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FACULTAD DE MECÁNICA ESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA

MECANISMOS INTRODUCCIÓN

Riobamba 2018

La cinemática de las máquinas, también llamada mecanismos, es una disciplina que enlaza ciencias más básicas, como dinámica, con otras más ingenieriles o de aplicación, tales como el diseño de máquinas. Durante el estudio de la dinámica se aprendió el cálculo de velocidades y aceleraciones de cuerpos rígidos y agrupaciones de cuerpos rígidos; además, se analizaron las fuerzas necesarias para producir determinadas aceleraciones en los cuerpos. Ahora el estudio se concentrará en agrupaciones de cuerpos conocidos como mecanismos. Por otro lado, la cinemática de las máquinas concede especial atención a las distintas posiciones que los cuerpos que forman parte de un mecanismo adquieren durante el movimiento del mecanismo. Este análisis de posición es requerido en el diseño de máquinas. Cronologicamente, la primera consideración en un diseño, es el movimiento que es necesario producir a fín de cumplir con el objetivo deseado; en un segundo término, se encuentran las consideraciones de resistencia y rigidéz. “ la cinemática se interesa por la descripción analítica del movimiento planar o espacial de un mecanismo en función del tiempo ”

Definición de la Cinemática de las Máquinas. La cinemática de las máquinas se define como aquella división del diseño de máquinas que concierne con el diseño cinemático de eslabonamientos, levas, engranes, etc. Diseño de máquinas: Es la creación de un plan para la construcción de una máquina o dispositivo para realizar una función. Diseño cinemático: Es diseño sobre la base de requerimientos de movimiento, en contraste con el diseño en base a requerimientos de resistencia y rigidéz. Así pues, es posible redefinir la cinemática de las máquinas como: “Aquella parte del diseño de máquinas que concierne con el diseño, en base a requerimientos de movimiento, de eslabonamientos, levas, engranes, etc”. La cinemática directa permite conocer cuál es la posición y orientación que adopta el extremo de un mecanismo cuando cada una de las variables que fijan la posición u orientación de sus articulaciones toma valores determinados. La cinemática inversa consiste en encontrar los valores que deben adoptar las coordenadas articulares del mecanismo para que su extremo se posicione y oriente según una determinada localización espacial.

Mecanismo y Máquina. Mecanismo. Es un dispositivo para trasformar un movimiento en otro. Mecanismo es un conjunto de cuerpos conectados de tal manera que cada uno se mueve respecto a los demás y transmiten movimiento. Un sistema mecánico está compuesto de multitud de elementos que se conjugan entre sí para generar movimientos determinados. La teoría de los mecanismos y las máquinas es una ciencia aplicada que sirve para comprender las relaciones causa efecto entre los componentes mecánicos y los movimientos producidos de una máquina o mecanismo.

Máquina: Es un mecanismo o una combinación de mecanismos que trasmiten fuerza, desde la fuente de potencia hasta la resistencia a vencer. Si las fuerzas están asociadas con la conversión de la energía de fluidos a alta temperatura, entonces podemos hablar de una máquina térmica. Mientras que en la idea de mecanismo, el pensamiento se centra sobre el movimiento, dejando en un plano secundario la transmisión de fuerza necesaria para vencer la fricción o una fuerza exterior; en la idea de máquina, la mente asocia la transmisión de fuerzas substanciales. Debe reconocerse que las partes que constituyen un mecanismo deben ser resistentes a la deformación; es decir, cuerpos rígidos aproximados. Además, puesto que en la cinemática de las máquinas no interesa la resistencia y la rigidéz, supondremos que las partes de un mecanismo son completamente rígidas y sin peso.

CLASIFICACIÓN DE LOS MECANISMOS Podemos clasificar los mecanismos de la siguiente manera: •En función de la movilidad de sus miembros -Desmodrómicos o de - No desmodrómicos o movilidad determinada movilidad indeterminada

•En función del tipo de movimiento de sus miembros - Planos -Espaciales

de

Grados de Libertad del Movimiento de un Cuerpo Rígido. Grado de libertad de un sistema. Se define como el número mínimo y suficiente de variables que es necesario conocer para determinar el estado de un sistema. En la cinématica, donde no nos interesan las fuerzas que producen el movimiento, el estado de un sistema, cinemético, es sinónimo con posición. Si se conoce la posición de un sistema cinemático se conoce todo acerca del sistema. Así pues, es posible iniciar explorando el concepto de grados de libertad del movimiento de un cuerpo rígido.

Grado de libertad de un cuerpo rígido es el número mínimo y suficiente de variables necesarias para especificar completamente la posición del cuerpo. Si el cuerpo está libre de moverse en el espacio su movimiento tiene seis grados de libertad.

Es decir, se requieren seis variables para especificar completamente la posición del cuerpo: Tres variables para especificar las coordenadas de un punto cualquiera del cuerpo, respecto a un sistema de referencia dado, y tres variables para especificar la orientación de un sistema coordenado formado por tres líneas perpendiculares unidas al punto seleccionado del cuerpo. A cada una de esas variables se le asocia un grado de libertad. Al ponerse en contacto, con otros cuerpos, el movimiento del cuerpo original pierde grados de libertad. Elementos Constitutivos de un Mecanismo. Los elementos constitutivos de un mecanismo son, por un lado, los cuerpos que forman el mecanismo y, por el otro lado, las conecciones entres estos cuerpos que les permiten permanecer en contacto y transmitir movimiento. Los cuerpos se denominán eslabones o barras y las conecciones se denominan pares cinemáticos, en esta sección ambos se definirán de manera puntual y se clasificarán en diferentes tipos o clases.

Eslabón o Barra. Eslabón o barra es cada uno de los cuerpos que forman un mecanismo y, de acuerdo con lo explicado, se suponen que son rígidos y no tienen peso. La condición de rigidéz de los eslabones no es necesariamente total, sino unicamente implica que sea rígido respecto a las fuerzas a las que se somete el eslabón. Esta consideración da lugar a una clasificación de los eslabones de acuerdo a su rigidéz:

1. Rígido en ambos sentidos, cuando el eslabón tiene rigidéz a tensión y compresión. Ejemplos: La biela de un compresor, un engrane, el pistón de una máquina de combustión interna, etc. 2. Rígido en un único sentido. (a) Rígido cuando se sujeta a compresión. Ejemplo: Fluidos hidráulicos. (b) Rígido cuando se sujeta a tensión. Ejemplo: Correas, bandas y cadenas. A fín de transmitir movimiento, los eslabones deben conectarse unos a otros. Esas conexiones se realizan a través de ciertas partes de sus cuerpos que reciben el nombre de elementos. La siguiente subsección examina la relación entre elementos y pares.

Eslabones y Pares. Par cinemático. Una pareja de elementos, pertenecientes a diferentes eslabones, mantenidos permanentemente en contacto y de manera que existe movimiento relativo entre ellos, recibe el nombre de par cinemático. Esta definición da lugar a una nueva clasificación de los eslabones, esta clasificación depende del número de elementos que contiene un eslabón; en otra palabras, la clasificación indica el número máximo de pares, que puede formar el eslabón. Es lógico que si los eslabones tienen como función la transmisión de movimiento, el número mínimo de pares que deben formar es dos; así pues, los eslabones se clasifican en: 1. Eslabón o barra binaria

2. Eslabón o barra poligonal (a) Barra ternaria (b) Barra cuaternaria. (c) Barra quinaria, etcetera.

Clasificación de Pares Cinemáticos. La clasificación de pares cinemáticos puede realizarse en base a tres diferentes criterios. 1. El número de grados de libertad del movimiento relativo de los eslabones que están conectados por el par. 2. El tipo de contacto entre los elementos. 3. La forma en que los elementos se mantienen en contacto.

Clasificación de pares cinemáticos en cuanto al número de grados de libertad del movimiento relativo entre los elementos. En esta clasificación, existen dos condiciones que imponen un límite superior e inferior al número de grados de libertad, esas condiciones son: • El par cinemático debe permitir movimiento relativo entre los elementos. Por lo tanto, debe existir al menos un grado de libertad en el movimiento relativo. • Los elementos, y consecuentemente los eslabones unidos por el par, deben permanecer en contacto. De aqui qué deba existir como máximo cinco grados de libertad en el movimiento relativo entre los eslabones. Una vez que se han determinado los límites superior e inferior del número de grados de libertad del movimiento relativo que permite un par cinemático, es posible clasificarlos de forma exhaustiva.

En base a estos fundamentos es posible clasificar a los pares cinemáticos en base al número de grados de libertad del movimiento relativo que permiten entre los eslabones.

Clasificación de Pares Cinem´aticos en Base a los Grados de Libertad del Movimiento Permitido Entre los Eslabones.

Existen otras dos clasificaciones que aun cuando no son de importancia en el análisis de mecanismos son altamente importantes en el contexto mas amplio del diseño de máquinas.

Clasificación de pares cinemáticos de acuerdo al tipo de contacto entre elementos. En base a esta clasificación, los pares cinemáticos se clasifican en 1. Pares inferiores. El contacto entre los elementos es a través de una superficie. Ejemplos, Pistón-camisa de un compresor, par globular de un portaplumas. 2. Pares superiores. El contacto entre los elementos es, al menos idealmente, a través de un punto o una línea. Ejemplos, Contacto entre una leva y su seguidor de rodillo.

Para la transmisión de fuerzas de mediana elevada magnitud se prefieren los pares inferiores; pues los superiores estarían sujetos a esfuerzos de contacto muy elevados.

Clasificación de pares cinemáticos en cuanto a la forma en que se mantienen los elementos en contacto. En base a esta clasificacio´n, los pares cinema´ticos se clasifican en 1. Pares abiertos ó cerrados por fuerza. Los elementos se mantienen en contacto mediante el concurso de una fuerza externa tal como la gravedad o la fuerza de un resorte deformado. Ejemplo, El par formado por una leva y su seguidor en una máquina de combustión interna. 2. Pares cerrados por forma. Los elementos se mantienen en contacto por la forma misma de construcción del par. Ejemplo, El par prismótico formado por el pistón y camara de un compresor.

Debe observarse que los pares cinemáticos cerrados por forma son mas confiables que los cerrados por fuerza.

Mecanismos Planos y Pares Cinemáticos. Dentro de los mecanismos, existe una clase conocida como mecanismos planos; su construcción es sencilla y su estudio relativamente simple, estas características, aunadas a su gran versatilidad de aplicacin, son suficientes para que nuestro curso se concentre en su estudio. Mecanismos planos. Los mecanismos planos se definen como aquellos mecanismos tales que todos sus eslabones están sujetos a movimiento plano general y los planos de movimiento son paralelos. La pregunta que surge de inmediato es: ¿Qué tipos de pares cineméticos pueden formar parte de un mecanismo plano? Esta pregunta puede contestarse en base a un sencillo análisis. Un cuerpo sujeto a movimiento plano general tiene tres grados de libertad; si además el cuerpo está conectado a otros eslabones a fín de formar parte de un mecanismo, entonces los pares que pueden formar parte de mecanismos planos deben perder como mínimo cuatro grados de libertad. Este resultado restringe los posibles pares a aquellos de las clases I y II.

Ahora bien, los pares de las clases I y II que pueden formar parte de mecanismos planos serán aquellos que permitan uno o varios de los movimientos que constituyen el movimiento plano. De forma más correcta, debe decirse que esos pares generan alguno de los subconjuntos contenidos en el grupo de los movimientos formados por todos los movimientos planos generales. Translación a lo largo de dos ejes linealmente independientes contenidos en el plano, o rotación alrededor de un eje perpendicular al plano. Un sencillo análisis muestra que los pares que pueden formar parte de un mecanismo plano son: los pares de revoluta, los pares prismáticos y los pares de leva. Esta restricción sobre los tipos de pares cinemáticos que pueden formar parte de mecanismos planos se basa exclusivamente en consideraciones del número de grados de libertad en el movimiento relativo así como del movimiento asociado a esos pares. Existe una infinidad de mecanismos formados exclusivamente por los pares antes mencionados que no son planos: Transmisiones mediante engranes cónicos, la junta de cardan, levas cilíndricas, etc. Por lo tanto, deben existir otras restricciones que conciernen a la disposición u orientación de los ejes de los pares cinemáticos y que en conjunto con las anteriores, aseguran que el mecanismo formado es plano. Estas restricciones se indican a continuación.

1. En un mecanismo plano constituido por pares de revoluta, todos los ejes de rotación deben ser paralelos. 2. Si un par de revoluta se sustituye por un par prismático, el eje de desplazamiento del par prismático debe ser perpendicular a los ejes de rotación de los restantes pares de revoluta. 3. Si en un mecanismo plano se incluye un par de leva, el eje de rotación del par de leva debe ser paralelo a los ejes de los restantes pares de revoluta y el eje de la traslación debe ser perpendicular a los ejes de rotación de los restantes pares de revoluta. Hasta aquí, hemos definido, clasificado y analizado cada uno de las partes constitutivas de los mecanismos, toca ahora unirlas o conjuntarlas para obtener eventualmente mecanismos, ese es el tema de la siguiente sección.

Cadena Cinemática, Eslabonamiento e Inversión. Cadena Cinemática. Una cadena cinemática es la unión de pares cinemáticos y eslabones de modo que formen uno o varios circuitos ó lazos. Si los eslabones forman un circuito cerrado se tiene una cadena cerrada (a). De no ser así corresponde a una cadena cinemática abierta (b) por ejemplo. Una retroexcavadora, un brazo mecánico robot, un brazo humano, los cuales son sistemas reconfigurables.

Las cadenas cinemáticas se clasifican en: 1. Simples cuando todos los eslabones que forman la cadena cinemática son binarios. 2. Complejas cuando en la cadena existen uno o varios eslabones poligonales. Ejemplo. La cadena mostrada en la figura tiene un único lazo y cinco eslabones binarios, por lo tanto es simple.

La cadena mostrada en la figura tiene dos lazos. Existe además otro lazo que comprende parte de los otros dos lazos; sin embargo, puede probarse que las ecuaciones escalares que genera este tercer lazo son combinaciones de las ecuaciones escalares que generan los dos primeros lazos. En esta cadena cinemática, los eslabones 2, 5, y 7 son binarios y los eslabones 1, 3, 4 y 6 son ternarios, por lo tanto, la cadena es compleja.

El siguiente paso en la generación de mecanismos es la generación de eslabonamientos.

Eslabonamiento. Un eslabonamiento es una cadena cinemática en la cual se ha fijado uno de sus eslabones a un marco de referencia, este eslabón fijo se denomina marco o eslabón fijo. Por otro lado, la palabra eslabonamiento se emplea, con un sentido más específico, para nombrar mecanismos formados exclusivamente por pares inferiores. Ejemplo. Los eslabonamientos mostrados en la figura se han formado fijando respectivamente los eslabones 1 y 5.

Dos Eslabonamientos Generados a Partir de la Cadena Cinemática Simple Inversión. A partir de una cadena cinemática formada por n-eslabones, puede generarse como máximo n eslabonamientos diferentes. Dado un eslabonamiento, los diferentes eslabonamientos que se producen al fijar alternativamente uno de los restantes eslabones de la cadena, se llaman inversiones del eslabonamiento inicial. Es importante reconocer que en una inversión, el movimiento relativo entre los eslabones no se altera y solo cambia su movimiento absoluto. Un ejemplo importante del concepto de inversión se encuentra en la síntesis gráfica de levas. Una de las aplicaciones más importantes del concepto de inversión cinemática consiste en la búsqueda exhaustiva de nuevos eslabonamientos. Esta parte del estudio de los mecanismos es conocida como síntesis de número o sistemática.

Cadena Cinemática de Watt. Por ejemplo, la sistemática nos indica que a partir de la cadena cinemática de Watt, los únicos eslabonamientos diferentes —sin importar las dimensiones de los eslabones— son los mostrados.

Dos Eslabonamientos Obtenido a Partir de la Cadena Cinemática de Watt.

Grados de Libertad de un Eslabonamiento, Criterio de Grubler Grados de libertad, o mobilidad, de un eslaboramiento es el número mínimo y suficiente de variables requeridas para determinar completamente la posición del eslabonamiento. Es decir, conociendo esas variables debe ser posible conocer la posición de cualesquiera de los eslabones que forman parte del eslabonamiento. Ejemplos. A continuación se presentan dos ejemplos de eslabonamientos que incluyen un conteo de sus grados de libertad o movilidad. 1. Mecanismo Plano de Cuatro Barras. Este es un eslabonamiento plano con cuatro barras y cuatro pares de revoluta, vea la figura. Todos los ejes de los pares de revoluta son paralelos. El eslabonamiento tiene un grado de libertad o movilidad igual a 1, pues si se conoce el valor del ángulo θ2, se conoce el valor de θ3 y θ4.

Debe notarse que desde el punto de vista estricto, el grado de libertad asociado a θ2, no es suficiente para determinar la posición del resto de los eslabones del mecanismo plano de cuatro barras. La figura muestra las dos posibles soluciones del análisis de posición del mecanismo. Como puede verse, es necesario indicar cual de las dos posibles soluciones del análisis de posición es la que se requiere. Sin embargo, esta variable es discreta, y en este caso binaria —abierta o cruzada— y no se cuenta como un grado de libertad adicional.

2. Leva Espacial. Este es un eslabonamiento espacial de tres eslabones y tres pares, un par cilíndrico entre el marco y la leva, un par de leva entre la leva y el seguidor y un par prismático entre el seguidor y el marco. El eslabonamiento tiene dos grados de libertad o movilidad igual a 2.

Una forma de determinar el número de grados de libertad de un eslabonamiento consiste en observar su movimiento –si lo hay–, y determinar empiricamente ese número mínimo y suficiente de variables. Sin embargo, frecuentemente es necesario determinar los grados de libertad de eslabonamientos que no han sido construidos; para solucionar este problema, desde el siglo pasado se formularon diferentes criterios de movilidad, uno de los más sencillos es el criterio de Grubler.

A continuación se deducirá el criterio de Grubler para eslabonamientos planos. Es decir, para aquellos eslabonamientos cuyos eslabones se mueven en planos paralelos. La secuencia del razonamiento es la siguiente 1. Imagine la formación de un eslabonamiento constituido por N eslabones, vea la figura. Originalmente el sistema tiene 3N grados de libertad –3 grados de libertad por cada uno de los cuerpos que se conectarán para construir el eslabonamiento–.

2. Para formar un eslabonamiento, se requiere que uno de los eslabones se fije al sistema referencia, vea la figura. Por lo tanto, el conjunto tiene ahora 3(N − 1) grados de libertad.

3. Por último, a fín de transmitir movimiento, los eslabones deben unirse mediante pares cinemáticos. Puesto que los eslabones están originalmente obligados a tener movimiento plano general, entonces un par de la clase I –prismático o de revoluta– elimina 2 grados de libertad y un par de leva, de la clase II elimina un grado de libertad.

Asá pues, en base a los anteriores razonamientos es posible formular la ecuación F = 3(N − 1) − 2P1 − P2

Donde F es el número de grados de libertad del eslabonamiento, N es el número de eslabones que forman el eslabonamiento, P1 es el número de pares de la clase I que forman parte del eslabonamiento y P2 es el número de pares de la clase II que forman parte del eslabonamiento. La ecuación se conoce como el criterio de Grubler. Dependiendo del número de grados de libertad, un eslabonamiento se clasifica en 1. F < 0, grado de libertad o movilidad negativo. El eslabonamiento es una estructura estáticamente indeterminada. 2. F = 0, grado de libertad o movilidad cero. El eslabonamiento es una estructura estáticamente determinada. 3. F > 0, grado de libertad o movilidad positivo. El eslabonamiento es un mecanismo de 1,2,3, etc. grados de libertad, según sea el caso.

Aplicación del Criterio de Grubler. 1. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura, el eslabonamiento contiene 5 eslabones, y 6 pares cinemáticos, todos estos pares de rotación, excepto el par 6, que es un par de leva, entre los eslabones 2 y 5.

2. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura, el eslabonamiento contiene 4 eslabones, y 4 pares de revoluta.

3. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura, el eslabonamiento contiene 3 eslabones, y 3 pares de revoluta.

4. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura, el eslabonamiento contiene 3 eslabones, y 3 pares cinemáticos, el par 3, que es un par de leva, entre los eslabones 2 y 3. Este mecanismo se conoce como un mecanismo de leva de disco con seguidor de cara plana.

5. Finalmente, considere el eslabonamiento mostrado en la figura, el eslabonamiento contiene 4 eslabones,el par 4, que es un par de leva, entre los eslabones 2 y 3. Este mecanismo se conoce como un mecanismo de leva de disco con seguidor de rodillo. A primera vista, este resultado parece erroneo, pues una leva de disco con seguidor de rodillo puede sustituirse, sin problema alguno, por una leva de disco con seguidor de cara plana, un mecanismo que tiene unicamente un grado de libertad. Sin embargo, debe notarse que la leva de disco con seguidor de rodillo presenta un grado de libertad pasivo que consiste en un movimiento de rotaci´on del rodillo, cuando el resto de los eslabones del mecanismo permanecen fijos.

Análisis de Revolutas Múltiples. Si en un eslabonamiento dado aparece una revoluta en la que se conectan varios eslabones, desde el punto de vista cinemático ¿ Cuantas revolutas deben considerarse para propósitos de aplicación del criterio de Grubler? La solución a este problema se basa en la idea misma de movimientos relativos entre los eslabones. En la revoluta mostrada en la figura se conectan 3 eslabones, y por lo tanto, existen tres movimientos relativos entre los eslabones

Análisis de Revolutas Múltiples. Si en un eslabonamiento dado aparece una revoluta en la que se conectan varios eslabones, desde el punto de vista cinemático ¿ Cuantas revolutas deben considerarse para propósitos de aplicación del criterio de Grubler? La solución a este problema se basa en la idea misma de movimientos relativos entre los eslabones. En la revoluta mostrada en la figura se conectan 3 eslabones, y por lo tanto, existen tres movimientos relativos entre los eslabones

Sin embargo, sólo dos de esos movimientos son independientes. Es decir, si se conocen dos de esos tres movimientos relativos

De manera que esta revoluta representa dos movimientos relativos independientes y para efectos del empleo del criterio de Grubler, esta revoluta múltiple cuenta como 2 revolutas. No es muy difícil generalizar este resultado y mostrar que si en una revoluta en la que se conectan n eslabones, esta revoluta cuenta como n − 1 revolutas para efectos del empleo del criterio de Grubler. Existe una modificación del criterio de Grubler, conocido como criterio de Kutzbach-Grubler, aplicable a eslabonamientos espaciales. La fórmula de este criterio está dada por F = 6(N − 1) − 5P1 − 4P2 − 3P3 − 2P4 − 1P5 donde N es el número de eslabones y P1, P2, P3, P4 y P5 son el número de pares de las clases I, II, III, IV y V, respectivamente.

De manera que esta revoluta representa dos movimientos relativos independientes y para efectos del empleo del criterio de Grubler, esta revoluta múltiple cuenta como 2 revolutas. No es muy difícil generalizar este resultado y mostrar que si en una revoluta en la que se conectan n eslabones, esta revoluta cuenta como n − 1 revolutas para efectos del empleo del criterio de Grubler. Existe una modificación del criterio de Grubler, conocido como criterio de Kutzbach-Grubler, aplicable a eslabonamientos espaciales. La fórmula de este criterio está dada por F = 6(N − 1) − 5P1 − 4P2 − 3P3 − 2P4 − 1P5 donde N es el número de eslabones y P1, P2, P3, P4 y P5 son el número de pares de las clases I, II, III, IV y V, respectivamente.

Excepciones al Criterio de Grubler. Un criterio de movilidad, como el de Grubler, basado exclusivamente en consideraciones del número de eslabones y de pares necesariamente debe tener excepciones; es decir eslabonamientos para los cuales el número de grados de libertad determinado mediante el criterio de Grubler no es el correcto. Algunas de ellas se ilustran a continuación. 1. Considere un mecanismo de cuatro barras y cuatro pares de revoluta, tal como el mostrado en la figura

Sin embargo, si las longitudes de los eslabones del mecanismo plano de cuatro barras son a1 = 4u.l., a2 = 2u.l., a3 = 7u.l. y a4 = 1u.l.. y se trata de ensamblar el mecanismo, se encuentra que la única manera en que los eslabones pueden unirse es la mostrada en la figura. Consecuentemente, este “mecanismo plano de cuatro barras” tiene 0 grados de libertad y es en realidad una estructura.

2. Considere ahora el eslabonamiento mostrado en la figura

Eslabonamiento de 5 Barras y 6 Pares Cinema´ticos que Constituye una Excepci´on del Criterio de Gru¨bler.

Sin embargo, es necesario reconocer que, en este caso, los eslabones 1, 3, y 4 son paralelos, además los eslabones 2 y 4 son, igualmente paralelos y permiten que el eslabonamiento gire en el sentido indicado, por lo tanto F = 1.

3. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura

Este eslabonamiento es un ejemplo de mecanismos complejos, en los que un lazo, aquel formado por los eslabones conectados por los pares prism´aticos esta´ asociado a las traslacionales planas, mientras que cualquiera de los dos restantes lazos esta´ asociado al movimiento plano general. Puede probarse que el eslabonamiento es movible y tiene un grado de libertad.

4. Finalmente, considere el eslabonamiento mostrado en la figura. El eslabonamiento tiene 23 eslabones, 33 pares cinemáticos de la clase I y no tiene pares cinemáticos de la clase II.

Un eslabonamiento con cero grados de libertad: Estructura reticular para un puente.

Sin embargo, en este caso, el resultado es incorrecto. Ninguna persona precavida le gustaría pasar caminando o manejando un automóvil por un puente diseñado de esa manera.

Un eslabonamiento con un grados de libertad: Un puente peligroso Es fácil darse cuenta que el eslabonamiento mostrado en la figura se obtuvo del eslabonamiento se obtuvo simplemente cambiando de localización el eslabón o barra número 14. Este cambio conduce a que el cuadrilátero formado por las barras 16, 17, 18, 19 y 20 forma una subestructura estaticamente indeterminada, de manera que el comportamiento cinemático del eslabonamiento no se altera si el cuadrilátero se sustituye por un cuerpo rígido como se muestra en la figura. Este eslabonamiento tiene 18 eslabones o barras, 25 pares cinemáticos de la clase I y no tiene pares cinemáticos de la clase II.

Este cálculo correcto, indica que el eslabonamiento tiene un grado de libertad y en un mecanismo.

Movilidad Mediante Ecuaciones de Clausura, Criterio de Paul. Otro importante criterio de movilidad de eslabonamientos, se basa en el número de variables necesarias para determinar la posición del eslabonamiento así como las ecuaciones que restringen esas variables, es debido a Paul y se estudia a continuación. El método requiere de formular las ecuaciones vectoriales de clausura del eslabonamiento cuya movilidad se desea determinar, descomponer las ecuaciones vectoriales de clausura en sus componentes escalares, que se convierten en las ecuaciones escalares de clausura, y determinar cuantas de ellas son linealmente independientes. Puesto que las ecuaciones escalares de clausura son, también, el punto de partida para resolver el anélisis de posicién de mecanismos planos, el estudio de la movilidad de cadenas cinemáticas mediante ecuaciones de clausura permite adelantar el estudio del análisis de posición de mecanismos planos.

Ejemplo 1. Mecanismo Plano de Cuatro Barras.

Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la figura. La posición del eslabonamiento queda únicamente determinada si se conocen los ángulos θ2, θ3, θ4. Estas variables cinemáticas se conocen también como coordenadas Lagrangianas, ó coordenadas generalizadas. Es importante reconocer que estas variables no son independientes sino que están obligadas a satisfacer las ecuaciones de clausura del lazo o lazos del eslabonamiento.

En el caso particular del mecanismo plano de cuatro barras la ecuación de clausura en forma vectorial es

y las ecuaciones escalares resultantes son

sustituyendo θ1 = 0◦, y reagrupando los términos las anteriores ecuaciones pueden escribirse como

Entonces, el número de grados de libertad, F, será el número de coordenadas Lagrangianas o generalizadas, C, menos el nu´mero de ecuaciones independientes E.

Ejemplo 2. Mecanismo de Biela Manivela Corredera. Considere el mecanismo de dos lazos mostrado en la figura. La posición del eslabonamiento queda únicamente determinada si se conocen los ángulos θ2, θ3, y la coordenada s. Debe notarse que las dimensiones a2, a3, e, θe, θs son parámetros constantes.

Ejemplo 3. Mecanismo Plano de dos Lazos. Considere el mecanismo de dos lazos mostrado en la figura. La posición del eslabonamiento queda únicamente determinada si se conocen los ángulos θ2, θ3, θ4, θ5, θ6. Debe notarse que las dimensiones a1, a2, a3, a4, a5, a6, b1, b2, θ1, δ y γ son parámetros constantes.

Ejemplo 4. Mecanismo Plano de Dos Lazos, que Clarifica Porque Falla el Criterio de Grubler. En este ejemplo se usará el criterio de Paul para dar una nueva interpretación a algunos de los casos en los que el criterio de Grubler falla. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura.

Ejemplo 5. Mecanismo Plano de Dos Lazos Independientes, que Clarifica Porque Falla el Criterio de Grubler. En este ejemplo se usará el criterio de Paul para dar una nueva interpretación a algunos de los casos en los que el criterio de Grubler falla. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura, que se emplea en mecanismos de prensas mecánicas e hidraúlicas. En particular, debe notarse la simetría de la geometría y de la topología. Esta simetría se emplea para aplicar de manera mas uniforme la fuerza de prensado mediante el dado superior representado por el eslabón 6.

Ejemplo 6. Mecanismo Plano Complejo, Que Constituye Una Excepción del Criterio de Grubler. Considere el mecanismo plano mostrado en la figura, el mecanismo está formado por cinco eslabones y seis pares de la clase I, cuatro pares prismáticos y dos pares de revoluta.

Ejemplo 7. Mecanismo Plano Que Incluye Pares Superiores. En los tres ejemplos anteriores se mostró que la movilidad de mecanismos planos puede determinarse substrayendo al número de variables necesarias, para determinar la posición de todos los eslabones del mecanismo, el número de ecuaciones independientes obtenidas a partir de las ecuaciones de clausura de los lazos. Sin embargo, todos los ejemplos ilustrados contienen exclusivamente pares de revoluta y prismáticos. En esta pequeña nota, se muestra como se puede determinar, empleando este mismo método, la movilidad de mecanismos planos que contienen pares de leva, en particular una pareja de engranes. Considere el mecanismo mostrado en la figura, el mecanismo está formado por un eslabón fijo, una pareja de engranes y dos bielas. Por lo tanto, el número total de eslabones del mecanismo es N = 5, además el mecanismo tiene PI = 5 pares de la clase I, todos ellos de revoluta, finalmente el mecanismo tiene un par de leva, representado por la pareja de engranes, por lo tanto, PII = 1.