Cartilla 5 Mat. Ciclo V

ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Igualdad: Expresión de dos cantidades algebraicas que tienen el mismo valor. ejemplo: b = c + d, 2x = x ² – 1

Por

Ecuación: Igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas, llamadas incógnitas, y que sólo se verifican para determinados valores. Las incógnitas se representan por las últimas letras del alfabeto. 3x – 1 = 20 es una ecuación que tiene la incógnita x. La igualdad sólo se verifica para x 0 7. Si damos a x un valor diferente, la igualdad no se verifica. Identidad: Hay algunas ecuaciones que se verifican para cualquier valor de las variables, éstas son las identidades. (x – g) ² identidad (x – g) (x - g) Miembros: Son las expresiones que hay a ambos lados del igual o del signo de identidad. El primer miembro es el que está a la izquierda y el segundo el que está a la derecha. 4x – 5 = 2x – 1 , Primer miembro 4x – 5, Segundo miembro 2x – 1 . Términos: Son las cantidades que están conectadas con otra a través de un signo, o que está sola en un extremo de la ecuación. 20x ² – x = 3x + 8, Términos: 20x ² , - x, 3x + 8 . Miembro y término son equivalentes sólo cuando en un miembro de una ecuación hay una sola cantidad. Clases de ecuaciones * Numérica: La que tiene una incógnita. 5x – 4 = x – 1 * Literal: La que tiene otras letras que representan conocidas. 2x + 3d = b – 5bx * Entera: Sus términos no tienen denominador. * Fraccionaria: Algunos o todos sus términos tienen denominador. (6x / 9) + 13x / 4 = 4 – (20x / 3) Grado: Mayor exponente que tiene la incógnita. Primer grado: x – 1 = 3 , Segundo grado: 3x – x ² = 4x , Tercer grado: 5 – 3x ³ = x – 3 , Las ecuaciones de primer grado se llaman ecuaciones lineales o simples.

Raíces o soluciones: Valores de las incógnitas que verifican o satisfacen la ecuación, es decir, que sustituídos en lugar de las incógnitas, convierten la ecuación en identidad. Así, en 4x – 2 = 1 – 2x la raíz es 1 / 2 porque haciendo x = 1 / 2 tenemos: 4(1 / 2) - 2 = 1 – 2(1 / 2) 2–2=1–1 0=0 Las ecuaciones de primer grado tienen una raíz, las otras pueden tener más. Resolver una ecuación es encontrar sus raíces. Como la adición es opuesta a la sustracción y la multiplicación es opuesta a la división use la sustracción para deshacer la adición y viceversa. Algo similar puede hacerse entre la multiplicación y la división: n+2=8 n+2–2=8–2 n=6 Esto se puede resumir así: si una expresión está sumando en un miembro, puede pasarse al otro miembro restando y viceversa. Ejemplo 1 : Resolver la ecuación

5x = 8x – 15

5x – 8x = 8x – 8x – 15 - 3x = - 15 3x = 15 x = 15 / 3 x=5 El resultado se puede verificar sustituyendo el valor encontrado en la incógnita. 5(5) = 8(5) – 15

25 = 40 – 15 25 = 25 Ejemplo 2: Resolver la ecuación

5x + 6 = 10x + 5

5x – 5x + 6 = 10x – 5x + 5 6 = 5x + 5 6 – 5 = 5x 1 = 5x 1/5=x PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA La verificación en los problemas consiste en ver si los resultados obtenidos satisfacen las condiciones del problema. Ejemplo 1: números.

La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. Hallar los

Sea x el número menor, y x + 8 el mayor. La suma de ambos es: x + (x + 8) = 106 resolviendo: x + x + 8 = 106 2x = 98 x = 49

El mayor es: (49) + 8 = 57

Ejemplo 2 : La edad de Pedro es el triplo de la de Juan, y ambas edades suman 40 años. Hallar ambas edades. Si x es la edad de Juan, 3x es la edad de Pedro. Según las condiciones del problema tenemos: x + 3x = 40 resolviendo: 4x = 40

x = 40 / 4 x = 10

La edad de Pedro es: 3(10) = 30

ECUACIONES NUMERICAS FRACCIONARIAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Una igualdad no varía si sus dos miembros se multiplican por una misma cantidad. Para suprimir denominadores, se multiplican todos los términos de la ecuación por el MCM de los denominadores. Ejemplo 1 :

Resolver (x / 6) + 5 = (1 / 3) – x

32,3

Entonces MCD: 3 2 = 6

6(x / 6) + 6(5) = 6(1 / 3) – 6x x + 30 = 2 – 6x 7x = - 28 x=-4 Ejemplo 2: Resolver (x / 2) + 2 – (x / 12) = (x / 6) – (5 / 4) de donde: 12 * 2, 6 * 2, 3 * 3, 1 entonces 2, 2 2, 2 * 3, 2 2 * 3. Se toman los comunes y no comunes con el mayor exponente. MCD: 2 2 * 3 = 12 12(x / 2) + (12)2 – 12(x / 12) = 12(x / 6) – 12(5 / 4) 6x + 24 – x = 2x – 15 6x – x – 2x = - 15 – 24 6x – 3x = - 39 3x = - 39 x = - 39 / 3 x = - 13

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES. Eliminación de una incógnita. Eliminar una incógnita de un sistema de ecuaciones es reducir el sistema propuesto a otro que tenga una ecuación y una incógnita menos. Los métodos de eliminación son: 1º. Por adición o sustracción. 2º. Por igualación. 3º. Por sustitución. 1º. Eliminación por adición o sustracción: Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas empleando el método de eliminación por suma o resta: a) Multiplíquense los dos miembros de una de las ecuaciones, o de ambas, por número tales que resulten iguales los coeficientes de una misma incógnita. b) Súmense las dos ecuaciones si dichos coeficientes son de signos contrarios, y réstense si son de mismo signo. c) Resuélvase la ecuación que así resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita que contiene. d) Sustitúyase este valor en una de las ecuaciones dadas y resuélvase; se obtiene así la otra incógnita.

Ejemplo: Sea resolver el sistema: x - 3y = 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1), 2x + y = -10 . . . . . . . . . . . . . . . . .(2). Solución: Multiplíquese ambos miembros de (1) por 2, se obtiene: 2x - 6y = 18 . . . . . . . . . . . . . . . . (3). Réstese miembro a miembro la (2) de la (3), desaparecen los términos en "x": -7y = 28 , se obtiene: y = -4. Sustitúyase "y" por su valor en cualquiera de las ecuaciones dadas, y despéjese a "x":

x - 3y = 9 x - 3(-4) = 9 x + 12 = 9 x = -3; por tanto: x = -3; y = -4. 2º. Eliminación por igualación: a) Despéjese, en cada ecuación, la incógnita que se requiere eliminar. b) Iguálense las expresiones que representan el valor de la incógnita eliminada. c) Resuélvase la ecuación que resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada. d) Sustitúyase el valor hallado en una de las expresiones que representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase.

Ejemplo: Sea resolver el sistema: x + 2y = 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1), 4x - y = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2). Se va a eliminar "x". Despéjese el valor de "x" en (1) y (2); se tiene: x = 22 - 2y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3) , x = (7 + y) / 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . (4). Iguálense las dos expresiones que representan el valor de "x": 22 - 2y = (7 + y) / 4 Dése forma entera, o sea, quítense los denominadores, luego resuélvase: 88 - 8y = 7 + y -9y = -81 y=9 Sustitúyase en (3) o en (4) el valor hallado para "y": x = 22 - 2y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3), x = 22 - 2(9) x=4 por tanto: x = 4; y = 9. 3º. Eliminación por sustitución.

a) Despéjese una incógnita en una de las dos ecuaciones. b) Sustitúyase la expresión que representa su valor en la otra ecuación. c) Resuélvase la nueva ecuación, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada. d) Sustitúyase el valor así hallado en la expresión que representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase la ecuación resultante.

Ejemplo: Sea resolver el sistema: 3x + y = 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . (1), 4x - 3y = -1 . . . . . . . . . . . . . . . . .(2). Se va a eliminar "x". Despéjese el valor de "x" en (1): 3x = 22 - y x = (22 - y) / 3 . . . . . . . . . . . . . . . (3). Sustitúyase (3) en (2): 4 [(22 - y) / 3] - 3y = -1 4 (22 - y) - 9y = -3 88 - 4y - 9y = -3 -13y = -91 y = 7. Sustitúyase en (3) el valor hallado para "y". x = (22 - y) / 3 . . . . . . . . . . . . . . . (3). x = (22 - 7) / 3 x=5 por tanto: x = 5; y = 7.

Observaciones: 1ª Cuando se resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de adición, escójanse números tales que multiplicados por los coeficientes de la incógnita que se quiere eliminar, den como producto el m.c.m. de dichos coeficientes. 2ª En el método de sustitución, despéjese la incógnita que tenga menor coeficiente. 3ª En la resolución de un sistema dado, puede usarse indistintamente uno cualquiera de los tres métodos estudiados, y cada uno tiene sus ventajas según los casos particulares. Sin embargo, como los últimos procedimientos introducen, por lo general, expresiones

fraccionarias, se usa con preferencia el método por adicción o sustracción, por ser el más sencillo.

Función lineal: La función lineal (función polinomial de primer grado) es de la forma y = f (x) = ax + b; a y b son números dados; el dominio y contradominio es el conjunto de todos los números reales. La gráfica de cualquier función lineal es una línea recta. La a representa la pendiente de la recta y b, el intercepto con el eje y (u ordenada en el origen). Como por dos puntos diferentes, en el plano cartesiano, se puede trazar una sóla línea recta, basta con calcular las coordenadas de dos de los puntos para trazar la gráfica de una función lineal; es conveniente que dichos puntos sean los interceptos con los ejes del plano. Como ya mencionamos antes, el intercepto con el ejey, es b; para hallar el intercepto con el eje x (o abscisa en el origen), se iguala la ecuación de la función a 0 y se despeja el valor respectivo para x. Función constante: Se puede considerar a la función constante como un caso particular de la función lineal cuando se hace x = 0. La función constante se define como:

El dominio de la función constante es el conjunto de los números reales y el codominio es k. La gráfica de la función constante es una línea recta paralela al ejex, y corta al ejey en y = k. Función identidad: La función identidad es una función lineal con a = 1 y b = 0. La función lineal se define por: El dominio y el codominio de la función identidad es el conjunto de los números reales. La función identidad biseca los cuadrantes I y III. Observe su gráfica a la derecha

Función cuadrática:

Para trazar la gráfica de una función cuadrática es conveniente construir una tabla de valores, con por lo menos cuatro valores, uno para el vértice, dos para los interceptos con el ejex y un cuarto para el intercepto con el ejey.

x y

Tabla de valores -0.41 0 1 2.41 0 -1 -2 0

x y

Tabla de valores -1 0 0.75 1.5 -5 0 1.125 0

2 -2

Tabla de valores x -1 0 1 y 4 0 4