Certamen 1 - Cálculo En Varias Variables (2012).pdf

SOLUCION PRIMER CERTAMEN MAT 215 21 de Abril 2012. 1. (20 ptos) Considere la función 8 2 < sin(x + xy) si x 6= 0 x f (x; y) = : 0 si x = 0 Para esta función:

(a) (5 ptos) Determine el dominio máximo de continuidad. (b) (5 ptos) ¿Es diferenciable en (1; 2)? (c) (5 ptos) ¿Es diferenciable en (0; 2)? (d) (5 ptos) Calcule si es que existe @f =@x; en el punto (0; 0):

Solución: a) f es continua en todo punto (a; b) tal que a 6= 0; ya que para esos sin(x2 + xy) , y esta puntos existe una vecindad en donde f (x; y) = x función es continua ya que está formada por cuocientes, productos y compuestas de funciones continuas. Ahora demostraremos que f es continua en el punto (0; 0). En efecto, como jsin(x2 + xy)j 0

x2 + jxyj, se tiene que para x 6= 0;

sin(x2 + xy) x

x2 + jxyj jxj

jxj + jyj

y por lo tanto por el teorema del Sandwich se cumple que lim

(x;y)!(0;0)

f (x; y) = 0:

Finalmente demostraremos que f no es continua en los puntos de la forma (0; b) con b 6= 0. Para hacer esto hay que demostrar que el límite sin(x2 + xy) (x;y)!(0;b) x lim

1

no existe o es diferente de cero. Bueno, demostraremos que el límite no existe. Tomemos la recta y = b + mx. Entonces si el límite existiera debiera tener el mismo valor que: sin(x2 + xb + mx2 ) x2 + xb + mx2 sin(x2 + xb + mx2 ) = lim lim x!0 x!0 x x2 + xb + mx2 x!0 x = 1 lim(x + b + mx) = b 6= 0 lim

Por otro el límite anterior, continua

lado, si nos acercamos por la recta vertical x = 0, entonces debiera ser limy!b f (0; y) = 0. Como este valor di…ere del entonces el límite no existe y por lo tanto la función no es en (0; b).

Respuesta: La función es continua en el conjunto D = f(x; y) : x 6= 0g [ f(0; 0)g : b) La función es diferenciable en el punto (1; 2) ya que en dicho punto hay una vecindad en donde las derivadas parciales de f son continuas. c) No es diferenciable en (0; 2) ya que en dicho punto la función no es continua (ver parte a). d) @f f (h; 0) f (0; 0) (0; 0) = lim h!0 @x h sin(h2 ) = lim h!0 h2 = 1: 2. (20 puntos) Sea w(s; t) = f (x(s; t); y(s; t)) en donde f es de clase C 2 y x(s; t) y y(s; t) están dadas por: x = s2 + t2 y = 2st Si se sabe que f11 (5; 4) = 6; f22 (5; 4) = 5, entonces calcule el valor numérico de @2w @2w P = (2; 1) (2; 1) @s2 @t2 2

a) @w = f1 (x; y)2s + f2 (x; y)2t @s @2w = (f11 (x; y)2s + f12 (x; y)2t) 2s + f1 (x; y)2 + @s2 (f21 (x; y)2s + f22 (x; y)2t) 2t Análogamente: @w = f1 (x; y)2t + f2 (x; y)2s @t @2w = (f11 (x; y)2t + f12 (x; y)2s) 2t + f1 (x; y)2 + @t2 (f21 (x; y)2t + f22 (x; y)2s) 2s Por lo tanto: @2w @s2

@2w = 4(s2 @t2

t2 ) (f11 (x; y)

f22 (x; y))

Evaluando, se obtiene: P = 4 3 (6 = 12: 3. Considere la super…cie z = 16

x2

5)

y2.

(a) (5 ptos) Encuentre un vector ortogonal a esta super…cie en el punto (1; 2; 11) (b) (5 ptos) Explique porqué esta función z(x; y) es diferenciable en todo el plano. (c) (10 ptos) Halle la ecuación del plano tangente a la super…cie en el punto (1; 2; 11):

Solución: a) Sea f (x; y; z) = z+x2 +y 2 16. Entonces la super…cie dada corresponde a la super…cie de nivel f (x; y; z) = 0, y por lo tanto un vector ortogonal a 3

la super…cie dada en el punto indicado es simplemente rf (1; 2; 11). Por lo tanto, una respuesta es: rf (1; 2; 11) = (2x; 2y:1)j(1;2;11) = (2; 4; 1) ! ! ! 2 i +4j + k b) La función z(x; y) es diferenciable en todo el plano ya que sus derivadas parciales son continuas. c) Ecuación plano tangente: 2(x

1) + 4(y

2) + (z

Es decir: 2x + 4y + z = 21:

4

11) = 0