Casio

CHUYÊN ĐỀ : TÌM CÁC CHỮ SỐ TẬN CÙNG ( manocanh tổng hợp từ các cuốn sách số học của Nguyễn Vũ Thanh, Nguyễn Đức Tấn ... ) A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT I.PHÉP CHIA HẾT : 1.Định nghĩa : Cho hai số nguyên bất kỳ . Nhưng khi khảo sát các chữ số tận cùng của một số , có những phương pháp đặc biệt khá lí thú : 1.Tìm một chữ số tận cùng của

) ta lấy số mũ

số 2 )

Giải : Đặt

số 2 ) . Ta có

Giải : Trước hết ta tìm hai chữ số tận cùng của Ta có : Vì Vậy : Tương tự như trên các bạn hãy đưa ra phương pháp tìm bốn chữ số tận cùng của chữ số tận cùng của n

dựa vào

c.Bài tập : LÝ EULER , ĐỊNH LÝ FERMAT 1.Định lý Fermat : Chắc hẳn rằng các bạn đã từng gặp bài toán sau : Chứng minh rằng với mọi số nguyên n: a) chia hết cho 2 b) chia hết cho 3 c) chia hết cho 5 Bài toán này có thể giải được bằng cách phân tích

ra thừa số

a) . Trong hai số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có một số chia hết cho 2. b) . Trong ba số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có một số chia hết cho 3 c) Nếu chia hết cho 5 thì chia hết cho 5 Nếu không chia hết cho 5 , thì có dạng hoặc trong ba số luôn có

một số chia hết cho 5 - với thì , chia hết cho 5 - với thì , chia hết cho 5 - với n=5k+_2thì do đó , chia hết cho 5 Ta chú ý rằng nếu như với mọi số nguyên , thì không phải luôn chia hết cho 4 ( với , ta có không chia hết cho 4 ) Các số là các số nguyên tố và bài tập ta vừa giải là trường hợp riêng của định lý sau đây : Định lý Fermat ( Phec-ma) Nếu là số nguyên tố thì chia hết cho ) với mọi số nguyên Chứng minh : Nếu chia hết cho thì rõ ràng Nếu không chia hết cho thì với với ....

đều là không chia hết cho , nghĩa là :

với số (mỗi số lấy một trong các giá trị từ đến là đôi một khác nhau , bởi vì nếu có hai số nào bằng nhau , thí dụ thì từ hai đồng dư thức trên đây mà vế phải là và , ta sẽ có do đó , trong đó chia hết cho trái với giả thiết Nếu của

số đôi một khác nhau mà mỗi số lại lấy giá trị từ đến số đó phải bằng tích của các số từ đến :

Nhân từng vế

thì tích

đồng dư thức trên ta được :

Chia hai vế của đồng dư thức cho tích

nguyên tố với , và được :

Từ đó : 2.Định lý Euler : Euler đã mở rộng định lý Fermat cho trường hợp modun m bất kỳ và có định lý sau đây : là số nguyên dương gọi là số các số bé hơn và nguyên tố cùng nhau với được gọi là hàm Euler Công thức tính . Phân tích ra thừa số nguyên tố :

Định lý Euler : Với

thì