Chap 1

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪١‬‬

‫‪ -١-١‬ﮐﺎﻣﭙﭕوﺗﺮ و ﺳﻴﺴﺘﻢ هﺎﯼ دﯾﺠﻴﺘﺎﻟﯽ‬ ‫ﮐﺎﻣﭙﭕوﺗﺮ هﺎﯼ دﯾﺠﻴﺘﺎل ﺑﺴﻴﺎرﯼ از ‪ ،‬ﭘﻴﺸﺮﻓﺖ هﺎﯼ ﻋﻠﻤﯽ ‪ ،‬ﺻﻨﻌﺘﯽ و ﺗﺠﺎرﯼ را ﮐﻪ ﺑﻪ‬ ‫ﺻﻮرت دﯾﮕﺮ ﻗﺎﺑﻞ دﺳﺘﺮس ﻧﺒﻮدﻧﺪ ﻣﻤﮑﻦ ﺳﺎﺧﺘﻪ اﻧﺪ ‪ .‬ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ هﺎ در ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﻋﻠﻤﯽ ‪،‬‬ ‫ﭘﺮدازش دادﻩ هﺎﯼ ﺗﺠﺎرﯼ ‪ ،‬ﮐﻨﺘﺮل ﺗﺮاﻓﻴﮏ هﻮاﯾﯽ ‪ ،‬هﺪاﯾﺖ ﻓﻀﺎﯾﯽ ‪ ،‬زﻣﻴﻨﻪ هﺎﯼ‬ ‫ﻓﺮهﻨﮕﯽ و ﻣﻮارد ﺑﺴﻴﺎر دﯾﮕﺮﯼ ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻗﺮار ﮔﻔﺘﻪ اﻧﺪ ‪ .‬ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ از‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اﯼ دﺳﺘﻮراﻟﻌﻤﻞ هﺎﯼ ﺑﻨﺎم ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﮐﻪ روﯼ دادﻩ هﺎﯼ ﻣﻔﺮوض ﻋﻤﻞ ﻣﯽ ﮐﻨﻨﺪ‬ ‫ﺗﺒﻌﻴﺖ ﻧﻤﺎﯾﺪ ‪ .‬اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﮐﻨﻨﺪﻩ ﻗﺎدر اﺳﺖ ﺗﻐﻴﻴﺮات ﮔﻮﻧﺎﮔﻮﻧﯽ را در ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ‪ ،‬دادﻩ هﺎ و ﯾﺎ‬ ‫هﺮ دوﯼ ﺁﻧﻬﺎ ‪ ،‬ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻧﻴﺎز اﯾﺠﺎد ﮐﻨﺪ ‪ .‬ﺑﻪ دﻟﻴﻞ اﯾﻦ اﻧﻌﻄﺎف ﭘﺬﯾﺮﯼ ﻣﯽ ﺗﻮان ﻧﺘﻴﺠﻪ‬ ‫ﮔﺮﻓﺖ ﮐﻪ ﮐﺎﻣﭙﺒﻮﺗﺮ دﯾﺠﻴﺘﺎل هﻤﻪ ﻣﻨﻈﻮرﻩ ﻗﺎدر هﺴﺘﻨﺪ وﻇﺎﯾﻒ ﭘﺮدازش اﻃﻼﻋﺎت را در ﯾﮏ‬ ‫ﻣﺤﺪودﻩ وﺳﻴﻊ و ﻣﺘﻨﻮع ﺑﻪ اﻧﺠﺎم ﺑﺮﺳﺎﻧﺪ ‪.‬‬ ‫ﯾﮏ ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ دﯾﺠﻴﺘﺎل هﻤﻪ ﻣﻨﻈﻮرﻩ ‪ ،‬ﺷﻨﺎﺧﺘﻪ ﺷﺪﻩ ﺗﺮﯾﻦ ﻧﻤﻮﻧﻪ از ﯾﮏ دﺳﺘﮕﺎﻩ دﯾﺠﻴﺘﺎل‬ ‫اﺳﺖ ‪ .‬ﻣﺸﺨﺼﻪ ﯾﮏ ﺳﻴﺴﺘﻢ دﯾﺠﻴﺘﺎل ‪ ،‬ﺗﻮاﻧﺎﯾﯽ اش در دﺳﺘﮑﺎرﯼ اﺟﺰاﯼ ﮔﺴﺴﺘﻪ‬ ‫اﻃﻼﻋﺎﺗﯽ اﺳﺖ ‪ .‬ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ هﺎﯼ دﯾﺠﻴﺘﺎل اوﻟﻴﻪ ﺑﻴﺸﺘﺮ ﺑﺮاﯼ ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﻋﺪدﯼ ﻣﻮرد‬ ‫اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻗﺮار ﻣﯽ ﮔﺮﻓﺘﻨﺪ ‪ .‬در اﯾﻦ ﺣﺎﻟﺖ اﺟﺮاء ﮔﺴﺴﺘﻪ ‪ ،‬ارﻗﺎم هﺴﺘﻨﺪ ‪ .‬ﻋﺒﺎرت‬ ‫ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ دﯾﺠﻴﺘﺎل هﻢ از هﻤﻴﻦ ﮐﺎرﺑﺮد ﻧﺎﺷﯽ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ‪ .‬ﺳﻴﺴﺘﻢ ﭘﺮدازش اﻃﻼﻋﺎت‬ ‫ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ ﻧﺎم ﻣﻨﺎﺳﺒﺘﺮﯼ ﺑﺮاﯼ ﯾﮏ ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ دﯾﺠﻴﺘﺎل ﺑﺎﺷﺪ ‪.‬‬ ‫اﺟﺰاء ﮔﺴﺴﺘﻪ اﻃﻼﻋﺎت در ﯾﮏ ﺳﻴﺴﺘﻢ دﯾﺠﻴﺘﺎل را ﮐﻤﻴﺖ هﺎﯾﯽ ﻓﻴﺰﯾﮑﯽ ﺑﻪ ﻧﺎم‬ ‫ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﯽ ﺳﺎزﻧﺪ ‪ ،‬ﮐﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎﯼ اﻟﮑﺘﺮﯾﮑﯽ ﻣﺜﻞ وﻟﺘﺎژ و ﺟﺮﯾﺎن هﺎﯼ ﻣﻌﻤﻮل ﺗﺮﯾﻦ‬ ‫هﺴﺘﻨﺪ ‪ .‬ﺳﻴﮕﻨﺎل هﺎ در ﺗﻤﺎم ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎﯼ دﯾﺠﻴﺘﺎل اﻟﮑﺘﺮوﻧﻴﮑﯽ اﻣﺮوز ‪ ،‬ﺗﻨﻬﺎ دو ﻣﻘﺪار‬ ‫ﻣﺠﺰا داﺷﺘﻪ و دودوﯾﯽ ﻧﺎﻣﻴﺪﻩ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﺑﻪ دﻟﻴﻞ ﻗﺎﺑﻠﻴﺖ اﻋﺘﻤﺎد ﮐﻤﯽ ﮐﻪ ﻣﺪارهﺎﯼ‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٢‬‬

‫اﻟﮑﺘﺮوﻧﻴﮑﯽ ﭼﻨﺪ ﻣﻘﺪارﻩ دارا هﺴﺘﻨﺪ ‪ ،‬ﻃﺮاح ﯾﮏ ﺳﻴﺴﺘﻢ دﯾﺠﻴﺘﺎل ﺑﻪ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از‬ ‫ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎﯼ دودوﯾﯽ ﻣﻘﻴﺪ اﺳﺖ ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﯾﮕﺮ ﻣﯽ ﺗﻮان ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از دﻩ وﻟﺘﺎژ‬ ‫ﻣﺨﺘﻠﻒ ﯾﮏ ﻣﺪار دﻩ ﺣﺎﻟﺘﻪ را ﻃﺮاﺣﯽ ﮐﺮد اﻣﺎ اﯾﻦ ﻣﺪار از ﻟﺤﺎظ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﯽ داراﯼ ﻗﺎﺑﻠﻴﺖ‬ ‫اﻋﺘﻤﺎد ﮐﻤﯽ ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪ .‬ﺑﺮ ﻋﮑﺲ ‪ ،‬ﯾﮏ ﻣﺪار ﺗﺮاﻧﺰﯾﺴﺘﻮرﯼ ﺧﺎﻣﻮش ﯾﺎ روﺷﻦ داراﯼ دو‬ ‫ﻣﻘﺪار ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﻮدﻩ و ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎ ﻗﺎﺑﻠﻴﺖ اﻋﺘﻤﺎد زﯾﺎدﯼ ﺳﺎﺧﺘﻪ ﺷﻮد ‪.‬‬ ‫ﺑﻠﻮﮎ دﯾﺎﮔﺮام ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ دﯾﺠﻴﺘﺎل در ﺷﮑﻞ )‪ (١-١‬ﻧﺸﺎن دادﻩ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ‪ .‬واﺣﺪ ﺣﺎﻓﻈﻪ ‪،‬‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ هﺎ ‪ ،‬دادﻩ هﺎﯼ ورودﯼ ‪ ،‬ﺧﺮوﺟﯽ و دادﻩ هﺎﯼ واﺳﻄﻪ را ذﺧﻴﺮﻩ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ‪ .‬واﺣﺪ‬ ‫ﭘﺮدازﺷﮕﺮ ﯾﺎ ﭘﺮدازﻧﺪﻩ وﻇﻴﻔﻪ اﺟﺮاﯼ ﻋﻤﻠﻴﺎت رﯾﺎﺿﯽ و دﯾﮕﺮ وﻇﺎﯾﻒ ﭘﺮدازش دادﻩ هﺎﯼ را‬ ‫ﺁﻧﻄﻮرﯼ ﮐﻪ در ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻣﺸﺨﺺ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ﺑﻌﻬﺪﻩ دارد ‪ .‬واﺣﺪ ﮐﻨﺘﺮل ﺑﺮ ﺟﺮﯾﺎن اﻃﻼﻋﺎت‬ ‫ﺑﻴﻦ ﻗﺴﻤﺖ هﺎﯼ ﮔﻮﻧﺎﮔﻮن ﻧﻈﺎرت ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ‪ .‬اﯾﻦ واﺣﺪدﺳﺘﻮرات را ﯾﮏ ﺑﻪ ﯾﮏ از ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ‬ ‫اﯼ ﮐﻪ در ﺣﺎﻓﻈﻪ ذﺧﻴﺮﻩ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ﺑﺎزﯾﺎﺑﯽ ﮐﺮدﻩ و ﺑﺮاﯼ هﺮ دﺳﺘﻮراﻟﻌﻤﻞ ‪ ،‬ﭘﺮدازﻧﺪﻩ را‬ ‫ﻣﻄﻠﻊ ﻣﯽ ﻧﻤﺎﯾﺪ ﺗﺎ ﻋﻤﻠﻴﺎت ﻣﺸﺨﺺ ﺷﺪﻩ در ﺁن دﺳﺘﻮر را اﺟﺮا ﮐﻨﺪ ‪.‬‬ ‫واﺣﺪ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ‬ ‫وﭘﺮدازش‬

‫واﺣﺪ ﺣﺎﻓﻈﻪ‬

‫وﺳﺎﯾﻞ ﺧﺮوﺟﯽ‬

‫وﺳﺎﯾﻞ ورودﯼ‬

‫و ﮐﻨﺘﺮل‬

‫و ﮐﻨﺘﺮل‬

‫ﺷﮑﻞ )‪ (١-١‬ﺑﻠﻮﮎ دﯾﺎﮔﺮام ﯾﮏ ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ دﯾﺠﻴﺘﺎل‬

‫واﺣﺪ ﮐﻨﺘﺮل‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٣‬‬

‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ هﺎ و دادﻩ هﺎﯾﯽ ﮐﻪ ﺗﻮﺳﻂ اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﮐﻨﻨﺪﻩ ﺗﻬﻴﻪ ﺷﺪﻩ اﻧﺪ ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﯾﮏ دﺳﺘﮕﺎﻩ‬ ‫ورودﯼ ﻣﺜﻞ ﺻﻔﺤﻪ ﮐﻠﻴﺪﺑﻪ واﺣﺪ ﺣﺎﻓﻈﻪ ﻣﻨﺘﻘﻞ ﻣﯽ ﮔﺮدﻧﺪ ‪ .‬ﯾﮏ دﺳﺘﮕﺎﻩ ﺧﺮوﺟﯽ ﻣﺜﻞ‬ ‫ﭼﺎﭘﮕﺮ ﻧﺘﺎﯾﺞ ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت را درﯾﺎﻓﺖ ﮐﺮدﻩ و ﻧﺘﺎﯾﺞ ﭼﺎپ ﺷﺪﻩ را در اﺧﺘﻴﺎر اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﮐﻨﻨﺪﻩ‬ ‫ﻗﺮار ﻣﯽ دهﺪ ‪ .‬دﺳﺘﮕﺎهﻬﺎﯼ ورودﯼ و ﺧﺮوﺟﯽ ‪ ،‬ﺳﻴﺴﺘﻢ هﺎﯼ دﯾﺠﻴﺘﺎل ﺑﺨﺼﻮﺻﯽ‬ ‫هﺴﺘﻨﺪ ﮐﻪ ﺑﺎ ﻗﺴﻤﺖ هﺎﯼ اﻟﮑﺘﺮو ﻣﮑﺎﻧﻴﮑﯽ راﻩ اﻧﺪازﯼ ﺷﺪﻩ و ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﻣﺪارهﺎﯼ‬ ‫اﻟﮑﺘﺮوﻧﻴﮑﯽ دﯾﺠﻴﺘﺎل ﮐﻨﺘﺮل ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫هﻤﺎﻧﻄﻮرﯼ ﮐﻪ ﻗﺒﻼً اﺷﺎرﻩ ﺷﺪ ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ هﺎﯼ دﯾﺠﻴﺘﺎل روﯼ اﺟﺰاﯼ ﮔﺴﺴﺘﻪ اﻃﻼﻋﺎت‬ ‫ﻋﻤﻞ ﻣﯽ ﮐﻨﻨﺪ و اﯾﻦ اﻃﻼﻋﺎت ﺑﻪ ﺷﮑﻞ دودوﯾﯽ ﻧﻤﺎﯾﺶ دادﻩ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪ .‬ﻋﻤﻠﻮﻧﺪهﺎﯼ‬ ‫ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎدﻩ در ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ در دﺳﺘﮕﺎﻩ اﻋﺪاد دودوﯾﯽ ﺑﻴﺎن ﺷﻮﻧﺪ ‪ .‬اﺟﺰاﯼ‬ ‫ﮔﺴﺴﺘﻪ دﯾﮕﺮ ﻣﺜﻞ ارﻗﺎم دهﺪهﯽ ﺑﻪ ﮐﺪهﺎﯼ دودوﯾﯽ ﻧﻤﺎﯾﺶ دادﻩ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪ .‬ﭘﺮدازش‬ ‫دادﻩ هﺎ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از اﺟﺰاﯼ ﻣﻨﻄﻘﯽ دودوﯾﯽ ﮐﻪ از ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎﯼ دودوﯾﯽ اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻣﯽ‬ ‫ﮐﻨﻨﺪ اﻧﺠﺎم ﻣﯽ ﺷﻮد و ﻣﻘﺎدﯾﺮ در اﻟﻤﺎن هﺎﯼ ﺣﺎﻓﻈﻪ دودوﯾﯽ ذﺧﻴﺮﻩ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪.‬‬ ‫‪ -١-٢‬اﻋﺪاد دودودﯾﯽ‬ ‫ﯾﮏ ﻋﺪد در ﻣﺒﻨﺎﯼ دﻩ ﻣﺜﻞ ‪ ٧٣٩٢‬ﻣﻘﺪارﯼ ﻣﻌﺎدل ‪ ٧‬هﺰارﺗﺎﯾﯽ و ﺑﻪ اﺿﺎﻓﻪ ‪ ٣‬ﺻﺪﺗﺎﯾﯽ ﺑﻪ‬ ‫اﺷﺎﻓﻪ ‪ ٩‬دﻩ ﺗﺎﯾﯽ ﺑﻪ اﺿﺎﻓﻪ ‪ ٢‬ﯾﮑﯽ را ﻧﺸﺎن ﻣﯽ دهﺪ ‪ .‬هﺰارﮔﺎن ‪ ،‬ﺻﺪﮔﺎن و ﻏﻴﺮﻩ‬ ‫ﺗﻮاﻧﻬﺎﯾﯽ از دﻩ هﺴﺘﻨﺪ ﮐﻪ دﻻﻟﺖ ﺑﺮ ﻣﮑﺎن ﺿﺮاﯾﺐ ﻣﯽ ﮐﻨﻨﺪ ‪ .‬ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر دﻗﺖ ﺑﻴﺸﺘﺮ‬ ‫ﻋﺪد ‪ ٧٣٩٢‬ﺑﻬﺘﺮ اﺳﺖ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﻮد ‪:‬‬

‫‪7 ×103 + 3 ×102 + 9 ×101 + 2 ×100‬‬ ‫ﺑﻬﺮ ﺣﺎل ﻗﺮار داد اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻓﻘﻂ ﺿﺮاﯾﺐ را ﺑﻨﻮﯾﺴﻴﻢ و ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻣﮑﺎن ﺁﻧﻬﺎ ﺗﻮاﻧﻬﺎﯼ‬ ‫دﻩ را اﺳﺘﻨﺘﺎج ﻧﻤﺎﯾﻴﻢ ‪ .‬ﺑﻄﻮر ﮐﻠﯽ ﯾﮏ ﻋﺪ ﺑﺎ ﻧﻘﻄﻪ اﻋﺸﺎر در ﻣﺒﻨﺎﯼ دﻩ ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﺿﺮاﯾﺐ‬ ‫ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﻧﻤﺎﯾﺶ دادﻩ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪:‬‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٤‬‬

‫‪a a a a a a ,a a a‬‬ ‫‪5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3‬‬ ‫ﮐﻪ ﺿﺮﯾﺐ‬

‫‪j‬‬

‫‪a‬‬

‫ﯾﮑﯽ ارﻗﺎم ‪ 0‬ﺗﺎ ‪ ٩‬ﺑﻮدﻩ و ﻣﻘﺪار اﻧﺪﯾﺲ ‪ j‬ارزش ﻣﮑﺎﻧﯽ ﺁن رﻗﻢ وﻟﺬا ﺗﻮان‬

‫دهﯽ ﮐﻪ ﺿﺮﯾﺐ ﺑﺎﯾﺴﺘﯽ در ﺁن ﺿﺮب ﺷﻮد را ﻣﯽ دهﺪ ‪.‬‬

‫‪105 a +104 a + 103 a + 10 2 a + 101a + 100 a + 10− 1a + 10 − 2 a + 10 − 3 a‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫ﺑﻨﺎ ﺑﻪ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﮔﻔﺘﻪ ﻣﯽ ﺷﻮد ﮐﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ اﻋﺪاد اﻋﺸﺎرﯼ از ﻣﺒﻨﺎ ﯾﺎ ﭘﺎﯾﻪ ‪ ١٠‬ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﭼﺮا ﮐﻪ دﻩ رﻗﻢ در ﺁن اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد و ﺿﺮاﯾﺐ ﻧﻴﺰ در ﺗﻮاﻧﻬﺎﯾﯽ از دﻩ ﺿﺮب ﻣﯽ ﮔﺮدﻧﺪ‬ ‫‪ ،‬دﺳﺘﮕﺎﻩ دودوﯾﯽ ﺳﻴﺴﺘﻢ دﯾﮕﺮﯼ از اﻋﺪاد اﺳﺖ ‪ .‬ﺿﺮاﯾﺐ دﺳﺘﮕﺎﻩ اﻋﺪاد دودودﯾﯽ‬ ‫داراﯼ دو ارزش ﻣﻤﮑﻦ ﻣﯽ ﺑﺎﺷﻨﺪ ‪ ٠ :‬و ‪ ١‬هﺮ ﺿﺮﯾﺐ‬

‫‪j‬‬

‫‪a‬‬

‫ﺿﺮﯾﺐ در‬

‫‪2j‬‬

‫ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬

‫ﺑﺮاﯼ ﻣﺜﺎل ﻣﻌﺎدل ﻣﺒﻨﺎﯼ دﻩ ﻋﺪد دودوﯾﯽ ‪ ١١٠١٠٫١١‬هﻤﺎﻧﻄﻮر ﮐﻪ در زﯾﺮ ﻧﺸﺎن دادﻩ‬ ‫ﺷﺪﻩ رﻳﺎل ﻋﺪد ‪ ٢۶٫٧۵‬از ﺿﺮﯾﺐ ﺗﻮاﻧﺎﯾﯽ از ‪ ٢‬در ﺿﺮاﯾﺐ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽ ﺁﯾﺪ ‪.‬‬ ‫‪1× 24 + 1× 23 + 0 × 22 + 1× 21 + 0 × 20 + 1× 2−1 + 1× 2− 2 = 26.75‬‬

‫ﺑﻄﻮر ﮐﻠﯽ ﯾﮏ ﻋﺪد در ﻣﺒﻨﺎﯼ ‪ r‬ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﺗﻮاﻧﻬﺎﯼ ‪ r‬در ﺿﺮاﯾﺐ ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ اش‬ ‫ﺑﻴﺎن ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬

‫‪.r n − 1 + ...a .r 2 + a .r + a + a .r − 1 + a .r − 2 + a− m.r − m‬‬ ‫‪a n.r n + a‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 −1‬‬ ‫‪n −1‬‬ ‫ﺑﻴﻦ ‪ ٠‬ﺗﺎ ‪ ١-‬هﺴﺘﻨﺪ ‪.‬‬

‫‪j‬‬

‫‪ a‬ﮐﻪ ﺿﺮاﯾﺐ‬

‫در ﻣﺒﻨﺎﯼ ‪ r‬ﮐﻤﺘﺮ از ‪ ١٠‬ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪ ،‬ﻣﺮﺳﻮم اﺳﺖ ﮐﻪ ‪ r‬رﻗﻢ ﻣﻮرد ﻧﻴﺎز ﺑﺮاﯼ ﯾﮏ ﻋﺪد از‬ ‫دﺳﺘﮕﺎﻩ دهﺪهﯽ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬وﻗﺘﯽ ﻣﺒﻨﺎﯼ ﻋﺪد ﺑﺰرﮔﺘﺮ از دﻩ اﺳﺖ از ﺣﺮوف اﻟﻔﺒﺎ‬ ‫ﺑﺮاﯼ ﺗﮑﻤﻴﻞ ارﻗﺎم دهﺪهﯽ اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻣﯽ ﮔﺮدد ‪ .‬در ﻣﺒﻨﺎﯼ ﺷﺎﻧﺰدﻩ ‪ ،‬دﻩ رﻗﻢ اول از‬ ‫ﺳﻴﺴﺘﻢ دهﺪهﯽ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﺪﻩ و ﺣﺮوف ‪ F,E,D,C,B,A‬ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺑﻪ ﺟﺎﯼ اﻋﺪاد‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٥‬‬

‫) ‪ ( ١۵٫١۴٫١٣٫١٢٫١١٫١٠‬ﺑﮑﺎر ﻣﯽ روﻧﺪ ‪ .‬ﻣﺜﺎﻟﯽ از ﯾﮏ ﻋﺪد در ﻣﺒﻨﺎﯼ ﺷﺎﻧﺰدﻩ ﺑﺼﻮرت‬ ‫زﯾﺮ اﺳﺖ ‪،‬‬

‫)‪(B65F ) = 11×163 + 6 ×162 + 5 ×16 + 15 = (46687‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﺷﺎﻧﺰدﻩ ﻋﺪد اول دﺳﺘﮕﺎﻩ اﻋﺪاد ﺷﺎﻧﺰدﻩ ﺗﺎﯾﯽ ‪ ،‬هﺸﺖ ﺗﺎﯾﯽ ‪ ،‬دودوﯾﯽ و دهﺪهﯽ در‬ ‫ﺟﺪول )‪ ( ١-١‬ﺁﻣﺪﻩ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﺟﺪول )‪ ( ١-١‬اﻋﺪاد ﺑﺎ ﻣﺒﻨﺎهﺎﯼ ﻣﺘﻔﺎوت‬ ‫ﺷﺎﻧﺰدﻩ ﺗﺎﯾﯽ‬ ‫) ﭘﺎﯾﻪ ‪( ١۶‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪۴‬‬ ‫‪۵‬‬ ‫‪۶‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪F‬‬

‫هﺸﺘﺎﯾﯽ ) ﭘﺎﯾﻪ‬ ‫‪(٨‬‬ ‫‪٠٠‬‬ ‫‪٠١‬‬ ‫‪٠٢‬‬ ‫‪٠٣‬‬ ‫‪٠۴‬‬ ‫‪٠۵‬‬ ‫‪٠۶‬‬ ‫‪٠٧‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪١١‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫‪١۴‬‬ ‫‪١۵‬‬ ‫‪١۶‬‬ ‫‪١٧‬‬

‫دودوﯾﯽ ) ﭘﺎﯾﻪ‬ ‫‪(٢‬‬ ‫‪٠٠٠٠‬‬ ‫‪٠٠٠١‬‬ ‫‪٠٠١٠‬‬ ‫‪٠٠١١‬‬ ‫‪٠١٠٠‬‬ ‫‪٠١٠١‬‬ ‫‪٠١١٠‬‬ ‫‪٠١١١‬‬ ‫‪١٠٠٠‬‬ ‫‪١٠٠١‬‬ ‫‪١٠١٠‬‬ ‫‪١٠١١‬‬ ‫‪١١٠٠‬‬ ‫‪١١٠١‬‬ ‫‪١١١٠‬‬ ‫‪١١١١‬‬

‫دهﺪهﯽ ) ﭘﺎﯾﻪ‬ ‫‪( ١٠‬‬ ‫‪٠٠‬‬ ‫‪٠١‬‬ ‫‪٠٢‬‬ ‫‪٠٣‬‬ ‫‪٠۴‬‬ ‫‪٠۵‬‬ ‫‪٠۶‬‬ ‫‪٠٧‬‬ ‫‪٠٨‬‬ ‫‪٠٩‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪١١‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫‪١۴‬‬ ‫‪١۵‬‬

‫اﻋﻤﺎل رﯾﺎﺿﯽ ﺑﺎ ﻣﺒﻨﺎﯼ ‪ r‬از هﻤﺎن ﻗﻮاﻋﺪﯼ ﮐﻪ ﺑﺮاﯼ اﻋﺪاد دهﺪهﯽ ﺣﺎﮐﻢ اﺳﺖ ﭘﻴﺮوﯼ‬ ‫ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ‪ .‬وﻗﺘﯽ از ﻣﺒﻨﺎﯼ ﻏﻴﺮ از ‪ ١٠‬اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ﻣﯽ ﺑﺎﯾﺴﺖ دﻗﺖ ﮐﺮد ﺗﺎ ﻓﻘﻂ ‪r‬‬ ‫رﻗﻢ ﻣﺠﺎز ﺁن ﻣﺒﻨﺎ ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻗﺮار ﮔﻴﺮد ‪.‬ﻣﺜﺎﻟﻬﺎﯼ از ﺟﻤﻊ ‪ ،‬ﺗﻔﺮﯾﻖ و ﺿﺮب دو ﻋﺪد‬ ‫دودوﯾﯽ در زﯾﺮ ﻧﺸﺎن دادﻩ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ‪:‬‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪ ١٠١١‬ﻣﻀﺮوب‬

‫‪٦‬‬

‫‪١٠١١٠١‬‬

‫‪ *١٠١‬ﻣﻀﺮوب ﻓﻴﻪ ‪-١٠٠١١١‬‬ ‫‪١٠١١‬‬

‫‪٠٠٠١١٠‬‬

‫ﻣﻔﺮوق‬

‫‪١٠١١٠١‬‬

‫ﻣﻀﺎف‬

‫ﻣﻔﺮوق ﻣﻨﻪ ‪ +١٠٠١١١‬ﻣﻀﺎف اﻟﻴﻪ‬ ‫ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪﻩ‬

‫‪١٠١٠١٠٠‬‬

‫ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ‬

‫‪٠٠٠٠‬‬ ‫‪١٠١١‬‬ ‫‪١١٠١١١‬‬

‫ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب‬

‫ﻣﺠﻤﻮع دو ﻋﺪد دودوﯾﯽ ﻃﺒﻖ هﻤﺎن ﻗﻮاﻧﻴﻦ دﺳﺘﮕﺎﻩ دهﺪهﯽ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ ،‬ﺑﺠﺰ‬ ‫اﯾﻨﮑﻪ ارﻗﺎم ﺑﺎ ارزش ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ در ﺗﻤﺎم ﻣﮑﺎن هﺎﯼ ﺑﺎ ﻣﻌﻨﯽ ﻓﻘﻂ ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ ‪ ٠‬ﯾﺎ ‪١‬‬ ‫ﺑﺎﺷﻨﺪ ‪ .‬هﺮ رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ ﺑﺪﺳﺖ ﺁﻣﺪﻩ در ﻣﮑﺎﻧﯽ ﻣﻔﺮوض ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﺟﻔﺖ رﻗﻢ هﺎﯼ ﻣﺮﺗﺒﻪ‬ ‫ﺑﺎﻻﺗﺮ ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻗﺮار ﻣﯽ ﮔﻴﺮد ‪ .‬ﻋﻤﻞ ﺗﻔﺮﯾﻖ ﮐﻤﯽ ﭘﻴﭽﻴﺪﻩ ﺗﺮ اﺳﺖ ‪ .‬ﻗﻮاﻧﻴﻦ ﺑﺎز هﻢ‬ ‫هﻤﺎن ﻗﺎﻧﻮﻧﻬﺎﯼ دهﺪهﯽ هﺴﺘﻨﺪ ‪ ،‬ﺑﺠﺰ اﯾﻨﮑﻪ رﻗﻢ ﻗﺮﺿﯽ ﺑﺎ ارزش ﻣﮑﺎﻧﯽ دادﻩ ﺷﺪﻩ ‪٢‬‬ ‫واﺣﺪ ﺑﻪ رﻗﻢ ﻣﻔﺮوق اﺿﺎﻓﻪ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ‪ ) .‬ﯾﮏ رﻗﻢ ﻗﺮﺿﯽ از دﺳﺘﮕﺎﻩ دهﺪهﯽ ‪ ١٠ ،‬واﺣﺪ‬ ‫ﺑﻪ رﻗﻢ ﻣﻔﺮوق اﺿﺎﻓﻪ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ( ﻋﻤﻞ ﺿﺮب ﺑﺴﻴﺎر ﺳﺎدﻩ اﺳﺖ ‪ .‬ارﻗﺎم ﻣﻀﺮوب ﻓﻴﻪ‬ ‫هﻤﻴﺸﻪ ‪ ١‬ﯾﺎ ‪ ٠‬هﺴﺘﻨﺪ ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب هﺎﯼ ﺟﺰﺋﯽ ﯾﺎ ‪ ٠‬و ﯾﺎ ﻣﺴﺎورﯼ ﻣﻀﺮوب‬ ‫ﻣﯽ ﺑﺎﺷﻨﺪ ‪.‬‬ ‫‪ -١-٣‬ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣﺒﻨﺎﯼ اﻋﺪاد‬ ‫ﯾﮏ ﻋﺪد دودوﯾﯽ ﺑﻪ وﺳﻴﻠﻪ ﺟﻤﻊ ﮐﺮدن ﺗﻮاﻧﻬﺎﯾﯽ از ‪ ٢‬ﮐﻪ ﻣﻘﺪار ﺿﺮاﯾﺒﺸﺎن ﯾﮏ اﺳﺖ ﺑﻪ‬ ‫ﺻﻮرت دهﺪهﯽ ﺁن ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﺑﺮاﯼ ﻣﺜﺎل ‪:‬‬

‫)‪(1010.011) = 23 + 21 + 2− 2 + 2− 3 = (10.375‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٧‬‬

‫در زﯾﺮ ﻣﺜﺎﻟﯽ از ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣﺒﻨﺎﯼ هﺸﺖ ﺑﻪ دﻩ ﺁﻣﺪﻩ اﺳﺖ ‪:‬‬

‫)‪(630.4) = 6 × 82 + 3 × 8 + 4 × 8− 1 = (408.5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫در ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣﺒﻨﺎﯼ دﻩ ﺑﻪ دو ﯾﺎ ﺑﻪ هﺮ ﻣﺒﻨﺎﯼ دﯾﮕﺮ راﺣﺖ ﺗﺮ اﺳﺖ ﮐﻪ ﻗﺴﻤﺖ ﺻﺤﻴﺢ و‬ ‫ﻗﺴﻤﺖ اﻋﺸﺎرﯼ ﻋﺪد را ﺟﺪا ﮐﺮدﻩ و هﺮ ﮐﺪام را ﺑﻪ ﻃﻮر ﺟﺪاﮔﺎﻧﻪ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﮐﻨﻴﻢ ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ -١-١‬ﻋﺪد ‪ ۴١‬را ﺑﻪ دودوﯾﯽ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﮐﻨﻴﺪ ‪.‬‬ ‫اﺑﺘﺪا ‪ ۴١‬ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ‪ ٢‬ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺷﺪﻩ ﺗﺎ ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺖ ‪ ٢٠‬و ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪﻩ ‪ ١/٢‬ﺑﺪﺳﺖ ﺁﯾﺪ ‪.‬‬ ‫ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺖ ﻣﺠﺪداً ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺷﺪﻩ ﺗﺎ ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺖ و ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪﻩ ﺟﺪﯾﺪﯼ ﺣﺎﺻﻞ ﮔﺮدد ‪.‬‬ ‫اﯾﻦ روال ﺑﻪ هﻤﻴﻦ ﺻﻮرت ﺗﺎ زﻣﺎﻧﯽ اداﻣﻪ ﻣﯽ ﯾﺎﺑﺪ ﮐﻪ ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺖ ﺻﺤﻴﺢ ﺑﻪ دﺳﺖ‬ ‫ﺁﻣﺪﻩ ﺻﻔﺮ ﺷﻮد ‪ .‬ﺿﺮاﯾﺐ ﻋﺪد دودوﯾﯽ ﻣﻄﻠﻮب ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ از ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪﻩ هﺎ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽ‬ ‫ﺁﯾﻨﺪ ‪.‬‬ ‫ﺿﺮﯾﺐ ﻋﺪد دودوﯾﯽ‬

‫ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪﻩ‬

‫‪a =1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a =0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a =0‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪+‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪+‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪=5‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪٠‬‬

‫‪+‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪+‬‬

‫‪a =1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a =0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪a =1‬‬ ‫‪5‬‬

‫ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺖ ﺻﺤﻴﺢ‬ ‫‪41‬‬ ‫‪= 20‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪=10‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪2‬‬

‫)‪ : (41) = (a a a a a a ) = (101001‬ﺟﻮاب‬ ‫‪5 4 3 2102‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٨‬‬

‫روال رﯾﺎﺿﯽ ﻓﻮق ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺼﻮرت ﻣﻨﺎﺳﺒﺘﺮﯼ ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ ﻋﻤﻞ ﺷﻮد ‪:‬‬

‫ﺟﻮاب = ‪١٠١٠٠١‬‬

‫ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺖ‬ ‫ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪﻩ ﺻﺤﻴﺢ‬ ‫‪۴١‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪۵‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬

‫ﺗﺒﺪﯾﻞ اﻋﺪاد ﺻﺤﻴﺢ دهﺪهﯽ ﺑﻪ ﻣﺒﻨﺎﯼ ‪ r‬ﺷﺒﻴﻪ ﺑﻪ ﻣﺜﺎل ﻣﺬﮐﻮر اﺳﺖ ﺑﺠﺰ اﯾﻨﮑﻪ ﺗﻘﺴﻴﻢ‬ ‫ﻣﯽ ﺑﺎﯾﺴﺖ ﺑﻪ ﺟﺎﯼ ‪ ٢‬ﺑﺮ ‪ r‬ﺻﻮرت ﮔﻴﺮد ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ : -١-٢ :‬ﻋﺪد ‪ ١۵٣‬را ﺑﻪ ﻣﺒﻨﺎﯼ هﺸﺖ ﺑﺒﺮﯾﺪ‪.‬‬

‫‪= (231)8‬‬

‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬

‫‪١۵٣‬‬ ‫‪١٩‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٠‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ -١-٣ :‬ﻋﺪد )‪ (0.6875‬را ﺑﻪ ﻣﺒﻨﺎﯼ دو ﺑﺒﺮﯾﺪ ‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﺿﺮﯾﺐ‬

‫ﮐﺴﺮﯼ‬

‫‪a =1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪a =0‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪a =1‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪a =1‬‬ ‫‪−4‬‬

‫ﺻﺤﻴﺢ‬

‫‪٠٫٣٧۵٠‬‬

‫‪+‬‬

‫‪١‬‬

‫= ‪0.6875 × 2‬‬

‫‪٠٫٧۵٠٠‬‬

‫‪+‬‬

‫‪٠‬‬

‫= ‪0.3750 × 2‬‬

‫‪٠٫۵٠٠٠‬‬

‫‪+‬‬

‫‪١‬‬

‫= ‪0.7500 × 2‬‬

‫‪٠٫٠٠٠٠‬‬

‫‪+‬‬

‫‪١‬‬

‫= ‪0.5000 × 2‬‬

‫‪ : (0.6875) = (0.a a‬ﺟﻮاب‬

‫‪a a ) = (0.1011‬‬ ‫‪−1 − 2 − 3 − 4 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪10‬‬

‫ﺑﺮاﯼ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﯾﮏ ﻋﺪد ﮐﺴﺮﯼ از ﻣﺒﻨﺎﯼ دﻩ ﺑﻪ ﯾﮏ ﻋﺪد در ﭘﺎﯾﻪ ‪ ، r‬روش ﻣﺸﺎﺑﻬﯽ اﻧﺠﺎم‬ ‫ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٩‬‬

‫ﻓﻘﻂ ﺑﻪ ﺟﺎﯼ ﺿﺮب در ‪ ، ٢‬ﺿﺮب در ‪ r‬اﻧﺠﺎم ﻣﯽ ﮔﺮدد و ﺿﺮاﯾﺐ ﺣﺎﺻﻞ از ﻗﺴﻤﺘﻬﺎﯼ‬ ‫ﺻﺤﻴﺢ ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑﻪ ﺟﺎﯼ ‪ ٠‬و ‪ ١‬در ﻣﺤﺪودﻩ ﺑﻴﻦ ‪ ٠‬ﺗﺎ ‪ r-١‬ﺑﺎﺷﻨﺪ ‪.‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ : ١-۴ :‬ﻋﺪد _ )‪(0.513‬‬ ‫‪10‬‬

‫را ﺑﻪ ﻣﺒﻨﺎﯼ هﺸﺖ ﺑﺒﺮﯾﺪ ‪.‬‬

‫‪0.413× 8 = 4.104‬‬ ‫‪0.104 × 8 = 0.832‬‬ ‫‪0.832 × 8 = 6.656‬‬ ‫‪0.656 × 8 = 5.248‬‬ ‫‪0.248 × 8 = 1.984‬‬ ‫‪0.984 × 8 = 7.872‬‬ ‫ﺟﻮاب ﺗﺎ هﻔﺖ رﻗﻢ ﺑﺎ ﻣﻌﻨﯽ ‪ ،‬از ﻗﺴﻤﺘﻬﺎﯼ ﺻﺤﻴﺢ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب هﺎ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽ ﺁﯾﺪ ‪.‬‬ ‫)‪(0.513) = (0.406517...‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬

‫ﺗﺒﺪﯾﻞ اﻋﺪاد دهﺪهﯽ ﮐﻪ داراﯼ هﺮ دو ﻗﺴﻤﺖ ﺻﺤﻴﺢ و ﮐﺴﺮﯼ هﺴﺘﻨﺪ ﺑﻪ اﯾﻦ ﺻﻮرت‬ ‫اﻧﺠﺎم ﻣﻴﮕﻴﺮد ﮐﻪ هﺮ ﻗﺴﻤﺖ ﺑﻄﻮر ﻣﺠﺰا ﺗﺒﺪﯾﻞ ﺷﺪﻩ ﺳﭙﺲ ﺟﻮاﺑﻬﺎ ﺑﺎ هﻢ ﺗﺮﮐﻴﺐ ﻣﯽ‬ ‫ﺷﻮﻧﺪ ‪ .‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﻧﺘﺎﯾﺞ ﻣﺜﺎل ‪ ١-١‬و ‪ ١-٣‬دارﯾﻢ ‪:‬‬ ‫)‪(41.6875) = (101001.1011‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬

‫از ﻣﺜﺎﻟﻬﺎﯼ ‪ ١-٢‬و ‪ ١-۴‬ﻧﻴﺰ دارﯾﻢ ‪:‬‬ ‫)‪(153.513) = (231.406517‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪ ١-۴‬اﻋﺪاد ﻣﺒﻨﺎﯼ هﺸﺖ و ﺷﺎﻧﺰدﻩ‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ از ﻣﺒﻨﺎﯼ دو ﺑﻪ ﻣﺒﻨﺎﯼ هﺸﺖ و ﺷﺎﻧﺰدﻩ و ﺑﺎﻟﻌﮑﺲ ﻧﻘﺶ ﻣﻬﻤﯽ در ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮهﺎﯼ‬ ‫دﯾﺠﻴﺘﺎل دارد ‪ .‬ﭼﻮن ‪ 23 = 8‬و‬

‫‪24 = 16‬‬

‫اﺳﺖ ‪ ،‬هﺮ رﻗﻢ در ﻣﺒﻨﺎﯼ هﺸﺖ ﻣﻄﺎﺑﻖ ﺳﻪ رﻗﻢ‬

‫دودوﯾﯽ و هﺮ رﻗﻢ ﺑﺮ ﻣﺒﻨﺎﯼ ﺷﺎﻧﺰدﻩ ‪ ،‬ﭼﻬﺎر رﻗﻢ دودوﯾﯽ اﺳﺖ ‪ .‬ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣﺒﻨﺎﯼ دو ﺑﻪ‬ ‫هﺸﺖ ﺑﻪ ﺳﺎدﮔﯽ ﺑﺎ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻋﺪد دودوﯾﯽ ﺑﻪ دﺳﺘﻪ هﺎﯼ ﺳﻪ ﺗﺎﯾﯽ از ﻧﻘﻄﻪ اﻋﺸﺎرﯼ‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪١٠‬‬

‫دودوﯾﯽ ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﭼﭗ و راﺳﺖ ﺻﻮرت ﻣﯽ ﮔﻴﺮد و ﺑﻪ هﺮ دﺳﺘﻪ از اﯾﻦ اﻋﺪاد ﯾﮏ رﻗﻢ در‬ ‫ﻣﺒﻨﺎﯼ هﺸﺖ ﻧﺴﺒﺖ دادﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﻣﺜﺎل زﯾﺮ ﻧﺸﺎن دهﻨﺪﻩ روﻧﺪ ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ اﺳﺖ ‪:‬‬ ‫‪10 110 001 101 011 111 100 000 110‬‬ ‫)‪) = (26153.7406‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2 6 1 5 3 7 4 0 6 2‬‬

‫(‬

‫ﺗﺒﺪﯾﻞ از ﻣﺒﻨﺎﯼ دو ﺑﻪ ﻣﺒﻨﺎﯼ ﺷﺎﻧﺰدﻩ ﻧﻴﺰ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺎ روﻧﺪ ﺑﺎﻻ اﺳﺖ ‪ ،‬ﺑﺎ اﯾﻦ ﺗﻔﺎوت ﮐﻪ ﻋﺪد‬ ‫دودوﯾﯽ ﺑﻪ دﺳﺘﻪ هﺎﯼ ﭼﻬﺎرﺗﺎﯾﯽ از ارﻗﺎم ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺑﻨﺪﯼ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬ ‫‪10 1100 0110 1011 1111 0010‬‬ ‫)‪) = (2C 6B.F 2‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪2 C‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫(‬

‫هﺮ ﻋﺪد در ﻣﺒﻨﺎﯼ ﺷﺎﻧﺰدﻩ ) هﺸﺖ ‪ ٩‬ﻣﺘﻨﺎﺳﺐ ﺑﺎ هﺮ دﺳﺘﻪ از ارﻗﺎم دودوﯾﯽ ‪ ،‬ﺑﻌﺪ از‬ ‫ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﺛﺒﺖ ﺷﺪﻩ در ﺟﺪول )‪ (١-١‬ﺑﻪ ﺳﺎدﮔﯽ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬ ‫ﺗﺒﺪﯾﻞ از ﻣﺒﻨﺎﯼ هﺸﺖ ﯾﺎ ﺷﺎﻧﺰدﻩ ﺑﻪ ﻣﺒﻨﺎﯼ دو ﺑﺎ روﺷﯽ ﻋﮑﺲ روش ﺑﺎﻻ ﺻﻮرت ﻣﯽ‬ ‫ﮔﻴﺮد ‪ .‬هﺮ رﻗﻢ در ﻣﺒﻨﺎﯼ ﺷﺎﻧﺰدﻩ ﺑﻪ ﭼﻬﺎر رﻗﻢ ﻣﻌﺎدل در ﻣﺒﻨﺎﯼ دو ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬ ‫ﺑﻄﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ هﺮ رﻗﻢ در ﻣﺒﻨﺎﯼ ﺷﺎﻧﺰدﻩ ﺑﻪ ﻣﻌﺎدل دودوﯾﯽ ﭼﻬﺎر رﻗﻤﯽ ﺧﻮد ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣﯽ‬ ‫ﮔﺮدد ‪ .‬اﯾﻦ ﻣﻄﻠﺐ در ﻣﺜﺎل زﯾﺮ ﺗﺸﺮﯾﺢ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ‪:‬‬

‫‪110 111 011 001 010 100‬‬ ‫( = )‪(673.124‬‬ ‫)‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6 7 3‬‬ ‫‪1 2 4 2‬‬ ‫‪0011 0000 0110 1101‬‬ ‫( = )‪(306.D‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‬ ‫‪16‬‬ ‫‪D 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﮐﺎرﮐﺮدن ﺑﺎ اﻋﺪاد دودوﯾﯽ ﺑﻪ دﻟﻴﻞ اﯾﻨﮑﻪ ﺗﻌﺪاد ارﻗﺎﻣﺸﺎن ﺳﻪ ﯾﺎ ﭼﻬﺎر ﺑﺮاﺑﺮ ﻋﺪد‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺸﺎن در ﻣﺒﻨﺎﯼ دﻩ ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ﻣﺸﮑﻞ اﺳﺖ ‪ ) .‬ﻣﺜﻼً ﻋﺪد دودوﯾﯽ ‪١١١١ ١١١١‬‬ ‫‪ ١١١١‬ﻣﻌﺎدل ﻋﺪد دهﺪهﯽ ‪ ۴٠٩۵‬اﺳﺖ ‪ .‬ﺑﺎ اﯾﻦ وﺟﻮد ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮهﺎﯼ دﯾﺠﻴﺘﺎل از اﻋﺪاد‬ ‫دودوﯾﯽ اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻣﯽ ﮐﻨﻨﺪ و ﮔﺎهﯽ ﻧﻴﺰ ﻻزم اﺳﺖ ﮐﻪ اﭘﺮاﺗﻮر و ﯾﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﮐﻨﻨﺪﻩ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎٌ ﺑﻪ وﺳﻴﻠﻪ اﻋﺪاد دودوﯾﯽ ﺑﺎ ﻣﺎﺷﻴﻦ ارﺗﺒﺎط ﺑﺮﻗﺮار ﮐﻨﺪ ‪ .‬ﯾﮏ راﻩ ﺑﺮاﯼ ﻧﮕﻬﺪارﯼ‬ ‫ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﯾﯽ در ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ﮐﻪ ﺿﻤﻨﺎً ﺗﻌﺪاد ارﻗﺎم را ﻧﻴﺰ ﮐﺎهﺶ ﻣﯽ دهﺪ ‪ ،‬اﯾﻦ اﺳﺖ‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪١١‬‬

‫ﮐﻪ از ارﺗﺒﺎط ﺑﻴﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ اﻋﺪاد دودوﯾﯽ و ﺳﻴﺴﺘﻢ هﺸﺖ ﺗﺎﯾﯽ ﯾﺎ ﺷﺎﻧﺰدﻩ اﺳﺘﻔﺎدﻩ‬ ‫ﺷﻮد ‪ .‬ﺑﺎ اﯾﻦ روش اﻧﺴﺎن ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ اﻋﺪاد ﻣﺒﻨﺎﯼ ﺷﺎﻧﺰدﻩ ﯾﺎ هﺸﺖ ﺗﺎﯾﯽ ﻓﮑﺮ‬ ‫ﮐﺮدﻩ و در ﻣﻮاﻗﻌﯽ ﮐﻪ ارﺗﺒﺎط ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﺎ ﻣﺎﺷﻴﻦ ﻻزم اﺳﺖ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻻزﻣﻪ را ﺑﺎ ﺑﺎزدﯾﺪ‬ ‫ﮐﺮدن اﯾﻦ اﻋﺪاد اﻧﺠﺎم دهﺪ ‪ .‬ﺑﻪ اﯾﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻋﺪد دودوﯾﯽ ‪ ١١١١ ١١١١ ١١١١‬ﮐﻪ داراﯼ‬ ‫دوازدﻩ رﻗﻤﻦ اﺳﺖ در ﻣﺒﻨﺎﯼ هﺸﺖ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﭼﻬﺎر رﻗﻢ ‪ ٧٧٧٧‬ﺑﻴﺎن ﻣﯽ ﺷﻮد و ﯾﺎ در‬ ‫ﻣﺒﻨﺎﯼ ﺷﺎﻧﺰدﻩ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺳﻪ رﻗﻢ ‪ FFF‬ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد ‪.‬در ارﺗﺒﺎﻃﺎت ﺑﻴﻦ ﻣﺮدم ) در ﻣﻮرد‬ ‫اﻋﺪاد اردودوﯾﯽ در ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ( ﻧﻤﺎﯾﺶ اﻋﺪاد در ﻣﺒﻨﺎهﺎﯼ هﺸﺖ و ﺷﺎﻧﺰدﻩ ﻣﻄﻠﻮب ﺗﺮ‬ ‫اﺳﺖ زﯾﺮا ﮐﻪ در اﯾﻦ ﻣﺒﻨﺎهﺎ اﻋﺪاد ﺑﻪ ﺻﻮرت ﮐﻮﭼﮑﺘﺮﯼ ﺑﺎ ‪ ١/٣‬ﯾﺎ ‪ ١/۴‬ﺗﻌﺪاد ارﻗﺎم‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺸﺎن در دودوﯾﯽ ﻗﺎﺑﻞ ﻧﻤﺎﯾﺶ هﺴﺘﻨﺪ ‪.‬‬ ‫‪ -١-۵‬ﻣﮑﻤﻞ هﺎ‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ هﺎ در ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮهﺎﯼ دﯾﺠﻴﺘﺎل ﺑﺮاﯼ ﺳﺎدﻩ ﮐﺮدن ﻋﻤﻞ ﺗﻔﺮﯾﻖ و ﯾﺎ ﻋﻤﻠﻴﺎت ﻣﻨﻄﻘﯽ‬ ‫ﺑﻪ ﮐﺎر ﻣﯽ روﻧﺪ ‪ .‬در هﺮ ﻣﺒﻨﺎﯼ ‪ r‬دو ﻧﻮع ﻣﮑﻤﻞ ﺑﺮاﯼ هﺮ ﺳﻴﺴﺘﻢ وﺟﻮد دارد ‪ :‬ﯾﮑﯽ‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ﻣﺒﻨﺎ ﯾﺎ ﭘﺎﯾﻪ و دﯾﮕﺮﯼ ﻣﮑﻤﻞ ﻣﺒﻨﺎ ﯾﺎ ﭘﺎﯾﻪ ﮐﺎهﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ اﺳﺖ ‪ .‬ﻓﺮم اول ﺑﻪ ﻣﮑﻤﻞ ‪r‬‬ ‫و دوﻣﯽ ﺑﻪ ﻣﮑﻤﻞ )‪ ( r -١‬ﻣﻮﺳﻮم اﺳﺖ ‪ .‬وﻗﺘﯽ ﻣﻘﺪار ﭘﺎﯾﻪ را ﺟﺎﯾﮕﺰﯾﻦ ﮐﻨﻴﻢ ‪ ،‬ﺑﺮاﯼ‬ ‫اﻋﺪاد دودوﯾﯽ ﻣﮑﻤﻞ هﺎﯼ ‪ ٢‬و ‪ ١‬ﺑﺮاﯼ اﻋﺪاد ﻣﮑﻤﻞ هﺎﯼ ‪ ١٠‬و ‪ ٩‬را ﺧﻮاهﻴﻢ داﺷﺖ ‪.‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ در ﭘﺎﯾﻪ ﮐﺎهﺶ ﯾﺎﻓﺘﻪ‬ ‫ﺑﺮاﯼ ﻋﺪدﯼ ﻣﺎﻧﻨﺪ‪ N‬در ﻣﺒﻨﺎ ﯾﺎ ﭘﺎﯾﻪ ‪ r‬ﮐﻪ داراﯼ ‪ n‬رﻗﻢ اﺳﺖ ‪ ،‬ﻣﮑﻤﻞ )‪ ( r-١‬ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ‪N‬‬ ‫ﺑﺼﻮرت‬

‫‪(r n − 1) − N‬‬

‫ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﺑﺮاﯼ اﻋﺪادﯼ ﺑﺎ ‪ r = ١٠‬و ‪ ، r -١= ٩‬ﻣﮑﻤﻞ‬

‫‪ ٩‬ﺑﺮاﯼ ﻋﺪد ‪ N‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‬

‫‪(10n − 1) − N‬‬

‫‪ .‬ﻋﺪد‬

‫‪n‬‬

‫‪ ١٠‬ﺑﺮاﺑﺮﺳﺖ ﺑﺎ ﯾﮏ ﻋﺪد ‪ ١‬ﮐﻪ‬

‫‪ n‬ﻋﺪد ‪ ٠‬ﺑﺪﻧﻴﺎل ﺁن ﺁﻣﺪﻩ اﺳﺖ ‪ .‬ﺑﻬﻤﻴﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ ‪ ١٠n-١‬ﺑﺮاﺑﺮﺳﺖ ﺑﺎ ‪ n‬ﻋﺪد ‪ . ٩‬ﻣﺜﻼً اﮔﺮ‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪١٢‬‬

‫‪ n=۴‬ﺑﺎﺷﺪدارﯾﻢ ‪ 104 =10000‬و ‪ 104 −1 = 9999‬دﯾﺪﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ﮐﻪ ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٩‬ﯾﮏ ﻋﺪد‬ ‫دهﺪهﯽ از ﺗﻔﺮﯾﻖ هﺮ رﻗﻢ ﺁن از ‪ ٩‬ﺣﺎﺻﻞ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﺑﻪ ﭼﻨﺪ ﻣﺜﺎل ﻋﺪدﯼ ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﻴﺪ ‪.‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٩‬ﻋﺪد ‪ ۵۴۶٧٠٠‬ﺑﺮاﺑﺮﺳﺖ ﺑﺎ‬ ‫‪٩٩٩٩٩٩-۵۴۶٧٠٠=۴۵٣٢٩٩‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٩‬ﻋﺪد ‪ ٠١٢٣٩٨‬ﺑﺮاﺑﺮﺳﺖ ﺑﺎ‬ ‫‪٩٩٩٩٩٩-٠١٢٣٩٨=٩٨٧۶٠١‬‬ ‫ﺑﺮاﯼ اﻋﺪاد دودوﯾﯽ ‪ r=٢ ،‬و ‪ r-١=١‬اﺳﺖ ‪ ،‬ﻟﺬا ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١‬ﻋﺪد ‪ n‬ﺑﺮاﺑﺮﺳﺖ ﺑﺎ‬ ‫‪ . (٢n -١)– n‬ﻣﺠﺪداً ‪ ٢n‬از ﯾﮏ ﻋﺪد دودوﯾﯽ ﻣﺘﺸﮑﻞ از ﯾﮏ ‪ ١‬و ﺗﻌﺪادﯼ ‪ ٠‬ﺑﺪﻧﺒﺎل ﺁن‬ ‫اﺳﺖ ‪ ٢n -١ .‬ﻧﻴﺰ ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ‪ n‬ﻋﺪد ‪ ١‬ﻧﺸﺎن دادﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﻣﺜﻼً اﮔﺮ ‪ n=۴‬ﺑﺎﺷﺪ دارﯾﻢ‬ ‫‪2‬‬

‫)‪ 24 = (10000‬و ‪. 24 − 1 = 1111‬‬

‫ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١‬ﯾﮏ ﻋﺪد دودوﯾﯽ از ﺗﺒﺪﯾﻞ ‪١‬هﺎ ﺑﻪ ‪٠‬هﺎ و ﺑﻪ ‪ ١‬ﺣﺎﺻﻞ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١‬ﻋﺪد ‪ ١٠١١٠٠٠‬ﺑﺮاﺑﺮﺳﺖ ﺑﺎ ‪٠١٠٠١١١‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١‬ﻋﺪد ‪ ٠١٠١١٠١‬ﺑﺮاﺑﺮﺳﺖ ﺑﺎ ‪١٠١٠٠١٠‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ) ‪ ( r-١‬اﻋﺪاد ﻣﺒﻨﺎﯼ هﺸﺖ و ﺷﺎﻧﺰدﻩ ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ از ﺗﻔﺮﯾﻖ ارﻗﺎم از ‪ ٧‬ﯾﺎ ‪ ) F‬ﻣﻌﺎدل‬ ‫‪ ١۵‬دهﺪهﯽ ( ﺣﺎﺻﻞ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ﭘﺎﯾﻪ ‪r‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ‪ r‬ﯾﮏ ﻋﺪد ‪ n‬رﻗﻤﯽ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ N‬در ﻣﺒﻨﺎﯼ ‪ r‬ﺑﺼﻮرت ‪ rn-N‬ﺑﻪ ازاﯼ‬

‫‪N # 0‬‬

‫و ﺑﺼﻮرت ‪٠‬‬

‫ﺑﻪ ازاﯼ ‪ N=٠‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﺑﺎ ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ اﯾﻦ ﻧﻮع ﻣﮑﻤﻞ ﺑﺎ ﻣﮑﻤﻞ )‪ ( r-١‬ﻣﻼﺣﻈﻪ ﻣﯽ‬ ‫ﺷﻮد ﮐﻪ ﻣﮑﻤﻞ ‪ r‬از ﺟﻤﻊ ‪ ١‬ﺑﺎ ﻣﮑﻤﻞ )‪ ( r-١‬ﺣﺎﺻﻞ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬زﯾﺮا‬ ‫‪ r n − N = [(r n − 1) − N ] + 1‬اﺳﺖ ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١٠‬ﯾﮏ ﻋﺪد دهﺪهﯽ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪٢٣٨٩‬‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮاﺳﺖ ﺑﺎ ‪ ٧۶١٠+١=٧۶١١‬و ﺑﺎ اﻓﺰودن ‪ ١‬ﺑﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٩‬ﺣﺎﺻﻞ ﮔﺮدﯾﺪﻩ اﺳﺖ ‪.‬‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪١٣‬‬

‫ﻣﮑﻤﻞ ﻋﺪد دودوﯾﯽ ‪ ١٠١١٠٠‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ‪ ٠١٠٠١١+١=٠١٠١٠٠‬و از ﺟﻤﻊ ‪ ١‬ﺑﺎ ﻣﮑﻤﻞ‬ ‫‪ ١‬ﻋﺪ ﺣﺎﺻﻞ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ‪.‬‬

‫ﭼﻮن ‪10n‬‬

‫ﻋﺪدﯼ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺎ ﯾﮏ ‪ ١‬و ‪ n‬ﻋﺪد ‪ ٠‬ﺑﺪﻧﻴﺎل ﺁن ﺳﺎﺧﺘﻪ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ‪ ،‬ﻣﮑﻤﻞ‬

‫ﻋﺪد ‪ N‬ﯾﻌﻨﯽ‬

‫‪−N‬‬

‫‪ 10n‬ﻧﻴﺰ ﺑﺎ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻧﺪادن ‪ ٠‬هﺎﯼ ﮐﻢ ارزﺷﺘﺮ و ﮐﺴﺮ اوﻟﻴﻦ رﻗﻢ ﻏﻴﺮ‬

‫ﺻﻔﺮ از ‪ ١٠‬و ﺗﻔﺮﯾﻖ ﺗﻤﺎم ارﻗﺎم ﺑﺎ ارزﺷﺘﺮ از ‪ ٩‬ﺣﺎﺻﻞ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١٠‬ﻋﺪد ‪ ٠١٢٣٩٨‬ﺑﺮاﺑﺮﺳﺖ ﺑﺎ ‪٩٨٧۶٠٢‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١٠‬ﻋﺪد ‪ ٢۴۶٧٠٠‬ﺑﺮاﺑﺮﺳﺖ ﺑﺎ ‪٧۵٣٣٠٠‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١٠‬اوﻟﻴﻦ ﻋﺪد از ﺗﻔﺮﯾﻖ ‪ ٨‬از ‪ ١٠‬در ﮐﻢ ارزش ﺗﺮﯾﻦ ﻣﮑﺎن و ﺗﻔﺮﯾﻖ ﺑﻘﻴﻪ ارﻗﺎم از ‪٩‬‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ‪ .‬ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١٠‬دوﻣﻴﻦ ﻋﺪ ﺑﺪﯾﻦ ﻓﺮم ﺣﺎﺻﻞ ﺷﺪﻩ ﮐﻪ دو ﻋﺪد ‪ ٠‬ﺑﺎ ارزش‬ ‫ﮐﻤﺘﺮ ﺑﺪون ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﺎﻧﺪﻩ درﺣﺎﻟﻴﮑﻪ ‪ ٧‬از ‪ ١٠‬و ﺳﻪ رﻗﻢ دﯾﮕﺮ از ‪ ٩‬ﮐﺴﺮ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﺑﻄﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬دﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎ ﺑﺪوت ﺗﻐﻴﻴﺮ ﮔﺬاردن ‪ ٠‬هﺎﯼ ﮐﻢ ارزش ﺗﺮ و اوﻟﻴﻦ ‪١‬‬ ‫ﭘﺲ از ﺁﻧﻬﺎو ﺟﺎﯾﮕﺰﯾﻨﯽ ‪١‬هﺎ ﯾﺎ ‪ ٠‬هﺎ ﺑﺎ ‪ ١‬در ﺳﺎﯾﺮ ﺳﺘﻮن هﺎﯼ ارﻗﺎم ﺑﺎ ارزﺷﺘﺮ ﺑﺪﺳﺖ‬ ‫ﺁﯾﺪ ‪.‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬ﻋﺪد ‪١١٠١١٠٠‬ﺑﺮاﺑﺮﺳﺖ ﺑﺎ ‪٠٠١٠١٠٠‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬ﻋﺪد ‪٠١١٠١١١‬ﺑﺮاﺑﺮﺳﺖ ﺑﺎ ‪١٠٠١٠٠١‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬اوﻟﻴﻦ ﻋﺪد ﺑﺎ ﺑﺪون ﺗﻐﻴﻴﺮ ﮔﺬاﺷﺘﻦ دو ‪ ٠‬ﺑﺎ ارزش ﮐﻤﺘﺮ و ﻧﻴﺰ اوﻟﻴﻦ ‪ ١‬ﭘﺲ از ﺁﻧﻬﺎ‬ ‫و ﺳﭙﺲ ﺟﺎﯾﮕﺰﯾﻨﯽ ‪ ١‬هﺎ ﺑﺎ ‪ ٠‬و ‪ ٠‬هﺎ ﺑﺎ ‪ ١‬در ﭼﻬﺎر ﺳﺘﻮن ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪﻩ ﺣﺎﺻﻞ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫دوﻣﻴﻦ ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬ﺑﺎ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻧﺪادن ﮐﻢ ارزش ﺗﺮﯼ ‪ ١‬و ﻣﮑﻤﻞ ﻧﻤﻮدن ﺑﻘﻴﻪ ارﻗﺎم ﺑﺪﺳﺖ ﺁﻣﺪﻩ‬ ‫اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫اﮔﺮ ﻋﺪد اوﻟﻴﻪ ‪ N‬داراﯼ ﻣﻤﻴﺰ ﺑﺎﺷﺪ ﺑﺎﯾﺪ ﺁن را ﻣﻮﻗﺘﺎ ﺣﺬف و ﻣﮑﻤﻞ هﺎﯼ ‪ r‬و )‪ ( r-١‬را‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ ﺁورد ‪ .‬ﺳﭙﺲ ﺁن را ﺑﻪ هﻤﺎن ﻣﮑﺎﻧﯽ ﻧﺴﺒﯽ ﻋﺪد ﻣﮑﻤﻞ ﺑﺎزﮔﺮداﻧﺪ ‪ .‬هﻤﭽﻨﻴﻦ ذﮐﺮ‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪١٤‬‬

‫اﯾﻦ ﻧﮑﺘﻪ ﮐﻪ ﻣﮑﻤﻞ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﻣﮑﻤﻞ ﯾﮏ ﻋﺪد هﻤﺎن اوﻟﻴﻪ را ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﯽ دهﺪ ﻣﻔﻴﺪ ﺑﻨﻈﺮ‬ ‫ﻣﯽ رﺳﺪ ‪ .‬ﻣﮑﻤﻞ ‪ r‬ﻋﺪد ‪ N‬ﺑﺮاﺑﺮﺳﺖ ﺑﺎ ‪ rn - N‬ﻣﮑﻤﻞ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ اﯾﻦ ﻣﮑﻤﻞ ﺑﺮاﺑﺮﺳﺖ ﺑﺎ‬ ‫‪ r n − (r n − N ) = N‬ﮐﻪ هﻤﺎن ﻋﺪد اوﻟﻴﻪ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﺗﻔﺮﯾﻖ ﺑﻪ ﮐﻤﮏ ﻣﮑﻤﻞ هﺎ‬ ‫ﺗﻔﺮﯾﻖ دو ﻋﺪد ‪ n‬رﻗﻤﯽ ﺑﺪون ﻋﻼﻣﺖ ‪ M-N‬در ﭘﺎﯾﻪ ‪ r‬ﺑﻄﺮﯾﻖ زﯾﺮ ﺻﻮرت ﻣﯽ ﮔﻴﺮد ‪.‬‬ ‫‪ -١‬ﻣﻔﺮوق ‪ M‬را ﺑﻪ ﻣﮑﻤﻞ ‪ r‬ﻣﻔﺮوق ﻣﻨﻪ ‪ N‬اﺿﺎﻓﻪ ﮐﻨﻴﺪ ﯾﻌﻨﯽ‬

‫‪M + (r n − N ) = M − N − r n‬‬ ‫‪ -٢‬اﮔﺮ ‪M ≥ N‬‬

‫ﺑﺎﺷﺪ ‪ ،‬ﺟﻤﻊ ﯾﮏ رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ ﻧﻬﺎﯾﯽ ‪ rn‬ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ﮐﻪ ﭼﺸﻢ ﭘﻮﺷﯽ‬

‫ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ ،‬ﺁﻧﭽﻪ ﺑﺎﻗﯽ ﻣﯽ ﻣﺎﻧﺪ ‪ M-N‬اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫‪ -٣‬اﮔﺮ‬

‫‪M
‫ﺑﺎﺷﺪ ‪ ،‬ﺟﻤﻊ هﻴﭽﮕﻮﻧﻪ رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ ﻧﻬﺎﯾﯽ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻧﻨﻤﻮدﻩ وﺟﻮاب‬

‫) ‪ r n − ( N − M‬ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﻣﮑﻤﻞ ‪ r‬ﻋﺪد )‪ (M-N‬اﺳﺖ ‪ .‬ﺑﺮاﯼ ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺟﻮاب ﺑﻔﺮم ﻣﻌﻤﻮل‬ ‫‪ ،‬ﻣﮑﻤﻞ ‪ r‬ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ را ﺑﺪﺳﺖ ﺁوردﻩ و ﯾﮏ ﻋﻼﻣﺖ ﻣﻨﻔﯽ در ﺟﻠﻮ ﺁن ﻗﺮار ﻣﯽ دهﻴﻢ ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ : ١-۵‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٧٢۵٣٢ – ٣٢۵٠ ،١٠‬را ﺑﺪﺳﺖ ﺁورﯾﺪ ‪.‬‬ ‫‪٧٢۵٣٢‬‬

‫=‪M‬‬

‫‪+٩۶٧۵٠‬‬

‫= ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١٠‬ﻋﺪد ‪N‬‬

‫‪١۶٩٢٨٢‬‬

‫= ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ‬

‫‪-١٠٠٠٠٠‬‬

‫= ﺣﺬف رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ ‪١٠‬‬

‫‪۶٩٢٨٢‬‬

‫= ﺟﻮاب‬

‫‪۵‬‬

‫دﻗﺖ ﮐﻨﻴﺪ ﮐﻪ ‪ M‬داراﯼ ﭘﻨﺞ رﻗﻢ وﻟﯽ ‪ N‬ﻓﻘﻂ داراﯼ ﭼﻬﺎر رﻗﻢ اﺳﺖ ‪ .‬ﭼﻮن هﺮ دو ﻋﺪد‬ ‫ﺑﺎﯾﺪ داراﯼ ﺗﻌﺪاد ارﻗﺎم ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ ‪ ،‬ﭘﺲ ﺑﺎﯾﺪ ﺑﺼﻮرت ‪ ٠٣٢۵٠‬ﻧﻮﺷﺘﻪ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪١٥‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ : ١-۶‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٣٢۵٠-٧٢۵٣٢ ، ١٠‬را ﺑﺪﺳﺖ ﺁورﯾﺪ ‪.‬‬ ‫‪٠٣٢۵‬‬

‫=‪M‬‬

‫‪+٢٧۴۶٨‬‬

‫= ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١٠‬ﻋﺪد ‪N‬‬

‫‪30718‬‬

‫= ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ‬ ‫رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ وﺟﻮد ﻧﺪارد‬

‫‪) =-۶٩٢٨٢‬ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١٠‬ﻋﺪد ‪ : -( ٣٠٧١٨‬ﺟﻮاب‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﻴﺪ ﭼﻮن ‪ ٣٢۵٠ < ٧٢۵٣٢‬اﺳﺖ ‪ ،‬ﺟﻮاب ﻣﻨﻔﯽ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ : ١-٧‬ﺑﺎ ﻓﺮض دود ﻋﺪد دودوﯾﯽ ‪ X=١٠١٠١٠٠‬و ‪ ، Y = ١٠٠٠٠١١‬ﺗﻔﺮﯾﻖ هﺎﯼ ‪:‬‬ ‫) اﻟﻒ ( ‪ X-Y‬و )ب ( ‪ Y-X‬را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬ﺑﺪﺳﺖ ﺁورﯾﺪ ‪.‬‬ ‫‪١٠١٠١٠٠‬‬

‫=‪X‬‬

‫‪+٠١١١١٠١‬‬

‫= ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬ﻋﺪد ‪Y‬‬

‫‪١٠٠١٠٠٠١‬‬

‫= ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ‬

‫‪-١٠٠٠٠٠٠٠‬‬

‫= رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ ﺣﺬف ﺷﺪﻩ ‪٢‬‬

‫‪٠٠١٠٠٠١‬‬

‫= ﺟﻮاب ‪X-Y‬‬

‫‪١٠٠٠٠١١‬‬

‫=‪Y‬‬

‫‪+٠١٠١١٠٠‬‬

‫= ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬ﻋﺪد ‪X‬‬

‫‪١١٠١١١١‬‬

‫= ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ‬

‫‪٧‬‬

‫رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ وﺟﻮد ﻧﺪارد‬ ‫‪ ) = -٠٠١٠٠٠١‬ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬ﻋﺪد ‪ : Y-X = -( ١١٠١١١١‬ﺟﻮاب‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪١٦‬‬

‫ﺗﻔﺮﯾﻖ اﻋﺪاد ﺑﺪون ﻋﻼﻣﺖ ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﻣﮑﻤﻞ )‪ ( R-١‬ﻧﻴﺰ اﻧﺠﺎم ﺷﻮد ‪ .‬ﺑﺨﺎﻃﺮ‬ ‫ﺑﻴﺎورﯾﺪ ﮐﻪ ﻣﮑﻤﻞ )‪ ( R-١‬ﯾﮑﯽ ﮐﻤﺘﺮ از ﻣﮑﻤﻞ ‪ r‬اﺳﺖ ‪ .‬ﺑﻪ اﯾﻦ ﻋﻠﺖ ‪ ،‬ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺟﻤﻊ‬ ‫ﻣﻔﺮوق ﺑﻪ ﻣﮑﻤﻞ ﻣﻔﺮوق ﻣﻨﻪ ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻌﯽ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ﮐﻪ ﯾﮑﯽ ﮐﻤﺘﺮ از ﺗﻔﺎﺿﻞ‬ ‫ﺻﺤﻴﺢ ﺑﻬﻨﮕﺎم رﺧﺪاد رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ ﻧﻬﺎﯾﯽ اﺳﺖ ‪ .‬ﺣﺬف رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ ﻧﻬﺎﯾﯽ و اﻓﺰودن ﺁن ﺑﻪ‬ ‫ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ ﺑﻨﺎم رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ ﭼﺮﺧﺸﯽ ﺧﻮاﻧﺪﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ‪ : ١-٨‬ﻣﺜﺎل ‪ ١-٧‬را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١‬ﺗﮑﺮار ﮐﻨﻴﺪ ‪.‬‬ ‫) اﻟﻒ(‬ ‫‪X-Y=١٠١٠١٠٠-١٠٠٠٠١١‬‬ ‫‪١٠١٠١٠٠‬‬

‫=‪X‬‬

‫‪+ ٠١١١١٠٠‬‬

‫= ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١‬ﻋﺪد ‪Y‬‬

‫‪١٠٠١٠٠٠٠‬‬

‫= ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ‬ ‫ب‬

‫‪١+‬‬ ‫‪٠٠١٠٠٠١‬‬

‫= رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ ﭼﺮﺧﺸﯽ‬ ‫= ‪ : X-Y‬ﺟﻮاب‬

‫) ب(‬ ‫‪Y-X=١٠٠٠٠١١-١٠١٠١٠٠‬‬ ‫‪١٠٠٠٠١١‬‬

‫=‪Y‬‬

‫‪+ ٠١٠١٠١١‬‬

‫= ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١‬ﻋﺪد ‪X‬‬

‫‪١١٠١١١٠‬‬

‫= ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ‬ ‫رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ وﺟﻮد ﻧﺪارد‬

‫‪-٠٠١٠٠٠١‬‬

‫= ) ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١‬ﻋﺪد ‪ :Y-X =-( ١١٠١١١٠‬ﺟﻮاب‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪١٧‬‬

‫ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﻴﺪ ﮐﻪ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻨﻔﯽ ﭘﺲ از ﮔﺮﻓﺘﻦ ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١‬از ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ ﺑﺪﺳﺖ ﺁﻣﺪﻩ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫زﯾﺮا ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١‬در ﺑﺎﻻ ﺑﮑﺎر رﻓﺘﻪ اﺳﺖ ‪ .‬روش رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ ﭼﺮﺧﺸﯽ ﺑﺮاﯼ ﺗﻔﺮﯾﻖ اﻋﺪاد‬ ‫دهﺪهﯽ ﺑﺪون ﻋﻼﻣﺖ ﺑﺎ ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٩‬ﻧﻴﺰ ﻗﺎﺑﻞ اﺳﺘﻔﺎدﻩ اﺳﺖ ‪.‬‬

‫‪ ١-۶‬اﻋﺪاد دودودﯾﯽ ﻋﻼﻣﺖ دار‬ ‫ﺑﻌﻠﺖ ﻣﺤﺪودﯾﺖ ﺳﺨﺖ اﻓﺰار ‪ ،‬ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ هﺎ ﺑﺎﯾﺪ هﺮ ﭼﻴﺰﯼ را ﺑﺎ ارﻗﺎم دودﯾﯽ ﻧﺸﺎن دهﻨﺪ‬ ‫‪ ،‬ﮐﻪ ﻣﻌﻤﻮﻻً اﯾﻦ ارﻗﺎم ﺑﻴﺖ ﻧﺎﻣﻴﺪﻩ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪ .‬ﻣﻌﻤﻮل اﺳﺖ ﮐﻪ ﺳﻤﺖ ﭼﭗ ﺗﺮﯾﻦ ﺑﻴﺖ‬ ‫ﻋﺪد را ﺑﻪ ﻋﻼﻣﺖ اﺧﺘﺼﺎص ﻣﯽ دهﻨﺪ ‪ .‬ﻗﺮار اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ اﻋﺪاد ﻣﺜﺒﺖ را ﺑﺎ ﮔﺬاﺷﺘﻦ ‪٠‬‬ ‫و اﻋﺪاد ﻣﻨﻔﯽ را ﺑﺎ ﮔﺬاﺷﺘﻦ ‪ ١‬در ﻣﺤﻞ ﺑﻴﺖ ﻣﺰﺑﻮر ﻧﺸﺎن دهﻨﺪ ‪.‬‬ ‫ﻣﺜﻼً ‪ ،‬رﺷﺘﻪ ﺑﻴﺖ هﺎﯼ ‪ ٠١٠٠١‬ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻌﻨﻮان ‪ ) ٩‬دودوﯾﯽ ﺑﺪون ﻋﻼﻣﺖ ( و ﯾﺎ ‪+٩‬‬ ‫) دودوﯾﯽ ﻋﻼﻣﺖ دار( در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد زﯾﺮا ﺳﻤﺖ ﭼﭙﺘﺮﯾﻦ ﺑﻴﺖ ‪ ٠‬اﺳﺖ ‪ .‬رﺷﺘﻪ ﺑﻴﺖ‬ ‫هﺎﯼ ‪ ، ١١٠٠١‬هﺮﮔﺎﻩ ﺑﻌﻨﻮان ﻋﺪد ﺑﺪون ﻋﻼﻣﺖ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻨﻪ ﺷﻮد ﺑﺮاﺑﺮ ‪ ٢۵‬ﺗﻮ ﺑﻬﻨﮕﺎم‬ ‫ﻋﻼﻣﺖ دار ﺑﻮدن ﺑﺮاﺑﺮ ‪ ٩‬را ﻧﺸﺎن ﻣﯽ دهﺪ ‪ .‬ﻣﮑﺎن ﻋﺪد رﻗﻢ ‪ ١‬وﺟﻮد دارد ﮐﻪ ﺑﻴﺎﻧﮕﺮ‬ ‫ﻣﻨﻔﯽ ﺑﻮدن ﻋﺪد و ﺑﻘﻴﻪ ﭼﻬﺎر ﺑﻴﺖ ﻋﺪد ‪ ٩‬را ﻧﺸﺎن ﻣﯽ دهﺪ ‪ .‬ﻣﻌﻤﻮﻻً اﮔﺮ ﻧﻮع ﻋﺪد‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ ﺑﺎﺷﺪ هﻴﭽﮕﻮﻧﻪ اﺷﺘﺒﺎهﯽ در ﺗﺸﺨﻴﺺ وﺟﻮد ﻧﺨﻮاهﺪ داﺷﺖ ‪.‬‬ ‫ﻧﻤﺎﯾﺶ اﻋﺪاد ﻋﻼﻣﺖ دار در ﺁﺧﺮﯾﻦ ﻣﺜﺎل ﻓﻮق ‪ ،‬ﻧﻤﺎﯾﺶ ﻣﻘﺪار – ﻋﻼﻣﺖ ﻧﺎﻣﻴﺪﻩ ﻣﯽ‬ ‫ﺷﻮد ‪ .‬در ﯾﻦ ﻧﺎﻣﮕﺬارﯼ ﻋﺪد ﺷﺎﻣﻞ ﻣﻘﺪار و ﯾﮏ ﻧﻤﺎد )‪ +‬ﯾﺎ ‪ ( -‬ﯾﺎ ﯾﮏ ﺑﻴﺖ )‪ ٠‬ﯾﺎ ‪ ( ١‬ﺑﺮاﯼ‬ ‫ﻣﺸﺨﺺ ﻧﻤﻮدن ﻋﻼﻣﺖ اﺳﺖ ‪ .‬اﯾﻦ روش ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎدﻩ اﻋﺪاد ﻋﻼﻣﺖ دار در رﯾﺎﺿﻴﺎت‬ ‫ﻣﻌﻤﻮﻟﯽ اﺳﺖ ‪ .‬وﻗﺘﯽ ﮐﻪ اﻋﻤﺎل رﯾﺎﺿﯽ در ﯾﮏ ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ﭘﻴﺎدﻩ ﺳﺎزﯼ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪ ،‬ﺑﻬﺘﺮ‬ ‫اﺳﺖ از روش دﯾﮕﺮﯼ ﺑﻨﺎم ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﮑﻤﻞ – ﻋﻼﻣﺖ ﺑﺮاﯼ اراﺋﻪ اﻋﺪاد ﻣﻨﻔﯽ اﺳﺘﻔﺎدﻩ‬ ‫ﺷﻮد ‪ .‬در اﯾﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ ‪ ،‬ﯾﮏ ﻋﺪد ﻣﻨﻔﯽ ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﻣﮑﻤﻞ ﺁن ﻣﺸﺨﺺ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬در‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪١٨‬‬

‫ﺣﺎﻟﻴﮑﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﻘﺪار – ﻋﻼﻣﺖ ‪ ،‬ﻋﺪ را ﺑﺎ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻋﻼﻣﺘﺶ ﻣﻨﻔﯽ ﻣﯽ ﻧﻤﺎﯾﺪ ‪ ،‬ﺳﻴﺴﺘﻢ‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ – ﻋﻼﻣﺖ ﺑﺎ ﻣﮑﻤﻞ ﺳﺎزﯼ ‪ ،‬ﻣﻨﻔﯽ ﺁن را ﺗﻬﻴﻪ ﻣﯽ ﻧﻤﺎﯾﺪ ‪ .‬ﭼﻮن اﻋﺪاد ﻣﺜﺒﺖ‬ ‫هﻤﻮارﻩ ﺑﺎ ‪ ) ٠‬ﻣﺜﺒﺖ ( در ﺳﻤﺖ ﭼﭙﺸﺎن ﺷﺮوع ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪ ،‬ﻣﮑﻤﻞ ﺁﻧﻬﺎ هﻤﻴﺸﻪ ﺑﺎ ‪١‬‬ ‫ﺁﻏﺎز ﺧﻮاهﻨﺪ ﺷﺪ ‪ ،‬اﯾﻦ ﻧﺸﺎﻧﮕﺮ ﻋﺪد ﻣﻨﻔﯽ اﺳﺖ ‪ .‬ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﮑﻤﻞ – ﻋﻼﻣﺖ ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ‬ ‫از ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١‬ﯾﺎ ‪ ٢‬اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻧﻤﺎﯾﺪ ‪ .‬وﻟﯽ ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬ﻣﺮﺳﻮم ﺗﺮ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﺑﻌﻨﻮان ﻣﺜﺎل ‪ ،‬ﻓﺮض ﮐﻨﻴﺪ ﻋﺪد ‪ ٩‬ﺑﺼﻮرت دودوﯾﯽ ﺑﺎ هﺸﺖ ﺑﻴﺖ ﻧﺸﺎن دادﻩ ﺷﺪﻩ ﺑﺎﺷﺪ ‪.‬‬ ‫‪ +٩‬ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﯾﮏ ‪ ٠‬در ﺳﻤﺖ ﭼﭗ ﺗﺮﯾﻦ اﻣﮑﺎن از هﺸﺖ ﺑﻴﺖ و ﺑﺪﻧﺒﺎل ﺁن ﻣﻌﺎدل دودوﯾﯽ‬ ‫‪ ، ٩‬ﻧﺸﺎن دادﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد و ﻧﺘﻴﺠﻪ ‪ ٠٠٠٠١٠٠١‬ﺧﻮاهﺪ ﺑﻮد ‪ .‬ﺗﻮﺟﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﺪ ﮐﻪ ﺗﻤﺎم‬ ‫هﺸﺖ ﺑﻴﺖ ﺑﺎﯾﺪ ﻣﻘﺪار داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ‪ ،‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ‪ ٠‬هﺎ از ﻣﺤﻞ ﻋﻼﻣﺖ ﺗﺎ اوﻟﻴﻦ ‪ ١‬از ﺳﻤﺖ‬ ‫ﭼﭗ وارد ﺷﺪﻩ اﻧﺪ ‪ .‬هﺮ ﭼﻨﺪ ﮐﻪ ﻓﻘﻂ ﯾﮏ راﻩ ﺑﺮاﯼ ﻧﻤﺎﯾﺶ ‪ +٩‬وﺟﻮد دارد ‪ ،‬ﺑﺮاﯼ ﻧﻤﺎﯾﺶ‬ ‫‪ -٩‬ﺑﺎ هﺸﺖ ﺑﻴﺖ ﺳﻪ روش ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ ‪:‬‬ ‫در ﻧﻤﺎﯾﺶ ﻣﻘﺪار – ﻋﻼﻣﺖ ‪١٠٠٠١٠٠١‬‬ ‫در ﻧﻤﺎﯾﺶ ﻣﮑﻤﻞ‪ -١‬ﻋﻼﻣﺖ ‪١١١١٠١١٠‬‬ ‫در ﻧﻤﺎﯾﺶ ﻣﮑﻤﻞ‪ -٢‬ﻋﻼﻣﺖ ‪١١١١٠١١١‬‬ ‫در ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﻘﺪار – ﻋﻼﻣﺖ ‪ -٩ ،‬از ‪ +٩‬و ﺑﺎ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺑﻴﺖ ﻋﻼﻣﺖ در ﺳﻤﺖ ﭼﭗ ﺗﺮﯾﻦ ﻣﮑﺎن‬ ‫از ‪ ٠‬ﺑﻪ ‪ ١‬ﺣﺎﺻﻞ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬در ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﮑﻤﻞ ‪ -١‬ﻋﻼﻣﺖ ‪ -٩ ،‬را ﺑﺎ ﻣﮑﻤﻞ ﮐﺮدن ﺗﻤﺎم‬ ‫ﺑﻴﺖ هﺎﯼ ‪ +٩‬از ﺟﻤﻠﻪ ﺑﻴﺖ ﻋﻼﻣﺖ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽ ﺁورﯾﻢ ‪ .‬در ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﮑﻤﻞ ‪ -٢‬ﻋﻼﻣﺖ ‪،‬‬ ‫‪ -٩‬را از ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬ﻋﺪد ﻣﺜﺒﺖ و از ﺟﻤﻠﻪ ﺑﻴﺖ ﻋﻼﻣﺖ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽ ﺁورﯾﻢ ‪.‬‬ ‫ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﻘﺪار – ﻋﻼﻣﺖ در رﯾﺎﺿﯽ ﻣﻌﻤﻮﻟﯽ ﺑﮑﺎر ﻣﯽ رود ‪ ،‬وﻟﯽ وﻗﺘﯽ ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ﺑﮑﺎر‬ ‫رود ﻣﺸﮑﻼﺗﯽ ﺑﻪ هﻤﺮاﻩ دارد ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻣﻌﻤﻮﻻً درﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ روش ﻣﮑﻤﻞ – ﻋﻼﻣﺖ ﺑﮑﺎر‬ ‫ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١‬ﻧﻴﺰ ﻣﺸﮑﻼﺗﯽ را اﯾﺠﺎد ﻣﯽ ﻧﻤﺎﯾﺪ و ﺑﻨﺪرت ﺑﺮاﯼ اﻋﻤﺎل‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪١٩‬‬

‫رﯾﺎﺿﯽ‪ ،‬ﺑﺠﺰ در ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ هﺎﯼ ﻗﺪﯾﻤﯽ اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﻣﮑﻤﻞ ‪ ١‬ﺑﺮاﯼ اﻋﻤﺎل‬ ‫ﻣﻨﻄﻘﯽ ﻣﻔﻴﺪ اﺳﺖ ﭼﻮن ﺗﺒﺪﯾﻞ ‪ ٠‬ﺑﻪ ‪ ١‬و ﯾﺎ ﺑﻪ ‪ ١‬ﺑﻪ ‪ ٠‬ﻣﻌﺎدل ﺑﺎ ﯾﮏ ﻣﮑﻤﻞ ﺳﺎزﯼ‬ ‫ﻣﻨﻄﻘﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ در ﻓﺼﻞ ﺑﻌﺪﯼ ﻧﺸﺎن دادﻩ ﺧﻮاهﺪ ﺷﺪ ‪ ..‬روش ﻣﺸﺎﺑﻬﯽ ﺑﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ‪ -١‬ﻋﻼﻣﺖ ﻗﺎﺑﻞ اﻋﻤﺎل اﺳﺖ و در ان رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ ﭼﺮﺧﺸﯽ ‪ ،‬هﻤﭽﻮن اﻋﺪاد ﺑﺪون‬ ‫ﻋﻼﻣﺖ ‪ ،‬ﻧﻴﺰ ﻣﻨﻈﻮر ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬ ‫ﺟﻤﻊ ﺣﺴﺎﺑﯽ‬ ‫ﺟﻤﻊ دو ﻋﺪد در ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﻘﺪار – ﻋﻼﻣﺖ از ﻗﻮاﻧﻴﻦ ﻣﻌﻤﻮﻟﯽ رﯾﺎﺿﯽ ﺗﺒﻌﻴﺖ ﻣﯽ ﻧﻤﺎﯾﺪ ‪.‬‬ ‫اﮔﺮ ﻋﻼﻣﺘﻬﺎ ﯾﮑﺴﺎن ﺑﺎﺷﻨﺪ ‪ ،‬دو ﻣﻘﺪار را ﺑﻪ هﻢ اﺿﺎﻓﻪ ﻣﯽ ﮐﻨﻴﻢ ﺗﺎ ﻣﺠﻤﻮع ﺑﺎ ﻋﻼﻣﺖ‬ ‫ﻣﺸﺘﺮﮎ را ﺑﺪهﺪ ‪ .‬اﮔﺮ ﻋﻼﻣﺘﻬﺎ ﻣﺨﺘﻠﻒ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻣﺎ ﻣﻘﺪار ﮐﻮﭼﮑﺘﺮ را از ﺑﺰرﮔﺘﺮ ﮐﻢ ﻣﯽ‬ ‫ﮐﻨﻴﻢ و ﻋﻼﻣﺖ ﻣﻘﺪار را ﺑﺮ ﻣﯽ ﮔﺰﻧﻴﻢ ﻣﺜﻼً ‪،‬‬

‫‪(+25) + (−37) = −(37 − 25) = −12‬‬ ‫و ﺑﺪﯾﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ اﻧﺠﺎم ﺷﺪﻩ ﮐﻪ ﻣﻘﺪار ﮐﻮﭼﮑﺘﺮ ‪ ٢۵‬از ‪ ٣٧‬ﮐﻢ ﺷﺪﻩ و ﻋﻼﻣﺖ ‪ ٣٧‬ﺑﻌﻨﻮان‬ ‫ﻋﻼﻣﺖ ﺟﻮاب ﺑﮑﺎر رﻓﺘﻪ اﺳﺖ ‪ .‬اﯾﻦ روﻧﺪ ﺑﻪ ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﻋﻼﻣﺘﻬﺎ و ﺳﭙﺲ اﺟﺮاﯼ ﺟﻤﻊ ﯾﺎ‬ ‫ﺗﻔﺮﯾﻖ ﻧﻴﺎز دارد ‪ .‬روش ﻣﺸﺎﺑﻬﯽ ﺑﻪ اﻋﺪاد دودوﯾﯽ در ﻓﺮم ﻣﻘﺪار – ﻋﻼﻣﺖ ﻗﺎﺑﻞ اﻋﻤﺎل‬ ‫اﺳﺖ ‪ .‬ﺑﺮﻋﮑﺲ ‪ ،‬ﻗﺎﻧﻮن ﺟﻤﻊ در ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﮑﻤﻞ – ﻋﻼﻣﺖ ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﯾﺎ ﺗﻔﺮﯾﻘﯽ را اﺣﺘﻴﺎج‬ ‫ﻧﺪارد ﺑﻠﮑﻪ ﻓﻘﻂ ﺟﻤﻊ ﻣﻮرد ﻧﻴﺎز اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﺟﻤﻊ دو ﻋﺪد دودوﯾﯽ ﻋﻼﻣﺖ دار ﺑﺎ اﻋﺪاد ﻣﻨﻔﯽ ﮐﻪ ﺑﻔﺮم ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬ﻧﺸﺎن دادﻩ ﺷﺪﻩ اﻧﺪ‬ ‫از ﺟﻤﻊ دو ﻋﺪد ﺣﺎﺻﻞ ﻣﯽ ﺷﻮد ﮐﻪ ﺑﻴﺖ ﻋﻼﻣﺘﺸﺎن ﻧﻴﺰ ﻣﻨﻈﻮر ﻣﯽ ﮔﺮدد ‪ .‬رﻗﻢ ﻣﻨﻔﯽ‬ ‫در اﺑﺘﺪا ﺑﺼﻮرت ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬ﻣﯽ ﺑﺎﺷﻨﺪ و ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ اﮔﺮ ﻣﻨﻔﯽ ﺑﺎﺷﺪ ﺑﺼﻮرت ﻣﮑﻤﻞ ‪٢‬‬ ‫اﺳﺖ ‪.‬‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٢٠‬‬

‫‪١١١١١٠١٠‬‬

‫‪-۶‬‬

‫‪٠٠٠٠٠١١٠‬‬

‫‪٠٠٠٠١١٠١‬‬

‫‪+١٣‬‬

‫‪٠٠٠٠١١٠١‬‬

‫‪+۶‬‬

‫‪+٠١٣‬‬ ‫‪٠٠٠١٠٠١١‬‬

‫‪+١٩‬‬

‫‪٠٠٠٠٠١١١‬‬

‫‪+٧‬‬

‫‪١١١١١٠١٠‬‬

‫‪-۶‬‬

‫‪٠٠٠٠٠١١٠‬‬

‫‪+۶‬‬

‫‪١١١١٠٠١١‬‬

‫‪-١٣‬‬

‫‪١١١١٠٠١١‬‬

‫‪-١٣‬‬

‫‪١١١٠١١٠١‬‬

‫‪-١٩‬‬

‫‪١١١١١٠٠١‬‬

‫‪-٧‬‬

‫ﺑﺮاﯼ ﯾﺎﻓﺘﻦ ﯾﮏ ﺟﻮاب ﺻﺤﻴﺢ ‪ ،‬ﻣﺎ ﺑﺎﯾﺪ ﻣﻄﻤﺌﻦ ﺑﺎﺷﻴﻢ ﮐﻪ ﺑﺮاﯼ ﺟﺎ ﺳﺎزﯼ ﺟﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ‬ ‫ﺗﻌﺪاد ﮐﺎﻓﯽ ﺑﻴﺖ وﭼﻮد دارد ‪ .‬اﮔﺮ ﺑﺎ دو ﻋﺪد ‪ n‬ﺑﻴﺖ ﺁﻏﺎز ﮐﻨﻴﻢ و ﺟﻤﻊ ‪ n+١‬ﺑﻴﺖ را اﺷﻐﺎل‬ ‫ﮐﻨﺪ ﮔﻮﯾﻴﻢ ﺳﺮرﯾﺰ رخ دادﻩ اﺳﺖ ‪ .‬ﺳﺮرﯾﺰ ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ﯾﮏ ﻣﺴﺌﻠﻪ اﺳﺖ زﯾﺮا ﺗﻌﺪاد ﺑﻴﺖ‬ ‫هﺎﯾﯽ ﮐﻪ ﻋﺪد را ﻧﮕﻪ ﻣﯽ دارﻧﺪ ﻣﺤﺪود اﺳﺖ و اﮔﺮ ﺟﻮاب ﺑﻪ اﻧﺪازﻩ ‪ ١‬واﺣﺪ از ﺣﺪاﮐﺜﺮ‬ ‫ﻣﻘﺪار ﻗﺎﺑﻞ ﻧﮕﻬﺪارﯼ در ‪ n‬ﺑﻴﺖ ﺗﺠﺎوز ﮐﻨﺪ ﻗﺎﺑﻞ ﺟﺎﯼ دهﯽ ﻧﺨﻮاهﺪ ﺑﻮد ‪.‬‬ ‫ﺗﻔﺮﯾﻖ ﺣﺴﺎﺑﯽ‬ ‫ﺗﻔﺮﯾﻖ دود ﻋﺪد ﻋﻼﻣﺖ دار ‪ ،‬وﻗﺘﯽ ﮐﻪ ﺑﺼﻮرت ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬ﺑﺎﺷﺪ ﺑﺴﻴﺎر ﺳﺎدﻩ اﺳﺖ و‬ ‫ﺑﺼﻮرت زﯾﺮ ﺑﻴﺎن ﻣﯽ ﮔﺮدد ‪.‬‬ ‫ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬ﻣﻔﺮوق ﻣﻨﻪ را ﺑﺪﺳﺖ ﺁورﯾﺪ ) ﺑﺎ ﺑﻴﺖ ﻋﻼﻣﺖ ( و ﺁن را ﺑﺎ ﻣﻔﺮوق ) ﺑﺎ ﺑﻴﺖ‬ ‫ﻋﻼﻣﺖ ( ﺟﻤﻊ ﮐﻨﺪ ‪ .‬رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ از ﻣﮑﺎن ﺑﻴﺖ ﻋﻼﻣﺖ ﺣﺬف ﻣﯽ ﮔﺮدد ‪.‬‬

‫) ‪( ± A ) − ( + B ) = ( ± A ) + (−B‬‬ ‫) ‪( ± A ) − ( − B ) = ( ± A ) + (+ B‬‬ ‫اﻣﺎ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﯾﮏ ﻋﺪ ﻣﺜﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﻨﻔﯽ ﺑﻪ ﺳﺎدﮔﯽ ﺑﺎ ﯾﺎﻓﺘﻦ ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬ﺁن اﻣﮑﺎن ﭘﺬﯾﺮ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﻋﮑﺲ ﻣﻄﻠﺐ ﻧﻴﺰ ﺻﺤﻴﺢ اﺳﺖ زﯾﺮا ﻣﮑﻤﻞ ﯾﮏ ﻋﺪد ﻣﻨﻔﯽ ﺑﻔﺮم ﻣﮑﻤﻞ ‪ ،‬ﯾﮏ ﻋﺪ ﻣﺜﺒﺖ‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٢١‬‬

‫ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻣﯽ ﻧﻤﺎﯾﺪ ‪ .‬ﺗﻔﺮﯾﻖ ‪ (-۶) – (-٣ ) = +٧‬را ﻣﻼﺣﻈﻪ ﮐﻨﻴﺪ ‪ .‬در دودوﯾﯽ ﺑﺎ هﺸﺖ‬ ‫ﺑﻴﺖ ‪ ،‬اﯾﻦ ﺗﻔﺮﯾﻖ ﺑﺼﻮرت ‪ ١١١١١٠١٠ – ١١١١٠٠١١‬ﻧﻮﺷﺘﻪ ﻣﯽ ﺷﻮد و ﻋﻤﻞ ﺗﻔﺮﯾﻖ ﺑﺎ‬ ‫ﺑﺪﺳﺖ ﺁوردن ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٢‬ﻣﻔﺮوض ﻣﻨﻪ )‪ (-١٣‬ﺑﺼﻮرت )‪ (+١٣‬در ﻣﯽ ﺁﯾﺪ ‪ .‬در دودوﯾﯽ‬ ‫ﺑﺮاﺑﺮﺳﺖ ﺑﺎ ‪ . ١١١١١٠١٠ – ٠٠٠٠١١٠١ = ١٠٠٠٠٠١١١‬ﺑﺎ ﺣﺬف رﻗﻢ ﻧﻘﻠﯽ ﻧﻬﺎﯾﯽ‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ ﺻﺤﻴﺢ ‪ ٠٠٠٠٠١١١‬ﮐﻪ هﻤﺎن )‪ (+٧‬اﺳﺖ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽ ﺁﯾﺪ ‪.‬‬ ‫‪ ١-٧‬ﮐﺪهﺎﯼ دودوﯾﯽ‬ ‫ﯾﮏ ﻋﺪد دودوﯾﯽ ‪ n‬رﻗﻤﯽ را ﻣﯽ ﺗﻮان ﺑﺎ ﯾﮏ ﻣﺪار ﮐﻪ داراﯼ ‪ n‬ﺟﺰء دودوﯾﯽ اﺳﺖ و هﺮ‬ ‫ﮐﺪام داراﯼ ﯾﮏ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺧﺮوﺟﯽ ﻣﻌﺎدل ‪ ٠‬و ﯾﺎ ‪ ١‬هﺴﺘﻨﺪ ‪ ،‬ﻧﺸﺎن داد ‪ .‬ﺳﻴﺴﺘﻢ هﺎﯼ‬ ‫دﯾﺠﻴﺘﺎل ﻧﻪ ﺗﻨﻬﺎ اﻋﺪاد دودوﯾﯽ ﺑﻠﮑﻪ ﺑﺴﻴﺎرﯼ از اﺟﺰاء ﮔﺴﺴﺘﻪ اﻃﻼﻋﺎﺗﯽ دﯾﮕﺮ را ﻧﻴﺰ‬ ‫ﻧﻤﺎﯾﺶ ﻣﯽ دهﻨﺪ و روﯼ ﺁﻧﻬﺎ ﻋﻤﻞ ﻣﯽ ﮐﻨﻨﺪ ‪ .‬هﺮ ﻋﻨﺼﺮ ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻣﺴﺘﻘﻞ اﻃﻼﻋﺎﺗﯽ در‬ ‫ﻣﻴﺎن ﯾﮏ ﮔﺮوﻩ از ﻣﻘﺎدﯾﺮ را ﻣﯽ ﺗﻮان ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﮐﺪ دودوﯾﯽ ﻧﺸﺎن داد ‪ .‬ﮐﺪهﺎ ﺑﺎﯾﺪ‬ ‫ﺑﺼﻮرت دودوﯾﯽ ﺑﺎﺷﻨﺪ زﯾﺮا ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ هﺎ ﻗﺎدر ﺑﻪ ﻧﮕﻬﺪارﯼ ‪ ٠‬هﺎ و ‪ ١‬هﺎ ﻣﯽ ﺑﺎﺷﻨﺪ ‪.‬‬ ‫ﯾﮏ ﺑﻴﺖ ‪ ،‬ﻃﺒﻖ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﯾﮏ رﻗﻢ دودوﯾﯽ اﺳﺖ ‪ .‬وﻗﺘﯽ ﮐﻪ ﺑﻪ هﻤﺮاﻩ ﯾﮏ ﮐﺪ ﺑﮑﺎر ﻣﯽ رود‬ ‫ﺑﻬﺘﺮ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺁن را ﺑﻪ ﯾﮏ ﮐﻤﻴﺖ دودوﯾﯽ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ‪ ٠‬ﯾﺎ ‪ ١‬هﺎ ﺗﺼﻮر ﻣﯽ ﮐﻨﻴﻢ ‪ .‬ﻧﻤﺎﯾﺶ‬ ‫ﯾﮏ ﮔﺮوﻩ از ‪ ٢n‬ﻋﻨﺼﺮ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﮐﺪ ‪ ،‬ﺑﻪ ﺣﺪاﻗﻞ ‪ n‬ﺑﻴﺖ ﻧﻴﺎز دارد ‪ ،‬زﯾﺮا ‪ n‬ﺑﻴﺖ را ﻣﯽ ﺗﻮان‬ ‫ﺑﻪ ‪ 2n‬ﻃﺮﯾﻖ ﻣﺠﺰا در ﮐﻨﺎر هﻢ ﻗﺮار داد ‪ .‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل هﺸﺖ ﻋﻨﺼﺮ ﻧﻴﺎزﻣﻨﺪ ﯾﮏ ﮐﺪ ﺳﻪ‬ ‫ﺑﻴﺘﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ هﺮ ﺟﺰء ﺁن ﻓﻘﻂ و ﻓﻘﻂ ﺑﻪ ﯾﮑﯽ از ﺗﺮﮐﻴﺒﺎت ‪، ٠١١ ، ٠١٠ ، ٠٠١ ، ٠٠٠‬‬ ‫‪ ١١٠ ، ١٠١ ، ١٠٠‬و ‪ ١١١‬ﻧﺴﺒﺖ دادﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﻣﺜﺎﻟﻬﺎﯼ ﻓﻮق ﻧﺸﺎن ﻣﯽ دهﻨﺪ ﮐﻪ‬ ‫ﺗﺮﮐﻴﺒﺎت ﯾﮏ ﮐﺪ ‪ n‬ﺑﻴﺘﯽ را ﻣﯽ ﺗﻮان ﺑﺎ ﺷﻤﺎرش دودوﯾﯽ از ﺻﻔﺮ ﺗﺎ )‪ ( ٢n-١‬ﺑﻪ دﺳﺖ‬ ‫ﺁورد ‪ .‬وﻗﺘﯽ ﮐﻪ ﺗﻌﺪاد اﺟﺰاﯼ ﯾﮏ ﮔﺮوﻩ اﻃﻼﻋﺎﺗﯽ دﻗﻴﻘﺎً ﻣﻌﺎدل ﺗﻮاﻧﯽ از ‪ ٢‬ﻧﺒﺎﺷﺪ ﺗﻌﺪادﯼ‬ ‫از ﺗﺮﮐﻴﺒﺎت ﮐﺪهﺎ را ﺑﻼاﺳﺘﻔﺎدﻩ ﺑﺎﻗﯽ ﻣﯽ ﮔﺬارﯾﻢ ‪ .‬ارﻗﺎم ‪ ٩ ، ... ، ١ ، ٠‬در دﺳﺘﮕﺎهﯽ‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٢٢‬‬

‫دهﺪهﯽ ﻣﺜﺎﻟﯽ از ﭼﻨﻴﻦ ﮔﺮوهﯽ اﺳﺖ ‪ .‬ﭼﻬﺎر ﺑﻴﺖ ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ ﺷﺎﻧﺰدﻩ ﺗﺮﮐﻴﺐ ﻣﺠﺰا را ﺑﻪ‬ ‫وﺟﻮد ﺁورد اﻣﺎ از ﺁﻧﺠﺎﯾﯽ ﮐﻪ دﻩ رﻗﻢ را ﺑﻴﺸﺘﺮ ﻧﻤﯽ ﺧﻮاهﻴﻢ ﮐﺪ ﮔﺬارﯼ ﮐﻨﻴﻢ ﺷﺶ‬ ‫ﺗﺮﮐﻴﺐ ﺑﺎﻗﯽ ﻣﺎﻧﺪﻩ دﯾﮕﺮ ﺑﻪ ﮐﺎر ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻧﺸﺪﻩ وﺑﻼ اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻣﯽ ﻣﺎﻧﺪ ‪.‬‬ ‫اﮔﺮ ﭼﻪ ﺑﺮاﯼ ﮐﺪ ﮐﺮدن ‪ ٢n‬ﻣﻘﺪار ﻣﺸﺘﻤﻞ ‪ ،‬ﻣﻴﻨﻴﻤﻢ ﺗﻌﺪاد ﺑﻴﺘﻬﺎ ﻻزم ‪ n‬ﺗﺎﺳﺖ ‪ .‬وﻟﯽ‬ ‫ﻣﻘﺪار ﻣﺎﮐﺰﯾﻤﻢ ﺑﺮاﯼ ﺗﻌﺪاد ﺑﻴﺘﻬﺎﯼ ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎدﻩ وﺟﻮد ﻧﺪارد ‪ .‬ﻣﺜﻼً دﻩ رﻗﻢ دهﺪهﯽ را‬ ‫ﻣﯽ ﺗﻮان ﺑﺎ دﻩ ﺑﻴﺖ ﺑﻪ اﯾﻦ ﺻﻮرت ﮐﺪ ﮐﺮد ﮐﻪ هﺮ رﻗﻢ دهﺪهﯽ را ﺑﻪ رﻗﻢ دودوﯾﯽ ﻧﺴﺒﺖ‬ ‫ﺑﺪهﻴﻢ ﮐﻪ ‪ ٩‬ﺗﺎ ﺻﻔﺮ و ﯾﮏ ‪ ١‬دارد ‪ .‬در اﯾﻦ ﮐﺪ ﮔﺬارﯼ وﯾﭙﻪ رﻗﻢ ‪ ۶‬ﺑﺎ اﯾﻦ ﺗﺮﮐﻴﺐ ﺑﺼﻮرت‬ ‫‪ ٠٠٠١٠٠٠٠٠٠‬ﻧﻤﺎﯾﺶ دادﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬ ‫ﮐﺪهﺎﯼ دهﺪهﯽ‬ ‫ﮐﺪهﺎﯼ دودوﯾﯽ ﺑﺮاﯼ ارﻗﺎم دهﺪهﯽ ﺣﺪاﻗﻞ ﭼﻬﺎر ﺑﻴﺖ ﻻزم دارﻧﺪ ‪ .‬از ﮐﻨﺎر هﻢ ﻗﺮار دادن‬ ‫ﭼﻬﺎر ﺑﻴﺖ ﯾﺎ ﺑﻴﺸﺘﺮ در دﻩ ﺗﺮﮐﻴﺐ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﻣﻤﮑﻦ ‪ ،‬ﮐﺪهﺎﯼ ﻣﺘﻌﺪدﯼ ﻣﯽ ﺗﻮان ﺑﻪ دﺳﺖ‬ ‫اورد ‪ .‬در ﺟﺪول )‪ (١-٢‬ﺗﻌﺪادﯼ از اﯾﻦ ﺣﺎﻻت ﻣﻤﮑﻦ ﻧﺸﺎن دادﻩ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﮐﺪ ‪ BCD‬ﮐﺪﯼ اﺳﺖ ﮐﻪ در ﺁن از ﻣﻌﺎدل دودوﯾﯽ اﻋﺪاد در ﻣﺒﻨﺎﯼ دﻩ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎً اﺳﺘﻔﺎدﻩ‬ ‫ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﺑﻪ ﺑﻴﺘﻬﺎﯼ دودوﯾﯽ ﺑﺮ ﻃﺒﻖ ﻣﮑﺎﻧﺸﺎن ﻣﯽ ﺗﻮان وزن ﯾﺎ ارزﺷﯽ ﻧﺴﺒﺖ داد ‪.‬‬ ‫اﯾﻦ روش در ﮐﺪ ‪ ١،٢،۴،٨ ، BCD‬اﺳﺖ ‪ .‬ﻣﺜﻼً ﮐﺪ ‪ ٠١١٠‬ﺑﺮﺣﺴﺐ ارزش ﺑﻴﺘﻬﺎ ﻧﺸﺎن‬ ‫دهﻨﺪﻩ رﻗﻢ ‪ ۶‬دهﺪهﯽ اﺳﺖ ‪ :‬ﭼﻮن ‪ 0 × 8 + 1× 4 + 1× 2 + 0 ×1 = 6‬هﻤﭽﻨﻴﻦ ﻣﯽ ﺗﻮان‬ ‫ارزﺷﻬﺎﯼ ﻣﻨﻔﯽ ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ ٨ ، ۴ ،-٢،-١‬را ﺑﻪ ﮐﺪ دهﺪهﯽ ﺗﺨﺼﻴﺺ داد ‪ .‬در اﯾﻦ ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫ﺗﺮﮐﻴﺐ ‪ ، ٠١١٠‬ﻋﺪد ‪ ٢‬ﺗﻔﺴﻴﺮ ﻣﯽ ﺷﻮد و ﺑﻄﺮﯾﻖ زﯾﺮ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﯽ ﮔﺮدد ‪:‬‬

‫‪0 × 8 + 1× 4 + 1× (−2) + 0 × (−1) = 2‬‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٢٣‬‬

‫دو ﮐﺪ وزﯾﻦ دﯾﮕﺮ ﮐﻪ در ﺟﺪول ﻧﺸﺎن دادﻩ ﺷﺪﻩ اﻧﺪ ‪ ٢۴٢١ ،‬و ‪ ۵٠۴٣٢١٠‬هﺴﺘﻨﺪ ﮐﻪ‬ ‫دهﺪهﯽ ﮐﻪ در ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ هﺎﯼ ﻗﺪﯾﻤﯽ ﺑﻪ ﮐﺎر ﻣﯽ رﻓﺘﻪ ﮐﺪ اﻓﺰوﻧﯽ ‪ -٣‬ﺑﻮدﻩ اﺳﺖ ‪ .‬اﯾﻦ‬ ‫ﯾﮏ ﮐﺪ ﻏﻴﺮ وزﯾﻦ اﺳﺖ ‪ ،‬و از ﺟﻤﻊ ﻋﺪد ‪ ٣‬ﺑﺎ ﻣﻘﺪار ‪ BCD‬ﺁن ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﯽ ﺁﯾﺪ ‪.‬‬ ‫ﺟﺪول )‪ (١-٢‬ﮐﺪهﺎﯼ دودوﯾﯽ ﺑﺮاﯼ ارﻗﺎم دهﺪهﯽ‬ ‫دوﭘﻨﺠﯽ‬ ‫‪۵٠۴٣٢١٠‬‬ ‫‪٠١٠٠٠٠١‬‬ ‫‪٠١٠٠٠١٠‬‬ ‫‪٠١٠٠١٠٠‬‬ ‫‪٠١٠١٠٠٠‬‬ ‫‪٠١١٠٠٠٠‬‬ ‫‪١٠٠٠٠٠١‬‬ ‫‪١٠٠٠٠١٠‬‬ ‫‪١٠٠٠١٠٠‬‬ ‫‪١٠٠١٠٠٠‬‬ ‫‪١٠١٠٠٠٠‬‬

‫‪٢۴٢١‬‬

‫‪٨۴-٢-١‬‬

‫اﻓﺰوﻧﯽ ‪٣-‬‬

‫‪٠٠٠٠‬‬ ‫‪٠٠٠١‬‬ ‫‪٠٠١٠‬‬ ‫‪٠٠١١‬‬ ‫‪٠١٠٠‬‬ ‫‪١٠١١‬‬ ‫‪١١٠٠‬‬ ‫‪١١٠١‬‬ ‫‪١١١٠‬‬ ‫‪١١١١‬‬

‫‪٠٠٠٠‬‬ ‫‪٠١١١‬‬ ‫‪٠١١٠‬‬ ‫‪٠١٠١‬‬ ‫‪٠١٠٠‬‬ ‫‪١٠١١‬‬ ‫‪١٠١٠‬‬ ‫‪١٠٠١‬‬ ‫‪١٠٠٠‬‬ ‫‪١١١١‬‬

‫‪٠٠١١‬‬ ‫‪٠١٠٠‬‬ ‫‪٠١٠١‬‬ ‫‪٠١١٠‬‬ ‫‪٠١١١‬‬ ‫‪١٠٠٠‬‬ ‫‪١٠٠١‬‬ ‫‪١٠١٠‬‬ ‫‪١٠١١‬‬ ‫‪١١٠٠‬‬

‫)‪( BCD‬‬ ‫‪٨۴٢١‬‬ ‫‪٠٠٠٠‬‬ ‫‪٠٠٠١‬‬ ‫‪٠٠١٠‬‬ ‫‪٠٠١١‬‬ ‫‪٠١٠٠‬‬ ‫‪٠١٠١‬‬ ‫‪٠١١٠‬‬ ‫‪٠١١١‬‬ ‫‪١٠٠٠‬‬ ‫‪١٠٠١‬‬

‫رﻗﻢ‬ ‫دهﺪهﯽ‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪۴‬‬ ‫‪۵‬‬ ‫‪۶‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٩‬‬

‫اﻋﺪاد در ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ دﯾﺠﻴﺘﺎل ﺑﻪ ﺻﻮرت دودوﯾﯽ و ﯾﺎ ﺑﻪ ﺻﻮرت دهﺪهﯽ ﺗﻮﺳﻂ ﯾﮏ ﮐﺪ‬ ‫دودوﯾﯽ ﻧﻤﺎﯾﺶ دادﻩ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪ .‬ﻣﺜﻼً وﻗﺘﯽ ﮐﻪ ﻋﺪد ‪ ٣٩٢‬ﺑﻪ دودوﯾﯽ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣﯽ ﺷﻮد‬ ‫ﻋﺪد ‪ ١١٠٠٠١٠١١‬ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﯽ ﺁﯾﺪ ﮐﻪ ﺷﺎﻣﻞ ‪ ٩‬رﻗﻢ دودوﯾﯽ اﺳﺖ ‪ .‬هﻤﺎن ﻋﺪد وﻗﺘﯽ‬ ‫ﺑﻪ ﻓﺮم ‪ BCD‬ﻧﻤﺎﯾﺶ دادﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ﺑﺮاﯼ هﺮ رﻗﻢ دهﺪهﯽ ﭼﻬﺎر ﺑﻴﺖ اﺷﻐﺎل ﻣﯽ ﮔﺮدد‬ ‫ﮐﻪ ﺟﻤﻌﺎً دوازد ﺑﻴﺖ ﺧﻮاهﺪ ﺷﺪ ‪ ،‬ﯾﻌﻨﯽ ‪. ٠٠١١١٠٠١٠١٠١‬‬ ‫درﮎ اﺧﺘﻼف ﺗﺒﺪﯾﻞ ﯾﮏ ﻋﺪد دهﺪهﯽ ﺑﻪ دودوﯾﯽ و ﮐﺪ ﮔﺬارﯼ دودوﯾﯽ هﻤﺎن ﻋﺪد‬ ‫دهﺪهﯽ اﻣﺮ ﻣﻬﻤﯽ اﺳﺖ ‪ .‬در هﺮ ﺣﺎﻟﺖ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻧﻬﺎﯾﯽ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اﯼ از ﺑﻴﺘﻬﺎ اﺳﺖ ‪ .‬ﮐﺪ‬ ‫‪ BCD‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﮐﺪﯼ ﮐﻪ ﺑﻪ دو ﺻﻮرت ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻗﺮار ﻣﯽ ﮔﻴﺮد ‪ ،‬اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪﻩ‬ ‫اﺳﺖ ‪ .‬ﻣﺎداﻣﯽ ﮐﻪ ﻋﺪد ﺑﻴﻦ ‪ ٠‬اﻟﯽ ‪ ٩‬ﺑﺎﺷﺪ اﻃﻼﻋﺎﺗﯽ دودوﯾﯽ ‪ ،‬ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫اﻋﺪاد ﻓﻮق ﺑﻪ ﺻﻮرت دودوﯾﯽ اﺳﺖ وﻟﯽ اﮔﺮ ﻋﺪد ﺑﻴﺶ از ‪ ٩‬ﺑﺎﺷﺪ دﯾﮕﺮ اﯾﻦ ﺗﺒﺪﯾﻞ‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٢٤‬‬

‫ﻣﻔﻬﻮﻣﯽ ﻧﺪارد و در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺗﺒﺪﯾﻞ و ﮐﺪ ﮔﺬارﯼ ﺑﺎ ﯾﮑﺪﯾﮕﺮ اﺧﺘﻼف دارﻧﺪ ‪ .‬اﯾﻦ ﻣﻔﻬﻮم‬ ‫ﺁﻧﻘﺪر اهﻤﻴﺖ دارد ﮐﻪ ﺗﮑﺮار ﯾﮏ ﻣﺜﺎل دﯾﮕﺮ در ﻣﻮرد ﺁن ارزﺷﻤﻨﺪ اﺳﺖ ‪ .‬ﻣﻌﺎدل ﻋﺪد‬ ‫دهﺪهﯽ ‪ ١٣‬ﺑﻪ دودوﯾﯽ ﻋﺪد ‪ ١١٠١‬اﺳﺖ و ﮐﺪ ﺁن در ‪ ٠٠٠١٠٠١١ ، BCD‬ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪.‬‬ ‫از ﻣﻴﺎن ﭘﻨﺞ ﮐﺪ ﻓﻬﺮﺳﺖ ﺷﺪﻩ در ﺟﺪول )‪ (١-٢‬ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣﯽ رﺳﺪ ﮐﻪ ‪ BCD‬ﻃﺒﻴﻌﯽ ﺗﺮﯾﻦ‬ ‫ﮐﺪ ﺑﺮاﯼ اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﺑﻮدﻩ و در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻣﻌﻤﻮﻟﻴﺘﺮﯾﻦ ﺁﻧﻬﺎﺳﺖ ‪ .‬ﮐﺪهﺎﯼ دﯾﮕﺮ ﭼﻬﺎر ﺑﻴﺘﯽ ﯾﮏ‬ ‫ﻣﺸﺨﺼﻪ ﻣﺸﺘﺮﮎ دارﻧﺪ ﮐﻪ در ‪ BCD‬ﯾﺎﻓﺖ ﻧﻤﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﮐﺪ اﻓﺰوﻧﯽ ‪ ٣-‬و ‪ ٢،٢،۴،١‬و ﮐﺪ‬ ‫‪ ٨ ، ۴ ، -٢ ، -١‬ﮐﺪهﺎﯼ ﺧﻮد ﻣﮑﻤﻞ هﺴﺘﻨﺪ ‪ ،‬ﺑﻪ اﯾﻦ ﻣﻔﻬﻮم ﮐﻪ ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٩‬ﻋﺪد دهﺪهﯽ‬ ‫ﺑﻪ ﺳﺎدﮔﯽ ﺑﺎ ﺗﺒﺪﯾﻞ ‪٠‬هﺎ ﺑﻪ ‪١‬هﺎ و ‪ ١‬هﺎ ﺑﻪ ‪ ٠‬هﺎ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽ ﺁﯾﺪ ‪ .‬ﻣﺜﻼً ﻋﺪد ‪ ٣٩۵‬در ﻣﺪ‬ ‫‪ ١،٢،۴،٢‬ﺑﻪ ﺷﮑﻞ ‪ ٠٠١١١١١١١٠١١‬اﺳﺖ ‪ .‬ﻣﮑﻤﻞ ‪ ٩‬اﯾﻦ ﻋﺪد ﯾﻌﻨﯽ ‪ ۶٠۴‬ﺑﺎ‬ ‫‪ ١١٠٠٠٠٠٠٠١٠٠‬ﻧﻤﺎﯾﺶ دادﻩ ﻣﯽ ﺷﻮدﮐﻪ ﺑﻪ ﺳﺎدﮔﯽ از ﺟﺎﯾﮕﺰﯾﻨﯽ ‪ ١‬هﺎ ﺑﺎ ‪ ٠‬هﺎ و ‪٠‬‬ ‫هﺎ ﺑﺎ ‪ ١‬هﺎ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﯽ ﺁﯾﺪ ‪ .‬اﯾﻦ ﺧﺎﺻﻴﺖ زﻣﺎﻧﯽ ﮐﻪ اﻋﻤﺎل ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗﯽ ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ﺑﺎ‬ ‫اﻋﺪاد دهﺪهﯽ ) در ﮐﺪ دودوﯾﯽ ( ﺻﻮرت ﻣﯽ ﮔﻴﺮد و ﻋﻤﻞ ﺗﻔﺮﯾﻖ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﻣﮑﻤﻞ ‪٩‬‬ ‫اﻧﺠﺎم ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ ،‬ﺳﻮدﻣﻨﺪ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﮐﺪ دو ﭘﻨﺠﯽ ﮐﻪ در ﺟﺪول )‪ (١-٢‬ﻧﺸﺎن دادﻩ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ﻣﺜﺎﻟﯽ از ﯾﮏ ﮐﺪ هﻔﺖ ﺑﻴﺘﯽ ﺑﺎ‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺁﺷﮑﺎر ﺳﺎزﯼ ﺧﻄﺎ اﺳﺖ ‪ .‬هﺮ رﻗﻢ دهﺪهﯽ ‪ ،‬ﺷﺎﻣﻞ ﭘﻨﺞ ‪ ٠‬و دو ‪ ، ١‬ﮐﻪ در‬ ‫ﺳﺘﻮﻧﻬﺎﯼ وزﯾﻦ ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ ﺟﺎﯼ ﮔﺮﻓﺘﻪ اﻧﺪ ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪ .‬ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺁﺷﮑﺎر ﺳﺎزﯼ ﺧﻄﺎﯼ اﯾﻦ‬ ‫ﮐﺪ زﻣﺎﻧﯽ ﻗﺎﺑﻞ درﮎ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺪاﻧﻴﻢ ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎﯼ دﯾﺠﻴﺘﺎل ‪ ١‬و ‪ ٠‬دودوﯾﯽ را ﺑﺎ دو‬ ‫ﺳﻄﺢ وﻟﺘﺎژ ﯾﺎ ﺟﺮﯾﺎن ﻣﺴﺘﻘﻞ از هﻢ ﻧﺸﺎن ﻣﯽ دهﻨﺪ ‪ .‬در ﻃﻮل اﻧﺘﻘﺎل اﯾﻦ ﺳﻄﺢ وﻟﺘﺎژ ﯾﺎ‬ ‫ﺳﻴﮕﻨﺎﻟﻬﺎ ‪ ،‬از ﯾﮏ ﻣﺤﻞ ﺑﻪ ﻣﺤﻞ دﯾﮕﺮ ‪ ،‬ﺧﻄﺎﯾﯽ ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ اﺗﻔﺎق اﻓﺘﺪ و ﯾﮏ ﯾﺎ ﭼﻨﺪ‬ ‫ﺑﻴﺖ اﺣﺘﻤﺎﻻً ﺗﻐﻴﻴﺮ ارزش ﺑﺪهﺪ ‪ .‬ﯾﮏ ﮐﺪار در ﻣﻘﺼﺪ ﻗﺎدر اﺳﺖ وﺟﻮد دو و ‪ ١‬ﯾﺎ ﮐﻤﺘﺮ در‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٢٥‬‬

‫ﮐﺪ دو ﭘﻨﺠﯽ را ﺁﺷﮑﺎر ﮐﻨﺪ ‪ .‬اﮔﺮ ﺗﺮﮐﻴﺐ ﺑﻴﺘﻬﺎﯼ رﺳﻴﺪﻩ ﺑﺎ ﺗﺮﮐﻴﺐ ﻣﺠﺎز در ﮐﺪ ﯾﮑﺴﺎن‬ ‫ﻧﺒﺎﺷﺪ ‪ ،‬ﯾﮏ ﺧﻄﺎ ﻣﺤﺴﻮب ﺷﺪﻩ و اﻃﻼع دادﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪.‬‬ ‫ﮐﺪ هﺎﯼ ﺁﺷﮑﺎر ﺳﺎزﯼ ﺧﻄﺎ‬ ‫اﻃﻼﻋﺎت دودوﯾﯽ ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ از ﯾﮏ ﻣﮑﺎن ﺑﻪ ﻣﮑﺎن دﯾﮕﺮ ﺑﮑﻤﮏ وﺳﺎﯾﻞ ارﺗﺒﺎﻃﯽ ﻣﺜﻞ‬ ‫ﺳﻴﻤﻬﺎ ﯾﺎ ﻣﻮﺟﻬﺎﯼ رادﯾﻮﯾﯽ اﻧﺘﻘﺎل ﯾﺎﺑﻨﺪ ‪ .‬هﺮ ﭘﺎرازﯾﺖ ﺧﺎرﺟﯽ ﮐﻪ وارد وﺳﺎﯾﻞ ﻓﻴﺰﯾﮑﯽ‬ ‫ﺷﻮد ارزش ﺑﻴﺘﻬﺎ را از ‪ ٠‬ﺑﻪ ‪ ١‬و ﯾﺎ ﺑﺮﻋﮑﺲ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﯽ دهﺪ ‪ .‬ﻣﻌﻤﻮل ﺗﺮﯾﻦ روش ﺧﻄﺎﯾﺎﺑﯽ‬ ‫‪ ،‬اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﺑﻴﺖ ﺗﻮازن اﺳﺖ ‪ .‬ﯾﮏ ﺑﻴﺖ ﺗﻮازن ‪ ،‬ﺑﻴﺘﯽ اﺳﺖ اﺿﺎﻓﯽ ﮐﻪ ﺟﺰﺋﯽ از ﭘﻴﺎم‬ ‫اﺳﺖ ﺳﺒﺐ ﻣﯽ ﺷﻮد ﮐﻪ ﺗﻌﺪاد ﮐﻞ ‪ ١‬هﺎ در ﭘﻴﺎن زوج ﯾﺎ ﻓﺮد ﮔﺮدد ﯾﮏ ﭘﻴﻐﺎم ﭼﻬﺎر ﺑﻴﺘﯽ‬ ‫ﺑﻪ هﻤﺮاﻩ ﺑﻴﺖ ﺗﻮازن ‪ P‬در ﺟﺪول )‪ (١-٣‬ﻧﺸﺎن دادﻩ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ‪ .‬اﮔﺮ ﺑﻴﺖ ﺗﻮازن ﻓﺮد‬ ‫اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪﻩ ﺑﺎﺷﺪ ‪ P‬ﻃﻮرﯼ اﻧﺘﺨﺎب ﻣﯽ ﮔﺮدد ﮐﻪ ﻣﺠﻤﻮع ‪١‬هﺎ در ﭘﻨﺞ ﺑﻴﺖ ﻓﺮد ﺑﺎﺷﺪ و‬ ‫در ﺗﻮازن زوج ‪ P‬ﻃﻮرﯼ اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪﻩ ﺗﺎ ﻣﺠﻤﻮع هﻤﻪ ‪ ١‬هﺎ زوج ﺑﺎﺷﺪ ‪.‬‬ ‫ﺟﺪول )‪ (١-٣‬ﺑﻴﺖ ﺗﻮازن‬ ‫) زوج ( ‪P‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬

‫ﭘﻴﺎم ) ‪( b‬‬ ‫‪٠٠٠٠‬‬ ‫‪٠٠٠١‬‬ ‫‪٠٠١٠‬‬ ‫‪٠٠١١‬‬ ‫‪٠١٠٠‬‬ ‫‪٠١٠١‬‬ ‫‪٠١١٠‬‬ ‫‪٠١١١‬‬ ‫‪١٠٠٠‬‬ ‫‪١٠٠١‬‬ ‫‪١٠١٠‬‬ ‫‪١٠١١‬‬ ‫‪١١٠٠‬‬ ‫‪١١٠١‬‬ ‫‪١١١٠‬‬ ‫‪١١١١‬‬

‫)ﻓﺮد ( ‪P‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬

‫ﭘﻴﺎم ) ‪( a‬‬ ‫‪٠٠٠٠‬‬ ‫‪٠٠٠١‬‬ ‫‪٠٠١٠‬‬ ‫‪٠٠١١‬‬ ‫‪٠١٠٠‬‬ ‫‪٠١٠١‬‬ ‫‪٠١١٠‬‬ ‫‪٠١١١‬‬ ‫‪١٠٠٠‬‬ ‫‪١٠٠١‬‬ ‫‪١٠١٠‬‬ ‫‪١٠١١‬‬ ‫‪١١٠٠‬‬ ‫‪١١٠١‬‬ ‫‪١١١٠‬‬ ‫‪١١١١‬‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٢٦‬‬

‫ﻧﺤﻮﻩ ﺧﻄﺎﯾﺎﺑﯽ ﺑﺪون ﺷﺮح اﺳﺖ ‪ .‬ﯾﮏ ﺑﻴﺖ ﺗﻮازن زوج در ﻣﺒﺪا ﺑﺮاﯼ هﺮ ﭘﻴﺎم ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻣﯽ‬ ‫ﺷﻮد ‪ .‬ﺑﻴﺖ ﺗﻮازن هﻤﺮاﻩ ﺑﺎ ﭘﻴﺎم ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﻣﻘﺼﺪ ارﺳﺎل ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﺗﻮزان در ﻣﻘﺼﺪ ﭼﮏ‬ ‫ﻣﯽ ﮔﺮدد ‪ .‬زوج ﻧﺒﻮدن دادﻩ رﺳﻴﺪﻩ ﺑﻪ ﻣﻌﻨﯽ اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺣﺪاﻗﻞ ﯾﮏ ﺑﻴﺖ در ﺿﻤﻦ‬ ‫اﻧﺘﻘﺎل ﺗﻌﻮﯾﺾ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ ‪ .‬اﯾﻦ روش ﻗﺎدر اﺳﺖ هﺮ ﺗﺮﮐﻴﺐ ﻓﺮدﯼ از ﺗﻌﺪاد ﺧﻄﺎ ﻣﺎﻧﻨﺪ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ ﯾﮏ ‪ ،‬ﺳﻪ و ‪ ...‬ﺑﻴﺖ را در هﺮ ﭘﻴﺎم اﻧﺘﻘﺎل ﯾﺎﻓﺘﻪ ﻣﺸﺨﺺ ﻧﻤﺎﯾﺪ ‪ .‬روش هﺎﯼ‬ ‫ﺗﺸﺨﻴﺺ ﺧﻄﺎﯼ اﺿﺎﻓﯽ دﯾﮕﺮﯼ ﺑﺮاﯼ ﯾﺎﻓﺘﻦ ﺧﻄﺎهﺎﯼ زوج ﻻزم اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﮐﺪ ﮔﺮﯼ ) اﻧﻌﮑﺎﺳﯽ (‬ ‫ﺳﻴﺴﺘﻤﻬﺎﯼ دﯾﺠﻴﺘﺎل ﻓﻘﻂ ﺑﺮاﯼ ﭘﺮدازش دادﻩ هﺎﯼ ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻃﺮاﺣﯽ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪.‬‬ ‫ﺑﺴﻴﺎرﯼ از دﺳﺘﮕﺎهﻬﺎﯼ ﻓﻴﺰﻳﮑﯽ دادﻩ ﺧﺮوﺟﯽ ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻣﯽ ﮐﻨﻨﺪ ‪ ..‬اﻃﻼﻋﺎت‬ ‫ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﯾﺎ ﺁﻧﺎﻟﻮگ ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﻣﺒﺪل ﺁﻧﺎﻟﻮگ ﺑﻪ دﯾﺠﻴﺘﺎل ﺑﻪ ﻓﺮم دﯾﺠﻴﺘﺎل ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻣﯽ ﺷﻮﻧﺪ ‪.‬‬ ‫ﮔﺎهﯽ اوﻗﺎت اﺳﺘﻔﺎدﻩ از ﮐﺪ ﮔﺮﯼ ﻧﺸﺎن دادﻩ ﺷﺪﻩ در ﺟﺪول )‪ ، (١-۴‬ﺟﻬﺖ ﻧﻤﺎﯾﺶ دادﻩ‬ ‫هﺎﯼ دﯾﺠﻴﺘﺎل ﺗﺒﺪﯾﻞ ﺷﺪﻩ از دادﻩ هﺎﯼ ﺁﻧﺎﻟﻮگ ﻣﻌﻤﻮﻟﺘﺮ اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﻣﺰﯾﺖ ﮐﺪ ﮔﺮﯼ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ اﻋﺪاد دودوﯾﯽ ﻣﺤﺾ اﯾﻦ اﺳﺖ ﮐﻪ وﻗﺘﯽ از ﯾﮏ ﻋﺪد ﺑﻪ ﻋﺪد‬ ‫ﺑﻌﺪﯼ ﻣﯽ روﯾﻢ ﻓﻘﻂ ﯾﮏ ﻣﺰﯾﺖ ﺑﻴﺖ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ‪ .‬ﻣﺜﻼً در رﻓﺘﻦ از ‪ ٧‬ﺑﻪ ‪ ، ٨‬ﮐﺪ ﮔﺮﯼ از‬ ‫‪ ٠١٠٠‬ﺑﻪ ‪ ١١٠٠‬ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﯽ ﯾﺎﺑﺪ ‪ .‬دﯾﺪﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ﮐﻪ ﻓﻘﻂ ﺳﻤﺖ ﭼﭗ ﺗﺮﯾﻦ ﺑﻴﺖ از ‪ ٠‬ﺑﻪ ‪١‬‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ ﯾﺎﻓﺘﻪ و ﺳﻪ ﺑﻴﺖ ﺑﻘﻴﻪ ﯾﮑﺴﺎﻧﻨﺪ ‪ .‬وﻗﺘﯽ ﻣﻄﻠﺐ را ﺑﺎ اﻋﺪاد دودوﯾﯽ ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﮐﻨﻴﻢ ‪،‬‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ از ‪ ٧‬ﺑﻪ ‪ ٨‬ﺳﺒﺐ ﺗﻐﻴﻴﺮ هﺮ ﭼﻬﺎر ﺑﻴﺖ ‪ ،‬ﯾﻌﻨﯽ از ‪ ٠١١١‬ﺑﻪ ‪ ١٠٠٠‬ﻣﯽ ﮔﺮدد ‪.‬‬ ‫ﮐﺪ ﮔﺮﯼ در ﮐﺎرﺑﺮدهﺎﯾﯽ ﮐﻪ رﺷﺘﻪ ﻣﻌﻤﻮﻟﯽ اﻋﺪاد دودوﯾﯽ اﻣﮑﺎن ﺗﻮﻟﻴﺪ ﺧﻄﺎ دارﻧﺪ ﺑﮑﺎر‬ ‫ﻣﯽ رود ‪ .‬ﺑﻬﻨﮕﺎم ﺗﻐﻴﻴﺮ از ‪ ٠١١١‬ﺑﻪ ‪ ، ١٠٠٠‬اﮔﺮ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺳﻤﺖ راﺳﺖ ﺗﺮﯾﻦ ﺑﻴﺖ از ﺳﻪ‬ ‫ﺑﻴﺖ دﯾﮕﺮ ﺑﻴﺸﺘﺮ ﻃﻮل ﺑﮑﺸﺪ ﯾﮏ ﻋﺪد ﻣﻴﺎﻧﻪ اﯼ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ ١٠٠١‬ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬ﮐﺪ ﮔﺮﯼ‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٢٧‬‬

‫اﯾﻦ ﻣﺸﮑﻞ را ﺣﺬف ﻣﯽ ﻧﻤﺎﯾﺪ زﯾﺮا ﺑﻬﻨﮕﺎم اﻧﺘﻘﺎل ﺑﻴﻦ دو ﻋﺪد ﻓﻘﻂ ﯾﮏ ﺗﻐﻴﺮ رخ ﻣﯽ‬ ‫دهﺪ ‪.‬‬ ‫ﻧﻤﻮﻧﻪ اﯼ از ﮐﺎرﺑﺮد ﮐﺪ ﮔﺮﯼ هﻨﮕﺎﻣﯽ اﺳﺖ ﮐﻪ دادﻩ ﺁﻧﺎﻟﻮگ ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﺷﻔﺖ‬ ‫ﻧﻤﺎﯾﺶ دادﻩ ﻣﯽ ﺷﻮد ‪ .‬دور ﺷﻔﺖ ﺑﻪ ﻗﻄﻌﺎﺗﯽ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺷﺪﻩ ‪ ،‬و ﺑﻪ هﺮ ﻗﻄﻌﻪ ﻋﺪدﯼ‬ ‫ﺗﺨﺼﻴﺺ ﯾﺎﻓﺘﻪ اﺳﺖ ‪ .‬اﮔﺮ ﻗﻄﻌﺎت ﻣﺠﺎور ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﮐﺪ ﮔﺮﯼ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺷﻮﻧﺪ ‪ ،‬اﺑﻬﺎم در‬ ‫ﺗﻔﮑﻴﮏ دو ﻧﺎﺣﻴﻪ ﻣﺠﺎور ﮐﻪ در ﺣﺎل اﺣﺴﺎس ﺷﺪن اﺳﺖ ﮐﺎهﺶ ﻣﯽ ﯾﺎﺑﺪ ‪.‬‬ ‫ﺟﺪول )‪ (١-۴‬ﮐﺪ ﮔﺮﯼ ‪ ۴‬ﺑﻴﺘﯽ‬ ‫ﻣﻌﺎدل دهﺪهﯽ‬ ‫‪٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪۴‬‬ ‫‪۵‬‬ ‫‪۶‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪١١‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫‪١۴‬‬ ‫‪١۵‬‬

‫ﮐﺪ ﮔﺮﯼ‬ ‫‪٠٠٠٠‬‬ ‫‪٠٠٠١‬‬ ‫‪٠٠١١‬‬ ‫‪٠٠١٠‬‬ ‫‪٠١١٠‬‬ ‫‪٠١١١‬‬ ‫‪٠١٠١‬‬ ‫‪٠١٠٠‬‬ ‫‪١١٠٠‬‬ ‫‪١١٠١‬‬ ‫‪١١١١‬‬ ‫‪١١١٠‬‬ ‫‪١٠١٠‬‬ ‫‪١٠١١‬‬ ‫‪١٠٠١‬‬ ‫‪١٠٠٠‬‬

‫ﮐﺪ هﺎﯼ ‪ASCII‬‬ ‫در ﺑﺴﻴﺎرﯼ از ﮐﺎرﺑﺮدهﺎﯼ ﮐﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ هﺎﯼ دﯾﺠﻴﺘﺎل ﻧﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﻧﻴﺎز ﺑﻪ دﺳﺘﮑﺎرﯼ روﯼ دادﻩ‬ ‫هﺎﯼ ﻋﺪدﯼ ﺑﻠﮑﻪ روﯼ ﺣﺮوف ﻧﻴﺰ ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪ .‬ﯾﮏ ﮐﺎراﮐﺘﺮ اﻟﻔﺒﺎ ﻋﺪدﯼ ﻋﺒﺎرت از ﯾﮏ ﮐﺪ‬ ‫دودوﯾﯽ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﻋﻨﺼﺮﯼ از ﯾﮏ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﮐﻪ ﺷﺎﻣﻞ ‪ ١٠‬رﻗﻢ دهﺪهﯽ ‪ ٢۶ ،‬ﺣﺮوف اﻟﻔﺒﺎ‬ ‫و ﺗﻌﺪاد ﻣﻌﻴﻨﯽ از ﻋﻼﺋﻢ ﻣﺨﺼﻮص اﺳﺖ ‪ .‬ﭼﻨﻴﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اﯼ ﺑﻴﻦ ‪ ٣۶‬ﺗﺎ ‪ ۶۴‬ﻋﻨﺼﺮ ﺑﺮاﯼ‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٢٨‬‬

‫ﺣﺮوف ﺑﺰرگ و ﯾﺎ ﺑﻴﻦ ‪ ۶۴‬ﺗﺎ ‪ ١٢٨‬ﻋﻨﺼﺮ ﺑﺎ ﺣﺮوف ﺑﺎﻻ و ﭘﺎﯾﻴﻦ هﺮ ﮐﻠﻴﺪ دارد ‪ .‬در ﺣﺎﻟﺖ اول‬ ‫ﺑﻪ ﺷﺶ ﺑﻴﺖ و در ﺣﺎﻟﺖ دوم ﺑﻪ هﻔﺖ ﺑﻴﺖ ﻧﻴﺎز اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﮐﺪ دودوﯾﯽ اﺳﺘﺎﻧﺪارد ﺑﺮاﯼ ﮐﺎراﮐﺘﺮ هﺎﯼ اﻟﻔﺒﺎ ﻋﺪدﯼ ‪ ASCII‬اﺳﺖ ‪ .‬اﯾﻦ ﮐﺪ از هﻔﺖ‬ ‫ﺑﻴﺖ ﺑﺮاﯼ ﮐﺪ ﻧﻤﻮدن ‪ ١٢٨‬ﮐﺎراﮐﺘﺮ اﺳﺘﻔﺎدﻩ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ‪ .‬هﻔﺖ ﺑﻴﺖ ﺑﺎ ‪ b1‬ﺗﺎ ‪ b7‬ﻣﺸﺨﺺ‬ ‫ﺷﺪﻩ اﻧﺪ ﮐﻪ ‪ b7‬ﺑﺎ ارزﺷﺘﺮﯾﻦ ﺑﻴﺖ را ﺗﺸﮑﻴﻞ ﻣﯽ دهﺪ ‪ .‬ﻣﺜﻼً ‪ ،‬ﺣﺮف ‪ A‬در ‪ ASCII‬ﺑﺼﻮرت‬ ‫‪ ) ١٠٠٠٠٠١‬ﺳﺘﻮن ‪ ١٠٠‬ﺳﻄﺮ ‪ ( ٠٠٠١‬ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ‪ .‬ﮐﺪ ‪ ASCII‬داراﯼ ‪ ٩۴‬ﮐﺪ ﺷﺎﻣﻞ ‪٢۶‬‬ ‫ﮐﺎراﮐﺘﺮ ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ ﺑﻪ ﺣﺮوف ﺑﺰرگ ) ‪ A‬ﺗﺎ ‪ ٢۶ ، ( Z‬ﮐﺎراﮐﺘﺮ ﺣﺮوف ﮐﻮﭼﮏ ) ‪ a‬ﺗﺎ ‪١٠ ، ( z‬‬ ‫ﻋﺪد ) ‪ ٠‬ﺗﺎ ‪ ( ٩‬و ‪ ٣٢‬ﮐﺎراﮐﺘﺮ ﻣﺨﺼﻮص ﭼﺎپ ﻧﺸﺪﻧﯽ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ * ، %‬و ‪ $‬اﺳﺖ ‪.‬‬ ‫ﮐﺪ هﻤﻴﻨﮓ‬ ‫ﺟﻬﺖ ﺗﺸﺨﻴﺺ و ﺗﺼﺤﻴﺢ ﺧﻄﺎ ﺑﮑﺎر ﻣﯽ رود‪ .‬اﮔﺮ ‪ M‬ﭘﻴﺎم ارﺳﺎﻟﯽ ‪ m‬ﺑﻴﺘﯽ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬ ‫‪M :n n n n‬‬ ‫‪1 2 3 4‬‬

‫‪ k‬ﺗﻌﺪاد ﺑﻴﺘﻬﺎﯼ ﺗﻮازن ﮐﻪ اﺿﺎﻓﻪ ﻣﯽ ﺷﻮد و از راﺑﻄﻪ زِﻳﺮ ﺗﺒﻌﻴﺖ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ‪k + m ≤ 2 k − 1 .‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪0 1 2‬‬ ‫ﺑﻴﺘﻬﺎﯼ ﺗﻮزان درﻣﺤﻠﻬﺎﯼ ‪ (2 2 2 .....) 2‬ﻗﺮار ﻣﯽ ﮔﻴﺮد ‪p p m p m m m .‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7‬‬

‫ﺑﻴﺘﻬﺎﯼ ﺗﻮازن ﺑﺪﻳﻨﺼﻮرت ﺑﺪﺳﺖ ﻣﯽ ﺁﻳﻨﺪ‪:‬‬ ‫ﻣﺤﺪودﻩ ﺑﻴﺖ‬ ‫هﺎﯼ‬ ‫ﭘﻴﺎم‬

‫ﺗﻌﺪاد ﺑﻴﺖ هﺎﯼ‬ ‫ﺗﻮزان ‪k‬‬

‫‪2-4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1 1‬‬

‫‪5-11‬‬

‫‪4‬‬

‫‪0 1‬‬

‫‪12-26‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1 0‬‬

‫‪27-57‬‬

‫‪6‬‬

‫‪1 1‬‬

‫‪m →0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪m →1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪m →1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪m →0‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪P =m ⊕m ⊕m‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪P =m ⊕m ⊕m‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪P =m ⊕m ⊕m‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٢٩‬‬ ‫‪⇒ p1 p 2 1 p 4 0 1 1‬‬

‫‪M: 101 1‬‬

‫‪P = m ⊕ m ⊕ m = 1⊕ 0 ⊕1 = 0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪P = m ⊕ m ⊕ m = 1⊕1⊕1 = 1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪P = m ⊕ m ⊕ m = 0 ⊕1⊕1 = 0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺗﺸﺨﻴﺺ ﺧﻄﺎ‪:‬‬ ‫ﮐﺪ ﺧﻄﺎﻳﯽ از روﯼ اﻃﻼﻋﺎت درﻳﺎﻓﺘﯽ اﯾﺠﺎد ﻣﯽ ﺷﻮد‪.‬‬ ‫‪C :C C C‬‬ ‫‪4 2 1‬‬ ‫‪C = P ⊕m ⊕m ⊕m‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪C = P ⊕m ⊕ m ⊕ m‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪C = P ⊕m ⊕m ⊕m‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬

‫اﮔﺮ ‪ C=0‬ﺧﻄﺎﯾﯽ رخ ﻧﺪادﻩ اﺳﺖ اﮔﺮ ‪ C ≠ 0‬ﺧﻄﺎ رخ دادﻩ و ﻣﻘﺪارﯼ ‪ c‬ﻣﮑﺎن ﺧﻄﺎ ﺧﻮاهﺪ‬ ‫ﺑﻮد ‪.‬‬

‫‪0 1 1 0 0 11→ 0 0 1 0 011‬‬

‫‪⇒C =0 1 0 = 2‬‬

‫‪C =0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪C =1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪C =0‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﺗﺸﺨﻴﺺ و ﺗﺼﺤﻴﺢ ﻳﻚ ﺧﻄﺎ‬

‫‪m=5‬‬ ‫‪k =4‬‬ ‫‪p p m p m m m p m‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9‬‬ ‫‪C = P ⊕m ⊕m ⊕m ⊕m‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪C = P ⊕m ⊕ m ⊕ m‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪C = P ⊕m ⊕m ⊕m‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪C =m‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬

‫ﻓﺼﻞ اول‪ :‬ﺳﻴﺴﺘﻢ دودوﻳﯽ و ﮐﺪﮔﺬارﯼ‬

‫‪٣٠‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ‪minimum distance‬‬ ‫ﺣﺪاﻗﻞ ﻓﺎﺻﻠﻪ ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از ﺣﺪاﻗﻞ ﺗﻌﺪاد ﺑﻴﺖ هﺎﯾﯽ ﮐﻪ ﺑﺎﯾﺪ در ﯾﮏ ﮐﺪ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﯾﺎﺑﺪ ﺗﺎ ﮐﺪ‬ ‫ﻣﺠﺎز دﯾﮕﺮﯼ از هﻤﺎن ﺳﻴﺴﺘﻢ ﮐﺪ ﮔﺬارﯼ ﺑﻪ دﺳﺖ ﺁﯾﺪ ‪.‬‬ ‫‪ = ١‬ﮐﺪ ﮔﺮﯼ‬

‫‪M . D.‬‬

‫‪ = ١‬ﮐﺪ ‪2421‬‬

‫‪M . D.‬‬

‫در ﺻﻮرﺗﻴﮑﻪ ‪ MD = 3‬ﺑﺎﺷﺪ و ﯾﮏ ﺑﻴﺖ دﭼﺎر ﺧﻄﺎ ﺷﻮد هﻢ ﻗﺎدر ﺑﻪ ﺗﺸﺨﻴﺺ ﺧﻄﺎ و هﻢ‬ ‫ﺗﻮاﻧﺎﯾﯽ ﺗﺼﺤﻴﺢ ﺁن را دارﯾﻢ ‪.‬‬ ‫‪M = C + d +1‬‬

‫‪ : d‬ﺗﻌﺪاد ﺑﻴﺖ هﺎي ﺧﻄﺎي ﻗﺎﺑﻞ ﺗﺸﺨﻴﺺ‬ ‫‪ : c‬ﺗﻌﺪاد ﺑﻴﺖ هﺎي ﺧﻄﺎي ﻗﺎﺑﻞ ﺗﺼﺤﻴﺢ‬ ‫ﺑﻪ ﮐﺪ هﻤﻴﻨﮓ ﺑﻴﺖ ﺗﻮازن دﯾﮕﺮﯼ اﺿﺎﻓﻪ ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ﮐﻪ ﺑﺎ ﺗﻤﺎم ﺑﻴﺘﻬﺎﯼ ﺗﻮزان زوج ﺑﺮﻗﺮارﯼ‬ ‫ﻣﯽ ﮐﻨﺪ ‪.‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪d‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪P p m p m m m p m ,p‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9 0‬‬

‫در ﻣﻘﺼﺪ ﮐﻪ ‪ C :C C C C‬و ﺗﻮزان دﯾﮕﺮﯼ ﺑﺎ ﻧﺎم ‪ p‬را اﯾﺠﺎد ﻣﯽ ﮐﻨﻨﺪ ‪.‬‬ ‫‪8 4 2 1‬‬ ‫‪P = P ⊕ p ⊕ ... m ⊕ p‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪0‬‬

‫ﺧﻄﺎﯾﯽ رخ ﻧﺪادﻩ اﺳﺖ‬

‫‪P=0‬‬

‫‪,‬‬

‫‪C =0‬‬

‫ﯾﮏ ﺧﻄﺎ رخ دادﻩ و ﻗﺎﺑﻞ ﺗﺼﺤﻴﺢ‬

‫‪P =1‬‬

‫‪,‬‬

‫‪C≠0‬‬

‫دو ﺧﻄﺎ رخ دادﻩ و ﻓﻘﻂ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﺸﺨﻴﺺ‬

‫‪P=0‬‬

‫‪,‬‬

‫‪C≠0‬‬

‫‪,‬‬

‫‪C =0‬‬

‫ﺧﻮد ‪ P‬دﭼﺎر ﺧﻄﺎ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ‬

‫‪P =1‬‬