Cbr Kalkulus.docx

BAB I PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG Keterampilan membuat CBR pada kami dapat menguji kemampuan dalam meringkas dan menganalisis sebuah buku serta membandingkan buku yang dianalisis dengan buku yang lain, mengenal dan memberi nilai serta mengkritik sebuah karya tulis yang dianalisis. Sering kali kita bingung memilih buku referensi untuk kita baca dan pahami, terkadang kita hanya memilih satu buku untuk dibaca tetapi hasilnya masih belum memuaskan misalnya dari segi analisis bahasa dan pembahasan, oleh karena itu penulis membuat CBR Kalkulus Integral ini untuk mempermudah pembaca dalam memilih buku referensi terkhusus pada pokok bahasa tentang Penggunaa Integral Tentu: Luas Daerah Bidang Datar dan Volume Benda Putar.

B. PERMASALAHAN Suatu fungsi kontinu atas suatu interval tertutup mempunya integral tentu, yang adalah limit dari sembarang jumlahan rieman untuk fungsi. Kita telah membuktikan bahwa kita dapat menghitung integral tentu menggunakan Teorema Fundamental Klkulus Integral. Kita juga telah menemukan bahwa luas bidang datar dibawah suatu kurva dan luas bidang datar antara dua kurva dapat dihitung sebagai integral tentu. Dalam makalah ini akan memperluas aplikasi-aplikasi dari integral untuk menyelesaikan berbagai masalah geometri seperti luas daerah bidang datar dan volume suatu benda putar. Pada topik luas daerah bidang datar akan membahas tentang menentukan luas bidang datar antara dua kurva dan luas dalam koordinat polar. Dan pada topik volume benda putar akan membahas tentang bagaimana menentukan volume suatu benda padat menggunakan potongan. Bidang padat yang dibicarakan adalah bidang padat yang diperoleh dari perputaran bidang datar tiga dimensi.

C. TUJUAN a. Memenuhi tugas mata kuliah Kalkulus Integral, yaitu mengkritik buku yang berkaitan dengan materi ajar. b. Memahami dan menguasai cara mengkritik buku. c. Mencari dan menemukan kelebihan dan kekurangan dari buku yang diidentifikasikan. d. Dapat lebih mendalami mengenai aplikasi-aplikasi dari integral dalam menyelesaikan masalah geometri seperti luas daerah bidang datar dan volume suatu benda putar yang dibahas sebagai materi dalam mengikuti perkuliahan Kalkulus Integral. e. Memberi masukan kepada buku tersebut, dan menjadikannya menjadi lebih baik untuk kedepannya.

1

D. INDENTITAS BUKU 1. Buku I a. Judul

: Kalkulus.

b. Edisi

: 2.

c. Pengarang

: Wikaria Gazali dan Soedadyatmodjo.

d. Penerbit

: Graha Ilmu.

e. Kota terbit

: Yogyakarta.

f. Tahun terbit

: 2007.

g. ISBN

: 978-979-756-273-1.

2. Buku II a. Judul

: Kalkulus Integral dan Aplikasinya.

b. Edisi

:-

c. Pengarang

: Didit Budi Nugroho.

d. Penerbit

: Graha Ilmu.

e. Kota terbit

: Yogyakarta.

f. Tahun terbit

: 2012.

g. ISBN

: 978-979-756-836-8.

2

BAB II PEMBAHASAN

A. RINGKASAN ISI SUB BAB 1. BUKU I a) LUAS DAERAH BIDANG DATAR  DALAM KOORDINAT POLAR

Gambar 1

Luas daerah yang dibatasi lengkungan 𝑟 = 𝑓(𝜃) dan radius vector 𝜃 = 𝜃2 diberikan oleh: 1 𝜃2 𝐴 = ∫ 𝑝2 𝑑𝜃 2 𝜃1 1 radian = sudut pusat yang berhadapan dengan busur (AB) yang panjangnya sama dengan r: 𝜃 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 = 𝜃. 𝑟 ∆𝜃 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 = ∆𝜃. 𝑟 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 = 2𝜋𝑟 = 360° 360° 7° 1 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 = = 180. = 57° 17′ 45" 2𝜋 22

Gambar 2

Contoh: Tentukan luad daerah lingkarang dengan jari-jari = R 3

Jawab: persamaan lingkaran dalam polar r = R 2𝜋

2𝜋

2𝜋

0

0

0

1 1 1 𝐿 = ∫ 𝑟 2 𝑑𝜃 = ∫ 𝑅 2 𝑑𝜃 = 𝑅 2 ∫ 𝑑𝜃 2 2 2 1 2 2 𝐿 = 𝑅 2 . 𝜃 ]2𝜋 0 = 𝜋𝑅 → 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 = 𝜋𝑅 2 Catatan: untuk mencari luar lingkaran tersebut dapat diambil: 1

1

𝜋



Seperempat lingkaran dikali empat 4 𝑥 2 ∫02 𝑅 2 𝑑𝜃



Setengah lingkaran dikali dua 2 𝑥 2 ∫0 𝑅 2 𝑑𝜃

1

𝜋

 LUAS DAERAH DIANTAR DUA KURVA a. Dalam Cartesius

Gambar 3

L yang diarsir = 𝐿𝐴𝐵𝑄𝑃− 𝐿𝐴𝐵𝑄𝑃 𝑏

𝑏

= ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑏

= ∫𝑎 [𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 − 𝑔(𝑥)𝑑𝑥] Catatan:  Untuk mencari luasnya harus dicari titik-titik potongan kedua kurva yang digunakan sebagai batas-batas integral.  



𝑏

Rumus ∫𝑎 [𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 − 𝑔(𝑥)𝑑𝑥] berlaku jika tidak ada titik potong lain dalam a ≤ X ≥ b kecuali di x=a dan x=b. Rumus tidak terpengaruh daerah yang diarsir terletak diatas sumbu X, dibawah sumbu X, dan sebagian dibawah sumbu X karena luasnya selalu positif (mutlak). Bila di dalam a ≤ X ≥ b ada titik potong lain, maka menghitung luasnya harus sendiri-sendiri: a ≤ X ≥ c dan c ≤ X ≥ b. 𝑐



𝑏

𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∫𝑎 [𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 − 𝑔(𝑥)𝑑𝑥] − ∫𝑐 [𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 − 𝑔(𝑥)𝑑𝑥] atau untuk menghindari salah gambar bisa digunakan tanda mutlak. Untuk mencari luas, sebaiknya kurva dibuat untuk menghindari kesalahan.

4

b. Dalam Polar

Gambar 4 𝜃2

𝐿𝑂𝐴𝐵 − 𝐿𝑂 𝐴𝐵 → 𝐿𝑑𝑖𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟

1 = [ ∫ (𝑅12 − 𝑅22 )𝑑𝜃] 2 𝜃1

Contoh: 1) Tentukan luas daerah yang tertutup antara kurva-kurva 𝑦 = 1⁄ 𝑥 2 dan y = x 2 Jawab: 1 𝑦 = 1⁄2 𝑥 2 dan y = x, maka potongan 2 𝑥 2 = x dimana 𝑥1 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑥2 = 2

Gambar 5 2

𝐿𝑑𝑖𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟 = ∫ ( 𝑥 − 0

1 2 1 1 2 𝑥 ) 𝑑𝑥 = 𝑥 2 − 𝑥 3 ]20 = 2 2 6 3

2) Tentukan luas daerah tertutup antara kurva-kurva y = 5 - 𝑥 2 1 dan 𝑦 = 2 𝑥 Jawab: 1 1 y = 5 - 𝑥 2 dan 𝑦 = 2 𝑥, maka potongan 2 𝑥 = 5 - 𝑥 2 → 2𝑥 2 + 𝑥 − 10 = 0, dimana 𝑥1 = 2 𝑑𝑎𝑛 𝑥2 = −2 1⁄2

5

Gambar 6 2

𝐿𝑑𝑖𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟 = ∫ ( 5 − 𝑥 2 − −21 2

= 15

1 2 1 1 𝑥 ) 𝑑𝑥 = 5𝑥 − 𝑥 2 − 𝑥 3 ]2 1 −2 2 4 3 2

3 16

b) VOLUME BENDA PUTAR  Dalam Koordinat Cartesius o Diputar Pada Sumbu X

Gambar 7

Daerah ABQPA diputar pada sumbu X, terjadilah benda ruang atur yang disebut benda putar. Jika, kiri dan kanan benda tersebut berbentuk daerah lingkaran. Benda tersebut dipotong-potong menjadi n buah, dengan tebal yang sama, yaitu ∆𝑥. Pada masing-masing potong dibuat silinder bagian dalam dan silinder bagian luar. Untuk 1 potongan: V silinder bagian dalam
𝑉𝑥 = 𝜋 ∫𝑎 𝑦 2 𝑑𝑥, dengan absis P = a dan absis Q = b.

o Diputar Pada Sumbu Y Bila bidang TDQPT diputar pada sumbu Y, maka volume 𝑏

benda menjadi: 𝑉𝑦 = 𝜋 ∫𝑎 𝑥 2 𝑑𝑦, dengan ordinat P = c dan Q = d. 6

Bila yang diputar pada sumbu Y adalah daerah ABQPA maka 𝑏

volume benda menjadi: 𝑉 = 2𝜋 ∫𝑎 𝑥𝑦 𝑑𝑥. Hal ini berasal dari metode kulit/shell:

Gambar 8

Dimana bidang ABQPA yang diputar pada sumbu Y. benda yang dikuliti setebal ∆𝑥, sebanyak n. Contoh: Daerah yang dibatasi oleh garis-garis : x = 1, x = 3, 𝑦 =

2 3

𝑥, dan sumbu

x diputar pada sumbu X. tentukan volume benda yang terjadi. Jawab:

Gambar 9

Benda yang terjadi berbentuk kerucut tegak terpancung 3 2 2 𝑉𝑥 = 𝜋 ∫ ( 𝑥) 𝑑𝑥 1 3 3 4 𝑉𝑥 = 𝜋 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 9 1 4 4 23 𝑉𝑥 = 𝜋𝑥 3 ]12 = 4𝜋 − 𝜋=3 𝜋 27 27 27

7

 Dalam Koordinat Polar

Gambar 10

gambar 11

Dengan metode kulit kerucut diperoleh rumus yang sesuai, jika g(𝜃) diputar pada sumbu Y, maka: 𝑒2 2 𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑟 3 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 3 𝑒1 Contoh:Tentukan volume bola jari-jari R. Jawab: bola terjadi jika daerah setengah lingkaran diputar pada garis tengahnya.

Gambar 12 1

1 𝜋 2 1 2 2 3 2 𝜋 3 𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑅 sin 𝜃 𝑑𝜃 = − 𝜋𝑅 cos 𝜃]20 = 𝜋𝑅 3 2 3 0 3 3 4 3 𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑉𝑏𝑜𝑙𝑎 = 𝜋𝑅 , 𝑠𝑒𝑠𝑢𝑎𝑖 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛. 3

2. BUKU II a) LUAS BIDANG DATAR  Persamaan Cartesius o Luas Bidang Datra antara Dau Kurva Kartesius Atas Interval x: Luas bidang datar dari x = a, sampai x = b, dimana a ≤ b, yang dibatasi oleh kurva kontinu y = f(x) dan y = g (x), dimana f (x) ≥ g (x), yaitu: 𝑏

𝐿 = ∫(𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓 𝑦 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑟𝑎 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑘𝑢𝑟𝑣𝑎)𝑑𝑥 𝑎

𝑏

𝐿 = ∫𝑎 [𝑓 (𝑥) − 𝑔 (𝑥)]𝑑𝑥. o Luas Bidang Datar antara Dua Kurva Kartesius Atas Interval y: 8

Luas bidang datar dari y = c sampai y = d, dimana c ≤ d, yang dibatasi oleh kurva kontinu x = F (y) dan x = G (y), dimana F(y) ≤ G(y), yaitu: 𝑑

𝐿 = ∫ (𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓 𝑥 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑟𝑎 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑘𝑢𝑟𝑣𝑎)𝑑𝑦 𝑐 𝑑

𝐿 = ∫[ 𝐹(𝑦) − 𝐺(𝑦)]𝑑𝑦. 𝑐

 Persamaan Parameter o Luas Bidang Datar antara Kurva Parameter dan Sumbu x Diberikan suatu kurva C yang didefinisikan secara parametrik oleh x = p(t), y = q(t), 𝑡1 ≤ 𝑡 ≥ 𝑡2 , dimana

𝑑𝑥 𝑑𝑡

=

𝑑𝑝(𝑡) 𝑑𝑡

kontinu pada interval [𝑡1 = 𝑡2] dan C

dilewati tepat 1 kali selama t naik dari t = 𝑡1 ke t = 𝑡2 . Luas bidang datar tertutup yang dibatasi oleh kurva parameter C dan sumber x yaitu: 𝑡2

𝐿 = ∫ 𝑦. 𝑡1

 Persamaan Kutub

𝑑𝑥 𝑑𝑡. 𝑑𝑡

o Luas Daerah Bidang Datar antara ua Kurva Kutub Luas bidang datar tertutup yang dibatasi oleh kurva-kurva kutub 0 ≤ 𝑟𝑑 (𝜃) ≤ 𝑟1 (𝜃), 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽, 𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢: 𝛽

1 𝐿 = ∫[(𝑟𝑙 )2 − (𝑟𝑑 )2 ]𝑑𝜃. 2 𝛼

b) VOLUME BENDA PUTAR Yang dimaksud dengan benda putar adalah diambil y = f(x) adalah suatu fungsi ta negative pada suatu interval [a,b], ketika daerah antara sumbu x dan kurva y = f(x), a ≤ x ≥ b, diputar terhadap sumbu x, maka diperoleh daerah 3 dimensi yang selanjutnya dinamakan benda putaran. Dalam kasus ini sumbu x dinamakan sumbu putar.

 Metode Cakram o Rumus Cakram untu Perputaran Terhadap Sumbu x: Volume benda putaran yang dihasilkan oleh perputaran bidang datar antara sumbu x dan kurva kontinu tak negative y = f(x), a ≤ x ≥ b, terhadap sumbu x yaitu: 𝑏

𝑏 2

𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑐𝑎𝑘𝑟𝑎𝑚) 𝑑𝑥 = 𝜋 ∫ [𝑓(𝑥)]2 𝑑𝑥. 𝑎

𝑎

o Rumus Cakram untuk Perputara Terhadap Sumbu y: Volume benda putaran yang dihasilkan oleh perputaran bidang datar antara sumbu y dan kurva kontinu tak negative x = f(y), a ≤ y ≥ b, terhadap sumbu y yaitu: 𝑑

𝑑 2

𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑐𝑎𝑘𝑟𝑎𝑚) 𝑑𝑦 = 𝜋 ∫ [𝑓(𝑦)]2 𝑑𝑦. 𝑐

𝑐

9

o Rumus Cakram untuk Putaran Terhadap Suatu Garis Tegak atau Datar -

(Sumbu Putar adalah Garis Datar) volume benda putar yang dihasilkan oleh perputaran bidang datar antara garis datar y = K dan kurva kontinu tak negative y = f(x), a ≤ x ≥ b, terhadap garis datar y = K, yaitu: 𝑏

𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑦 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑟𝑎 𝑘𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢)2 𝑑𝑥 𝑎 𝑏

𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑓 (𝑥) − 𝐾)2 𝑑𝑥 𝑎

-

(Sumbu Putar adalah Garis Tegak) volume benda putar yang dihasilkan oleh perputaran bidang datar antara garis tegak x = L dan kurva kontinu tak negative x = f(y), c ≤ y ≥ d, terhadap garis tegak x = L, yaitu: 𝑑

𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑋 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑟𝑎 𝑘𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢)2 𝑑𝑦 𝑐

𝑑

𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑓 (𝑦) − 𝐿)2 𝑑𝑥 𝑐

 Metode Cincin o Rumus Cincin untuk Perputara Terhadap Garis Datar Volume benda putaran yang dihasilkan oleh perputaran bidang datar antara kurva-kurva kontinu y = f(x) dan y = g(x) atas interval [a,b], dimana K < g(x) ≤ f (x), terhadap garis datar y = K yaitu: 𝑏

𝑉 = 𝜋 ∫ [(𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑙𝑢𝑎𝑟)2 − (𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚)2 ]𝑑𝑥 𝑎 𝑏

𝑉 = 𝜋 ∫ |𝑓 (𝑥) − 𝐾|2 − |𝑔(𝑥) − 𝐾|2 𝑑𝑥 𝑎

o Rumus Cincin untuk Perputara Terhadap Garis Tegak Volume benda putaran yang dihasilkan oleh perputaran bidang datar antara kurva-kurva kontinu x = f(y) dan x = g(y) atas interval [c,d], dimana L < g(y) ≤ f (y), terhadap garis datar x = L yaitu: 𝑑

𝑉 = 𝜋 ∫ [(𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑙𝑢𝑎𝑟)2 − (𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚)2 ]𝑑𝑦 𝑐

𝑑

𝑉 = 𝜋 ∫ |𝑓 (𝑦) − 𝐿|2 − |𝑔(𝑦) − 𝐿|2 𝑑𝑦 𝑐

 Metode Kulit Selindris o Rumus Kulit untuk Perputaran Terhadap Garis Tegak Volume benda putaran yang dihasilkan oleh perputaran bidang datar antara sumbu x dan fungsi kontinu y = f(x) ≥ 0, L ≤ a ≤ x ≤ b, terhadap garis tegak x = L yaitu: 𝑏

𝑉 = 2𝜋 ∫ (𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑘𝑢𝑙𝑖𝑡). (𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 𝑘𝑢𝑙𝑖𝑡)𝑑𝑥. 𝑎 𝑏

𝑉 = 2𝜋 ∫ (𝑥 − 𝐿). 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥. 𝑎

10

o Rumus Kulit untuk Perputaran Terhadap Garis Datar Volume benda putaran yang dihasilkan oleh perputaran bidang datar antara sumbu y dan fungsi kontinu x = F(y) ≥ 0, K ≤ c ≤ y ≤ d, terhadap garis tegak y = K yaitu: 𝑑

𝑉 = 2𝜋 ∫ (𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑘𝑢𝑙𝑖𝑡). (𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 𝑘𝑢𝑙𝑖𝑡)𝑑𝑦. 𝑐

𝑑

𝑉 = 2𝜋 ∫ (𝑦 − 𝐾). 𝐹 (𝑦)𝑑𝑦. 𝑐

o Rumus Kulit untuk Putaran Bidang Datar Antara Dua Kurva -

(Sumbu Putar adalah Garis Datar) volume benda putar yang dihasilkan oleh perputaran bidang datar antara kurva-kurva kontinu y = F(x) dan y = G(x), dimana 0 ≤ g(x) ≤ f(x) dan L ≤ a ≤ X ≤ b, terhadap garis datar x = L yaitu: 𝑏

𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑘𝑢𝑙𝑖𝑡). (𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 𝑘𝑢𝑙𝑖𝑡)𝑑𝑦. 𝑎

𝑏

𝑉 = 2𝜋 ∫ (𝑥 − 𝐿). [𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥. 𝑎

-

(Sumbu Putar adalah Garis Tegak) volume benda putar yang dihasilkan oleh perputaran bidang datar antara kurva-kurva kontinu x = F(y) dan x G(y), dimana 0 ≤ G(y) ≤ F(y) dan K ≤ c ≤ y ≤ d, terhadap garis datar y = K yaitu: 𝑑

𝑉 = 2𝜋 ∫ (𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑘𝑢𝑙𝑖𝑡). (𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 𝑘𝑢𝑙𝑖𝑡)𝑑𝑦. 𝑐

𝑑

𝑉 = 2𝜋 ∫ (𝑦 − 𝐾). 𝐹 (𝑦)𝑑𝑦. 𝑐

B. PEMBAHASAN ISI SUB BAB Pada buku 1 tidak diberikan atau dijelaskan tentang bagian pendahuluan untuk bab aplikasi integral dan untuk penjelasan sub bab pada luas daerah bidang datar dan volume benda putar dijelaskan dan dipaparkan dengan baik, di buku 1 dijelaskna bagaimana turunan rumus tersebut dan bagaimana bisa rumus tersebut bisa muncul dan untuk contoh soal pada buku 1 memberikan soal yang besertakan gambar dan menggunakan Bahasa yang mudah untuk dimengerti serta jawaban pertannyaan juga menggunakan Bahasa yang simple dimana ini dapat mempermudah pembaca dalam mencerna contoh jawaban soal yang dipaparkan. Pada buku 2, dijelaskan bagian pendahuluan untuk bab aplikasi integral tentu dan untuk penjelasan sub bab pada luas daerah bidang datar dan volume benda putar juga dijelaskan dan dipaparkan tentang definisi dari materinya dan bagaimana turunan rumus tersebut, namun hanya saja pada buku ke-2 ini dalam memaparkan bagaimana rumus bisa didapatkan menggunakan Bahasa yang sedikit rumit sehingga pembaca harus mencermati lebih lagi agar dapat mengerti maksud dari penulis. Untuk contoh soal, penulis memberikan banyak contoh yang besertakan gambar juga seperti pada buku 1, namun hanya saja pada pembahasan dari soal sedikit menggunakan Bahasa yang rumit penjelasan bagaimana luas permukaan atau jumlah volume yang diperoleh menggunakan jabaran jawaban yang panjang. 11

Untuk rumus yang dipaparkan dari kedua buku, tidak adanya perbedaan yang signifikat, hanya saja peletakkan rumus pada sub bab diletakkan sedikit berbeda nanmun masih dalam 1 lingkup yang sama, pada buku 2 rumus yang diberikan jauh lebih banyak dibandingkan dibuku 1 dan peletakkan rumus juga dijelaskan dimana rumus tersebut harus digunakan dan dalam situasi yang bagaimana. Sedangkan, pada buku 1 tidak terlalu dijelaskan secara to the point seperti pada buku 2 namun, penggunaan rumus masih bisa dicerna oleh pembaca. Kekurangan pada buku 1, terletak pada penjabaran definisinya saja, pada buku ini tidak terlalu berfokus pada penjelasan denfinisi dan lebih fokus pada contoh soal dan penjelasan jawabannya saja. Dan untuk buku 2, pemamaparan definisi, turunan rumus, dan juga pembahasan jawaban soal agaknya sidikit sulit untuk dicerna maksudnya dan harus dibaca dengan cermat dan teliti agar dapat menangkap maksud dari apa yang telah dijelaskan. Kelebihan pada buku 1, disini penulis tidak terlalu rumit dalam menjelaskan bagaimana turunan rumusnya dan untuk pembahasan jawaban soal juga menggunakan Bahasa yang mudah dimengerti. Pada buku 2, disini penulis menjelaskan secara detail dimana rumus yang dipaparkan harus digunakan untuk menyelesaikan suatu soal yang diberikan.

12

BAB III PENUTUP

A. KESIMPULAN Kedua buku memiliki kelebihan dan kekurangan masing-masing yang sudah dipaparkan pada bab sebelumnya. Menurut saya pribadi buku I lebih mudah untuk saya pahami karena tidak terlalu rumitnya penulis dalam menjelaskan maksud dari yang penulis paparkan, dan bukan berarti buku II tidak baik untuk digunakan sebagai bahan ajar. Kedua buku memiliki kelebihannya masing –masing. Dan kedua buku sangat cocok untuk digunakan sebagai bahan ajar atau mungkin hanya untuk sebagai referensi saja.

B. SARAN Untuk memberikan penjelasan tentang materi sebaiknya jangan terlalu mendominasi isi buku karena yang paling utama adalah contoh yang diberikan dan bagaimana penulis mampun menjelaskan bagaimana cara menyelesaikan rumus tersebut dengan singkat namun juga jelas.

13

Daftar pustaka

Gazali, W., dan Soedadyatmodjo, (2007), Kalkulus, Graha Ilmu, Yogyakarta. Nugroho, D. Budi, (2012), Kalkulus Integral dan Aplikasinya, Graha Ilmu, Yogyakarta.

14

LAMPIRAN

A. BUKU I

15

B. BUKU II

16