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Notions sur les calculs tensoriels 1) Définitions et notations Dans ce cours on va se limiter à des espaces vectoriels à trois dimensions (n=3). Cependant, son contenu reste valable pour n>3.



Soit  un espace vectoriel de dimension 3 et ei i 1, 2, 3 une base de cet espace. Soit

 V   . On a :

 3  V   V i ei i 1

  V sont les composantes de V dans la base ei  . Avec l’écriture matricielle on a : i

V 1    T V   V 2  et V    V 1 , V 2 , V 3  V 3    j  On peut définir pour  une autre base e j 1, 2, 3 liée à la base ei  par :

 

 

  j

La base e comme suit :

0 si i  j   j , où  i est appelé symbole de Kronecker. ei  e j   i j   1 si i  j   est appelée base duale de ei  . On peut écrire le vecteur V dans la base duale  3  V   Vj e j j 1

où :



i

- V sont les composantes contravariantes de V ;  - Vi sont les composantes covariantes de V .



i



En général Vi  V et ei  e , mais si la base ei  est orthonormée, alors Vi  V et i

i

  ei  e i .

Exercice :

 

 i

- Montrer que V  ei  Vi et V  e  V



i



3

j

3



- Soit U un vecteur de  tel que : U  U j e  U e j . Montrer que le produit j 1





 

3

j 1

3

scalaire entre U et V donne : U  V  U Vi  U i V i 1

i

j

i

i 1

2) Convention d’Einstein

1

Cette convention permet de supprimer le symbole de sommation  quand cette dernière porte sur un indice qui apparaît une fois en haut et une fois en bas dans le même  monôme. Avec cette convention, l’écriture du vecteur V se simplifie à :

   V V j e j V j e j (l’indice j est dit muet).   U  V  U i Vi  U i V i . 1

2

Le

produit

scalaire

s’écrit :

3

La différentielle d’une fonction f ( x , x , x ) est donnée par :

df 

f f f dx1  2 dx 2  3 dx 3 1 x x x

Avec la convention d’Einstein, on peut simplifier cette écriture pour obtenir :

df  En posant

f dx i i x

f   i f  f ,i , on peut écrire : df   i f dx i  f ,i dx i . i x

3) Changement de base

  

Soit  i une autre base de  et relations de passage suivantes :



  la base duale correspondante. i



Considérons les





 i  Ai j e j ; e j  B j i i j

j

On peut ranger les termes Ai et Bi dans des matrices carrées :

A  



 A11  1   A2 A 1  3

2

A1 2 A2 2 A3

3 A1  3 A2  3 A3 

et

B  



 B11  1   B2 B 1  3

3 B1  3 B2  3 B3 

2

B1 2 B2 2 B3

Dans ce cours, on désignera par l’indice de ligne celui situé à gauche et par l’indice de colonne celui situé à droite. On peut monter que Bi Ak   i , ce qui implique que : k

j

j

B  A  

Les relations de passage entre les bases duales sont :









 1





 i  B j i e j ; e j  Ai j i

   Pour un vecteur V Vi e i  vi  i , le passage entre les composantes est donné par :

 i  Ai jV j ;  i  B j iV j L’écriture matricielle donne :

  A V  







et

  B V  

T







2

Remarque sur les produits des matrices carrées : Soient A, B et C trois matrices carrées. On ne peut écrire que C est égale au produit de deux matrices A et B ( C  AB ), que si les composantes de C vérifient :

Cij 

3

 Aik Bkj

k 1

Dans cette expression, il faut retenir que le premier indice qui apparaît dans le membre de gauche est identique au premier indice qui apparaît dans le membre de droite (i dans ce cas). Même chose pour le dernier indice (j dans ce cas). De plus, l’indice de sommation (k dans cet exemple) représente l’indice de colonne pour la première matrice et l’indice de ligne pour la deuxième. Si on a, par exemple :

Cij 

3

 Aki Bkj

k 1

on peut utiliser les matrices transposées pour obtenir l’écriture convenable. En utilisant la transposée de la matrice A (U=TA), on obtient :

Cij 

3

U ik Bkj

k 1

avec U ik  Aki

Donc C  UBT AB 4) tenseurs euclidiens 4.1) Définition Soit  un espace vectoriel sur IR. Un tenseur T d’ordre p est une application p-linéaire de     .... dans IR :   p fois

T :       ....  IR   p fois

   ( x1 , x2 ,.....,x p )

    T ( x1 , x2 ,.....,x p ) IR

On dit que T est p-linéaire, si il est linéaire par rapport à chacune des composantes

   x1 , x2 ,.....,x p .

4.2) Tenseur d’ordre 1



i

T: 

 X



IR

  T (X )

Posons X  X ei . On a :

    T ( X )  T ( X i ei )  X iT (ei )  Ti X i avec Ti  T (ei ) .

Ti (i 1, 2, 3) sont les composantes du tenseur T. Avec l’écriture matricielle on a :

T1  T   T2  T3 

3

Donc un tenseur d’ordre 1 est équivalent à un vecteur. De plus, on peut montrer que tout vecteur est un tenseur d’ordre 1. 4.3) Tenseur d’ordre 2 T :  

 IR

    ( X ,Y )  T ( X ,Y ) IR   i j En posant X  X ei et Y  Y e j , on a :         T ( X ,Y )  T ( X i ei , Y j e j )  X iY jT (ei , e j )  Tij X iY j avec Tij  T (ei , e j ) Tij sont les composantes du tenseur T d’ordre 2. T possède 33=9 composantes ( T11,T12 ,T13 ,.....,T33 ) . L’écriture matricielle donne : T11 T12 T13  T   T21 T22 T23  T31 T32 T33    i En exprimant le vecteur X dans la base duale ( X  X i e ), on trouve d’autres composantes de T :

  . .   T ( X ,Y )  T. i j X iY j avec T. i j  T (e i , e j )

T  



T 11 T 12 T 13     T 21 T 2 2 T 2 3  T 31 T 3 2 T 33   

Pour un tenseur  d’ordre  2 on a quatre types de composantes (selon le choix des bases pour les vecteurs X et Y ) : - Tij : composantes covariantes ; ij

- T : composantes contravariantes ; - Ti

. j . et

.

T. i j : composantes mixtes .

Généralement Ti

. j i .  T . . j.

Cependant, dans une base orthonormée T

ij

.

 Tij  Ti. .j  T. i j .

Remarque : 

Dans certaines références le tenseur d’ordre 2 est noté T ou T . 4.4) Tenseur d’ordre supérieur De la même façon que précédemment, on peut définir des tenseurs d’ordre p>2. Par exemple pour un tenseur d’ordre 3, on peut écrire :    T ( X , Y , Z )  Tijk X i Y j Z k  Ti .j k X i Y j Z k  T ijk X i Y j Z k  ...



i



j



k

où X  X ei , Y  Y e j et Z  Z ek . Un tenseur d’ordre 3 possède 333=27 composantes.

4

4.5) Espace vectoriel des tenseurs d’ordre p On peut montrer que l’ensemble des tenseurs d’ordre p, muni de l’addition et de la multiplication par un scalaire, est un espace vectoriel de dimension n  3 . Cherchons   une base pour l’ensemble des tenseurs d’ordre 2. Soient U et V deux vecteurs de  . On     appelle produit tensoriel de U et V , le tenseur du second ordre noté U  V et défini par : p

  U V :      ( X ,Y )

p

 IR          U V ( X ,Y )  (U  X )(V  Y )  IR

On peut vérifier facilement que ce produit tensoriel est bilinéaire. Soit T un tenseur d’ordre 2. On a :

              T ( X ,Y )  T ( X i ei , Y j e j )  X iY jT (ei , e j )  Tij X iY j  Tij (e i . X )(e j .Y )  Tij e i  e j ( X ,Y ) i



j

j

Donc T  Tij e  e et l’ensemble e  e i

1

 est une base pour l’ensemble des tenseurs 1 1

 2 1

3

3

3

d’ordre 2. Cette base contient 9 éléments : { e  e , e  e , e  e , ...., e  e }. A

2

1

1

2

noter que e  e  e  e . On peut utiliser d’autres bases pour cet espace : .         T  T ij ei  e j  Ti. .j e i  e j  T. i j ei  e j  Tij e i  e j D’une façon analogue, on peut définir des bases pour des tenseurs d’ordre supérieur. Par exemple, pour un tenseur d’ordre 3 on a : .             T  T ijk ei  e j  ek  Ti. .j .k e i  e j  ek  T. i j .k ei  e j  ek  Tijk e i  e j  e k … 4.6) Changement de base pour un tenseur

  et e  deux bases de  . Les relations de passage entre ces bases sont : 

Soit

i

j

















 i  Ai j e j ; e j  B j i i ;  i  B j i e j ; e j  Ai j i Prenons par exemple un tenseur T d’ordre 3. Notons T.

   i  respectivement :

dans les bases e j et



En introduisant les changements :

l. n m.

et

.

 .i j .k les composantes de T

   . .    T  T. l m .n el  e m  en   .i j .k  i   j   k .

      i k m el  Bl  i , e m  A j  j et en  Bn  k

et après identification, on obtient : .

.

 .i j .k  Bl i A j m Bn k T. l m .n On peut constater (règle générale) que dans ce passage les indices en bas sont transformés 



par les éléments A et les indices en haut par les éléments B .

5

Dans le cas des tenseurs d’ordre 2, on peut effectuer ces passages en utilisant les écritures matricielles. Pour les composantes covariantes on a :

 ij  Ai m A j nTmn  Ai mTmn A j n Selon la convention que nous avons adopté pour les indices de lignes et de colonnes, on peut écrire :

    A  T 

T

A  



En procédant de la même façon pour les autres composantes on obtient :

  B T B    B T  A  

T



T







   A

 

 T





    T B  















4.7) Contraction des tenseurs Soient P et Q deux tenseurs d’ordre p et q respectivement (p>0 et q>0). Le tenseur

W  P  Q est appelé produit tensoriel contracté de P et Q. W est d’ordre p  q  2 . On obtient les composantes de W par sommation du dernier indice de P et du premier indice de Q.  Exemple 1 : P d’ordre 3 et Q d’ordre 2.

     P  P ijk ei  e j  ek ; Q  Qmn e m  e n

On obtient :

Donc W

ij

n

      W  P ijk Qkn ei  e j  e n  W ij n ei  e j  e n

 P ijk Qkn . On peut calculer d’autres composantes pour le tenseur W :

W ijn  P ijk Qk n , Wijn  Pijk Q k  Exemple 2 : P d’ordre 1 et Q d’ordre 1.





i

n

...

i

Dans ce cas P et Q sont deux vecteurs (notés P  P ei et Q  Q ei ) et W est un tenseur d’ordre 0 (i.e. un scalaire) : W  P Qi i







 



Donc on peut écrire W  P  Q  P .Q (i.e. produit scalaire entre P et Q ).  Exemple 3: P d’ordre 2 et Q d’ordre 1.

    P  Pij e i  e j et Q  Q k ek

W est un tenseur d’ordre 1, donc c’est un vecteur :       W  P  Q  Pij Q j e i  P ij Q j ei  W i ei  Wi e i

W i  P ij Q j  P i j Q j ; Wi  Pij Q j  Pi j Q j L’écriture matricielle donne :

W   P Q   P Q  











6

     Pour W  Q  P  Qi Pij e j  Qi Pij e j  W j e j , on a W j  Qi P ij  Q i Pi j . Donc : T

W   Q P  Q  P  

T





T







 Exemple 4: P d’ordre 2 et Q d’ordre 2. W est d’ordre 2 :

      W  P  Q  Pik Q kj e i  e j  P ik Qk j ei  e j  W ij ei  e j

Donc W ij  P ik Qk j et Wi  Pik Q … Avec l’écriture matricielle : j

kj

W   P Q  P Q  W   P Q  P Q  W   P Q  P Q  W P Q  P Q  



  

 







   









 











 







Le produit tensoriel contracté est associatif , distributif (par rapport à l’addition) mais non commutatif. Dans le cas de plusieurs contractions l’ordre de W est la somme des ordres des tenseurs mis en jeu moins deux fois le nombre de contractions. A noter que l’associativité n’est pas applicable si elle conduit à un tenseur d’ordre 0. Prenons, par exemple deux   vecteurs U et V et un tenseur T d’ordre 2 .       W  (T  U )V  (T ijU j ei ) V  ( P i ei ) V  P iVi  T ijU jVi  Pi   W est un tenseur d’ordre 0. Mais l’opération T  (U V ) n’est pas définie car le tenseur   (U V ) est d’ordre 0.     Pour un tenseur d’ordre 2, on peut montrer que : T (U ,V )  U T  V . Remarque : On peut trouver dans la littérature d’autres notations pour le produit contracté. En effet, certains auteurs utilisent le symbole . à la place du symbole    ou suppriment        complètement ce dernier ( U  V  U . V , T  V  T . V  TV …). Dans ce cours on adoptera ces simplifications pour les tenseurs d’ordre 1 et 2 sans oublier que la commutativité n’est pas toujours applicable. On peut également définir un produit tensoriel doublement contracté. Pour P d’ordre 3 et Q d’ordre 2, en posant :

     P  P ijk ei  e j  ek ; Q  Qmn e m  e n 



on a : W  P  Q  P ijk Q jk ei  W i ei avec W  P i

ijk

Q jk

La sommation porte sur deux indices : j et k. 4.8) Exemples de tenseurs utiles

7

a) Tenseur métrique. Le tenseur métrique, noté G, est défini par :

      G( X , Y )  X .Y  X i Y j ei . e j  Gij X i Y j  G ij X i Y j

      j Donc : Gij  ei . e j , G ij  e i . e j et Gi  ei . e j  Le tenseur métrique est symétrique et vérifie :

G  G  





où I est la matrice unité. Dans une base orthonormée on a :

1



1 si i  j 0 si i  j

et

G  G  I  







G   G  G   G  I  .

Le tenseur G permet de changer la variance d’un tenseur quelconque. En effet, pour un tenseur T d’ordre p, on peut monter que :

T  G T  Pour un vecteur V par exemple, on a :   V  G V     Or V  Vi e i et G V  GijV j e i , donc Vi  GijV j . On peut montrer aussi que V i  G ijV j  G i jV j  G j iV Avec l’écriture matricielle :

j

V   G V  V   G V  











Pour un tenseur T d’ordre 2, on peut écrire : T ij  G ik Tk j ; T i j  G jk T ik ; Ti j  Gik T kj ; Tij  Gik T k j Avec l’écriture matricielle : T   G  T   T   G  T   G  T    T  G 

            T   G T   T G  











Pour un tenseur d’ordre 3 :

T i j k  G jmT i m k

;

Ti j k  GimT



m



k j

On peut monter que le produit scalaire entre deux vecteurs P et Q vérifie :       P . Q  P  Q  P  G  Q  Pi Gij Q j  Pi G ij Q j b) Tenseur d’orientation

8

On suppose que

ei i1, 2, 3

est une base directe. Le tenseur d’orientation noté E est

défini par :

   E  eijk e i  e j  e k

 



où le terme eijk est le produit mixte de ( ei , e j , ek ) :

   eijk  ei  (e j  ek )

Toutes les composantes eijk qui ont deux indices égaux sont nulles. Donc les seules composantes non nulles sont : e123 , e312 , e231 , e321, e132 et e213 . De plus, la permutation circulaire directe des indices ne change pas la valeur de eijk . On montre que : ; e132  e321  e213   g

e123  e312  e231  g

1 (avec DetG  désignant le déterminant de G  ). Det G     Le tenseur d’orientation permet le calcul du produit vectoriel. Posons Z  X  Y . On a : où g  DetG  

 

     Z  X  Y  X i Y j ei  e j      Z k  ek  Z  X i Y j ek  (ei  e j )  ekij X i Y j       Z  Z k e k  ekij X i Y j e k  Y j e jki X i e k  Y  E  X  Les composantes contravariantes de Z sont données par :    Z  Y j e jki X i g km em  Z m em   Zm

4.9) Propriétés des tenseurs d’ordre 2 a) Tenseurs symétriques et antisymétriques Soit P un tenseur d’ordre 2 et U son transposé noté U T P (on le note aussi U  P T ou U  P ) . Par définition on a :     P( X , Y )  U (Y , X ) Donc : ; U   P   T

U ij (T P)ij  P ji

 

i

; U    P 

U i j (T P)i j  P j i

; U   P

U i j (T P)i j  Pj U ij (T P)ij  Pji

T

    

T

; U   T P 

Un tenseur P est dit symétrique si U T P  P . Alors : P ij  P ji

;

P i j  Pj

;

Pi j  P j i

Pij  Pji

i

T T

; ;

P   P  



P   P  

T



P   P  

T











P   P 

9

Un tenseur P est dit antisymétrique si U T P   P . Alors on ajoute un signe – dans les relations précédentes. A noter que pour un tenseur symétrique (resp. antisymétrique), les matrices P  et P 

   

 

sont symétriques (resp. antisymétriques), alors que les matrices P   et P ne le sont pas généralement. On vérifie facilement que :     - U P V  V P U pour un tenseur P symétrique ;     - U  P  V  V  P  U pour un tenseur P antisymétrique. b) Tenseur sphérique Un tenseur T est dit sphérique si : T  G , où  est un scalaire et G le tenseur métrique ( T   I dans une base orthonormée). c) Invariants scalaires d’un Tenseur d’ordre 2 Dans ce cours on va se limiter au trois invariants utiles en mécanique des milieux continus (on les notera I1 , I 2 et I 3 ).  1er invariant (trace d’un tenseur) Le 1er invariant d’un tenseur T est égal à sa trace :

I1  Tr(T )  T  G  T ij Gij  T i i  Ti i Donc Tr(T) est égale à la trace des matrices des composantes mixtes de T : Tr(T )  Tr T    Tr T   TrT   Tr T   2ème invariant Le 2ème invariant d’un tenseur T est la somme des déterminants diagonaux d’ordre 2 de la matrice T   ou T  :

   

 

   

I 2  (T1 1T2 2  T1 2T2 1)  (T1 1T3 3  T1 3T3 1)  (T2 2T3 3  T2 3T3 2 ) On peut écrire cet invariant de plusieurs façons à condition d’utiliser les matrices des composantes mixtes ( T   ou T  ) : 1 1 I 2  (Ti i T j j  Ti j T j i )  Tr (T )2  Tr (T 2 )  Det (T )Tr (T 1 ) 2 2 La dernière expression n’est pas valable si le déterminant de T est nul.  3ème invariant (déterminant du tenseur) Le déterminant d’un tenseur est défini par : I 3  Det (T )  Det T    Det T   DetT   Det T  d) Décomposition d’un tenseur d’ordre 2  En parties symétrique et antisymétrique Soit TT le tenseur transposé de T. On peut mettre T sous la forme : 1 1 T  (T  T T )  (T T T ) 2  2     

   



 



 

symétrique

 

antisymétrique

  En tenseur sphérique et déviateur La partie sphérique d’un tenseur T est : 1 Sph(T )  Tr (T ) G 3

10

Le déviateur de T est défini par :

Dev(T )  T  Sph(T )

Ainsi, on peut mettre T sous la forme : 1 1 1 T  Tr (T ) G  (T  Tr (T ) G)   G  (T   G) avec   Tr (T )       3 3 3 sphérique

déviateur

Tr(G)  3 , donc la trace du déviateur est nulle.

e) Valeurs propres et vecteurs propres d’un tenseur d’ordre 2  Soit V un vecteur propre de T et  la valeur propre correspondante. On a la relation :   T V  G V Les valeurs propres sont solutions de l’équation : Det (T  G)  0 Avec l’écriture matricielle on a par exemple : Det (T   G )  0

 

Det ( T   I )  0 Pour déterminer les vecteurs propres, on résout l’une des équations suivantes:

T V    G V   



T V   V   T V   G V  T V   V  























Dans une base propre (lorsqu’elle existe), la matrice mixte s’écrit en fonction des valeurs propres 1 ,  2 et 3 comme suit :

1 0 0  T   0 2 0   0 0 3  Ainsi, les invariants de T sont donnés par : I1  1  2  3 I 2  12  13  2 3

  

I 3  12 3 5) Base naturelle et base physique associées à un système de coordonnées a) Définition Soit M un point repéré par les coordonnées ( x1 , x 2 , x 3 ) dans un système de  coordonnées, et O l’origine de ce système. La base naturelle ei i 1, 2, 3 associée à ce système est telle que :

 OM ei  x i

11

Cas des coordonnées cartésiennes :    Considérons un repère cartésien R(O, i , j , k ) . Dans ce repère, un point M est repéré    par ( x1 , x 2 , x 3 )  ( x, y, z ) tel que OM  xi  yj  zk . Donc la base naturelle est définie       par (e1 , e2 , e3 )  (i , j , k ) . Cas des coordonnées cylindriques: En coordonnées cylindriques ( x1 , x 2 , x 3 )  (r ,  , z ) . En posant :         OM  rer  zk avec er  cos  i  sin  j et e   sin  i  cos  j ,       la base naturelle est définie par (e1 , e2 , e3 )  (er , re , k ) . Cas des coordonnées sphériques:  En coordonnées sphériques ( x1 , x 2 , x 3 )  (r ,  ,  ) . En posant OM  rer , la base naturelle est définie par :       (e1 , e2 , e3 )  (er , re , r sin  e )         où et e  cos  (cos  i  sin  j )  sin  k er  sin  (cos  i  sin  j )  cos  k ,    e   sin  i  cos  j Indépendamment du système de coordonnées utilisé, la base naturelle permet d’avoir les mêmes formules mathématiques pour un certain nombre d’opérateurs (gradient, divergence…). Cependant, elle n’est pas toujours normée. En normalisant la base naturelle, on obtient la base physique notée e~ i et définie par :    ei ei ei ~ ei       ei ei  ei Gii



b) Variation de la base naturelle Les vecteurs de la base naturelle dépendent généralement des coordonnées de M. Alors on pose :  ei k ( *)   ek ij x j Les éléments ijk sont appelés coefficients de Christoffel et ne représentent pas les composantes d’un tenseur. Comme  ij OM   ji OM , alors ijk   kji . Selon la relation (*) :       ei  k e j  k 1 ei e j  k 1 kl  k ij  j  e  i  e  ( j  i )  e  G ( j ei   i e j )  el x x 2 x x 2 En développant cette expression, on trouve : 1 ijk  G kl ( iG jl   j Gil   l Gij ) 2 Remarques :  - Si la base naturelle ei  est orthonormée, alors tous les coefficients ijk sont nuls.

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-

1 Dans la base naturelle cylindrique tous les coefficients ijk sont nuls sauf 22  r et

1 2 2 12  21  . r

6) Etude des champs scalaires et vectoriels a) différentiabilité d’un champ tensoriel Un champ T(M) est différentiable s’il existe un opérateur linéaire gradT tel que :

dT  gradT (d OM )  b) Calcul du déplacement élémentaire dM .  Dans la base naturelle, l’élément dM est donné par :      OM i dM  d OM  dx  dx i ei  dx1e1  dx 2 e2  dx 3 e3 i x Donc (dM ) 2  d OM

2

 d OM  d OM  d OM  G   d OM  dxi dx j Gij

Dans une base naturelle orthonormée on obtient : d OM c) Calcul de l’élément de volume dv On a :    d OM  dx1e1  dx 2 e2  dx 3 e3

2

 (dx1 ) 2  (dx 2 ) 2  (dx 3 ) 2

 dx 3 e3

 dx 2 e2  dx1e1

A partir de ces trois composantes de d OM , on peut construire un élément de volume dv (voir la figure ci-dessus) tel que :       dv  dx1e1  (dx 2 e2  dx 3e3 )  dx1dx 2 dx 3e1  (e2  e3 )  e123dx1dx 2 dx 3  g dx1dx 2 dx 3 où g  DetG  d) Gradient d’une fonction scalaire Soit f (M ) une fonction scalaire différentiable. f est une fonction des coordonnées

( x1 , x 2 , x 3 ) . Son gradient est défini par :

  df  gradf  dM  gradf  dM

df est un scalaire donc gradf est un vecteur qu’on notera grad f par la suite (on peut df trouver aussi les notations et f ). dM Par un calcul direct, on peut exprimer df sous la forme : f df  i dx i x     f    En posant V  i e i  Vi e i et dM  dx i ei , on peut écrire le produit scalaire V  dM sous x la forme :

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   f V  dM  Vi dx i  i dx i  df  grad f  dM x Donc :

 f  grad f  V  i e i x

On constate alors que

f

sont les composantes covariantes (i.e. dans la base duale) du x i   gradient de f . On peut obtenir les autres composantes en faisant le changement : e i  G ij e j . Ainsi, on obtient : f  f  grad f  i e i  G ij i e j x x  f et les composantes de grad f dans la base e j sont : G ij i (i étant l’indice de sommation). x e) Gradient d’un champ vectoriel     Soit V  V ( M )  V i ei un champ différentiable. Les composantes de V sont des fonctions  de ( x1 , x 2 , x 3 ) . Le gradient de V est défini par :    dV  gradV  dM    Comme dV et dM sont d’ordre 1, gradV est un tenseur d’ordre 2. On peut trouver     dV  V V  ,  et V . En faisant un d’autres notations pour gradV comme, gradV , , dM M X  calcul direct de dV on obtient:     dV  d (V k ek )  (dV k )ek  V k dek    ( jV k dx j )ek  V k  j ek dx j    ( jV k )ek  V k  j ek dx j    ( jV i )ei  V k kjm em dx j    ( jV i )ei  V k kji ei dx j   ( jV i )  V k kji ei dx j

 

   



  

  .    Posons T  gradV . Avec T  T. i j ei  e j et dM  dx j e j , on obtient :     .  dV  gradV  dM  T  dM  T. i j dx j ei

Par identification on constate que : .

T. i j   jV i  V k kji Donc

 . gradV ) .i j   jV i  V k kji  V i , j  V k kji

( V i , j   jV i )  On peut montrer que les composantes covariantes de gradV sont :

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 gradV ) ij  Vi, j  Vk ijk

  V     Dans la suite on utilisera les écritures : dV  gradV dM ou dV   dM . Avec l’écriture M        matricielle : dV  gradV )  dM et dV  gradV )  dM

  

    





Remarques :  - Les expressions établies ci-dessus pour gradV et grad f ne sont valables que dans la base naturelle associée à

( x1 , x 2 , x 3 ) . Pour passer à la base physique on utilise les

relations de changement de base établies au paragraphe 4.6. - Si la base naturelle est orthonormée (c’est le cas de la base cartésienne), on obtient :  V gradV ) ij  Vi, j  ij x

( kji  0 )

De plus, on a la même matrice pour les composantes covariantes, contravariantes et mixtes :  V1  1 x   V2 gradV   1  x  V3  1  x





V1 x 2 V2 x 2 V3 x 2

V1   x 3  V2  x 3  V3   x 3 

  OM   G , où G est le tenseur métrique (représenté par la - Si V  OM , alors gradV  M matrice unité si la base est orthonormée). f) Divergence d’un champ vectoriel  La divergence de V est définie par :      divV  gradV  G  Tr( gradV )  gradV ) i i  V i ,i  V k kii  Tr gradV )  





g) Rotationnel d’un champ vectoriel      rotV   gradV  E   gradV ) ij e ijkek   jVi e jik ek h) Laplacien d’un champ vectoriel     V  div ( gradV )  grad (divV )  rot(rotV ) i) Laplacien d’une fonction scalaire f (M ) : Il est défini par : f  div ( grad f )

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j) Propriétés des champs vectoriels   Pour les vecteurs V (M ) et W (M ) et la fonction scalaire f (M ) , on peut vérifier les propriétés suivantes:  div (rotV )  0

rot ( grad f )  0    div ( fV )  f div (V )  grad f  V    rot( fV )  f rot(V )  grad f  V       div (V  W )  W  rot(V )  V  rot(W ) k) Formules utiles pour les tenseur d’ordre 2 On définit le gradient d’un tenseur T d’ordre 2 par :  dT  gradT  dM gradT est un tenseur d’ordre 3. On montre que : j i gradT ) ij k   k T ij  T mj km  T imkm La divergence d’un tenseur T d’ordre 2 est un vecteur défini par :  i k  divT  gradT  G  gradT ) ik k ei  ( k T ik  T mk km  T imkm ) ei Le rotationnel de T est un tenseur d’ordre 2:   rot(T )   gradT  E  gradT ) imn e nmje i  e j

Remarque : dans une base cartésienne, les tenseurs G et E sont indépendants des coordonnées ( x1 , x 2 , x 3 ) , donc dG  dE  0 . Ceci implique que gradG  gradE  0 , indépendamment de la base utilisée.

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