Centro De Presiones 2015 I.docx

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DETERMINACION DEL CENTRO DE PRECIONES Y ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES

CENTRO DE PRECIONES 1.- Introducción El centro de presiones es el punto de aplicación de la fuerza que un fluido estático ejerce sobre determinada superficie, plana o curva; este punto puede ser descrito, por ejemplo, mediante coordenadas respecto a un sistema de referencia arbitrario. ¿Por qué es importante conocer la ubicación del centro de presiones? Porque siempre es necesario saber no sólo cuál es la magnitud de una fuerza sino cuál es su punto de aplicación, pues de ello dependerá la distribución de los esfuerzos, fuerzas, pares, etc. que se generen. 2.- Objetivo Determinar experimentalmente la ubicación del centro de presiones de la fuerza hidrostática ejercida por una altura de agua sobre una superficie curva, analizar la relación entre las coordenadas de este centro de presiones y la altura de agua que ejerce presión, y verificar lo obtenido experimentalmente con lo que se conoce teóricamente. 3.- Definiciones Teóricas -En estática de fluidos, o hidrostática, no hay movimiento relativo entre las partículas de fluido, es decir, no existen esfuerzos cortantes, el único esfuerzo presente es un esfuerzo normal, la presión. -Todos los puntos ubicados en un mismo plano horizontal, dentro de un mismo fluido, tienen la misma presión. En un fluido de peso específico constante tenemos que la presión manométrica a determinada profundidad h está dada por: -La superficie libre de un líquido es horizontal. En realidad es concéntrica con la tierra pero en dimensiones reducidas (comparadas con las de la tierra) es prácticamente horizontal. -El gráfico de presiones muestra la distribución de la presión sobre una superficie en contacto con un fluido (principalmente se aplica al caso de un líquido). Una superficie curva en contacto con un líquido experimentará una fuerza hidrostática que suele ser analizada según sus componentes horizontal y vertical. -La componente horizontal de la resultante de las presiones que un líquido ejerce sobre una superficie curva es igual en magnitud y de sentido contrario a la resultante de las presiones que el fluido ejerce sobre la proyección de la superficie sobre un plano vertical y tiene la misma línea de acción, es decir, pasa por el centro de presión de dicha proyección. -La componente vertical de la fuerza resultante de las presiones que un líquido ejerce sobre una superficie curva es igual al peso del volumen de líquido que se encuentra verticalmente por encima de esta y se extiende hasta el nivel de la superficie libre. En

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el caso en el cual la superficie recibe una presión contraria en sentido a este peso, la componente vertical tendrá el mismo valor (será evaluada del mismo modo) pero tendrá sentido contrario. El punto de aplicación se ubicaría en el CG del volumen.

4. descripción del equipo El elemento principal es un cuadrante cilíndrico pivotado en su centro geométrico (ver fotografías), balanceado por un contrapeso y rígidamente conectado a un elemento de pesa deslizante. Este sistema basculante se aloja en un recipiente que puede almacenar agua a diferentes alturas. La pesa deslizante produce el torque que equilibra la fuerza hidrostática producida por el agua.

El recipiente está provisto de dos llaves, una para el ingreso del agua y otra para su evacuación; de este modo puede realizarse el experimento en condición estática, cerrando ambas llaves y, así mismo, variar la altura de agua con facilidad. El recipiente cuenta además con un sistema de nivelación que consiste de cuatro tornillos en la base y dos niveles de burbuja instalados transversalmente. Dimensiones: Radio interior del cuadrante cilíndrico 135 mm Radio exterior del cuadrante cilíndrico 250 mm Longitud perpendicular al dibujo 115 mm Masa de la pesa deslizante (W/g) 0,605 kg

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Se muestra la posición inicial del equipo con el cuadrante cilíndrico en equilibrio, la altura ho no ejerce fuerzas hidrostáticas, sólo hay un pequeño contacto en la tangente inferior, donde se tienen presentes fuerzas de tensión superficial despreciables; la distancia do es la posición de la pesa deslizante para tener esta posición de equilibrio. La posición de equilibrio se verifica mediante el nivel de burbuja que indica que la superficie a la cual está adherido está horizontal.

5.- procedimiento experimental

a)

b) c) d)

e)

f)

g)

h)

i) j)

Nivelar el recipiente. Ubicar la pesa deslizante indicando la longitud 10 cm (do) en la regla graduada horizontal. Si la superficie horizontal del cuadrante cilíndrico no se hallase perfectamente horizontal (observar el nivel de burbuja adherido), nivelar utilizando el contrapeso. Abrir la llave de ingreso de agua para empezar el llenado del recipiente. La llave de desagüe debe estar completamente cerrada. A medida que la superficie libre se aproxima al cuadrante cerrar parcialmente la llave de ingreso para que el llenado sea más lento. Como norma, se considera que la superficie de agua es tangente al cuadrante cuando el contacto entre estos (visto de perfil) es de 4 cm o menos. Entonces se cierra completamente la llave de ingreso y se verifica que no se haya alterado lo dispuesto en el punto 1. Leer la altura a la que se encuentra la superficie libre del agua, ho, haciendo uso de la regla graduada vertical ubicada a un lado del recipiente. Debe tenerse cuidado de evitar errores de paralaje. Continuar con el llenado del recipiente abriendo nuevamente la llave de ingreso. Se observará que la superficie curva empieza a levantarse por efecto de la fuerza hidrostática del agua. La pesa deslizante debe ser desplazada a fin de equilibrar este empuje. Para obtener los valores de desplazamiento de la pesa deslizante correspondientes a las diferentes alturas de agua que se experimenten, se considera conveniente empezar por el extremo superior, de modo que se llenará el recipiente hasta alcanzar la altura máxima de agua (sin llegar al radio interior del cuadrante cilíndrico). Cerrar la llave de ingreso de agua. Correr la pesa deslizante hasta una longitud exacta, d. Abrir la llave de desagüe hasta conseguir que la superficie horizontal del cuadrante esté exactamente horizontal (observar nivel de burbuja correspondiente). Cerrar la llave de desagüe. Leer la altura a la cual se ubica la superficie libre de agua, h. Repetir los pasos 8 y 9 según el número de mediciones que se deseen hacer. Tanto la distancia d como la altura de agua h irán disminuyendo hasta llegar a la distancia inicial do.

6.- procedimiento de cálculos La distribución de presiones al interior del agua ejerce una fuerza hidrostática sobre las superficies que entran en contacto con estas presiones. En el caso estudiado se tienen dos superficies en contacto con el agua para cada altura de agua: una superficie plana vertical y una superficie curva.

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Esquema de Fuerzas Hidrostáticas Actuantes Se tiene una fuerza horizontal sobre la superficie plana y las componentes horizontal y vertical de la fuerza sobre la superf icie curva

El objetivo del laboratorio es determinar la ubicación del centro de presiones de la fuerza actuante sobre la superficie curva. La componente vertical actuará a una distancia Xcp del pivote y la componente horizontal actuará a una distancia Ycp del pivote. La pesa deslizante tiene un peso W que ha sido desplazado una distancia D desde su posición inicial para equilibrar estas fuerzas hidrostáticas (D = d – do). La carga de agua que ejerce presión sobre las superficies es H puesto que por debajo de ho no hay contacto con las superficies (H = h – ho). Tomando momentos respecto al pivote tendríamos lo siguiente:

La componente horizontal de la fuerza hidrostática sobre la superficie curva se cancela con la fuerza horizontal sobre la superficie plana pues ambas tienen el mismo valor y la misma ubicación. Los pesos del cuadrante, del contrapeso, etc. Estaban equilibrados al inicio de la experiencia, de modo que también se cancelan. Entonces:

Utilizando las mediciones efectuadas podemos determinar Xcp experimentalmente. Podemos representar de otro modo las fuerzas actuantes, sería equivalente al esquema mostrado anteriormente.

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Esquema de Fuerzas Hidrostáticas Actuantes Se tiene una fuerza horizontal sobre la superficie plana y la distribución de presiones en la superficie curva, equivalente a las componentes horizontal y vertical actuantes sobre esta. La fuerza horizontal sobre la superficie curva, Fh, es igual en magnitud y ubicación que la actuante sobre la superficie plana vertical.

Nuevamente, tomando momentos respecto al pivote tendríamos lo siguiente: La distribución de presiones genera fuerzas que pasan por el pivote de modo que no generan momento. Entonces:

Utilizando las mediciones efectuadas podemos determinar Ycp experimentalmente. 7.- presentación de los resultados a)

b) c) d) y (b). e) f)

Deducir las expresiones para calcular las componentes horizontales, F h, y vertical, Fv, de la fuerza hidrostática que ejerce el agua sobre la superficie curva en función del radio exterior R, el ancho B y la carga de agua H. Deducir las expresiones teóricas para hallar la ubicación del centro de presiones Xcp e Ycp (función de R y H). Calcular los valores de Fh y Fv para cada valor de H utilizando las expresiones deducidas en 1. Calcular los correspondientes valores de Xcp e Ycp utilizando las expresiones (a) Graficar Xcp vs H e Ycp vs H (6 puntos). Superponer las expresiones teóricas deducidas en 2 (línea recta o curva según corresponda).

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Fuerza vertical 𝑎

𝑎

𝑎

Fv=-∫0 𝑝𝑏𝑑𝑥=-b∫0 δ ∗ ℎ ∗ 𝑑𝑥 =-bδ∫0 (𝐻 − 𝑦) Para Y=√𝑅 2 − 𝑥 2 𝑎

=-δB∫0 (𝐻 − √𝑅 2 − 𝑥 2 )dx

𝑅2

𝑎 𝑅𝑎

𝑎

Fv=-δB(H*a- 2 ∗ sin−1 𝑅+ 2 √1 − (𝑅)2 ) Donde : B=ancho R=radio externo H=altura a=largo Fuerza horizontal: 𝐻

𝐻

𝐻

𝑦2 2

Fh=∫0 𝑝𝐵𝑑𝑦=B∫0 δ ∗ h ∗ dy=𝐵 ∗ δ ∫0 (H − y) ∗ dy=B* δ*(Hy- ) Fh=

𝐵∗ 𝛿∗𝐻 2 2

Donde : B=ancho R=radio externo H=altura

Hallando Xcp

𝑎

X=

𝑎

δ∗B∗∫0 𝑥(𝐻−√𝑅2 −𝑥 2 )∗𝑑𝑥 δ∗B∗∫0 𝑥(𝐻−√𝑅2 −𝑥 2 )∗𝑑𝑥 𝐹𝑣

=

Hallando Ycp

𝐻

𝐵∗ 𝛿 ∫0 𝑦(𝐻−𝑦)∗𝑑𝑦 𝐵∗𝛿∗𝐻 3 = 𝐹ℎ 𝐹ℎ

Y=

𝐹𝑣

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Hallando valores para fuerza vertical δ(peso específico)

b

h (m)

a (m)

R (m)

Fv (N)

9810 9810 9810 9810 9810 9810 9810 9810 9810 9810 9810

0,115 0,115 0,115 0,115 0,115 0,115 0,115 0,115 0,115 0,115 0,115

0,111 0,102 0,097 0,091 0,086 0,107 0,074 0,067 0,056 0,042 0,030

0,208 0,201 0,198 0,193 0,189 0,205 0,178 0,170 0,158 0,139 0,119

0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250

7,72 6,96 6,54 6,03 5,61 7,38 4,61 4,03 3,16 2,11 1,31

h (m)

Fh (N)

0,111 0,102 0,097 0,091 0,086 0,107 0,074 0,067 0,056 0,042 0,030

6,950 5,869 5,307 4,671 4,172 6,458 3,089 2,532 1,769 0,995 0,508

Hallando valores para fuerza horizontal δ(peso específico)

b (m)

9810 9810 9810 9810 9810 9810 9810 9810 9810 9810 9810

0,115 0,115 0,115 0,115 0,115 0,115 0,115 0,115 0,115 0,115 0,115

H (m) 0,178 0,169 0,164 0,158 0,153 0,174 0,141 0,134 0,123 0,109 0,097

H0 (m) 0,067 0,067 0,067 0,067 0,067 0,067 0,067 0,067 0,067 0,067 0,067

Hallando valores para Ycp Fh (N) 6,950 5,869 5,307 4,671 4,172 6,458 3,089 2,532 1,769 0,995 0,508

d (m) 0,250 0,220 0,200 0,180 0,160 0,140 0,120 0,100 0,070 0,040 0,020

W (N) 5,935 5,935 5,935 5,935 5,935 5,935 5,935 5,935 5,935 5,935 5,935

Yp (m) 0,213 0,222 0,224 0,229 0,228 0,129 0,231 0,234 0,235 0,239 0,234

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Hallando valores para Xcp Fv (N) 7,721 6,963 6,540 6,032 5,609 7,385 4,606 4,031 3,156 2,111 1,306

d (m) 0,250 0,220 0,200 0,180 0,160 0,140 0,120 0,100 0,070 0,040 0,020

W (N) 5,935 5,935 5,935 5,935 5,935 5,935 5,935 5,935 5,935 5,935 5,935

Xp (m) 0,192 0,188 0,182 0,177 0,169 0,113 0,155 0,147 0,132 0,112 0,091

Hallados en metros Grafica H vs Yc

Ycp vs H 0.120

H (altura)

0.100 0.080 0.060 0.040

Ycp vs H

0.020 0.000 0.210 0.215 0.220 0.225 0.230 0.235 0.240 Ycp

Grafica H vs Xcp

Xcp vs H 0.120 0.100 0.080 0.060

Xcp vs H

0.040 0.020 0.000 0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

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8.- cuestionario 1. Comente el ajuste obtenido de los resultados experimentales con los teóricos en los gráficos solicitados Xcp vs H e Ycp vs H.

2. ¿Existen puntos absurdos que deben ser eliminados? En nuestra grafica de Hvs Ycp hay algunos valores que no concuerdan a una sucesión ya que por ser división unos valores se hacen más grandes que otros y así sucesivamente. 3. ¿Qué fuentes de error podrían estar afectando sus mediciones y resultados? Uno de los factores que podría estar alterando la medición es la tensión superficial que se ejerce en toda la superficie de contacto. También podemos mencionar que durante nuestro ensayo en el laboratorio, tomamos datos secuencialmente, al llegar a la última medición se consideraron más datos que no habíamos tomado antes con lo cual se aumentó el volumen de agua para obtener las medidas. 4. ¿Al hacer la última medición, nuevamente para d = do = 10 cm, logra medir nuevamente el mismo valor de h = ho? ¿Por qué sí o por qué no? No se obtiene la misma medición debido a que el cuerpo al haber estado sumergido tiene una película de líquido en su superficie en otra palabras esta mojado, lo que genera que cambie su centro de gravedad momentáneamente y por consiguiente la posición de la pesa para estar de nuevo en la posición nivelada. 5. Indique tres casos de estructuras en los cuales requeriría calcular las componentes vertical y horizontal de la fuerza sobre una superficie curva y su punto de aplicación. Es de especial importancia el cálculo del centro de presiones en las siguientes estructuras: -Presas de embalse. -Muros de contención. -Estructuras de cimentación. 6. Conclusiones. -Se demuestra que los cálculos obtenidos teóricamente son exactos para el cálculo de presiones y líneas de acción de la fuerza resultante. -Los datos obtenidos experimentalmente se ajustan a los teóricos pero presentan desviaciones debido a los errores e inexactitud al tomar algunos datos, como la gravedad que se asume y la fricción que se origina en el pivote. -La densidad del agua experimental que se asume puede variar con respecto a la teórica. -Tratar de tomar datos secuencialmente, de mayor a menos o viceversa y evitar tomar datos que ya hayan pasado esta secuencia, de esta manera obtendremos una curva experimental que se ajuste más a la teórica sin puntos absurdos que deberán ser eliminados.

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ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES RESUMEN El laboratorio sobre la estabilidad de cuerpos flotantes estuvo orientado a encontrar la relación entre la flotabilidad y estabilidad de cuerpos en el agua y la distancia entre el metacentro y el centro de gravedad del mismo, misma relación que contempla variar un ángulo determinado de carena, el cual a su vez depende de la posición de la masa vertical que se encuentra en el equipo anexado a la masa vertical. En el laboratorio se realizaron mediciones de las dimensiones del equipo, así como la toma de datos sobre la experiencia, la cual consistió en variar la posición de las masas, primero la vertical para determinada altura, y luego esta última, y repetir el paso. Esto nos arrojó un resultado importante: la estabilidad y por tanto la flotabilidad de un cuerpo varia con distancia entre el metacentro y el centro de gravedad. Dicha distancia varía con el ángulo de carena antes mencionado. Esto puede observarse en la práctica ya que a medida que dicha distancia aumenta, el equipo es más inestable, no se puede equilibrar fácilmente para empezar a tomar medidas horizontales.

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INTRODUCCIÓN El experimento de laboratorio sobre la estabilidad de cuerpos flotantes tuvo como objetivo el estudiar y analizar la flotabilidad de cuerpos, así como las condiciones de estabilidad rotacional. Para ello es necesario estudiar definiciones como metacentro, altura metacéntrica, baricentro y ángulo de carena. Asimismo, la experiencia sirvió para diferenciar los distintos tipos de estabilidad, es decir, vertical, lineal y rotacional. La estabilidad de un cuerpo flotante es de gran importancia en el ámbito de la Mecánica de Fluidos, lo que conlleva a ser de gran interés y estudio por la ingeniería, pues ésta es la encargada de diseñar las distintas estructuras hidráulicas presentes en diversas obras. Gracias al estudio de esta teoría se puede determinar la seguridad que tiene un cuerpo cuando se desplace por un fluido sin volcarse sobre este. Un cuerpo flotante es estable siempre y cuando su centro de gravedad esté por debajo del metacentro, el que en el caso de rotación (tal como se llevó a cabo en el experimento) varía de posición, lo que conlleva a que dependiendo de cuánto varíe y que no rompa la condición de equilibrio antes mencionada, el cuerpo siga flotando. En la experiencia se pudo observar cómo varía la estabilidad del cuerpo a medida que vaya rotando, lo que se verifica con la teoría. Con el conocimiento de la altura metacéntrica y la ubicación del centro de gravedad se determinará si el equilibrio que presente el cuerpo es estable, inestable o diferente. Luego del experimento se procederá a comparar resultados hallados teóricamente. Llevar a cabo la experiencia implicó utilizar un aparato que consiste de un pequeño flotador rectangular que incorpora pesos móviles que permite la manipulación del centro de gravedad y la inclinación transversal, los resultados prácticos son tomados para la estabilidad de cuerpos flotantes en diferentes posiciones, y estos son comparados con los resultados teóricos.

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MÉTODOS Y MATERIALES El equipo consta de una barcaza rectangular de metal que flota libremente en agua y de un vástago vertical soportado por cuerdas del que pende un hilo con plomada, que permite leer en grados el ángulo de carena de la barcaza, el cual varía mediante el desplazamiento de una masa de 200 gr. a lo largo de un riel horizontal transversal a la barcaza. El centro de gravedad puede variar por medio de una masa deslizable (de posición) de 500 gr que puede colocarse en diferentes posiciones a lo largo del vástago.

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PROCEDIMIENTO DEL EXPERIMENTO En el presente laboratorio se determinó las alturas metacéntricas, para diferentes posiciones del centro de gravedad del cuerpo flotante. Para la práctica el equipo consta de la barcaza, masa deslizante por un eje vertical y masa deslizante por un eje horizontal. La masa deslizante vertical sirve para modificar la posición del centro de gravedad del cuerpo flotante. La masa horizontal es la que determina la variación de la posición del centro de empuje. El centro de gravedad, por su parte, siempre pasa por el eje de simetría del sistema. El procedimiento a seguir es el siguiente: a) Registrar los pesos de la barcaza (W), el peso deslizante (mh), el peso ajustable, el largo y ancho de la barcaza. b) Definir un sistema de coordenadas ubicado en el cruce de los ejes de deslizamiento de las masas, siendo X el deslizamiento horizontal e Y el deslizamiento vertical desde este punto. c) Cada posición del centro de gravedad del cuerpo flotante o Sistema se fija con la pesa que se desliza por la barra vertical (perpendicular a la base del cuerpo). A este desplazamiento vertical se denomina Y. d) Colocar la masa vertical en una determinada posición, anotando el valor de Y, y se coloca la masa horizontal en el origen de coordenadas. El ángulo que forma el péndulo en el transformador o ángulo de carena debe de ser cero para esta posición, girando la masa vertical en caso contrario hasta ubicarlo en el origen. e) Deslizar la masa horizontal con apoyo de la regla horizontal hasta colocarla en una determinada posición. Se anota la posición X y el ángulo de carena una vez alcanzado el equilibrio. f) Repetir el paso anterior cuantas veces se crea conveniente (tres mínimo). En el experimento llevado a cabo se realizó 7 veces. g) Variar la posición del centro de gravedad deslizando la masa vertical, repitiendo el paso tres y cuatro nuevamente.

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RESULTADOS Y DISCUSIÓN CUESTIONARIO a) Realice la deducción de las fórmulas necesarias En esta parte procederemos esencialmente a calcular el valor de MG. Para esto procedemos a ubicar en la FIGURA 1.

b)

FIGURA N° 1(DE PDFCOKE.COM)

A continuación procedemos a tomar momentos en el centro de empuje, de esta manera lograremos eliminar el componente del empuje que genera el agua.

∑ 𝐌𝐜′ = 𝟎

̅̅̅̅̅sen𝛂 L =𝐌𝐆

𝐖𝐡 a= 𝐖𝐬 *l

𝐚 𝐖𝐡 ̅̅̅̅̅= 𝐌𝐆 𝐬𝐞𝐧𝛂(𝐖 +𝐖 ) 𝐛

𝐯

Pero no conocemos el valor de a, por lo que procedemos ha, calcularlo mediante lo siguiente:

𝒂 = 𝑿 ∗ 𝒄𝒐𝒔(∝) − 𝐝 Ahora procedemos a calcular el valor de d, lo haremos como se muestra a continuación, en la FIGURA N°1 que d, puede hallarse de la siguiente manera:

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̅̅̅̅̅ sen∝= (𝐂𝐌 ̅̅̅̅̅-𝐎𝐂 ̅̅̅̅) sen∝ d=𝐎𝐌

En el presente laboratorio, determinamos la distancia metacéntrica usando la siguiente ecuación: c) 𝑀𝐺 = a: Wh: 𝑊𝑠 :

𝑊ℎ 𝑊𝑠

𝑎

𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜃

desplazamiento de la masa horizontal peso de la masa horizontal peso del sistema (sin incluir masa horizontal)

Distancia del metacentro al baricentro: 𝐼

d) 𝑀𝐵 = 𝑉 I: momento de inercia del sistema V: volumen desalojado Ubicación del centro de gravedad del sistema (sin considerar la masa horizontal): e) 𝐺𝐵 = 𝑀𝐵 − 𝑀𝐺

B ) definir los siguientes términos: Cuerpo flotante

Masa que permanece en reposo en el nivel de agua. Esto debido al Principio de Arquímedes, el cual explica la fuerza de empuje que permite al cuerpo permanecer en el agua estable y sin volcarse. Un cuerpo en un fluido es considerado estable si regresa a su posición original después de habérsele girado un poco alrededor de un eje horizontal. Las condiciones para la estabilidad son diferentes para un cuerpo completamente sumergido y otro parcialmente sumergido (se encuentra flotando). Los submarinos son un ejemplo de cuerpos que se encuentran completamente sumergidos en un fluido. Es importante, para este tipo de cuerpos, permanecer en una orientación específica a pesar de la acción de las corrientes, de los vientos o de las fuerzas de maniobra.

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Plano de flotación Sea un sólido flotando en un líquido. El plano intersección del sólido con la superficie libre del líquido se le llama plano de flotación. El hecho de que cambie la posición del sólido respecto del líquido es un problema de movimiento relativo, por lo que será lo mismo cambiar el sólido de posición y dejar el líquido quieto y mover el líquido. Con lo cual, como se puede observar en la figura se puede cambiar o girar el plano de flotación para representar el movimiento del cuerpo.

Línea de flotación La línea de flotación es la línea formada por la intersección del plano formado por la superficie del agua con el casco de un barco; separando la parte sumergida (obra viva), de la que no lo está (obra muerta). Es variable en función de la carga, de las características del agua, de la estiba y de otros factores. No hay que confundirla con la línea de carga o francobordo. En términos coloquiales, la expresión "línea de flotación" suele referirse a aquello sobre lo que se asienta un concepto o un sistema determinado.

Centro de flotación El punto sobre el que puede considerarse que actúan todas las fuerzas que producen el efecto de flotación se llama centro de flotación, y corresponde al centro de gravedad del fluido desplazado. El centro de flotación de un cuerpo que flota está situado exactamente encima de su centro de gravedad. Cuanto mayor sea la distancia entre ambos, mayor es la estabilidad del cuerpo. El principio de Arquímedes permite determinar la densidad de un objeto cuya forma es tan irregular que su volumen no puede medirse directamente. Si el objeto se pesa primero en el aire y luego en el agua, la diferencia de peso será igual al peso del volumen de agua desplazado, y este volumen es igual al volumen del objeto, si éste está totalmente sumergido. Así puede determinarse fácilmente la densidad del objeto (masa dividida por volumen) Si se requiere una precisión muy elevada, también hay que tener en cuenta el peso del aire desplazado para obtener el volumen y la densidad correctos.

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Eje de Flotación El eje sobre el que actúa la fuerza de flotación que pasa por el punto CF.

está representado por la línea vertical AA’

Vamos a suponer que el cuerpo tiene una distribución de masas homogénea, por lo que el centro de gravedad CG estará ubicado en el centro geométrico del volumen total del cuerpo (V). El eje vertical del cuerpo está representado por la línea BB’ y pasa por el punto CG. Cuando el cuerpo está en equilibrio, los ejes AA’ y BB’ coinciden y la fuerza de flotación y el peso actúan sobre la misma línea vertical, por tanto son colineales, como muestra la figura.

Carena En el ámbito de Mecánica de Fluidos, carena se denomina al volumen sumergido debajo del nivel de agua, el cual es equivalente al volumen de agua desplazado por la masa en cuestión.

Desplazamientos Los desplazamientos llevados a cabo en el laboratorio fueron tanto verticales como horizontales. Los primeros se llevaron a cabo en la masa vertical del equipo, mientras que los segundos por la masa horizontal que se desplazaba mediante el eje que reposaba en el cruce de ambas masas. Dichos desplazamientos fueron registrados mediante reglas en los dos ejes. Centro de carena o centro de empuje Centro de carena es el centro de gravedad del volumen de agua desplazado por un flotador, para una condición dada. También se conoce con el nombre de centro de empuje, ya que es con fines de estabilidad donde se considera aplicada dicha fuerza.

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Se representa con la letra C y en algunas publicaciones con la letra B para equipararlo al "center of buoyancy" del inglés. Dado el movimiento del buque en las olas, la posición del centro de carena es variable y depende de la forma y volumen de casco sumergido en ese instante. La curva en el plano trasversal que describe el centro de carena para los diferentes ángulos de rolido, se denomina Curva del centro de carena y sus radios: Radios de curvatura.

Empuje La fuerza de empuje es una fuerza que aparece cuando se sumerge un cuerpo en un fluido. El módulo de ésta viene dado por el peso del volumen del fluido desalojado. Se produce debido a que la presión de cualquier fluido en un punto determinado depende principalmente de la profundidad en que éste se encuentre (en otras palabras, a la cantidad de fluido que tenga encima). Esta presión ejerce una fuerza sobre cualquier cuerpo sumergido en el fluido y tiene la propiedad ser perpendicular a la superficie del cuerpo.

CÁLCULOS Y RESULTADOS En el trabajo de laboratorio, pudimos obtener los siguientes datos que se muestran en la TABLA N°1.

TABLA N° 1

ᶿ(ÁNGULO)-MASA DESLIZANTE HORIZONTAL H(cm)

A 3cm

A 5 cm

A 7 cm

13 15 17 20 23 31

1,15º 1,2º 1,4º 1,5º 2º 7,4º

1,8º 1,9º 2,2º 2,5º 3,3º 9,1º

2,55º 2,7º 3º 3,6º 4,5º

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En la guía de laboratorio nos indican los siguientes datos esenciales, que se encuentran en la TABLA N°2.

c) Graficar para cada posición: X vs. H en una sola gráfica. ¿Qué conclusiones puede obtener de la gráfica?

X vs H 5 4.5

DISTANCIA EN X

4 3.5 A 3cm

3

A 5 cm

2.5

A 7 cm 2 1.5 1 12

14

16

18

20

22

24

ALTURA H

En la gráfica que tenemos podemos observar como varia la distancia metacéntrica, cada vez que vamos cambiando de posición la masa que se encuentra a lo largo del vástago. Se concluye de la gráfica que mientras más pequeño sea el metacentro en este ensayo, la barcaza será aún más inestable hasta llegar a inundarse. Porque al estar cada vez cerca al metacentro, el momento que producirá la masa cilíndrica, generara una fuerza restitutiva mucho mayor, lo que genera que la barcaza se voltee, ya que al girar superar la altura de calado.

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d) Podría ubicar para cada caso el Centro de Gravedad del Sistema? Si podríamos hacerlo, ya que al tener las dimensiones de la barcaza, conoceríamos y además la distancia MG y el ángulo su cálculo ya está realizado. e) Traficar la familia de curvas Y vs. H para diferentes desplazamientos X en una sola gráfica. ¿Qué puede decir de este gráfico?

Cálculos En la condición inclinada, tomamos momentos respecto a la línea de acción del centro de empuje.

MG: Altura metacéntrica, H. Para determinar el valor “a”, se sugieren las siguientes expresiones, halladas geométricamente:

s: Calado de la barcaza hb: Altura de la barcaza ho: Altura del centro de coordenadas respecto al borde superior de la barcaza La distancia BM es determinada según la siguiente expresión:

I: momento de inercia de la sección al nivel del agua V: Volumen sumergido I se calcula de la siguiente manera:

L: Largo de la barcaza D: Altura de la barcaza

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4. Resultados Ws Wh L D W

S1

S2

S3

S4

S5

X (cm) 3 5 7 3 5 7 3 5 7 3 5 7 3 5 7

θ(º) 1,15 1,80 2,55 1,20 1,90 2,70 1,40 2,20 3,00 1,50 2,50 3,60 2,00 3,30 4,50

3545,1 98,8 370 74 500

d (cm) 0,044 0,068 0,097 0,045 0,072 0,102 0,053 0,083 0,114 0,057 0,095 0,136 0,076 0,125 0,170

Realice la deducción de las fórmulas necesarias

Deducción

gr gr mm mm gr

a (cm) 2,956 4,929 6,897 2,954 4,925 6,890 2,946 4,913 6,877 2,942 4,901 6,850 2,922 4,867 6,808

MG (cm) 11,829 12,605 12,450 11,329 11,932 11,748 9,685 10,280 10,554 9,028 9,024 8,762 6,726 6,791 6,970

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Para determinar una relación cuantitativa para la distancia GM observamos el grafico la cual muestra la sección transversa uniforme. Hay que derivar una expresión para X , la coordenada x del centroide del volumen desplazado. Puede ser derivada considerando que el volúmenes el volumen original más la cuña agregada con área de sección transversal DOE menos la cuña restada con área de sección trasversal AOB para localizar el centroide de un volumen compuesto, se toma momento como sigue:

Donde Vo es el volumen original bajo el agua, V1 es el área DOE por la longitud, V2es el area AOB por la longitud; se supone que la sección transversal es uniforme de manera que la longitud l es constante para el cuerpo. La cantidad X0 , la coordenada x de punto C, es cero. Los dos términos restantes se representan mejor como integrales de modo que.

Por lo tanto dv=xtan dA en el volumen 1 y dv=-x tan dA en el volumen 2, donde dA= ldx, l es la longitu constante del cuerpo. La ecuación de arriba se convierte en:

Donde I0 es el segundo momento (momento de inercia) del área al nivel de la línea de flotación en torno a un eje que pasa por el origen O. el área al nivel de la línea de flotación sería la longitud AE por la longitud l del cuerpo si l fuera de longitud constate con X =CMtang se escribe.

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Definir los siguientes términos



Cuerpo flotante.- es todo cuerpo en el cual el empuje que origina el desplazamiento del volumen de un fluido es mayor al peso propio del cuerpo.



Plano de flotación.- es el plano de interfase entre dos fluidos.



Línea de flotación.- es la línea que se produce de la intercepción del plano de flotación con el cuerpo que se encuentra entre ambos fluidos.



Centro de flotación.- es el centro de gravedad del volumen desalojado por un cuerpo en un fluido.



Eje de flotación.- línea vertical que pasa por el centro de flotación.



Carena.- es la superficie de contacto de un cuerpo con un fluido.



Desplazamientos.- distancias que se mueve un cuerpo.



Centro de carena.- es el punto de aplicación de las resultantes de los empujes de un fluido sobre la superficie sumergida de un cuerpo.



Empuje.- fuerza resultante de las presiones hidrostáticas por el desplazamiento del volumen de un fluido es igual al peso del volumen desplazado.

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Graficar para cada posición: X vs. H en una sola gráfica. ¿Qué conclusiones puede obtener de la gráfica?

DISTANCIA MG

posicion vs MG 12.7 12.6 12.5 12.4 12.3 12.2 12.1 12 11.9 11.8 11.7

posicion vs MG

0

2

4

6

8

POSICION DE Wh

Se muestra la grafica de la posición de la masa que se mueve horizontalmente versus la distancia Metacentro para cuando la masa vertical permanece en una sola posición V1. Obsérvese que la distancia metacéntrica sufre pequeñas variaciones de más a menos.

¿Cuáles son las aplicaciones en el campo en la Ingeniería Civil que se le puede dar a la ubicación de la altura metacéntrica? - Prolongación de muelles -Plataformas flotantes semi-sumergibles -Diseño de cruceros -Diga Ud. Cuál es el límite de un cuerpo estable e inestable. El cuerpo flota estable cuando la altura metacéntrica zm es positiva, es decir, cuando el metacentro M se encuentra por encima de centro de gravedad S. zm > 0

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El cuerpo flota inestable cuando la altura metacéntrica zm es negativa, es decir, cuando el metacentro M se encuentra por debajo del centro de gravedad S. zm < 0

Conclusiones



Se demuestra que un cuerpo flotante que tenga su centro de gravedad por debajo de su centro de flotación se encuentra en equilibrio estable.



Cuando el metacentro M se encuentra por debajo de CG el equilibrio es inestable.



A mayor distancia de la masa horizontal con respecto a su posición inicial (x=0), la altura metacéntrica será menor.

 También podríamos determinar la altura metacéntrica aplicando una fuerza externa al cuerpo flotante haciéndolo rotar y modificando su estado de equilibrio. 

El ángulo de carena, el cual es formado por la vertical que pasa por el metacentro, y la línea que une dicho punto con el centro de gravedad, indica la estabilidad de cuerpos flotantes, pues a medida que dicho ángulo varíe también lo hace la distancia entre los puntos antes mencionados.



A medida que se desplaza la masa vertical, por la inestabilidad explicada anteriormente, es más difícil conseguir equilibrio para poder comenzar a medir las distancias horizontales y el ángulo de carena, por lo que los datos no son tan acertados.