Checame Mate.docx

Contenido RESUMEN ............................................................................................................................................ 2 ABSTRACT ............................................................................................................................................ 2 INTRODUCCION. .................................................................................................................................. 3 Objetivo general .................................................................................................................................. 4 Objetivos especifico ............................................................................................................................ 4 AREA DE UNA REGION PLANA ............................................................................................................. 5 EJEMPLO 1 ...................................................................................................................................... 5 Ejercicios.......................................................................................................................................... 7 VOLUMENES DE SOLIDOS MEDIANTE LOS METODOS DE REBANADO,DE DISCOS Y DE ARANDELAS . 9 EJEMPLO ILUSTRATIVO 1............................................................................................................... 10 Ejercicios........................................................................................................................................ 11 VOLUMENES DE SOLIDOS MEDIANTE EL METODO DE CAPAS CILÍNDRICAS .................................... 14 Ejemplo 1....................................................................................................................................... 15 Ejercicios........................................................................................................................................ 16 RECOMENDACIONES ......................................................................................................................... 18 RESULTADOS ..................................................................................................................................... 18 Conclusión. ........................................................................................................................................ 19 BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................................... 19

GRAFICA 1............................................................................................................................................ 7 GRAFICA 2............................................................................................................................................ 7 GRAFICA 3............................................................................................................................................ 8 GRAFICA 4............................................................................................................................................ 8 GRAFICA 5............................................................................................................................................ 8 GRAFICA 6.......................................................................................................................................... 13 GRAFICA 7.......................................................................................................................................... 17 Ilustración 1 ....................................................................................................................................... 11 Ilustración 2 ....................................................................................................................................... 14 Ilustración 3 ....................................................................................................................................... 16 Ilustración 4 ....................................................................................................................................... 16

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RESUMEN En este trabajo se abarcan temas de alta importancia del el libro de Leithold 7ma edición, en el cual se encuentran temas enfocados en la integral definida. Este documento tiene como propósito principal actuar como una herramienta de apoyo para todos los alumnos que deseen comprender de estos temas de cálculo, puesto que a veces estos temas pueden resultar difíciles de comprender para la mayoría de los alumnos. También se puede encontrar en este documento ejemplos de los temas que se encuentran aquí y algunos ejercicios. Se debe mencionar también que la integral definida es utilizada en el área de cálculo para mejorar los métodos de medición de áreas bajo líneas y superficies curvas. Con ayuda de este documento el alumno podrá conocer y aplicar algunas técnicas de integración en la vida cotidiana.

ABSTRACT In this document you can find topics of high importance of Leithold book, seventh edition. Which topics are focus on definite integral. The main purpose of this document is to act as a support tool for all students who want to understand these calculation topics because sometimes these topics can be difficult to understand for the majority of students. In this document you also can find some examples of the topics of the Leithold book, and some exercises too. It should be also mentioned that definite integral is used in the calculation area to improve the measurement methods of areas under curved lines and surfaces. With the help of this document the students will be able to know and apply some integration techniques in the daily life.

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INTRODUCCION.

En este tema de 3er parcial se realizaran cálculos de la Integral Definida e integración, ya que el concepto matemático que esencialmente puede describirse como el límite de una suma cuando el número de sumandos tiende a infinito y cada uno de ellos tiende a cero. Desde hace tiempo el punto de vista histórico, la construcción del concepto riguroso de integral está asociada al cálculo de las áreas.

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Objetivo general Ser capaces de manejar el área plana de una región, para conocer los métodos s de rebano de discos y arandelas, conocer de volúmenes de solidos mediante el método de capas cilíndricos y reconocer la mayoría de la funciones utilizadas en el área de aplicación para interpretar problemas matemáticos en situaciones reales de la industria.

Objetivos especifico 

Conocer y manejar el área plana de una región.



Conocer los métodos de rebanado de discos y de arandelas.



Manejar volúmenes de solidos mediante el método de capas cilíndricas.



Ser capaz de reconocer algunas funciones.



Conocer y ser capaz de realizar cálculos de algunas integrales definidas.



Ser capaz de relacionar los problemas de cálculo de áreas con la integral definida.



Conocer y aplicar algunas técnicas de integración.



Ser capaz de interpretar matemáticamente un problema físico

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AREA DE UNA REGION PLANA Ahora que ha aprendido algunas técnicas para calcular integrales definidas, se considerarán más problemas que implican áreas de regiones planas. En los ejemplos que se presentan

a continuación, se empieza expresando el

área requerida como el límite de una suma de Riemann, a fin de reafirmar el procedimiento utilizado en la expresión de dichas sumas.

EJEMPLO 1 Calcule el área de la región del primer cuadrante limitada por la curva el eje x y la recta x = 2.

Solución Considere una partición del intervalo (0, 2]. El ancho del i-ésimo rec- tángulo es 8¡x unidades, y la altura es wdw? + 5 unidades, donde w; es cualquier número del i-ésimo subintervalo. Por tanto, el área del elemento rectangular es w; �w/ + 5 S¡»: La suma de las medidas de las áreas de los n rectángulos como éste es:

la cual es una suma de Riemann. El límite de esta suma cuando 11 /1,.11 se aproxima a O proporciona la medida del área deseada. El límite de la suma Riemann es una integral definida que se evalúa mediante el segundo teorema fundamental del Cálculo. Sean A unidades cuadradas el área de la región, entonces

5

Conclusión: El área de la región es 5 (27 - 5-J's) unidades cuadradas, o aproximadamente 5.27 unidades cuadradas.

..

Hasta este momento se ha considerado el área de una región para la cual los valores de función en [a, bJ son no negativos. Suponga ahora que f(x) < O para toda x en [a, b]. Entonces cadaf(w¡) es un número negativo; por lo que se define el número de unidades cuadradas del área de la región limitada por y = f(x), el eje x y las rectas x = a y x = b, como

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Ejercicios De los ejercicios a continuación, calcule el área de la región acotada por las curvas. En cada ejercicio haga lo siguiente: a) dibuje una figura que muestra la región y un elemento rectangular de área; b) exprese el área de la región como una suma de Riemann; c) calcule el límite del inciso b mediante el segundo teorema fundamental de Cálculo.

1.- 𝐲 = √𝐱 + 𝟏; 𝐞𝐣𝐞 𝐱, 𝐞𝐣𝐞 𝐲; 𝐱 = 𝟖 n

A = lim ∑ √wi2 + 1 Δi x ‖∆‖ →0

i=1

8

= ∫ √x + 1 = 0

2 2 52 2 3 (x + 1) ⁄2 = (27 − 1) = u 3 3 3

GRAFICA 1

𝟏

𝟏

2. 𝐲 = 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝐱; 𝐞𝐣𝐞 𝐱; 𝐱 = 𝟒 𝛑; 𝐱 = 𝟑 𝛑 n

A = lim ∑ f(wi )Δi x ‖∆‖ →0

i=1

=∫

π⁄ 3

π⁄ 4

csc 2 x dx = − cot x

1 cot 1 = − cot π + π 3 4 1 = − √3 + 1u2 3

GRAFICA 2

7

3.- 𝐲 = 𝐱 𝟐 − 𝟐𝐱 + 𝟑; 𝐞𝐣𝐞 𝐱; 𝐱 = −𝟐; 𝐱 = 𝟏 n

A = lim ∑(wi2 − 2wi + 3)Δi x ‖∆‖ →0

i=1

1

= ∫ (x 2 − 2x + 3)dx = −2

=

1 3 x − x 2 ∓ 3x 3

7 38 (− ) 3 3

= 15u2

GRAFICA 3

4.- 𝐲 = 𝟒𝐱 − 𝐱 𝟐 ; 𝐞𝐣𝐞 𝐱; 𝐱 = 𝟏; 𝐱 = 𝟑 n

A = lim ∑(4wi − wi2 )Δi x ‖∆‖ →0

i=1

3 1 5 = ∫ (4x − x 2 )dx = 2x 2 − x 3 = 9 − 3 3 1 22 2 = u 3

GRAFICA 4

𝟏

5.- 𝐲 = 𝐱𝟐 − 𝐱; 𝐞𝐣𝐞 𝐱; 𝐱 = 𝟐; 𝐱 = 𝟑 n

A = lim ∑ (wi − ‖∆‖ →0

i=1

1 )Δ x wi2 i

GRAFICA 5

8

3

= ∫ (x − x −2 )dx = 3

1 2 5 22 2 x + x −1 −= 9 − = u 2 3 3

VOLUMENES DE SOLIDOS MEDIANTE LOS METODOS DE REBANADO, DE DISCOS Y DE ARANDELAS La definición del área de una región plana condujo a la definición de la integral definida. En este proceso se empleó la fórmula de la geometría plana para el área de un rectángulo. Ahora se utilizará un proceso semejante con el propósito de obtener volúmenes de algunos tipos particulares de sólidos. Uno de estos sólidos es el cilindro recto. La altura del cilindro es la distancia perpendicular entre los pla- nos de R¡ y R2, y la base del cilindro es R1 o R2. Si la base del cilindro recto es una región limitada por un rectángulo, se tiene un paralelepípedo rectangular, el cual se muestra en la figura 2, y si la base es una región acotada por una circunferencia, se tiene un cilindro circular recto. Si el área de la base de un cilindro recto es A unidades cuadradas y su altura es h unidades y si V unidades cúbicas es su volumen, entonces V = Ah Se utilizará esta fórmula a fin de obtener un método que proporcione la medida del volumen de un sólido para el cual el área de cualquier sección plana (región plana formada por la intersección de un plano y el sólido) perpendicular a un eje es una función de la distancia perpendicular de la sección plana desde un punto fijo del eje. La suma de las medidas de los n elementos es:

la cual es una suma de Riemann. Esta suma es una aproximación de lo que intuitivamente pensamos corno el número de unidades 9

cúbicas del volumen del sólido. Cuanto más pequeña se tome la norma

de la

partición, tanto más será mayor el valor de n, de modo que dicha aproximación estará más cerca del número V que deseamos asignar a la medida del volumen. Por tanto, se define V como el límite de la suma de Riemann en (1) cuando se aproxima a cero. Este límite existe porque A es continua en [a, b). El término rebanado se utiliza cuando se aplica esta definición para calcular el volumen de un sólido. El proceso es semejante al rebanado de una hogaza de pan en muchas porciones muy delgadas de modo que todas las porciones juntas constituye la hogaza completa. En el ejemplo ilustrativo siguiente se muestra que la definición 4.9.1 es consistente con la fórmula de la geometría sólida para el volumen de un cilindro circular recto.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 1 La figura 6 presenta

un

cilindro circular recto,

que tiene una altura de h

unidades y un radio de la base de r unidades, con los ejes

coordenados

dispuestos de modo que el origen está en el centro de una base y su altura se mide a lo largo del lado positivo del eje x. Una sección plana a una distancia de x unidades del origen tiene un área y de A(x) unidades cuadradas, donde A(x) = nr2 Un elemento

de volumen,

mostrado

en la figura 6, es un cilindro recto

con un área de la base de A(w¡) unidades cuadradas y espesor de .ó.¡x unidades. De este modo, si V unidades cúbicas es el volumen del cilindro circular recto, entonces:

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Ilustración 1

Ejercicios 1.- Determine el volumen del solido de revolución generado cuando la región limitada por la curva𝑦 = 𝑥 3 , el eje 𝑥 y las rectas 𝑥 = 1 y 𝑥 = 2, se gira alrededor del eje 𝑥. 𝑛

𝑉 = lim ∑ 𝜋(𝑤𝑖3 )3 Δ𝑖 𝑥 ‖∆‖→0

𝑖=1

2

1 𝟏𝟐𝟕 3 = 𝜋 ∫ 𝑥 6 𝑑𝑥 = 𝜋𝑥 7 = 𝝅𝑢 7 𝟕 1

11

En los ejercicios 2 a 4, calcule el volumen del solido de revolución generado cuando la región de la figura se gira alrededor de la recta indicada. Una ecuación de la curva es 𝑦 2 = 𝑥 3 . 2.- OAC alrededor del eje 𝒙. 𝑛

3⁄ 2 2

𝑉 = lim ∑ 𝜋(𝑤𝑖 ‖∆‖→0

) Δ𝑖 𝑥

𝑖=1

4

1 = 𝜋 ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 = 𝜋𝑥 4 = 64𝜋𝑢3 4 0

3.- OAC del eje 𝒚. 𝑛

𝑉 = lim ∑ 𝜋([𝑓(𝑤𝑖 )]2 − [𝑔(𝑤𝑖 )]2 )Δ𝑖 𝑥 ‖∆‖→0

𝑖=1

8 2

= 𝜋 ∫ [4 − 0

2 (𝑦 ⁄3 )2 ] 𝑑𝑦

8

= 𝜋 ∫ (16 − 𝑦

4⁄ 3 ) 𝑑𝑦

0

3 7 312 3 = 𝜋(16𝑦 − 𝜋𝑦 ⁄3 ) = 𝜋𝑢 7 7

12

4.- OBC del eje 𝒚. 𝑛

3⁄ 2 2

𝑉 = lim ∑ 𝜋(𝑤𝑖 ‖∆‖→0 4

= 𝜋∫ 𝑦 0

) Δ𝑖 𝑦

𝑖=1

4⁄ 3 𝑑𝑦

3 7 3 = 𝜋𝑦 ⁄3 = 𝜋( ∙ 128 7 7 =

384 3 𝜋𝑢 7

5. Calcule el volumen del solido de revolución generado al girar alrededor de la recta indicada la región acotada por la curva 𝑦 = √𝑥, el eje 𝑥 y la recta 𝑥 = 4 𝑛

𝑉 = lim ∑ 𝜋(√𝑤1 )2 Δ𝑖 𝑥 ‖∆‖→0

𝑖=1

4

= 𝜋 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 0

1 2 𝜋𝑥 2

= 8𝜋𝑢3

GRAFICA 6

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VOLUMENES DE SOLIDOS MEDIANTE EL METODO DE CAPAS CILÍNDRICAS En la sección anterior

se determinó el volumen de un sólido de revolución

tomando los elementos rectangulares de área perpendiculares al eje de revolución, y los elementos de volumen obtenidos fueron discos o arandelas. Para algunos sólidos de revolución este método puede no ser factible. Por ejemplo, suponga que se desea calcular el volumen exacto del sólido de revolución obtenido al girar alrededor del eje y la región limitada por la gráfica de y = 3x x3, el eje y y la recta y = 2. Esta región se muestra en la figura l. Si un elemento de área es perpendicular al eje y como se presenta en la figura, el elemento de volumen es un disco, y determinar el volumen del sólido de revolución implica una integral de la forma A(y) dy. Pero para obtener una fórmula de A(y) Ilustración 2

se necesita resolver la ecuación

cúbica y = 3x - x3, para x en términos de y, lo cual es una tarea muy laboriosa.

El método

implica considerar los elementos rectangulares de área paralelos

al eje de revolución. Después, cuando un elemento

de área se gira

alrededor del eje de revolución se obtiene una capa cilíndrica.

Aunque· la validez de este teorema

puede resultar obvia debido a las

explicaciones anteriores, la demostración requiere probar que se obtie- ne el mismo volumen mediante el método de discos del teorema 4.9.2. 14

La fórmula de la medida del volumen de una capa cilíndrica es fácil de recordar observando que 2trm;, f(m¡) y li¡x son, respectivamente, las medidas de la circunferencia que tiene como radio el promedio de los radios interno y externo (o radio medio) de la capa, la altura de la capa, y el espesor de la capa. De este modo, el volumen de la capa es:

Ejemplo 1. La región limitada por la curva y=x2 , el eje x y la recta x =2 se gira alrededor del eje y, calcule el volumen del solido generado considere los elementos de área paralelos al eje de revolución. Solución: La figura 5 muestra la región y un elemento rectangular de área, la figura 6 muestra el solido de revolución y la capa cilíndrica obtenida al girar el elemento rectangular de área alrededor del eje y, El elemento de volumen es una capa cilíndrica cuyo volumen es

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Ilustración 3

Ilustración 4

Conclusión: el volumen del solido de revolución es de 8𝜋 unidades cubicas.

Ejercicios 1. Obtenga El volumen del solido generado al girar alrededor del eje 𝑥 la

región acotada por las curvas 𝑦 = 𝑥 3 y. 𝑥 = 𝑦 3 considere los elementos rectangulares de área paralelos al eje de revolución. 𝑛

𝑉 = lim ∑ 2𝜋𝑚𝑖 (𝑚𝑖 ‖∆‖→0

− 𝑚𝑖 3 ) ∆ 𝑖 𝑦

𝑖=1

1

= 4𝜋 ∫ 𝑦(𝑦

1⁄ 3

1

− 𝑦 3 )𝑑𝑦 = 4𝜋 ∫ (𝑦

0

= 4𝜋 ∙

1⁄ 3

0

4⁄ 3

3 7 1 − 𝑦 4 )𝑑𝑦 = 4𝜋 ( 𝑦 ⁄3 − ) 𝑦 5 7 5

8 32 3 = 𝜋𝑢 35 5

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En los ejercicios 2 a 5, la región acotada por las curvas 𝑥 = 𝑦 2 − 2 y 𝑥 = 6 − 𝑦 2 se gira alrededor del eje indicado. Determine el volumen del solido generado.

2. El eje 𝒙. 𝑛

𝑉 = lim ∑ 2𝜋𝑚𝑖 (8 − 2𝑚𝑖 2 ) ∆𝑖 𝑦 ‖∆‖→0

𝑖=1

2

2

= 2𝜋 ∫ [8 − 2𝑦

2 ]𝑑𝑦

0

1 = 2𝜋 ∫ [8𝑦 − 2𝑦 3 ]𝑑𝑦 = 2𝜋(4 𝑦 2 − 𝑦 4 ) = 2𝜋(16 − 8) = 16𝜋𝑢3 2 0

3. El eje 𝒚 𝑛

𝑉 = lim 2 ∑ 𝜋[(6 − 𝑤𝑖 2 )2 − (𝑤𝑖 2 ‖∆‖→0

GRAFICA 7

𝑖=1 2

− 2) ] ∆𝑖 𝑦 2

= 2𝜋 ∫ [(36 − 12𝑦 2 + 𝑦 4 ) − (𝑦 4 − 4𝑦 2 + 4)]𝑑𝑦 0 2

8 = 2𝜋 ∫ [32 − 8𝑦 2 ]𝑑𝑦 = 2𝜋(32𝑦 − 𝑦 3 ) 3 0 128 256 3 = 2𝜋( )= 𝜋𝑢 3 3

4. La recta 𝒙 = 𝟐. 𝑛

𝑉 = lim ∑ 𝜋(4 − 𝑤𝑖 2 )2 ∆𝑖 𝑦 ‖∆‖→0

𝑖=1

2

= 𝜋 ∫ (4 − 𝑦 2 )2 𝑑𝑦 −2 2

= 𝜋 ∫ (16 − 8𝑦 2 + 𝑦 4 )𝑑𝑦 −2

8 1 = 𝜋(16𝑦 − 𝑦 3 + 𝑦 5 ) 3 3 = 𝜋 [(32 −

64 32 64 32 512 3 + ) − (−32 + − ]= 𝜋𝑢 3 3 3 3 15 17

5. La recta= 𝟐. 𝑛

𝑉 = lim ∑ 2𝜋(2 − 𝑚𝑖 )2(4 − 2𝑚𝑖 2 ) ∆𝑖 𝑦 ‖∆‖→0

𝑖=1

2

= 4𝜋 ∫ (2 − 𝑦)(4 − 𝑦 2 )𝑑𝑦 −2 2

= 4𝜋 ∫ (8 − 4𝑦 − 2𝑦 2 + 𝑦 3 )𝑑𝑦 −2

2 1 = 4𝜋 (8𝑦 − 2𝑦 2 − 𝑦 3 + 𝑦 4 ) 3 4 2 1 = 4𝜋 [8(2 + 2) − 2(4 − 4) − (8 + 8) + (16 + 16)] 3 4 = 4𝜋 (32 −

32 256 3 )= 𝜋𝑢 3 3

RECOMENDACIONES Este documento es recomendado puesto que su principal objetivo es ser un material de apoyo teórico para los alumnos de ingeniería de la UTTAB. Ya que contiene temas de alto interés enfocados en integral definida.

RESULTADOS Para la gran mayoría de las personas, el cálculo integral se vuelve un tema difícil debido que no se cuenta con una verdadera inclinación por las matemáticas y/o ciencias, para facilitar un poco la comprensión del tema de integral definida es elaborado este documento, brindando el conocimiento a los alumnos.

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CONCLUSIÓN. En conclusión la integral definida es una de las herramientas más eficaces de hacer cálculos no sólo de áreas, sino de volúmenes e infinidad de usos, puede parecer compleja para algunos, y lo es, pero conociéndola y sabiendo aplicar todas las reglas que se deben seguir, puede ser muy fácil de utilizarla y desarrollarla. La integral definida, que se puede tomar una herramienta de cálculo importantísima no tan solo por sus usos actuales, sino por la gran influencia que ha tenido en muchas otros tópicos de las matemáticas y física aplicadas a nivel industrial, ya que al utilizarlas en el cálculo de áreas, volúmenes de distintas regiones y sólidos de revolución, son de gran ayuda en las bases de distintas ramas de las ciencias exactas, como análisis de estructuras, estabilidad y control, mecánica de fluidos y dinámica entre muchas otras áreas donde se ven involucradas las integrales definidas.

BIBLIOGRAFÍA Leithold, L. (1998). El Calculo. Mexico.

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