Chapter2 Limits And Derivatives

Chapter 2: LIMITS AND DERIVATIVES (GIỚI HẠN VÀ ĐẠO HÀM) 2.1

THE TANGENT AND VELOCITY PROBLEMS (BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN VÀ BÀI TOÁN VẬN TỐC) TANGENT PROBLEM (BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN) Example 1: Find an equation of the tangent line t to the parabola y  x 2 at the point P 1,1 . Giải: Trước hết cần tìm hệ số góc (slope) m của tiếp tuyến t: Lấy điểm Q  x, x 2  thuộc parabola thì hệ số góc của cát tuyến (secant) x2  1 . Xem bảng tính giá trị của mPQ tại các điểm x x 1 nhận giá trị gần với giá trị x  1 ta thấy khi x  1 (thì Q  P hay cát tuyến PQ  vị trí của tiếp tuyến t) thì mPQ  m   2 

PQ là mPQ 

Ta nói: hệ số góc của tiếp tuyến là giới hạn (limit) của hệ số góc của cát tuyến và viết: x2  1 2 lim mPQ  m hay lim x 1 x  1 QP Vậy phương trình của đường tiếp tuyến t tại điểm P(1,1) là: y  1  2  x  1  y  2 x  1 THE VELOCITY PROBLEM (BÀI TOÁN VẬN TỐC) Example 2: Suppose that a ball is dropped from the upper observation deck of the CN Tower in Toronto, 450 m above the ground. Find the velocity of the ball after 5 seconds. Giải: Theo định luật Galileo, khoảng cách rơi sau t giây của vật rơi tự do (không xét đến lực cản không khí) là: s  t   4.9t 2 Vấn đề của ta là tìm vận tốc của quả bóng sau 5 giây, tức là vận tốc tức thời tại thời điểm t  5 1 Trước hết ta tìm vận tốc trung bình trong một khoảng thời gian ngắn s từ t  5 đến t  5.1 : 10 2 2 s  5.1  s  5  4.9  5.1  4.9  5  vtb    49.49 m / s 5.1  5 0.1 Bảng bên là những kết quả tính toán tương tự cho vận tốc trung bình trong các khoảng thời gian khác rất gần thời điểm t  5 , ta thấy vận tốc trung bình trở nên gần với giá trị 49 m / s , điều đó cho ta kết luận vận tốc tức thời tại thời điểm t  5 là v  49 m / s . Giải quyết hai bài toán trên, đòi hỏi phải thực hiện các phép tính giới hạn. Trong các mục sau ta sẽ từng bước tìm hiểu rõ hơn về phép tính giới hạn 2.2

THE LIMIT OF A FUNCTION (GIỚI HẠN HÀM SỐ) Để có cái nhìn trực quan về giới hạn hàm số, ta xét ví dụ: Cho hàm số f  x   x 2  x  2 . Tính giá trị của f  x  khi x gần 2. VLU/Calculus1_TN120/ChapterII_Limits and Derivatives/Page 1 of 23

Xem bảng tính giá trị của f  x  khi x gần 2 nhưng x không bằng 2. Từ bảng giá trị và đồ thị hàm f ta thấy, khi x dần về 2 (từ hai phía của 2) thì f  x  dần về 4. Có nghĩa, giá trị của f  x  có thể gần 4 một cách tùy thích nếu chọn x đủ gần 2. Khi đó ta nói: “giới hạn của hàm số f  x   x 2  x  2 khi x dần đến 2 bằng 4”, viết: lim  x 2  x  2   4 x2

DEFINITION: Giới hạn của hàm số f  x  khi x dần đến a bằng L nếu giá trị của f  x  có thể gần L một cách tùy ý khi lấy giá trị của x đủ gần a (về cả hai phía của a ) nhưng x không bằng a , và viết: lim f  x   L xa

Lưu ý: trong định nghĩa trên ta chỉ quan tâm đến giá trị của hàm số f  x  khi x nhận những giá trị gần a nhưng x  a . Vậy ta không cần quan tâm đến hàm số có xác định tại a hay không

x 1 x 1 x 2  1 Giải: Hàm f không xác định khi x  1 , tuy nhiên ta chỉ quan tâm đến giá trị của f  x  khi

Example 1: Guess the value of lim

x gần 1 và x  1 . Bảng bên là giá trị của f  x 

Dựa vào bảng ta dự đoán được lim x 1

x 1  0.5 x2  1

Nếu thay đổi hàm f bởi hàm g như sau:  x 1 khi x  1  g  x    x2  1  2 khi x  1

Hàm g vẫn có giới hạn bằng 0.5 khi x dần đến 1 (xem hình bên) Một lần nữa ta thấy không cần quan tâm đến giá trị của hàm số tại điểm cần tính giới hạn. sin x x 0 x

Example 2: Guess the value of lim Giải: Hàm f  x  

tại x  0 .

sin x không xác định x

Bảng bên đưa ra những giá trị của f đúng đến tám chữ số thập phân. Dựa vào sin x 1 bảng ta dự đoán lim x 0 x Example 3: Investigate limsin x 0



x

. VLU/Calculus1_TN120/ChapterII_Limits and Derivatives/Page 2 of 23

Giải: Hàm số f  x   sin



không xác định tại x  0 . Tính các giá trị của f  x  khi x gần 0:

x

1 1 1 f 1  sin   0, f    sin 2  0, f    sin 3  0, f    sin 4  0 2  3 4 f  0.1  sin10  0, f  0.01  sin100  0, f  0.001  f  0.0001  0



 0 . Tuy nhiên dự đoán này không đúng. x Lý do để dẫn đến dự đoán không đúng là vì ta chọn tính các giá trị của hàm f không bao quát,

Dựa vào các tính toán trên có thể dự đoán limsin x 0

Xét thêm đồ thị của hàm f để thấy rõ điều này. Nhìn vào đồ thị ta thấy có những đường gần như thẳng đứng và rất dày ở gần trục tung, có nghĩa   các giá trị của sin   dao động giữa -1 và 1 vô x hạn lần khi x dần đến 0. Vì giá trị của f  x  không dần đến một số cố định khi x dần đến 0 nên limsin x 0

 x

không tồn tại.

ONE-SIDED LIMITS (GIỚI HẠN MỘT PHÍA)

DEFINITION: Giới hạn của f  x  khi x dần đến a từ bên trái bằng L  lim f  x   L  nếu giá trị của hàm số f  x  có thể gần  xa  L một cách tùy ý khi lấy giá trị của x đủ gần a và x nhỏ hơn a 

DEFINITION: Giới hạn của f  x  khi x dần đến a từ bên phải bằng L  lim f  x   L  nếu giá trị của hàm số f  x  có thể gần  xa  L một cách tùy ý khi lấy giá trị của x đủ gần a và x lớn hơn a 

Một kết quả hiển nhiên suy từ các định nghĩa: lim f  x   L khi và chỉ khi lim f  x   L và lim f  x   L xa

xa

xa

Example 4: The graph of a function g is shown. Use it to state the values (if they exist) of the following: a. lim g  x 

b. lim g  x 

c. lim g  x 

d. lim g  x 

e. lim g  x 

f . lim g  x 

x  2

x 5

x  2

x2

x  5

x 5

Giải: Dựa vào đồ thị ta có: a. lim g  x   3 x  2

b. lim g  x   1 x  2

c. Vì giới hạn bên trái và giới hạn bên phải của g là khác nhau nên lim g  x  không tồn tại. x2

d. lim g  x   2 x 5

e. lim g  x   2 x  5

f . lim g  x   2 x 5

VLU/Calculus1_TN120/ChapterII_Limits and Derivatives/Page 3 of 23

INFINITE LIMITS (GIỚI HẠN VÔ CÙNG) Example 5: Find lim x 0

1 if it exists. x2

Giải: Khi x dần đến 0 thì x 2 cũng dần đến 0 và 1 trở nên rất lớn (xem bảng bên). Nhìn x2 1 vào đồ thị của hàm f  x   2 ta thấy rằng x giá trị của f  x  có thể lớn một cách tùy ý

khi x đủ gần 0. Vậy giá trị f  x  không

1 1 không tồn tại, và viết lim 2   [  không phải là một 2 0 x  x x 1 số, đẳng thức này chỉ là hình thức, nó mang ý nghĩa giới hạn không tồn tại và 2 có thể trở nên x lớn tùy ý khi x đủ gần 0]

thể dần đến một số nào đó, ta nói lim x 0

DEFINITION: Cho hàm f xác định về hai phía điểm a, trừ điểm a. 

lim f  x    nếu giá trị f  x  có thể lớn tùy ý khi x đủ gần a, x  a



lim f  x    nếu giá trị f  x  có thể âm, lớn tùy ý khi x đủ gần a, x  a

xa

xa

Chẳng hạn ta có ví dụ sau:  1  lim   2    x 0  x 

Một cách tương tự ta có thể định nghĩa các giới hạn một phía: lim f  x   

lim f  x   

x a

xa

x a

xa

lim f  x   

lim f  x   

Các hình sau minh họa thêm cho các giới hạn trên:

DEFINITION: Đường thẳng x  a gọi là tiệm cận đứng (vertical asymptote) của đồ thị hàm số y  f  x  nếu ít nhất một trong các điều sau xảy ra: lim f  x    xa

lim f  x    xa

lim f  x   

xa

lim f  x   

xa 

lim f  x   

xa

lim f  x   

xa

VLU/Calculus1_TN120/ChapterII_Limits and Derivatives/Page 4 of 23

Example 6: Find lim 

x 3

2x 2x . and lim x 3 x  3 x3 

Giải:

Khi x  3 thì x  3  0 và 2 x  6 . Vậy lim 

x 3

Tương tự, lim x 3

2x  . x 3

2x   . x3

Đường thẳng x  3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm y  lim 

x 3

Example 7: Find the vertical asymptotes of f  x   tan x Giải: sin x Vì tan x  nên có khả năng có nhiều tiệm cận đứng cos x tại các giá trị làm cho cos x bằng 0.

2x x 3



  Ta có cos x  0 khi x    và 2 

  cos x  0 khi x    2





Mặt khác sin x  0 khi x gần

 2

.

 lim tan x   và lim tan x    . Vậy đường thẳng x  x  /2 



x  /2 





 2

là tiệm cận đứng.

Tương tự, các đường thẳng x   2n  1 , n   đều là các đường 2 tiệm cận đứng của hàm số y  tan x . Một ví dụ khác, đồ thị hàm số y  ln x có tiệm cận đứng là trục Oy, có phương trình x  0 , vì lim ln x   .

x  0

Kết quả trên cũng đúng cho hàm y  log a x với a  1 tùy ý. 2.3

CALCULATING LIMITS USING THE LIMIT LAWS (LUẬT TÍNH GIỚI HẠN)

LIMIT LAWS: Giả sử tồn tại các giới hạn lim f  x  , lim g  x  và c là một hằng số thì: x a

x a

1. lim  f  x   g  x    lim f  x   lim g  x  x a xa xa

2. lim cf  x    c lim f  x  x a x a

3. lim  f  x  g  x    lim f  x  .lim g  x  x a xa xa

4. lim xa

f  x f  x  lim if lim g  x   0  x a x a g  x  lim g  x  xa

n

5. lim  f  x    lim f  x   , n   xa  xa  n

8. lim x n  a n , n   xa

6. lim c  c

7. lim x  a

x a

xa

9. lim n x  n a , n   [Nếu n chẵn, ta giả sử a  0 ] xa

10. lim n f  x   n lim f  x  , n   [Nếu n chẵn, ta giả sử lim f  x   0 ] x a

xa

x a

Lưu ý: các luật trên cũng đúng cho giới hạn một phía VLU/Calculus1_TN120/ChapterII_Limits and Derivatives/Page 5 of 23

Example 1: Use the Limit Laws and the graphs of f and g to evaluate the following limits, if they exist. a. lim  f  x   5 g  x   x 2

b. lim  f  x  g  x   x 1

c. lim x 2

f  x g  x

Giải:

a. Ta có: lim f  x   1, lim g  x   1 , vậy x 2

x 2

lim  f  x   5 g  x    lim f  x   lim 5 g  x    lim f  x   5 lim g  x   1  5  1  4 x  2

x 2

x  2

x 2

x 2

b. Ta có: lim f  x   2, lim g  x   1, lim g  x   2 . x 1

x 1

x 1

Giới hạn lim g  x  không tồn tại nên ta không thể áp dụng luật 3 trực tiếp được. Ta sẽ áp dụng x 1

luật 3 cho giới hạn một phía: lim  f  x  g  x    lim f  x  .lim g  x   2.  2   4 x 1

x 1

x 1

lim  f  x  g  x    lim f  x  .lim g  x   2.  1  2 x 1

x 1

x 1

Vì giới hạn bên trái và bên phải không bằng nhau nên lim  f  x  g  x   không tồn tại. x 1 c. Đồ thị chỉ ra rằng lim f  x   1.4, lim g  x   0 . Vậy ta không thể áp dụng luật 4. Tuy nhiên x 2

x 2

ta kết luận được giới hạn không tồn tại vì mẫu số tiến đến 0 còn tử số tiến về một số khác 0. Example 2: Evaluate the following limits and justify each step. x3  2 x 2  1 x  2 5  3x

a. lim  2 x 2  3x  4 

b. lim

x 5

Giải:

a. lim  2 x 2  3x  4   lim  2 x 2   lim  3x   lim 4 x 5

x 5

x 5

x5

(luật 1)

 2lim x 2  3lim x  lim 4

(luật 2)

 2  52   3  5   4  39

(luật 6, 7,8)

x 5

x 5

x 5

 x3  2 x 2  1 x 3  2 x 2  1 xlim 2  b. lim x 2 5  3x lim  5  3 x 

(luật 4)

x 2



lim x 3  2 lim x 2  lim1

x 2

x 2

x 2

(luật 1, 2)

lim 5  3 lim x

x 2

 2  

x 2

 2  2   1 1  5  3  2  11 3

2

(luật 6, 7, 8)

sin 7 x . x 0 4x

Example 3: Find lim

Giải: Đặt   7x , ta có   0 khi x  0 . Vậy:

sin 7 x 7 sin  7 7  sin 7 x  7  lim   lim  .1   x 0 4x 4 x 0  7 x  4  0  4 4

lim

VLU/Calculus1_TN120/ChapterII_Limits and Derivatives/Page 6 of 23

DIRECT SUBSTITUTION PROPERTY: Nếu f là một đa thức hay một hàm hữu tỷ và a thuộc miền xác định của f thì lim f  x   f  a  x a

Example 4: Find lim x 1

x2  1 x 1

Giải: x2  1 Đặt f  x   . Đây là hàm hữu tỷ nhưng không thể tính giới hạn bởi việc thay thế giá trị x 1 x  1 vào hàm số được vì f 1 không xác định.

Ta có

x 2  1  x  1 x  1 x2  1   x  1 ( x  1  0 do x  1 ). Vậy lim  lim  x  1  1  1  2 . x 1 x  1 x 1 x 1 x 1

Nếu f  x   g  x  , x  a và các giới hạn lim f  x  , lim g  x  tồn tại thì lim f  x   lim g  x  xa

xa

xa

xa

 x  1 if x  1 Example 5: Find lim g  x  , where g  x    x 1 if x  1 

Giải: Vì g  x   x  1, x  1 nên lim g  x   lim  x  1  2 x 1

x 1

Để ý với x  1 , hàm g  x  là hàm f  x  trong ví dụ 3 nên lim g  x   lim f  x   2 x 1

Example 6: Evaluate lim

3  h

h 0

Giải:

Đặt F  h 

3  h 

2

9

2

9

h

.

 9  6h  h   9  6h  h . Ta có F  h   2

h

h

x 1

h

2

 6h

 h  0

Vậy: lim F  h   lim  6  h   6 h0

h 0

t2  9  3 Example 7: Find lim . t 0 t2 Giải: Vì: t 2  9  9  1 t2  9  3 t2  9  3 t2  9  3 .    t2 t2 t2  9  3 t2 t2  9  3 t2  9  3





t  0

t2  9  3 1 1 1 1  lim 2    Vậy: lim 2 t 0 t 0 t t 9 3 lim  t 2  9   3 3  3 6 t 0

Example 8: Show that lim x  0 x 0

Giải: x Ta có x    x

x0 x0

 lim x  lim x  0 , lim x  lim   x   0 . Vậy: lim x  0 . x 0

x 0

x  0

x  0

x 0

VLU/Calculus1_TN120/ChapterII_Limits and Derivatives/Page 7 of 23

x does not exist. x 0 x x x x x x Giải: lim  lim  lim1  1 , lim  lim  lim  1  1 . Vậy lim không tồn tại. x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x 0 x x 0 x x 0  x  4 if x  4 Example 10: If f  x    , determine whether lim f  x  exists. x4 if x  4 8  2 x

Example 9: Prove that lim













Giải: Ta có: lim f  x   lim x  4  4  4  0 , lim f  x   lim  8  2 x   8  2.4  0 . x  4

x  4

x  4

x  4

Vậy lim f  x   0 x4

Example 11: The greatest integer function is defined by  x   the largest integer that is less  1 than or equal to x . (For instance,  4  4,  4.8  4,    3,  2   1,     1 ). Show that  2 lim  x  does not exist. x 3

Giải:

Ta có  x   3 nếu 3  x  4  lim  x   lim 3  3 . x 3

x 3

Và  x   2 nếu 2  x  3  lim  x   lim 2  2 . x 3

x 3

Vậy lim  x  không tồn tại. x 3

THEOREM: Nếu f  x   g  x  khi x gần a (có thể trừ điểm a ) và lim f  x  , lim g  x  đều tồn tại thì: xa

xa

lim f  x   lim g  x  xa

xa

THE SQUEEZE THEOREM: Nếu f  x   g  x   h  x  khi x gần a (có thể trừ điểm a ) và lim f  x   lim h  x   L thì: lim g  x   L . xa

x a

xa

1  0. x 0 x 1 1 1 Giải: Ta không thể viết lim x 2 sin  lim x 2 .limsin vì limsin không tồn tại. Giới hạn này x 0 x 0 x 0 x x 0 x x được tính như sau: 1 1 Vì 1  sin  1   x 2  x 2 sin  x 2 . Mặt khác, lim x 2  0, lim   x 2   0 . x 0 x 0 x x 1 Áp dụng định lý Squeeze Theorem ta có lim x 2 sin  0 . x 0 x

Example 12: Show that lim x 2 sin

2.4

THE PRECISE DEFINITION OF A LIMIT (ĐỊNH NGHĨA CHÍNH XÁC GIỚI HẠN):

Định nghĩa giới hạn một cách trực giác như trong mục 2.2 là rất mơ hồ ở các thuật ngữ “ f  x  gần L một cách tùy ý” và “x đủ gần 2”. Để đưa ra định nghĩa chính xác giới hạn, ta xét hàm: 2 x  1, x  3 f  x   x3 6, VLU/Calculus1_TN120/ChapterII_Limits and Derivatives/Page 8 of 23

Trực giác nhận thấy khi x dần đến 3 nhưng x  3 thì f  x  dần đến 5, vì vậy lim f  x   5 x 3

Để biết chi tiết hơn f  x  thay đổi như thế nào khi x dần đến 3, ta trả lời câu hỏi sau: x gần 3 như thế nào để sai khác giữa f  x  và 5 nhỏ hơn 0.1?

Khoảng cách từ x đến 3 là x  3 , khoảng cách từ f  x  đến 5 là f  x   5 , vậy vấn đề của chúng ta là tìm số  sao cho: f  x   5  0.1 nếu x  3   và x  3 , hay nếu 0  x  3  

Ta có, với 0  x  3   0.1 / 2  0.05 thì f  x   5   2 x  1  5  2 x  3  2  0.05   0.1 Vậy nếu khoảng cách từ x đến 3 nhỏ hơn 0.05 thì khoảng cách từ f  x  đến 5 nhỏ hơn 0.1, số  cần tìm là 0.05. Nếu thay đổi số 0.1 bởi số nhỏ hơn 0.01, lập luận như trên ta có: f  x   5  0.01 nếu 0  x  3  0.005

Tương tự, f  x   5  0.001 nếu 0  x  3  0.0005 Những con số 0.1, 0.01, 0.001 ở trên thể hiện mức độ “ f  x  gần 5” hay đây chính là sai số

giữa f  x  và 5 mà ta tùy chọn. Để có thể nói chính xác giới hạn của f  x  khi x dần đến 3 là 5

ta không thể chỉ xét khoảng cách giữa f  x  và 5 nhỏ hơn vài con số nhỏ cụ thể, mà cần xét tại bất kỳ một khoảng cách dương nhỏ nào. Nếu viết  (epsilon) là số dương nhỏ tùy ý, với cách tìm như trên ta có: f  x   5   nếu 0  x  3   



. 2 Đây là cách chính xác để nói rằng f  x  dần đến 5 khi x dần

đến 3 vì chúng ta có thể làm cho giá trị của f  x  gần 5 một khoảng cách  nhỏ tùy ý bằng cách lấy những giá trị của x cách 3 một khoảng /2 ( x  3 ).

DEFINITION: Giả sử hàm f xác định trên khoảng mở chứa điểm a, có thể trừ điểm a. lim f  x   L nếu với mỗi số   0 , tồn tại số   0 thỏa 0  x  a   thì f  x   L   . xa

Lưu ý:

x  a      x  a    a   x  a 

và

f  x  L       f  x  L    L    f  x  L  

VLU/Calculus1_TN120/ChapterII_Limits and Derivatives/Page 9 of 23

Vậy ta có thể phát biểu lại định nghĩa giới hạn như sau: lim f  x   L nếu với mỗi số   0 , có xa

thể tìm số   0 để với x thuộc khoảng  a   , a    thì f  x  thuộc khoảng  L   , L    Example 1: Use a graph to find a number  such that

if x  1   then

x

3

 5 x  6   2  0.2 . In other words, find a

number  that corresponds to   0.2 in the definition of a limit for the function f  x   x 3  5 x  6 with a  1 and L  2 . Giải: Từ bất đẳng thức (inequality):

x

3

 5 x  6   2  0.2  1.8  x 3  5 x  6  2.2

Vậy ta cần xác định giá trị của x để đường cong y  x 3  5 x  6 nằm giữa các đường nằm ngang y  1.8 và y  2.2 Hoành độ giao điểm của đường y  1.8 và y  x 3  5 x  6 là x  0.911 và của đường y  2.2 và y  x3  5 x  6 là x  1.1124 . Ta có thể nói nếu 0.92  x  1.12 thì 1.8  x 3  5 x  6  2.2

Vì khoảng  0.92,1.12  không đối xứng qua điểm x  1 : khoảng cách từ 1 đến điểm cuối bên trái là 1  0.92  0.08 và khoảng cách từ 1 đến điểm cuối bên phải là 1.12  1  0.12 , vậy ta chọn  là số nhỏ hơn trong hai số 0.08 và 0.12 là 0.08, khi đó ta viết: Nếu x  1  0.08 thì  x 3  5 x  6   2  0.2 Example 2: Prove that lim  4 x  5   7 . x 3

Giải:

- Phân tích sơ bộ ban đầu để dự đoán : Cho   0 , ta sẽ tìm số  thỏa mãn: nếu 0  x  3   thì  4 x  5   7   Vì

 4 x  5  7

 4 x  12  4  x  3   khi  x  3 

Đến đây ta dự đoán  

 4

- Chứng minh: Với   0 , chọn  

 4

 4

. Nếu 0  x  3   thì:

  4 x  12  4  x  3  4  4     . 4 Vậy theo định nghĩa giới hạn: lim  4 x  5   7 .

 4 x  5  7 

x 3

Tương tự ta chính xác các định nghĩa giới hạn một phía như sau: lim f  x   L nếu với mỗi số   0 , tồn tại số   0 thỏa a    x  a thì f  x   L  

xa

lim f  x   L nếu với mỗi số   0 , tồn tại số   0 thỏa a  x  a   thì f  x   L   .

xa

VLU/Calculus1_TN120/ChapterII_Limits and Derivatives/Page 10 of 23

Example 3: Use Definition to prove that lim x  0 . x  0

Giải:

- Phân tích để dự đoán : Cho   0 , ở bài toán này a  0, L  0 . Ta sẽ tìm số  thỏa mãn: nếu 0  x   thì Có nghĩa nếu 0  x   thì

x 0 

x   . Từ đây ta có nếu 0  x   thì x   2 . Dự đoán    2

- Chứng minh: Với   0 , chọn    2 . Nếu 0  x   thì

x     2   ta

x  0   . Theo định nghĩa giới hạn bên phải điểm 0, ta có lim x  0 .

có

x  0

INFINITE LIMITS (GIỚI HẠN VÔ HẠN)

DEFINITION: Giả sử hàm f xác định trên khoảng mở chứa điểm a, có thể trừ điểm a. lim f  x    nếu với mỗi số M  0 , tồn tại xa

số   0 thỏa 0  x  a   thì f  x   M . Example 4: Use Definition to prove that lim x 0

1 . x2

Giải: Cho M  0 , ta sẽ tìm số  thỏa mãn: nếu 0  x   thì

1 M x2

1 1 1 1 1  M  x2   x . Vậy nếu chọn   và 0  x    thì 2 x M M M M 1 1  M . Điều này nói rằng 2   khi x  0 . 2 x x

Vì

DEFINITION: Giả sử hàm f xác định trên khoảng mở chứa điểm a, có thể trừ điểm a. lim f  x    nếu với mỗi số N  0 , tồn xa

tại số   0 thỏa 0  x  a   thì f  x   N . 2.5 CONTINUITY (LIÊN TỤC)

DEFINITION: Hàm f liên tục tại điểm a (continuous at a number a) nếu lim f  x   f  a  xa

Lưu ý: có 3 điều kiện trong định nghĩa để hàm f liên tục tại a: 

f  a  được xác định (a thuộc miền xác định của f);

 Tồn tại lim f  x  ; xa



lim f  x   f  a  . xa

Hàm số f không liên tục, ta nói f gián đoạn (discontinuous) tại a Đồ thị của hàm số liên tục tại một điểm không bị đứt tại đó. Example1: Figure shows the graph of a function f. At which numbers is f discontinuous? Why? Giải:

- Hàm f không liên tục tại x  1 vì f 1 không xác định VLU/Calculus1_TN120/ChapterII_Limits and Derivatives/Page 11 of 23

(đồ thị bị đứt tại đó) - Hàm f không liên tục tại x  3 vì không tồn tại lim f  x   lim f  x   lim f  x   x 3 x 3  x 3  



- Hàm f không liên tục tại x  5 vì lim f  x   f  5  ( f  5  và lim f  x  đều tồn tại). x 5

x 5

Example 2: Where are each of the following functions discontinuous? 1 x2  x  2  2 ,x  0 b. f  x    x a. f  x   x2  1, x  0  x2  x  2 ,x  2  c. f  x    x  2 1, x2  Giải:

d. f  x    x  (số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hay bằng x)

a. Hàm f không xác định tại x  2 . Vậy f không liên tục tại x  2 . 1 b. Ta có f  0   1 nhưng lim 2 không tồn tại. Vậy f không liên tục tại x  0 . x 0 x  x  2  x  1  lim x  1  3 x2  x  2 c. Ta có f  2   1 và lim f  x   lim  lim   x2 x2 x2 x2 x2 x2 Vì lim f  x   f  2  do đó f không liên tục tại x  2 . x2

d.

Hàm f  x    x  không liên tục tại tất cả các số nguyên n vì lim  x  không tồn tại. xn

Quan sát đồ thị các hàm trên, ta thấy các đường biểu diễn đồ thị không liền, hoặc là nó có lỗ (hole), hoặc là nó bị đứt (break), hoặc là nó có bước nhảy (jump). Điểm không liên tục trong hình (a) và (c) gọi là gián đoạn bỏ được (removable) vì ta có thể bỏ nó bằng cách xây dựng lại hàm f. Gián đoạn trong hình (b) gọi là gián đoạn vô hạn (infinite discontinuity). Gián đoạn trong hình (d) gọi là gián đoạn có bước nhảy (jump discontinuity) vì hàm nhảy từ giá trị này sang giá trị khác. DEFINITION: Hàm f liên tục bên phải điểm a nếu lim f  x   f  a  , liên tục bên trái xa

điểm a nếu lim f  x   f  a  xa

Example 3: Tại mỗi số nguyên n, hàm f  x    x  liên tục bên phải nhưng không liên tục bên

trái vì

lim  x   n  f  n  , lim  x   n  1  f  n  .

x n

x n

DEFINITION: Hàm f liên tục trong một khoảng (interval) nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (Nếu f chỉ được xác định về 1 phía của điểm đầu/cuối của khoảng, ta hiểu sự liên tục tại các điểm ấy theo nghĩa liên tục bên phải/bên trái) VLU/Calculus1_TN120/ChapterII_Limits and Derivatives/Page 12 of 23

Example 4: Show that the function f  x   1  1  x 2 is continuous on the interval  1,1 . Giải: Nếu 1  a  1 , sử dụng luật giới hạn ta có:





lim f  x   lim 1  1  x 2  1  lim 1  x 2  1  1  a 2  f  a  . xa

xa

xa

Vậy f liên tục tại a với 1  a  1 Ngoài ra, tính toán tương tự lim f  x   1  f  1 và lim f  x   1  f 1 . Vậy f liên tục bên x 1

x 1

phải điểm -1, bên trái điểm 1. Do đó f liên tục trên  1,1 . THEOREM: Nếu f và g là các hàm liên tục tại a, và c là một hằng số thì các hàm sau cũng liên tục tại a: f 1. f  g 2. cf 3. fg 4. g  a   0  g  a   0  g Chứng minh: Ta chứng minh kết luận 1, các kết luận khác chứng minh tương tự Vì f, g liên tục tại a, ta có: lim f  x   f  a  , lim g  x   g  a  xa

xa

lim  f  g  x   lim  f  x   g  x    lim  f  x    lim  g  x    f  a   g  a    f  g  a  xa xa xa x a

Vậy f  g liên tục tại a THEOREM: Các hàm sau liên tục tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó: Hàm đa thức

Hàm hữu tỷ

Hàm căn thức

Hàm lượng giác ngược

Hàm mũ

Hàm logarithm

Hàm lượng giác

x3  2 x 2  1 . x 2 5  3x 5 x3  2 x 2  1  Giải: Xét hàm hữu tỷ f  x   có miền xác định là  x / x   5  3x 3  3 2 2   2  2   1  1 x3  2 x 2  1  f  2    . Vậy f liên tục tại điểm -2, do đó lim x 2 5  3x 5  3  2  11

Example 5: Find lim

ln x  tan 1 x Example 6: Where is the function f  x   continuous? x2  1 Giải: Ta có hàm y  ln x liên tục với x  0 , hàm y  tan 1 x liên tục trên   y  ln x  tan 1 x liên tục trên (0,). Vậy hàm f(x) đã cho liên tục trên (0,), trừ các giá trị của x mà x 2  1  0 hay x  1 . Nói cách khác f liên tục trên (0,1) và (1,).

sin x . x  2  cos x sin x Giải: Hàm số f  x   xác định với mọi x nên liên tục trên  . Vậy: 2  cos x Example 7: Evaluate lim

lim x 

sin x  lim f  x   f    0 . 2  cos x x





THEOREM: Nếu f liên tục tại b và lim g  x   b thì lim f  g  x    f lim g  x   f  b  x a

xa

xa

VLU/Calculus1_TN120/ChapterII_Limits and Derivatives/Page 13 of 23

Hệ quả:

lim n g  x   n lim g  x  xa

xa

1 x  Example 8: Evaluate lim arcsin  . x 1  1 x  

Giải: Vì arcsin là hàm liên tục, do đó: 1 x   1 x  1  1    arcsin  lim lim arcsin   arcsin  .    arcsin  lim  x 1 x  1 x  1 1 x  2 6 1 x    1 x  

THEOREM: Nếu g liên tục tại a và f liên tục tại g  a  thì hàm hợp f  g liên tục tại a Chứng minh: g liên tục tại a: lim g  x   g  a  xa

f liên tục tại b  g  a  : lim f  g  x    f  g  a    lim  f  g  x    f  g  a  xa xa Vậy hàm hợp f  g liên tục tại a Example 9: Where are the following functions continuous?

 a  h  x   sin  x 2 

b

F  x   ln 1  cos x 

Giải:

(a) Ta có h  x   f  g  x   , trong đó g  x   x 2 và f  x   sin x Vì g và f liên tục trên  nên h  x  liên tục trên  . (b) ln 1  cos x  xác định khi 1  cos x  0  hàm không xác định khi cos x  1  x   ,  3 ,... Vậy, F  x  gián đoạn khi x là bội lẻ của  và liên tục trên các khoảng nằm giữa các giá trị này (xem hình bên). INTERMEDIATE VALUE THEOREM (ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ TRUNG GIAN): Giả sử f liên tục trên khoảng đóng  a, b  và N là số bất kỳ ở giữa f  a  và f  b  với f  a   f  b  . Khi đó tồn tại số c   a,b  thỏa f  c   N

Các hình vẽ bên mô hình cho định lý giá trị trung gian Về mặt hình học, đồ thị của hàm số liên tục không có lỗ, không bị đứt nên bất kỳ đường thẳng nằm ngang y  N nằm giữa y  f  a  và y  f  b  phải cắt đồ thị. Tính chất liên tục là cần thiết trong định lí trên, đối với hàm gián đoạn, định lí giá trị trung gian nói chung không đúng. Example 10: Show that there is a root of the equation 4 x 3  6 x 2  3 x  2  0 between 1 and 2. Giải: Xét a  1, b  2 và N  0

Ta có: f 1  1  0, f  2   12  0 và N  0   1,12  , do đó theo định lý tồn tại c   1, 2  VLU/Calculus1_TN120/ChapterII_Limits and Derivatives/Page 14 of 23

để f  c   0 . Vậy c là một nghiệm của phương trình cần tìm. 2.6. LIMITS AT INFINITY; HORIZONTAL ASYMPTOTES (GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC; TIỆM CẬN NGANG) x2  1 Bắt đầu với hàm số f  x   2 , quan sát hình vẽ và bảng giá trị x 1 của hàm f, ta nhận thấy khi x càng lớn, giá trị của hàm f càng tiến gần về 1, nói cách khác giá trị f  x  có thể gần 1 tùy ý với x đủ lớn, ta nói hàm f có giới hạn là 1 khi x dần ra vô cùng

DEFINITON: Cho hàm f xác định trên  a,   . lim f  x   L nếu với mỗi số   0 , tồn x 

tại số N thỏa x  N thì f  x   L   DEFINITION: Cho hàm f xác định trên  , a  . lim f  x   L nếu với mỗi sô   0 , tồn

x 

tại số N thỏa x  N thì f  x   L   DEFINITION: Đường y  L gọi là tiệm cận ngang (horizontal asymptote) của đường cong y  f  x  nếu lim f  x   L hoặc lim f  x   L x 

x 

x2  1 x2  1 y 1  có đường thẳng là tiệm cận ngang vì  1. lim x  x 2  1 x2  1 Một đường cong có thể có hai đường tiệm cận ngang, ví dụ đường cong y  tan 1 x có hai

Đồ thị hàm số f  x  

đường tiệm cận ngang y   lim tan 1 x  

x 

 2

và y 



 2

lim tan 1 x 

2

x 

 2

Example 1: Find the infinite limits, limits at infinity, and asymptotes for the function f whose graph is shown. Giải: Giới hạn vô cùng lim f  x   , lim f  x   , lim f  x    x 1

x  2

x  2

 Các đường x  1, x  2 là tiệm cận đứng của f VLU/Calculus1_TN120/ChapterII_Limits and Derivatives/Page 15 of 23

Giới hạn tại vô cùng lim f  x   2, lim f  x   4 x 

x 

 Các đường y  2, y  4 là tiệm cận ngang của f 1 Example 2: Use Definition to prove that lim  0 . x x 1 Giải: Cho   0 , tìm N thỏa: nếu x  N thì  0   x 1 1 1 1 1    x  . Vậy chọn N  , với x  N  thì Giả sử x  0 , ta có  0    x x    1 1 1  0    . Theo định nghĩa ta được lim  0 x  x x x

THEOREM:  Nếu r là số hữu tỷ dương thì lim x

1 0 xr 1 0 x  x r

 Nếu r là số hữu tỷ dương và x r xác định với mọi x thì lim

3x 2  x  2 . x  5 x 2  4 x  1 1 2  x 2  3   2  lim3  lim 1  lim 22 2 3x  x  2 300 3 x  x x  x x x  x Giải: lim 2  lim     . x  5 x  4 x  1 x  4 1 500 5 4 1  2  lim  lim 2 x  5   2  lim5 x  x x  x x x  x 

Example 3: Evaluate lim

Example 4: Find the horizontal and vertical asymptotes of the graph of the function 2x2  1 . f  x  3x  5 1 2x  1 x 2  lim Giải: lim  lim x  3 x  5 x  5  x  x3   x  x 2

2

1 x2  2 . 5 3  3  x  2

1 1  2 2 2 2x  1 x  lim x  2  lim Và lim x  3 x  5 x  x   5 5 3  x3  3  x x   2

x 2 

Vậy các đường thẳng y 

2 2 và y   là các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số f 3 3 VLU/Calculus1_TN120/ChapterII_Limits and Derivatives/Page 16 of 23

Hơn nữa, lim

x  5/3

2x2  1  , lim x  5/3 3x  5



Example 5: Compute lim x 

Giải: lim









x2  1  x

x  1  x  lim 2



5 2x2  1   , nên tiệm cận đứng của hàm số là x  . 3x  5 3



x 1  x 2



x2  1  x

x  lim

2

 1  x 2

 lim

x 2  1  x x x 2  1  x 1 1 0 x x  lim  lim  0 2 x  1 1 0 1 x  1  x x 1 1 x x x Đồ thị của hàm số mũ y  e có tiệm cận ngang là y  0 (điều này cũng đúng cho mọi hàm số mũ có cơ số a  1 ). x 

x 

x 

1 x2  1  x

lim e x  0

x 

1 x

Example 6: Evaluate lim e . x  0

1 1 Giải: Khi x  0 thì   . Vậy lim e x  lim et  0 t  x 0 x Example 7: Evaluate lim sin x . 



x 

Giải: Khi x tăng, các giá trị của sin x dao động giữa -1 và 1, chúng không dần về 1 giá trị xác định. Do đó không tồn tại giới hạn lim sin x . x 

INFINITE LIMITS AT INFINITY (GIỚI HẠN VÔ CỰC TẠI VÔ CỰC).

Ký hiệu lim f  x    có nghĩa giá trị của f  x  càng lớn khi x càng lớn. Các ký hiệu sau có x

nghĩa tương tự: lim f  x    x 

lim f  x    x 

lim f  x   

x 

DEFINITION: Cho f xác định trên  a,   . Giới hạn lim f  x    x 

nếu với mỗi M  0 , tồn tại số N  0 thỏa mãn x  N thì f  x   M Các hàm y  x3 và y  e x dần ra vô cùng khi x dần ra vô cùng, nhưng hàm y  e x dần ra vô cùng nhanh hơn khi x lớn lim e x   x

Example 8: Find lim  x 2  x  . x 

Giải: Ta không được viết lim  x 2  x   lim x 2  lim x     vì các x 

x 

x 

luật giới hạn không áp dụng cho các giới hạn vô cùng và    cũng không được định nghĩa. Tuy nhiên, ta có thể viết lim  x 2  x   lim x  x  1   vì khi x và x  1 lớn tùy ý thì tích x  x  1 x 

x 

cũng vậy x2  x . x  3  x

Example 9: Find lim Giải: Ta có:

VLU/Calculus1_TN120/ChapterII_Limits and Derivatives/Page 17 of 23

lim x 

x  x  1  x  1   vì x  1  , 3  1  1 khi x   . x2  x  lim  lim 3  x x  3  x  3  x x   1   1 x  x 

Example 10: Sketch the graph of y   x  2   x  1  x  1 by finding its intercepts and its limits as x   and x   . 4

3

Giải: Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ là f  0   16 và cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ x  2,  1,1 . Hàm số không đổi dấu khi qua x  2 .Hơn nữa, lim  x  2   x  1  x  1   và lim  x  2   x  1  x  1   . 4

3

4

x 

3

x 

Kết hợp các thông tin trên, ta sẽ phát họa được đồ thị của hàm số 2.7 DERIVATIVES AND RATES OF CHANGE (ĐẠO HÀM VÀ TỶ LỆ BIẾN THIÊN) TANGENT LINE (TIẾP TUYẾN):

DEFINITION: Tiếp tuyến với đường cong y  f ( x) tại điểm P(a, f(a)) là đường thẳng đi qua điểm P với hệ số góc f  x  f a nếu giới hạn này tồn tại. m  lim xa xa Đặt h  x  a  x  a  h thì m  lim h0

f a  h  f a h

Example 1: Find an equation of the tangent line to the parabola y  x 2 at the point P (1,1) . f  x   f 1 x2  1 Giải: Ở đây a  1 , f  x   x . Hệ số góc là: m  lim  lim  lim  x  1  2 x 1 x 1 x  1 x 1 x 1 2

Vậy phương trình đường tiếp tuyến: y – 1 = 2(x – 1)  y = 2x – 1. Example 2: Find an equation of the tangent line to the hyperbola y 

3 at the point (3,1) . x

3 , hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm (3,1): x 3 1 f  3  h   f  3 1 1 3  h  lim   m  lim  lim h0 h 0 h 0 h h 3 h 3

Giải: Đặt f  x  

Phương trình tiếp tuyến tại điểm (3,1): y 1 

1  x  3  x  3 y  6  0 3

VELOCITIES (VẬN TỐC):

Giả sử một vật di chuyển trên một đường thẳng có phương trình chuyển động: s  f (t ) . Trong khoảng thời gian h từ t  a đến t  a  h vật đi được một quãng đường: f ( a  h)  f ( a ) f (a  h)  f (a ) với vận tốc trung bình: . h Khi h càng nhỏ (h → 0), vận tốc tức thời v(a) tại thời điểm VLU/Calculus1_TN120/ChapterII_Limits and Derivatives/Page 18 of 23

t  a là giới hạn của vận tốc trung bình: v(a )  lim h0

f ( a  h)  f ( a ) h

Vậy vận tốc tức thời tại thời điểm t  a bằng hệ số góc của tiếp tuyến tại P. Example 3: Suppose that a ball is dropped from the upper observation deck of the CN Tower, 450m above the ground.

(a) What is the velocity of the ball after 5 seconds? (b) How fast is the ball traveling when it hits the ground? Giải: Phương trình chuyển động của quả bóng: s  f (t )  4.9t 2 , vận tốc tức thời tại thời điểm t  a là: f ( a  h)  f ( a ) 4.9( a  h) 2  4.9a 2 v(a )  lim  lim  9.8a h 0 h 0 h h

a. Vận tốc tức thời sau 5s: v(5)  49m/s . b. Vì tầng quan sát cách mặt đất 450m nên quả bóng chạm mặt đất tại thời điểm t1 thỏa mãn phương trình: s (t1 )  450 hay 4.9t12  450  t1  9.6s . Vậy vận tốc tức thời của quả bóng lúc chạm đất là: v(t1 )  9.8t1  94m/s . DERIVATIVES (ĐẠO HÀM):

DEFINITION: Đạo hàm của hàm f tại điểm a, ký hiệu f   a  là: f (a)  lim h 0

f ( a  h)  f ( a ) , nếu giới hạn này tồn tại h

f ( x)  f (a) xa xa 2 Example 4: Find the derivative of the function f  x   x  8 x  9 at the number a.

Lưu ý: Đặt x  a  h  h  x  a , khi đó: f (a )  lim

Giải: Theo định nghĩa  a  h   8  a  h   9    a 2  8a  9  f a  h  f a     lim  f   a   lim  2a  8 h 0 h 0 h h 2

Tiếp tuyến với đường cong y  f ( x) tại điểm (a, f(a)) là đường thẳng đi qua (a, f(a)), có hệ số góc f   a  và có phương trình: y  f  a   f   a  x  a  Example 5: Find an equation of the tangent line to the parabola y  x 2  8 x  9 at the point (3, 6) . Giải: Từ ví dụ 3 ta có: y(a )  2a  8

Hệ số góc của tiếp tuyến tại (3, 6) : f (3)  2 Phương trình của tiếp tuyến tại điểm (3, 6) là: y  2 x . RATES OF CHANGE (TỶ LỆ BIẾN THIÊN):

Giả sử y là một hàm theo x: y  f (x) . Khi x thay đổi từ x1 sang x2 thì sự thay đổi (còn gọi là số gia (increment)) của x là x  x2  x1 và sự thay đổi tương ứng của y là y  f  x2   f  x1  . VLU/Calculus1_TN120/ChapterII_Limits and Derivatives/Page 19 of 23

Tỷ số số gia: y f  x2   f  x1  là tỷ lệ biến thiên trung bình của y tương  x x2  x1

ứng với x trên đoạn  x1 , x2  và có thể hiểu như là hệ số góc của cát tuyến PQ trong hình bên.

Tương tự như vận tốc tức thời, giới hạn của tỷ lệ biến thiên trung y khi x  0 gọi là tỷ lệ biến thiên tức thời của y đối với bình x x tại x  x1 , đây là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong y  f ( x) tại điểm P  x1 , f  x1  

f  x2   f  x1  y  lim x  0 x x x x2  x1

Tỷ lệ biến thiên tức thời: instantaneous rate of change = lim

2

1

Giới hạn trên chính là đạo hàm f ( x1 ) , vậy: Đạo hàm f   a  là tỷ lệ biến thiên tức thời của y  f ( x) khi x  a . Vì tỷ lệ thay đổi tức thời tại a là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong y  f ( x) tại a, hay cũng chính là f (a) nên khi đạo hàm tại một điểm lớn (đường cong dốc, như tại điểm P trong hình vẽ) thì giá trị của y thay đổi nhanh. Khi đạo hàm tại một điểm nhỏ (đường cong phẳng, như tại điểm Q trong hình vẽ) thì giá trị của y thay đổi chậm. 2.8 THE DERIVATIVE AS A FUNCTION (ĐẠO HÀM LÀ MỘT HÀM)

Trong mục trước chúng ta xét đạo hàm của hàm f tại điểm a: f   a   lim h 0

Xem a là biến x, ta có thể viết lại: f   x   lim h 0

f  x  h  f  x h

f a  h  f a h

Cứ mỗi x, nếu giới hạn trên tồn tại, ta có f ( x) . Ta có thể xem f  như là một hàm mới và gọi là đạo hàm (derivative) của hàm f . Miền xác định của hàm f  là tập các giá trị của x sao cho f ( x) tồn tại, nó có thể nhỏ hơn miền xác định của f Example 1:

a. If f  x   x 3  x , find a formula for f ( x) . b. Illustrate by comparing the graphs of f and f  . Giải:  x  h 3   x  h     x 3  x  f  x  h  f  x     3x 2  1  lim  a. f   x   lim h 0 h  0 h h

b. Vẽ đồ thị hai hàm f và f  , ta có f ( x)  0 khi f có tiếp tuyến nằm ngang, và f ( x)  0 khi các đường tiếp tuyến có hệ số góc dương. Các đồ thị này giúp ta kiểm tra lại kết quả của phần a. VLU/Calculus1_TN120/ChapterII_Limits and Derivatives/Page 20 of 23

Example 2: If f  x   x , find the derivative of f . State the domain of f  . Giải:

f  x  h  f  x h 0 h xh  x 1  lim  h 0 h 2 x

f   x   lim

f ( x) xác định khi x  0 . Vậy miền xác định của f  là (0, ) [miền xác định của f : [0, ) ] 1 x Example 3: Find f  if f  x   . 2 x 1  ( x  h) 1  x  f  x  h  f  x 3 2  ( x  h) 2  x  Giải: f   x   lim  lim h 0 h 0 h h (2  x) 2

OTHER NOTATIONS (NHỮNG KÝ HIỆU KHÁC):

Cho hàm số y  f ( x) trong đó x là biến độc lập, y là biến phụ thuộc, thì đạo hàm của y theo x còn có thể được ký hiệu bằng nhiều cách khác như sau: dy df d   f  x   Df  x   Dx f  x  dx dx dx dy dy Để ký hiệu giá trị của đạo hàm tại x = a, ta có thể viết dx dx f   x   y 

xa

DEFINITION: Hàm f gọi là khả vi (differentiable) tại a nếu f   a  tồn tại. f khả vi trong khoảng (a, b) (hoặc (a, ) , hoặc (, a ) hoặc (, ) ) nếu nó khả vi tại mỗi số thuộc khoảng đó. Example 4: where is the function f ( x)  x differentiable? Giải: Nếu x  0 thì x  x , ta có thể chọn h đủ nhỏ để x  h  0 , do đó x  h  x  h . f   x   lim h 0

xh  x  x  h   x  lim h  lim1  1 . Vậy f khả vi với x  0 .  lim h 0 h0 h h 0 h h

Tương tự với x  0 thì x   x , ta có thể chọn h đủ nhỏ để x  h  0 , do đó x  h    x  h  f   x   lim h 0

xh  x   x  h   ( x)  lim  lim( 1)  1 . Vậy f khả vi với x  0 . h 0 h 0 h h

Với x  0 : f   0   lim h0

Vì

0h  0 h  lim (nếu giới hạn tồn tại) h 0 h h

h 1, h  0 h h   lim  1, lim  1 . x 0 h x 0 h h 1, h  0 



Vậy không tồn tại f (0) hay f không khả vi tại điểm 0. Kết luận: f khả vi trên các khoảng (,0) và (0, ) . VLU/Calculus1_TN120/ChapterII_Limits and Derivatives/Page 21 of 23

THEOREM: Nếu f khả vi tại a thì f liên tục tại a Chứng minh: Vì f khả vi tại a nên f   a   lim xa

f  x  f a xa

f  x  f a  x  a xa f  x  f a f  x  f a .lim  x  a   f   a  .0  0  lim  f  x   f  a    lim x  a   lim  xa xa xa xa xa xa

Ta có: f  x   f  a  

 lim f  x   lim  f  a    f  x   f  a     lim f  a  lim  f  x   f  a    f  a   0  f  a  xa xa xa x a

Vậy f liên tục tại a Lưu ý: Hàm số liên tục tại a chưa chắc khả vi tại a ( y  x liên tục tại 0, không khả vi tại 0) NHẬN BIẾT HÀM KHÔNG KHẢ VI:

a. Nếu đồ thị của hàm f có góc (corner) tại a thì nó sẽ không có tiếp tuyến tại a do đó không khả vi tại a. b. Nếu hàm f không liên tục tại a thì f không khả vi tại a. c. Đường cong có tiếp tuyến đứng tại a (f liên tục tại a và lim f   x    ). xa

HIGHER DERIVATIVES (ĐẠO HÀM CẤP CAO):

Cho f là hàm khả vi. Đạo hàm của f  (nếu có) gọi là đạo hàm cấp 2 (the second derivative) của d  dy  d 2 y  hàm f, ký hiệu: f    f       2 . dx  dx  dx Example 5: If f  x   x 3  x . Find and interpret f ( x) ? Giải: Ta đã tính f   x   3 x 2  1 (example 2) f  x  h  f  x f   x    f    x   lim h0 h 2 3  x  h   1  3 x 2  1     lim   lim  6 x  3h   6 x h 0 h 0 h

Có thể hiểu f ( x) như là hệ số góc của đường cong y  f ( x) tại điểm ( x, f ( x)) . Nói cách khác f ( x) là tỷ lệ biến thiên của hệ số góc của đường cong y  f ( x) . f ( x)  0 khi y  f ( x) có hệ số góc âm, f ( x)  0 khi y  f ( x) có hệ số góc dương.

VLU/Calculus1_TN120/ChapterII_Limits and Derivatives/Page 22 of 23

Nếu s  s (t ) là phương trình của một vật chuyển động trên một đường thẳng, như ta đã biết ds s(t ) là vận tốc tức thời của vật: v(t )  s(t )  . Tốc độ biến thiên tức thời của vận tốc theo dt dv d 2 s . thời gian gọi là gia tốc (acceleration) a (t )  v(t )  s(t ) hay viết a   dt dt 2 Đạo hàm cấp 3 (the third derivative) của hàm f là đạo hàm của đạo hàm cấp 2: d  d2y  d3y    f  f    2  3 dx  dx  dx

Đạo hàm cấp n (the nth derivative) là đạo hàm của đạo hàm cấp n  1 :



f  n   f  n 1







d  d n 1 y  d n y   dx  dx n 1  dx n

Example 6: If f  x   x 3  x . Find f ( x) and f (4) ( x) ? Giải: Trong example 6 ta đã có: f ( x)  6 x . Đồ thị của đạo hàm cấp hai có phương trình y  6 x , đây là phương trình của đường thẳng có hệ số góc là 6. Do đó đạo hàm cấp ba f ( x)  6 . Đồ thị của f  là một đường thẳng nằm ngang nên đạo hàm cấp bốn f (4) ( x)  0 .

VLU/Calculus1_TN120/ChapterII_Limits and Derivatives/Page 23 of 23