Chapter2.pdf

Phương pháp phần tử hữu hạn Chương 2 Dầm phẳng 1. Nhắc lại Lý thuyết dầm chịu uốn
Chỉ xét dầm thẳng chịu uốn trong mặt phẳng ñối xứng.
Các giả thiết về biến dạng của dầm ñã ñề cập trong Sức bền vật liệu: o MCN luôn phẳng và vuông góc với trục dầm, o khoảng cách giữa các thớ dọc không thay ñổi, o biến dạng, chuyển vị của dầm là bé.

Hình 2.1
Quan hệ góc xoay - ñộ võng:

θ (x ) =

dv( x ) dx

(2.1)


Quan hệ chuyển vị dọc trục - ñộ võng tại một ñiểm có tung ñộ y: u = −y

dv dx

(2.2)

Hình 2.2
Biến dạng dài của thớ dọc ñi qua ñiểm nói trên:

εx =

d 2v du = −y 2 dx dx

(2.3)


Ứng suất pháp gây ra biến dạng trên:

28

Phương pháp phần tử hữu hạn

(2.4)

σ x = Eε x
Quan hệ mômen uốn - ñộ võng: M z ( x ) = EI z

d 2 v(x ) dx 2

(2.5)


Quan hệ lực cắt - ñộ võng: Q y ( x ) = EI z

d 3 v( x ) dx 3

(2.6)


Phương trình vi phân chủ ñạo: EI z

d 4 v(x ) = q(x ) dx 4

(2.7)

q(x) = cường ñộ lực phân bố, có chiều dương như trên hình 2.1.
NLBD tích luỹ trong dầm: 2

 d 2v  1 1 U = ∫ Eε x2 dv = ∫ EI z  2  dx 2 20  dx  V L

(2.8)

Ví dụ 2.1 Tìm ñộ võng, góc xoay và nội lực trong dầm theo phương pháp Rayleigh-Ritz nếu dầm có ñộ cứng uốn không ñổi trên toàn bộ chiều dài. y

q

x

L

Hình 2.3 Lời giải Giả sử ñộ võng của dầm ñược xấp xỉ bởi: v( x ) = ax 2 (x − L )

2

(a)

Dễ thấy rằng hàm xấp xỉ chuyển vị (a) thỏa mãn các ðKB về chuyển vị của bài toán, cụ thể: v(x = 0) = 0

dv dx

=0 x =0

v(x = L) = 0

dv dx

=0 x =L

NLBD tích lũy trong dầm:

29

Phương pháp phần tử hữu hạn 2

 d 2v  1 2 U = EI z ∫  2  dx = EI z L5 a 2 2 5 0  dx  L

(b)

Công của ngoại lực:

qL5 a W = − ∫ qv( x )dx = − 30 0 L

(c)

Thế năng toàn phần:

Π = U −W =

2 qL5 a EI z L5 a 2 + 5 30

(d)

Theo NLTNTPCT: ∂Π 4 1 = EI z L5 a + qL5 = 0 30 ∂a 5

(e)

Giải phương trình (e), ta ñược:

a=−

q ; 24 EI z

(f)

Thay (f) vào (a), ta ñược phương trình ñộ võng của dầm: v( x ) = −

q q 2 x 4 − 2 Lx 3 + L2 x 2 x 2 (x − L ) = − 24 EI z 24 EI z

(

)

(g)

Suy ra góc xoay từ công thức (2.1):

θ (x ) = −

q 2 x 3 − 3Lx 2 + L2 x 12 EI z

(

)

(h)

Mômen uốn và lực cắt trong dầm ñược xác ñịnh theo (2.6) và (2.7):

 x 2 Lx L2  M z ( x ) = −q − +  2 12   2

(i)

L  Q y ( x ) = − q x −  2 

(j)

2. Phần tử dầm phẳng
Xét phần tử thanh chịu uốn có chiều dài Le, Ee.Ize = const.
Mỗi nút có 2 BTD là ñộ võng v và góc xoay θ của MCN quanh trục z.
Phần tử có 4 BTD chính là các ñộ võng và góc xoay tại 2 nút.

30

Phương pháp phần tử hữu hạn y

θj

j θi y

vj

i

v(x)

vi

x x Le

Hình 2.4: Phần tử dầm
Chọn hàm xấp xỉ ñộ võng của phần tử có dạng ña thức bậc 3 với 4 tham số chưa biết: v( x ) = α 1 + α 2 x + α 3 x 2 + α 4 x 3

(2.9)


Góc xoay của MCN:

θ (x ) =

dv( x ) = α 2 + 2α 3 x + 3α 4 x 2 dx

(2.10)


Thực hiện ñồng nhất ñộ võng và góc xoay tại các nút: vi = v(0 ) = α 1

θ i = θ (0) = α 2 v j = v(Le ) = α 1 + α 2 Le + α 3 L2e + α 4 L3e

θ j = θ (Le ) = α 2 + 2α 3 Le + 3α 4 L2e
Giải hệ phương trình trên, ta ñược: α 1 = vi α = θ i  2 3 2 3 1  α 3 = − 2 vi − θ i + 2 v j − θ j Le Le Le Le  α = 2 v + 1 θ − 2 v + 1 θ  4 L3 i L2 i L3 j L2 j e e e e 

(2.11)


Thay (2.11) vào (2.10) rồi sắp xếp theo thứ tự các chuyển vị nút, ta ñược:  3x 2 2 x 3   2x 2 x3  v( x ) = 1 − 2 + 3 vi +  x − + 2 θ i Le Le Le  Le     3x 2 2 x 3   x2 x3    +  2 − 3 v j +  − + 2 θ j L L L Le  e e   e 

31

(2.12)

Phương pháp phần tử hữu hạn

Hình 2.5: Các hàm nội suy


Phương trình (2.12) ñược viết lại dưới dạng: v( x ) = N vi ( x )vi + N θi ( x )θ i + N vj ( x )v j + N θj ( x )θ j

N vi ( x ) = 1 −

3x 2 2 x 3 + 3 ; L2e Le

3x 2 2 x 3 N vj ( x ) = 2 − 3 ; Le Le

N θi ( x ) = x −

(2.13)

2x 2 x3 + 2 Le Le

x2 x3 N θj ( x ) = − + Le L2e

(2.14)


Phương trình (2.13) có thể ñược viết dưới dạng ma trận: v(x ) = [N ]{d e }

[N] = véc-tơ hàng chứa các hàm dạng {de} = véc-tơ chuyển vị nút của phần tử hay

[

v( x ) = N vi ( x ) N θi ( x ) N vj ( x )

 vi  θ   i N θj ( x )   v j  θ j 

]

(2.15)

NLBD trong phần tử dầm chịu uốn: Le

2

 d 2v  1 U e = ∫ E e I ze  2  dx 2  dx  0

(2.16)

ðạo hàm bậc 2 của ñộ võng ñược xác ñịnh theo (2.15) và ñược biểu diễn như sau:

32

Phương pháp phần tử hữu hạn

d v( x )  d N vi ( x ) = 2 dx 2  dx

d N θi ( x ) dx 2

2

2

= [B1

B2

2

d N vj ( x ) 2

dx 2

 vi  θ   i B4 ]  v j  θ j 

B3

(2.17)

B1 =

d 2 N vi ( x ) 6 x = − 2 + 12 3 2 dx Le Le

B2 =

d 2 N θi ( x ) 4 x =− +6 2 2 Le dx Le

B3 =

B4 =

d 2 N vj ( x ) dx

2

d 2 N θj ( x ) dx

2

 vi  d N θj ( x )  θ i    dx 2  v j  θ j  2

=

x 6 − 12 3 2 Le Le

=−

2 x +6 2 Le Le

(2.18)

Dạng của phương trình (2.17) là d 2 v dx 2 = [B ]{d e }

[B ] = [B1

B2

B3

B4 ]

2

Do ñó:

 d 2v   = {d e }T [B ]T [B ]{d e }   dx 2   

(2.19)

Thế biểu thức này vào biểu thức tính NLBD, ta ñược: L

Ue =

e 1 (Ee I ze ) ∫ {d e }T [B]T [B]{d e }dx 2 0

(2.20)

Vì {de} không phải là hàm của x, biểu thức trên có thể ñược viết như sau: Le   1 T T { } ( ) U e = d e  E e I ze ∫ [B ] [B ]dx {d e } 2   0

(2.21)

Nên nhớ lại rằng, NLBD có dạng là U e = 1 2 {d e }T [k e ]{d e } , trong ñó [ke] là ma trận ñộ cứng phần tử. Từ phương trình (2.21), ma trận ñộ cứng của phần tử dầm là Le

[k e ] = (E e I ze ) ∫ [B]T [B ]dx

(2.22)

0

 B1  B  [k e ] = (Ee I ze ) ∫  2 [B1  B3  0    B4  Le

B2

B3

B4 ]dx

33

(2.23)

Phương pháp phần tử hữu hạn


Thực hiện phép nhân ma trận, ta ñược:

 B12 Le  [ke ] = Ee I ze ∫  B1 B2 0 B1 B3   B1 B4

B1 B2 B22 B2 B3 B2 B4

B1 B4   B2 B4  B3 B4   B42 

B1 B3 B2 B3 B32 B3 B4

(2.24)


Vì Bi là hàm của x, tích phân tất cả các phần tử của ma trận, ta ñược:

12 6 Le  4 L2e Ee I ze  [ke ] = 3 Le   ñx

− 12 − 6 Le 12

6 Le  2 L2e  − 6 Le   4 L2e 

(2.25)


Công của ngoại lực lên phần tử: We = f i vi + miθ i + f j v j + m jθ j = {d e } { f e } T

(2.26)


Thế năng toàn phần của phần tử: (2.27)

Π e = U e − We


Theo NLTNTPCT:

∂Π e =0 ∂{d e }

⇒

12 6 Le − 12 6 Le   vi   f i       4 L2e − 6 Le 2 L2e  θ i   mi  Ee I ze   =  12 − 6 Le  v j   f j  L3e    4 L2e  θ j  m j  ñx

(2.28)


Thay (2.17) vào (2.6) và tính ñạo hàm bậc 2, ta ñược mômen uốn trong phần tử: M ze = Ee I ze =

d 2 v(x ) dx 2

Ee I ze (− 6 Le + 12 x )vi + − 4 L2e + 6 Le x θ i + (6 Le − 12 x )v j + − 2 L2e + 6 Le x θ j 3 Le

[

(

)

) ]

(

(2.29)


Thay (2.17) vào (2.7) và tính ñạo hàm bậc 3, ta ñược lực cắt trong phần tử: Q ye = E e I ze

d 3 v( x ) E e I ze = 3 (12vi + 6 Leθ i − 12v j + 6 Leθ j ) dx 3 Le

(2.30)


Các thành phần nội lực 2 ñầu phần tử (tại nút i và j) ñược xác ñịnh từ (2.29), (2.30) và ñược tập hợp trong một véc-tơ như sau:

 Q yi  M  E I {S e } =  zi  = e 3 ze Le  Q yj  M zj 

 12 − 6 L e   12   6 Le

6 Le

− 12 2 e

− 4L 6 Le

6 Le − 12

2 L2e

− 6 Le

34

6 Le   v i    − 2 L2e  θ i    6 Le  v j   4 L2e  θ j 

(2.31)

Phương pháp phần tử hữu hạn

Ví dụ 2.2 Dầm trên hình 2.6 có tiết diện không ñổi trên suốt chiều dài. Tìm ñộ võng và góc xoay tại ñiểm ñặt của lực P và vẽ biểu ñồ lực cắt, mômen uốn của dầm. P

L

L

Hình 2.6 Lời giải Bước 1: Rời rạc hoá kết cấu Chia dầm làm 2 phần tử như hình dưới ñây. v1

θ1

v2

1

θ2

1

v3

2

θ3 2

Bước 2: Tính ma trận ñộ cứng kết cấu -

Các ma trận ñộ cứng phần tử: v1

θ1

v2

θ2

12

6L

-12

6L

v1

4L2

-6L

2L2

θ1

12

-6L

v2

[k1 ] = EI3z L

2

4L

v2

θ2

v3

θ3

12

6L

-12

6L

v2

4L2

-6L

2L2

θ2

12

-6L

v3

4L2

θ3

[k 2 ] = EI3z L

-

θ2

Ma trận ñộ cứng kết cấu:

35

3

Phương pháp phần tử hữu hạn v1

θ1

v2

θ2

v3

θ3

12

6L

-12

6L

0

0

v1

4L2

-6L

2L2

0

0

θ1

-12

6L

-6L

2

2L

θ2

12

-6L

v3

(12+12) (-6L+6L)

[K ] = EI3z L

2

2

(4L +4L )

2

4L

ñx

=

v2

θ3

v1

θ1

v2

θ2

v3

θ3

12

6L

-12

6L

0

0

v1

4L2

-6L

2L2

0

0

θ1

24

0

-12

6L

v2

8L2

-6L

2L2

θ2

12

-6L

v3

EI z L3

2

4L

ñx

θ3

Bước 3: Tính véc-tơ tải kết cấu Gọi R1, M1 và R2 lần lượt là các thành phần phản lực tại ngàm và gối di ñộng. Như vậy véc-tơ tải kết cấu:

 R1  M   1 R  {F } =  2   0  − P     0  R1

M1

1

R2

1

0

0 2

Bước 4: Giải phương trình kết cấu -

Hệ phương trình kết cấu:

[K ]{d } = {F } -

ðKB: v1 = θ1 = v2 = 0

-

P

2

Áp dụng các ðKB, hệ phương trình trên trở thành:

36

3

Phương pháp phần tử hữu hạn 0 0   R1   6L M    2 L2 0 0  1  θ  2   − 12 6 L     R2  EI z  0   v3  =   2 3  − 6 L 2 L2     0  L  8L θ − 6 L 12 − 6 L   3  − P      2  0  − 6 L 4 L2   2 L -

Giải hệ phương trình này, ta tìm ñược các chuyển vị:

θ2 = −

PL2 ; 4 EI z

v3 = −

7 PL3 ; 12 EI z

θ3 = −

M1 =

− PL ; 2

R2 =

3PL2 ; 4 EI z

và các phản lực: R1 = − -

3P ; 2

5P ; 2

Kiểm tra ñiều kiện cân bằng:

 R1 + R2 − P = 0  M 1 + LR2 − 2 LP = 0 Bước 5: Tính và vẽ biểu ñồ nội lực -

Nội lực 2 ñầu phần tử 1:

6L  12 − 6 L − 4 L2 {S1 } = EI3z  6L L  12  2 L2  6L -

Nội lực 2 ñầu phần tử 2:

6L  12 − 6 L − 4 L2 EI {S 2 } = 3z  6L L  12  2 L2  6L -

6 L   v1  − 1,5P  − 12 6 L − 2 L2  θ1  0,5PL  ;  = 6 L  v 2  − 1,5P  − 12  − 6 L 4 L2  θ 2   − PL 

− 12 6 L  v 2   P  6 L − 2 L2  θ 3  − PL  ;  = − 12 6 L  v 3   P   − 6 L 4 L2  θ 3   0 

Biểu ñồ + ðộ võng:

- 7PL3 12EIz

37

Phương pháp phần tử hữu hạn + Lực cắt: Qy

P x L

2L

-1,5P

+ Mômen uốn: Mz

-PL x L

0,5PL

2L

3. Phần tử chịu lực phân bố ñều
Xét phần tử chịu lực phân bố ñều q như trên hình 2.7.
Theo thủ tục như ñối với phần tử thanh chịu lực dọc trục, véc-tơ lực nút tương ñương của lực phân bố này ñược xác ñịnh trên cơ sở tương ñương về công.
Công của lực phân bố lên phần tử: Le

Le

0

0

Wq = ∫ q( x)v( x)dx = q ∫ v( x)dx

(2.32)


Chuyển vị v(x) phụ thuộc vào các hàm dạng như (2.13) nên khi thay (2.13) vào (2.32) rồi thực hiện tích phân, ta ñược: Wq =

qLe qL2 qL qL2 vi + e θ i + e v j − e θ j 2 12 2 12

[

Wq = v i

θi

vj

 qLe   2   2   qLe    θ j  12  qLe    2   qL2e   −  12 

]

(2.33)

(2.34)

38

Phương pháp phần tử hữu hạn i

j

q

(a) Phần tử dầm chịu lực phân bố ñều

qLe2 /12

qLe2 /12

i

j

qLe/2

qLe/2

(b) Lực nút tương ñương Hình 2.7: Biến ñổi tương ñương lực phân bố ñều về nút Từ phương pháp Rayleigh-Ritz, lực nút có ñược bằng cách lấy ñạo hàm của Wq theo các chuyển vị nút. Nhờ ñó, ta có véc-tơ lực nút tương ñương của lực phân bố là

 qLe   2   2   qLe  12  {f qe }=  qL e   2    qL2e   −  12 

(2.35)

Véc-tơ này biểu diễn hệ lực ñặt tại các ñiểm nút như trên hình 2.7b. Cũng như với phần tử thanh ñã ñề cập trong chương 1, ñể tính chính xác ñộ võng trong phần tử dầm chịu lực phân bố ñều, ta cộng thêm số hạng tính ñến ảnh hưởng của lực phân bố khi 2 ñầu phần tử bị ngàm. Ta có kết quả: v( x ) = N vi ( x )vi + N θi ( x )θ i + N vj ( x )v j + N θj ( x )θ j +

q x 4 − 2 Le x 3 + L2e x 2 24 E e I ze

(

(2.36)

)

Ví dụ 2.3 Tìm các góc xoay tại gối ñỡ, các thành phần phản lực liên kết của dầm nếu dầm có ñộ cứng uốn không ñổi.

39

Phương pháp phần tử hữu hạn q

L

L

Hình 2.8 Lời giải Bước 1: Rời rạc hoá kết cấu Chia kết cấu thành 2 phần tử như hình dưới ñây. v1

θ1

v2

1

v3

2

θ2

1

θ3 3

2

Bước 2: Tính ma trận ñộ cứng kết cấu -

Ma trận ñộ cứng các phần tử: 12 6 L  4 L2 [k1 ] = [k 2 ] = EI3z  L   ñx

-

− 12 6 L  − 6 L 2 L2  12 − 6 L   4 L2 

Ma trận ñộ cứng kết cấu: v1

θ1

v2

θ2

v3

θ3

12

6L

-12

6L

0

0

v1

-6L

2

0

0

θ1

-12

6L

-6L

2

2L

θ2

12

-6L

v3

4L2

θ3

2

4L

2L

12+12 -6L+6L

[K ] = EI3z

2

L

2

4L +4L ñx

=

v2

v1

θ1

v2

θ2

v3

θ3

12

6L

-12

6L

0

0

v1

4L2

-6L

2L2

0

0

θ1

24

0

-12

6L

-6L

2

2L

θ2

12

-6L

v3

4L2

θ3

EI z L3

2

8L ñx

40

v2

Phương pháp phần tử hữu hạn Bước 3: Tính véc-tơ tải kết cấu Gọi R1, M1, R2 và R3 là các thành phần phản lực liên kết, véc-tơ tải kết cấu:

 R1   M  1    qL   R2 −  2  2 {F } =  − qL   12   qL   R3 −  2   2  qL     12 

R1

M1

R2-qL/2

1

-qL2/12

1

qL2/12 2

Bước 4: Giải phương trình kết cấu -

ðKB: v1 = θ1 = v2 = v3 = 0

-

Hệ phương trình kết cấu trở thành:

 R1   M  1   0   6L  qL   2 L2  R2 −  0  2   2   θ L 0 6  2   qL  EI z = −  2 2  3  2 L  θ 3   12  L  8L − 6 L − 6 L   qL  R −    2  3 2  4 L2   2 L   qL2     12  -

Giải phương trình thứ 4 và 6, ta ñược: qL3 θ2 = − ; 56 EI z

5qL3 θ3 = ; 168 EI z

Bước 5: Tính phản lực Thay θ2 và θ3 vào các phương trình còn lại, ta ñược các phản lực: R1 = − R2 =

3qL ; 28

19qL ; 28

M1 = − R3 =

qL2 ; 28

3qL ; 7 41

R3-qL/2

2

3