Cbr_kalkulus[1].docx

CRITICAL BOOK REPORT KALKULUS PENGGUNAAN TURUNAN

Disusun Oleh : 1. Boyke padang 2. Indra hasibuan 3. Giofani padang 4. Josua butar-butar FAKULTAS TEKNIK PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2019

Kata Pengantar Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkat dan rahmatNya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas Critical Book Report ini. Pembuatan makalah ini dilakukan sebagai tugas individu kalkulus. Penulis mengucapkan terima kasih kepada bapak Drs.Marsangkap Silitonga, M. pd yang telah memberikan bimbingannya selama proses pengerjaan tugas ini. Penulis menyadari bahwa tugas ini masih terdapat banyak kekurangan. Oleh karena itu, segala saran dan kritik yang bersifat membangun Penulis nantikan guna perbaikan tugas selanjutnya.

Medan,31 Maret 2019

Penyusun : Kelompk v

Daftar Isi

BAB I PENDAHULUAN 

LATAR BELAKANG



RUMUSAN MASALAH



TUJUAN

BAB II RINGKASAN BUKU BAB III PENUTUP 

KESIMPULAN



SARAN

BAB I Pendahuluan Latar Belakang Untuk memenuhi tujuan terciptanya sumber daya manusia yang berkualitas tentunya pendidikan adalah faktor terpenting yang tidak dapat dipisahkan. Salah satu pelajaran yang dapat mendukung itu semua adalah pelajaran Matematika Dasar, dimana pada pelajaran ini kita diajarkan untuk teliti dalam menghadapi setiap keadaan yang ada. Salah satu materi dari pelajaran Matematika Dasar itu adalah Penggunaan turunan. Materi Penggunaan turunan ini sengaja kami susun untuk mempermudah para pembaca agar dapat lebih mengenal dan memahami Penggunaan turunan, disamping itu makalah kami ini kami buat untuk memenuhi tugas mata kuliah Matematika Dasar. Dimana makalah ini kami susun dengan baik dan juga memiliki berbagai contoh disetiap pembahasannya yang semoga dapat memberikan manfaat dan mudah dimengerti.

Rumusan masalah apa itu nilai maksimum dan nilai minimum? apa itu nilai maksimum dan minimum Lokal? apa itu Penerapa ekonomi? Tujuan penulisan Adapun tujuan penulisan makalah ini, sebagai berikut : * Untuk lebih mengerati dan memahami tentang penggunaan turunan *untuk memenuhi tugas kelompok pembuatan makalah tentang penggunaan turunan.

BAB II

Ringkasan Buku Penggunaan Turunan 1. Bagian Muhammad Fahlevi Hutabarat (5173331020) : 4.1

Maksimum dan minimum Dalam kehidupan sehari- hari kita dapat menjalankan masalh dengan jalan yang baik.

Andai kita mengetahui fungsi f dan domain. Tugas kita yang pertama dalah menentukan apakah nilai f meiliki sifat maksimum dan minimum pada garis s. Andai nilai itu ada. Akhirnya kita dapat menentukan nilai-nilai maksimum dan minimum. Definisi Andaikan s daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa (i)

F(c) adalah nilai maksimum f pada s jika f(c) > f(x) untuk semua x di s;

(ii)

F(c) adalah nilai minimum f pada s jika f(c) < f(x) untuk semua x di s;

(iii)

F(c) adalah nilai ekstrim f pada s jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum.

Pertanyaan ekstennsi apakah f mempunyai nilai maksimum atau minimum pada s. Jawabannya tergantung pertama-tama pada s tersebut. Ambil f(x) = 1/x pada S = (0, ∞ ), fungsi ini tidak memiliki nilai max dan min, sebaliknya fungsi yang sama pada S = [1,3] mempunyai nilai max f(1) = 1 dan nilai min f(3) 1/3. Banyak terdapat sebuah teorima bagus menjawab pertanyaan esktrim untuk beberapa masalah yang muncul dalam praktek. Teoroma A (Teoroma Eksistensi max-min). jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum. Dimana terjadinya nilai-nilai ekstrim ? biasanya fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan akan mempunyai suatu selang I sebagai daerah asalnya. Tetapi selang ini boleh berupa sebarang dari sembilan. Bebrapa dari selang ini memuat titik ujung, Mis , I = [a,b] memuat titik ujung dua-duanya; (a,b) hanya memuat titik ujung kiri; (a,b) tidak memuat titik ujung satupun. Jika sebuah tiitik pada mana f’(c) = 0 kita sebut c titik stationer. Nama itu diturunkan dari fakta bahwa pada titik stationer, grafik f mendatar, karena garis singgung mendatar.

Akhirnya nilai c adalh tiitk dalam dari I di mana F tida ada, kita sebut c titik singular. Ini merupakan titik dimana grafik f mempunyai sudut tajam dan garis singgung lingkaran atau berupa lompatan. Titik ujug,titik stationer, titik singular merupakan titik kunci dari beberapa teori mak-min

Contoh 1 cari lah titik kritis dari f(x) = -2x ³

+ 3x² pada [-1/2, 1]

Penyelesaian: titik ujung adalah -1/2 dan 2, untuk mencari titik-tik stationer, kita pecahan f’(x) = -6x² + 6x = 0 untuk x, diperoleh 0 dan 1. Tida terdapat titik-titik singular. Jadi titiktitik kritis adalah -1/2, 0, 1, 2 Teorema B (Teorema titik kritis) andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titi c, jika f(c) adlaah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu (i)

Titik ujung dari I

(ii)

Titik stationer dari f(f’(c) = 0)

(iii)

Titik singular dari f(f’(c)tidak)

Bukti pandang kasusu pertama dimana f(c) adalah nilai maksimum f pada i dan andaikan bahwa c bukan titik ujung ataupun titik singular. Akan cukup untuk memperlihhatkan bahwa c adalah titik stationer. Sekarang , karena f(c) adalah nlai maksimum, f(x) < f(x) uuntuk semua x dalam I; yaitu f(x) – f(c) < 0 Jadi jika x < c, sehingga x – c maka f ( x )−f (c) ≥0 x−c sedangkan jika x > c, maka f ( x )−f (c) ≥0 x−c Tetapi f”(c) ada, karena c bukti singular. Akibatnya, bilamana kita biarkan x c ˉ (1) dan

xc ⁺

dalam

dalam (2), kita peroleh masing-masing, f’(c) > 0 dan f’(c) < 0. Kita

simpulkan bahwa f’(c)= 0, seperti yang diinginkan.

Contoh 2 carilah nilai-nilai maksium dan minimum dar F(x) = -2x ³

+ 3x²

Pada [1/2]. Penyelesaian dalam conoth kita kenali -1/2, 0, 1, 2 sebagai titik-titik kritis. Sekarang f(-1/2) = 1, f(0) = 0, f(1) = 1, dan f(2) = -4. Jadi nilai maksimu adalah 1 (dicapai pada -1/2 dan 1) dan nilai minimum adalah -4 (dicapai pada 2) y 1

y = -2x³ + 3x²

-1

1

2

3

x

-1 -2 -3 -4 Contoh 3 Fungsi f(x) = 2²/³ kontinu di mana-mana. Cari nilai-nilai maksimum dan minimumnya pada [-1,2]. y 1 f(x) = x²/³ x -1

0

1

2

Masalah-masalah praktis adalah masalah yang mungkin timbul dalam kehidupan sehari-hari. Maslah-masalah yang demikian juga jarang mempunyai titik-titik singular.

contoh 4 kotak persegi panjang dibuat dari selembaran papan, panjang 24 inci dan lebar 9 inci, dengn memotong bujur sangkar identik pada keempat pojok dan melipat ke atas sisinya. Cari ukuran kotak yang volumenya maksimum. Berapa volume ini? Penyelesaian: andaikan x adalah sisi bujur sangkar yang harus dipotong adalah V adalah volume kotak yang dihasilkan. Maka V = x(9-2x)(24-2x) = 216x – 66x² + 4x³ Sekarang x tidak dapat lebih kecil dari 0 ataupun lebih besar 4,5. Jadi, maslah kita adalah memaksimumkannya V pada [0;4,5]. Titik-titi stationer ditemukan dengan menetapkan dV/dx sama dengan nol dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan: dv = 216 – 132x + 12x² = 216x – 66x² + 4x³ dx Ini memberikan x = 2 atau x = 9, tetapi 9 tidak pada selang [0;4,5] kita lihat bahwa hanya terdapat tiga titik kritis, yaitu, 0, 2 dan 4,5. Pada titik-titik ujung 0 dan 4,5 V=0; pada 2,V = 200. Kita simpulkan bahwa kotak mempunyai volume maksimum 200 inci kubik jika x = 2 – yakni, jika kotak berukuran panjang 20 inci, lebahr 5 inci dan tinggi 2 inci 4.2

Kemonotonan Dan Kecekungan

Definisi Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup, atau tak satupun). Kita katakan bahwa: f adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan X1 dan X2 dalam I, X1 < X2  f(X1) < f(X2) f adalah turunan pada I jika untuk setiap pasang bilangan X1 dan X2 dalam I, X1 < X2  f(X1) > f(X2) f monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I Turunanan pertama dan kemotonan ingat kembali bahwa turunan pertama f’(x) memberi kita kemiringan dari garis singgungpada grafik f di titik x. Kemudian jika f’(x)>0, garis singung naik ke kanan. Serupa, jika f’(x) < 0, garis singgung jaruh e kanan. Fakta-fakta membuat teorema berikut secara intuisi jelas.

ini

Teorema A (teorema kemonotonan). Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam dari I. (i)

Jika f’(x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I.

(ii)

Jikaf’(x) < 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f turun pada I.

Teorema ini biasanya membolehkan kita secara persis menetukan di mana suatu fungsi yang terdeferensialkan naik dan dimana ia turun. Ini masalah penyelesaian dua pertaksamaan. Contoh jika f(x) = 2x³ - 3x² - 12x + 7, cari dimana f naik dan dimana turun Penyelesaian. F’(x) = 6x² - 6x – 12 = 6(x+1)(x-2) Kita perlu menentukan dimana (x+1)(x-2) > 0 dan juga dimana (x+1)(x-2) < 0 (+)

(0) -1

(-)

(0)

(+)

2

Titik titik pemisah adalah -1 dan 2; mereka membagi sumbu-x atas tiga selang; ( ∞

, -1 ) , ( -1,2), dan (2, ∞ ¿ . Dengan memakai titik-titik uji -2, 0, 3. Kita simpulkan

bahwa f’(x) < 0 pada selang tengah. Jadi menurut teorema A. F naik pada (- ∞ -1) dan [2, ∞¿

ia turunpada [-1,2]. Perhatikan bahwa teoroma tersebut memperbolehkan kita

mengikutkan titik-titik ujung dari selang0selang ini, walaupun f’(x) = 0 pada titik-titik itu. Turunan kedua dan kecekungan

sebuah fungsi mungkin naik akan tetap

mempunyai grafik yang sangat bergoyang. Untuk menganalisi goyangan, kita perlu mempelajari bagaimana gars singgung berliku saat kita bergerak dari kiri ke kanan. Jika garis singgung berliku secara tetap berlawanan arah putaran jarum jam, kita katakan bahwa grafik cekung ke atas, jika garis singgung berliku searah putaran jam, grafik cekung ke bawah. Kedua definisi lebih baik dinyatakan dalam istilah fungsi dan turunannya.

Cekung ke atas

cekung ke bawah

Cekung ke bawah ke atas Teoroma B Andaikan f terdeferensial dua kali pada saling terbuka (a,b) (i)

Jika f”(x) > 0 untuk semua x dalam (a,b) maka f cekung ke atas pada (a,b)

(ii)

Jika f”(x) < 0 untuk semua x dalam (a,b) maka f cekung ke bawah pada (a,b)

Contoh dimana f(x) =

1 x ³ - x3 – 3x + 4 naik, turu, cekung, kebawah? 3

Penyelesaian F’(x) = x² - 2x – 3 = (x + 1)(x – 3) F’(x) = 2x -2 = 2(x – 1) F’

(+)

(0)

(-)

-1 F”

(-)

(0)

(+)

3 (0)

(+)

Dengan penyelesaian dapat disimpulkan bahwa f naik pada (- ∞ , -1) dan (3, turun pada

∞ ) dan

[-1, 3]. Penyelesaian 2(x-1) > 0 dan 2(x-1) < 0 bahwa f cekung ke atas pada (1 ,

∞ ), cekung ke bawah pada ( −∞ , 1).

Titik balik

andaikan f kontinu di c. Sebut (c, f(c)) suatu titik balik dari grafik f jika f

cekung le atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. Grafik ini menunjukkan sejumlah kemungkinan.

Titik –titik balik

titik-titik balik

Cekung ke Cekung ke cekung

cekung ke

bawah

ke bawah

bawah

cekung kebawah

cekung keatas

ke atas contoh cari semua titik balik dari grafik f(x)=

1 x³ - 2x 6

penyelesaian f’(x) =

1 x² 2

-2

f”(x) = x hanya terdapat satu calon untuk titik balik, yakni titik dimana f”(x)=0 ini terjadi di titik asal (0,0). Bahwa titil (0,0) balik menyusul dari fakta bahwa f” (x) < 0 untuk x < 0 dan f”(x) < 0 untuk x > 0. Jadi, kecekungan berubah arah di (0,0)

2. Bagian Hendrianto P Tumangger (5173331014) 4.3

Maksimum dan Minimum lokal Ini adalah definis formal dari maksimum lokal dan minimum lokal. Ingat bahwa

lambang ∩ menyatakan irisan dari dua himpunan.

(i)

F(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian seingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a,b) ∩ S

(ii)

F(c) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian seingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ S

(iii)

Nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal

Dimana nila-nlai ekstrim lokal terjadi? Teorema titik kritis berlaku sebagaimana dinyatakan, dengan ungkkapan nilai ektrim diganti oleh nilai ekstrim lokal, bukti pada dasar yang sama. Jadi titik kritis adalah calon untuk titik tempat kemungkinan terjadinya ekstrim lokal. Kita katakan calon karena kita tidak menuntut bahwa setiap titik kritis harus merupakan ekstrim lokal. Tetapi jika turunan adalah positif pada salah satu pihak dari titik kritis dan negatif pada pihak lainnya, maka itu mempunyai ekstrim lokal. Teoroma A Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal. Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang menurut titik kritis c (i)

Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b) maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f

(ii)

Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) > 0 untuk semua x dalam (c,b) maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f.

(iii)

Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f.

Contoh carilah nilai ekstrim lokal dari fungsi f(x) = x² - 6x + 5. Pada (- ∞ , ∞ ¿ Penyelesaian Fungsi polinom f kontinu dimana-mana dan turunannya, f’(x) = 2x-6, ada untuk semua x . jadi satu-satunya titik kritis untuk f adalah penyelesaian tungga dari f’(x) = 0 yakni x=3. Karena f’(x)= 2(x-3) < 0 untuk x < 3, f turun pada (- ∞ , 3) dan karena 2(x-3) >0 untuk x> 3, f naik pada (3,

∞ ¿ . Karena itu, menurut uji turunan pertama f(3) = -4 adalah

nilai minimum lokal f. Karena 3 adalah satu-satunya bilangan kritis, tidak terdapat nilai ekstrim lainnya. Uji turunan kedua terdapat uji lain untuk maksimum dan minimum lokal yang kadang kadang mudah di terapkan dari pada uji turunan pertama Teorema B uji turunan kedua untuk ekstrim lokal.

Andaikan f’ dan f” ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0 (i)

Jika f” (c) < f(c) adalah nilai maksimum lokal f.

(ii)

Jika f” (c) > f(c) adalah nilai minimum lokal f.

Bukti (i) adalah untuk mengatakan bahwa karena f”(c) < 0, f adalah cekung ke bawah dekat c menyatakan bahwa ini membuktikan (i) tetapi, agar yakin bahwa cekung ke bawah di lingkungan c, kita memerlukan f” (x) < 0 di lingkungan tersebut tidak hanya di c dan tidak ada dalam hipotesis kita yang menjamin itu. Kita ambil taktik lain Dari definisi dan hipotesis, f

lim csub {x-c} {=} {{f} ^ {'} left (x right ) - {f} ^ {'} ( c )} over {x-c

=

f ' ( x )−0 <0 lim ¿ ¿ ¿ x−c x−c Sehingga kita dapat menyimpulakan bahwa terdapat selang ( α , β ¿

(mungkin pendek) di

sekitar c dimana f ' ( x )−0 < 0, x ≠ c ¿ ¿ x −c Kedua ketaksamaan ini menunjukkan bahwa f’(x) > 0 untuk c<x< β

α < x < c dan f’(x) < 0 untuk

. jadi menurut uji turunan pertama, f’(c) adalah nilai maksimum lokal. Bukti (ii)

serupa.

4.4

Lebih banyak masalah maks-min Ekstrim pada selang terbukakita berikan dua contoh untuk melukiskan prosedur

yang sesuai untuk selang terbuka atau setengah terbuka.

Contoh

cari( jika mungkin) nilai atau maksimum dan minimum dari f(x)= x⁴ - 4x pada (

−∞, ∞ ¿

Penyelesaian F’(x)= 4x³ - 4 = 4(x³ - 1) = 4(x -1)(x² + x + 1) 3

f(x)= x⁴ - 4x

2 1 1

2

x

-1 -2

Karena x² + x + 1 = 0 tidak mempunyai penyelesaian bilangan rill, hanya terdapat satu titik kritis, yaitu, x = 1. Untuk x < 1. F’ (x) < 0 sedangkan untuk x > 1 f’(x) > 0 kita simpulakan bahwa f(1) = -3 adalah nilai minimum lokal untuk f dan karena f turun di sebelah kiri 1 dan naik di sebelah kanan I dan naik di sebelah kanan 1, memang benar merupakan nilai minimum dari f. MASALAH-MASALAH PRAKTIS dalam prosedur terdapat elemen bersama yang kita pakai untuk menyelesaikannya. Pada akhir pasal ini kita akan menyarankan serangkaian langkah yang dipakai menyelesaikan masalah maks-min apapun.

Contoh Sebuah surat selembaran memuat 50 cm persegi dan bahan cetak. Jalur bebas cetak diatas dan dibawah selebar 4 cm samping kiri 2 cm. Berapa ukuran selebaran tersebut yang memerlukan kertas sedikit mungkin? Penyelesaian Andaikan surat edaran mempunyai lebar x dan tinggi y. Luasnya adalah A = xy

Kita akan mencari sebuah persamaan yang mengaitkan x dan y sehingga salah satu dari variabel dapat dihilangkan dari ungkapan A, ukuran bahan cetakan adalah x-4 dan y-8 dan luasnya adalah 50 inc persegi sehingga (x-4)(y-8) = 50. Bilamana kita selesaikan persamaan ini untuk y, kita peroleh

Y=

50 x−4

+8

Dengan penggantian ungkapan ini untuk y dalam A = xy memberikan Y=

50 x−4

+ 8x

Nilai-niali x yang diperolehkan adalah 4 < x < ∞

kita inginkan meminimumkan A pada

saling terbuka (4, ∞ ) Sekarang

da = dx

( x−4 ) 50−50 x +8= (x−4 )²

8 x ²−64 72 (x−4)²

=

8( x+ 1)( x−9) (x−4) ²

Titik –titik kritis hanya diperoleh dengan menyelesaikan da/dx = 0 ini menghasilkan x=9 x=1. Kita tolak x = -1 karena ia tidak dalam selang ( 4, ∞ ). Karena da/dx < 0 untuk x dalam ( 4,9) dan da/dx > 0 untuk x dalam ( 9,

∞ ), kita simpulkan bahwa A mencapai nilai

minimum pada x=9. Nilai ini membuat y=8 . sehingga ukuran surat edaran yang akan memakai kertas paling sedikit adalah 9 cm dan 18 cm.

3 . Bagian Tasya Putri Megawati (5173331033) : 4.5

Penerapan Ekonomi Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x), yakni selisih antara

pendapatannya P(x) = R(x) – C(x) = xp(x) – C(x) Hal yang diperhatikan adalah perlunya membedakan masalah ekonomi dengan masalah fisika. Pada dasarnya, suatu produk akan berupa satu-satuan diskrit. Jadi fungsi R(x), C(x)

dan P(x) pada umumnya didefinisikan hanya untuk x=0,1,2 dan sebagainya. Suatu masalah yang berkaitan dengan seorang pakar ekonomi adalah bagaimana mendapatkan rumus untuk fungsi-fungsi C(x) dan p(x) dalam hal yang sederhana dapat berbentuk C(x) = 10,000 + 50x Jika demikian,

$ 10,000

merupakan biaya tetap dan

$ 50 merupakan biaya langsung

dari setiap unit yang diproduksi. Barang kali contoh yang lebih dapat menggambarkan masalahnya adalah C(x) = 10,000 + 45x +

100 √x

Suatu nilai yang berkurang apabila x bertambah ( efesiensi dari besarnya produksi ). Pemilihan fungsi-fungsi biaya dan harga yang sesuai merupakan tugas yang sulit. Penggunaan kata marjinal andaikan ABC mengetahui fungsi biayanya C(x) dan untuk sementara direncanakan produksi 2000 satuan tahun ini. jika fungsi biaya adalah seperti yang diperlihatkan dalam gambar 2, direktur utama badirudin menanyakan nilai saat ∆ x

∆ C / ∆ x .pada

= 1 tetapi kita mengharapkan bahwa ini akan sangat dekat terhadap nilai lim

∆ x→ o

∆C ∆x

Pada saat x= 2000. Ini disebut biaya marjinal. Kita mengenalinya sebagai dC/dx, turunan c terhadap x.\

√3 x rupiah. Cari biaya rata-rata tiap satuan

Contoh andaikan C(x) = 8300 + 3,25 x + 40

dan biaya marjinal dan hitung mereka bilamana x = 100 Penyelesaian

biaya rata-rata

C (x ) x

Biaya marjinal

dC dx

1

=

8300+ 3,25+40 x 3 x

= 3,25 +

40 −2/ 3 x 3

Pada x = 1000, ini mempunyai nilai masing-masing 11,95 dan 3,38. Ini berarti bahwa ratarata biaya tiap satuan adalah Rp. 11.950 untuk memproduksi 1000 satuan yang pertama untuk memproduksi satu satuan tambahan di atas 1000 hanya memerlukan biaya Rp. 3.380 4.6

Limit di ketakhinggaan, Limit Tak terhingga

Pada fungsi g(x)= x/(1+ x²). Apa terjadi pada g(x) bila x menjadi semakin lama semakin besar? Dalam lambang ini menanyakan

lim g(x )

x→∞

Bila mana kita menuliskann x  ∞ , kita tidak mengatakan bahwa pada suatu tempat jauh, jauh di arah kanan pada sumbu x, terdapat sebuah bilangan – lebih besar dari pada semua bilangan lain – yang di deketi oleh x. Melainkan, kita memakai x  ∞ sebagai cara singkat untuk mengatakan bahwa x menjadi semakin besar tanpa batas. Dalam tabel telah mendaftarkan nilai-nilai g(x) = x/(1 + x²) untuk beberapa nilai x x 1+ x ² 0,099 0,010 0,001 0,0001

X 10 100 1000 1000

x x → ∞ 1+ x ² lim

Dapat kita tuliskan

=0

Dari bilangan-bilangan negatip besar akan mengantar kita untuk menuliskan x x → ∞ 1+ x ² lim

Definisi limit bila x  ∞ bilangan c. Kita katakan bahwa

=0

andaikan f terdefinisi pada [c, ∞ ] untuk suatu lim f ( x )=L .

x→∞

Jika untuk masing—masing

∈ > 0,

terdapat bilangan M yang berpandanan sedemikian sehingga x > M  f(x) – L < E definisi limit x  Kita katakan bahwa

∞

andaikan f terdefinisi pada ( - ∞ , c ) untuk suatu bilanngan c.

lim ¿ f(x) = L jika untuk masing-masing

x→∞

∈ > 0, terdapat suatu

bilangan M yang berpandanan sedemikian sehingga x < M  f(x) – L < E contoh buktikan bahwa jika k bilangan bulat positif, maka lim

x→∞

1 k x

= 0 dan

lim

x→∞

1 k x

=0

Penyelesaian andaikan diberikan ∈ > 0 . pilih M =

| | 1 −0 k x

=

1 1 k < k x m

√k 1/∈ . maka x > m memenuhi

= ∈

Bukti pernyataan yang kedua adalah serupa. Dengan diberikannya nilai-nilai dari limit-limit yang baru ini, kita harus menghadapi pernyataan apakah teoroma limit utama berlaku untuk mereka. Jawabannya adalah ya dan pembuktiannya serupa dengan yang asli

Limit-limit tak terhingga

f(x) = 1/(x-2) adalah tidak masuk akal menyatakan

lim 1/(x−2) x→ 2

lim

Tetapi kita pikir adalah beralasan menulis

lim ¿ =

Definisi kita katakn bahwa

x → c⁺

x → 2ˉ

∞

1 x−2

lim

=0

x → 2⁺

1 x−2

=0

jika tiap bilangan positif M, berpadanan suatu

δ > 0 sedemikian sehingga 0 < x – c < δ  f(x) > M

Contohcari

lim

x →1 ˉ

1 (x−1)²

1 x→ ⁺ (x −1) ²

lim

dan

Penyelesaian Kita pikirkan cukup jelas bahwa lim

x →1 ˉ

1 (x−1)²

1 x→ ⁺ ( x −1) ²

lim

= ∞

= ∞ 1 x→ 1 ( x −1)²

Karena kedua limit adalah ∞ , kita juga dapat menuliskan lim

4.7

= ∞

Penggambaran GrafikCanggih Kalkulus menyedakan alat ampuh untuk menganalisis struktur secara baik khusunya

dalam mengennali titik-titik tempa terjadinya perubahan ciri-ciri grafik. Kita dapat menempatkan titik-titik maksimum lokal, titik-titik minimum lokal, dan titik-titik balik kita dapat menentukan secara persisis di mana grafik naik atau dimana cekung ke atas. Polinom polinom derajat 1 atau 2 jelas untuk digambar grafiknya yang berderajat 50 hampir mustahil. Contoh sketsakan grafik f(x) =

3 x 5−20 x 3 32

Penyelesaian karena f(-x) = -f(x) f adalah fungsi ganjil, oleh karena itu grafiknya dimentri terhadap titi asal deangan menetapkan f(x) = 0 kita temukan perpotongan sumbu x adalah 0 dan ± √20 /3 ± 2,6, kita peroleh F’(x) =

15 4−60 x ² 32

=

x +¿ ¿ F’(x) = 2 15 ( x−2 ) ¿ ¿

Jadi titik titik kritis adalah -2,0 dan 2 secara tepat kita temukan f’(x) > 0 pada (- ∞ , -2) dan (2, ∞ ) dan bahwa f;(x) < 0 pada (-2, 0) dan (0, 2). Fakta ini memberitahukan kita dimana f’

naik dan turun juga di tegaskanbahwa f(-2) = 2 adalah nilai maksimum lokal dan f(2) = -2 adalah nilai minimum lokal. Dengan mendeferensialkan kembali 60 x 3−120 x 32

F”(x) =

=

2 x−√ ¿ ¿ 2 x +√ ¿ ¿ 15 x ¿ ¿

Dengan mempelajari tanda f”(x) kita simpulkan bahwa f cekung ke atas pada (0) dan

(

2 √¿¿

, ∞¿

dan cekung ke bawah (- ∞ ,

terdapat tiga titik balika, yaitu (-

2 √¿ ¿

dan (0,

2 √¿ ¿

√2 , . Jadi

2 2 /8 2 /8 = (-1,4;1,2), (0,0) dan ( 2 ,-7 √¿¿ √¿ ¿ √ ¿ ¿ ;7 √ ¿ ¿

= (1,4; - 1,2) Fungsi rasional merupakan hasil bagi dua fungsi polinom, lebih rumit untuk digrafiskan dibandingkan dengan polinom. Khussunya kita dapat mengharapkan perilaku yang dramatis dimanapun penyebut nol. 4.8

Teoroma Nilai Rata-Rata Adalah bidang kalkulus tidak begitu penting, tetapi sering kali membantu melahirkan

teoroma –teoroma lain yang berarti, teoroma kita nyatakan dalam bahasa fungsi kemudian kita buktian (teoroma nilai rata-rata) jika f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan terdeferensial pada titik-titik dalam dari (a,b) maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dimana f ( b ) −f ( a) =f '( c) b−a Atau secara setara dimana F(b) – f(a) = f’(c)(b – a) Teoroma yang disertai dengan gambar Contoh cari bilangan c yang dijamin oleh teoroma nilai rata-rata untuk f(x) = 2 [1,4] F(x) 2

√x

√ x pada

4 3 2 1 1

2

3 c=

4

5

9 4

penyelesaian f’(x) = 2.

1 −1 /2 x = 2

1 √x

jadi kita harus menyelesaikan

1 √c

=

2 √3 dan

f ( 4 )−f (1) 4−2 2 = = 4−1 3 3

jawab tunggal adalah c =

9 4

BAB III

Penutup

Kesimpulan. jika dia turunanan pertama maka dia memiliki bahwa turunan pertama f’(x) memberi kita kemiringan dari garis singgungpada grafik f di titik x. Kemudian jika f’(x)>0, garis singung naik ke kanan.

Saran. Demikianlah makalah ini kami perbuat, memang makalah ini jauh dari kata sempurna. Maka dengan itu kami mengharapkan saran dan kritikan yang dapat membangun kami lebih baik lagi. akhir kata kami ucapkan Terimakasih.

Daftar Pustaka Purcell, Edwin dkk.1987. Kalkulus dan geometri analitis: erlangga