Centro De Gravedad Ejercicios Resueltos

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EJERCICIOS RESUELTOS CENTRO DE GRAVEDAD 1. La figura mostrada es una lámina de acero de densidad uniforme, determinar coordenadas del centro de gravedad.

las

2. Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la siguiente figura homogénea. 2 2

10 cm

2

5

5 cm 10 cm

a)  4, 67; 4,67 

b)  6, 33; 4,67 

c)  4, 67; 4,67 

d)  6, 67; 4,67 

d)  6, 67; 3,67 

3

a)  6, 38; 1,13 

b)  6, 38; 2,13 

c)  4, 38; 0,13 

d)  6, 38; 0,13 

e)  5, 38; 0,18  Solución: Asignamos números a los componentes: Y

Solución: Dividimos el gráfico en figuras conocidas:

2

Y

2 2 1

2 10 cm

12 cm

1 2

xi 6 8

yi 3 8

1

Ai 72 36 108

xiAi 432 288 720

720  6, 67 108 504 yc   4, 67 108

yiAi 216 288 504

2

16 3 2

X

3

2

24

xiAi 128

8 3

–3

6

21

134

134  6, 38 21 8 y c  3  0,13 21  6, 38; 0,13 

Ai

yiAi 32 3 –8

8 3

xc 

xc 

 6, 67; 4,67 

Elaborando una tabla: Fig. xi yi

X

Elaborando una tabla: Fig.

5

1

6 cm

2

Rpta.

Rpta. 1

www.EjerciciosdeFísica.com 3. Hallar la suma de las coordenadas del centro

de gravedad de la varilla doblada en U, que se muestra en la figura:

5 cm

5 cm

a) 4 d) 6

b) 5 e) 4,8

c) 4,5

Solución:

dos partes iguales formando un ángulo de 60°. ¿A qué distancia del vértice “O” se encuentra el centro de gravedad de la varilla doblada? 7 3 a) 2 O 5 3 b) 3 60º 3 3 c) 2 7 3 d) 8 5 3 e) 2 Solución: Ubicamos de manera conveniente en un eje de coordenadas: Y 1

Y

5 cm

4. Una varilla de 20 cm de largo se dobla en

1

3 2

1 2 3

0 2,5 5

2,5 0 2,5

x iL i

y iL i

5 5 5 15

0 12,5 25 37,5

12,5 0 12,5 37,5

37, 5 375 5   15 150 2 37, 5 375 5 yc    15 150 2

10 cm

1 2

5 2 5

5 3

3

0

X

x iL i

y iL i

10

25

25 3

10 20

50 75

25 3

75 15  20 4 25 5 yc  3 20 4 Por Pitágoras: xc 

d

O

2

2

Construimos nuestra tabla: Fig. xi yi Li

Luego:

Rpta.

(x c , y c )

d 5 30º

O

Li

xc 

x c  yc  5

5 3 2

X

5 cm

Elaborando una tabla: Fig. xi yi

5

5 2

yc

3 C.G.

xc

0

www.EjerciciosdeFísica.com 2

3

2

5  2  15  d  3    4  4  225 75 300 2 d    16 16 16 5 3 d 2

a 2

 2 a 4

Rpta.

5. Hallar la coordenada yC del C.G. de la placa mostrada.

Luego: 1 3 a yc  2  2 a 4

2a 3 5a d) 4

b)

Solución: Dividimos la (semicírculos).

placa

c)

2a 

c) 147 m

en

formas

0

1 3 a 2

a 12

Rpta.

conocidas

B

Solución:

A 154 m

(x 3, y 3 )

O

3

4a 3

60º 154 m

(x c , y c )

1

2

O

e) 125 m

(x1, y1) 4a 3

OG 

X

2a

Elaboremos la tabla de valores:

OG 

xi

yi

Ai

xiAi

yiAi

0

4a 3

 2 a 2

0

2 3 a 3

2a 3

 2  a 8

a 16

a 2

3



d) 152 m

Y

(x 2, y 2)



3

a 16

de vía férrea curvada según se muestra en la figura. Si se sabe que el radio de curvatura es 22 igual a 154 m. Considere:   . A 7 a) 150 m 154 m b) 145 m

a 2

3a 2 3a e) 

a)

2

2a 

 yc 



6. Determinar la posición del C.G. de un carril

a 2

1

 2  a 8

2a 3

3



3

a 12

G

154 m

Rsen  

154 sen

30º

B

 6

 6 1 154( ) 2  6(7)(77) OG  1 22 22 ( ) 6 7 OG  147 m

Rpta. 3

www.EjerciciosdeFísica.com 7. Hallar el centro de gravedad del alambre, en función de “R”, con respecto al sistema de coordenadas que se indica.

2

2R R  2R  Finalmente: yc 

1  C.G.  R  1,   

Y

R

Rpta.

8. Determinar la posición del centro de

R 2

gravedad de la placa que se muestra: 20 cm

X

R 2

5 cm

1  a) R  1,   2  2  d) R  1,   

1 b) R  2,    4  e) R  1,  3  

1 c) R  1,   

12 cm 22 cm

8 cm

Solución: Y

14 cm

1 R

O

2r 

R/2

2r 

R/2 X

Y

x iL i

y iL i

2

2R 2

2

R2 2

1

R

2R 

R

R

2

3R 2

R 

R 2

3R 4

3

R 2

R 2

R 4

R 

2R De donde: xc 

4

2

2R R 2R

2

2 R

2



b) (7,50; 11,53) d) (6,34; 10,65)

Solución: Dividimos la figura en formas conocidas:

3

Completamos nuestra tabla: xi yi Li



a) (7,58; 10,48) c) (7,25; 11,06) e) (7,31; 11,61)

2

2R 

20 cm

5 cm 12 cm 22 cm

2

R 2

2R 2

8 cm 14 cm

X

Las áreas parciales son rectángulos, sus centros de gravedad son las intersecciones de sus diagonales.

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xi

yi

Ai

10 4 7

19,5 12,5 4

100 72 112 284

2072  7, 30 284 Finalmente: C.G.  (7, 31; 11,61) xc 

xiAi

yiAi

h 2  4R 4 h  4R

c) 2R

R R

Solución: Sea el origen de coordenadas el centro de gravedad (punto de contacto). C.G.  (x c , y c )  (0, 0) Y

Cálculo de Volúmenes: Vcono  Vesfera

Fig.

R h 3

4 R  3

C.G. h

h 4

3

X

R

yi

Vi

y i Vi

1

h 4

2

R h 3

R h 12

2

–R

4 R 3

3

2 2

R h 4 R  12 3 2

b) 4R

2

4

Rpta.

colocado un cono cuya base circular tiene su radio igual al de la esfera. ¿Qué altura debe tener dicho cono para que el C.G. del sistema se encuentre en el punto de contacto? a) 3R

e) 5R

2 2

R h 4 R  12 3 0 yc  2 3 R h 4 R  3 3

9. Sobre una esfera maciza de radio “R” se ha

d) R

La coordenada y c debe ser cero:

1000 1950 288 900 784 448 2072 3298 3298 yc   11, 61 284

2 2



4 R 3

4

2

 h  16R

2

Rpta.

10.

Calcular el ángulo de equilibrio para la plancha metálica semicircular mostrada. 2  a) arc tan    3  4  b) arc tan    3   5  c) arc tan    3  4  R d) arc cot    3  e) arc tan 2 Solución: Por condición de equilibrio de un cuerpo suspendido, la vertical que contiene la cuerda debe pasar por su C.G. Además de ubicarse sobre su eje de simetría. 4R Se sabe que: y  3 En el triángulo rectángulo: 4R 4 tan   3  R 3  4     arc tan   3 

Rpta.

4

5

www.EjerciciosdeFísica.com 11.

Un alambre rígido homogéneo de 25 cm de longitud es doblado como se indica en la figura. ¿Cuánto debe medir “x” para mantener equilibrio? O x

Solución: Ubicamos el origen de coordenadas en el centro del círculo mayor (Eje de simetría – eje Y). Y

5 cm

2

a) 10 cm d) 12 cm

b) 15 cm e) 16 cm

c) 10 cm

Solución: D.C.L. de la barra

5

(x c , y c ) W2

x  10

B

O

20  x

R

A W1

C 10

Elaborando el cuadro respectivo: Fig. yi Ai

x

1

0

2

R 2

Como el alambre es homogéneo, su peso es proporcional a su longitud: M 0  0 :

W1(20  x)  W2(x  10)  0 5k(20  x)  20k(x  10)

x  12 cm

12.

Rpta.

Determinar la coordenada y c del centro de gravedad de la figura. R  4 cm . R a)  4 R b)  5 2R c)  5 R R d)  6 3R e)  8

6

X

R

1

yc 



R 8

R

yiAi

2

0

R 2 4



R 3 8

3 2 R 4



R 3 8



3

3 2 R 4

 yc 



R 6

Rpta.

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Encuentre las coordenadas del C.G. de la placa metálica de espesor uniforme. Considere π = 3,1. Y(cm) 30 cm

30 cm

6 cm

10 cm

X(cm)

 Hallando las coordenadas del gravedad y las áreas respectivas. Área X 900 cm2 15 36π cm2 24

centro de Y 15 10

Para la absisa A x  A 2x 2 900  15   36  24  x 1 1  A1  A 2 900  36

x  13,7 cm  Ahora para la ordenada. A y  A 2y 2 900  15   36  10  y 1 1  A1  A 2 900  36

y  15,7 cm  Entonces el centro de gravedad es: C.G. = (13,7; 15,7)

7