Cd_trabajo_colaborativo_1_100410_74 Calcula Diferencial.docx

TRABAJO INDIVIDUAL

CALCULO DIFERENCIAL Código 100410_74

YURANY ROCIO BONILLA CERINZA CODIGO: 1.118.548084 LEONOR CASTIBLANCO CODIGO: 52616163 DIANA YENNI CISNEROS CODIGO: 41251257 KEYVIN JOHAN CARRASCAL TORRES CODIGO: 1.090.465.575 VIANEY MONROY CODIGO:

TUTORA: JACKSON URIEL URRUTIA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS AGRÍCOLAS, PECUARIAS Y DEL MEDIO AMBIENTE 2017

INTRODUCCION

El cálculo diferencial es una parte del análisis matemático que consiste en el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencia El estudio del cambio de una función es de especial interés para el cálculo diferencial, en concreto el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Y es que el cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite. El paso al límite es la principal herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia claramente del álgebra. Desde esta perspectiva el trabajo colaborativo, correspondiente a la unidad 1, desarrolla la temática relacionada con sucesiones y progresiones, las cuales deberán ser aplicadas por los estudiante, en el desarrollo de los ejercicios que se componen de tres fases individuales, las cuales serán unificadas en el trabajo colaborativo final. Por lo tanto, la actividad tiene como objetivo que cada estudiante se apropie de los conocimiento de la unidad y así poder desarrollar los ejercicios seleccionados, teniendo en cuenta que es una temática que aplicamos a diario en nuestra vida cotidiana, aunque muchas veces no lo percibimos, por ejemplo para estudios sobre financiamiento, rendimiento de inversiones entre otras.

DESARROLLO ESTUDIANTE N°1: YURANY BONILLA

FASE N°1 Ejercicio n°1 2). De las siguientes sucesiones, Determinar si son monótonas y si convergen o divergen, justificar la respuesta.

3,8,15,24,35,48.. 3 > 8,15 > 8, 24 > 15, 35 > 24, 48 > 35 … Los números van en aumento entonces la sucesión diverge.

3) Encuentre el primer término de una progresión cuya diferencia común es 1/2 y la suma de sus tres primeros términos es 10. Adicionalmente, plantee el término general. 1

1

𝑎1 , 𝑎1 + 2 + 2 (2) 1 𝑎1 , 𝑎1 + , 𝑎1 + 1 2 1



𝑎1 =

𝑎1 + 𝑎1 + 2 + 𝑎1 + 1 = 10 1 17 3𝑎1 = 10 − 1 − = 2 2 17 6

Entonces 1 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ( ) 2 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛 =

17 1 + (𝑛 − 1) ( ) 6 2 17 3

𝑛

+2

14 + 3 6

4.) Se deja caer una pelota de goma desde la altura de 15 m. Después de cada rebote sube a 9/11 de la altura de que cae. ¿Qué espacio recorre antes de llegar al reposo? 𝑎1 = 15 𝑆𝑛 = 

𝑎1 1−𝑟 𝑠𝑛 =

15 9 1− 11

=

15 9 11− 11

=

15 2 11

=

11.15 2

= 82.5𝑚

Recorre 82.5m antes de llegar al reposo

FASE N°2 FASE N°3

DESARROLLO ESTUDIANTE N°2: LEONOR CASTIBLANCO TIJARO

FASE N°1 1. De las siguientes sucesiones determinar la cota inferior y/o superior. 𝒏+𝟏 𝟑𝒏 SOLUCIÓN Procedemos a demostrar que la que la sucesión de cota superior o inferior 𝑈𝑛 =

𝑛+1 3𝑛

2 3 4 5 6 → 𝑈𝑛 = { , , , , … … … … … } 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑣𝑎 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 3 6 9 12 15 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜

𝑛+1 2 ≤ 𝑒𝑠 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 (∞) 3𝑛 3 De acuerdo con lo observado, podemos inferir que a medida que 𝑛 crece la sucesión tiende hacia 1/3 decreciendo, Entonces la sucesión tiene como cota inferior infinito y como cota superior 1/3 Por consiguiente la sucesión es acotada.

2. De las siguientes sucesiones, determinar si son monótonas y si convergen o divergen, justificar la respuesta. 𝟓, 𝟏𝟎, 𝟏𝟕, 𝟐𝟔, 𝟑𝟕, 𝟓𝟎 SOLUCIÓN 22 + 1, 32 + 1, 42 + 1, 52 + 1 , 62 + 1, 72 + 1 Estas sucesiones es monótona creciente ya que 𝑎1 < 𝑎2 < 𝑎3 … … . . < 𝑎𝑛 , es decir que cada término es mayor que el anterior. Por otro lado la sucesión se diverge, porque no tienen un límite finito, porque los números van aumentando y nunca se van a estabilizar, es decir cada vez se va haciendo más grande, por lo tanto al representarlo los puntos se van alejando del punto de origen.

3. En una progresión aritmética el primer término y el último término son 37 y 307 respectivamente. Halle el décimo término si la suma de sus términos es 3767.

SOLUCIÓN 𝑎1 = 37 𝑎𝑛 = 307 𝑆𝑛 = 3767 Sabemos que:

𝑆𝑛 = (

𝑎1 + 𝑎𝑛 ).𝑛 2

𝑆𝑛 = 𝑆𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑛 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑃𝐴 𝑎1 = 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠

Ahora podemos hallar el número de términos n: 37 + 307 3767 = ( ).𝑛 2

3767 = (172). 𝑛

𝑛=

3767 = 21,9 172

Ahora aplicando la fórmula del último término, podemos calcular la diferencia de la progresión d: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). 𝑑 307 = 37 + (21,9 − 1). 𝑑 307 − 37 = (20,9). 𝑑 20.90𝑑 = 270 𝑑=

270 20,9

𝑑 = 12,92

Finalmente procedemos a obtener lo que nos pide el ejercicio, el decimo término 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). 𝑑 𝑎10 = 37 + (21,9 − 1). 12,92 𝑎10 = 37 + (20,9). 12,92 𝑎10 = 307,03 4. Un pueblo que tenía 15.000 personas, no tiene hoy más que 6561. La disminución anual ha sido la quinta parte de los habitantes. ¿Cuántos años hace que tenia 10.000 personas dicho pueblo? SOLUCIÓN Sea 𝑎1 , el primer término de la progresión: 15000 Sea 𝑎𝑛 , el último término de la progresión: 6561 Por lo tanto, al tener en cuenta que la situación planteada indica que la disminución anual ha sido la quinta parte, es posible calcula el 2° es decir 𝑎2 , de la siguiente manera: Disminución anual: 1 ∗ 15000 = 3000 5

Luego en el primer año se tendrá una disminución de: 15000 − 3000 = 12000 Por lo tanto 𝑎2 = 12000 Ahora calculamos la razón de la progresión: 𝑟=

𝑎2 12000 400 = = = 0,8 𝑎1 15000 500

El tercer termino seria 𝑎𝑛 = 𝑎1 . 𝑟 𝑛−1 𝑎3 = 15000. (0,8)3−1 𝑎3 = 15000. (0,8)2 𝑎3 = 15000 ∗ 0,64 𝑎3 = 9600 Cuarto termino 𝑎4 = 15000. (0,8)4−1 𝑎4 = 15000. (0,8)3 𝑎4 = 15000 ∗ 0,512 𝑎4 = 7680 Quinto termino

𝑎5 = 15000. (0,8)5−1 𝑎5 = 15000. (0,8)4 𝑎5 = 15000 ∗ 0,4096 𝑎5 = 6144 RTA/ Hace tres años que el pueblo tuvo 10.000 personas

FASE N°2 b) 𝑈𝑛=9−4𝑛

Esta es una progresión aritmética; porque su término obtiene cogiendo en anterior y sumándole la diferencia. Razón o diferencia común: 1 Progresión creciente. FASE N°3 Las sucesiones y progresiones son importantes, ya que podemos aplicarla en nuestra vida personal cuando necesitemos realizar inversiones, porque por medio de progresiones conoceremos la rentabilidad que se obtendrá en determinado tiempo a determinada tasa de interés. En relación con la carrera profesional en este caso ingeniería ambiental, se puede aplicar en el momento que nos soliciten calcular el nivel de contaminación que generar las empresas a los ríos en un determinado tiempo, permite por lo tanto analizar si se debe ejerce una acción correctiva y en cuanto tiempo esta tendrá efecto.

DESARROLLO ESTUDIANTE N°3: DIANA CISNEROS FASE N°1 1. De las siguientes sucesiones determinar la cota inferior y/o superior. 1 3𝑛 Desarrollo 1 3𝑛 Reemplazamos en los naturales. 1 3

1 1 1 6 9 12

1 15

Se puede denotar la que la cota superior M es 1 3 La cota inferior tiende a cero, ya que a medida que amos aumentando de valores la sucesión se hace más pequeña. lim  

𝑛→±∞

1 =0 3𝑛

2. De las siguientes sucesiones, Determinar si son monótonas y si convergen o divergen, justificar la respuesta. 2 5 8 11 14 , , , , ,… 4 9 16 25 36

Desarrollo La sucesión tiene la forma 𝑎𝑛 = Remplazando en más valores

3𝑛 − 1 (𝑛 + 1)2

1 5 1 11 7 17 5 23 13 29 2 35 19 41 11 47 25 53 , , , , , , , , , , , , , , , , , ,… 2 9 2 25 18 49 16 81 50 121 9 169 98 225 64 289 162 361

Se puede denotar que la sucesión no presenta monotonía, ya que los valores aumentan y disminuyen a través de su dominio. lim  

𝑛→∞

3𝑛 − 1 =0 (𝑛 + 1)2

Por el hecho de no presentar monotonía podemos concluir que la sucesión no converge. Para que la sucesión sea convergente esta debe tener dos criterios, debe ser monótona y acotada.

3. El primer término de una progresión aritmética es 3, el tercer término es 14 y la suma de los 3 primeros términos es 21. Halla la suma de los 10 primeros términos. 𝑈1 = 3 𝑈3 = 14 Suma de los 3 primeros términos =21 Halle la suma de los 10 primeros términos. 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 = 21 3 + 𝑈2 + 14 = 21 𝑈2 = 4 No hay una diferencia común definida constante entre cada termino, por tal motivo no se considera una progresión aritmética.

4. La suma de los términos que ocupan el lugar impar, en una progresión geométrica de seis términos, es 1365, y la suma de los que ocupan el lugar par, 5460. Hallar el primer término y la razón. Desarrollo Par términos impares

𝑢2𝑛−1 = 𝑢1 + 𝑢3 + 𝑢5 = 1365 1365 = 𝑢1 + 𝑢1 𝑞 2 + 𝑢1 𝑞 4 = 𝑢1 (1 + 𝑞 2 + 𝑞 4 ) Para términos pares tenemos que: 𝑢2𝑛 = 𝑢1 + 𝑢4 + 𝑢6 = 5460 5460 = 𝑢1 𝑞 + 𝑢1 𝑞 3 + 𝑢1 𝑞 5 = 𝑢1 (𝑞 + 𝑞 3 + 𝑞 5 ) 1365 𝑢1 (1 + 𝑞 2 + 𝑞 4 ) = 5460 𝑢1 (𝑞 + 𝑞 3 + 𝑞 5 ) 1 (1 + 𝑞 2 + 𝑞 4 ) = 4 (𝑞 + 𝑞 3 + 𝑞 5 ) 𝑞 + 𝑞3 + 𝑞5 = 4(1 + 𝑞 2 + 𝑞 4 ) = 4 + 4𝑞 2 + 4𝑞 4 𝑞 + 𝑞 3 + 𝑞 5 − 4 − 4𝑞 2 = 0 Racionalizando el polinomio 𝑞=4 𝑢2𝑛−1 = 𝑢1 + 𝑢1 𝑞 2 + 𝑢1 𝑞 4 = 𝑢1 (1 + 𝑞 2 + 𝑞 4 ) = 1365 𝑢1 =

1365 (1 + 16 + 256)

1365 =5 273 FASE N°2 Fase dos ejercicios A Es una progresión aritmética ya que sus términos se pueden calcular sumando la diferencia común, los términos se hallan cuando los términos se encuentran sumando la diferencia común. La diferencia común es 6.

La grafica es creciente Ya que: 𝑢𝑛+1 > 𝑢𝑛

FASE N°3 A continuación, dejo desarrollo a la fase 3 El uso de las sucesiones y progresiones en mi carrera se hace importante porque con estos podemos describir el comportamiento de las variables, por ejemplo cual sería la tendencia del mercado si estuviera en marcado en una función que nos describa el nivel de satisfacción versus los gastos en publicidad. También se puede usar en los procesos de manufactura, para saber cómo optimizar variables que se encuentran implícitas en este proceso y también serviría para determinar un valor fijo en n datos requeridos, esto cuando necesitamos prever un valor determinado.

DESARROLLO ESTUDIANTE N°4: KEYVIN JOHAN CARRASCAL TORRES

FASE N°1 1- De las siguientes sucesiones determinar la cota inferior y/o superior. 𝟐𝒏 𝒏 SOLUCIÓN Procedemos a demostrar que la que la sucesión de cota superior o inferior 𝑈𝑛 =

2𝑛 𝑛

2 4 6 8 10 → 𝑈𝑛 = { , , , , … … … … … } 1 2 3 4 5

Aplicamos límite 2𝑛 2 =( )=2 𝑛→∞ 𝑛 1 lim

2- De las siguientes sucesiones, Determinar si son monótonas y si convergen o divergen, justificar la respuesta. 7 9 11 13 −5; ; − ; ; − ; … .. 2 3 4 5

3- La suma de los términos de una progresión aritmética es 425 y su término central es 17. Hallar el número de términos. SOLUCIÓN Al ser una progresión con término central quiere decir que su número de términos es impar, por lo tanto sabemos que en este caso: La suma total es igual al término central por el número de términos Sabemos que: 𝑆𝑛 = (𝑎𝑐 ). 𝑛

425 = 17. 𝑛 𝑛=

425 = 25 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 17

4- Descomponer 726 en un número de partes que estén en progresión creciente, de manera que 492 sea la suma de los términos extremos, y su diferencia 483, menos la razón. SOLUCIÓN Sean 𝑎1 𝑦 𝑎𝑛 , los términos extremos de la progresión geométrica, y “r” la razón, por lo tanto: 492 = 𝑎1 + 𝑎𝑛 Luego 𝑎𝑛 = 492 − 𝑎1 Ecuación 1 Además 𝑎1 − 𝑎𝑛 = 483 − 𝑟 Luego 𝑟 = 483 − 𝑎𝑛 + 𝑎1 Ecuación 2 726 es la suma de los términos de la progresión, por tanto aplicamos la fórmula de la suma de una progresión geométrica limitada, y sustituimos el valor de "r" de la ecuación 2 y el 𝑎𝑛 de la ecuación 1 en esta fórmula: 𝑆=

𝑎𝑛 . 𝑟 − 𝑎1 𝑟−1

726 =

𝑎𝑛 . (483 − |𝑎𝑛 + 𝑎1 ) − 𝑎1 (483 − 𝑎𝑛 + 𝑎1 ) − 1

726 =

(492 − 𝑎1 ) . [(483 − (492 − 𝑎1 ) + 𝑎1 ] − 𝑎1 482 − (492 − 𝑎1 ) − 𝑎1

726 =

(492 − 𝑎1 ) . (−9 + 𝑎1 + 𝑎1 )] − 𝑎1 (492 − 𝑎1 ) . (2𝑎1 − 9)] − 𝑎1 = = −10 + 2𝑎1 2𝑎1 − 10

984𝑎1 − 2𝑎1 2 − 4428 + 9𝑎1 − 𝑎1 −2𝑎1 2 + 991𝑎1 − 4428 726 = = 2𝑎1 − 10 2𝑎1 − 10 −2𝑎1 2 + 992𝑎1 − 4428 = 1452𝑎1 − 7260

2𝑎1 2 + 460𝑎1 − 2832 = 0 𝑎1 2 + 230𝑎1 − 1416 = 0 𝑎1 =

−230 ± √52900 − 5664 −230 ± √58564 −230 ± 242 = = 2 2 2

𝑎1 =

−230 + 242 12 = = 6 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 2 2

𝑎1 =

−230 − 242 −472 = = −236 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑛𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 2 2

Para 𝑎1 = 6 𝑎𝑛 = 492 − 𝑎1 Ecuación 1 𝑎𝑛 = 492 − 𝑎1 = 486 𝑟 = 483 − 𝑎𝑛 + 𝑎1 Ecuación 2 𝑟 = 483 − 486 + 6 = 3 Por lo tanto los términos de la progresión son: 𝑎1 = 𝑎1 = 6 𝑎2 = 𝑎1 . 𝑟 = 6 . 3 = 18 𝑎3 = 𝑎2 . 𝑟 = 18 . 3 = 54 𝑎4 = 𝑎3 . 𝑟 = 54 . 3 = 162 𝑎5 = 𝑎4 . 𝑟 = 162 . 3 = 486 La progresión es. −𝟔; 𝟏𝟖; 𝟓𝟒; 𝟏𝟔𝟐; 𝟒𝟖𝟔; … ..

FASE N°2 Ejercicio D 𝑑) 𝑢𝑛 = −6𝑛−1 𝑢𝑛 = −61−1 = −1

𝑢𝑛 = −61−2 = −6−1 = −

1 6

𝑢𝑛 = −61−3 = −6−2 = −

1 36

𝑢𝑛 = −61−4 = −6−3 = −

1 216

𝑢𝑛 = −61−5 = −6−4 = −

1 1292

Esta es una progresión geométrica; porque su término obtiene cogiendo en anterior y sumándole la diferencia. 1 1 1 1 −1; − ; − ; − ;− ; … .. 6 36 216 1292 −1; − −

1 1 = − 6 6

1 1 36 1 ;− =− = − 36 216 216 6 1

Razón o diferencia común: − 6 Progresión creciente.

FASE N°3

DESARROLLO DE ESTUDIANTE N°5. VIANEY MONROY FASE N°1 FASE N°2 Ejercicio C C. 𝑼𝒏 = 𝟔𝒏 + 𝟒

1. Es una progresion aritmetica porque cada término se obtiene sumando al anterior la diferencia de la progresión, este caso es 6. 2. Es una progresion aritmetica creciente porque a medida que 𝑛 crece 𝑈𝑛 crece. FASE N°3

CONCLUSIONES

Después de haber desarrollado este trabajo sobre sucesiones y progresiones llegamos a las siguientes conclusiones: -

El desarrollo de los ejercicios ayuda a reforzar temáticas anteriores y adquirir nuevos conocimientos, sobre conceptos y ejemplos aplicados a nuestra vida profesional y personal.

-

Aprendimos la importancia de trabajar en equipo y a la vez individualmente, porque te obliga a esforzarte por aprender y realizar las tareas asignadas haciendo uso de tus conocimientos.

-

Podemos concluir que el estudio de las derivadas, su interpretación y utilización brindan al estudiante competencias cognitivas importantes en el desarrollo de su profesión.

-

Conocer y poner en práctica los conocimientos adquiridos sobre los contenidos que componen la Unidad 3 del Curso Calculo Diferencial, le dan al estudiante las competencias necesarias para resolver problemas de la vida cotidiana que incluya el uso de las derivadas de cualquier tipo.

-

Con el desarrollo de este trabajo logré adquirir nuevos conocimientos sobre las derivadas comprendí que es fundamental tener claro este tema ya que es fundamental para nosotros como futuros ingenieros.

BIBLIOGRAFIA

Julioprofe. (2014). Progresiones https://www.youtube.com/watch?v=dvkr98wGMcA

aritméticas.

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