Cau 4

Câu 4 Ước lượng phương sai đ đông

σ2

Ta phân biệt hai trường hợp: µ chưa biết và u đã biết • Giả sử đám đông có phân phối chuẩn với cả hai và µ chưa biết . (n − 1) S

Tá đã biết

1

σ2

2 1  n  − x   2 ∑X i  σ1

có phân phối chi bình σ phương với (n-1) bậc tự do. Căn cứ vào mẫu ( X ,..., X ) , tta tìm được khoảng ( σ ; σ ) để ước lượng σ như sau: 2

=

1

P

2

2

1

2

( σ „σ „σ ) = 1 − α ;với σ 2

1

2

2

2

1

2

α 2

α χ n−1  2

(n − 1) S

X

2

 α 1−  n −1   2 2

χ

 α 1− n−1   2

(n − 1) S

α 2

D 2

; σ2 = 2

C

A B

2

=

2

  

E

X

2

n −1

2

.

n

2

Trên đồ thị ta chon 2 hoành độ X cho thỏa mãn hai xác suất như sau :

n −1

 PX 

1/

2 n −1

 α 1 −  <  2

X

2 n −1

 α = 2 

α   2

và X

2 n −1

 α 1 −   2

sao

, diện tích (DECD), Bảng D có

diện tích bên trái, ở đây có diện tích bên phải 2/

 PX 

2 n −1

α  < 2

X

2 n −1

 α  = 1− 2 

, diện tích (BDECAB)

Diện tích (BDECAB) – diện tích (DECD) = diện tích (BDECAB) = 1 –a == > diện tích (OABO) =1 – diện 

α

α

tích (BDECAB) = 1 − 1 − 2  = 2

Ý nghĩa là : tuy đồ thị phân phối chi bình phương không đối xứng như phân đối chuẩn , nhưng ta muốn tìm một khoảng tin cậy đối xứng như hình vẽ( giống như phân phối chuần ta thường làm ), nghĩa tìm điều kiện 2 diện α tích hai bên bằng nhau = 2  PX 

Bây

Hay

α  2 2  α   < X n −1 < X n −1 1 −   = 1 − α , 2  2  2 (n − 1) S giờ thay X 2n−1 = σ2 , ta có:  2  α  (n − 1) S 2 α  2  P  X n −1   < < X n −1 1 −   = 1 − α 2 σ 2  2      2  (n-1) 2 S < σ 2 < ( n − 1)2 S  = 1 − α P  2 1 − α  X n−1   X n-1  2   2

n −1

• Giả sữ đám đông có phân phối chuẩn với : σ chưa 2

biết nhưng

µ

đã biết .

Ta đã biết 2 nS$

σ

2

≈U =

2 2 1 n S$ =  ∑  X i − X   , n 1 

2 1  n 2  − µ   ∈ X n 2 ∑X i  σ1

vậy khin đủ lớn thì :

có phân phối chi bình phương

với n là số bậc tự do (xem mệnh đề của lý thuyết mẫu , phần bài tập chương 4). Ta có

  P   X

2 nS$ 2 <σ < α 2 1−  n  2

:

 2  $ nS  = 1− α 2  α  X n  2  

Ví dụ : Mức hao phí nguyên liệu cho một loại sản phẩm X trên một đơn vị sản phẩm tuân theoquy luật chuẩn . Người ta cần thử một mẫu 25 sản phẩm loại này như sau Trọng lượng hao phí 19.5 20 20.5 Số sản phẩm 5 18 2 Với độ tin cậy 95% hãy tìm khoảng tin cậy cho độ lệch tiên chuẩn của mức hao phí nguyên vật liệu trên . trocng ba trường hợp .

a/ Đã biết kỳ vọng đám đông:E(X)= µ =19 b/ Không biết kỳ vọng đám đông : E(X)= µ c/ đã biết kỳ vọng đám đông : E(X)= µ =20 Giải Ta tính các đặt trưng mẫu . 1 1 x = ∑ n x = ( 5*19.5 + 18* 20.0 + 2* 20.5 ) = 19.94 25 25 3

i

1

•

i

3

2 2 2 2 2 ns$ ≈ ∑ n i ( x i − µ ) = 5* ( 19.5 − 19 ) + 18* ( 20 − 19 ) + 2* ( 20 > 5 − 19 ) = 23 > 75 1

• ( n − 1) S

2

3

= ∑ ni 1

( x − x) i

2

= 5* ( 19 > 5 − 19 > 94 ) + 18* ( 20 − 19 > 94 ) + +2* ( 20.5 − 19 > 94 ) = 1.66 2

2

2

a/ Đã biết E(X)= µ =19 . Phân phối chi bình phương n chi tự do . α 23.75 1 − α = 095, = 0.025 ==> X ( 0.025 ) = 13.12, X ( 0.975 ) = 40.646 ==> σ = = 0.584, σ 2 40.646 Vậy σ ∈ ( 0.584,1.810 ) ⇒ σ ∈ ( 0.764,1.34 ) 2

2

2

2

25

25

1

2

2

b/ Không biết E(X)= µ . Phân phối khi bình phươnh (n1)bậc tự do . ==> X ( 0.025 ) = 12.401, 1.66 ==> σ = = 0.0422 X ( 0.975) = 39.364 39.364 2

24

2

2

24

1

1.66

σ = 12.401 = 0.133 Vậy σ ∈ ( 0.042, 0.133) ⇒ σ ∈ ( 0.204, 0.364 ) 2 2

2

=

23 13

c/ Đã biết E(X)= µ =20 . Phân phối chi bình phương n bậc tự do . • ns$ ≈ ∑ n ( x − µ ) = 5* ( 19.5 − 20 ) + 18* ( 20 − 20 ) + 2* ( 20.5 − 20 ) = 1.75 3

2

2

i

1

2

2

2

i

α 1 − α = 095 „ = 0.025 ==> 2

X ( 0.025) = 13.12 2

25

1.75

X ( 0.975) = 40.646 ==> σ = 40.646 = 0.043 „σ Vậy σ ∈ ( 0.043, 0.133) ⇒ σ ∈ ( 0.207 „0.364 ) 2

2

25

1

2 2

=

1.75 = 0.133 13.12

2

Nhận xét : vì x = 19.94 va µ =19 nằm ngoài bảng phân phối ở trên , nên khoảng tin cậy giữa hai câu a/ và b/ không xấp xỉ nhau . Trong khi đó kết quả câu c/ rất xát với câu b/ ,vì x = 19.94 ≈ µ = 20 Ví dụ : Tiến hành 15quan sát về chỉ tiêu X của một loại sản phẩm , ta được s = 14.574 . Hãy ước lượng phương sai của X với độ tin cậy 95% giả thiết X có phân phối chuẩn . Giải Ước lượng khoảng cho phương sai σ của đám đông có phân phối chủa và µ không nói gì nghĩa là chưa α biết . n = 15,1 − α = 95% ⇒ α = 5% ⇒ 2 = 2.5% ==> tra bảng D : 14*14.574 14*14.574 X ( 0.25) = 5.63, X ( 0.975) = 26.1, σ = 26.1 = 7.82, σ = 26.1 = 36.24 Vậy σ ∈ ( 7.82, 36.24 ) 2

2

2

2

2

2

14

14

1

2

2