗ (d) = 7, p1 = 3.

r

¿

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(ii)

(3-6) p1 > 3 k ≥ 2



'

d|n

X p1 = 7, n = 14. , S ∗ (d) = 3 × 2k



d|n

φ(n) = (p1 − 1)(p2 − 1) · · · (pk − 1) > 4k = 2k 2k > 3 × 2k =

(æ&çz{

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(3-6). (iii) p1 = 3,

Û

@« À8 r

{ ¾ Ã ¿ (3-6) (3-6) . k≥3

,

¾

¿

k=2 , p2 = 8,

X d|n

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X d|n

p

X d|n

S ∗ (d) = 14, φ(n) = 2(p2 − 1),

• G  s!t ”

S ∗ (d) = 7 × 2k−1 ,



,

s∗ (d)

n = 2 × 3 × p2

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φ(n) = 2(p2 − 1)(p3 − 1) · · · (pk − 1) > 2 × 4k−1 = 2k−1 2k 48

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Smarandache

> 7 × 2k−1 =

X d|n

(3-6).

(3-6) (b)

Û

S ∗ (n)

S ∗ (d),

” (æ&ç8 z« { i– 5 « )ë ì@% “ q!F { ¾Ã ]` uN Û n

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n = 2p1 p2 · · · pk

. n = 2pα1 1 pα2 2 · · · pαk k

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n = 14

• z

αi ≥ 2 (i = 1, 2, · · · , k),

”

φ(n) = p1α1 −1 (p1 − 1)p2α2 −1 (p2 − 1) · · · pkαk −1 (pk − 1), ( X 3(1 + α1 )(1 + α2 ) · · · (1 + αk ), p1 ≥ 5; S ∗ (d) = (3 + 4α1 )(1 + α2 ) · · · (1 + αk ), p1 = 3.

¾

¿ !¢ F]  ` ’

d|n

w  ?û!/ D

v

Û

p1 ≥ 5 , j = 1, 2, · · · , k pαj −1 (p − 1) ≥ αj + 1, αi ≥ 2, i = 1, 2, · · · , k, piαi −1 (pi − 1) ≥ 4 × 5αi −1 > X S ∗ (d) > φ(n) (3-6). 3(1 + αi ), (i)

(ii)

”



¾

”

d|n

p1 = 3

¿

(æ&çz{ D α ≥ 2ý , ?&û/

i = 2, 3, · · · , k

i

,

φ(n) = 2 × 3α1 −1 p2α2 −1 (p2 − 1) · · · pkαk −1 (pk − 1), X S ∗ (d) = (3 + 4α1 )(1 + α2 ) · · · (1 + αk ),

gxh *2 y Û p (p −1) > α +1, \ ',(æ&çz{ (3-6).  ¾ α ≥ 2 ¿ , ýF¢j ’ j = 2, · · · , k v Û 2(p − 1) · · · (p − 1), X   2 |φ(n), ¯F• S (d) = (3 + 4α )2 ,

ý&ëì

d|n

αi −2 i

α i ≥ 2, X S ∗ (d) > φ(n),

i

i

2pi 3α1 −1 > (3+4α1 ),

d|n

1

3α1 −1

Û

¿

2

k

∗

1

Xd|n S ∗ (d) 6= φ(n),



d|n

•

αj = 1

k−1

' (æ&çz{ ] ` &•z{ n

k

(3-6).

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2k †

X

”

φ(n) =

S ∗ (d),

d|n

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n = 2pα1 1 pα2 2 · · · pαk k (3-6) . α α1 (C) n = 2 p , α ≥ 2. α α1 (a) p = 3 , n = 2 3 , X φ(n) = 2α 3α1 −1 , S ∗ (d) = 1 + 2α + 4αα1 − α1 ,

¿

d|n

49

[(Ã! « čÅ&\&]Æ^_ é u r $&z{   À 8 è&¬ Û ' ¾ ” ˜Fxu 0 å    ¿ { ¾ À ” r $&%&z{ À +˜)'  ¿ Smarandache

α ≥ 2,

4|φ(n),

(3-6)

,

4|

X

S ∗ (d),

d|n

4|1 + 2α + 4ααX 4|1 + 2α − α1 , α1 . 1 − α1 , ∗ α α1 −1 α1 ≥ 5 , S (d) < 4(1 + α)(1 + α1 ) < 2 3 = φ(n), d|n

5¿9z

(3-6) , (3-6) α1 1, 3. α 3 α1 = 3 , n = 2 3 , X S ∗ (d) = 14α − 2 < 9 × 2α = φ(n),

¬
(æ&¾ çz{

d|n

¿

(3-6). α1 = 1 , n = 2α 3, X S ∗ (d) = 6α 6= 2α = φ(n),

”&¬
(æ&çz{

d|n



¿



(3-6). , p ≥ 5,

é u¾

¿Û

(b) p ≥ 5 α1 ≥ 2 pα1 −1 > (1 + α1 ), X S ∗ (d) = (1 + α1 )(1 + 2α) < 2α+1 pα1 −1 ≤ 2α−1 pα1 −1 (p − 1) = φ(n), d|n

”
(æ&¾ çz{ •

¿

(3-6). X α1 = 1 , S ∗ (d) = 2(1 + 2α), φ(n) = 2α−1 (p − 1), 4|φ(n),

X

S ∗ (d),

”

d|n

X

S ∗ (d) 6= φ(n)

”
(æ&çz{

–5 « 8 « Bñ z@ù{:#ë@ì%å qBF { à ¿ ] ` 4†

d|n

d|n

(3-6) . (D) n = 2α pα1 1 pα2 2 · · · pαk k

¾ 50

,

(3-6).

n = 2 α pα 1

ý

α ≥ 2

« "•@z

α ≥ 2, k ≥ 2, αk ≥ 2



φ(n) = 2α−1 p1α1 −1 (p1 − 1)p2α2 −1 (p2 − 1) · · · pkαk −1 (pk − 1), X S ∗ (d) < (1 + αk )pk (1 + α)(1 + α1 )(1 + α2 ) · · · (1 + αk ).

¾

d|n

¿] ` ëì

gxh 2*y

(a) k ≥ 3 , α = 1, p = 3, p ≥ 3. α−1 α≥3 2 ≥ 1 + α,

¾

¿Û

pα−1 (p − 1) ≥ α + 1

ý&²d*À ¾ ý
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S ∗ (n)

Smarandache

¾

Û

Ÿ& ¡ ¢9 ¿   ”$m$?.û  @¾  ¿ ¾ ¿

α = 2

, k ≥ 3, pi ≥ 5 i = 1, 2, · · · , k − 1, − 1) > (1 + α)(1 + αi ), αi = 1 , 2(pi − 1) ≥ 8 > αi −1 6 = (1+α)(1+αi ), αi ≥ 2 , 2pi (pi −1) ≥ 3(1+αi ) = (1+α)(1+αi ). 2α−1 piαi −1 (pi

”Û

α

k−1 2α−1 p1α1 −1 p2α2 −1 · · · pk−1

−1

« í


> (1 + α)(1 + α1 )(1 + α2 ) · · · (1 + αk−1 ).

f*j|x}

~

¿ ¾

S

(3-8)

pk (1 + αk )2 pkαk −1 (pk − 1) αk −1 2 (i) αk = X2 , pk ≥ 11 , pk (1 + αk ) < pk (pk − 1), S ∗ (d) < φ(n), (3-6). pk = 7 , k ≥ 3,

$@²¦ Û l

¿

d|n

æçz@{

¾

 f;3!4

¿

n = 2α 3α1 5α2 72 , φ(n) = 2α−1 3α1 −1 5α2 −1 7 × 6 × 2 × 4 X S ∗ (d) < 11 × (1 + α)(1 + α1 )(1 + α2 ) × 3 < φ(n),

(æ&çz{

d|n

¿

(3-6). (ii) αk ≥ 3 ,

Û

314
²¦

u

(b) (i)

¾

¾

”



¾

pk ≥ 5,

é u

¿

(æ&çz{

d|n

¿

k=2 ,n = 2α pα1 1 pα2 2 , X p1 6= 3 , S ∗ (d) < 3(1 + α)(1 + α1 )(1 + α2 ),

é uUëì ¬!'% “ ¾ ¿

3(1 + α2 ),





pkαk −2 (pk − 1) ≥ 4 × 5αk −2 > (1 + αk )2 , X S ∗ (d) < φ(n) (3-6).

2α−1 p1α1 −1 (p1

(ii)



l

Û



p1 ≥ 5,

é

(æ&çz{

− 1) > (1 + α)(1 + αX p2α2 −1 (p2 − 1) > 7α2 −1 (7 − 1) > 1 ), : S ∗ (d) < φ(n) (3-6).

p1 = 3

α ≥ 2, α2 ≥ 3

ý

d|n



¿Û

,n=

3 

2α 3α1 pα2 2 ,

d|n X

S ∗ (d) < 7(1 + α)(1 + α1 )(1 + α2 ),

d|n

φ(n) = 2α 3α1 −1 p2α2 −1 (p2 − 1). 2α > (1 + α). 3α1 −1 p2α2 −1 (p2 −1) ≥ 4×5α2 −1 3α1 −1 > 7(1+α1 )(1+α2 ),

φ(n) = 2α 3α1 −1 p2α2 −1 (p2 − 1) > 7(1 + α)(1 + α1 )(1 + α2 ) =

X

S ∗ (d).

d|n

51

Smarandache

l
(æ&¾ çz{

ý

¿

(3-6). α2 = 2, α1 ≥ 2

(æ&ç¾ z{

d|n

ý

2

¿

α ≥ 3 , n = 2α 3p22

¾

< 2α−1 (3 − 1)p2 (p2 − 1) = φ(n).

ý

α2 = 2,

¿

α1 = 1, α = 2 , n = 22 3p22

S ∗ (d) < 4(1+2)(1+1)(1+2) = 2×36 < 4×20 < 2×2p2 (p2 −1) = φ(n).

• ë ì@% « “ 3
 &•z{ Ã

d|n



S ∗ (d) < 5(1 + α)(1 + 1)(1 + 2) = 15(1 + α) × 2 < 20 × 2α−1 × 2

d|n

X

,

φ(n) = 2α 3α1 −1 p2 (p2 − 1) > 20 × 2α 3α1 −1 X > 7 × 3 × (1 + α)(1 + α1 ) = S ∗ (n),

(3-6). α2 = 2, α1 = 1

X

[(Ã! «čÅ&\&]Æ^_



: n = 2α pα1 1 pα2 2 · · · pαk k ,

(3-6) . α (E) n = 2 p1 p2 · · · pk−1 pk

¿ ] ` ,

]Õ`

α ≥ 2, k ≥ 2, αk ≥

α ≥ 2, k ≥ 2.

φ(n) = 2α−1 (p1 − 1)(p2 − 1) · · · (pk − 1). X (a) p1 > 3 , S ∗ (d) = 2k + α2k+1 = 2k (2α + 1),

¿

d|n

φ(n) = 2α−1 (p1 − 1)(p2 − 1) · · · (pk − 1) > 2α+1 2k 2k−2 X > 2α+1 2k > 2k (2α + 1) = S ∗ (d). (b) p1 = 3

¿ ' ,

d|n

n = 2α × 3 × p2 · · · pk−1 pk ,

φ(n) = 2α (p2 − 1) · · · (pk − 1) > 2k−1 2α+1 . X d|n

S ∗ (d) ≤ 2k + 2k α + 3 × 2k−1 × 2 + 5(α − 2)2k−1 = 2k−1 (7α − 2).

(i) 52

¾

α≥4

¿

, 2α+1 > (7α−2),

”

φ(n) >

X d|n

S ∗ (d)

(æ&çz{

(3-6).

¾

(ii)

¾

¿

¢9

S ∗ (n)

k=2

¿¾ '

¿

X d|n

S ∗ (d) = 2k + 2k+1 + 3 × 2k = 12 × 2k−1 .

, φ(n) >

¿ '

X

S ∗ (d)

d|n 2

(æ&çz{ X

(3-6).

S ∗ (d) = 24, φ(n) = 4(p2 − 1),

€$&z{À ]k v
(æ&çz{

,

n = 2 × 3p2 ,

¿

d|n

Û +

p2 = 7 , n = 48 , (3-6). 3 (iii) α = 3 , n = 2 × 3 × p2 · · · pk−1 pk X p2 = 5, φ(n) = 23 ×4×(p3 −1) · · · (pk −1), S ∗ (d) = 37×2k−2 .

5¿

¿ {

Smarandache

α = 2 , φ(n) = 22 (p2 − 1) · · · (pk − 1) ≥ 4 × 2k−1 2k−1 ,

k≥3

¾ ¾

Ÿ& ¡

2



2

k+3



”

|φ(n),

p2 ≥ 7,

k+2

|φ(n),


• qF «

¯

Ã

”



2

k+3

†

X

∗

S (d),

d|n 3

é ui(æ&çz{

φ(n) = 2 (p2 − 1) · · · (pk − 1), 2

k+2

†

X d|n

∗

S (d),

ý

 ] ¢


.

d|n

n = 2α p1 p2 · · · pk−1 pk (α ≥ 2, k ≥ 2)

« *!= 

`  Ý ”

¿ ] ` ,

(3-6).

X

é uN¬
(æ&çz{

(3-6) . αk−1 (F) n = 2α pα1 1 pα2 2 · · · pk−1 pk α1 , α 2 , · · · , α k 1. pi αi ≥ 2 ,

d|n

S ∗ (d) = 18 × 2k−1 ,

« " + Û

α

(3-6).

≥

n = 84

2,

k



•&z

≥

2,

φ(n) = 2α−1 p1α1 −1 (p1 −1)p2α2 −1 (p2 −1) · · · piαi −1 (pi −1)(pi+1 −1) · · · (pk −1),

¾

X

ý

d|n

S ∗ (d) < 4pk (1 + α)(1 + α1 ) · · · (1 + αk−1 ).

¿ ëì Û ¿

pi = 6 3 αi 6= 2 , (a) αi = 2, pi = 3 X

(i)

n

:

S ∗ (d) < 8 × 2k−1 3 × (1 + α) = 24 × 2k−1 (1 + α).

¾ ¿ l
(æ&çz{ d|n

”˜FuxV ñ*p

piαi −2 (pi − 1) > (1 + αi ), , φ(n) = 2α 3(p2 − 1) · · · (pk − 1).

α=2

,

(3-6).

X d|n

S ∗ (d) = 19 × 2k−1 ,





3 | φ(n)

;¯

3†

X

S ∗ (d),

d|n

53

Smarandache

¾

ý

(ii)

α≥3 k≥3

¿

[(Ã! «čÅ&\&]Æ^_

,

φ(n) ≥ 2α 3 × 4 × 6k−2 > 8 × 3(1 + α)2k−1 >

¾

¿ '

¾ ¿ (æ&ç¾ z{

X

S ∗ (d).

d|n

k = 2 , n = 2α 32 p2 , φ(n) = 2α 3(p2 − 1). (iii) α ≥ 3,X p2 ≥ 7 , S ∗ (d) < 4(1 + α)(1 + 2)(1 + 1) = 24(1 + α) < φ(n), d|n

ý ¿ ¾ (æ&çzý { ¿ ¾ ‚ Ý ¾

φ(n),

(3-6); X p2 = 5, α ≥ 4 , S ∗ (d) < 6(1 + α)(1 + 2)(1 + 1) < 2α × 12 = (3-6); X α=3 , S ∗ (d) = 60 6= φ(n),

p2 = 5,

”Û

(b)

pi ≥ 5

d|n

pi = 3

¿

αi ≥ 3,

g 2

Û

(æ&çz{

piαi −2 (pi − 1) > (1 + αi ),

> (1 + α1 ) · · · (1 + αk−1 ).

¿

(æ&çz{

(i) X α ≥ 4 , 4(1 + α)pk ≤ 2α−1 pi (pk − 1), φ(n) > S ∗ (d), (3-6). (ii)



¦

Û

¾

¿

d|n

5¿

3B4j.²F¦

Û

(æ&çz{

2α−1 pi (pk X − 1) = 2pi (pk − 1) ≥ 4 × (1 + 2) × 2, (3-9) φ(n) > S ∗ (n) (3-6). (iii)

¾

¿ '

d|n

α=3 ,

(3-9)

8

(3-9)

Û

α = 2 , n = 22 pα1 1 pα2 2 · · · pαi i pi+1 · · · pk , X S ∗ (d) < 4(1 + 2)(1 + α1 ) · · · (1 + αk−1 ) × 2. d|n

8

(3-6).

pα1 −1 (p1 − 1) · · · piαi −2 (pi − 1)(pi+1 − 1) · · · (pk−1 − 1)

¾

ýÛ Û

d|n

f&34&²

n = 23 pα1 1 pα2 2 · · · pαi i pi+1 · · · pk ,

φ(n) = 22 p1α1 −1 (p1 − 1) · · · pαi i (pi − 1)(pi+1 − 1) · · · (pk − 1),

%



54



X d|n

S ∗ (d) < 6 × 4(1 + α1 ) · · · (1 + αi )(1 + αi+1 ) · · · (1 + αk−1 ) × 2.

(æ&çz{

2α−1 pX i (pk − 1) ≥ 4 × 3 × 4 = 6(1 + 3) × 2, φ(n) > S ∗ (d), (3-6). d|n

f3
4²¦

(3-9),

˜

Ÿ& ¡ ¢9 ] ` ê
ƒ ¬8&% “ ¾  ý « à  •9
.*á9!(= — « ¿ ù;: &•z{ 3.3 „†… Smarandache bdcfehg S (n) iˆ‡Š‰Œ‹ Ž & Á#  ‘É!’ “
”)•
–Á#ÂF*— C ( É Ž & 1 ˜B™;š6› “œžNHI Ÿ! .1 ˜B™ZFQ S ∗ (n)

Smarandache

α

α2 , · · · , α k

k−1 n = 2α pα1 1 pα2 2 · · · pk−1 pk , 1 ,n (3-6) . .

α ≥ 2, k ≥ 2,

α1 ,

∗

X

3.1:

S ∗ (d) = φ(n)

,

d|n

.

3.2:

Y

S ∗ (d)

,

.

d|n

55

Smarandache

¡ ¢¤£ 4.1




(

TU

4.1

¥ ¦

Z(n)

[(Ã! «čÅ&\&]Æ^_ Smarandache §Š¨

) *&+(0B©6 ( 2&3 k

ª

n ≤ k(k + 1)/2,

Z(n) = min{k : n ≤ k(k + 1)/2}.

« ( G ¬­1®!¯!&&°$±B²

F

Jozsef Sandor

Õ‡  F 54 - ½

4.2 SM (1) = 1

n>1

n=

n,

pα1 1 pα2 2

T 

³´Zµx¶.

.

) *Õ+ ×, + ·)¸1¹&ÉQ /

SM (n) n

· · · pαk k

n = 1 ,

G ˜
¿9 TU ( & @ @6 ( (A B@) * &æ ç «  =&#" ] ` ¤ Û À;Á « SM (n)

Smarandache n, n

4.3

n|mm

.

9 G  [ H5 '8 •

Smarandache .

m, m    Y Y  SP (n) = min m : n|mm , m ∈ N, p= p .   p|n

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‹

56

p|m

he gfikjmlonqp „ Smarandache ‚Fƒh„F…‡†‰ˆŠ à ,+ œ)@9 ( ž!&@ 5Œ

4.2.1

k≥2

,

3

x!Ä*Q

¾

k

Û¿ + 7&‘8 ˜!´ ™b
(c5£9« 

ci (i = 2, 3, · · · , k) , k=1

CXY#Z.Q

x > 1,

3

X ci · (2x) 2 π 2 (2x) 2 √ S (Z(n)) = · √ + +O i 18 ln 2x ln 2x n≤x i=2 X

SP (n) ,

Smarandache

Â

4.2.1

DFE

,

SM (n) = max{α1 p1 , α2 p2 , α3 p3 , · · · , αk pk }.

ºj»½¼¾

4.2

/

.

3

x2

lnk+1 x

!

,



™&š

Ÿ 7 ¡ Æ5« 9 &@ 5Œ CXY#Z.Q Smarandache

x > 1,

4.2.1

3

3

π 2 (2x) 2 S (Z(n)) = · √ +O 18 ln 2x n≤x X

‹

Œ

& @ # ( CXY#Z.Q

n,

4.2.2 x > 1,

DFE

‹

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Å

P (n)

ÆBÇ

x2 ln2 x

n

G

UT  &@ # ( Á!Â

Riemann zeta-

.

016MjÈ6É ž!&@


3 2ζ 23 x 2 2 (SM (n) − P (n)) = +O 3 ln x n≤x X

!

,

3

x2 ln2 x

!

.

.

n, X SM (d) = n

4.2.3

d|n

TUÕ-

(½ ǁ‹ &@ # (  n = 1, 28.

m

4.2.4

k > 1,

Á!Â

:

SP (n1 ) + SP (n2 ) + · · · + SP (nk ) = m · SP (n1 + n2 + · · · + nk ),

C¸¹Ê,Ë ( É 4.2.2

:

7&<8 r« ‹

(n1 , n2 , · · · , nk ).

Ì{Í SM (n) ‚Fƒh„Ñ‡Ò «1Î r Ø « •ßà/ D v w

:

SM (n)

 « z{ « ˜Ãâ '!ù ,

&@ # ( Á! n,

4.2.5

X

SM (d) = n

(4-1)

d|n

TUÕ-

(½ ǁô5õ Ï` ù;:;þÿxy
 n = 1, 28.

:

,

57

(i)

¾ ¾

n=1

,

P

SM (d) = SM (1) = 1,

n=1

(4-1)

.

d|n

À ”–ÒÓ (ii)

[(Ã! «čÅ&\&]Æ^_ ¿ % •z{ « à G zHF¿ !¦  À ÐBÑ5 êF¿  ¦ «,Ô*Õ
˜ Ö Smarandache

,

X

n = pα SM (n)

SM (d) =

(4-1)

X

.

(4-1)

SM (d) = 1 + p + 2p + · · · + αp = pα .

(4-2)

Ý (4-2) ¦×Ø• p «,Ù Ó , Ú!ØB• p «,Ù Ó ,  s t . é{Û ¾ n Ü G Ó H5¿ (4-1)¾ ¦
À .« Þ G *[ « Ý (iii) n > 1 ý n = H; Ü 1 ¿ ,  n =«,pÔ*pÕ · · · p = p n ýæ&ç (4-1) ¦ , ”–i3  (ii) 2 k ≥ 2. •– SM (n) ˜
Ö d|pα

d|n

α2 1 2

αk k

1 1

X

SM (d) =

d|n

SM (d) +

d|n1

= 2

«

X

X

SM (p1 d)

d|n1

SM (d) + p1 − 1 = p1 n1 .

(4-3)


 ß â Àà , s*t . 5¿ (4-1) ¦
À . –
3 (iii)Àaá;Ö “ : Faâ n ÜB@;ã Ý [ Ó , ” n.˜Z'@æ ç (41) ¦ . ú ûkùä:žu&/æN åçÛ èW D . Á ü « ÔêG é 
Ó [ n > 1æ «ç Þ ÝæG ë (4-1), ìZ3 « Ý
 [ î (ii)  1.í 
(iii)ï2 ð n. n = p p  · · · p , α > 1,, k5≥ý 2.n . SM= (n) = αp. ñ
Hò ñ&þÿ
ó o  Ô «]Þ î G [ ¾ d|n ¿ (A) α = 1. 5

¿ pm Ü n , ô n = n p, õö÷ X Û SM (d) ≤ p − 1, 
ï ì SM (d) = nð Ö 

(4-3)

¦

W Ø

X

d|n1

α1 α2 1 2

αk k

1

1

1

d|n

n1 p = n =

X

SM (d) =

d|n1 p

=

X d|n1

‚

Ý

SM (d) +

X

SM (d) +

d|n1

X d|n1

p≤1+

= 2 + (2p − 1)d(n1 ) − p,

n1 + 1 < 2d(n1 ), 58

X

SM (dp)

d|n1

X d|n1 d>1

(p − 1) + pd(n1 ) (4-4)

(4-5)

ø ]7 ù Æ5« Smarandache ÒÓ úaû d(n ) Ü Dirichlet 1Ó$Ò,Ó . (4-5) ü ¾ n ≥ 7 ¿,
!
&À . ï w ì  n «Þ = G 
[ « Ý H î  1, éêÛ n = 4. ý n ≤ 6. n p = 4p, p > 3. 5

¿ì 1

1

1

1

1

2≤ n =

1

4p =

X

SM (d) = SM (1) + SM (2) + SM (4)

d|4p

+SM (p) + SM (2p) + SM (4p)

ç

= 1 + 2 + 4 + 3p,

Àá0 å

þ

ý

‡¿).

p = 7 n = 28. (B) SM (n) = αp α > 1. (4-1) ,

Û

ü ÿ

α X X

α

n = p n1 =

¾

n = n1 pα , (n1 , p) = 1.



n

æ

SM (pi d).

Ýë (4-1) ] . 1 < n < 8 ¿ , ëì
ñ
z ïBÝ (a)  n = 2, þ n = 2p (p > 2), ì (iii) *$$2 , n = 2p  ë (4-1) ;Ã ;  (n , p) = 1, Û p 6= 3. (b)  n = 3 ¿ , n = 3p . ì  p = 2, n = 3 · 2 æ&ç Ýë (4-1), þ i=0 d|n1

1

α

1

α

α

1

1

α

X

X

SM (d) =

ë

d|3·2α

5Bü û

SM (d) +

d|2α

2

P

;Ã

SM (d) + 3

d|2α

X

SM (3d) = 2

SM (d) + 3 = 3 · 2α ,

ï!ß Ó . éžÛ , n = 3 · 2  ï!Ý Ý$ë (4-1), ÿ nÞ = G [ 
&ÓjÜ 1,

d|2α

ï! Ó , 

X d|2α

3 · 2α

ï Ýë æ.ç ;à  ïÝë

α

(4-1) ; p > 3, n = 3 · pα (iii) , n = 3 · pα (4-1) . α n = 3 · p (p 6= 3) (4-1) . α (c) n1 = 4 , n = 4 · p (p ≥ 3), X X X X SM (d) = SM (d) + SM (2d) + SM (4d),



ì 2

¾

þ

¿



d|4·pα

þ

d|pα

æ&ç

Ýë

Û ;Ã

d|pα

d|pα

ÿ

p = 3, n = 4 · 3α (4-1), X X X X SM (d) = SM (d) + SM (2d) + SM (4d) d|4·3α

d|3α

d|3α

d|3α

59

Smarandache = 3

ì 

32 | 3



P

d|3α d>1

d|3α d>1

&ý

SM (d),

X

SM (d) + 12 = 4 · 3α ,

32 | 4 · 3 α ,

æ&ç

þ

čŠí úÆ ó

(Ã!

Ýë

ý

ï  ð  '

ê

32 | 12.

.

ÿ

p > 3, n = 4 · pα (4-1), X X X X SM (d) = SM (d) + SM (2d) + SM (4d)

d|4·pα

d|pα

= 3

Ó ,þ w ì 

3 SM (d) + 8 = α(α + 1)p + 11 = 4 · pα , 2 α

3 4 · 3α − α(α + 1)p + 11 = 0. 2 1 f (x) = 4 · xα − α(α + 1)x + 11, x ≥ 3 2

¾

Ô α,

ú&û

d|pα

X d|p

þ

d|pα

¿

, f (x)

ï  Ò

3 f (x) ≥ f (3) = 4 · 3α − α(α + 1) + 11 = g(α). 2 α ≥ 2 , g(α) α .

éjÛ ¾



 ÒÓ ÿ

Û

f (x) ≥ f (3) = g(α) ≥ g(2) > 0,

¿ Û ¿

¾

í

ï

¿

@&Ã ý
Ö÷ 2  ïÝë

¿

Ýë

@&Ã

, x ≥ 3 , f (x) = 0 . p>3 , (4-1) . α (d) n1 = 5 , n = 5 · p (p 6= 5). p > 5, (iii) , n = 5 · pα (4-1) ; p = 2, X X X X SM (d) = SM (d) + SM (5d) = 2 SM (d) + 10 = 5 · 2α ,



ÿj ì ì



d|5·2α

ê

d|2α

22 | 2

S(d),

w

(æ&ç Ý ë  (4-1);  p = 3, ì

5 · 2α

X

d|5·3α

60

P

d|2α

d|2α d>1

SM (d) =

22 | 5 · 2 α ,

X d|3α

SM (d) +

ý! X d|3α

Û

d|2α d>1

22 | 10,

;Ã ê

SM (5d) = 2

ï  ð ' . l

X d|3α

SM (d) + 6,

n=

ë

ø ]7 ù Æ ê 2 P SM (d) + 6ï!ß Ó , 

¾

d|3α

¿ Û ¿

ÒÓ ï  Ó .

! 5·3 Smarandache α

, n = 5 · 3α

(æ&ç Ýë

 æ@ç Ý

(4-1). (e) n1 = 6 n = 2 · 3 · pα , (iii) ,n (4-1). (f) n1 = 7 , n = 7 · pα (p 6= 7). p > 7, (iii) , n = 7 · pα (4-1) ; p = 2, α ≥ 4. X X X X SM (d) = SM (d) + SM (7d) = 2 SM (d) + 15,

¾

 

ë

ê

d|7·2α

2

]2 ïÝë  ì 

ÿjì Û 2

5¿m

P

ï
 Ó , 

ì

d|2α

SM (d) + 15

d|2α

ì 

d|2α

;Ã

ï
ß Ó . l

d|2α

n = 7 · 2α

n = 7 · 2α

æç Ý

(4-1); p = 3, X X X X SM (d) = SM (d) + SM (7d) = 2 SM (d) + 13,



d|7·3α

d|3α

d|3α

5)ü û 3 | 2 P SM (d),ý 3 | 7 · 3 , F)âæç Ýë 
ï n = 7 · 3   ïÝë (4-1) ;à ;  p = 5, ì  α

d|3α d>1

(4-1),

ë

d|3α d>1 α

5ü û

X

SM (d) =

d|7·5α

2

P

;þ

SM (d) +

ï
ß Ó , 

d|5α

SM (d) + 8

d|5α

(4-1)

X

.

(g) n1 ≥ 8 X

¿ Û

n = n 1 · pα ,

,

X

SM (7d) = 2

d|5α

7 · 5α

ý

ï
 Ó . ï

pα >

X

Û

3 † 13,

.

SM (d) + 8,

d|5α

n = 7 · 5α

α(α + 1) p, 2

st

  ï
Ý

ÿ

SM (d) < SM (pα )d(n1 pα ) = α(α + 1)pd(n1 )

d|n1 ·pα

≤

α(α + 1) pn1 < pα n1 = n, 2

ÿ ¾ n ≥ Û 8 ¿ ,é nÛ = n p ð   Ý ïë Ýë (4-1) ;Ã Û . W D Û 4Ô 5  Ö (4-1) ý
e , þ 9
.á ;ù;: . 1

m

1

α

n = 1, 28.


ï 61

Smarandache

 

4.2.3

X

  
í ú  ó 

SM (d) = φ(n)

!"

d|n

#$%&&û(')*+,-. Ý/0132*Ýë X

SM (d) = φ(n)

(4-6)

(45=?>6 é Ó  , þ87 ï9;:< : @A3BDCEF n, G n = p p (α ≥ 1, p < p), H n I?JK L (4-6) M84.2.1 OQP :N .(1) R3ST α = 1, p = 2, n = 2p UWV ÝBë (4-6). XYZÒ Ó SM (n)Z φ(n) Ô*Õ , ') 5 d|n

α

1

1

1

X

SM (d) = 3 + 2p = φ(n) = p − 1,

ÿ5 p` = 4, [ ï\]^_ . Ýë p > 2, n = p p UV d|n

1

(4-6).

1

X

ab?5

SM (d) = 1 + p1 + 2p = φ(n) = (p1 − 1)(p − 1),

c a p (p − 1) = 2p + 2p. ')de  ï Ö` ÷ p |2p, f (p , 2) = 1, g ï p |p, [ ï R 'ð3) h (2) α > 1, p ≥ 2, n = p p = n p UV (4-6). 5 d|n

1

1

1

1

X

.

kl 62

i

d|n1

1

SM (d) +

.

α

X X

1≤i≤α d|n1

SM (d · pi )

= 1 + p1 + 2(p + 2p + ·+)

= φ(n) = (p1 − 1)pα−1 (p − 1).

b

, p|φ(n), p|2(p + 2p + · + αp),

d|n

.

X

α

g ï p|p + 1, [ ï R ðWh X ïj Ó , f ï φ(n) ï
ß Ó . ab Ý
ë (4-6) R = 2b , SM (d)

p1 6= 2 p1

1

1

SM (d) =

d|n

i

1

1

ø;m ù  Smarandache ÒÓ 5=?n> opq ') Ör n = p p (α ≥ 1, p < p) R ïÝë (4-6)  . 4.2.2 @A3BstF n, Htu : φ(n) ≥ 4 vxwyv n 6= 1, 3, 5, 7, 9, 15, 21. Od(n)P : z{?|} [55]. ~ > 4.2.6 @A3BDCEF n, K L (4-6)uwyu€N n = 1. OP : (I) i n = 1 b , X SM (d) = SM (1) = 1 = φ(1), ð3‚ n = 1 ïÝë (4-6)  . i Ýë (4-6) R kl . (II) n = p , α ≥ 2 b , ƒ„ n , ` Ýë (4-6)kl , ÿ5 1

α

1

d|n

α

ú;û

X d|pα

SM (d) = 1 + p + 2p + · · · + αp = φ(n) = pα−1 (p − 1),

p|φ(n), p|

`

X d|pα

SM (d),

UV Ýë

α = 1, n = p X

…†‡

d|p

g ï 5

p|1,

(4-6),

ÿ5

[ ï R ð3h

.

SM (d) = 1 + p = φ(n) = p − 1.

,

X

SM (d) > φ(n).

c a n = p R ïÝë (4-6)  . i (III) n = p p · · · p p = n p , ((n , p) = 1) α SM (n) = αp, ÿ d|p

α

α1 α2 1 2

X

αk α k

1

α

1

1

b

≥ 1, k ≥ 2 ,

SM (d) < SM (pα )d(n1 pα ) = α(α + 1)pd(n1 ).

d|n

(A)

`

i

`

n1 n1

φ(n) = pα−1 (p − 1)φ(n1 ).

' ) 5 X SM (d) < φ(n). = 2b , ? ì 'ˆ )  4.2.1ð r n = 2p R ïÝë (4-6)  . =6 b , 5 α = 1,

φ(n1 ) 2 ≥ (n1 6= 2, n1 6= 6), d(n1 ) 3

X

d|n

SM (d) = 9 + 4p,

d|6p

63

 ‰ 
í ú ó   [ ïjŠ ` , ‡‹ φ(n) ïߊ , c a n = 6p RUV Ýë (4-6). (B) α > 1, SM (n) = αp. Œ , ')Ž ñ
ò m‘’ 0 pq : i φ(n ) (i) p 6= 2 b , ≥ 4, ÿ5 α(α + 1)pd(n ) ≤ p (p − 1)φ(n ), d(n ) c a X SM (d) < φ(n). i ïjŠ b , p 6= 2. (ii) n ` p ≥ 7, α ≥ 2, “” p ≥ 5, α ≥ 3, ') 5 α(α+1)p ≤ p (p−1), (1) c a X SM (d) < φ(n). ` φ(n ) < 4, ìˆ  4.2.1핈  4.2.2Z;nop;q ') l þ– (2) d(n ) ÷ n = 3p` , 5p , 7p , 9p , 15p , 21p — R ï˜ë (4-6) ð  . φ(n ) (3) p = 5, α = 2 ™š < 4, ìnop3q – n = 3 · 5 ,3 · d(n )   ï  ˜ ë 5 ,7·5 ,3·7·5 — R (4-6) . `  ï  › Š (iii) n ` 2 | n , φ(n ), p≥6=1,2. i p ≥ 7, α ≥ 2, “” p ≥ 5, α ≥ 3 b , ÿ d(n ) 5 α(α + 1)p ≤ p (p − 1), c a X SM (d) < φ(n). i p = 5, α = 2 b , ')d3e –!÷ n = 2 · 7 · 5 , n = 2 · 3 · 5 “” n = 2 · 3 · 7 · 5 R ï˜ ë (4-6)  . ` φ(n ) < 1, n = 2 · 3, ÿ5 n = 2 · 3 · p . d(n ) X ` φ(n ) (iv) p = 2, α ≥ 4 ™š > 4, ÿ5 SM (d) < φ(n). d(n ) ` α = 2, 3, ')de –÷ n = 3 · 2 , n = 3 · 2 “” n = 5 · 2 — R ï ˜ë (4-6)  . ` φ(n ) < 4, ì (II)íWˆ  4.2.2ð – n = 2 , 3 · 2 , 5 · 2 , 7 · 2 , 9 · 2 , d(n ) ˜ë (4-6). 15 · 2 ,21 · 2 RUV œ #') 0ž úŸ ‘’ : ` ˜ë (4-6), ÿ5 (1) 2kn , n = 2p · · · p p = 2n (k ≥ 2) UV Smarandache

1

α−1

1

1

1

d|n

1

α−1

d|n

1

α

α

1

α

α

α

α

1

2

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1 α−1

2

1

2

2

1

1

d|n 2

2

2

2

2

2

α

1

1

d|n

2

3

1

1

α

α

α

1

X d|n

64

α2 2

SM (d) = 2

X d|n1 d>1

αk α k

1

SM (d) + 3 = φ(n)

3

α

α

α

α

ø;m ù 

# no ˜
ë û

Smarandache

  Š

= p2α2 −1 (p2 − 1) · · · pkαk −1 (pk − 1)pα−1 (p − 1). ,2

X

SM (d) + 3

R ï ˜ë b ')˜…ë de  – ÷ ab ¢ ')de 9;: · 3 · 5, d|n1 d>1

`

ïjŠ , f ï  .

 , c a

φ(n)

2pα2 2 · · · pαk k pα (k ≥ 2) (4-6) 2 2 α2 (2) 2 kn1 , n1 = 2 p2 · · · pαk k (k ≥ 2). α(α + 1)p < pα−1 (p − 1), X p = 3, α ≥ 5 , SM (d) < φ(n), (4-6) .

ð –

¡ i `

n=

c a

ï˜ë (4-6) R  . ` α = 3, n = 2 ·3 ·5 “ ” n = 2 ·3 ·7 , ')  ð£9;: n = 2 ·3 ·5 “ n =` 2 · 3 · 7 — R ï˜ë (4-6)  . φ(n ) α = 4 ™š < 4, n = 2 · 3 · 5, n = 2 · 3 · 7 “ n = 2 · 3 · 11, ) ')de 9¤: n = d(n ï˜ 2 · 3 · 5, n = 2 · 3 · 7 “” n = 2 · 3 · 11 — R ë (4-6)  . ¥ i p 6= 3 b , ì (B) (iii) ð – n = 2 · 3 · p . ìg d|n

α = 2, n = 22

2

2

2

3

2

3

2

1

2

4

2

4

2

ë

X

SM (d) = 6

d|22 ·3·pα

X d|pα d>1

(4-6) (3)

¡ i

`



X d|pα d>1

SM (d) + 17

ïjŠ

4

4

2

2

2

6

2

3

3

1

£ í

n = 2 2 · 32 · 5

4

4

α

SM (d) + 17 = φ(n) = 4pα−1 (p − 1),

, φ(n)

 , c a

n = 2 2 · 3 · pα

R ï˜

. α

2 | n1 (α ≥ 3).

) ≥ 1, g ÿ5 α(α + 1)p < p (p − 1) Z φ(n d(n ) X ï SM (d) < φ(n), c a ˜ë (4-6)ab?¢  . i α = 2 ™š φ(n ) < 4 b , ')de –÷ n = 2 · 3 , n = 2 · 3 · 5 R ï˜ë (4-6)  . d(n ) i α = 3 ™š φ(n ) < 4 b , '3)Wde 9•: n = 2 · 3 · 5, 2 · 3 · 7, d(nï)˜ë  . 2 · 3 , 2 · 3 · 5— R (4-6) p = 3, α ≥ 5,

1

α−1

1

d|n

1

3

2

3

2

1

1

4

3

4

3

3

3

3

3

1

65

 ‰ 
í ú ó   i α = 4 ™š φ(n ) < 4 b , …†‡ , n = 2 · 3 · 5, 2 · 3 · 7, 2 · 3 , d(n ) ˜ë · 3 · 5, 2 · 3 — RUV ¥ i p = 5, α = 2, φ(n ) (4-6). ð Ÿ) R ï ˜ë (4-6) ≥ 4 b , ì (B) (i) r Smarandache 1

24

4

5

4

3

4

3

4

4

4

1

1



.

d(n1 )

b ')de 9¤:

i

φ(n1 ) <4 , n = 2 3 · 3 · 5 2 , 23 · 32 · 52 , 23 · 33 · 52 , d(n1 ) 23 · 7 · 52 , 23 · 3 · 52 · 7, 23 · 32 · 52 · 7, 24 · 3 · 52 , 24 · 32 · 52 (4-6) . , (4-6) n = 1. .



 n4o ˜ë \] 6D§ Š   5  š  ¦ 5 [7¨ k<8©  9;: 4.2.4 ª•« SP (n) ¬­®!¤  # $¯%•& ') *°, -. ˜/ 01±2Q² ³ Š SP (n) ¶ ˜· ¶  Š  , 9;:(¸¹ : ~ > 4.2.7 @A3BDCEF m º k > 1, K L

— R ï ˜ë

´µ 

Smarandache

SP (n1 ) + SP (n2 ) + · · · + SP (nk ) = m · SP (n1 + n2 + · · · + nk ), (4-7)

u»¼½t¾CEFN (n , n , · · · , n ). OP : i m Z k ¿ jŠ b , š k ≥ 3. À m = p p · · · p Á m ¶8 ÃŽWÄ , ÅÆ3V3ÇȤ¶É Š P , Ê(Ë3̤¶ÎÍWÉ ŠW©  , Ï # É Š q , q , ˜· : · · · , q UV 1

2

k

α1 α2 1 2

αs s

1

2

s

pα1 1 +1 p2α2 +1 · · · pαs s +1 P = q1 + q2 + · · · + qk .

# 3 ˜ · (4-7) ÐDÑ ')  l Ô  8) – Õ

ni = qi (i = 1, 2, · · · , k),

Ê

SP (n)

¶Ò3ÓZ ˜3·

SP (q1 ) + SP (q2 ) + · · · + SP (qk )

= q1 + q2 + · · · + qk = pα1 1 +1 pα2 2 +1 · · · pαs s +1 P

= pα1 1 pα2 2 · · · pαs s · p1 p2 · · · ps P = m · p1 p2 · · · ps P

= m · SP (pα1 1 +1 pα2 2 +1 · · · pαs s +1 P )

= m · SP (q1 + q2 + · · · + qk ). 66

(4-8) (4-

Ö m(×  ¶ Smarandache   Š ; Ô 7 , i mZ k ¿ jŠ b , ˜·kl . Ái jŠ ›Š b , ')ŽØ ‘’ pq : m¿ , k¿ à ŽÛ3Ä , Å ÆVÇÈ  (a) k = 2. À m = p p · · · p Ù3Ú m ¶t ¶8É Š P , ÊÜË̶DÝWÞ ©ß 5 α1 α2 1 2

2pα1 1 +1 pα2 2 +1 · · · pαs s +1 P = q1 + q2

“”

à Ð

αk k

q1 , q 2

Z

2p1α1 +1 pα2 2 +1 · · · pαs s +1 P = q1 + q2 q3 .

q3

Š ' ) Á É . — 5

SP (q1 ) + SP (q2 ) = q1 + q2 = 2pα1 1 +1 pα2 2 +1 · · · pαs s +1 P = m · 2p1 p2 · · · ps P

= m · SP (2p1 p2 · · · ps P )

= m · SP (2pα1 1 +1 p2α2 +1 · · · pαs s +1 P )

= m · SP (q1 + q2 )

“”

SP (q1 ) + SP (q2 q3 ) = q1 + q2 q3 = 2pα1 1 +1 pα2 2 +1 · · · pαs s +1 P = m · 2p1 p2 · · · ps P

= m · SP (2p1 p2 · · · ps P )

= m · SP (2pα1 1 +1 p2α2 +1 · · · pαs s +1 P )

= m · SP (q1 + q2 q3 ).

(b) k = 2k1 , k1 ≥ 2.

XYÍÉ Š©ß 5

pα1 1 +1 p2α2 +1 · · · pαk k +1 P = q1 + q2 + · · · + qk−1 + 2.

+, n oáãⶠ˜/ ')ä £9;:8©ß 6Då¶ . ¹ æ , '3)ç 0 pWq m ¿èWé ›Š Á b ˜3· (4-7) ¶ Û ¶ê8ë . À m =  ÃŽÛÄ , ')Ž ¿ÎÍ ‘’ pq : p p · · · p ÙÚ m ¶? i k = 2 b , ÅQÊ8ÝÞ ©ß , ') 5 p p · · · p P . Ô 7 (I) Á , α1 α2 1 2

αk k

α1 +1 α2 +1 1 2

αk +1 k

pα1 1 +1 pα2 2 +1 · · · pαk k +1 P = p01 + q10

67

Smarandache

“”

ì Û‰ ¶êëí àîï

pα1 1 +1 pα2 2 +1 · · · pkαk +1 P = p01 + q10 q20 ,

à Ð P VÇȶ8É Š Ái (II) k = 2k (k 1

1

, p01 , qi0 (i = 1, 2) > 1) ,

b Å5

Š Á É

.

pα1 1 +1 pα2 2 +1 · · · pαk k +1 P = q1 + q2 + · · · + qk−1 + 3,

à Ð P V Çȶ8É Š , q (i = 1, 2, · · · , k − 1) É Š . Á c a5 Á p p ···p P − 3 = q + q + ··· + q  Š  © ß  ˜  ·  k l UVÍÉ i , . (III) k = 2k + 1 (k > 1) b , Å5 i

αk +1 k

α1 +1 α2 +1 1 2

1

1

2

k−1 ,

1

pα1 1 +1 p2α2 +1 · · · pαk k +1 P = q1 + q2 + · · · + qk−1 + 2

Z

pα1 1 +1 pα2 2 +1 · · · pαk k +1 P − 2 = q1 + q2 + · · · + qk−1 .

Ê g k − 1 Á ›Š , án (II).Š ac b ˜·kl . ʊ Ûg P Á VÇÈ;¶ÎÉ , aÆ k∀m<8©∈ß Z Z 9;k: > 1, ˜· 5¢ð3ñò  6D§ (n , n , · · · , n ). [7¨ ¶ . 4.2.5 ª•«µ¬­ SP (n) ó φ(n) !¤  #$%& Ð , ')*°,-. ˜/0132˜· SP (n ) = φ(n) ¶ äÛ Ò9; :(êë¹,æ ™šôõ k = 1, 2, 3 btö ˜· ¶(456D§ Š Û . Ô 7 Á , ')* ¶ : ~ > 4.2.8 L SP (n) = φ(n)yu 4€DCEFN : n = 1, 4, 8, 18. K OP : …†‡ n = 1Á ˜· SP (n) = φ(n) ¶ Û . ¹æ ')ŽØ ‘’ 0 pq ˜· ¶ àŸÛ : jŠ . 1. n > 1 Á Š SP (n) ¶ ©÷ ä r SP (n) ø jŠ , ab , X›Y Š Smarandache  ´   Á f Á φ(n) Á ›, Šc a SP (n) 6= φ(n). 2. n > 1 Á . deù 9 n = 2 R SP (n) = φ(n) ¶ Û , (1) n = 2 , α ≥ 1. Á Û Q ˜ · i n = 4, 8 Á SP (n) = φ(n) ¶ . α ≥ 4, (α − 2)2 ≥ α, Ô φ(n) 2 | (2 ) b , n | ( ) , g Á SP (n) ≤ 2 < φ(n). +

1

2

k

k

α

α−2

α

68

α−2 2α−2

φ(n) 2

φ(n) 2

Ö;m(×  ¶ Smarandache   Š à Ð p j É Š ,p (2) n = 2 p p · · · p , Á α ≥ 1, i = 1, 2, · · · , k, α ≥ 2, k ≥ 1. ab , αk k

α α1 α2 1 2

i

< p2 < · · · < p k ,

1

i

φ(n) = 2α−1 p1α1 −1 p2α2 −1 · · · pkαk −1 (p1 − 1)(p2 − 1) · · · (pk − 1).

i

b  X Y Smarandache ´   Š b XY φ(n) ¶?ÒÓ5 α ≥ 2. Å5

r

n † (φ(n))φ(n) , SP (n) 6= φ(n). n | (φ(n))φ(n) , (i) 2α . α ≥ 2,

i

Æg

(α − 1)

g Á ä –

SP (n)

¶ ©÷ ')ä

k

φ(n) pk − 1 ≥ (α − 1)2α−1 pkαk −1 ≥ (α − 1) · 2 · 3 ≥ 6(α − 1) 2 2 ≥ 3α > α,

`

c a

φ(n)

2α | (2(α−1) ) 2 . 2α | ( φ(n) ) 2 αi pi | n. αi = 1, (ii)

Æg

Êg

φ(n) 2

.

φ(n) pk − 1 ≥ 2α−1 pkαk −1 ≥2·3=6>1 2 2

à Ð p | (φ(n)) Ô ` α ≥ 2, φ(n)

i

pi |

φ(n) , 2

')ú õ

pi | ( φ(n) ) 2

φ(n) 2

.

i

(αi − 1)

ä –

φ(n) pi − 1 ≥ (αi − 1)2α−1 piαi −1 2 2 ≥ (αi − 1) · 2 · 3 ≥ 6(αi − 1) ≥ 3αi > αi ,

c a p |( ) . 4 £ , Æ èWé p | n, p | ) . ( ûü (i) Z (ii), '3) lýÔ  – Õ i n | (φ(n)) b ,  Å 5 n|( ) . c a SP (n) ≤ φ(n) < φ(n). 2 à j É Š , p < p < · · · < p , α ≥ 1, (3) n = 2p p · · · p , Ð p Á i = 1, 2, · · · , k, k ≥ 1. [b , φ(n) 2

(αi −1)

pαi i | (pi

)

φ(n) 2

φ(n) 2

αi i

.

φ(n) 2

φ(n) 2

αi i

αi i

φ(n) 2

φ(n)

r

α1 α2 1 2

αk k

i

1

2

k

φ(n) 2

i

i

φ(n) = p1α1 −1 p2α2 −1 · · · pkαk −1 (p1 − 1)(p2 − 1) · · · (pk − 1).

b þ X Y ´ÿ  Š b Ê ¶?ÒÓ ' ) 5

n † (φ(n))φ(n) , Smarandache SP (n) SP (n) 6= φ(n). n | (φ(n))φ(n) , φ(n) , αk ≥ 2.

i

¶ ©þ÷ ä 69

Smarandache

ì Û‰ ¶êëí à
îï

' )* 9;: n | ( ) . \˜æ , †‡ 5 , 2 | ( ) .  \˜æ φ(n) 2

(i) k ≥ 2.

à Ð

φ(n) 2

, ∀pαi i | n,

i

αi = 1

φ(n) pk − 1 ≥ pkαk −1 (pi − 1) ≥3·2=6>1 2 2 pi | (φ(n))φ(n) (αi − 1)

Ô

φ(n) 2

φ(n) 2

Ô

pi |

φ(n) 2 ,

')ä £ ú õ

pi | ( φ(n) 2 )

φ(n) 2

.

i

b

,

αi ≥ 2

b

,

φ(n) pk − 1 ≥ (αi − 1)pkαk −1 (p1 − 1) ≥ (αi − 1) · 5 · 2 · 2 2 2 ≥ 20(αi − 1) ≥ 10αi > αi ,

c a

φ(n)

(αi −1)

φ(n)

g Á 5

) 2 . pαi i | ( φ(n) ) 2 . , n | ( φ(n) ) 2 2 φ(n) SP (n) ≤ < φ(n). 2 (ii) k = 1. , n = 2pα1 1 , α1 ≥ 2, φ(n) = p1α1 −1 (p1 − 1). 0 (ii) p1 ≥ 5, α1 ≥ 2, pαi i | (pi

Ô

φ(n) 2

,

ab?5 Êg

φ(n) (α1 − 1) p1 −1 = (α1 − 1)p1α1 −1 2 ≥ (α1 − 1) · 5 · 2 2

Ô 5

≥ 10(α1 − 1) ≥ 5α1 > α1 ,

c a p | ( ) . …†‡ Ô φ(n) , 7 Á SP (n) ≤ ) < φ(n). Ô p = 3, n = 2 · 3 .

(α1 −1)

pα1 1 | (p1

, n | ( φ(n) p1 −1

)

φ(n) p1 −1 2

.

α1 1

φ(n) p1 −1 2

p1 −1 2

φ(n) p1 −1 2

p1 −1 2

2

00

φ(n)

, 2 | ( φ(n) p1 −1 ) 2

c a c a

φ(n) p1 −1 2

.

g Á

α1 (ii) 1 α1 = 1, φ(n) = φ(6) = 2, SP (n) = SP (6) = 6, SP (n) 6= φ(n). SP (n) = φ(n). α1 = 2, φ(n) = φ(18) = 6, SP (n) = SP (18) = 6, φ(n) α1 −2 φ(n) φ(n) φ(n) α −2 2·3 α1 ≥ 3, ( 3 ) 3 = (2 · 3 1 ) , n | ( 3 ) 3 , SP (n) ≤ φ(n) < φ(n). 3 (1), (2) (3), n , SP (n) = φ(n) n = 4, 8, 18. , 4.2.8 .

c a

ûÎü

Ô

')ä – i ›Š b UV ˜· Z ¶ Á Û ¿  n4o ' ) ¨ k<8©ß 9;: ¶ +, áãⶠ˜/ ')ä £9;:(¹æ Ø ]©ß ~ > 4.2.9 K L SP (n ) = φ(n) yu 3€DCEFN : n = 1, 8, 18. ~ > 4.2.10 K L SP (n ) = φ(n) yu 3€DCEFN : n = 1, 16, 18. 2

3

70

Ö;m(×

  Š  : \
 , Æèéô © ¶Î6§ Š k ≥ 4, ')

˜· SP (n ) = ] 6D§ Š Û . φ(n) 55 4.3  Smarandache   4.1: v n > 1w n 6= 24  , º! X 1 I#"!$&%tCEF . ¶

Smarandache

k

'

4.2:

(*)K L

d|n

X

SM (d) = φ(n)

SM (d)

M#"N,+ , - ./ 03K L M21

uCEFN .  4.3: 3 ( ) Z(n) M&4657+#8 , -29;: X Z(n) M6<
=2>  4.4: @A3BDCEF m º k > 1, ?&@,ABK L : d|n

.

n≤x

m · (SP (n1 ) + SP (n2 ) + · · · + SP (nk )) = SP (n1 + n2 + · · · + nk ).

u»¼8¾CEFN

(n1 , n2 , · · · , nk ).

71

Smarandache

C D E 5.1

S F

~,L

ì Û‰ ¶êëí à
îï F G SPAC(n) HI

JK

@ ABCEF n, ?,@M3N&O7PýM SmarandacheQF*"
R 3 %UTWV n + kJ,QFM#X!Y(CEF k. ~&L 5.2 @A3BDCEF n, ?&@7M,N

5.1 SPAC(n)

An = {SPAC(1) + SPAC(2) + · · · + SPAC(n)}/n.

@A•BC¤EF n, ?@ZM[NX\Y;M7QF;"*R S F]%^T V n + kJ,QF , w |k| %&X!YM(F k. 5.2 SPAC(n) _a`cbed ~L

5.2.1

~ >

5.3



f ­hgZi\j ­  k,lA3B!mM?CEF k, nUo

Smarandache

5.2.1

SPAC(n)

prq*s SPAC(n). O P : À k ¿èé;È ¶36W§ Š , š n > k + 1. t¤T P Á + – P > % É Š . …†‡ P − 1, P − 2, · · · , P − k, · · · , n! + n, · · · , n! + 2 n! + n ¶'u — Á ü Š . œ #') ž k + 1 ] 6D§ Š : k, k − 1, k − 2, k − 3, · · · , 2, 1, 0

[
v Š ¶

p − k, p − k + 1, p − k + 2, · · · , p − 1, p. Smarandache

É Š ä wUx Š
Ž y Á

SPAC(p − k) = k, SPAC(p − k − 1) = k − 1, · · · , SPAC(p − 1) = 1, SPAC(p) = 0.

72

| éÕ ¶ 9;: .

Ö,z× { g

SPAC(n)

k, k − 1, k − 2, · · · , 1, 0

²³ g

  Š SPAC(n).

[7¨ k<8©ß

f ­hgZi\j ­ SPAC(n) !~}€‚‚ƒ  =;> 5.2.1 „ n %A±BQCE•F , H v n…m]lc†;‡ [n − n prq €&QF . ŠW‹DJ k,l
QF pˆ qnUo n] ˆ [n, n + n ] ‰ã
M 5.2.2

Smarandache

7 12

,

7 12

7

n − n 12 ≤ p ≤ n

ˆ

7

=?>

n < q ≤ n + n 12 . 5.2.2

„

π (x)

Œ!IWŽ x #M 1Îu,QFM΀ÎF , tH u
<
=2>

x π (x) = +O ln x

~ >

5.2.2

@A3BDCEF

n,



x ln2 x



.

?&@uU,‘!

n

1X 1 An = SPAC(a) ≥ ln n + O (1) . n a=1 2

Œ  Æè3é7’ Ž ȁ¶6§ Š n, T 2 = p < p < p < · · · < OP :  Š . g Ê SPAC(a) ¶ ©÷ ä r # p ≤ n ÙWÚ“3” [1, n] жÎ435WÉ “ Š a ¶8É Š ä wUx Š • Á 3 (p , p ]  Ð  4  5 § Z ¿ ” 1

2

3

m

i

i+1

X

pi
SPAC(a) = pi+1 − pi − 1 + pi+1 − pi − 2 + · · · + 1 + 0 =

(pi+1 − pi )(pi+1 − pi − 1) . 2

4 £ ÊÜn Ä')ä –

| éÕ

SPAC(1) = 1, X X SPAC(a) = 1 +

X

pi+1 ≤n pi
a≤n

≥

SPAC(a) +

X

SPAC(a)

pm
X (pi+1 − pi )(pi+1 − pi − 1) 2

pi+1 ≤n

73

Smarandache

ì Û‰ ¶êëí à
îï

1 X (pi+1 − pi )2 − 2 pi+1 ≤n 1 X = (pi+1 − pi )2 − 2 p ≤n =

–,U—
˜ R . Ä 5  pm − 2 =

X

pi+1 ≤n



= 

“”

(5-2)



(pi+1 − pi ) ≤ 

pi+1 ≤n

1 (pm − 2) . 2

X

pi+1 ≤n

Ä ™ | é

pi+1 ≤n

1

(pi+1 − pi )

An



pi+1 ≤n

1

An

1(5-1) (5-2)

(pm − 2)2 . (pi+1 − pi ) ≥ π(n) ≤n

X

pi+1

1 2

(pi+1 − pi )2  (π(n)) 2 . 2

¶ ©÷ ä – 

  1 pm − 2 An ≥ (pm − 2) −1 . 2n π(n)

5.2.1

™ | é š
› Ä

íWˆ ß

7

l
œ ú õ 

5.2.2 n − pm  n 12 h  7 i2  19  p  n2 + O n 12 n + O n 12 
 + O m =   + O(1) ≥ 2 2n2 n 2n lnnn + O lnn2 n + O n2 ln n

=

1 ln n + O (1) . 2

lim

n→∞

74

2

X

  1 (pm − 2)2 1 1 pm − 2 nAn ≥ − (pm − 2) = (pm − 2) −1 2 π(n) 2 2 π(n)

–, ˆ ß

c ¿

1  2

X

2

™ ‹ ä – R .Ä  Êxaí

i+1

1 X (pi+1 − pi ) 2



 1 ln n + O (1) = +∞, 2

ln n

Ö,z× { g

4 £ ™ ‹

SPAC(n)

  Š

lim An = +∞.

k<8©ß ¶ 9;: . ÁUUž ¶ . g Á ¨  SPAC(n)  n→∞

An

5.3



5.1:

ŸU !M,N#?&@"3¡2¢¤£;:¥X!Y6QF"2R S FM¤¦§ ¨©

1, 0, 0, ±1, 0, ±1, 0, −1, ±2, 1, 0, ±1, 0, −1, ±2, · · ·

? @Uª7«[¬r­®
l,¯€DF*¢‰Üu3»W¼D€DF3°
±³²ã»W¼&´ . * ( )&¯€DF*¢ M¤+#8 .

75

Smarandache

C¶µ E

·

ì Û‰ ¶êëí à
îï

Smarandache ¸º¹º»

¼a½ HI

JK [ \   Š Á,¾¿3À,ÁUÂ!à ËÌ Š q,Ä7Å F.SmarandacheÆ
Ç7ÈÉÊ Ë¤ Problems, Not Solutions Í
Î7ϤЈ Ф¶ , ™,Ñ7ÒÓ7ÔÕÖ Ÿ ¶?¶ÌÒË ÓOnly ÷ ! × Ø , Ù ÔôõÚ Smarandache ¢UÛ
Ü*Ý6Þ3ßWඤá â!L 6.1 ã*ä³å7æç!è n, O*P\é ê Smarandache»*ë~ì\í2îZï è Zw(n)M*N!%X^Y7é&æ3çè mn!o n | m . Š ‹,ð Zw(n) = min{m :

6.1

n

m ∈ N, n|mn }.

6.2 6.2.1

Zw(n) _a`cbed Zw(n)

ñ­ò^ó]ôöõ\÷

â,ø 6.2.1 ãä*åUæ7ç
è n, ù3ú n = p p · · · p Œ n é2û*ü ý þ ,
ÿ Zw(n) = p p · · · p .  , Zw(p) = p, ¯ p %Wä7å&Q&è . â ø 6.2.2 

 n %Uë,ìí¥î2è~ , Zw(n) = n. â ø 6.2.3 ãUä7å2æ
ç&è n, Zw(n) ≤ n. â ø 6.2.4 #è α1 α2 1 2

1 2

ð ­^é â ø ð ­^é 76

r

∞ X Zw(n) n=1

n

. 6.2.5

#è ∞ X

1 Zw(n) n=1

.

αr r

â ø

 Ú 6.2.6

UÛ
Ü*Ý6Þ3ßWà Zw(n)ð"ï¥è , ŠW‹2ð , (m, n) = 1  Smarandache

,

Zw(m · n) = Zw(m) · Zw(n).

â ø

6.2.7

Zw(n)

6ð"2R^ï¥è , WŠ ‹2ð

,

Zw(m + n) 6= Zw(m) + Zw(n).

â ø

â ø

â ø



6.2.8 6.2.9 6.2.10





n ≥ 1 , Zw(n) ≥ 1.

 ã6ä7 å  è

n≥1 ,0<

Zw(n) ≤ 1. n

 rel="nofollow"> 0,

k,lUæ
ç&è

n ≥ 1,

nUo

Zw(n) < . n

*¤è

â ø Uâ ø

6.2.11 6.2.12

.

â ø

â ø â ø

ð ­^é

6.2.13 6.2.14

 "!#$2æ
ç&è þ . n %'&Uè)( , Zw(n)ðU& è ; n %*#è)(

ì

Zw(n) = 1, n

+,
-6ì

Zw(n) = Zw(n + 1)

ãUä7å2æ
ç&è n X

#è ∞ X

U,‘"/

Zw(k) >

k=1

6.2.15

n,

1 a, (Zw(n)) n=1

, Zw(n)

.'
æ
ç&è þ

ð

.

6·n . π2

a ∈ R,

a>0

.

77

â ø

C)D

6.2.16

∞ X (Zw(n))α

ns

n=1

ζ(s)

â ø

0 1 "2 3 465789:; ãUä7å è α, s <>= s − α > 1? α > 0, @'AB/

Smarandache

%

E"F Bã G'H&èBIJ . ãUä7å è α > 0? x ≥ 1, KLMN/

Riemann zeta6.2.17

  ζ(s)ζ(s − α) Y 1 = 1− s , ζ(2s − 2α) p p + pα

ï¥è

,

Y p

    1 ζ(α + 1)xα+1 Y 1 (Zw(n)) = 1− α + O xα+ 2 + . ζ(2)(α + 1) p p (p + 1) n≤x X

6.2.2

â ø

α

OQP

ñ Rò
SQTVUVW ) ãUä7å2æ
ç&è n > 1, X YZ["/

Zw(n)

6.2.18

n

1 X ln(Zw(k)) =1+O n ln k k=2



1 ln n



.

\] : ^ U(n) = X ln(Zw(k)) . × ØUÙ Ô_` U(n) 3bac . de a f k > 1 g , h Zw(k) 3#ái
ÙUlnÔ kjkl)m Zw(k)n o k 36Êp j
qbr*ÝWà 3st , Êvuxwy zB{|à k p Zw(k) ≤ k 7 ln(Zw(k)) ≤ ln k, }~p_ ` : n

k=2

U(n) =

n X ln(Zw(k)) k=2

ln k

≤

n X ln k k=2

ln k

= n − 1 ≤ n.

(6-1)

8‡ €
Ù,Ô _B` U(n) 3'‚Bc . w yBz"{|7à 2 ≤ k ≤ n, ƒ k 3'„…B†1" k = p p · · · p , Ù Ôˆ‰Š [2, n] ‹3'Êp|
à†ŒŽ
ޏ A 7 B, 8‹ Ano
‰Š [2, n] ‹#Ê"p"‘"’“B” α ≥ 2 (i = 1, 2, · · · , s) 3{| à k 3•– ; B noB‰Š [2, n] ‹ Êp‘’—˜ p,Î Ž α = 1 (1 ≤ i ≤ s) 3 {
| à k 3•– . ™ š Ù Ôp α1 α2 1 2

αs s

i

i

U(n) =

n X ln(Zw(k)) k=2

78

ln k

≥

n X ln(Zw(k)) k=2

ln n

 Ú

Smarandache

1 X 1 X ln(Zw(k)) + ln(Zw(k)). ln n ln n

=

›œ h– A 3#áižŸ A"š ‰ Š Ù Ôp_` : k∈A

X

k∈A

UÛ
Ü*Ý6Þ3ßWà

[2, n]

ln(Zw(k)) ≤

X

k∈A

k∈B

‹• p

ln k ≤

Square-full

√

(6-2)

àN3b– , ¡   u

n · ln n.

(6-3)

¢"£ Ü ¤ , wN™Byz n ∈ B, £ á ¥¦ £ ŽNr!à p, §¨ p|n© p, n  = p 1. q)gªz«¡r[à\á­¬®3¯¡°j±qB² ( ³®´µ¡¶ [2] ­ á ¬ 4.10, µ ¶ [3]7 [8]): X ln p k≤n

X

7

k≤n

= ln n + O (1) ,

p

 n  ln p = n + O ln n

X ln p

=D+O

8 ‹ D ‡ { ·&à . ™ š¸¹p_`
p2

k≤n

X

X

ln(Zw(k)) =

k∈B

=

X

= n

ln p =

7



X ln p

p

ln k

≥

(ln p + ln(Zw(k)))

−n

(p, k)=1

X ln p p≤n

1

k≤ n p

p2

¸¹j k¨«_`

n X ln(Zw(k))

X

ln p

n n − 2 + O(1) p p

= n ln n + O(n).

(6-2), (6-3) (6-4)

k=2

X p≤n

ln p

p≤n

,

pk≤n (p, k)=1

pk≤n (p, k)=1

X



X

ln(Zw(pk)) =

p≤n

U(n) =

1 ln n

pk≤n (p, k)=1

≥

h







+O

X p≤n



ln p

(6-4)

:


√ 1 X ln(Zw(k)) + O n ln n ln n k∈B

79

0 1 2"3 465789:;

Smarandache

º –

(6-2)

7

≥

 n 
√ 1 . (n ln n + O(n)) + O n ln n = n + ln n ln n

(6-5)

¸¹»¼l
m¾½¿BÀ

(6-5)

:

n

1 X ln(Zw(k)) =1+O n ln k k=2



1 ln n

™šÁŒNÂWá ¬3•Ã
Ä . ¦ÊaË Å á ¬N‹•Æ n → ∞, »Ç>¨« È‚lÉ 6.2.18 ÌÍBÎÏÐ Ñ n, X YÒ
Ó



.

n

1 X ln(Zw(k)) lim = 1. n→∞ n ln k k=2

6.2.3

OQP®Ô)R

Ö × KLMN/

6.2.19

Õ SQTVUVW

Zw(k) θ(k)

Ì́ÎÏ ÐÑ

k > 1,

Ø

\] : d)ea , Nw y
z)eÙ Ù µ(n) 3bÞß :

|µ(n)| =

à ªz«

∞ X µ(n)

¸¹p

n=1

n≤x

|µ(n)| = =

XX

n≤x

n2

µ(d)

d2 |n

X

md2 ≤x

80

x > 1

µ(d)

=

X

X

ln (Zw(n)),

n≤k

Zw(k) Zw(k) =X =O θ(k) ln (Zw(n)) n≤k

X

θ(k) = 

1 ln k

ÚNy
z){"|
Ù µ(d)

d2 |n

1 6 = 2 ζ(2) π



XY

.

n,

ÛÜ

M¨obius

Ý

 á =

X

Smarandache

√ d≤ x

=

X

1

m≤ dx2

µ(d)

√ d≤ x



X

µ(d)

âãäbåÝ>Ù

x

d2

+ O(1)



   X µ(d) X +O = x − |µ(d)| d2 d2 √ √ d=1 d> x d≤ x   
√ 6 1 = x +O √ +O x 2 π x √
6 = x + O x . π2 ∞ X µ(d)

‚¤¸v¹ævçèŽ º ÉvéÃêÄN롬 Zw(n) = n, ì p θ(k) =

X

.

wyzvâã±äåÙ

n,

ln (Zw(n))

n≤k

≥ ≥

X n≤k √

|µ(n)| ln n

X

k≤n≤k

√ |µ(n)| ln( k)

X 1 = |µ(n)| ln k 2 √ k≤n≤k   X X 1 = ln k  |µ(n)| − |µ(n)| . 2 √ n≤k

ä•íp



n≤ k



1 ln k  |µ(n)| − |µ(n)| 2 √ n≤k n≤ k   √ 1 6 ≥ ln k k + O( k) 2 π2 √ 3 = k · ln k + O( k · ln k). π2

θ(k) ≥

X

(6-6)

X

(6-7)

81

0 1 2"3 465789:; ªz« Zw(n) ≤ n, ™š¸¹»Ç>¨« Smarandache

Zw(k) 0< ≤ θ(k)

î

k √ =O 3 k · ln k + O( k · ln k) 2 π Zw(k) =O θ(k)



1 ln k





1 ln k



.

èïÁŒNÂ>ë ¬3•Ã
Ä . ÛÊÜË ë ¬¸¹»Ç>¨« È‚ º É : 6.2.19 ÌÍBÎÏÐ Ñ k, X YðBñò>ó Zw(k) = 0. k→∞ θ(k) lim

Zw(n)

6.3

þxÿ

ôöõø÷úùøûýü


 Zw(n) = Zw(n + 1) + Zw(n + 2)  w 1000 u '3 Zw(n) 3 , ã p1 . þxÿ 6.2: 
 Zw(n) + Zw(n + 1) = Zw(n + 2)  w 1000 u '3 Zw(n) 3 , p©p 6Ž1 6.1:

.

.

Zw(1) + Zw(2) = Zw(3), Zw(3) + Zw(4) = Zw(5), Zw(15) + Zw(16) = Zw(17), Zw(31) + Zw(32) = Zw(33),

þxÿ

Zw(127) + Zw(128) = Zw(129), Zw(225) + Zw(256) = Zw(257).


 Zw(n) = Zw(n + 1) · Zw(n + 2)  . u '3 Zw(n) 3 , ã p1 , š w pN3 f n, ã š  ŒBw » 1000 ? ªz« È n š"Ù , aBŁã Bp"1 . de a , n š"Ù­g Zw(n) šBÙ , Zw(n + 1) · Zw(n + 2) šBÙ . í­g , 㠁j Œ » . È  n, n + 1, n + 2š âãäbåÙ , ì p n = n + 3n + 2, ›œ èjŒ» Ç ã p1 . 6.3:

2

82

, ,

þxÿ

 á

Smarandache

âãäbåÝ>Ù


 Zw(n) · Zw(n + 1) = Zw(n + 2)   . u '3 Zw(n) 3 , ã p1 , š w pN3 f n, ã š  Œw» 1000 ? ªBz"«È n š  Ù , aÅBã p 1 . d"ea , n š  Ù
g , Zw(n) šBÙ , Zw(n + 1) · Zw(n + 2) šBÙ . í­g , 㠁j Œ » . È  n, n + 1, n + 2š âãäbåÙ , ì p n + n = n + 2, ›œ èjŒ» , Ç ã p1 . þ•ÿ 6.5: !
' Zw(n) · Zw(n + 1) = Zw(n + 2) · Zw(n + 3)    . u '3 Zw(n) 3 , ã p1 , š w pN3 n, ã š  Œ»w 1000 ? þxÿ 6.6: 
 Zw(n) = S(n)  , C)D S(n)" Smarandache # Ñ . þxÿ 6.7: $I%'&bÏÐ Ñ k, () Zw(n), · · · , Zw(n + k) D+*, -$ H Ñ . þ'ÿ 6.8: .
' Zw(Z(n)) − Z(Zw(n)) = 0  , CD Z(n)" / Smarandache #¾Ñ . þxÿ 6.9: 
'AB/ Zw(Z(n)) − Z(Zw(n)) > 0  . þxÿ 6.10: 
'AB/ Zw(Z(n)) − Z(Zw(n)) < 0  . þxÿ 6.11: 
'#¾Ñ 6.4:

2

10

Zw(Z(n)), Z(Zw(n)), Zw(Z(n)) − Z(Zw(n)) .

þÿ 6.12:  " 2435687Ï"ÐÑ Zw(n) 9 : . þxÿ 6.13: "'2 3 5Ð Ñ k > 1; : .

m, n, k,

n>1

()

()

Zw(m · n) = mk ·

Zw(n)k = kZw(n · k)

9 83

þxÿ

Smarandache




6.14:

0 1 2"3 465789:;

Zw(n)r + Zw(n)r−1 + · · · + Zw(n) = n

C)D r" ÏÐ Ñ , <

84

r ≥ 2.

=> ? B C D

Smarandache

@AsÝ>Ù

Smarandache E

FHG IKJ

LNM è £ ÝÙBš OPQ RS'T UV Ù É £W_ X F.Smarandache Y ZBd ¦[   à  b  c U­ Problems, Not Solutions ^ ‹ `a­3 , ¹egf h 3b3]Þ\ ßOnly ! ij , ¸¹ kNm Smarandache @AsÝ>Ù3ë i Ö l 7.1 Ì ÍÎÏBÐÑ n, Smarandachemn1o.#bÑ Sdf (n)p'qr <>= Sdf (n)!! st nÐu 1%'&bÏÐ Ñ . 7.2 Smarandache vxwzy ôöõø÷|{~}€‚ Չˆ‹ŠŒ‡Ž 7.2.1 Smarandache ƒ…„‡†±Ô)R Ö× 7.2.1 Ì!bÍBÎ H Ñ p, Sdf (p) = p. Ö× 7.2.2 Ì!bÍBΐ‘ g’”“4•Ñ n, X Y– 7.1

Sdf (n) = 2 · max{p1 , p2 , p3 , · · · , pk }

C)D

" n >H.’”“ . \] : j — £4˜ Þ , ¸¹ƒ n = p · p · p , ™
‹ p > p > p © p = 2. È  ىšAsBš n š›BÙ , œ'‘ ’ 2 · 4 · 6 · m ž4Ÿ n| 'š¡¢ {| Ù mš 2 · p . de aw™ m = 2 · p , ¸¹p : {p1 , p2 , p3 , . . . pk }

1

3

2

3

3

2

1

1

3

2 · 4 · 6 · 2 · p2 · 2 · p3 = (2 · p2 · p3 )(4 · 6 · 2 · 2) = k · (2 · p2 · p3 ), k ∈ N

Ö×

7.2.3

Ì!bÍBΐ‘ g’”“Ñ

n,

X Y–

Sdf (n) = max{p1 , p2 , p3 , · · · , pk },

C)D

" n >H.’”“ . \] : j — £4˜ Þ , ¸¹ƒ n = p · p , ™
‹ p Ú p šŽjNq4š>rÙ © p > p £ . ££ « p šÙ n š8A s ¤ š n‡ š¥›Ù , ä ‡Bf p < p g èŽAs ë8¦§ p · p š•t , ¨ïš n š1As : 1 · 3 · 5 · · · · · p · p . {p1 , p2 , p3 , · · · , pk }

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

85

Smarandache

Ö×

7.2.4

³'Ñ

©4ª«'š¬®­¯™ °± ² "´µ‰

∞ X

1 Sdf (n) n=1

.

\
] : è Ž"ë¬ v š h6ÚB X 1p š1¶ ·Þ £ ¸ ¨B«!š , ™­‹ pšy z r Ù . de a , h¾ë ¬ 7.2.1ž ¨ X Sdf1(k) > X 1p , èïÁŒNÂ>ë ¬!š•Ã Ä. Ö× 7.2.5 Sdf (n)¹ º#¾Ñ"!»18¼‰#¾Ñ . ½ ¾8"‡¿ (n, m) = 1 À p ∞

p

k=1

Sdf (n + m) 6= Sdf (n) + Sdf (m).

\] : d e a , ÁÈ :Sdf (2 + 15) 6= Sdf (2) + Sdf (15). Ö× 7.2.6 Sdf (n)¹ º#¾Ñ"!»1og#¾Ñ . ½ ¾8"‡¿ (n, m) = 1 À Sdf (n · m) 6= Sdf (n) · Sdf (m).

\] : d e a , ÁÈ :Sdf (3 · 4) 6= Sdf (3) · Sdf (4). Ö× 7.2.7 Sdf (n) ≤ n. \ ] : d e a , f nš4Ââãäbåفg , h¾ë ¬ 7.2.1, 7.2.2Ú ë ¬ 7.2.3, p Sdf (n) ≤f n. f nj šÂâ ã
äåh ÙN£ g , hx™Ý'Ù Sdf (n) š¡à £ ë jÙ n, ¸¹Æ« n š1As , œ  ëš n š›Ù . Ö× 7.2.8 ³'Ñ X Sdf (n) "´µ‰ . n \] : de a , X Sdf (k) > X Sdf (p) , ™
‹ P š yzrÙ . h6™r k p Ù ppÂÄ ÅÆ , à © Sdf (p) = p, ä•í X Sdfp(p) š¶·š . Ö× 7.2.9 ÌÍBÎÏÐ Ñ , Ç4È– Sdf (n) ≥ 1. ∞

n=1

∞

∞

k=1

p=2

∞

p=2

86

=> ?

@A8ɁÝ>Ù ÊgË : è ÆB묞.Ì͔ ÝÙgš'ëÎ £ ¸ ¨ « . ÏÐÑ , Ò n = 1 Ó , ÔÕ ë Ήš¡¢Ö×BÙØBë Ù 1. Ò n 6= 1 Ó , ÍÚ 1 šAÉØBë ÛÙ n š ›Ù , Ü.Ì Sdf (n) ≥ 1. Ö× 7.2.10 ÌÍBÎÏÐ Ñ , Ç4È– 0 < Sdf (n) ≤ 1. n Ê!Ë : èÆ ë4ÝÞ‰Ì Í¾ë4Ý 7.2.7Ú ë4Ý 7.2.9£¸ ß à . Ö× 7.2.11 Sdf (p ) = 2p , á‰â p ã'ä4å k º4æ Ñgo ç . Ê!Ë : èÆ ë4ÝÞ‰Ì Í¾ë4Ý 7.2.2£¸ ß à . Ö× 7.2.12 è Sdf (n) = 1–'éê8ºÏÐ Ñ  . n Ê‰Ë : èƁë ÝÞëÌ'Íbë Ý 7.2.1£¸ß'à . Ï'Ð Ñ , ìÂÄ'Å4Æ'í Ù ÔÕ ã . Ö× 7.2.13 #¾Ñ Sdf (n)îïð1• ñ» ò . ó¾8" Sdf (• ) =• , Sdf ( ð ) = ð . Ê!Ë : èÆ ë4ÝÞ‰Ì Í¾ë4Î £¸ ß à . Ö× 7.2.14 ô õö¥è Sdf (n) = Sdf (n + 1)÷1– ø ù4ú  . ÊË : ÏÐÑ , ÛÜ"ëÝ 7.2.13, nÚ Sdf (n) š Þ ûü Øý . ä>í Ò n þ8ÙÓ , Sdfß (n) ¨ÙÙ ,  n + 1ÙÙ , Sdf (n + 1)ÙÙ . í!Ó ã ª . ÿ+ÝÞ , Ò n þ8ÙÓ , ã ª . 7.3 Smarandache vxwzy ôöõø÷úùøûýü þxÿ 7.1: ó |Sdf (n + 1) − Sdf (n)|"'2–
. þ>ÿ 7.2: $4è Sdf (n + 1) = k, Sdf (n) = k 1øù ú' . Sdf (n) Sdf (n + 1) á‰â k " 8ø ù4ú , 4 < ! å - º è n > 1.  : = Ø4 Æ  ª . # k

Smarandache

k

# k

87

þxÿ

©4ª«'š¬®­¯™ °± ² Ç4Èp q Sdf (n)  k !r :

Smarandache 7.3:

Sdf k (n) = Sdf (Sdf (Sdf · · · (Sdf (n)) · · · )),

á â Sdf  k  . !1– n,  Sdf (n) !"s$#% ‰  ºp'&(*)* º'+, . -. 7.4: / 0!1*¥ø ù4ú k, 2# Sdf (n)3 Sdf (k + n)465879 : ;  º4æ4ú . -$. 7.5: g n ≥ 1, <>= Smarandachem!n@ o ?+ú Sdf (n)A BDC E!FD1@ ú G 0.1232567491011 · · ·  – H ú I! H ú . Ç  È J¹ º1ú K SmarandacheLM8NOú . -.

k=1

88

(−1)k · Sdf (k)−1

7.7:

P Q

-.

1 Sdf (n) n=1

7.8:

QR

Sdf (k) k→∞ θ(k)

7.9:

∞ Y

lim

&

&

.

.

& , ‰ á â

 : ;!S8T ! ø ù4ú

θ(k) =

m,n,k,

X

ln(Sdf (n)).

n≤k

2#UV

Sdf (n · m) = mk · Sdf (n) .

-. 7.10: - . 7.11: – ø ù4ú [ . -$. 7.12: ú [ . -. 7.13:

â

P Q

-. -. FW

7.6:

∞ X

/ XYè

Sdf (n)! = Sdf (n!)

!

k > 1 n > 1,

g

k > 1,

/!XY4è

k > 1, m, n > 0.

3

/X Y1è

/ XYè

Z1– ø ù4ú [

.

Sdf (nk ) = k · Sdf (n)

Sdf (nk ) = n · Sdf (k)

Sdf (nk ) = nm · Sdf (m)

Z

8– ø ù

*–øù ú![ , á

\]^

-. FW . ¿ -. FW . ¿ -. FW . ¿ -. FW . ¿ -. i$o ·*p -.

7.14:

_`8Éab dc?”ú Sdf (n)  åe º'& , »ZUV Smarandache

n 1 ≤ · n + 2, 1 ≤ n ≤ 1000 Sdf (n) 8

À f'»ZUV8!8g@h'FW . dc?”ú Sdf (n)   å e 'º & , »ZUV

n > 1000 , 7.15:

1 Sdf (n) ≤ 0.73 , 1 ≤ n ≤ 1000 n n

À f'»ZUV8!8g@h'FW . dc?”ú Sdf (n)   å e 'º & , »ZUV

n > 1000 , 7.16:

1 1 1 + < n− 4 , 2 < n ≤ 1000 n Sdf (n)

À f'»ZUV8!8g@h'FW . dc?”ú Sdf (n)   å e 'º & , »ZUV

n > 1000 , 7.17:

5 1 < n− 4 , 1 ≤ n ≤ 1000 n · Sdf (n)

À f'»ZUV8!8g@h'FW .  Smarandache_`8 É abab

n > 1000 , 7.18:

∞ X

1 , a (n) Sdf n=1

m@n

Sdf (n)

i8j*klb

a > 0, a ∈ R

. 7.19:

< lim

n→∞

n X ln Sdf (k)

ln(k)

k=2

&!qZrc*s4ºZtuúv Oú

n

. 89

-.

á‰â á‰â

Smarandache 7.20:

w xy!iz|{}m~*€

X [Yè Sdf (n)r + Sdf (n)r−1 + · · · + Sdf (n) = n,

r≥2

 ø ù4ú . $ ‚

Sdf (n)r + Sdf (n)r−1 + · · · + Sdf (n) = k · n,

r, k ≥ 2

-.

"  ø ù4ú

7.21:

<

. Sdf

m Y

k=1

90

mk

!

3

m X k=1

Sdf (mk )

ƒ„

.

\ …*^ † ‡‰ˆ Š

‹

Smarandache-totient

ab

Smarandache-totient ŒŽ

‘ ’*“ , ”*•–— † Smarandache-totient abdi'˜4Î ™ š 8.1 8 ø ù4ú n, K Smarandache-totient ?”ú Zt(n) › œ žŸ X ϕ(k)  $¡ nù¢ Z0!1*¥ø ù4ú m, á‰â ϕ(n) Euler ?”ú .

8.1

m

k=1

£

8.2 8.2.1

™*»

Smarandache-totient ¤¦¥Ž§©¨«ª­¬¯®

°

Smarandache-totient

8.2.1

?”ú

Zt(n)

±D²¦³D´¶µ¸·º¹

¼ ½Z¾¿À½Z¾*N , ó ÁºÂ

(m, n) = 1

Ã

,

Zt(m + n) 6= Zt(m) + Zt(n), Zt(m · n) 6= Zt(m) · Zt(n).

ÄdÅ : Æ Ç È , Zt(2 + 3) 6= Zt(2) + Zt(3), Zt(2 · 3) 6= Zt(2) · Zt(3). ™*» 8.2.2 8ø ù4ú n > 1, É'Ê Zt(n) > 1. Ä Å : ÆÇÈ , ËÌdÍ n > 0 Î , ϕ(n) > 0. Í n = 1 Î , ϕ(n) = 1. Ï @ Ð ÍÑÒÍ n = 1 Î , Zt(n) = 1. ™*» 8.2.3 8ø ù4ú n ≥ 1, É'Ê Zt(n)

X k=1

ÄdÅ : Ó Ô

ϕ(k) ≤

Zt(n) = m. m X k=1

Zt(n) · (Zt(n) + 1) . 2

Õ1þÍ

ϕ(k) ≤

m X k=1

n≥1 k=

Î

, ϕ(n) ≤ n.

ÌÖ4ì

m · (m + 1) . 2 91

Smarandache

™*» ß à

×1ú

8.2.4

∞ X

1 Zt(n) n=1

ÄdÅ : *Ú Û˜ Ü , Ó Ô

™*»

k

×Zä

Ö âã i

∞ X Zt(n)

n

n=1

k=1

ϕ(k) = a · n,

Ø*Ù

.

.

, ∞ X Zt(n)

ÌÖ*åæ álb âã . ™*» 8.2.6 n ≤ π

n

n=1

ÄdÅ : Æ Ç È , |Ë Ì

2

3

n X

≈π·

∞ X n=1

ϕ(k) ≈

ç è ˜ édiZêëìí n ≤ n , Ý Ö*î*ïi ™*» 8.2.7 X ϕ(k) ≥ n. 2

k=1

3

n

k=1

k=1

Zt(n)

p a·n

ϕ(k).

n X

92

m X

∞ ∞ X 1 1 3 X1 p ≈ > Zt(n) n=1 π a·n a · π n=1 n 3 n=1

∞ X 1 lim n→∞ n n=1

ÄdÅ : Æ Ç È

.

ÌÖ

∞ X

8.2.5

Ø*Ù

Zt(n) = m, , r π2 · a · n m≈ 3

Õ$á à

3 · m2 ≈ a · n. π2

âã , Ý ÖÕ1þ

w xy!iz|{}m~*€

3n2 , π2 .

∞ X 1 > . n n=1

ÝÞ

a ∈ N.

\ …*^ † Smarandache-totient ab Ä Å : Ýðê ñ*å Ð Ë Zt(n) i'˜ Ü*òóô õ . Æ Ç È d m X k=1

Í

a=1

Î

,

m X

ϕ(k) = n.

ϕ(k) = a · n, (a ∈ N).

Í

a>1

Î

,

k=1

m X

ϕ(k) > n.

ÌÖ˜ éô*ö

Zt(n) ≈ π ·

r

8.3

,

 r  a·n n , a ∈ N. ≥ π· 3 3

÷ ø*ùú*ûdab , 'ì Öü ýþ n i$ÿ
ûb . ™*» 8.2.9 Zt(n) < n ½'FW . ÄdÅ : 
 Zt(n) i Ð  ð ü á ü
 : Zt(3) = 4, Zt(7) = 9  . ™*» 8.2.10 Zt(n) &  N − {0},  N 
 ä "!

bnc

ÄdÅ : Æ Ç È , # $
%ûb

' ô

.

k=1

*™ » 8.2.8 Zt(n) ≥ π · r n . 3 ÄdÅ : Ý ðê ñ*å Ð Ë Zt(n) i'˜ Ü*òóô õ . Æ Ç È m@n

,

n≈

m,

”*•å "Ð & õ – ˜!i

n,

.



3 · m2 , a∈N a · π2

Zt(n) = m.

£

Smarandache-totient ¤¦¥Ž§)(+*-,

- . 8.1: /. žŸ Zt(n), Zt(n + 1), Zt(n + 2), · · · , Zt(n + k) / 0 1dC Z 02"
 ä k. 93

w xy!iz|{}m~*€ 
 : # Ì 1000 Ð
3 i Zt(n) i" , ”*•ôæ k = 5, k = 4 Î , à Smarandache

Zt(514) < Zt(515) < Zt(516) < Zt(517) < Zt(518) < Zt(519),

-.

Zt(544) < Zt(545) < Zt(546) < Zt(547) < Zt(548).

/ XY54 Zt(n) = n 6ZÊ

 ä [ . #Ì 1000 Ð7à 3 i Zt(n) i8 , ”•ôæ n = 1,C 2, 5Ö9
:
;Dix . < Ö9:; Ö= > m? x . ádÎ , ”*•@AB*x iD:; 8.2:

n X

ϕ(k) = a · n, a ∈ N.

- . 8.3: " ! A Zt(n) < n EDF
GHEIZä , " ! B    A n EDF
GHEIZä , J X lim . B -. 8.4: P L Q KME&
NO'ÊP : k=1

Zt(n) >

n→∞

dn = |Zt(n + 1) − Zt(n)| rn =

ln =

-.

|Zt(n) − Zt(m)| |n − m|

J/ XQ
 ä

8.5: (1) Zt(n)|Zt(n + 1), (2) Zt(n + 1)|Zt(n).

# Ì

1000

Ð
3 i

Zt(n + 1) Zt(n)

Zt(n)

n,

n, m ∈ N

2R

i" , *” • & õHS 

(1)

i$Ï à xí

Zt(1)|Zt(2), Zt(2)|Zt(3), Zt(80)|Zt(81), Zt(144)|Zt(145), Zt(150)|Zt(151), Zt(396)|Zt(397), Zt(549)|Zt(550), Zt(571)|Zt(572), Zt(830)|Zt(831). 94

:

\ …*^ †



(2)

i$Ï à xí

Smarandache-totient

ab

:

Zt(34)|Zt(33), Zt(46)|Zt(45), Zt(75)|Zt(74), Zt(86)|Zt(85), Zt(90)|Zt(89), Zt(108)|Zt(107), Zt(172)|Zt(171), Zt(225)|Zt(224), Zt(242)|Zt(241), Zt(465)|Zt(464), Zt(650)|Zt(649), Zt(886)|Zt(885).

ñ*”*•T

C, D

U
V ÷ ø

(1)

k

(2)

i$xi$ðb ,  W B

D , n→∞ C lim

X Y [\ X"Y

(D − C)2 . n→∞ |C 2 − D 2 | lim

Z XY54 Zt(n + 1) = Zt(n) E6ZÊ

 ä [ .

: ”*•]^Ýð
:;_x . 8.7: ZX Zt(n + m) ` Zt(n), Zt(m)acb Eƒd„ , 8‚ Zt(n · m) ` Zt(n), Zt(m)adbQEƒ„ . X
Y 8.8: efhgä Zt(n)i ϕ(n). jlknmporq K s Zt(n) > ϕ(n) EDF
GHEIZä , q L Zt(n) < ϕ(n) EDF
GHEIZä . P Q 8.6:

K . n→∞ L lim

à

:

UHt uÌ6ab

Zt(n)

k

ϕ(n)

i v

100

ð n , H 

i 

Zt(n) > ϕ(n) n

n = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 24, 25, 26, 27 · · ·

w  Í

i  à

Zt(n) < ϕ(n) n

:

n = 11, 21, 22, 23, 28, 29, 32, 35, 42, 43, 46, 49, 51 · · ·

Î :;

1 ≤ n ≤ 10000 ,

Zt(n) = ϕ(n)

à Ð  9 ð x

:

n = 1, 40, 45, 90, 607, 1025, 1214, 2050, 5345. 95

w xy!iz|{}m~*€ WB : : ; Zt(n) = ϕ(n)Ö= ààpx ðx . y
z  Smarandache

ðb

.

XY

{ | Zt(n) EQ}8!dg äpE n E ~
  Zt(n) i k €Qdabí : 8.9:

i i

|K − L|=0 n

.

Ztk (n) = Zt(Zt(Zt(· · · (Zt(n)) · · · )

m n Zt‚€ k  . à @ WB : #!ÌÏ i n, ƒL„L Zt(n) i €…
†ô!õ„ð˜‡7ˆ„ ð‰ŠH‹LŒ XY 8.10: Z XY54 Zt(n) + Zt(n + 1) = Zt(n + 2) E6ZÊ

 ä [ ,  ŽQf754pE8‘ NO5NÊp’I . # Ì 1000 Ð
3 i Zt(n) i" , ”*• & õHS È“
:;i$xí n = 6:

‘

Zt(6) + Zt(7) = Zt(8).

XY

8.11:

# Ì

1000

.

Z”
54

Ð
3 i

Zt(n)

Zt(n) = Zt(n + 1) + Zt(n + 2)

E6ZÊ

 ä

i" , *” • & õHS È“
:;i$xí

n = 49:

Zt(49) = Zt(50) + Zt(51).

‘

9:; Ö= •–m?i$x ? XDY 8.12: ZL”7Q4 .

Zt(n) = Zt(n + 1) · Zt(n + 2)

E 6 Ê77ä

# Ì 1000à ÐL3 i Zt(n) i5 , ” •L— à & õ 7È“L:;6i'x , ˜ë ! < Zt(n + 1) · Zt(n + 2) Ÿ  9,:; ñ*Ö”*= •å x Ð ? özž™Ýšð ›Lüœ 
* Û¡
÷Ÿ ž   : Zt(n) , ì8¢*öžSD9:;_x . XDY 8.13: ZL”7Q4 Zt(n) · Zt(n + 1) = Zt(n + 2) E 6 Ê77ä ‘ . 96

£ …¤ †

8¥  #!Ì 1000à ÐL3 i Zt(n) 5i  , ” •L— à & õ 7È“L:;6i'x ,  ˜ ë 9:; Ö= x ? XY 8.14: Z”
54 Zt(n) · Zt(n + 1) = Zt(n + 2) · Zt(n + 3) E6 Ê

 ä‘ . #!Ì 1000à ÐL3 i Zt(n) i5 , ” •L— à & õ 7È“L:;6i'x , ˜ë 9:; Ö= x ? XY 8.15: Z”
54 Z(n) = Zt(n) E6ZÊ

 ä‘ , ¦l§ Z(n)N Pseudo-Smarandache g ä . #Ì 60 Ð73 i Zt(n) i8 , ”• & õ È
“7:
;Dixí :n =à 1, 24, ì Z(1) = Zt(1) = 1, Z(24) = Zt(24) = 15. ˜!ë97:7;ÖL=> mH? x ? X"Y 8.16: Z7”4 Zt(n) = Z(n) − 1i Zt(n) = Z(n) + 1 EQ6Ê 
 ä‘ . # Ì 60 Ð
3 i Zt(n) i" , ”*• â ¨ 
:; Zt(n) = Z(n) − 1 i à : Smarandache-totient

Zt(2) = Z(2) − 1, Zt(9) = Z(9) − 1,


:;

i à

Zt(18) = Z(18) − 1, Zt(44) = Z(44) − 1. Zt(n) = Z(n) + 1

:

Zt(5) = Z(5) + 1, Zt(6) = Z(6) + 1, Zt(10) = Z(10) + 1, Zt(20) = Z(20) + 1,

˜ë
9:; Ö= ààpx ðx ? XnY 8.17: Z©”ªh4 Zt(n) = S(n) E«6 ʬ¬¸ä©‘ ,¦ § S(n)N Smarandache g ä . # Ì 84 Ð
3 i Zt(n) i" , ”*• â ¨ 
:; Zt(n) = S(n) i à : Zt(40) = Z(40) + 1, Zt(51) = Z(51) + 1.

Zt(1) = S(1), Zt(2) = S(2) = 2, 97

Smarandache

w xy!iz|{}m~*€

˜ë
9:; Ö= > à  m ? x ? X"Y 8.18: Z7 ” 4 S(n) = Zt(n) + 1i S(n) = Zt(n) − 1 EQ6Ê 
 ä‘ . # Ì 84 Ð
3 i Zt(n) "i  , ”*• â ¨ 
:; S(n) = Zt(n) + 1 i à : Zt(5) = S(5) = 5, Zt(10) = S(10) = 5.

S(4) = Zt(4) + 1.


:;

S(n) = Zt(n) − 1

i à

:

S(3) = Zt(3) − 1, S(6) = Zt(6) − 1, S(9) = Zt(9) − 1, S(17) = Zt(17) − 1, S(18) = Zt(18) − 1, S(34) = Zt(34) − 1,

˜ë
9:; Ö= > à m? x ?Ö= ààpx ðx ? â¨à® !ñ”•H­7BL:7; S(n) = Zt(n) − 1 iZx , ”• 𯰠i x n = 17k n = 18. Ö= >•–±²@i$x ? XY 8.19: Z”
54 S(n) = 2 · Zt(n) − Z(n) E6ZÊ

 ä‘ . # Ì 84 Ð
3 i Zt(n) i" , ”*• â ¨à
® ðx : S(51) = Zt(51) − 1.

S(9) = 2 · Zt(9) − Z(9), S(18) = 2 · Zt(18) − Z(18).

˜ë:;i$x³p´i8uµ . XY 8.20: Z”
54 Zt(p) = p E6ZÊ

 ä‘ , l ¦ § pi p d N ½H¶ E8G ä . # Ì 60 Ð
3 i Zt(n) i" , ”*• ⠨෠ðx : 0

Zt(29) = 13, Zt(41) = 67, Zt(43) = 23.

˜ë:; Ö= •–m?H¸$x 98

.

0

£ …¤ †

ä

.

8¥  5X Y 8.21: ZH”4 Zt(p) = p E6Ê äH‘ , r ¦ § pL N ¹pºG # Ì 60 Ð
3 ¸ Zt(n) ¸" , ”*• â ¨à
® ðx :

Smarandache-totient

Zt(2) = 2, Zt(5) = 5.

˜ë:; Ö= •–»?H¸$x . X"Y 8.22: Z
. ž'Ÿ Zt(n)i Zt(k + n)acb8¼L½D¾7¿7ÀIG*ä p E Á 
 ä k. XY 8.23: Z”
54 Zt(Z(n)) − Z(Zt(n)) = 0 ED
 ä‘ . XY 8.24: ” ‘!½ÃLÄ Zt(Z(n)) − Z(Zt(n)) > 0. XY 8.25: ” ‘!½ÃLÄ Zt(Z(n)) − Z(Zt(n)) < 0. XY 8.26: ÅHÆg ä Zt(Z(n)), Z(Zt(n))i Zt(Z(n)) − Z(Zt(n)) E ÇHÈ . XY 8.27: ÉcÊ lim Z E~ , ¦«§ Z = X Zt(Z(n)), Z = 1

n→∞

X n

1

Z2

2

n

Z(Zt(n)).

XY

8.28:

É7Ê X n

. lim X X Zt(Z(n)) − Z(Zt(n))

n→∞

n

n

XY

|Zt(Z(n)) − Z(Zt(n))|

8.29:

É7Ê

lim

n→∞

X

!2

n

|Zt(Z(n)) − Z(Zt(n))|

n

(Zt(Z(n)) − Z(Zt(n)))2

X

99

Ë Ì7͸7ÎÐÏÑ»
ÒÓ
Ô

Smarandache

E~

E~

.

XY

É7Ê

8.30:

X X 1 1 lim − n→∞ Zt(Z(n)) Z(Zt(n)) n n

.

XY

É7Ê

8.31:

lim

E~

n→∞

.

XY X Y

ÅHÆg ä É7Ê

8.32: 8.33:

lim

n→∞

E~

.

XY

Zt1 =

X n

Zt2 =

X n

i

Z(n) Zt(n)

1 , (Zt(n))!

X Zt(n)

X

n!

n

1

n Y

Zt4 (a) =

n

n Y

,

Z1 =

X n

Z2 =

Zt5 =

n

100

n!

n

,

Z3 =

X n

Zt(i)

:

1 , (Z(n))!

X Z(n)

,

1

n Y

,

Z(i)

i=1

n

a

,

Z4 (a) =

na , n Y Z(i) i=1

n−1

· Zt(n) , n!

X n

Zt(i)

i=1

X (−1)

.

E8ØLKÙD~LÕÖ

i=1

X

E5ÕÖ

|Zt(Z(n)) − Z(Zt(n))|

n

Zt3 =

Z(n)

n

F (n) = S(Z(Zt(n)))

ef Ç× g ä

8.34:

X Zt(n)

Z5 =

X (−1)n−1 · Z(n) n

n!

,

£Ú¤ Û Zt6 =

Smarandache-totient

X Zt(n) , (n + 1)! n

∞ X Zt(n) Zt7 = , (n + r)! n=r

Z6 =

X n

1

n X i=1

Zt10 (a) =

X n

Zt(i) i!

X Z(n) , (n + 1)! n

∞ X Z(n) Z7 = , (n + r)! n=r

∞ X Zt(n) Zt8 = , (n − r)! n=r

Zt9 =

¥8

,

∞ X Z(n) Z8 = , (n − r)! n=r

Z9 =

X n

1

n X i=1

1

Z(i) i!

,

X 1 p p , Z10 (a) = , a a (Zt(n)) · Zt(n)! Z(n)! n (Zt(n)) · X 1 p Zt11 (a) = , a · (Zt(n)) (Zt(n) + 1)! n X 1 p Z11 (a) = . a (Z(n) + 1)! n (Zt(n)) ·

X Y 8.35: Ü × n ≥ 1, d  Ž ÞÝcgä Zt(n)ßáàlâäãc6dåsæ é Nëênè ä . mcoáìráIDärN ä«ç 0.1243549107585 · · · N>Êáè ärr í ESmarandache-totient îä . XY 8.36: É7ÊQiÄ X (−1) · Zt(k) i X(−1) · Z(k) ∞

E~

E~

∞

(−1)

k

n=1

k

(−1)

n=1

.

XY

8.37:

É7Ê ∞ Y

1 Zt(n) n=1

i

∞ Y

1 Z(n) n=1

.

101

Smarandache

XY

1 E ~ , ¦l§ S = X a(k) , Z(k), Zt(k) g ä@à , eðLñò ä F NO5N ä . XY 8.39: NO8¾¿óDô
 ä m, n, kõR

æ
ö

ïÉ

Ë Ì7͸7ÎÐÏÑ»
ÒÓ
Ô

8.38:

F = π 4S

a(k) = S(k),

k

Zt(m · n) = mk · Zt(n) .

îï ,  # Ì m = 1, á@Î Zt(1ç·è n) = Zt(n), ìQ9
:
; à _ x ðÌ . # Ì n = 1, á@Î Zt(m · 1)à = m , ÍZÑ ÒÍ Zt(m) = m, k = 1 Î , m Ö „ ðÌ . 9:; Ö= > »? Ì . XY 8.40: ÷ F Zt(n) = m, ¦l§ m5õR Zt(k) = n EøH¶5ED  ä k EIZä . ÅHÆg ä F Zt(n) E5ÕÖ , ïÉ : k

lim

E~ .X Y

m→∞

8.41:

NO8¾¿
 ä

m X F Zt(k)

k

k=1

m

k > 1, n > 1,

ù8ú54

Zt(n)k = k · Zt(n · k).

XY EDý Ù XYÕ

8.42:

ÅHÆ í ∞ X

1 Ztα (n) n=1

. 8.43:

û i ×Zä  ¦l§ αN2 × ôE"¹Lº ü|ä

Smarandache-totient

ÅHÆ*×Zä ∞ X xn+1 − xn

EDý Ù Õ . l ¦ § x N / 0 H ä ã ,þ

n=1

n

102

Zt(xn )

lim xn = ∞.

n→∞

£Ú¤ Û XY

8.44:

Smarandache-totient

ŽQÿ’ lim

NO
ý × I 
pE$ä îä XY 8.45: ” ‘754

n→∞

n X ln(Zt(k))

ln(k)

k=2

n

.

Zt(n)r + Zt(n)r−1 + · · · + Zt(n) = n Zt(n)r + Zt(n)r−1 + · · · + Zt(n) = k · n

XY



XY

8.46: 8.47:

¥8

ŽQ

Zt

” ‘754

m Y

mk

k=1

: j

e

ϕ(n)

k

!

i

m X

r, k ∈ N,

Zt(mk )

k=1

adbQE ÇHÈ

r, k ≥ 2. .

− Zt(n) = 0.

:;  à „ ðÌ

1 ≤ n ≤ 5000 ,

r ∈ N, r ≥ 2.

n = 2,

ÝðÌ =  „

?

103

Smarandache

 



Ë Ì7͸7ÎÐÏÑ»
ÒÓ
Ô Smarandache 

  ,  Û Smarandache ¥8 ¸"!$# %'& 9.1 Üh¹ º)(+*', n, í Smarandache -., ú X k 465 n*87 9 Á 9:(*$, m.

9.1

m

Z(n)

/1032hù

k=1

9.2 9.2.1

;

H

Smarandache <>=?A@CBEDGF

IKJ>LKMON1P'Q ܹLºS(*$, n, T$U
V í Smarandache -W,

Smarandache

% R 9.2.1 Z(n) ≥ 1. X.Y :
Z [8\S]
^K_ `W!$#a
bc d . ef d : h g
ij n = 1 , k Z(n) = 1. %R 9.2.2
Ü l8mS(*$, n, Z(n) < n ø
n5æ
ö . X.Y : op : Z(2) = 3, Z(4) = 7, Z(8) = 15. %R 9.2.3
Ü l8m$q$, p ≥ 3, Z(p) = p − 1. XrY : s Z(p) = m, tvu m xwyxz . `|{ X k = m(m + 1) , }~ 2 !$#
^ m $€
 m(m + 1) p| 2 ‚6ƒx„ wSyz . …† , p ‡!Syjˆ m‰
Š m + 1, €
 ‹Œ ‚6ƒx„Ž‚ z p = m + 1‰ Š p − 1 = m, g p 6= 2. 
 , ‘ p = 2, $k Z(2) = 3. %jR 9.2.4 Ü.lvmŽqŽ, p ≥ 3’ k ∈ N, TŽU.V Z(p ) = p − 1. “ p = 2 ” , •"V Z(2 ) = 2 − 1. m

k=1

k

k

104

k+1

k

–—
˜ ™

Smarandache

šhz

X Y : s Z(p ) = m, tKu m ›[8w$y z . `W{ X k = m(m + 1) ,  2 }~x!$#
^ m $€
 m(m + 1) p | 2 ‚6ƒx„ wSyz . …Ž† , p ‡.!xyœˆ m‰ m + 1, €j‹ŽŒŽ ‚$ƒr„v‚ z. p = m + g 1 ‰ p − 1 = m, p 6= 2. 
 , ‘ p = 2, $k Z(2) = 3. %R 9.2.5 
l8m"ž, n, T$U
V Z(n) = max{Z(m), ŸK  m|n}. X.Y : ¡ ¢ n $£z , ¤. S\S]j¥S¦ : Z(n) ≥ max{Z(m), tru m|n}. s Z(n) = p, Z(m) = q, tru m|n. ¢ q > p, {
$k m

k

k=1

k

k

k

k

n|

§R

p(p + 1) q(q + 1) , m| . 2 2

¨ ø ©Sª9 , þ Z(m+n) ø
n«8¬ Z(n)+Z(m). ¨ ø©­j9 þ Z(m · n) ø
n«8¬ Z(n) · Z(m). X Y : op : . (1) Z(n) ,

9.2.6 (2) Z(n)

Z(2 + 3) = Z(5) = 4 6= 5 = Z(3) + Z(2),

§R

Z(2 · 3) = Z(6) = 3 6= 2 · 3 = Z(2) · Z(3).

ÿr®

n X

1 Z(k)

¯° . X Y : . ± ²$³ , }~.šhz Z(n) ‚ !$#

k 9.2.7

n X k=1

´
µ ¶ 

,

lim

n→∞

k=1

n X X X 1 1 1 1 > = > . Z(k) p=3 Z(p) p−1 p 3≤p≤n

‚ . 6º ¤ p ·
¸
¹

X1 p

,

n X k=1

1 Z(k)

3≤p≤n

»
·
¸
¹

‚

.

105

¼$½x¾ ‚x¿ÁÀ
 tÃÄÅ

Smarandache

§R

Ær®

n X Z(k)

¯° . X Y : . ± ²$³ , }~.šhz Z(n) ‚ !$#

k 9.2.8

n X Z(k) k=1

k

lim

n→∞

>

k

k=1

n X Z(p) p=3

p

X p−1 X 1 > . p p

=

3≤p≤n

3≤p≤n

‚ . 6º ¤ , X Z(k) ‚ . `Á{ ·
¸
¹ k »
·
¸
¹ §R 9.2.9 
l8m m ≥ 1, Ç ÈŽÉ$Ê n ≥ 1, Ë
Ì Z(n) = m. 9.2.2 Í)Î3H Smarandache IKJ>LvÏOÐ  , œ!.#K‡.[Kà ‚ÑKÒ šxz U(n)prÓ : U(1) = 1. Ô ‚:ÕÖ × º:z
ؽ ÙŽÚ , !$# : g 1 n = p p ···p ¦ n n

X 1 p 3≤p≤n

α1 α2 1 2

k=1

n >

αs s

U(n) = max{α1 p1 , α2 p2 , · · · , αs ps }.

Z
[.Þ šhz„$k. ß.ڂhà»$Û
á+Ü âÁ¦‚


^ Ýjšhz . ·ãä
åæ
 çèé8ê$çë

Smarandache

Z(n) = U(n)

Z(n) + 1 = U(n)

‚ µ x ‚ ^½ì , í îcï|Zð[ k wSyz½ , ñòó ô »õ·$ör÷ ï ‚  ç ë Ó
ø : §R 9.2.10 
l8mS(*$, n > 1 $ù -W,Žú"û Z(n) = U(n)

üý ÿ“ þ
'“ n = p · m, ŸK  p 2Sq$,œù m 2 p + 1 96l8m$¬ 1 9ÿ, . 2   ¨ m | p + 1 þ m > 1. 2 XœY : ±.²x³ , Ô n = 1 Ú , Z(n) = U(n) = 1  . Ô n = 2, g …† n .€r ç8ë 3, 4, 5 Ú , Z(n) = U(n). { œ ¡ ! n ≥ 6 €r ç çë · 106

–—
˜ ™

šhz ‚ՎÖ× ºzj؎½Ù , í Z(n) = U(n), ¢ n = p p · · · p ¦ n së U(n) = U (p ) = αp.‚ { · `šz Z(n) U(n) ‚ !
# ^x αp · ƒŽ„.‚ wSyz
c n€
Ó
ø j y ˆÙ : Smarandache

α1 α2 1 2

αs s

α

 
  öK÷ 

n|

αp(αp + 1) , 2

(9-1)

pα | n.

Ùu

α = 1.

pα |

αp(αp + 1) . 2

(9-1)

±x²³p

α > 1,

œ`

pα | n



(9-2)

`….†{ (p, αp + 1) = 1, ‚ µ _r`"³Ù  p | α. Ô p ¦  × z Ú  (9-2) Ù

.^ , º8¦8¤'Ú p 4 ×>5 α,  p | αµ   . Ô p = ·  2Ú , α = 2. Z Ú (9-2) Ù r¦ 4 | = 10,   ! _ (9-1)Ù 2 × g u ‡K!jk α = 1 p ¦ z . ¤OÚx…^K ¢ n = p · m. 1` (9-1) Ù^ † p(p + 1) p+1 p·m | = p − 1, , ¥ 2 õ· m | 2 . m 6= 1. 
 pn+=1p,‚"Z(p) ! f$# { 1 ‚ U(p) = p  Z(n) = U(n)  ! rÔ n = p · m, m ¦ 2  n > 1g º:zjÚ , Z(n) = p, U(n) =g
p,i µ _|‡!Sk Z(n) =p +U(n).  % €
 'çë Z(n) = U(n) ‚Ô Ô n = p · m, m ¦ 2 1 ‚&! f# { 1 ‚ º:z . { · ïh!
( 9.2.10 ör÷ . §R 9.2.11 
l8mS(*$, n ù$-W,Žú"û α−1

α−1

üý “ÿþ
'“ ¨

m|

p−1 . 2

α−1

Z(n) + 1 = U(n) n = p · m,

ŸK  p 2 Sq$,œù m 2

p−1 2

96l8mS(ÿ, .  

XrY : …† n = 1
€  Z(n) + 1 = U(n). { € ç
ë Z(n) + 1 = U(n), í$çs ë U(n) = U (p ) =‚ αp. { · U(n) ^
c Z(n) = αp − 1. )v`hšhz Z(n) U(n) !$#
^ (

α

`|{

n|

αp(αp − 1) , 2

µ _8` ‚ Ø*+  ,  ë

(p, αp − 1) = 1, 9.2.10

pα | n.

8¢ n > 2g ·  ` Z(n) + 1 = (9-3)

Ùg $  × p µ | α. % ãä öv÷ ! ¦
 z . |_ ^ ¢ n = p · m. )

(9-3) α=1 p

α−1

107

Smarandache

¼$½x¾ ‚x¿ÁÀ
 tÃÄÅ

 m | p − 1 . rÔ n = p · m, m ¦ p − 1 ‚"! f wºz $ Ù 

, ã Ú ,ä -$.0/ n€
 Z(n)2 + 1 = U(n). µ _ Z(n)2 + 1 = U(n)  Ô g
i1 Ô nµ ö =2 p ·…xm,† çmë ¦ p‚ −2 1 ‚&! f wŽº:z . { ç· ë ' ïh!
( ‚  ör÷ . ³ ‚ , ¿$xÀ  !($3 48½.¾Kï çxë Z(n) = U(n) Z(n) + 1 = U(n) ^½Kì . ï
ZKð[ çAë @Ck6B 57988[œw.y ‚  » K õ . · + ö ÷ zK½ , ír vï :r;K[v½ ñKò9<œÙ ! =?> [1, 100] u , ç Z(n) = U(n) k 9 [
½ , :$Ø> n = 1, 6, 14, 15, 22, 28, 33, 66, 91. D@EB ·[1, 50] u8k 19[ ½ , :v)Ø?> n = ë Z(n) + 1 = U(n) çœë · (9-3)

3, 5, 7, 10, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 26, 29, 31, 34, 37, 39, 41, 43, 47.

F G)H Smarandache IKJ>LEHIKJML A N$O [9] u , Kenichiro KashiharaPQx] 2 ï š$z Z(n) ‚ ‡$R åŽæ ìS , TSÚ » U
ï6Ó
ø
ð[ ¿Á‚ À6µ V (A). W Z(n) = S(n) kxµ wSyz½ ; ‚  ç ë (B). W Þ „ßKç‚Së à Z(n) á â6‚+ 1 = S(n) kxwSyz½ .(A) (B) ‚ ^ ½8ì , í îcï|Zð[ çë ‚ µ kx· wSã yäxzå8½ æx, ç ñè òé.ó êô ç »ëõ·$ör÷ ï6Ó
ø ‚V §R 9.2.12 
l8mS(*$, n > 1, -W,Žú"û

9.2.3

Z(n) = S(n)

üxý “Áþ3“ n = p · m, Ÿœ  p 2q
, , m 2 p + 1 9hljmM
¬ 1 9MÁ, . 2   ¨ m | p + 1 þ m > 1. XY : ±x2²³.Ô n = 1 Ú , Z(n) = S(n)  . Ô n = 2, 3, 4, 5 Ú , … † €x ç
ë ¡j! n ≥ 6g €x Z(n) = S(n). { Z(n) = S(n),  ‚ ç ë · ç ë

8¢ Z(n) = S(n)‚ = k. `šz Z(n) S(n) !
# ^x k · ƒŽ„.‚ wy z
c n€
Ó
ø ð[
yjˆÙ : n|

k(k + 1) , 2

n | k!.

(9-4)

     (9-4) Ù.u k +1 ^ ¦ × z . ± ²$³
p k +1 ¦ × z , ö ÷ r x¢ k + 1 = p, { ·  n | p(p 2− 1) uÔ (n, p) = 1 Ú ,   n | p −2 1 . 108

–—
˜ ™

Smarandache

šhz

Z k = p − 1 ¦ ƒœ„)‚ wjyKz6 c n | k(k 2+ 1)  ! Ô (n, p) > 1 Ú , `|‚ { p ¦ × z , µ _  µ p | n. ) ` { n | k!
c d p|k!. Z · ^  , º¦ p =× k + 1, _ p ^ "y  ˆ (p − 1)!. % ör÷  ï (9-4) Ù.u k + 1 ^ ¦ z × . tX  öœ÷ (9-4) ÙKuÔ k ¦xzrÚ k ‡8!8¦ z . ±Ž²³r‚ Ô k ¦ z.Ú k +2 1 ¦Sy z , ‘ k ¦S£ z , jÔ k ^v_|Ø
½ ð
[$ 6T|y  z ÝY ,

x¢ k = a · b Z a > 1, b > 1g a 6= b. { · e f d k, k +2 1 = 1, ,  k = a · b | (k − 1)!, k + 1 | (k − 1)! k(k + 1) | (k − 1)!. )v`Á{ ny 2 2  x ƒ „Ž‚ wSyz
c n|k! 
 . k(k + 1) ˆ 2 g  × n|(k − 1)!. Z$ k Ô k ¦S£ z ¦S›x‡ z ‚ ç [ Ú „ , ¢ k = g ·p g α ≥ 2. `W{ k ¦
zZ µ \ { k − 1 ;[xz$]
yˆ (k − 1)!, { ···, p _ p ≥ 3, % p, 2p, `_ n|(k − 1)!. Z  k ‚0ab  ! µ _SÔ k ·¦ + 1) ^ † ` ny.ˆ k(k v ^ _ 
zjÚ"‡ a ¦ 2 × z ! \ £ _.³+ðdcAeDfAgdh i_ Ô k ¦E3z …Úv k k = p, ¤ Ú ny † ˆ p! ny'ˆ p(p 2+ 1) . j · Ô ny'ˆ p +2 1 Ú , k S(n) < p; Ô n = µ _0gh.^O_S¢ n = p · m, t'u m p + 1 ‚
! ‡ # p Ú Z(n) 6= S(n). · 2 { 1 ‚ Mº: z . # { 1 ‚ º
z Ú , p + 1 ‚!  g h Ô n = p · m, tOu m ‡ ÷ ±.²x³8¤œÚ …8† k · S(pm) 2 ‡ a k Z(n) =öOS(n). = S(p) = p. º¦ m yOˆ X i = p(p 2− 1) , K9 myOˆ p +2 1  ! µ _ Z(pm) = p, % Z(pm) = S(pm). ƒ k , gh  m z k xc Z(n) = S(n) = k. gh n 

l o öœ. ¡ ÷ a l $m z k = 2m c Z(n) = S(n) = k =ä 2m,öxè 8 Z 8 ‡  \ ] öv÷ `p $š$z ‚ Z(n) S(n) ‚ab ^Ž nyK× ˆ k(k 2+ 1) = m(2m + 1) (2m)!. ` ø ØM*.^ 2m + 1 j^9j¦ z , .œÔ (n, 2m + 1) = 1 Ú , ny ˆ X i = m(2m − 1), … † Z 2m · ƒj„‚ w
y8z$xc nyrˆ m(2m + × z ‚ ìS$  _ p = 2m + 1 | n, % 1)  ! Ô (n, 2m + 1) > 1 Ú , ` % n' y ˆ

p−2 X i=1

i =

(p − 1)(p − 2) . 2

α

α−1

p−1

i=1

2m−1

i=1

109

¼$½x¾ ‚x¿ÁÀ
 tÃÄÅ )O` n | (2m)!c.d p = 2m + 1|(2m)!, $ 9! _ µ _ 2m + 1 8^68¦ × ¦$£xz ,  -. × n | (2m − 1)!,  2m · ƒz ,„'T&‚ qxw.^œyv_ z`övK÷ mc n ^| (2m)!  ! %6 m ¦ z p, k = 2p. { · ‚&!^  c n | p(2p + 1)! n|(2p)! Z S(n) = Z(n)! f = 2p. j · Ô næ { p(2p + 1) ‚ ‡.ºhz.Ú0' ] ·
a ^ ! »
‚ õ · ôr k | p(2p + 1),
^k S(k) = 2p. { ·§R ï ( 9.2.12 ör÷ . 9.2.13 
l8mtsu
v n ù
wxvŽú"û Smarandache

¨

üjý “6þ$1“ m|

p−1 2 .

Z(n) + 1 = S(n) n = p · m,

Ÿ'  p y  q$v

, m

y

p−1 2

9Slrm?&v

.



z{ , Z|}~ _ # + . ¡ a w XY :  a ( 9.2.12 ‚ öK÷:ç
è ë $` š + 1 = S(n), íx¢ Z(n) + 1 = S(n) = k. { yŽz n€8  çxë ‚"Z(n) · z Z(n) S(n) a
b
, 6_ k · ƒx„Ž‚ wSyz
c n|

k(k − 1) , 2

n | k!.

(9-5)

…† (9-5) Ù.u$Ô k t¦ 
zjÚ"‡ a ¦ × z ! 
^ 6_ n | (k − 1)!,  k ƒ „‚
w y8z$xc n | k!  × z . ))` n | p(p − 1) í· e   . º"¤ k = p ¦‡ f S  p − 1  < p, $ 9_ n = p · m, m ¦ p − 1 ‚ ! ‡xw.º"z 2. -.
/ 2 2 p − 1 ‚&! p · m, m ¦ ‡wŽº:zjÚ , n€
 çë a Z(n)× + 1 = S(n). ö Ô nÔ =(9-5) 2 m Ù. u k = 2m ¦ zjÚ , k − 1 = 2m − 1 ‡ µ ¦ z , %
^ ‚  = 2m.

l Zq g w$i y z nc Z(n) + 1 = S(n) _ ç
ë Z(n)' + 1 = p − 1 ‚ ! S(n) rÔ ‡xw.º"z . { · Kï a ( 9.2.13 ‚ Ô . n = p · m, tvu m ¦ 2 …O† gAör h ÷ ‚a (A3€43½ ¾ ï ¿jÀ (A)_  (B). »3õ ·'ö ‚÷ ïrZ ðO[ ç3ë ]'k€ 5 7‚ 8œ[ w'y zO½ , íd~ ï`:dhD;3[3½ ñ3ò ƒ  ‚ @ B <+Ù ! => [1, 100] u , Z(n) = S(n) k 9 [+½ , :dh Ø ¿ŽÀ (B), …O† 3 ç ë > · n = 1, 6, 14, 15,K22, 28, 33, 66, 91. r { @B [1, 50] uvk 19[ ½ , :Ah1؁> n = Z(n) + 1 = S(n) ç+ë ·

3, 5, 7, 10, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 26, 29, 31, 34, 37, 39, 41, 43, 47. 110

–—
˜ ™

Smarandache

šhz

FAG)H Smarandache IKJ>L`„A… † { ™ Smarandache šz Z(n)ì S ‚ ‡ †ˆ c ï
‰xÄjÅ , j ^ † l  ‰ ¿ÁÀ ! ¦Žï‹Š {$kŒ
 ‚&Ž érŠê ’
Ä ‡“ é8ê , Z ·|gh”•
‡R8šhz Z(n)k †r¿ÁÀ p
Ó V NO [9] u , Kenichiro KashiharaPQ–—gh é8ê

9.2.4

a). |Z(n + 1) − Z(n)|, Z(n + 1) b). Z(n) . , . 9.2.1 k h (h, k) = 1, , n = 0, 1, 2, 3, · · · . : Dirichlet , [7].

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½x¾SZ
[ ¿ÁÀ ¥ gh™ ‚ · Þ$ k
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v þ õ· 6öržÁ÷ È$Ÿ0v nk+h   Ç È  a ( ¥ NO X.¡Y ¢SÊ$Z q
v £¤.ŸK‚   §R 9.2.14· ¦§ ¨6l8mtsu
v M , V$ ¡¢SÊtsu
v n © ¦ Z(n + 1) >M Z(n)

œ

|Z(n + 1) − Z(n)| > M.

ÿ` ¤^ , |Z(n + 1) − Z(n)| ’ Z(nZ(n)+ 1) · 5˜ ‚ . a ( . ±x²³ , r ! f w$y z M , g ª ( o XY :  gh h ˆ m€8 2 > M. ã
« eŽä f d 2 öK÷ , 2 + 1
= 1, º¤Ž}x~ Dirichlet a ( , gh.¥hc d : z 2 k + 2 + 1, tru k = 0, 1, 2, · · · u‹l  5$78"a [ ×  z . {× · , ‡ l ‚"‡$a
[xb wSyz k €
 2 k + 2 + 1 = P · × z . r { z P , }~ Z(n) k 2m+1

m

2m+1

m

m

0

2m+1

0

m

Z(P ) = P − 1 = 22m+1 k0 + 2m ,

º¦

Z(P − 1) = Z(22m+1 k0 + 2m ) = Z(2m (2m+1 k0 + 1)). 2m+1 Xk0 i=1

2m+1 k0 (2m+1 k0 + 1) i= 2 111

Smarandache

’

m

2 (2

m+1

k0 + 2

m

) \ yjˆ

¼$½x¾ ‚x¿ÁÀ
 tÃÄÅ

2m+1 Xk0 i=1

i,

{ · k

Z(P − 1) ≤ 2m+1 k0 .

º6¤

22m+1 k0 + 2m Z(P ) > > 2m > M. Z(P − 1) 2m+1 k0

µ _ 5˜ T‹(
^
c Z(P ) Z(P −1)

.

|Z(P ) − Z(P − 1)| ≥ |Z(P )| − |Z(P − 1)|

≥ 22m+1 k0 + 2m − 2m+1 k0

= 2m+1 k0 (2m − 1) + 2m > 2m > M.

‚ .  5 ˜ ºS¦Sk5 7$8[8w$y
» z · m € 2 > M‚ , º:¤ » ' k5 7$a 8[8‚ w$y z n
€  |Z(n + 1) − Z(n)| ’ Z(nZ(n)+ 1) · 5˜ . Z õ ï ( ör÷ . º6¤

9.3

|Z(P ) − Z(P − 1)|

¬

m

Smarandache ­¯®±°K²±³µ´

§$¶ 9.2: Z (n) = Z(Z(n)), ·¸M¹ , Z (n) = Z(Z(· · · Z(n) · · · )), º» wxv Z ¼½`¾ k ¿ . À&Á 9.1: ¬" Ã¨0·Äuv k, m ∈ N, Å$Æ$©"¦júû Z (n) = m ¨0Ç0Èsu
vÉ . À Á 9.2: Æ8ú$û S(Z(n)) = Z(S(n)) ¨ÇÈ s uvÉ . ÊËÌjú û Í$¢ÎÈÈ®Êtsu
vÉ . À‹Á 9.3: ÏÐ ÑÒÓ&Ä
vÔ9Õt¨Ö× (1) Z(m + n) Ø Z(m), Z(n), (2) Z(mn) Ø Z(m), Z(n). À‹Á 9.4: ÙÆÑÒSú"û¨0Ç0Èsu
vÉ 2

k

k

(1) Z(n) = Z(n + 1),

112

–—
˜ ™ u Ú

Smarandache

(2) Z(n) Z(n + 1), (3) Z(n + 1) Z(n).

r {

‚&p 50Û Ü , g hÝÞS€


(2)

‚&ß

:

àá

Z(6)|Z(7), Z(22)|Z(23), Z(28)|Z(29), Z(30)|Z(31), Z(46)|Z(47).

ã

Z(10)|Z(9), Z(18)|Z(17), Z(26)|Z(25), Z(42)|Z(41), Z(50)|Z(49).

(3)

â ß

:

g hä ß$å Þ àá Z(n) = Z(n + 1) â"ætçè  À‹Á 9.5: ÙÆÑÒSú"û¨0Ç0Èsu
vÉ

,

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

u
v v

Z(n)

u Ú

šhz

ÀÎÁ

Z(n) + Z(n + 1) = Z(n + 2), Z(n) = Z(n + 1) + Z(n + 2), Z(n) · Z(n + 1) = Z(n + 2), Z(n) = Z(n + 1) · Z(n + 2), 2Z(n + 1) = Z(n) + Z(n + 2), Z(n + 1) · Z(n + 1) = Z(n) · Z(n + 2),

r¬"éêÂè"s$uv

9.6:

n.

ÎÀ Á 9.7: ¨0Ç0Èsu
v n, (2) ÙÆ©
¦ n.

rî

.

Z(n)

Ù Æ ©0¦

Z(n) = m

¨
Ç
È$s

ë ì  Z(n), Z(n + 1), Z(n + 2), Z(n + 3) ë í6¨ÇÈsu

(1)

â p

35

Ù Æ ©0¦

m,

Z(n), Z(n + 1), Z(n + 2), Z(n + 3)

ÛÜ ,  g h ßïð èñ

:

Z(6) = 3 < Z(7) = 6 < Z(8) = 15, Z(21) = 6 < Z(22) = 11 < Z(23) = 22,

ßïò èñ

Z(30) = 15 < Z(31) = 30 < Z(32) = 63. : Z(8) = 15 > Z(9) = 8 > Z(10) = 4, 113

Smarandache

¼$½x¾â ¿ÁÀ
Âó ÃÄÅ

Z(13) = 12 > Z(14) = 7 > Z(15) = 5,

À`Á

Z(16) = 31 > Z(17) = 16 > Z(18) = 8.

¨9ôµõöE÷iø9ùKúù.DÈüû ný n = þtÿ
¬ ·û ný n = 2 , È Z(n) = 
È

Z(n) ¨ Î ô  ù  Â  Îô w6v

9.8: Z(n) √ m(m + 1) , Z(n) = m < 2n. 2 2α+1 − 1 = 2n − 1.

È

X

n≤x

Z(n),

X

n≤x

α

ln(Z(n)),

1 Z(n) n≤x X

¨"·Ê . À‹Á 9.9: Æú"û Z(n) = φ(n) ¨0Ç0Èsu
vÉ ,  φ(n) y Euler w v . º ·vþ ú8û6È ¢jÊs`uMv9É , ý n y!Mvº p "
6©$¦)ú8û . 4) " , n #M©0¦ ̎úSû . Ú9¾ û%$'&É)(vù+*-, .  n)È = 2p/ spu
≡v1(mod É *$·0Ê  1 ¨ 243 . Ê$ËtÌxú"û 50È n = 1 67'8%9MÓ : É .

114

;<%= > %R ?Mâ A B D EGFCH I C LNMPORQ

10.1

[]\

10.1:

Smarandache

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Smarandache J

K

Smarandache SUTVQWOYXZ

6 1 `^ _%ab

Smarandache

c%d0a!e`f-g

111, 1221, 13331, 144441, 1555551, 16666661, 177777771,

+h i @ñ-jlk%mn n op'qr's n t%qu%k-jvw%xzy'{| 1. i'} @ ~'€%‚!ƒ)„'k†…l‡!ˆ'‰!Š‹ > ‚ k)Œ)Ž!ƒ n + 2.  z‘’ n + 2 ƒ >“%” k ,   ; n‚•–%ƒ >“ „zk . 3 []\ 10.2: 6 n ^`_%ab Smarandache c%d0a!e%—˜lf-g 1888888881, 19999999991, 1101010101010101010101, · · ·

2

2

n1n, n22n, n333n, n4444n, n55555n, n666666n,

™›š nƒ œ'ž ” k . Ÿ]  ¡ @ ~-j¢%‚ . []\ 10.3: Smarandache £]¤%¥'¦§%f%f-g

n7777777n, n88888888n, · · ·

1, 21, 123, 4321, 12345, 654321, 1234567,

v'”¨ h 1 o%p'u'©'k‚ ƒª%« ” k . w¨ h 1 o%p q%u'¬'k‚ ƒª%« jl­z@®%¯ “k . š °z±'²@³ ®%~ ¯ !“ @€~%„zš]´k›n… ‚% n“ k . µl¶·+¸¹%º ‰%‹ > ‚»¼'k%Œz%Ž'ƒ m(m + 1) . 2 []\ 10.4: Smarandache £]¤%¥'¦§%f)½azf-g (SACRP ) 87654321, 123456789, 10987654321, 1234567891011, · · ·

2, 32, 235, 7532, 235711, 13117532, 2357111317, 115

Smarandache

¾¿)À!j)ÁÂ%à ™ ?zÄÅ

lh i @ ~)©)k'‚)v)y h 2 op)u ƒ'ª«-„'k . ¬)k'‚!Æ)ƒ'ª«
„'k Ç ƒz­z@j , wzy h 2 op . ®%¯ “ @~ š !€%„zk ? °± ²%³ >È ‚j0»%¼ k'Œ'Ž)ƒ'„k . -€z%‚ ƒ'„k'u)É ± j »¼'k%°z±)Œz%¸Ž'¹ Æ%º ƒ%„zk ? ®%¯ È @”~ š |'ƒ%„zÊk ”ƒ%ËzÌ%„zk%Íu%Îz»‚ ,¼'Ëzk%Ì%Œzύ%ÎzŽ'‚ Æ%. ƒ%„zk . []\ 10.5: Smarandache £]¤%¥'¦§%f Fibonaccif-g 1917117532, 23571113171923, · · ·

1, 11, 112, 3211, 11235, 853211, 11235813,

ÐÑ []\

2113853211, 112358132134, · · ·

jÒ , ¯ “'Ó
Ô0ÕÖ
× ? Smarandache ØÙ)Ú'Û`f-g .

a(n) n→∞ a(n + 1) lim

10.6:

1, 4, 9, 36, 81, 100, 121, 144, 169, 196,

°z± '‡ ˆ º ‰ h+i ÍÎz@~-jl‹ > ‚jl»¼'k%Œz%ŽÜ ¶ ƒ “ ÍÎ%k ¯ “ %k ~z%Ý)Þ'€0‚ × ? []\ 10.7: Smarandache ØÙ)ß'Û`f-g . 225, 324, 400, 441, 484, 529, 900, 961, · · ·

°z± '‡ ˆ º ‰ h+i ÍÎz@~-jl‹ > ‚jl»¼'k%Œz%ŽÜ ¶ ƒ “ ÏÎ%k ¯ “ %k ~z%Ý)Þ'€0‚ × ? ÐÑ%%à ázâ'ã j >äåæ jÒ :

.

1, 8, 125, 512, 1000, 1331, 8000, 19683, 35937, · · ·

a(1) +

™çš @~ 116

a(n) .

ƒ

Smarandache

b(1) a(2) +

.

b(2) a(3)+

º |'Í)Î@)~

b(3) b(4) a(5)+···

a(4)+

, b(n)

.

ƒ

Smarandache

º |'Ï)Î

[]\

´è = z> È ? j Smarandache@~ Smarandache ØzéÚ'Û`f-g .

10.8:

°z± '‡ ˆ º ‰ h+i @~-jl‹ > ‚jl»¼'k%Œz%êÜ ¶ ƒ “ Í Î%k ¯ “ %k ~z%Ý)Þ'€0‚ × ? ®%¯ “ @~ š !€‚'ƒ º |%ÍÎ%k ? []\ 10.9: Smarandache Øzé Fibonacci a
g . 1, 4, 9, 49, 144, 289, · · ·

°z± '‡ ˆ º ‰ h+i @~-jl‹ > ‚jl»¼'k%Œz%êÜ ¶ ƒ “ ¯ “ %k ~z%Ý)Þ'€0‚ × ? ¯ “ k%~z!€‚'ƒ%„zk ? []\ 10.10: ë%ìa
g . 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, · · ·

.

k

Fibonacci .

z> ä ¸z¹ : í m , m ƒ%k~jlî'x%‚ , ï µ k ≥ 3 ð , m ñ'ò î'x “ º hù m , m ”
ú . –ó+û ‚üjl¯ôzê  j ) õ  ö ÷ . k ≥ 3 jø%%‚'{ “ @~-jlýzþ . []\ 10.11: Smarandache Øzéa
g . 2, 3, 6, 12, 18, 24, 36, 48, 54, · · · 1

2

k

1

2

1, 24, 369, 481216, 510152025, 61218243036,

+h i @~ ´ n‚'ƒ · h à k'qÿ º ‰ ¯ “
~z!€‚'ƒ%„zk ? ÐÑ lim X a(k + 1) jÒ .

7142128354249, 816243240485664

[]\

k→∞

k

10.12:

n, 2 · n, 3 · n, · · · n · n.

a(k)

Smarandache

 −  lazf-g

.

1, 21, 213, 4213, 42135, 642135, 6421357, 86421357, 10864213579, 1086421357911, 121086421357911, · · · . 117

¾ ¿)À!j)ÁÂ%à ™  ÄÅ ¯ “
~n 1 op , zv%¨%| ¶ k , ¶  wz¨%| . ¯ “
~n 1 o ¶ k , ¶  wz¨%| . , zv%¨%| ¯ “
~ ´ n ‚% n “ k%u ¯ n “ k-jŽ ñò n(n + 1) . ‡'Ÿˆ  ]¯¯ “È ‚j
k% Œ  %k%~ 1, 1, 3, 3, 5, 5, ,2 7, , 9, · · · .  ¸ ¯ “ k%k%~z~-!j¢%€‚a(n). ‚'ƒ%„zk ? º ± ‡j ˆ 
‰k! Œ òñ
nò =5 u (2  · k±+
1)¸ · –!5Ž ƒ n =“ (2„ ·k k .+ !1)u!· 5»)+¼-1k!j‚Œ a(n), !Ž “ “ ¯ ´   ¸  3 j kjz‚›Æ –-š ƒ ¶ „
k , Æ
• ƒ  ò k-~ n ‚ › ™ n · (n + 1) = 3 · m, m ƒ k . 2 []\ 10.13: Smarandache  − lazf-g . Smarandache

p





ƒ

1, 12, 312, 3124, 53124, 531246, 7531246, 75312468,

¯
“ ~ n 1 op , %wz¨%| ¶ k , ¶  v%¨%| . ¯ “
~ ´ n %‚  n “ k%u ¯ n “ k-jŽ ñò n(n + 1) . ‡´  ˆ ¯ È ‚!j ")k'Œ# 'k'~ 2, 2, 4, 4, 6, 6,2, 8, , 0, · · · u#$  Ð‚Ñ ñ% ò 1.¯ “
â åæ â & æ ~-j Ž jÒ . ò []\ 10.14: Smarandache  −½azf-g . 975312468, 97531246810, · · · .

2, 32, 325, 7325, 732511, 13732511, 1373251117, 191373251117,

¯
“ ~ n%„zk 2 op , zv%¨%|'„zk , ¶  wz¨%|ª«›j`„zk ´ n‚jl»¼'k%Œz%Ž"' ñò n . ¯ “ k%~ š !€‚'ƒ%„zk ? 2 · ln(n) ¯ “ k%~z!€‚'ƒ º |'„zk ? []\ 10.15: Smarandache  −z½azf-g . 19137325111723, 2919137325111723, · · · . 2

118

.

´è
(  È  j

~

Smarandache

2, 23, 523, 5237, 115237, 11523713, 1711523713, 171152371319,

¯
“ ~ n%„zk 2 op , %wz¨%|'„zk , ¶  v%¨%|ª«›j`„zk . ¯ “ k%~ š ! €‚'ƒ%„zk ? í a(n)Ѓ Ñ%Smarandache v −w „zä k â å~ æ , b(n)ƒ Smarandache w −v % à á „zk ~ . Smarandache jÒ : 23171152371319, 2317115237131929, · · · .

a(1) +

[]\

b(1) a(2) +

10.16: Smarandache a(n) n ≥ 1 . :

h à 'kí qÿ
ƒ 


jœ ~ 

b(2)

.

b(3) a(3)+ b(4) a(4)+ a(5)+···

  −  —˜lf-g

. Smarandache

v − w ) ¹ ~ƒ ·

a(1), a(1)a(2), a(3)a(1)a(2), a(3)a(1)a(2)a(4), a(5)a(3)a(1)a(2)a(4), · · ·

¯
“ ~ ú#* a(1)+z!€‚ , ò %k ~ a(n)? []\ 10.17: Smarandache  −'— ˜lf-g .  Smarandache w −
v ) ¹ ~ƒ · í a(n) ƒ n ≥ 1 jœ ~ .  h à k'q
ÿ 
 :

a(1), a(2)a(1), a(2)a(1)a(3), a(4)a(2)a(1)a(3), a(4)a(2)a(1)a(3)a(5), · · ·

¯
“ ~ ú#* a(1)+z!€‚ , ò k%~ []\ 10.18: '¥ ¦f-g .

a(n)?

1, 12, 123, 1234, 12345, 123456, 1234567, 12345678, 123456789,

¯
“ ~ š !€ “ „zk

12345678910, 1234567891011, 123456789101112, 12345678910111213, · · · . ? 119

[]\

Smarandache 10.19:

-/.f-g

¾¿)À!j)ÁÂ%à ™  Ä Å

.

1, 12, 21, 123, 231, 312, 1234, 2341, 3412, 4123, 12345, 23451, 34512, 45123, 1234, 123456, 234561, 45612,

¯ “
~ š ! € “ „zk ? []\ 10.20: 0"1f-g .

456123, 561234, 612345, 1234567, 2345671, 3456712 · · · .

1, 11, 121, 1221, 12321, 123321, 1234321, 2344321, 123454321, 1234554321, 12345654321, 123456654321, 1234567654321, 12345677654321, 123456787654321, 1234567887654321, 12345678987654321, 123456789987654321, 12345678910987654321, 234567891010987654321,

¯
“ ~ š !€ “ „zk ? []\ 10.21: c%d`f-g .

123456789101110987654321, 2345678910111110987654321, · · · .

12, 1342, 135642, 13578642, 13579108642, 135791112108642, 1357911131412108642, 13579111315161412108642, 135791113151718161412108642,

¯
“ ~ š ƒ%ÊËzÌ
2k ? °z±
3
4657  []\ 10.22: ß'Ûëa
g .

1357911131517192018161412108642, · · · !

2, 9, 217, 13825, 1728001, 373248001, 128024064001, 65548320768001, · · · 120

´è
(  È  j Smarandache ~ ™›š c ƒ ´ k “ Ï Î%k . C = 1 + c c ···c , ¯ “
~ š !€ “ „zk ? []\ 10.23: 8léëa
g . n

1 2

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k

2, 3, 13, 289, 34561, 24883201, 125411328001,

™›š f ƒ ´ k /“ 9 %ô k ¯
“ ~ š !€ “ „zk ? []\ 10.24: a
g'b;:)g . a) < = >%k%~ .

5056584744960001, · · ·

Fn = 1 + f1 f2 · · · fn ,

k

.

1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

b)

< ? >%k%~

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, · · · .

1, 2, 1, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 1, 5, 4, 3, 2, 1, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, · · ·

c)

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.

1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, · · ·

d)

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@ A
>%k%~

.

5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6 · · ·

e)

< =

B >%k%~

.

1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 5, 4, 3, 2, 1, · · · 121

Smarandache f)

< ?

B >%k%~

¾¿)À!j)ÁÂ%à ™  Ä Å

.

1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, · · ·

g)

C D
>%k%~

.

1, 2, 1, 3, 4, 2, 1, 3, 5, 6, 4, 2, 1, 3, 5, 7, 8, 6, 4, 2,

E F +h i ‹  “ %k ~-j¢ æ . []\ 10.25: G HIla
g .

1, 3, 5, 7, 9, 8, 6, 4, 2, 1, 3, 5, 7, 9, 10, 8, 6, 4, 2, · · ·

1, 22, 333, 4444, 55555, 666666, 7777777, 88888888, 999999999, 10101010101010101010, 1111111111111111111111, 121212121212121212121212, 13131313131313131313131313,

û ü ¯ “
~-jlýzþ . []\ 10.26: G H%½a%a
g

1414141414141414141414141414, 51515151515151515151515151515, · · ·

.

2, 23, 235, 2357, 235711, 23571113, 2357111317,

û ü ¯ “
~-jlýzþ . []\ 10.27: §J G H%½a%a
g

235711131719, 23571113171923, · · ·

.

2, 32, 532, 7532, 117532, 13117532, 1713117532,

û ü ¯
“ ~ jlýzþ

191713117532, 23191713117532, · · ·

122

.

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10.28:

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(  È  j G H#K0a%a
g .

Smarandache

~

1, 13, 135, 1357, 13579, 1357911, 135791113,

û ü ¯ “
~-jlýzþ . []\ 10.29: G H Lza%a
g

13579111315, 1357911131517, · · ·

.

2, 24, 246, 2468, 246810, 24681012,

û ü ¯ “
~-jlýzþ . []\ 10.30: §J G H Lza%a
g

2468101214, 246810121416, · · ·

.

2, 42, 642, 8642, 108642, 12108642,

û ü ¯ “
~-jlýzþ . []\ 10.31: G HÚ'Û0a
g

1412108642, 161412108642, · · ·

.

1, 14, 149, 14916, 1491625, 149162536,

û ü ¯ “
~-jlýzþ . ¯ “
~ š !€ “ ËzÌ%ÍÎ%k ? []\ 10.32: §J G HÚ'Û0a
g .

14916253649, 1491625364964, · · ·

1, 41, 941, 16941, 2516941, 362516941,

û ü ¯ “
~-jlýzþ . ¯ “
~ š !€ “ ËzÌ%ÍÎ%k []\ 10.33: G Hß'Û0a
g .

49362516941, 6449362516941, · · · ?

123

Smarandache

¾¿)À!j)ÁÂ%à ™  Ä Å

1, 18, 1827, 182764, 182764125,

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~-jlýzþ . ¯
“ ~ š !€ “ ËzÌ%ÏÎ%k ? []\ 10.34: §J G Hß'Û0a
g .

182764125216, 182764125216343, · · ·

1, 81, 2781, 642781, 125642781,

û ü ¯ “
~-jlýzþ . ¯ “
~ š !€ “ ËzÌ%ÏÎ%k ? []\ 10.35: G H6MONOPQa
g .

216125642781, 343216125642781, · · ·

1, 11, 112, 1123, 11235, 112358, 11235813,

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~-jlýzþ . ¯ “
~ š "RTS% U%k × ? []\ 10.36: §J G H6MONOPQa
g

1123581321, 112358132134, · · ·

.

1, 11, 211, 3211, 53211, 853211, 13853211,

û ü ¯
“ ¯
“ ~ š "~ RTjlS%ýzþ .U%k × ? []\ 10.37: V W Smarandache PiercedX µ n ≥ 1 ð , c(n) = 101 × (10 + 10 Smarandache Pierced Z . î [z‚ Y :

2113853211, 342113853211, · · ·

4n−4

4n−8

. + · · · + 104 + 1)

101, 1010101, 10101010101, 101010101010101, 1010101010101010101, · · · · · · 124

¸%¹Y

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(  È  j Smarandache ~ û ü ¯ “
 ~-jlýzþ . ® ~ c(n) š  €› “ „çk ? Kashihara Kenichiro\^] ®^_ 101 ` [9] š ËzÌ%¿)À * ¯ “ Á , q u a6b * ® ~  c(n)  š 7 '„zk . 101 × µ n ≥ 2 ð , ~  c(n)  ƒÝ%Í Î cd> ~ °z± ? ” e f 10.37:  ò 101 n g
h 9 | n,  9 | c(n). i ¶ (101, 9) = 1, œc ¡ '9ž ”
ú k c(n) . 101 j
k 10.37: %Ý)Þ'€ “ ž ” k nl%‰ c(n) –%ƒÝ%Í Î ±cd¸)>%¹ k . 101 # ¸ s

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Ë  ” j atb . /° ± k-free k ” ¸ í’ k ≥ 2 ƒ u jž k .  ò  œ) ž °)k ± n > 1, B Y nƒ k-freek , ‘  ò œ!Y !„)k pg/h p|n,³  ® °zp
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n.x B s 2-freek i ¶ Ý Í!v Î c> k ¸ T 3-free k Ý%Ï Î cd>%k . a6b . y 

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104n−4 ≡ 1(mod 9), 104n−8 ≡ 1(mod 9), ······

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104n ≡ 1(mod 9).

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1 ≡ 1(mod 9). , c(n) = 104n−4 + 104n−8 + · · · + 104 + 1 ≡ n(mod 9). 101

°z± Ïz`‰'Š

c(n) ≡ 104n−4 + 104n−8 + · · · + 104 + 1 ≡ n ≡ 0(mod 9). 101

cd>%k

· ÝÍ'Î{c!>kj z¸ ¹ Ž ]h i %ý þ °%±'º ‰ µ .

9|n,

c(n) 101

–ƒzÝÍ'Î 125

Smarandache

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2, 4, 6, 10, 12, 4, 9, 22, 7, 10, 4, 10, 7, 46, 13,

û ü ¯
“ #ž 1: Ÿ'~ ½zjla ýzß)þ Û. 8]fg

29, 60, 66, 70, 18, 39, 82, 88, · · · .

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"ž 2: Ÿ½a)ß'Û/8+f-g {x }   , ®#¯° ±²½a .  ž 3: Ÿ½a)ß'Û/8+f-g {x }   , ®#¯° ±²zÚ'Û0a " e  10.2.2 ‘ {s }’”“zÚ)Û0fg s = n , Ú)Û8]fg – — sœ − 1 ≡ 0(mod s Y ) bO˜™š ›a y . ~-jî [z‚jÒ : n n

n

yn n

2

n

n+1

. {yn }

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n

1, 3, 2, 5, 3, 7, 4, 9, 5, 11, 6, 13, 7, 15, 8, 17, · · · .

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“ e f 10.2.1 ~ 0jlWýzÚ'þ Û/. 8+f-g , T³ ´
® yn =

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& µ ÍÎ O9 ~ j ¸¹ , z° ± 

n2y − 1 = (n2 − 1)(n2y−2 + n2y−4 + · · · + n2 + 1) ≡ 0(mod (n + 1)2 ). 126

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(  È  j ¶ (n − 1, n + 1) = 1, ï

~

Smarandache

n2y−2 + n2y−4 + · · · + n2 + 1 ≡ 0(mod (n + 1))

c ¡ º¶ ‰ y = n + 1. (n − 1, n + 1) = 2, ï n

2y−2

+n

2y−4



n+1 + · · · + n + 1 ≡ 0 mod 2 2



c ¡ ¯º ‰ y = n* +2¸T1s . %• Ë
 ja6b . 10.2.2 ·¸¹…†ˆ‡oº Š¹»½¼I¾o¿¹ÀˆÁ  ¸%œ¹çY ž ” k n, í ” {c }ÂvÃ-ÏΛk›~ , z c = n . ‘ ÏÎ 9 k › ~ {x } Y5 õ!ö-jž k x 'l ‰ c ≡ 1(mod c ). Ä k'~ {x } j î#[ ‚ x = 1, x = 6, x = 16, x = 50, x% = 6, x = 98, x = 64,° x = 54, x = 50, x = 242, x = 12, · · · . ò ®"k!_ ~` {x š } jý þ , ¯ ±ˆÅ î#Æ › 7  ! û ü Ç j!' y *  ¯ ,  È É
Ê  Ë   * % Á+ ! 9 [9] , Kenichiro “ 3 Kashihara Ì”Í ! k ~ , ó'ðTÎ
Ï Î ! k ~ {x } jx ò 4 : š ú#* ´  ‚ + , ™ Ï ‚'{%ƒz¬%k ; (A): k%~ {x } ® k%~ {x } š¥%Ð ® Ý Ô € “ ÍÎ%k . (B): ÑoÒ jÓ£Ô Å j!ƒ£Õ pvq ñ Σr û ü kç~ {x } j Ñ£Ö Á% , q p , °›± ˛Ì¿ u *  * x j/×6Ø6ÂoÃ6A æ . Ù Y   Ñ _^hzÚ i ’ j“ Ût # Ü Ý * 3 364 , ) À4 Kenichiro Kashihara \£]Î j x z  •  ƒ Þ a b 3
4 (B) ƒž  j ! × Ø ß"%Æz•ƒTa6b * à%á j : (A) à e f 10.2.2. 0
à/áš ›a n, {x } •'˜Oâ ã , ä³T´
®
’“"å (a). x = (n + 1) , â#æ n ≡ 1 (mod 6) ç è n ≡ 3 (mod 6), (b). x = 2(n + 1) , â#æ n ≡ 0 (mod 6) ç è n ≡ 4 (mod 6), (c). x = · (n + 1) , â#æ n ≡ 5 (mod 6), (d). x = · (n + 1) , â#æ n ≡ 2 (mod 6). i ¶ · ¡ ¸s Ï{é”ê   ú£* x + , ™ É!ø- x (n > 1)m Y ¬-k . “ Ë)Ì Í!Î k . n#  Ë)Ì ¿-À ó*ð ·`¸"s j (a))Æ k ~ {x }ë/  ì Ý-Þ
€ Kenichiro Kashihara \ ]TÎ jlx “ 3
4 ! n

n

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n

1

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10

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4

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5

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n

n

n

n

n

n

n

2

n

2

n

n

n

1 3 2 3

2

2

1

n

n

127

¾¿)À!j)ÁÂ%à ™  Ä Å 3 4 (A) jí/î#a^b . ï”Û"ð# œ!
ž ” k mvn : #/u   / í y ƒõ)öñ0ž ” ò l%‰ Smarandache

ï ·

n > 1,

n3y ≡ 1(mod (n + 1)3 ).

(10-1)

(10-1)

æ Ã"ó‚ æ ¸Ts%º ‰

n3y − 1 = (n + 1 − 1)3y ≡ (−1)3y − 1 ≡ (−1)y − 1 ≡ 0 (mod (n + 1)).

· ð æ "Ï é
ê   y '¸"Y ¬ ò ! øoô µ n > 1 ð , x '¸"Y ¬ ò . ò ƒ a£b * 3
4 (A). Ñ Ö x ñ ×/Ø Ò , ° ±”õ ã Ý p ó Ï æ (10-1)Ãó)‚ æ ¸#s q"ö Y /  yY ¬ ò º ‰ : n

n

n3y − 1 = (n + 1 − 1)3y − 1 3y(3y − 1) ≡ · (n + 1)2 − 3y(n + 1) 2 ≡ 0 (mod (n + 1)3 ).

· ð æ Æ º ô÷ê   ó Ï æ

− 3y(n + 1) ≡ 0 (mod (n + 1)2 ).

°± å £ µ · (10-3)æ Ïoé£ê   [ › ø™ vš ùoú£ o û ü : (3, n + 1) = 1 ð , ” ò . ý y = k(n + 1)þ ÿ (10-2)æ º ‰ Y k œ'ž k(n + 1),

(10-2)

(10-3) y =

3k(3k(n + 1) − 1) · (n + 1)3 − 3k(n + 1)2 ≡ 0 (mod (n + 1)3 ). (10-4) 2

· ò y Y ¬ ò , øvô µ n+1 Y ¬ ò ð , (10-4)æ ñõ)ö%ž ” ò ¿ Y k = n+1. ¡ ðdö'Š 2|n + 1, (3, n + 1) = 1,  n = 6t + 1
%÷ n = 6t + 3, ™›š t Y œ” ò  ” ò . øvô µ n Y A ‘ 6t + 1
%÷ 6t + 3” ñ0òž ” òY (™›š t Y œ'ž ) ð , g
h n ≡ 1 (mod (n + 1) ) ñõ)ö%ž x x = (n + 1) . ò ò  æ ” µ Y Y  ó  n+1 © ð , ö-Š y ¬  ø ô (10-4) ñõ›ö
ž ò ¿†Ü Y k = 2(n + 1). ¡ / ð ö†” ò Š (6, nµ + Y 1) =‘ 1, £ n = 6t
 ™ š Y ø ô n A 6t
÷ 6t + 4 ñz”ž ”/÷ nò =(™†6tš +t Y 4,œ !ž t ”/œ!ò  ) ð , g#h n . ¹ ≡ 1 (mod (n + 1) ) ñ0õ
ö)ž ò Y 3xn

3

3xn

xn

128

xn = 2(n + 1)2 .

n

n

3

2

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(  È  ñ

Smarandache

~

z`•ƒ 3 | n+1 ð , · (10-3) æ Ï é ê   ™›š k Y œ'ž ” ò . ý y = 1 k(n + 1)þ ÿ (10-2)æ º ‰ 3

µ

1 y = k(n+1), 3

(3, n+1) > 1,

k(k(n + 1) − 1) · (n + 1)3 − k(n + 1)2 ≡ 0 (mod (n + 1)3 ). 2

(10-5)

i ¶çµ 2|n + 1 ð , g/h (10-5) æ ñõ-ö ž ”ò k = n + 1. ¡ ðö! Š 6|n +”61,ò z•ƒ n = 6tÏ + 5, øÞô µ n Y A ‘ 6t + 5 ñ'ž ”{ò (™ š t”Y œ› ò xY ž x = ) ð · ,(ng{+h 1)ó . Î n ≡ 1 (mod (n + 1) ) ñ%õçöž µ (2, n + 1) = 1 ð , ö 'Š y Y ¬ ò , øvô÷g
h (10-5)æ ñõ)ö%ž ”  ò k = 2(n + 1). ¡ ðOö !Š 3|n + 1, (2, n + 1) = 1, z• ƒ n = 6t + 2, øˆô µ n Y A ‘ 6t + 2 ñ ž ”£ò (™ š t”{Y òœçY ž ”£ò ) 2ð , g6h ó Ï Î · n ≡ 1 (mod (n + 1) ) zñ õö-* ž x x = · (n + 1) . ò n ≡ 0, 1, 2, 3, 4, 5 (mod 6) ø% ¶ ò , %3Ë
 * ¸Ts ña b ! 3xn

n

3xn

n

1 3

3

2

3

n

n

2

129

Smarandache

  

 

¾¿)Àñ)ÁÂ%à ™  Ä Å

Smarandache 

  

"!$#$%'&)($*$+-,

11.1 (1)

.0/ pxn+1 − pxn = 1

132 p 64 5 n7809 . : 0.5; 1<>= , ?0.0/A@CB6D6E F n = 1 G , .0/A@AHI0E . JLK 4 : n

F PRQ

.

3x − 2x = 1, x = 1;

n = 31

G , 0. /A@AHNMOE . LJ K 4

:

127x − 113x = 1, x = 0.567148 · · · = a0 .

, Andrica

U0VAWCX Y

SAT

1

1

2 An = pn+1 − pn2 < 1

132 a < a . 132 k ≥ 2. 1Z2 a < a [ n\ ]I . ^N_0`CaNb7c0d e 809 f0g F G hi 4Aj f0g . 4Aj6k :NlOF m9 n0o_ a; n), pAq F n ≥ n G , (4)i0f0g . GOr sfg . Jozsef SandortuwvRxy{zN| ?6SAT } ~€0 11.2 Smarandache ‚„ƒ"…‡†‰ˆ-Š U0‹Œ0Ž (SDS)4 : Smarandache (2) Bn = pan+1 − pan < 1, 1 1 2 k − pnk < , (3) Cn = pn+1 k 1 a a (4) Dn = pn+1 − pn < , n , n = n(a) . (a) a0 < a < 1 , n0 ( (b) pn+1 5 (5) ≤ , n=2 pn 3 ( [56]).

0

0

1, 23, 456, 7891, 23456, 789123, · · · . 130

0

5 D0 ‘A_ Smarandache ’”“ e D0•0–A— U‹CŒ˜NCŽ 4 : 1, 32, 654, 1987, 65432, · · · , Q  Smarandache Ž 2 @ bO™6š 4 809 . 11.3 Smarandache ›œŸž % X : ^A§¨A©¥ e lOm9 m, @ Smarandache ¡£¢¤L9¥6¦ L: Z→Z

L(x, m) = (x + c1 ) · · · (x + cϕ(m) )

132 ϕ4 Euler ¤L9 , c , · · · , c 64 ª m e€«0¬A­ ¢® ¯C° Smarandache ¡£¢¤L9 e€0± ² . 1

11.4

ϕ(m)

.

Smarandache ϕ ³‰´

^A§¨lOm9 132 ϕ4 Euler ¤L9 5 DA» :

z, m,

[

m 6= 0,

µ6@

aϕ(ms )+s ≡ as (mod m),

, ms

; sU0¶·

Smarandache ϕ

¸A¹qº

:

A := a M := m i := 0

5¼ » : ½0F ¸ d = (A, M ), M = Md . F d 6=5A1¾ G » , ¿: Ad:== d,1 G M, ¿ =sM= ,i,i m:= i=+M1, ,À 5¼ » . e VAW : Euler ¥6Á ^A§¨lOm9 a, m, [ (a, m) =X 1, µ6@ a ≡ 1(modm). Smarandache totient ¤L9¥6¦ : 0

s

0

0

ϕ(m)

sϕ : Z 2 → Z 2 131

Â6ENà e ’”“AÄ 1Å0ÆÇ F m 6= 0, sϕ(a, m) = (m , s) G , @ a m). ¯È° Smarandache ϕ ¥ÉÁ , Smarandache ϕ¸ ≡¹ a ,(mod Smarandache totient ¤L9 . Smarandache

ϕ(ms )+s

s

11.5

s

Smarandacheials

^A§¨lOm9

n, k,

Ê

n > k ≥ 1, Smarandacheials Y

!n!k =

¥6¦ X

:

(n − k · i)

0<|n−k·i|≤n i=0, 1, 2,···

ËÌ

: F (1) k = 1 G

: Y

!n!1 = !n! =

(n − i) = n(n − 1)(n − 2) · · · (2)(1)

0<|n−i|≤n i=0, 1, 2,···

(−1)(−2) · · · (−n + 2)(−n + 1)(−n)

= (−1)n (n!)2 .

PRQ

,

!5! = 5(5 − 1)(5 − 2)(5 − 3) · · · (5 − 9)(5 − 10)

= 5 · 4 · 3 · 2 · 1 · (−1) · (−2) · (−3) · (−4) · (−5) = −14400.

? Ž eRÍÎ š X

:

4, −36, 576, −14400, 518400, −25401600, 1625702400,

−131681894400, 13168189440000, −1593350922240000,

229442532802560000, −38775788043632640000,

7600054456551997440000, −1710012252724199424000000, · · ·

(2) (a)

F

: F kn OX =Ï 2 G  9 G ,@ !n!2 =

Y

0<|n−2i|≤n i=0, 1, 2,···

132

(n − 2i) = n(n − 2)(n − 4) · · · (3)(1)

5 D0 ‘A_

Smarandache

’”“ e D0•0–A—

(−1)(−3) · · · (−n + 4)(−n + 2)(−n)

= (−1)

F n OX Ð  9 G ,@

(b)

(n+1) 2

(n!!)2 .

Y

!n!2 =

0<|n−2i|≤n i=0, 1, 2,···

(n − 2i) = n(n − 2)(n − 4) · · · (4)(2)

(−2)(−4) · · · (−n + 4)(−n + 2)(−n) n

= (−1) 2 (n!!)2 .

PRQ , !3! = 3(3−2)(3−4)(3−6) = 9, !4! ? Ž eRÍÎ š X : 2

2

= 4(4−2)(4−6)(4−8) = 64.

9, 64, −225, −2304, 11025, 147456, −893025, (3)

F

−14745600, 108056025, 2123366400, · · ·

G

k=3

:

!n!3 =

Y

0<|n−3i|≤n i=0, 1, 2,···

(n − 3i) = n(n − 3)(n − 6) · · ·

PRQ , !7! = 7(7 − 3)(7 − 6)(7 − 9)(7 − 12) = 7(4)(1)(−2)(−5) = 280. ? Ž eRÍÎ š X : 3

−8, 40, 326, 280, −2240, −26244, −22400, (4)

F

−246400, 3779136, 3203200, −44844800, · · ·

k=4

G

:

!n!4 =

Y

0<|n−4i|≤n i=0, 1, 2,···

(n − 4i) = n(n − 4)(n − 8) · · ·

PRQ , !9! = 9(9 − 4)(9 − 8)(9 − 12)(9 − 16) = 9(5)(1)(−3)(−7) = 945. ? Ž eRÍÎ š X : 4

−15, 144, 105, 1024, 945, −14400, −10395, 133

Smarandache

(5)

−147456, −135135, 2822400, 2027025, · · ·

F

k=5

G

: Y

!n!5 =

PRQ

Â6ENà e ’”“AÄ 1Å0ÆÇ

0<|n−5i|≤n i=0, 1, 2,···

(n − 5i) = n(n − 5)(n − 10) · · ·

, !11!5 = 11(11 − 5)(11 − 10)(11 − 15)(11 − 20) = 11(6)(1)(−4)(−9) = 2376.

? Ž eRÍÎ š X

:

−24, −42, 336, 216, 2500, 2376, 4032,

−52416, −33264, −562500, −532224,

−891072, 16039296, · · ·

D6ÑAÒ , A^ §¨lOm9

n, k,

!n!mk =

ËÌ

Ê

n > k ≥ 1, Smarandacheials Y

¥6¦ X

:

(n − k · i)

0<|n−k·i|≤m i=0, 1, 2,···

: !7!32 = (7 − 4)(7 − 6)(7 − 8)(7 − 10) = (3)(1)(−1)(−3) = 9. !7!92 = 7(7 − 2)(7 − 4)(7 − 6)(7 − 8)

(7 − 10)(7 − 12)(7 − 14)(7 − 16)

= 7(5)(3)(1)(−1)(−3)(−5)(−7)(−9) = −99225.

11.6

Smarandache & Ó"ԄÕ-Ö$×

FÙØÚ e 7N9ÛÜ3G , ÝÞ3ßLàáNâã;Eä ØÚ e ‘® ØAÚ cAë . dache t6uåAæ0çAè90¹Aéê 134

. Smaran-

5 D0 ‘A_

Smarandache

ØÚ S , S , · · · S e 79 Ê n ≥ 2 éNê U ð e . i0cAë . C eÙôOõö Œ . îtC@u>ØAñóÚ ò Ú S Ê , S1 ≤, ·k· ·≤, Sn, Smarandache eRù )ú X 0. û 7ÝAÞ ß€ü6@ 2 7ý0cAë ö Œ , J X e Ú . F n = 3 G , ÝAÞ ß£éê Ì
 : 1

i1

i2

ik

n

11.7

2

n

’”“ e D0•0–A— ì• ØÚ :NÝÞ>ß 2Níïî @ 2 Ø : 9 i i · · · i é>êÝÞ ß e€÷Aö ( JLK 4 , î @ ØAÚ eÙø 9 12 · · · n e€þ6ÿ 9 2 k 79
,

1 2

k

Smarandache ‡, 



D2 37 ô ÊÉ® Ξ X Smarandachej í¥ 
e {, í  1 2 k : D37 ô Ê , : Ξ ¡6GLéX Zò€fAgýAfAg , ™ he."i0# éNýAfAg ø . ¯ì 3e ®
 . Smarandache !OT +3 K 4$&% ( Æ , * + . ² , 1 { 2 e ° ì ®
 
9( '®)Smarandache  4, 5687 .-)/ ^.0 e &<=
>Á ? E . h , Smaran 2 dache !T 4 -
9:;!ô T eCD B.DAE . ÎAG , X  D A 7 C @ @ Smarandache j ¥ Ê F =  Smarandache <,H Ò , ^ §¨Cm9 n ≥ 2, @ Smarandache n-I ?{eCJ)K . L.F.Mao© ò | D Ñ ± e $L% Smarandache n-?
I O ? e X . ¹ Î
(}NG M   [57]; [58]), L.F.Mao $8% 2- Ý Smarandache I  Ò3ß . 135

Â6ENà e ’”“AÄ 1Å0ÆÇ U íQP ç 9)'  Ú e .N¹ , J6©¥ DÑ ± Ò $% Smarandache ; ®  <.H Ò , U í ýPÉ¡Ù®<É=OD7  E Ú(R e $ , ÆA* q º Smarandache  ®  , ç SmarandacheS = . ¹ ,E JA©>X ¥ n7 . ýó¡ e&B,D )T(U E = A , A , · · · , A , ¥6¦D67 n-S = Smarandache

1

2

n

X



=

n [

Ai .

>e S E =€I
U k : , ËÌ , V0çxW69' 20eYX(ZQ[(ZQ\ ;^]_U ì E = , $8% S X(Z S [(Z S \ ;S`]_U E = , V0ç  Ú !T $8%  Ú I ? ø ¯ ° 1 h eba Œ R $ , ÆA*c.d Ú , a Œ Î;G r . e b8f.g (}AM [59]).

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High American Press 2008